a robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

20
A robust integration-algorithm for a ®nite-strain shape-memory-alloy superelastic model Ferdinando Auricchio * Dipartimento di Meccanica Strutturale, Universita Á di Pavia, Via Ferrata 1, 27100 Pavia, Italy Received in ®nal revised form 3 June 2000 Abstract An interesting feature of shape-memory alloys (SMA) is the superelastic eect, that is, the ability to undergo large deformations in loading±unloading cycles without showing perma- nent deformations. Due to this macroscopic behavior, not present in traditional materials, shape-memory alloys are exploited in innovative applications, often requiring the use of design tools. The present work proposes an ecient and robust solution algorithm to be used during the design of SMA-based devices through the use of classical computational tools such as the ®nite element method. To reach this goal, we review a constitutive model able to reproduce the superelastic behavior at ®nite strains. We then discuss a solution algorithm for the corresponding time-discrete model. Cast within the return-map family, the adopted approach pays particular attention to the overall algorithmic robustness and to the possibility of an ecient implementation. To properly test the proposed approach, we start solving a series of severe one-dimensional tests. We then also simulate a complex three-dimensional problem, relative to an orthodontic archwire. # 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Shape-memory alloy; A. Phase transformation; B. Finite strain; C. Finite elements; C. Numerical alorithms 1. Introduction At the macroscopic level shape-memory alloys (SMA) present the so-called super- elastic eect (SE). In fact, under loading±unloading cycles Ð even up to 10±15% strains Ð the material shows distinct plateaux during the loading and the unloading International Journal of Plasticity 17 (2001) 971±990 www.elsevier.com/locate/ijplas 0749-6419/01/$ - see front matter # 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0749-6419(00)00050-4 * Tel.: + 39-0382-505-476; fax: +39-0382-528-422. E-mail address: [email protected]

Upload: ferdinando-auricchio

Post on 04-Jul-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

� ������ �������� ��������� ��� � ��� ��������� ����� ����� ���������� ����

������� ��������� �

���������� �� �� �� � ������������ ���������� �� ������ ��� ������� �� ����� ������ �����

����� � ��� ����� ���� � �� ����

��������

� ������� ����� �� ����� ����� ����� � !�" �� �� ����������� #��$ ���� ��$ ��

������� �� ����� ���� ���������� � ������%������� ����� &������ ���&�� ���� � ����������' (� �� ���� ����������� �������$ �� ���� � ���������� ��������$���� ����� ������ �� )������ � ������� �����������$ ��� �*����� �� �� ��

���� �����' +� ���� &��, ������� � -��� �� ������ ������� ��������� �� � �������� �� ���� �� !� ���� ����� ������� �� �� �� ��������� ������������ ����� ������ �� ��� ��� �����' +� ���� ���� ����$ & ���& � ���������� ���� ��� ��

������� �� ���������� ������� �� ��� ������' . �� ������� � ������� ��������� ����� ���������� ��� ������ ����' /��� &���� �� ���� ��� ������$ �� �������������� ���� ���������� ������ �� �� ������ ����������� �������� �� �� �� ������������� � -��� ����������' +� ������� ��� �� ������� ��������$ & ����� ������ �

���� �� ��� � �������� ����' . �� ���� ������� � �����) ��� ��������������$ ������ �� � ���������� ����&��' � ���0 1����� ��� 2��' ��� �����������'

!��"���# ��� ����� �����3 �' 4��� ������������3 5' ���� �����3 /' ���� ����3 /'

6������� ���������

� ���� ������

�� �� ����������� ��� ����� ����� ����� � !�" ���� �� �� ����� ����� ������ �$� � � 1"' 7 ����$ ��� ������%������� ����� 8 � �� �� 0�%09:������ 8 �� ������� ���&� ������� ������) ����� �� ������ �� �� �������

7�������� ������ �� 4��������� 0; ����0" <;0%<<�

&&&'�����'���=�����=�>����

�;?< @?0<=�0=A � ���� ����� � ���0 1����� ��� 2��' ��� ������ �����'

47 7 B �;?< @?0<��� "���9� ?

� +�'B C �< ��D� 9�9 ?;@3 ��)B C�< ��D� 9�D ?��'

% ���� �������# ���������E����'��

Page 2: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

������ ����� ��$ � ���# ���� ���# ���� ��� ���� �� ������ �� �� �������"$�������� ����� �� � ����� ����������'(� �� ���� ��������� ����������� �������$ �� ���� � ���� ����������

��������$ ���� ����� ������ �� �� ����� ��� ������� �����������$ ��������� ���������� &��� �� ��� )����� ����� ��������� ��� �� ������ �� �����& ���� �� ���� ����� ��������� �(���� � ��'$ 0<<�3 4��� � ��'$ 0<<9$ 0<<;"'�� ��&���$ �� ����� ������� ��� ��� >���������� � �� ������� ����� ����

���' 7 ����$ ���� ����� ������ ���� ������� ��������� ���� �������������$���� ��$ �����%����� ��#������� ������������� ��& � �������������������� ��� ����� ����$ �� ��������� �� � �������������������� ��� ����� ����$ ������������.���� 0<@?3 F���������� 0<D�"' �� ������ ��������$ �� ������ ����������� ����� �� ����� ����� �����$ &��� �� ������� �� ����� �� ��&� ����������'7� ��� �� � ������ ������� ��� �� ������� �� �� ������������ �� ��

���������������� ���$ �� ������� ��,� ������� �� �� )���� �� ��#��������� ����� ����$0 ������ � ���� �� �������������������� *������ �������'+� ������� ���� �� �� ���� �������� ������ ��������� �� �� ���������G� ��� �"��� ��������'H �� ���� ���$ �� ��� �� � ������ ������� ��� �� ������� �� ��

������������ ���� ��������� &��� � ���� �� �����"$ ��� �� ��������� ���������� �� � ����� ���� �� ���� �������� ����� ���' +� ������� ���� ���� ���� ��&�� ������ ��������� �� �� ���������G� �� � ���"��� ��������'�������� �� �� )���� �� ��#�� ���� ������ ������� �����$ �� ��

����� �� � ���� ������ ������� ��� � ��#�� ������ �� �������' ��� ��������$ ,�& �� ��������� �� ���� �� � ���� ������� �� ����� ��� ������ ���� ������������$ ��������� �� � � ����������� ���� �� �����'�� ���������� � ���� ���� ���������$ �� !� ������� ����� ������� �� *���

�����)'!�����$ �� �� �� ������� ������������� �� !� ���� �����$ ��� �� ����&�� � ��� #���� ������������ ����� ��� �� ������� �� ���� ������'����������$ �� ���� �� �� ���� ���� �� �� � �� ������� �� �������� �

& ���������� ���� ��� ���� ����� ��������3� � ����$ �� ������ � ��������� �� � ������ �� -��� �������� ��������� ��� � ���� ����������������� � �� �������� ���������� �� +�����$ 0<<;"' +� ���� ���� ����$ ����� ���&� �� ��� �������� ����&��, �� �� ������ ����$ �������� ���������� ����������� �� ���������� ����� �� � ���������� ������������ ���� ����' ���� � �������� �� ���� ��� �������� �� �� ����������� ���� ���$ ������ &��� �� ������� ���� �� �� ����' ������$ ���� ? ���� ��������� �������� � � ���� �� ��� � �������� ���� �� � � ��� ��� ��) ��� �������� ������'

0 5� ������$ �� ��'�� ���� �� �� ������ ��� ��& �� ������ �� �� ������� ����� �

���� ������� ������������ �.����$ 0<@?3 F����������$ 0<D�"'� .������ � �������� �� � )�������$ �� �����&�� ����� �� � ��, �� )����� � ��

������ �� ���� ����� ����� ���������� ������� �4����� � ��'$ 0<DD3 �������$ 0<D<3 5����$

0<<�3 5��� �� 2�������$ 0<<@3 2����* �� 2)����$ 0<<@"'

<;� �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 3: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

� � ������������ ������������ �� ��

. �& ���� � ���������� ���� ��� �� ������ �� ���� ����� ��������������� �����' +� ���� ������ �� ����� ���� �� � �������� ���������� �� +����� �0<<;" � �� ����� �� ������� &��, ����������$ 0<<93 ��� ������ � ��'$ 0<<;"' I�&��$ �� �� & ����������� �� ����������$ & ����� �� ����� �� ���� � � ������ &���� ��� ��� ���������� ��� �� ��� ���� �� � ������ ��� ������ ������� ���������'

�(�( 1��� �� ������ �����'���

. ����� �� ��������� ������$ �$ �� �� ������ �������$ �� �� ���� ��� �������$ ��$ �� �� ��� ������ ����� �������' . ���� ������� � ����� �������� ����������� �� � � �� ����B

� � ����� ���

&�� �� �� �� ������ ���� �� ��� �� �� ���� �������� ����' � ���$ �� ������������� ����� �������� � 1*' �0" �� ��� ������$ � �� ��

���� ��� �� � ��� �� �� *���� �� �� ��������� ������ ������� �� �������� ���������� ����� ��$ ���J���"�0 �" �� �� �� �� � ������$ �� &�� ������� �� �� ����� ������� ��$ �� �������� � ���� �'?'. &��� �� ����� ���� � ������������� ����� �� �� ��������� ������ � ��

���� ����� � 1*' �0" �� ������� &��� � ���� ���� �� �� �������� � ��� ��������� ������� ����� �2$ 0<@<3 !���$ 0<;?"' 7 ����������$ � ���& ������������ � �� ������������� ����� ���� � ������������ ���� �� ��& �� ����� � ��� �� !���, �0<<�"$ ��� �0<<�$ 0<<D$ 0<<<"'

�(�( %����� ��������� �2����

������� � ��������� ������ �����$ �� F������# ����� � �� �� ������ ���/�����%K� ���� ��$ ��� ��B ��J�����3$ ���� �� ��� �������� ��������'����������$ �� �����&�� ������� ������������ �� � �������� �K����$0<D0"B

� ���)�0

�)�) � �)

� ���)�0

�)�) � �)

�� ���)�0

��)

� ���) � �) ���

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <;�

Page 4: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

&��� ��) �� ������ �������� �� � �� ��������� ���� �� �$ �������� �� �� ������B

� � ��� � ���

&�� � �� �� ���� ���� ������ ����$ � �� �� ������$ ��� �� �J����"=�$�� ���" �� �� ���� �������'(� �� �� �������� ���������$ �� ������� �� ��� � �� � ��������� ���

��� �� ��$ ��$ �� �� � )����� � ���� �� ��)

� ��B

� � � ��)

� ��� ����

+� F������# ����� ������� &���� �� � ��� ��B

�) � ���

� ��)

� ��� � ��)

� �� ���

7�������� �� ������ ����� +� �� �� ��������� ������ ������� ���)B

+� � ��0�

���

��� ���) � �+���0

���) ���

�� &�� �� �� ���������� ����������� *�������B

�� � ��+��� ��) � �����)� ���

& ����� � �� ��� ������� � � ��������� �� � ��������� ����������$ �������&�B

� � ����� � 4���)� �

0

�!���� � 5

��)�0

��)

� �� ���

&��� ! �� 5 �� ���, �� �� ���� ������ ������$ ���������' I�$ )�������1*' �9" �� ������� 1*' ��"$ & ���� ����B

�) � � � �) � �

&���B

� � !��� �) � �5��) ����

� +� *������� ��) ������ � ����� ��� ������� �� LL������ �������� �������MM' I�&��$ ��� �

��� �� ���������� ����������$ & &��, � �������� ��������$ ��� ������ & ���� �� &��� LL��������MM'

<;? �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 5: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

�(6( ����� ����,������ �� � ������ �����

. ������ �&� ���� �������������B �� ������� �� ������ ��� ��������)�" �� �� ������� �� ������� ��� ������ ��)"' +� ���� �� ����������� ������������ ������ ���� �F�,����� � ��'$ 0<<�"$ & ������� �(���,�%4���� ��� ������ ������B

��� � � � � ��� ����

&�� � �� � ������� ������� �� NN'NN ������� �� 1������ ���$ ���� ����B

� ���)�0

�)� ��� 0��

����

7������� ��������� � ��� &��� � �������� ���$ & ����� �� �����&�� ��������� ��� �� ������� �� ��B

�� � 7)��0� ��� �

� � 8)��

����

�� � 7�)��

� � 8�),

����

&��B

8)�, � )�

,

�� �

� � � 8�)

, � �),

�� �

� � ����

&��� )�� � )�

, � �)� � �)

, ������� �������' +� ������ *������� 7)� �� 7�)

��� �� ���� ������������ ��������� �������� 8 ��$ ����&�� �� �������& 1*�' �0�" �� �0?" 8 �� ��� �� ��� �� �� �������B

7)� �0

��8)�

� � � � 8)�,

�� �

��������

����� ����

7�) �0

��8�)

, � � � 8�)�

�� �

��������

����� ����

&��B

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <;9

Page 6: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

8)�� � )�

�� �

� � � 8�)

� � �)�

�� �

� � ����

�(9( ����� �� ������

+� ��� ������ & ����� � �� ������ �� �� ������ ��& �� ������������ �� �� �� ������������ ���� �� �� ��������� ������ ���' +� �� ��$�������� �� ������������ ��� /�����%K� ���� ���$ ��� ��B

��� � �������3 �� �

& ����� ��� ��� �� ��� ������� ����������� �� ��� � �� �B

��� ���)�0

���)

� ���) � �) ����

����������$ & ��� ����B

� � ��3 � ����� � ����� ������B

� ���)�0

�)� ���) � �) ����

7�������� �� ����������� ������B

) � ���)�� �) � � ��)

� �� ��) � � ���

)

� � ����

& �� � ������� ����������� ����� �����������B

) � �) � ��) ����

&���� �� � �&���� � ���� �� �� ��������� �� ��������� *������� �� �����&�B

� � �� � ��� � �) � ��) � ���

) ����

&���B

� � ��+� � �) � � ��)� �

��� � ��+��� � ���) � � ����)

� �+ � �0���� � ��) � �+��0

��)

+�� � ���0 �

��� �

��� � ����) � �+����0

����)

����

<;@ �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 7: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

������$ & ��B

��) � :��;) ����

&�� �: �� � ������ ������� ������� �� ��)���� ���������$ ����������� �� ��&��� �� �� ������� ������ �������' !�����$ ��������� ��������B

<) � � )� ����

�� )����� �� ) ������ ���� � ���� � �����$ & ���B

;) � � )� � ��

��

� �����)

� �� ���) � ) � � �� �

&���B

) � �)� ����

7� �� ������� �� ����� ����$ ������� 1*�' ���"$ ���" �� ��;"$ �� ����������������� ��� �� ����� �� ��������� �� ��������� ���������� �� �� �� ����� ��������� O�& ����� �� ����������' I�&��$ & &��� �� ����� ����$ ���� �� ���$�� �������� ��& � O�& ���������� ����� �� �� ������� �������� ��� ��������� � ��������� �0<<9" �� � ��������� � ��' �0<<;"' !�����$ �� ��>��>���������� �� �� ������� �������� �� � ���� � �� ��#�� ������� ����������� ������� O�& ����� �� ��������� ������������� �� ����������$ � ������� �� ��������� ������� ��� �� ��������� �������"'������$ ������� 1*�' �0�"$ ��9" �� ��;"$ & ��B

� � !�� � �� :��� ����

�) � �5 �) � :��)� � ����

�(=( 8����>� �� ��2��� ���? ����

. �& ���& ���� �� �� ������� �� ��������� 1*' ���" � � *������ ��� ����������$ ��� ������� ��� � ������ ����������� �������$ �� �������� � ���� �'/������ 1*�' ���" �� ���"$ & ��B

� � �5 :��� �) � �5�) ����

�� ���� ����B

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <;;

Page 8: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

� ��

:����

�5 � � ����

& ������ ����B

� � �5 :��� � � �5 � ����

��B

) � �)���� �)

� ����

����������$ 1*' ���" �� � �&���� ��B

�) � �5 �) � :���)� � ����

7� �� &���� ������G�� �� ��#�� ��& 1*�' ���" �� ��;"' 7 ����$ � ������ �� � ����� ���� ������ �&���� �� �� ��� �� ��������� �������� ���������"$�� ����� ��� ��� �� 1*' ���" ������ �&� �,�&�$ �'' ) �� ��3 � �� �������$ �� ����� ��� ��� �� 1*' ��;" ������ ��� � �,�&$ �'' �� ��� ��*������ �) �� � ����� ������� � ���� �� �� ����� �������'

� ����� ������� �� �� �� �������� ���������

. �& ������� �� �������� � ��� �� �� ���� ������� � �� ������������$ ������ &��� � ������ ������� ���������'? . ������ �� ����� �� ���� �� ���� �� �� ���� ������� &��� �� ��� ������ ���������'

6(�( 3��� ��� ���� ����

+� ��� ������ ���� �� ������ �������� �� ��� �������� ���� ����� ��� ������ P�$�Q3

9 � ����������$ & �� � ���,&��� 1��� �������� ���������� �� ��� *������$ �������� ��� �� � ��� *������ �� ��� �' ����������$& ��B

� � ! � � �� :��� � ����

? +� �������� �� ������ �� ������� ���� ��� �� *������� �� ����� ���� �� �������� ��������$

���� �& � & & �� �� )������ �� ������� �� ����� ������ ����� �� �� �������� ��������'

����������$ � ���� ��� ���� &��� ������ � ��� ������ �����3 �� � )����$ ��� �� ����

����� �$ <) ������� ��� ) �� ������ &��� )J0$�$�$ �''B <)J�N)'9 +� �����G �� ������� �� ����������$ �� ��������� ������� � *������ ���� �� ������� ��

��� �$ &��� � ��������� ������� � *������ ���� �� ������� �� ��� �$ &��� �R�'

<;D �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 9: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

� � �5 �� :�� � � �� �

&���B

� �

� ����

.���� � ������� ���� �� ������ ��������$ �� ��� ������ ����������*������ �������G ��B

�)� � � � 8)�,

� ��� � 7)��0� ��� � � �� � � � ����

��) � � � 8�),

� ��� � 7�)�� � � �� � � � ����

&��B

�� ���

���� � �� � ��� ����

+� *������ � �� � ������� )������ � �� � ������ �� �� �� �*����� ������������� �� �� ������ *����� ������ �� �� ���������� ����� ���� ��������'7� �� ���� ������� �� �� ����$ �� �� �� ����� ��� ����� �� �� ������

��� �� �&� ���� ���������$ 1*�' �0�" �� �0?" �� � ����� ������� � ����� �������������� �� 2�����$ 0<<;"' I�&��$ & ���� �� ���� �� ������� �������������� � ��������� �������� ���� � ���$ ��� ���� �������� ����� � � ����G� �� ��� �����) ���������$ ���� �� �� ��� �� ������� ���� ���������'

6(�( ����� ��&�����

/������� �� ��� ������ ������ �� ��������� ����$ & ����� �� ,�&�� �'' �� ��������� ������ �� ��� �$ �� &�� �� � �� ����$ �'' �� ��������������� �� �� ������� ������� �� ��� �'+� ������� ������� ��������� �� � ���� &���� �� ���� ��� ������' 7�������

������� ��� ���������� �!��� �� ��,$ 0<@?3 .��,��$ 0<@?"$ ���� �������� ��� ������ -��� �� ������ ������� ��������� ���� � � ������������ �� �� ���������� *������ � ��� �� I����$ 0<<D3 ���$ 0<<<"'�����&�� �� ���� ��� ����������$ �� ������ ��������� ������� �� �&�

�����' 7�������$ � ������ ����� �� �� ����� ����� �� �������3 ��$ �� �� ����� ����������� �� ���������� ����$ � ������� ��� �� �� ������� ���� �� ��������� �� � ������ �������' +� ������ �� �� ��������� �� ����� � +��� 0&��� � �� �����&�� & ����� � ��� � ������� ������'+� ������ �� ����� ����$ & ����� ���� � �� ��� ������ P�$�Q ��� �� �

������� ������� �������' ����������$ �������� �� ����� ����� &��� � ���� ������ 38$ & ��B

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <;<

Page 10: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

�38� � �

�38 � !�� � �� :�����38 � �5��� :��� � ����

. ��� ����� ���� 1*' �??"� �� � �&���� ��B

�38�� ���38 � �5 � � :���

� �� ����

&�� & �� �� ������ J�3 ��&��$ ������ ?9 ��� �� �������� ����� ����B

�38 � � ����

+� ���� ���� �38 �� � �� �� �������� ������ ��,� �� ���� ��������������& ��#�� ���� �� �� ��� ������ � ���������� ���������� �� +�����$0<<<"' I�&��$ � ������ ��& �38 �� � �� � ������ ���� � ���� ��� ��$�� � ���*��$ & �� ��� �� �������� � ������ ���� ��������� ���� ��� ������ ����' 7 ����$ ���� 1*' �?9" & �� ����B

�38 � � ����

&���B

+��� 0

������ ��������� ��� �� ��� ������ ����

�( ��� ���� �� ������

/����� ������� ����������� �� �

/����� ��$ �� �� ��/����� �$ � �� ��

�( 1����� �/����� NN�NN

(���� � � � :��� �� �

6( 1����� ����� �����

����� � ���� ������������� �� J�"

/����� �+�$ �+�$ �� $+�

9( 1�� > ����� ����,������

�� �4+ �������� �������" ��

������ ������� �����

����� ������� �������

����� �����

� ��

=( 1����� ��&������ ��&��

<D� �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 11: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

� � 0 �� � � :���� �

� �

� � �0 �� � � :���� �

� � ����

�� � ���*�� & ����� � ������ ������ ��& �� ��� �� �� �������������� �� �� ��� �� �� ����� ��������� �����$ �� �������� � �� �����&��'/������ 1*� ��<"$ �?�" �� �??"$ & ��B

� � �38 � �5 :�� �� �

�� ������� ���� �J � & �����B

� � �38�� ��� � �5 :�� ����

I�B

� � �38�� ���� �5 :�� ����

. ��� �& )���� �� ������ ������ � ���� �� �� ����� ����� �� �����&�B

� � �)��38 � ��� ����

&���B

�)��38 � �38�� ���� ���38

� � �5 � <��!� �

: ����

���������� � �� ��� ������ ���������� *������$ & �� ����� ���� &�������� �� ��B

�� � ) �)��38 � �

� � ����

&���B

) � �0� ����8)�

, � �

� �� 0� ���� �

�� � �� 7)� � 0 ����

) � ����8�)

, � �

� �� ����

� � �� 7�) � 0 ����

6(6( )�&������ ��&��

. �& ������ �� ������� �����G���� �� �� ��� ������ ����' 7 ����$ ���� �� � ������� ���� ������ �� *�������� ������ �� �� 6&��

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <D0

Page 12: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

�����$ &���� & ����� ��� �� ������� ������� �� �� ��� ��� ���� � ����� ? �� ?'�'2����G�� �� ������ ���������� ������� ��D" �� ��<"$ & ��B

�� � !��� � �� :���� ����

�� � �5 �� � : ��� � ��� � �� � ����

7� �� ������� �� ���& ����B

� � ��

� � �

� 0

� � � � ��� �� �

&�� �� �� ������ �����)' ����������B

�� � !�� � �!� :��� ����

�� � �5 � � :�� 0

� � � � �� �

��� �5 : ��� ����

+� ������ *������ �� �� ������� ���� �� �����G���� �� �� ����� ������ ��� ���������� *����� �$ ������� �� � ������ �� �� � ' ����������B

� ����� � � � �� � �����

��� � ����

�� � � ����

&���� �� � ����� ��� �� B

��� � �����

� ��0����

����

��� �� ���������� ���������� *������ ��� ����������$ & �����B

��� � )��5�� �!�� � �� ����

&��� ) ��� � 1*�' �99"%�9@"' ������$ & �����B

�� � ��� ����

&��B

� � !� �� �� � � �5���� � ��0 � � � � ��

� � �� �� � �� � ����

&���B

<D� �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 13: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

!� � ! 0� <! :��)

� �5� � 5 0� :��

� � �

��0 � �5 :

��� � �5)

� ���

� � �5 :�!�) ����

��������� ��������

+� ����� �� �������� �� �� ������� ���������$ & ����� &��� � ������ ��)���� ���������� � � �� �� � �������� ���� ��$ ��$ & ����� � ��������) ��� �������� ������'

9(�( @� �������� �����

. ������ � ����� ����� &��� ��� *��� �� 0 ��$ ����� ��������� ����������� � � ������� ������� �� � ����� ���' +� ������� ���������� �� �� ������� � ���)��� ���� �� ����� ����� �� ������'. �� ������ ���� �������� �+��� �" �� ���� ������ ��������@ �+��� �"

��$ �� ������� ��� �� ���������$ & �� ��� �� ������� ���������� ��&������� �������� �� ������ ��������' ��� ��� �� !������� & ��B

� � �� � : � ��; ����

���� ����$ ��� )���� �� )���

� �� ������� � �� � ������� �� �����&�B

� ��

�)���

� � )����

)���� � )���

�� �

!�����$ & ����� ����B

� 2���� 0 �� � �� �� ��� ��� ��� �� ����� &��� �&� ��#�� ��� ��� ���$ � ������ � ���J�'�� �" �� � ����� � ���J�'� �"$ ���������'

� 2���� � �� ? ��#� ���� 2��� 0 �� 2��� � ��� � �� ��, �����' 5���2���� � �� ? �� ����� &��� �� ����� ��� ����� ���J�'� �"'

� !������ � �� ���������G� �� O�� ������) ��� ���� �� ���&��� �� ������ ���� �������������'

� !������ � �� ���������G� �� O�� ������) ��� ���� �� ���&��� �� ������ ���� ������������� �� � ��� ���� ������ �������'

@ +� ������ �������� �� ������� � ���� �� � ��� ����$ &���� ��&�� ������ � �������

������ �� � ����� ��� �������$ ��� �� ���� ��� �����'

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <D�

Page 14: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

� !������ ? �� ���������G� �� O�� ������) ��� ���� �� ���&��� �� ������ ���� ������������� �� � ��� ����� ������������ G��" ����� ������� �� ���� ���� ������������'

��� ��� ��������� & ����� �� ����� � ���� �� F������# ����� �������������� �����' 0%?"$ ������ � ���� �� ����� ��� ��� �� ��� �� ��>������� ��'' �� �� &�� �� �� ������� �� ����� �� ���� �������������"' +��������� ������ �� 2��� 0 ��'' �� ��� ������� &��� ��J�'�� �" �� ������&��� � �������� �� �� � �������$ &��� �� �������� ������ �� �� ���������� ���� ��'' �� ���� ������� &��� ��J�'� �" �� ������ &��� ��� ��������� ���� ��� �� ������ ��� 2��� �$ ���� ��� ��� �� ������ ��� 2��� �$���� ��� �� ������� ��� 2��� ?"' 7 ����������$ & &��� �� �� ���� ��� �� ������� ������ ���� ��� �� � ��������� ��& ������� �� ������ �� &������ ������ �������� �� �������'��� ��� �� ���� ������$ �� �� ������� �� ����� �� ������� ������� �� ��

��� ������ �������� ����� �� *��� ���� ��� �������� ��� ������ ��� ��������� ��������'

9(�( ) ������ �� �"���

+� ��� �� ������� ��������� � � ��� �����) ��������$ & �& ������ ����������� �� �� ���������� ����&��$ �,���� � ���' 9' +� ������� �� ��,���� ������ �0<<D" �� ��� �� ������ � +��� ? ��� ��� �� ���� ������� ����' 9' !�����$ & ����� ���� �� ����&�� �� ��� ��� �� � &�� &��� ���������

+��� �

H �������� ����B ������� ��������' ���� ��#�� �������� �� �������

!������ ���� 1 )���� )���

, �)��� �)��

, )����

P!4�Q

0 9�0�? 9�� @�� ��� ��� ;��

� 9�0�? 9�� 9�� ��� ��� ;��

� 9�0�@ 9�� 9�� ��� ��� ;��

? 9�0�? 9�� 9�� 0 0 ;��

+��� �

H �������� ����B ������ ��������' ���� ��#�� ������ �������� �� �������

2��� 0 2��� � 2��� � 2��� ?

+�� ��" (���� ���" +�� ��" (���� ���" +�� ��" (���� ���" +�� ��" (���� ���"

� �'� � �'� � �'� � �'�

0 0'� 0 0'� 0 �'< 0 0'0

� �0'� � �0'� � �0'0 � ��'<9 �0'� 9 �0'� 9 �'< 9 �0'0

<D? �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 15: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

���' 0' H �������� ���B !������ 0' F������# ����� ����� ���������'

���' �' H �������� ���B !������ �' F������# ����� ����� ���������'

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <D9

Page 16: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

���' �' H �������� ���B !������ �' F������# ����� ����� ���������'

���' ?' H �������� ���B !������ ?' F������# ����� ����� ���������'

<D@ �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 17: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

�'@�9��'?�� �� ����� �����' +� ����&�� ������� �������� �� �� *��� ���� ������ �� !������ � � �� ������� �� �� ������'+� ����&�� �� ����� ������� ���&��� ����������$ *��� � �������$ �

������ � �� 5 ����' 9"' 7 ����������$ ������� ���� �� ������� ����������$& ���� � ��)���� ��������� �� ; �� � ; �$ �� ������ ���, �� G�� �������� ��������� � ���� ; �'(� �� ������� �� ������ ������� �����������$ � �� ������� & ��

���� ��� ���� �� �� ����&��$ ��������� ����� ������� �������� � �� / (��� �� ������� �� ������� �������� ����' 9"' 7 ����������$ ���' @ ���&� ��

���' 9' H��������� ����&��B ������ ����'

+��� ?

H��������� ����&��B ������ � �� ������' +� ���� ����� �� ������� � ���' 9

��� ���� ��� ��� 2��� ���" ��� ��" ������ ���"

0 ������� ;'9 % %

� /������� % <� 0

� ������� �'� % %

? /������� % <� 0

9 ������� �'9 % %

@ /������� % 0D� 0

; ������� <'� % %

D /������� % 0D� 0

< ������� �'9 % %

0� /������� <� 0

00 ������� �'� % %

0� /������� % <� 0

0� ������� ;'9 % %

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <D;

Page 18: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

��� � �� ������� ����������$ &��� ���' ; ���&� �� ��)���� ���������������� ��J; �" � ��������� &��� � ������ ���� ��� �� ���� ������ ������� ����'

! "������ �� #����� �������� ���������

+� ���� &��, ������� � ������ ��� ��&��� �� ������� �� � ������� ��� ���� �� � ��� ����� �� ���� �� !� ���� �����'

���' @' H��������� ����&��B ������� ���'

���' ;' H��������� ����&��B ������ ��� � �� ��)���� ������ ����������'

<DD �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�

Page 19: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

+� ���� ���� ����$ & ���& � ���������� ���� ��� �� ������� �� ���� ������ ������� �� ��� ������' +� ���� ����� ���� �� � �������� ����� ���������� �� +�����$ 0<<;"3 ��&��$ �� �� & ����������� ������������$ & ���� �� ���� � � ������ &���� �� ��� ���������� ��� ��������� �� � ������ ��� ������ ������� ���������'. �� ������� � ������� ��������� ��� �� ���������� ��� ������ ����'

/��� &���� �� ���� ��� ������$ �� ������ �������� ���� ���������� �������� �� ������ ����������� �������� �� �� �� ����������� �� � -��� ���� ������' 7 ����������$ & ���& ��& �� �� ������� �� ������ � ������ ���� ������� �� ���� ��� ����������'+� ������� ��� �� ������� ������� ����$ & ����� � ������ �� )����

���������� � � �� �� � �������� ���� �� � ��� �����) ��� ��������������$ ������ �� � ���������� ����&��' ��� �� ������� ���������� ��������& ���� �� ������� �������� �� ������ �� �����'����� ������ &��� ��� �� )�� �� ������� �������� ��������� �� ��� �����)

���������� ����� ������ �� ���� ����� ��������' 7 ����������$ & &��� ���������� ������ ������ �� �� ���������� #�� �� �� �� ���� ����� #��'

��$��%�� �������

+� ������ &���� ��, �� ��,�&��� (�' ��� I���*���� �� (�' 6�� ������ 2������ ���&�� +������� /����� �2 +/"$ 2������ �/�" ��� ���������������� � �� ���>�� �� �� ���� ���� �� &�� �� �� 7����� 6������ /���� ������ �/'6'�" ��� ������� ������� ������� �� LL ��� ����� 4��>�� ��������� +��������MM �LL!������� ������ �� +������ ���G�� 77MM"'

&�#�������

�������$ !'$ 0<D<' � ���� ��� � ����� &��� ���� �����' 7�������� ������ �� 4��������� 9$

�;0%�<9'

���������$ �'$ 0<<9' ��� !���� ������B �����������$ !�����������$ !����������� �� 6�������

���������' 4�( ����������$ S������� �� /�������� �� 5�,��$ (������ �� /���� 1�����'

���������$ �'$ 2�����$ �'$ 0<<;' � ���)��� ���� ��� ���� ����� ������' 7�������� ������ ��

����� �� �������� �?$ �@�0%�@0D'

���������$ �'$ +�����$ �'$ 0<<;' ��� ����� ������B ������� �� ������� ���������� �� �� ���

����� ���������� �������' /������ !����� � ������ !������ �� 1����� 0?�$ 0;9%0<?'

���������$ �'$ +�����$ �'$ 0<<<' � ���� ��� ��������� ��� ���� ���������� ��������� ����� �������

�������� � ���� ��������� �����' 7�������� ������ �� 4��������� 09$ 0�9<%0�;D'

���������$ �'$ +�����$ �'$ 2�����$ �'$ 0<<;' ��� ����� ������B ������������ �� �������

���������� �� �� ���������� �������' /������ !����� � ������ !������ �� 1�����

0?@$ �D0%�0�'

5���$ �'$ 2�������$ ('$ 0<<@' � ������������� ���������� ���� ��� ���� ����� ��������' 4��� 7'

+� ��������� ���� ����� �����' 7�������� ������ �� 4��������� 0�$ D�9%D?�'

5����$ 2'$ 0<<�' H �������� ���������� ������� �� ���� ����� ������B +������������

�������� &��� � ������ ������� ������� �� ���� ������� ����� ��������' ������ ��

7������ !������ ����� �� �������� ?$ ��<%�?�'

�( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//� <D<

Page 20: A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model

(����$ +'$ !���$ F'$ ��T ,�$ ('$ .����$ /'$ �1��'"$ 0<<�' 1����� ������ �� ��� !����

������' 5����&���� I���'

K����$ !'$ 0<D0' � 7��������� �� /������ !������' ������� 4���'

F�,�����$ +'$ ����G�$ F'$ 6�,������$ '$ +��,�$ �'$ 1��$ '$ H�$ �'$ 0<<�' 1#�� �� �����������

������� � ����������� ��������� ������������� � ��� +�%6� �� ������ �%6�%/�%+� ����

����� ������' !������� +��������� �7! ��$ 0%@'

F����������$ �'$ 0<D�' +���� �� ��������� +������������ � �����' ��� .��� U ��'

2����*$ '$ 2)����$ /'$ 0<<@' � ���� ����������� ��������� �� �� ������������� ������� ��

���� ����� ������' ������ �� !������ �� 4������ �� ����� ??$ <9�%<D�'

2$ 1'$ 0<@<' 1������ ������� ��������� �� ��� ������' ������ �� ������ !������ �@$ 0%@'

!���$ K'$ ��,$ '$ 0<@?' +� ���� ���' 7B ����$ 5' �1�'"$ !����� � /����������� 4������$

V���� �' ������� 4���$ ��' 0D0%�0�'

!���$ �'$ 0<;?' +����������� �� ����������' 7B (�����$ �'('$ 6��$ !'$ .�����&$ �' �1��'"$

��������� �� /������ +�����������$ ��' �D�%��?'

4�����$ 1'$ 1�������$ �'$ 5������$ !'$ 0<DD' +������������ �������� �� ���� ����� ������'

������� �� !������ ?�$ ;99%;<?'

4���$ �'$ I�����$ ('$ (����$ +' �1��'"$ 0<<9' 4������� �� �� ����� 7�������� /���� �

��� !���� �� ��������� +��������$ ��������$ /�'

4���$ �'$ I�����$ ('$ �����$ '$ (����$ +' �1��'"$ 0<<;' 4������� �� �� ��� 7��������

/���� � ��� !���� �� ��������� +��������$ ��������$ /�'

������$ ('$ 0<<D' �������� �� �� ���������� ����� �� !� ���������� &���' ������ �� 5��

�������� 1����� 0��$ @;@%@D9'

���$ �'$ 0<<�' ���������� ��� ������ �� ������ ������������� ���������� ���� ����� �� ���������

���� ������ ����� �� �� ��������� �����' /������ !����� � ������ !������ ��

1����� <<$ @0%00�'

���$ �'$ 0<<<' +����� � �� ������� ������� �� ��������� �� ����������' 7B /�����$ 4' 2���$ �'

�1��'"$ I�����, �� 6������� �������$ V���� 777' 1����� ��� 4������� 5V$ ��������'

���$ �'$ I����$ +'$ 0<<D' /����������� 7���������' ����� V����'

���$ �'$ !���,$ K'$ 0<<�' � & ����� �� ���������� ��� ��������� ���������� )��� �� ��� ������$

����������� �� ����������' /����������� !������ 00$ �9�%�;D'

.����$ /'$ 0<@?' 7��������� �� �� /�������������� �� !�������� +������������' !��!����'

.��,��$ !'$ 0<@?' /��������� �� ������ ������� O�&' 7B ����$ 5' �1�'"$ !����� � /�����������

4������$ V���� �' ������� 4���$ ��' �00%�@�'

<<� �( )��� �� * ��������� +���� , ������ ��� �� -����. /��0//�