a speciÁlis relativitÁselmÉlet kiterjesztÉse update: oct. 2012

A RELATIVITÁSELMÉLET KITERJESZTÉSE

Sarkadi Dezső 2010. november

Update: 2012. október

Bevezetés

A jelen munkám eredeti gondolata még egyetemista koromban merült fel bennem (1970 körül), a csodás Dirac egyenlettel kapcsolatban, mely a kvantummechanika Schrödinger egyenletének relativisztikus változata, és amely „inherensen” (önmagában) tartalmazza az elektron-spin kísérletekkel igazolt létezését. Ezt az egyenletet P.A.M. Dirac angol fizikus (1902-1984) intuitíve vezetett le pusztán a „semmiből” még 1928-ban, csupán a speciális relativitáselmélet formai követelményét alkalmazta a két évvel korábban fel-fedezett Schrödinger egyenletre. Igaz, ezt egy merész matematikai húzással tette meg, elvégzett egy ta-gonkénti gyökvonást, de nem az ismert valós (illetve komplex) számkörön belül. A fizikában kissé jártas emberek számára is ma már közhelynek számít, miszerint a két nagy elméleti terület, az einsteini relativitás és a kvantummechanika jelen ismereteink szerint lényegükből fakadóan nem összekapcsolható elméletek. Ez az állítás teljes mivoltában csak az általános relativitásra igaz, de ennek részleteibe itt nem megyek bele, a szakirodalom kimerítően foglalkozik ennek a problémának az elemzésé-vel és a mai modern fizikára ható mélyreható következményeivel. Ami a jelen munka szempontjából lénye-ges, a speciális relativitáselmélet minden nehézség nélkül ötvözhető a kvantummechanikával. Az elsőnek (1905-ben) megszületett speciális relativitáselmélet a klasszikus fizika talajára épült, a mechanikai és elektromágneses jelenségek, speciálisan a fény terjedésének makroszkopikus vonatkozásait vizsgálta. A fénysebesség inercia-rendszerekbeli állandóságát kimondó speciális relativitást, lényegében matematikai általánosítás útján, követte az általános relativitáselmélet (1916-ban), mely ugyancsak a mak-roszkopikus skálán értelmezett klasszikus newtoni gravitációnak egy teljesen új, geometriai értelmezést adott. Annak ellenére, hogy éppen Einstein nevéhez kapcsolódik az első, talán legfontosabb kvantumme-chanikai objektum, a foton fogalma, mégiscsak „lemaradt” a modern fizika, az 1925-ös kvantummechanika születéséről, és amit ő még sokáig fenntartásokkal kezelt. Felmerülhet ezzel kapcsolatban egy fontos tudománytörténeti kérdés. Milyen relativitáselmélet született volna két évtizeddel később, a kvantummechanika kialakulását követően. Vajon mennyire vette volna figyelembe egy „későbbi” Einstein a kvantummechanika átütő sikerű eredményeit. Azt biztosan kije-lenthetjük, hogy Einstein tudományos hozzáállását ismerve, nem hagyta volna ki a kvantummechanikát a relativitáselméletéből. A probléma felvetése mai szemmel azt jelenti, hogyan hatna a kvantummechanika egy ma megszületendő relativitáselméletre. Nagy kérdés, vajon a spin kísérleti ismeretében Dirac megtalál-ta volna-e az egyenletét, és abból vajon lehetett volna visszafelé következtetni a speciális relativitásra.

Általában kérdés, hogy a tudománytörténet csak egyfajta utat járhat be? Ma már erősen bizako-dunk abban, hogy rajtunk kívül az Univerzumban léteznek civilizációk, akár magasabb szinten is, mint ahol mi állunk. Vajon az ő tudománytörténetük milyen utat járt be a fizika vonatkozásában, mennyire sikerült nekik összebékíteni a relativitást és a kvantumelméletet? Egy szerény próbálkozásomat ismertetem a dol-gozatomban, melyben szereplő ötletem eredete a Dirac egyenletben szereplő speciális négyesvektor egy-fajta értelmezése és annak hatása a speciális relativitásra. A munkám két fő részből áll, az első rész bemu-tatja a speciális relativitás egyfajta általánosítását és következményeit (röviden a sajátimpulzus fogalmát definiálja). A második rész a Dirac egyenlet szerkezetét vizsgálja, ami alapján a sajátimpulzus fogalmára jutottam el, sok-sok évvel korábban.

15/2

A RELATIVITÁSELMÉLET KITERJESZTÉSE; Sarkadi Dezső 2012. október [email protected]

I. RÉSZ. A SAJÁTIMPULZUS FOGALMA

1.1. Röviden a relativitáselméletről

A relativitáselmélet mind a mai napig sok ember számára a fizika legérthetetlenebb, legmisztiku-sabb fejezetének számít. Sokan szeretnék „megdönteni”, de eddig még senkinek sem sikerült! A tömeg-energia egyenértékűségét kifejező képlet (E = mc

2), mely az atomenergia felszabadításához kapcsolódik, sokak számára ismert. Talán az egyik legkényesebb kérdés az iker-paradoxon, miszerint ha egy ikerpár egyike fénysebességhez közeli sebességgel egy nagyobb űrutazást tesz, visszatérésekor akár évekkel fiata-labb lesz ikertestvérénél. Annak ellenére, hogy a relativisztikus idődilatációra számos közvetlen és közve-tett bizonyítékunk van, az emberek többsége erősen kétli ennek valóságtartalmát. Ugyancsak sokak számá-ra elfogadhatatlan, hogy a vákuumbeli fénysebességnél nem létezhet nagyobb sebesség. Tudósok és ama-tőrök sokasága próbálta bizonyítani ennek ellenkezőjét. Döbbenetes, hogy meggyőző módon eddig sem a csillagászoknak, sem a laboratóriumi kutatóknak nem sikerült fénysebességnél nagyobb sebességet kimu-tatni. A különböző elméleti elemzések már régen arra a következtetésre vezettek, hogy az információt pél-dául nem lehet fénysebességnél gyorsabban továbbítani, ellenkező esetben például az ok és okozat „fel-cserélődne”, és ezzel megvalósulhatna a fantáziaszült „időutazás” a múltba. Mindazonáltal napjainkban (2010-ben) divatossá vált feszegetni ezt a kérdéskört, olyannyira, hogy némely kísérleti fizikus optikai kísér-letekkel kimutatni vélte, hogy egy üzenet (információ) hamarabb megérkezett az elküldése előtt. A további kapcsolódó egyéb elméleti megfontolásokról itt nem kívánok szólni, de az kemény fizikai tény, hogy semmi esélyünk visszatérni a mohácsi csatába a mai fegyverekkel.

A relativitáselméletnek két részterülete van, a speciális- és általános relativitáselmélet, mindkettő Albert Einstein (1879-1955) nevéhez fűződik, bár számos kortársának neve is említésre lenne méltó, akik részleteiben hasonló, vagy azonos eredményekre jutottak. Mindkét elméletben közös a tér és az idő geo-metriai összekapcsolása. A tér és idő minden fizikai jelenség, a kémia, biológia, végső soron az élet színpa-da, tehát a tér és idő matematikai egyesítése „téridő” formában nemcsak egy különleges természettudo-mányos eredmény, de nagy filozófiai siker is. A speciális relativitáselmélet születési idejét 1905-re datálják, 2005-ben számos ünneplés, konferencia emlékezett meg Albert Einsteinről és elméletéről. A modern kvan-tumfizika ma már elképzelhetetlen lenne a relativitáselmélet nélkül. Minden új elméleti és kísérleti kuta-tásnál alapkövetelmény a relativisztikus invariancia (általánosan: relativisztikus kovariancia) teljesülése.

A közhiedelemmel ellentétben, a speciális relativitás matematikája az egyszerűbbek közé tartozik (sok minden megérthető belőle középiskolás matematikával). Az általános relativitáselmélet (amely egyben a gravitáció modern elmélete) viszont magasabb szintű, speciális matematikai ismereteket igényel, ez az ún. differenciálgeometria. Einstein nagy álma volt az egész fizika felépítése geometriai elvekre, és bár neki ezt a programot „csak” a gravitációra sikerült teljesítenie, a fizika geometrizálása mind a mai napig csak egy reményteljes alternatíva maradt a fizika Nagy Egyesítési (Grand Unification) törekvéseiben.

A jelen munkában a speciális relativitás egy lehetséges kiterjesztésével foglalkozom, de nem vizsgá-lom ennek következményeit az általános relativitásra. Bizonyára az Olvasók többsége olvasott már valami-lyen relativitáselméleti könyvet, és ha a matematikai részeket részben vagy egészben nem is értette meg, a szöveges részekből a fizikai koncepciót talán megértette. A lényeg azonban akár egy mondatban is össze-foglalható: az inerciarendszerek semmiféle fizikai kísérlettel nem különböztethetők meg, azaz nincs new-

ton-i abszolút koordinátarendszer. Ebből az elvből következik a fénysebesség állandóságának elve, függet-lenül az inerciarendszer megválasztásától.

Érthetően nem lehet itt célom a speciális relativitáselméletnek még csak a rövidített ismertetése sem. Emlékeztetőül csak a Lorentz-transzformációt emeljük ki az elméletből, mely szerint transzformálnunk kell a tér és idő koordinátákat, amikor áttérünk egyik inerciarendszerből a másikba. Két inerciarendszer pusztán egy állandó v sebességgel térhet el egymástól, ez a sebesség szerepel az ismert Lorentz-faktor kép-letében:

15/3


2 21 / .L v c− = − (1.1.1)

Ha egy testet v sebességre felgyorsítunk, akkor energiája, és ezzel együtt a tömege megnő, a speciális rela-tivitáselmélet szerint a tömeg növekedése:

2 2

0 0 0/ / 1 / ,m m L m v c m−= = − ≥ (1.1.2)

ahol az m0 a test nyugalmi tömege. A képletből következik, ha egy test minél jobban megközelíti a fényse-bességet, annál nagyobb és nagyobb energiát kell befektetni a gyorsításához, a fénysebesség eléréséhez elméletileg végtelenül nagy energiát kellene befektetni. A relativisztikus tömegnövekedést a gyorsítókban már nagyon régen megfigyelték, a mérések igazolják a képlet helyességét. A fizikai kölcsönhatások számos változatában igazi gyakorlati jelentősége a fizikai kötéseknek van, hiszen e folyamatokból nyerhető az energia. Ebben az értelemben fizikai kötéseknek tekintjük a kémiai kötéseket is, melyek során elemek, vagy molekulák más elemekkel, molekulákkal egyesülnek és közben energia szabadul fel (egyszerű példa a fa, szén, olaj, stb. elégetése). A legerősebb kötések az atommagok-nál tapasztalhatók, a fejlesztés alatt álló fúziós atomerőművekben könnyű atommagok egyesülése során hatalmas energia szabadul fel. (A szabályozatlan fúziós folyamat a hidrogénbombában valósul meg, mely nagyságrendekkel nagyobb energiát szabadít fel, mint a „hagyományos” maghasadásos atombomba.) Az energiát termelő kötési folyamatok során minden esetben tömegcsökkenés következik be, a tömegcsökke-nés mértéke a speciális relativitáselmélet E = mc

2 képletével egyszerűen számítható. Könnyű észrevenni, hogy a relativisztikus tömegnövekedéssel szemben (melyhez energiaközlés szükséges), a fizikai kötéseknél tömegcsökkenés lép fel és ezzel jelentős energia szabadul fel. A két folyamat annyira szimmetrikus, hogy a fizikai kötésekre is felírhatjuk a Lorentz faktort csupán egy egyszerű előjel módosítással:

2 21 / ,L v c+ = + (1.1.3)

és így beszélhetünk relativisztikus tömegcsökkenésről is:

2 2

0 0 0/ / 1 / .m m L m v c m+= = + ≤ (1.1.4)

Természetesen a fenti képletekben szereplő v sebesség nem egyezik meg a hagyományos definícióval, a képlet szerint korlátlanul nagy lehet, a tömeg végtelenül kicsi, tehát megfelelő fizikai értelmezést kell talál-nunk. Modern korunkban legfontosabb tömegcsökkenéssel és ezáltal energia felszabadulással járó folya-mat az atomerőművekben játszódnak le. Ennek kiindulópontja a radioaktív bomlás felfedezése volt 1896-ban, amikor a francia Becquerel fényképező lemezt hagyott a fiókjában uránsó mellett. A fényképező lemez előhívása mutatta az uránsó árnyéklenyomatát. Igaz, ekkor még messze nem volt tisztázott a jelenség fizi-kai háttere. A legfontosabb kutatásokat a Curie házaspár végezte (Marie Sklodowska-Curie asszony, lengyel származású vegyész és férje Pierre Curie francia fizikus), akik kemény munkával kivonták az uránérc feldol-gozásának maradékából a sugárzó elemet, a rádiumot. Kiderült, hogy a tiszta rádium sötétben gyengén világít, hőt is fejleszt. De Curie-ék sokáig nem értették, nem is érthették a rádium sugárzás valódi természe-ti hátterét. Éveknek kellett eltelnie, hogy a kutatók megértsék a radioaktivitás fizikai jelenségét, mely az elemek (atomok) átalakulásával jár, különböző bomlási folyamatokon keresztül. Az atomerőművekben szintén az uránatom 235-ös tömegszámú izotópjának radioaktív bomlása adja az energiát. Az urán magok nagyon lassú, természetes bomlását (hasadását) lassú neutronokkal történő besugárzása gyorsítja fel, és a hasadási termékek között két-három neutron is szerepel. A hasadáskor keletkező gyors neutronok lassítás

15/4


után további urán magokat képesek hasítani, ez a folyamat a láncreakció. A fentiek értelmében a radioaktív bomlás is felfogható relativisztikus tömegcsökkenésnek. Megjegyzés: A relativitáselméletben hibásan elterjedt a „relativisztikus tömegnövekedés” kifejezés, holott tudjuk, hogy a részecskék tömege („nyugalmi tömeg”) Lorentz-invariáns. Helyes kifejezés, hogy a részecske gyorsítása során a részecske energiája növekszik a relativisztikus képlet szerint:

2 2

0 0 0/ / 1 / .E E L E v c E−= = − ≥ (1.1.5)

Szokásos kiemelni, hogy az energia koordinátarendszer-függő, azaz nem Lorentz-invariáns. A fenti képle-tekben tehát valójában mindenütt energia-növekedésről, illetve energia-csökkenésről van szó. Nyugalmi tömeggel rendelkező részecskék esetén azonban beszélhetünk ekvivalens tömegről, a fentiekben tehát ekvivalens tömegekről van szó.

1.2. A sajátsebesség és sajátimpulzus bevezetése

A jelen anyagnak kiemelt fizikai fogalmai a sajátsebesség és a sajátimpulzus, melyek a fizikában je-lenleg nem ismertek, nem definiáltak. Ezek az elnevezések a sajátimpulzus-momentum, közismertebben a

spin fogalmának természetes megfelelői, melyek az elemi részeket, atommagokat jellemeznek. A spin a részecskék speciális, csak a kvantummechanikában értelmezhető forgó mozgását jelenti, a szokásos ma-gyar elnevezése: a részecske saját-perdülete. Mint ahogy a spin nem hasonlítható egy makroszkopikus for-gáshoz, a sajátsebesség, illetve sajátimpulzus sem hasonlítható a klasszikus sebesség, illetve impulzus is-mert fogalmaihoz. Ezek a speciális fogalmak a részecskék belső mozgásaihoz kapcsolhatók, közvetlenül nem figyelhetők meg, csak áttételesen, például a részecskék energiaállapotait határozzák meg. A sajátse-besség, illetve sajátimpulzus fogalmainak bevezetése a részecskék tömegének, általánosabban a fizikai tö-megnek szerkezetet tulajdonít. Minden tömeghez hozzárendelhető egy, a tömeg belső mozgási energiájá-hoz kapcsolódó paramétert, amelyet röviden sajátsebességnek, illetve sajátimpulzusnak nevezzük a továb-biakban.

Az „elemi részecske” fogalom ma már elavult, hiszen az elektron (pozitron) kivételével minden ele-mi rész (proton, neutron, mezonok, stb.) mai ismereteink szerint összetett (az alkotórészek a különböző kvarkok). Ennek ellenére, jobb híján megtartjuk ezt a régi, megszokott elnevezést „részecske”, vagy „elemi rész” formában. Részecskének vagy elemi résznek nevezünk minden olyan relatíve kicsiny fizikai objektu-mot, melynek specifikus tömege, töltése, spinje és egyéb kvantumos jellemzője van (pl. barionszám,

leptonszám, ritkaság, stb.). A relativitáselmélet tételei, egyenletei meghatározóan tömegpontokra vonatkoznak (az elmélet

alapvetően nem foglalkozik egy test kiterjedésével, méreteivel, alakjával), ezért a következőkben minden esetben tömegpontokról lesz szó, függetlenül attól, hogy mikrorészecskéről, vagy makroszkopikus méretű testről van szó. Ismeretes, hogy a newtoni mechanikában a Nap és bolygói, így a Föld is tömegpontként szerepel, amennyiben az egész Naprendszert vizsgáljuk.

Ha az (1.1.1) képletben szereplő v sebességet iv-re cseréljük, akkor ennek négyzete –v2 lesz. (Az i a

képzetes egység, melynek négyzete -1.) Tehát ha a Lorentz transzformáció képleteiben a sebességet tisztán képzetes értékűnek választjuk, akkor a legegyszerűbb úton eljutunk az (1.1.4) képletre. Klasszikusan az im-pulzus definíciója tömeg szorozva a sebességgel. Ha a mindig valós tömeget egy tisztán képzetes sebesség-gel szorozzuk meg, akkor maga az impulzus is tisztán képzetes lesz és négyzete negatív értékű lesz. Termé-szetesen a sajátsebesség, illetve a sajátimpulzus három-három független komponensű vektorok, hasonlóan a közönséges sebességhez, illetve impulzushoz. Egy tömegpont klasszikus sebességét, illetve impulzusát a továbbiakban megkülönböztetésül külső sebességnek, illetve külső impulzusnak nevezzük. Értelemszerűen a sajátsebesség, illetve sajátimpulzus a tömegpont belső sebessége, illetve belső impulzusa.

A speciális relativitáselméletben az energia, impulzus és a nyugalmi tömeg között minden inercia-rendszerben fennáll a következő, alapvető összefüggés:

15/5


2 2 2 2 4

0 ,E c m c− =p (1.2.1)

ahol itt c a fénysebességet jelöli. Ez az egyenlet a sajátimpulzus bevezetésével az alábbi módon módosul:

2 2 2 2 4

0 ,W c m c+ =P (1.2.2)

ahol W a tömegpont belső energiája, P a sajátimpulzusa. A P itt már valós vektor, ugyanis itt már az egyen-letben az i2 = -1 tényezőt figyelembe vettük. A „kis” p mechanikai impulzus egy test, vagy tömegpont tér-időbeli mozgására jellemző vektor. A W belső energia és a „nagy” P sajátimpulzus a tömegpont téridőbeli mozgásától független, a tömegpont belső fizikai tulajdonságára jellemző mennyiségek, melyek együtt egy négydimenziós vektort alkotnak. Ezen az úton eljutottunk a relativitáselmélet egy lehetséges kiterjesztésé-hez. Nem túlzás az a kijelentés, hogy ezzel megtaláltuk a speciális relativitáselmélet másik 50 százalékát, míg az ismert relativitás az elmélet első 50 százaléka.

Aki kissé mélyebben ismeri a relativitáselméletet, egyből felismeri, hogy a fenti egyenletek formáli-san csak a metrikus tenzorban különböznek. A metrikus tenzor a négydimenziós téridő „szerkezetét” adja meg. A kiterjesztésünk szerint egy testhez, vagy tömegponthoz kétféle metrikus tenzor rendelhető. A külső téridőbeli mozgáshoz a Minkowski-féle pszeudo-euklideszi téridő és metrikus tenzora tartozik. A test, vagy tömegpont belső mozgásához egy közönséges, négydimenziós euklideszi metrikus tenzor rendelhető, a bel-ső mozgás formálisan a négydimenziós eukideszi téridőben valósul meg.

A fentiek értelmében egy testhez, vagy tömegponthoz az ismert, külső v sebességen kívül rendelhe-tünk egy V belső sebességet, vagy sajátsebességet is. A speciális relativitáselmélet kiterjesztését a sajátse-besség és sajátimpulzus bevezetése jelenti. Elméleti szempontból nagyon fontos tény, hogy a mind a speci-ális-, mind az általános relativitáselmélet meghatározó egyenletei visszavezethetők a legkisebb hatás elvé-

re. A speciális relativitáselmélet szabad tömegpontra vonatkozó S hatásfüggvénye:

2

1

2 2 20 1 / .

t

t

S m c v c dt− = − −∫ (1.2.3)

Az integrálban szereplő négyzetgyökös kifejezés az ismert Lorentz faktor, amely egyben a speciális relativi-táselmélet Lagrange függvénye (amely csak egy konstans szorzótól eltekintve egyértelmű). Definíció sze-rint, általános esetben a Lagrange függvény a tömegpont koordinátájának és sebességének függvénye le-het. Az úgynevezett szabad tömegpont Lagrange függvénye kizárólag csak a sebességtől függhet, és amely a speciális relativitáselméletben éppen a Lorentz faktornak felel meg. A speciális relativitáselmélet összes, hihető és hihetetlen következménye az itt megadott Lagrange függvényből, a legkisebb hatás elve alapján, matematikai úton levezethető. Aki tehát a relativitáselmélet megdöntésére vállalkozik, csupán elég annyit bizonyítania, hogy a Lorentz faktor, valamilyen matematikai, vagy fizikai megfontolások alapján hibás. Nem áll szándékomban a Lorentz faktor érvényességének kétségbevonása, de annak érvényességi körét meghagyom a részecskék, tömegek téridőbeli mozgására. A tömeg belső szerkezetének egy általános leírá-sára viszont kiterjesztem a speciális relativitás hatásfüggvényét a következő formában:

2

1

2 2 20 1 / .

t

t

S m c V c dt+ = − +∫ (1.2.4)

A tömeg szerkezetét, a belső tulajdonságát egy módosított Lagrange függvénnyel (Lorentz faktorral) jel-lemzem, ahol V a tömegponthoz rendelhető belső sebesség. Az (1.2.3) és (1.2.4) hatásfüggvények (hatásin-

tegrálok) ismeretében a relativisztikus mechanika mindkét (külső és belső) változata egyszerűen, formális matematikai eljárással levezethető. Az (1.2.3) „mínuszos” Lorentz faktort tartalmazó hatásfüggvényből ve-

15/6


zethető le az (1.2.1) „négyesimpulzus” egyenlet, mely a speciális relativitáselmélet közismert, alapvető egyenlete. Az (1.2.4) „pluszos” egyenlet vezet a tömeg szerkezetét általánosan definiáló (1.2.2) egyenletre, mely a tömeghez rendelhető belső impulzust, a sajátimpulzust definiálja.

A Lorentz transzformáció A relativitáselmélet alapvető fogalma a már említett Lorentz transzformáció, melynek eredete a hí-

res Nobel díjas holland fizikus, H. A. Lorentz (1853 – 1928) személyéhez kapcsolódik. A Lorentz transzfor-máció adja meg két inerciarendszer közötti kapcsolatot, melyek egymástól egy állandó v sebességgel kü-lönböznek (egyébként másban nem is különbözhetnek). Lorenz megvizsgálta az elektrodinamika híres Maxwell egyenleteinek azon transzformációs tulajdonságát, mely nem változtatja meg a Maxwell egyenlet alakját (szerkezetét). Kiderült, hogy a később Lorentz transzformációra keresztelt matematikai eljárás nem-csak az inerciarendszerek koordinátáit transzformálja, de az akkori kor számára elfogadhatatlan módon az időt is. Márpedig az emberek számára akkor még az idő abszolút fogalom volt, amely egyformán telik min-den helyen, minden időben és minden körülmények között. Az idő abszolút voltában maga Lorentz sem kételkedett, ezért az általa megtalált transzformációnak nem tulajdonított valós fizikai jelentőséget. Albert Einstein volt igazán az első olyan fizikus, aki kellően komolyan vette a Lorentz transzformáció fizikai hátte-rét, kivívva ezzel korabeli fizikusok, tudósok többségének kemény tiltakozását és felháborodását. Mint tud-juk, az idő végül Einsteint igazolta, bár még manapság is sokan elfogadhatatlannak tartják Einstein interpre-tációját. Ha tetszik, ha nem, a mai modern fizika pedig elképzelhetetlen lenne mind a speciális, mind az általános relativitáselmélet szemlélete és eredményei nélkül, melyek egyértelműen Einstein felfogására épülnek.

A relativitáselmélet fontos elméleti következménye, hogy a Lorentz transzformációk matematikai értelemben ún. folytonos csoportot alkotnak, amely meghatározza a téridő szimmetriáit. A tömegpont bel-

ső téridő szimmetriáját a fentiek értelmében a négydimenziós téridő ortogonális transzformációinak cso-portja határozza meg. Beszélhetünk tehát a tömegpont külső, illetve belső Lorentz csoportjáról, és így külső és belső szimmetria-csoportokról. A téridő külső és belső szimmetriacsoportja egyaránt definiálja a külső és belső négyes-impulzust, impulzusmomentumot (pálya- és spin-momentumokat). Már a jelen fejezet elején utaltam arra, a fentiekben megadott definíciók az elemi részek másik fon-tos tulajdonságára, a kvantált impulzusmomentumra (perdületre), azaz a spinre emlékeztetnek. Minthogy a kvantummechanika spin-fogalma nem azonosítható a makroszkopikus perdülettel, a testek szemléletes forgásával, a részecskék sajátsebessége sem azonosítható a szemléletes sebességfogalommal. Ezért jelöl-tem v helyett V-vel a sajátsebességet. A speciális relativitáselmélet a megszokott külső sebességre ad egy axiomatikus korlátot, miszerint semmiféle fizikai objektum nem haladhatja meg a fénysebességet. Ennek az axiómának egy alternatív megfogalmazása szerint információt nem lehet fénysebességnél gyorsabban to-vábbítani. A részecskék sajátsebességére ez az axióma nem szükségszerűen érvényes. Kérdés, van-e gya-korlati értelme annak, hogy egy részecskén belül mekkora a fény, illetve az információ terjedési sebessége? A részecskéken belül nem tudunk közvetlenül sebességeket mérni, maximum csak elméleti számításokkal tudunk következtetni az alkotó részek sebességeire.

A kiterjesztett elmélet értelmében a részecskén belüli kölcsönhatások sebessége is tetszőlegesen megnőhet, valamint az ismert Lorentz kontrakcióval szemben (a mérő rudak rövidülése a sebességgel) a mérő rudak megnyúlásával, speciálisan itt a részecskék méretének megnövekedésével is kell számolnunk. Az idő folyamának sebességtől függő lelassulásával szemben a részecskén belül az idő üteme tetszőlegesen felgyorsulhat. Ezek mind a sajátimpulzus feltételezett elméletének egyenes következményei.

A sajátsebesség és sajátimpulzus fogalmait pusztán elméleti hipotézisnek kell tekintenünk és csak a sikeres alkalmazásaik alapján győződhetünk meg a fizikai realitásukról. Ebben az esetben is az idő végül mindent eldönt. Az új elmélet gyakorlati alkalmazhatóságának bemutatása a jelen munka kiemelt célja.

1.3. A tömeg szerkezete

Ha a sajátimpulzust definiáló (1.2.2) egyenletet elosztjuk a fénysebesség negyedik hatványával, azaz c

4-el, akkor az egyenlet dimenziója tömeg-négyzet lesz:

15/7


2 2 2 ,M S R= + (1.3.1)

ahol bevezetésre kerültek az alábbi jelölések:

2 2 2 2 2 2 2 4

0= ; / ; / .M m S P c R W c= = (1.3.2) Az (1.3.1) tömegegyenletben R a bázistömeg (más néven maradéktömeg), S a sajátimpulzus-tömeg. Az M tömeg a nyugalmi tömeggel egyenlő, de a sajátimpulzus fogalmának bevezetésével módosított értelmet és jelölést kap: M-et megfigyelhető, vagy mérhető tömegnek nevezzük. A mérhető tömeg négyzete két kom-ponens négyzetösszege, a komponensek (a tömegparaméterek) Pitagorász tétele szerint egy derékszögű háromszöget, a tömegháromszöget alkotják.

Az elemi részek belső szerkezetéről a fizika még mindig igen keveset tud, az intenzív kutatások elle-nére. A részecskefizika tudományának aktuális „toplistáját” az ún. Standard Modell vezeti, mely reménytel-jesnek néz ki, de még nem beszélhetünk végleges sikerről. Példaként megemlíthető, hogy az elektron ré-szecskét a fizika egyszerűnek, szerkezet nélkülinek tartja, ugyanakkor évszázados megoldatlan probléma az elektron tömegének eredete. A mai napig eldöntetlen kérdés, hogy az elektron tömege tisztán, vagy csak részben elektromágneses eredetű. (A tömeget jelenleg felosztjuk mechanikai és elektromágneses tömegre, de magának a tömegnek, mint a tehetetlenség mértékének eredete sem tisztázott.) A sajátimpulzus fogal-mának bevezetésével talán lehetőség nyílhat a jövőben a kérdés végleges megválaszolására. A tömegháromszög bevezetése egy általános választ ad az elemi részek stabilitására vonatkozóan. Egy részecske viszonylagos stabilitásának feltétele egyfajta általános értelemben vett kötési energia létezé-se. Ha elfogadjuk minden elemi és nem-elemi részecske általános alakú (1.3.1) tömegszerkezetét, akkor az univerzális kötési energia fogalmát a következő képlettel adhatjuk meg:

,cE = M -(S + R)< 0 (1.3.3)

amely a háromszög egyenlőtlenség miatt mindig negatív értékű. Az (1.3.1) általános tömegszerkezeti képlet merész következtetésre bátorít bennünket. Ma a fiziká-ban nem ismert a tömeg, illetve energia alsó korlátja. Tegyük fel, hogy léteznek ezen alsó korlátok, és min-den tömeg (energia) egy minimális érték egész-számú többszöröse. Ekkor a tömegháromszög mindhárom oldala az elemi tömeg (energia) egység egész-számú többszöröse lehet. Ez csak speciális tömegháromszö-gek létezését engedi meg, az oldalhosszak pitagoraszi számhármasokkal fejezhetők ki az elemi egységekkel mérve. Fermat sejtése (ma már tétel) szerint nem létezik három olyan egész szám (p, q, r), melyre:

; 2n n np = q r n+ > (1.3.4)

teljesülne. Ebből a tényből következik, hogy amennyiben a fenti posztulátumok igazak, tetszőleges részecs-ke tömegszerkezete legfeljebb kvadratikus alakban fejezhető ki az alkotó részek tömegeivel.

1.4. Kvantummechanika

A tömeg szerkezetére vonatkozó (1.3.1) képletet a kvantummechanika más szemszemszögből is alá-támasztja. Ugyanis a különböző fizikai tulajdonságú elemi részecskék relativisztikus hullámegyenletei felír-hatók egy általános alakban:

2 0 1 2 3 ,Ψ M Ψ; (µ , , , )= =µ

µD D (1.4.1)

ahol Ψ az elemi rész komplex hullámfüggvénye, Dμ az adott részecskére jellemző négyes-impulzus operá-

tor, mely magába foglalhatja tetszőleges külső erőtér potenciálját is (kölcsönhatás külső erőtérrel). M a

15/8


részecske megfigyelhető (nyugalmi) tömege. A részecske kötött állapota (térben lokalizált állapota) esetén a hullámfüggvény egységre normált:

1.*

Ω

Ψ ΨdΩ =∫ (1.4.2)

Ez azt jelenti, hogy a részecske az Ω téridő tartományban egységnyi valószínűséggel, azaz biztosan a tarto-mányon belül található. A megtalálási valószínűség egyben jelentheti a tömegeloszlás valószínűség-sűrűségét is:

( ) ( )2 22 2 2 2 2Re Im .*

Ω Ω

M Ψ ΨdΩ M Ψ Ψ dΩ S R M ≡ + ≡ + ≡ ∫ ∫ (1.4.3)

A hullámfüggvény komplex tulajdonságából tehát egyértelműen következik a tömeg szerkezetére vonatko-zó (1.3.1) képlet, amelyet a kvantummechanikától függetlenül, a speciális relativitás kiterjesztéséből kap-tunk. Ismeretes, hogy a kvantummechanikában a részecske hullámfüggvényének fázisa határozatlan. Alap-feltevésünk, hogy a részecske tömegparaméterei (a bázistömeg, illetve a sajátimpulzus tömeg) részecske-specifikus Lorentz-invariánsak. A részecskék kölcsönhatása során azonban a hullámfüggvények fázisai vál-tozhatnak, mivel maga az M megfigyelhető tömeg is változik (pontosabban, a részecske energiája változ-hat, ami a mérhető M változásában jelenik meg). Nagyon valószínű, hogy a kölcsönhatás típusától függően a részecske tömegparaméterei az adott kölcsönhatásra jellemzően változhatnak. A mai ismereteink szerint a szabad részecske hullámfügvényének fázisa határozatlan. A fentiek vi-szont meggyőznek bennünket arról, hogy ez a felfogásunk biztosan hibás. A szabad részecskéről kiderült, hogy (1.3.1) szerinti tömegszerkezete van, mely (1.3.3) értelmében biztosítja a részecske stabil (kötött) állapotát. Az eredményünk azonban megdöbbentő állításra vezet: minden részecske tömege két paraméter által meghatározott. A tömegparaméterek szükségszerűen részecske-specifikusak. Ez az állításunk gyökeres szakítást jelent a korábbi megszokott tömegfelfogástól. Ebből az is következik, hogy a részecskék kvan-tummechanikai hullámegyenletei a megszokottól eltérően a jövőben szükségszerűen két tömegparamétert fognak tartalmazni.

1.5. Az atommagok tömegszerkezete

A fenti eredmények fenomenológiai szinten speciálisan az atommagokra is alkalmazhatók. Az atommagok kötését szemléletesen, igen egyszerűen értelmezhetjük a sajátimpulzus fogalmának ismereté-ben. Az atommag tömege és az egész atom tömege csak kicsit tér el, ezért itt valójában a semleges atom-tömegek szerkezetét vizsgáljuk. Az atommag külön vizsgálata az atom egy mesterséges szétválasztását je-lenti, ami sok esetben indokolt és előnyös is lehet. Maga az atom egésze azonban sokkal közelebb áll annak természetes állapotához. A tömeg szerkezetére vonatkozó általános megállapítások az atom nyugalmi tömegére vonatkoz-nak. A mérések szerint az atomok nyugalmi tömege jó közelítésben arányos az A = Z + N tömegszámmal, ezért feltehetjük, hogy a nukleonok mindegyike azonos mértékben vesz részt a kötési energia kialakításá-ban. Első közelítésben egy atom nyugalmi tömege a következő alakban írható fel:

( ) 0 0( ) ,M A Z N M A M≅ + × ≡ × (1.5.1)

ahol M0 az átlagos nukleon tömeget jelöli. Legyen az átlagos nukleon tömegszerkezete:

2 2 20 0 0 .M S R= + (1.5.2)

15/9


Tekintettel arra, hogy a két tömegparaméter fizikailag különböző, az A tömegszámú atommag esetén a tömegkomponensek csak külön-külön adódhatnak össze. Így tetszőleges atom tömegszerkezete közelítő-leg:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 20 0 0 .M A AM AS AR S R≅ = + ≡ + (1.5.3)

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőleges atom szerkezetére jellemző „tömegháromszög” az elemi tö-

megháromszög A-szoros nagyításának felel meg. A valóságban természetesen a fentiek csak közelítőleg teljesülnek, hiszen az atommagok kötése

tömegcsökkenésre (tömegdefektusra) vezet. Ez a tömegcsökkenés egyszerűen értelmezhető a tömegszer-kezeti képlet alapján. Az atommagok különböző állapotú protonokból és neutronokból állnak, ezért az (1.5.3) képlet a valóságban nem teljesül. A tömegszerkezet bevezetésével ugyanis az atommagokhoz for-málisan két-dimenziós, euklideszi metrikájú vektorokat rendeltünk:

( ) [ ]( ), ( ) ,A S A R A=M (1.5.4)

ahol a kísérleti (megfigyelhető) tömeg értelemszerűen:

( ) 2 2( ) ( ).M A S A R A= + (1.5.5)

Két atom fúziója esetén keletkező atom tömegvektora:

( ) [ ]1 2 1 2 1 2( ) ( ), ( ) ( ) .A A S A S A R A R A+ = + +M (1.5.6)

Az euklideszi vektorok tulajdonsága miatt a tömegdefektus egyszerűen értelmezhető:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 .M A A M A M A+ ≤ + (1.5.7)

Az atomok (atommagok) nukleáris eredetű kötése (erős kölcsönhatás) visszavezethető

a tömegszerkezetük euklideszi-vektor tulajdonságára.

Az atomok (atommagok) belső energiáját a sajátimpulzusaik határozzák meg, melyek egyértelműen kap-csolatban állnak az atomokat alkotó részecskék (nukleonok, kvarkok) kinetikus, illetve potenciális energiái-val. A nukleáris kölcsönhatás során, a magon belüli nukleonok sajátimpulzusai jelentős mértékben megvál-toznak, ami a fentiek értelmében, végső soron az atommagok különböző kötött (alap és gerjesztett) állapo-taira vezetnek.

II. RÉSZ. SAJÁTIMPULZUS: A DIRAC EGYENLET

2.1. Röviden a Dirac egyenletről

P.A.M. Dirac (1902-1984) Nobel-díjas angol fizikus 1928-ban, mindössze 26 éves korában találta meg az akkor még csak két éves Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosítását. Igaz, még 1926-ban maga Schrödinger, és mások is próbálkoztak a kvantummechanikai hullámegyenlet relativisztikus általáno-sításával (Klein-Gordon egyenlet), ami sajnos nem felelt meg a várakozásoknak (pl. a hidrogén atom spekt-rumát hibásan írta le, de más értelmezési nehézségek is jelentkeztek). A Klein-Gordon egyenlet a négyes-

15/10


impulzus komponenseket négyzetesen tartalmazta, a relativitáselmélet matematikájának megfelelően. Dirac észrevette, hogy a Schrödinger egyenletben az energia az első hatványon szerepel, míg az impulzus-komponensek négyzetesen szerepelnek. Dirac zseniálisan egyszerű módszert talált ki arra, hogy a relativisz-tikus hullámegyenletben a négyes-impulzus komponensek mindegyike csak az első hatványon szerepeljen. A sikerhez Dirac-ot a matematikus képzettsége nagyban segítette, ugyanis célkitűzését a nem-kommutatív

algebra (mátrixok algebrája) alkalmazásával valósította meg. (Egyébként maga az egész kvantummechanika a nem-kommutatív operátorokra épít: az impulzus, koordináta, pályamomentum, spin, stb. operátorai.) A Dirac egyenlet relativisztikus invarianciája már „ránézésre” is teljesül, mindemellett a hidrogén atom spektrumát (finomszerkezetét) is helyesen írta le. Ami leginkább meglepő és döbbenetes volt min-denki számára ebben az egyenletben, hogy inherensen (automatikusan) szolgáltatta az elektron-spint, amely a korábbi Pauli elméletben mesterségesen volt hozzátoldva a Schrödinger egyenlethez. A Dirac egyenletből lehetett következtetni az anyag kétféle megjelenési formájára, az anyagra és antianyagra. Az elektron antianyag párja a pozitív töltésű pozitron, amit először Dirac a protonnal azonosította. A Dirac egyenlet azonban az elektronnal azonos tömegű, de pozitív töltésű „elektront” jósolt, ilyen részecske azon-ban akkor még nem volt ismert. A pozitront 1932-ben fedezte fel Carl Anderson a kozmikus sugárzásban, de számos pozitron-sugárzó radioaktív izotóp is van. Az utóbbi felfedezése csak évekkel később történt a magfizika gyors fejlődése következtében. A Dirac egyenletet a fizika a mai napig a fermion részecskék (feles spinű részecskék) egzakt hullámegyenletének tekinti (igazán pontosan az elektronra, pozitronra, és feltevés szerint a neutrinókra érvényes egzakt módon).

Dirac 1930-ban megjelent A kvantummechanika alapjai (Principles of Quantum Mechanics) című műve a mai napig használatos alapvető tankönyv lett. Dirac 1933-ban megosztott fizikai Nobel-díjat kapott Erwin Schrödingerrel „az atomelmélet új hatékony formáinak felfedezéséért”. A Dirac egyenletet egyetemista korom óta ismerem és mindig óriási lelkesedéssel töltött el, lenyű-gözött Dirac kreativitása, az általa bevezetett matematikai formalizmusa, maga a Dirac egyenlet levezetése. A fizikához való matematikusi hozzáállás módszertani példája nekem is irányt mutatott, hogyan lehet iga-zán sikereket elérni a fizikában. Diplomamunkámat a Dirac-egyenlet egy egyszerű molekulafizikai alkalma-zásából írtam, a számításokat a kezdetleges „ODRA” számítógéppel végeztem (két szobát foglalt el, és lyuk-szalaggal volt programozható). Diplomamunkámat 1972-ben jelesen védtem meg a debreceni KLTE elméle-ti fizikai tanszékén. Végezetül sajnálatosan figyelmeztetnem kell a munkám kedves Olvasóit, hogy a Dirac egyenlet szépségének és jelentőségének igazi megértéséhez a speciális relativitás elemi ismerete és alapos kvan-tummechanikai tanulmányok „végigszenvedése” szükségeltetik. Ez hasonló ahhoz, hogy a komolyzenei művek igazi mély átéléséhez, nem is beszélve a színvonalas interpretálásukhoz sokéves zenei tanulmányok szükségesek. Mindazonáltal nagyon reménykedem, hogy műszakiak, matematikai előképzettséggel rendel-kező tanárok túlnyomó része tudja követni az alapjában véve egyszerű gondolatmenetemet.

2.2. A Dirac egyenlet relativisztikus alakja

A következőkben természetes fizikai egységrendszert használok, amelyben a fénysebesség, illetve a h-vonás Planck állandó egységnyi értékű. Ebből az következik, hogy a tömeg és energia szinonim kifejezé-sek. Amint azt említettem, az első relativisztikus kvantummechanikai egyenlet még a kvantummechanika születési évében, 1926-ban felírásra került, ez a Klein-Gordon egyenlet:

2 ,g mµνψ ≡ ψ = ψµ

µ µ νp p p p (2.2.1)

ahol p a négyesimpulzus operátora, m a részecske tömege és ψ a Schrödinger-féle anyaghullám függvény. A μ, ν indexek négy értéket vehetnek fel, szokásos jelölésük: 0, 1, 2, 3. Az Einstein-konvenció szerint az alsó és felső index-párokra összegezni kell.

A gμν

metrikus tenzor a relativitáselmélet alapvető tenzora. A relativitáselmélet a négydimenziós „téridőre” épül, így a metrikus tenzor formálisan egy 4 x 4-es mátrixba foglalható. A speciális relativitásel-

15/11


méletben a metrikus tenzor egyszerű alakú (görbületmentes téridő), azaz mátrix alakban felírva csak a főát-lóbeli elemei különböznek nullától:

1

1

1

1

g gµνµν

− ≡ = − −

(2.2.2)

Szokásos a speciális relativitásban a metrikus tenzor „szignatúráját” felírni, ami jelen esetben a főátlót szimbolikusan jelöli: (+ - - -). A négyes-impulzusra megkövetelt egyenlet a megadott metrikus tenzorral:

2 2 2 2 2 ,x y zp p p p g E p p p mµ µν

µ µ ν≡ = − − − = (2.2.3)

ahol E a részecske energiája, a p-vel jelölt mennyiségek pedig az impulzus hagyományos koordináta kom-ponenseit jelölik. A (2.2.1) Klein-Gordon egyenlet (sajátérték-egyenlet) a (2.2.3) követelmény kvantumme-chanikai alakja. A Klein-Gordon egyenletet rögtön a felírása után megoldották a hidrogén atom elektronjá-ra, amelynek végeredménye nem egyezett a hidrogén atom kísérleti spektrumával. Jóval később kiderült, hogy ez az egyenlet a hidrogén atom „egzotikus” változatára, a pi-mezon atomra sikerrel alkalmazható. A „pi-mezon atom” a hidrogén atom rövid ideig létező változata, melynél a proton körül az elektron helyett egy negatív töltésű π-mezon részecske kering. A Klein-Gordon egyenletet ma a zérus-spinű mezon-részecskék egzakt relativisztikus hullámegyenletének tartják. Dirac célja az volt, hogy a (2.2.1) hullámegyenletnek olyan változatát írja föl, amiben a négyes-impulzus komponensek az első hatványon szerepelnek, mivel a sikeres Schrödinger egyenletben az energia első hatványon szerepel. A matematikusi vénájából következő gondolata egyszerűen az volt, hogy vonjunk gyököt a (2.2.3) négyzetes relativisztikus követelményből. Hogy a végeredmény megőrizze a formálisan relativisztikus alakot, tagonként kell gyököt vonni. Dirac számára matematikusi vénája miatt ez nem oko-zott problémát, a (2.2.3) egyenlet négyzetgyökét a következő alakban írta fel (bocsánat, hogy kissé eltérek a pontos történettől, de a lényeg ugyanaz):

0 1 1 2 2 3 3 ,p p g E p p p mµ µνµ µ νγ ≡ γ ≡ γ − γ − γ − γ = ± (2.2.4)

ahol a gamma négyes-vektor elemei mátrixok (nem-kommutatív algebra elemei). A gyökvonás „próbája” a négyzetre-emelés:

( )2 2.p p p p p g mµ µ ν µνµ µ ν µ νγ ≡ γ γ = = (2.2.5)

Ebből első látásra az következne, hogy gµ ν µνγ γ = , de ez a feltétel nem teljesülhet, ugyanis a gamma mát-

rixok (Dirac mátrixok) nem kommutatívak, és így nem teljesülhet a metrikus tenzorra megkövetelt szim-metria:

.g g g gµν νµνµ µν≡ ≡ ≡ (2.2.6)

A Dirac mátrixok kombinációja (szimmetrizálás) viszont már kielégítheti a (2.2.6) feltételt:

( ) / 2.gµν µ ν ν µ= γ γ + γ γ (2.2.7)

Mindezek ismeretében már felírhatjuk Dirac relativisztikus hullámegyenletét:

15/12


.mµ± ±γ Ψ = ± Ψ

µp (2.2.8)

amely feles spinű részecskék egzakt relativisztikus kvantummechanikai hullámegyenlete (sajátérték egyen-let). Meg kell jegyezni, hogy ebben a formában nem szokás felírni, ugyanis a fizikában a negatív tömeg nem értelmezett. Dirac is szembesült a problémával, amit a Dirac-féle „lyukelmélettel” oldotta fel. Ennek részle-teibe nem megyek bele, csak annyit említek, hogy a negatív tömeget egy ellentétes elektromos töltésű, de pozitív tömegű részecskével lehet azonosítani. Elektron esetében a negatív tömegű megoldás a pozitív töl-tésű, de az elektron pozitív tömegével hajszálpontosan megegyező pozitron részecske létezését jósolja, amelyet később meg is találtak (C. Anderson, 1932). Nincs azonban gond a fizikában a negatív energia fo-galmával, így a pozitron nyugalmi energiáját negatívnak tekintjük (E0 = -mc

2). A negatív nyugalmi energiájú részecskéket antirészecskéknek nevezzük. Az antianyag antirészecskékből épül fel. Az érdekesség kedvéért meg kell említeni, hogy kezdetben, érthető módon Dirac is értelmezési bajban volt, ezért először a relati-visztikus egyenlet által megjósolt új részecskét kényszerűségből a protonnal azonosította. A Dirac mátrixok legegyszerűbb alakjai a Pauli-féle spin-mátrixokból épülnek fel, ami a Dirac egyen-let feles spint is magába foglaló tulajdonságát mutatja, óriási meglepetésre. A Dirac mátrixok részleteiről a Függelékben számolok be. A Dirac mátrixok legegyszerűbb reprezentációi a (2.2.8) sajátérték egyenletek-ben 4 x 4-es mátrixok, emiatt a hullámfüggvények szükségszerűen négykomponensű vektorok alakjában írhatók fel. Fontos megjegyezni, hogy a Dirac hullámfüggvények nem a relativitáselméletben definiált né-gyes-vektoroknak felelnek meg, mivel nem a Lorentz transzformáció szerint transzformálódnak. A Dirac hullámfüggvényeket bispinoroknak nevezik, és Lorentz transzformáció esetén (áttérés másik inercia-rendszerre) a bispinorok is transzformálódnak, de a négyes-vektoroktól eltérő módon. A részletekkel itt nem érdemes foglalkozni, mivel azok pontosan megtalálhatók a szakkönyvekben. A hidrogénatom spektrumát a Dirac egyenlet nagy pontossággal képes leírni, bár 1948-ban piciny eltéréseket mértek, amiben először nem igazán hittek az elméleti fizikusok. De a mérések pontosak és megbízhatóak voltak, így a Dirac egyenlet „piciny szépséghibáját” korrigálni kellett. A parányi hiba okát a fizikusok abban vélték megtalálni, hogy a Dirac egyenlet nem veszi figyelembe az elektromágneses tér kvantumos tulajdonságát. Az elektromágneses tér kvantumelméletével (QED-vel) sikerült ezeket a kis elté-réseket értelmezni és nagy pontossággal kiszámítani. A klasszikus elektromágneses teret a speciális relativitáselmélet képletével veszi figyelembe a Dirac egyenlet:

( )µ,qA mµ

µ ± ±− γ Ψ = ± Ψp (2.2.9)

ahol q a fermion részecske töltése (elektron esetén q = - e, az elemi töltés negatív előjellel) és Aμ az elekt-romágneses tér (EM) ún. vektorpotenciálja. Dirac először nem merte felvállalni ennek az egyenletnek a megoldását a hidrogén atomra (talán a Klein-Gordon egyenlet kudarca élt benne), a feladatot egyik mate-matikus barátjára bízta. A (2.2.9) egyenlet megoldása a hidrogén atomra szerencsére teljes sikerre veze-tett, ami megalapozta Dirac Nobel-díját.

2.3. A Dirac egyenlet általánosítása

A Dirac egyenlet mindent elsöprő sikere azzal, hogy automatikusan értelmezte az elektron-spint, és ezzel együtt az elektron mágneses momentumát, szinte vallásosan hittek a fizikusok a Dirac egyenlet fizikai egzaktságában, míg 1947-ben rádiófrekvenciás méréssel eltérést fedeztek fel a hidrogén atom spektrumá-ban (Lamb shift). Aztán az is kiderült, hogy az elektron mágneses momentuma sem egyezik pontosan az elmélettel, nem is beszélve a nukleonok jelentős „anomális” mágneses momentumairól.

A rövidesen kialakult, általánosan elfogadott álláspont szerint az anomáliák oka az, hogy a Dirac egyenlet nem veszi figyelembe az elektromágneses tér kvantumos tulajdonságát. A megújult figyelem Dirac által még az 1920-as években megalapozott kvantumelektrodinamika (QED) felé terelődött. A „kovariáns” kvantumelektrodinamika kidolgozását a következő években Tomonaga, Schwinger és Feynman végezték el, „értelmezve és kijavítva” a Dirac egyenlet „anomáliáit”, és ezzel Nobel díjat érdemeltek ki 1965-ben. Dirac

15/13


1977-ben járt másodjára Budapesten, (1937-ben először, felesége Wigner Jenő húga volt) amikor az egyik előadásában kifejezte elégedetlenségét a kvantumelektrodinamika „renormálási” eljárásaival kapcsolat-ban. Mind a mai napig sok fizikusnak sem szimpatikus a mai kvantumelektrodinamika, de furcsa módon, a QED számítások nagy pontossága elsöpörni látszik a bizalmatlanságot. Felmerül a kérdés, hogy a felismerésünk, miszerint a tömeg valójában kétparaméteres, milyen ha-tással lehet a Dirac egyenletre, hogyan módosítsuk azt két tömegparaméteres változatra. A következőkben ezt vizsgáljuk meg. A Dirac mátrixokra érvényes a jelen munka szempontjából fontos összefüggés:

0 0 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 4.gµ µνµ µ νγ γ ≡ γ γ ≡ γ γ − γ γ − γ γ − γ γ ≡ + + + = (2.3.1)

A gamma mátrixok ezek szerint olyan négyes-vektort alkotnak, melynek a hagyományos impulzuskompo-nensei tiszta képzetes egységnek (i = a képzetes egység: i2 = -1) felelnek meg. Az I. Részben a sajátimpulzust úgy vezettem be, mintha azoknak képzetes komponensei lennének. A Dirac mátrixok tehát éppen a saját-

impulzusnak egy lehetséges reprezentációját képviselik. Ugyancsak az első részben kihangsúlyoztam, hogy a sajátimpulzus nem a részecske térbeli mozgását jellemzi, hanem a részecskének egy olyan belső mozgá-sát, amely a részecske belső szerkezetéhez kapcsolható kinetikus energiát jellemzi és hozzájárul a részecske megfigyelhető (kísérleti) tömegéhez. A sajátimpulzus fogalmát a „pluszos” relativitáselméletben értelmez-tem, amelyhez rendelhető szignatúra (+ + + +), amely az ismert háromdimenziós euklideszi tér négydimen-ziós változatának felel meg. A „mínuszos” speciális relativitás geometriáját pszeudoeuklideszi térnek szokás nevezni, melynek szignatúrája (+ - - -). A „pluszos” relativitáselmélet metrikus tenzora értelemszerűen (a nem jelölt elemek zérusok):

1

1

1

1

G Gµνµν

≡ =

(2.3.2)

A „pluszos” relativitásban a sebességnek nincs felső korlátja, tehát a fénysebességnek sincs felső korlátja. A sajátsebesség, illetve a sajátimpulzus a részecskéhez rendelhető belső fizikai jellemző, a spinhez hasonlóan. Az elektron spin mérhető mágneses momentummal is jár, melynek ismeretében kezdettől fogva naiv szá-mítások is történtek. Ezek a számítások az elektron „kerületi sebességére” a fénysebességnél nagyobb ér-tékre vezettek. A klasszikus fizikai kép alapján végzett számítások ugyanis eleve kudarcra vannak ítélve, mivel az elektron a valóságban nem egy gömb alakú képződmény (nem golyó), hanem egy elképzelhetetlen „hullámcsomag”. Az elektronról képet, szobrot senki sem tud alkotni, ezért elképzelni sem tudjuk. Az elekt-ron paraméterei (tömeg, töltés, spin) csak matematikai formában jelennek meg a fizikai egyenletekben. A matematikai modell által szolgáltatott adatokat a mérési eredményekkel összehasonlítva (a színkép spekt-rum alapján) tudjuk megítélni magának a modellnek a sikerességét. A Dirac egyenlet általánosított (két tömegparaméteres) alakjára a következő feltevéssel éltem:

2 ,MΨ = Ψµ

µD D (2.3.3)

ahol aµ

D operátor:

.k µ= + γµ µ

D p (2.3.4)

Itt k valós, tömeg dimenziójú paraméter. A (2.3.3) egyenlet részletesen:

( )2 22 ,k k Mµ µµΨ = + γ + γ γ Ψ = Ψµ µ

µ µ µD D p p p (2.3.5)

ahol figyelembe vettük:

15/14


.µ µµγ ≡ γ ≡ γ µ

µ µp p p (2.3.6)

A hullámfüggvény elégítse ki a Dirac egyenletet:

,mµγ Ψ = Ψµ

p (2.3.7)

ahol itt m a másik tömegparaméter a k mellett (m = bázistömeg). Teljesül a Dirac egyenlet „négyzete” is:

2 .mΨ = Ψµ

µp p (2.3.8)

A (2.3.1) ismeretében:

2 24 .k kµ

µγ γ Ψ ≡ Ψ (2.3.9)

Mindezek alapján a (2.3.3) kétparaméteres hullámegyenlet egy algebrai egyenletre vezet:

2 2 22 4 .M m mk k= + + (2.3.10)

A fizikai kölcsönhatások interferencia elmélete alapján bevezetjük a következő jelöléseket:

2 2 2

2 2 2 2

;

2 ; 4 .

M S R ahol

S mk R m k

= += = +

(2.3.11)

Speciálisan, az elektron (pozitron) esetén a sajátimpulzus elhanyagolhatóan kicsi a kísérleti tömegnél, ami magyarázza az eredeti Dirac egyenlet sikerét:

2 2 .S M k m⇔≪ ≪ (2.3.12)

A kicsiny, de nem zérus sajátimpulzus vezet az elektron rendkívüli stabilitására (nem bomlik tovább, mint a müon, vagy a tau lepton). Ugyanakkor mivel a bázistömeg parányival kisebb a kísérleti tömegnél, ez önma-gában magyarázza az elektron anomális mágneses momentumát. (Az elektron mágneses momentuma az elektron bázistömegével fordítottan arányos, mely abszolút értékben nagyobbnak adódik, mintha a kísérle-ti tömeggel számolnánk.)

A nukleonok jelentős anomális mágneses momentuma könnyen értelmezhető m és k megfelelő megválasztásával. Fontos megjegyezni, hogy a kétparaméteres általánosított Dirac egyenlet részletesebb vizsgálata a jövő feladata lesz.

2.4. Függelék

A Dirac mátrixok (Dirac bázis)

0 1

1 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

γ = γ = − − − −

2 3

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

i

i

i

i

− − γ = γ = − −

15/15


A gamma-5 mátrix (Dirac bázis)

5 0 1 2 3

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

i

γ = γ γ γ γ =

A gamma-5 mátrix pszeudoskalár. A relativitáselméletben a skalárok nem transzformálódnak, a töltéshez és a nyugalmi tömeghez hasonlóan. A pszeudoskalár elnevezés onnan származik, hogy tértükrözés esetén gamma-5 előjelet vált. A tértükrözés a három térkoordináta tükrözését jelenti:

( )5 5

: ( , , ) ( , , );

:

P x y z x y z P paritás operátor

P

⇒ − − − =

γ = −γ

A gamma-5 mátrix fontos tulajdonságai:

( )25 5 5 5 5 5 51; ; ; + µ µγ = γ = γ γ = γ γ γ = −γ γµ µ

p p

Mivel a gamma-5 operátor négyzete 1, a sajátértékei ±1. A felsorolt Dirac mátrixok, illetve azok izomorf reprezentációi a négydimenziós bispinor tér operátorai.

Irodalom

Albert Einstein: A speciális és általános relativitás elmélete. Gondolat, 1963. Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, 1964. Albert Einstein: Válogatott tanulmányok. Gondolat, 1971. E. F. Taylor, J. A. Wheeler: Téridő fizika. Gondolat, 1974. L. D. Landau, E. M. Lifsic: Klasszikus erőterek.

(Elméleti fizika sorozat, 2. kötet). Tankönyvkiadó, 1976. Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete. Gondolat, 1986. Hraskó Péter: Relativitáselmélet. Typotex, Bp., 2002. J. Norwood: Századunk fizikája. Műszaki Könyvkiadó, 1981. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Mai fizika. Műszaki Könyvkiadó, 1970. J. B. Zeldovics, A.D. Miskisz: Az alkalmazott matematika elemei. Gondolat, 1978. Nagy Károly: Elektrodinamika. Tankönyvkiadó, 1968. Modern fizikai kisenciklopédia. Szerk.: Fényes Imre, Gondolat, 1971. http://www.lightandmatter.com/books.html http://www.motionmountain.net/index.html

a speciÁlis relativitÁselmÉlet kiterjesztÉse update: oct. 2012

Documents