a probabilistic model for the estimation of declining

journal valori e valutazioniNo. 24 - 2020 181

Gabriella Maselli*, Antonio Nesticò** keywords: economic policy, economic evaluation of projects, social discounting, Declining Discount Rate

A probabilistic modelfor the estimation ofDeclining Discount Rate

1. INTRODUCTION

The Social Discount Rate (SDR), i.e. the rate r that allowscomparing Cash Flows (CFs) which manifest themselvesin different temporal instants, is among the parametersthat most influence the results of the Cost Benefits Analysis(CBA) carried out by the point of view of the public oper-ator (Marglin, 1963; Diamond, 1968; Burgess, 1988; Zhuanget al., 2007). It follows that the value of the SDR influencesconsiderably the list of priority of the projects to financewhen it is necessary to choice among several investments.Hence, with implications on the entire allocation processof public funds (Fiore et al., 2016; Nesticò and Maselli,2019).

In addition to the value of the SDR, the result of the CBA isstrongly conditioned by the time horizon with respect towhich the analysis is conducted. This is because the discount

factor is a function of time t according to an exponentialrelationship of the type e-rt.

Thus, as time t increases, there is an ever greater contractionof the current values of Cash Flows progressively furtheraway from the time of valuation. For example, with referenceto the generic investment that annually determines a CashFlow (CF) equal to € 1,000, it is observed that the Net PresentValue (NPV) generated by the initiative in 100 years is nowworth € 138 if a 2% rate is used, while it even decreasingto € 1 if the discounting takes place at the rate of 7.5%. Table1 exemplifies the effect of the SDR in discounting as timechanges t.

It is clear that the contraction of CFs as a function of time tbecomes particularly marked in the case of inter-genera-tional projects, i.e. for those whose effects are felt by dif-ferent generations compared to those that sustain costs(Schelling, 1995; Dasgupta, 2008; Goulder e Williams, 2012;

In the Cost-Benefit Analysis (CBA) the traditional discountprocedures determine a significant contraction of thefinancial terms that are furthest over time. This contractionis not acceptable in the economic evaluation of publicprojects with inter-generational effects, since it causeslittle appreciation of the net benefits for the future gen-erations. The use of time-Declining Discount Rate (DDR)represents a possible solution to the problem. Followinga critical analysis of the main methodologies that the the-ory describes, the study proposes an innovative modelfor the estimation of DDR. The model, based on principleswidely recognized in literature, uses probabilistic lawsand returns a simple-use forecasting algorithm, as uses

economic and demographic data easy to find. The imple-mentation for the Italian economy makes it possible tovalidate the model and makes it clear how significantlythe results of the CBA can vary if a declining discountrate instead of a time-invariant rate is chosen. The impor-tant political repercussions on the entire allocationprocess of public resources demonstrate the effectivenessof hyperbolic discount procedures, suggesting to distin-guish between constant discount rates for the evaluationof projects with intra-generational effects and time-declin-ing discount rates for interventions with inter-generationalimplications.

Abstract

journal valori e valutazioniNo. 24 - 2020182

The examination makes it possible to highlight peculiarity,potentiality and certain limits. These limits, set out in section3, can be overcome, at least partially, by implementingprobabilistic investigation tools. Thus, in section 4 we pro-pose an innovative model structured on probabilistic logicalgorithms for estimating the parameters on which themeasurement of the declining discount rate depends. Themodel is then applied to a case study, that of the Italianeconomic system, in order to test its validity (section 5).Finally, in section 6 the findings of the research are reported.In particular, we analyse the important implications of eco-nomic policy that derive from the adoption of time-declin-ing discount rates in the economic evaluation of inter-gen-erational projects.

2. THEORETICAL APPROACHES TO ESTIMATETHE DECLINING DISCOUNT RATE

The scientific literature proposes two approaches for esti-mating DDR:

1. the Consumption-Based Approach;

2. the Expected Net Present Value Approach (ENPV).

For both, the theoretical assumption consists of includingan uncertainty factor in the time frame of the SDR. The fun-damental principle is that if shocks to the consumptiondiscount rate are uncertain but positively correlated, thenthe efficient result is a declining schedule of discount rates(Gollier, 2011).

However, if in the Consumption-Based Approach the uncer-tainty is associated with the growth rate of consumptionthat appears in the Ramsey formula (1928), in the ENPVApproach it is precisely the discount rate that is modelledas uncertain.

2.1. Consumption-Based Approach

The evaluation approach assumes that in the economicanalyses the costs and benefits of the project are discountedto the consumption discount rate, i.e. that rate rt at whichsociety is willing to post-place a current consumption unitto obtain higher consumption later.

Consider the utility function U(ct), that is the utility derivingfrom the average consumption of people alive at time t,and the discount rate d of the utility U(ct). Then the socialplanner will be indifferent between receiving ε dollars todayand € 1 at time t if the marginal utility of the two are equal:

u’ (c0) ε = e-dt u’ (ct) (1)

If the hypotheses (Arrow et al., 2014):

– the planner’s utility function is additively separable;

– the utility received from a given level consumption isconstant over time;

– future utility is discounted at the rate d;

– the utility of consumption U(c) is iso-elastic; that is, that

Gustman e Steinmeier, 2012). Just think of the “projectsthat have long time horizons, such as those aimed atreducing greenhouse gas (GHG) emissions. In the caseof GHG emissions projects, the benefits of reduced GHGemissions last for centuries, but the mitigation costs areborne today and in the near future. This means that theability of such projects to pass the benefit-cost test isespecially sensitive to the rate at which future benefitsare discounted” (Arrow et al. 2014). But it is also worthmentioning the reforestation measures and the conse-quent assessment of the Social Cost of Carbon (Con-ceição and Zhang, 2010; Price, 2018), as well as “the mul-ti-objective reorganization schemes of water basins, cov-ering the water supply for industrial and civil purposes,the defence of the soil, the production of electricity (…), investments for nuclear implants, which are character-ized by significant environmental risks only after the first20 years from the entry into operation of the power sta-tions” (Nesticò and Maselli, 2019; 2020).A real possibility to overcome this problem, that is to avoidan excessive contraction of the Cash Flows value, consistsin resorting to time-declining discount rates, instead oftime-invariant rates. This gives greater weight to eventsthat are more distant over time. Currently, several gov-ernments adopt declining discount rates (DDR): the UnitedKingdom (HM Treasury, 2011), France (Lebègue et al., 2005),Norway, recently also Denmark, while Sweden and theNetherlands are considering adopting them (Price, 2018).In the United States, the Office of Management and Budget(OMB) recommends that “project costs and benefits bediscounted at a constant exponential rate (which, otherthings equal, assigns a lower weight to future benefits andcosts than a declining rate), although a lower constant ratemay be used for projects that affect future generations”(Arrow et al. 2014). These government decisions testify tothe usefulness of the “hyperbolic” discounting, thenthrough the Declining Discount Rate (DDR), when it isnecessary to express judgments of economic conveniencefor investment initiatives whose effects take place overseveral decades ((Newbery, 1992; Cropper and Laibson,1998; Henderson and Langford, 1998; Harris and Laibson,2001; Read, 2001; Rubinstein, 2003; Hahn and Dudley, 2007;Hepburn et al., 2009; Muñoz Torrecillas and Rambaud,2017).Below, in section 2 we analyse the theoretical frameworkconcerning the approaches currently used in the literaturefor estimating the DDR, namely the Consumption-BasedApproach and the Expected Net Present Value Approach.

Table 1 - Variations of NPV according to SDR and time for CF = € 1,000

SDR [%] t (year) t = 10 t = 25 t = 50 t = 100

2 VAN [€] 820 610 372 138

3,5 VAN [€] 709 423 179 32

5 VAN [€] 614 295 87 8

7,5 VAN [€] 485 164 27 1

A probabilistic model for the estimation of Declining Discount Rate


1. the mean � of the growth rate of the consumption isuncertain, then is m = m(θ).

Then

(4)

where ∑qθ = 1, with qθ probability that the parameter �associated with uncertainty has to occur;

2. the volatility � of the consumption is uncertain, that is s= s(θ). In this circumstance, we have that

(5)

in which ∑qθ = 1, where qθ is the probability that the para-meter � associated with uncertainty has to occur.

2.2. Expected Net Present Value Approach

The ENPV Approach assumes that the discount rate is anuncertain parameter. Weitzman (2001) shows that estimatingthe ENPV with an uncertain but constant discount rate isequivalent to computation of the NPV with a certain ratebutwhich decreases with an “certainty-equivalent” until reachingthe minimum value possible at the time t=�. If the uncertaintyrelated to the rate r is not taken into account, discountingthe future costs and benefits in period tback to the presentis computed as the known discount factor Pt:

(6)

When r is a stochastic variable, the expected discountedvalue of $1 delivered after t years is:

(7)

The (7) represents the “certainty-equivalent” discount fac-tor. Thus the corresponding “certainty-equivalent” discountrate, intended as the exchange rate of the expected discountfactor, applies:

(8)

r̃t is therefore the rate of progression from t to t + 1 or evenmarginal discount rate.In order to exemplify the logical scheme on which theapproach is based, consider the estimate of the “certain-ty-equivalent” discount factor and discount rate, from thetime t = 1 to the time t = 10, in the case of an uncertain butconstant discount rate, with the same probability of beingworth both the 5% that the 2%. Then:a) at the time t = 1 and at the time t= 2 “certainty-equivalent”

discount factor are worth respectively

the elasticity of marginal utility with respect to consump-tion is constant;

are valid, then the resolution of (1) as a function of ε, withε = exp (–rt ⋅ t) leads to the value rt of the consumption dis-count rate expressed through the well-known Ramsey for-mula (1928):

rt = d + h ⋅ gt (2)

Where:

d is the time preference rate, which reflects the importancethat society attributes to the well-being of the current gen-eration compared to that of the future generation;

h is (minus) the elasticity of marginal utility with respect toconsumption, intended as a parameter of aversion of thesocial planner, or more generally of the Government,towards income disparity;

gt is the annualized growth rate of consumption betweentime 0 and time t.

Just the uncertainty related to the growth rate of con-sumption gt leads to write the extended Ramsey formula.In particular, if gt is approximated by a sequence of ran-dom variables normally, independently and identicallydistributed with mean m and variance s2, then (2)becomes:

rt = d + h ⋅ m – 0,5 h2 ⋅ s2g (3)

The last term of (3), called “precautionary”, summarizesthe uncertainty on the growth rate of consumption anddetermines a reduction in the value of the discount rate rt.This rate is however constant over time.

Gollier (2002a, 2002b, 2008, 2011) demonstrates that to obtaina declining discount rate the utility function U(c)must beiso-elastic and the shocks to the growth rate of consumptionpositively correlated. Specifically, Gollier proposes to eval-uate the DDR by forecasting the growth rate of consump-tion using a linear self-regressive model AR(1). In this case,it is necessary to estimate a correlation parameter r of theshocks, whose value significantly influences the result ofthe forecast. The literature also proposes other models forestimating the growth rate of consumption. Suffice it tomention the regime-switching model, which suggests afunction of DDR that decreases slowly over time (Cecchetti,Lam and Mark 2000).

According to Gollier (2004, 2007, 2008, 2011), a further pos-sibility to obtain a declining function of the discount rateis to introduce some parameters of uncertainty in (3). Infact, the absence of a sufficiently large data set related tothe process of long-term economic growth implies that theparameters m and s can be treated as uncertain (Gollier,2008, 2011; Gollier and Weitzman, 2010; Weitzman, 2007).It is therefore assumed that the consumption register fol-lows a Brownian motion with trend m(θ) and volatility s(θ).These values depend on a parameter θ, which is uncertainat time 0. In particular, two cases are explicit:

Ë comunque

c G

Ë necessario s

Ë quella di i

‡

Ë Allora

‡ che il

p

‡ Ë incerta, cioË

Ë la probabilit‡ che il

p

Ë una variabile stocastica, il valore

a

Ë dunque il tasso di progressione da t

A

‡ di

v

Ë :

Ï procedendo per gli istanti temporali

s Ú costruirsi la Tabella 2, che mostra

Ë comunque

c G

Ë necessario s

Ë quella di i

‡

Ë Allora

‡ che il

p



p


a


A

‡ di

v

Ë :



Ë comunque

c G

Ë necessario s

Ë quella di i

‡

Ë Allora

‡ che il

p



p


a


A

‡ di

v

Ë :



Ë comunque

c G

Ë necessario s

Ë quella di i

‡

Ë Allora

‡ che il

p



p


a


A

‡ di

v

Ë :



Ë comunque

c G

Ë necessario s

Ë quella di i

‡

Ë Allora

‡ che il

p



p


a


A

‡ di

v

Ë :




E(P1) = 0.5 · e-0.05·1 + 0.5 · e-0.02 ·1 = 0.9657E(P2) = 0.5 · e-0.05·2 + 0.5 · e-0.02 ·2 = 0.9328

b) for t = 1 “certainty-equivalent” discount rate is

r̃t = E(P1) – 1 = 0.9657r̃t = –––– – 1 = –––––– – 1 = 0.0353 = 3.53%r̃t = E(P2) – 1 = 0.9328

Thus proceeding for the successive time instants, Table 2can be constructed. It shows how the inclusion of the“uncertainty” factor in the discount rate structure deter-mines a declining function with the time horizon t.

To estimate the DDR through the ENPV approach, it is alsonecessary to establish: 1. which economic parameter to use for the estimation of

the rate that appears in the formula (7); 2. the econometric model that allows to estimate the value

of the discount rate ri, once the historical trend of datato be used for the forecast has been established. On thefirst point, long-term government bonds are often usedin literature. Authors such as Weitzman (1994, 1998, 2001),Newell and Pizer (2003), Groom et al. (2007), Freeman etal. (2013) believe that past government bonds data pro-vide information that allows a reliable prediction of pos-sible future pathways of the rate.

As for the second question, in the literature both simpleeconometric models, such as the linear self-regressive AR(1) based on normal or log-normal distributions of historicaldata, and more complex models, such as AR (p) - GARCH(l, m), Regime Switching (RS), a State Space (SS) model,even with parameters that vary over time and that are able

to better approximate the trend of historical data are pro-posed (Weitzman, 1998, 2001; Newell andPizer, 2003; Groomet al., 2007; Freeman et al., 2013; Groom and Hepburn, 2017).

3. CRITICAL ANALYSIS OF APPROACHES FORTHE ESTIMATE OF THE DDR. INSIGHTS FORAN INNOVATIVE MODEL

Both approaches synthetically described in the previoussection reveal some critical issues.The Consumption-Based Approach certainly shows a rig-orous theoretical approach that of Ramsey formula, aboveall based on economic data and demographic indicatorsable to reflect the socio-economic structure of a country.Nonetheless, critical issues arise in forecasting the growthrate gt of consumption that appears in the (2):a. If the growth rate of consumption is approximated to a

sequence of random variables normally, independentlyand identically distributed with mean m and variance s2,we obtain the extended Ramsey formula which considersa term “precautionary” that takes into account the uncer-tainty of gt. However, as shown in (2), this modellingdoes not lead to a declining function but only returns alower value of the discount rate;

b. If we assume long-lasting shocks, we obtain a decliningfunction of the discount rate, but strongly influencedby the estimate of the shock correlation parameter r. Infact, its small variations can greatly alter the speed withwhich the function of the DDR declines;

c. When it is assumed that consumption follows a Brownianmotion with trend m(θ) and volatility s(θ), where θ is theprobability that the parameters have to occur, then therandom variable gt is modelled through a normal distri-bution that is not always the one that best approximatesthe historical data (Nesticò and Maselli, 2019).

The Expected Net Present Value Approach has been crit-icized “for its shortage of link to the theory of benefit-cost analysis” (Cropper et al. 2014). On the other hand,the ENPV estimates the discount rate uncertain based ongovernment bonds interest rates. In addition, the use ofsuch data, unlike Ramsey formula that uses economic anddemographic information, does not allow reflecting thesocio-economic structure of a country. Furthermore, crit-ical aspect pertains to the already highlighted difficultiesof econometric models of predicting the values of ri thatappear in (7).Therefore, in consideration of the criticalities detected withregard to the synthetically exposed approaches, we intendto characterize a model of estimation of the DDR able topursue two objectives.The former is to overcome the critical nature of the datato be used for forecasting ri. This is done using Ramsey’sformula, which makes it possible to estimate the discountrate of consumption using data easily available from nation-al and international databases. The second one is to avoid the use of econometric models

Table 2 - Estimation of the “certainty-equivalent”discount factor and discount rate over time t

t

Discount factor

(Formula 6for r = 2%)

Discount factor

(r = 5%)

“Certainty-equivalent”

discount factor

(Formula 7)


discount rate

(Formula 8)

1 0,9802 0,9512 0,9657 0,0353

2 0,9608 0,9048 0,9328 0,0350

3 0,9418 0,8607 0,9012 0,0348

4 0,9231 0,8187 0,8709 0,0346

5 0,9048 0,7788 0,8418 0,0343

6 0,8869 0,7408 0,8139 0,0341

7 0,8694 0,7047 0,7870 0,0339

8 0,8521 0,6703 0,7612 0,0337

9 0,8353 0,6376 0,7364 0,0334

10 0,8187 0,6065 0,7126 0,0332



that often presuppose stringent preliminary hypotheses.In this regard, the growth rate of consumption gt whichappears in the formula (2), on which the value of the dis-count rate rt depends, can be modelled as a random vari-able, to which a probability function is associated on thebasis of the historical data of the same gt. From the proba-bility function thus obtained, it is then possible to determinea series of probable values to be associated to the rate gtand, consequently, to the unknown rt. According to the established objectives, section 4 belowillustrates the logical structure of the model, which is thenverified with the application in section 5.

4. THE ESTIMATE OF DDR: SETTING OF APROBABILISTIC APPROACH

In order to determine a time sequence of rationally decreas-ing DDR values, we propose again the Ramsey’s formula(2) rt = d + h ⋅ gt as used in the Consumption-BasedApproach.The idea is to assume the growth rate of gt consumptionin (2) as an uncertain and constant variable in the analysisperiod. This means associating to the uncertain future valueof g = gt , a probability distribution taken from the analysisof the evolution of the same gtover a sufficiently large pasttime frame (Figure 1).Once the probable distribution of g-values are expected,the likely values of the consumption discount rate r can beobtained. In fact, the (2) shows that rt is a function of gt, aswell as of deterministic variables d and h, respectively rateof time preference and elasticity of the marginal utility ofconsumption. In particular, d and h can be obtained throughthe formulas:

d = l + r (9)

(10)

In (9) l is a mortality rate and r is a rate of pure temporalpreference. In formula (10), proposed by Stern (1977) andCowell and Gardiner (1999), t is the marginal tax rate, T/Yis the average tax rate, the ratio between the total amountof income taxes and the taxable income before tax.It should be pointed out that the setting given to the eval-uation problem leads to assigning to g, and therefore to r,constant probability distributions in the time interval ofthe investigation.Now the question becomes: among the infinite possiblevalues of r among those that the probability distributionindicates, which is to be assigned for the cash flows dis-counting that the investment project generates in the nyears of the analysis period?Here the logic of the ENPV Approach involves, accordingto which estimating the ENPV with an uncertain but con-stant discount rate is equivalent to computation of the NPVwith a certain rate but which decreases with an “certainty-equivalent” until reaching the minimum possible value atthe time t = �. This means moving from the uncertain andconstant discount rate as established through the proba-bility distribution in Figure 1, to the certain but decreasingassay with an “certainty-equivalent”.The shift from the uncertain and constant discount rate tocertain but rate that decreases with a “certainty-equivalent”requires first to estimate the discount factor E(Pt) for everyfuture moment t. This discount factor is estimated throughthe report:

(11)

Where:ri = value of the i-th discount rate, as shown by the proba-bility distribution of r derived from the formula (2) withvariable gt uncertain;pi = probability of the i-th value ri of the rate has to occur;

Figure 1 - Probability distribution of gt based on historical trend.

The gray band represents the interval within which the forecast values of gt fall from which the estimate of the discount rate rt according toformula (2) depends. rt is assumed uncertain and constant over time, according to the probability distribution shown at the top right.

‡ rilevate c

‡ sulla natura dei dati da u Ú ricorrendo, p

I

Ú modellarsi come una variabile casuale, a cui

s ‡ sulla base dei d

‡ cosÏ ottenuta, Ë possibile determinare p

I

Ë possibile ottenere i probabili valori che

p Ú assumere il tasso di sconto del consumo

D Ë funzione di g e

Ë un saggio di mortalit‡ ed r Ë saggio di

p

Ë

‡ costanti

‡ i Ë quello da assegnare per le operazioni d

Ú significa passare dal

s ‡ in Figura 1,

a

T Ë stimato attraverso la r

‡ di r

‡ di r Ë discretizzata. » chiaro che il termine

‡ I

‡ introdotta al paragrafo 2.2, E(P

Ï da condurre ad una struttura declinante del

s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e

‡ di essere vivi al m

‡ Ë il rapporto tra il numero dei decessi

‡

‡ subisce variazioni contenute al variare Ú et al., 2015).

I ‡ forniti rispettivamente

I Ë positivo e riflette il comportamento irrazionale degli individui n

È le persone tendono a dare peso m

‡ di t

Ú et al., 2015). CiÚ esattamente come s


t = temporal variable;m = number of intervals in which the probability functionof r is discretized.It is clear that the term expresses thevalue of the discount rate r able to represent, through asingle summary value, its entire probability distribution.In other words, we arrive at the time sequence of the dis-count factors E(P1), E(P2), …, E(Pn). At this point, the last step is to estimate the declining dis-count rate:

(8)

In (8), already introduced in the paragraph 2.2, E(Pt) repre-sents the “certainty-equivalent” discount factor. This factorvaries with time t, thus leading to a declining discount ratestructure. expresses the rate of progression from t to t + 1or even marginal discount rate.In light of the above, the logical structure of the DDR esti-mationmodel is divided into three sequential phases:1. estimate of the discount rate rt on a probabilistic basis;2. estimate of the “certainty-equivalent” discount factor

E(Pt);3. estimate of the “certainty-equivalent” discount rate r̃t .Table 3 schematizes the logical and operational phases ofthe model.

5. AN APPLICATION OF THE MODEL. ESTIMATEOF DDR FOR ITALY

The proposed probabilistic model is implemented to esti-mate the DDR to be used for the economic evaluation oflong-term investment projects in Italy. The elaborationsretrace the steps of Table 3.

5.1 Estimate of rt according to Ramsey Formula

5.1.1. Estimation of constant parameters d and h

As explained in the previous paragraph, it is necessaryfirst to estimate the time preference rate d and theelasticity of the marginal utility of consumption h. d reflects the importance that society attaches to the wel-fare of the current generation compared to that of the nextgeneration (Barsky et al., 1997; Kula, 1984). In particular, dis the sum of two contributions, the discount rate l basedon mortality and the pure temporal preference rate r,expressed by (9):

d = l + r (9)

Because individuals rationally discount the future utilitybased on the probability of being alive at the time of decision,l coincides with the temporal average of the mortality rate.

This rate, by definition, is the ratio between the number ofdeaths in the year of reference and the average number ofresidents. Assuming that the average mortality rate in thelast generation of births remains constant in the future,then we consider the data of the last thirty years, whilereporting that the mortality rate undergoes limited changeswith the variation of the time interval (Nesticò et al., 2015). In Table 4 the rate l is estimated for Italy on the basis of themortality rates provided respectively by ISTAT and by theWorld Bank for the period 1989-2018.It derives that l = 0.99% for Italy.The pure time preference rate r is positive and reflects theirrational behaviour of individuals in the choices on thedistribution of resources over time. Since people tend togive greater weight to current well-being than the future,rmust be non-zero. It is believed to attribute a low value,namely r = 0.3%, in order not to create excessive disparityin treatment between the current and the future generation(Nesticò et al., 2015). This exactly as suggested by Evans etal. (2009) and also in agreement with Pearce and Ulph (1999)evaluating 0< r <0.5%. Definitely:

d = 0.99% + 0.3% = 1.3%.

The elasticity h of the marginal utility of consumption isestimated by implementing the formula of Stern (1977) andCowell et al. (1999), as expressed by (10):

(10)

Where t it is the marginal tax rate; T/Y is the average taxrate, the ratio between the total amount of income taxesand taxable income before tax.The database of the Organization for Economic Coopera-tion and Development Countries (OECD) provides marginalrates t and average T/Y rates of individual income tax forseveral multiples (67%, 100%, 133%, 167%) of the averagesalary. Using this data, it is immediate to calculate log (1t),log (1T/Y) and the relative ratio. From the average of theresults obtained for each multiple of average salary, weobtain the final value of h that is equal to 1.334. Table 5shows the details of the calculations.

5.1.2. Analysis of the historical series of thegrowth rate of consumption gt

According to literature data, gt is estimated on the basis ofthe per capita GDP growth rate (Percoco, 2008; Florio andSirtori, 2013). The crucial step is to select the time intervalof data to be taken as a reference because it significantlyinfluences the result of the prediction. From the historicaland economic analysis on the growth rate of GDP per capita,selecting the data of the last thirty years (1989-2018) is con-sidered consistent.In Figure 2 the trend of the GDP growth rate is summarizedfor Italy in the time interval identified.


‡ di r


‡ I



s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e



‡





‡ di t



‡ di r


‡ I



s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e



‡





‡ di t



‡ di r

‡ di r Ë discretizzata. »

‡ I



s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e



‡





‡ di t




5.1.3. Identification of the probabilitydistribution that best approximates thehistorical data

A fundamental step for forecasting the probable values tobe associated with the growth rate of consumption gt isthe identification of the probability distribution that bestapproximates the historical starting series. This distributionis identified with the help of the Oracle Crystall Ball soft-ware. Specifically, from the Anderson-Darling test, it is clearthat the best approximation of historical data is given bythe logistic curve.

Figure 3 shows the probability distribution of historical

Table 3 - The logical-operational phases of the model

Table 4 -Mortality rates for Italy in the thirty-year period 1989-2018

Year 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Mean rate decade

Mortality rate (%) 0,94 0,96 0,97 0,96 0,97 0,97 0,98 0,97 0,98 1,00 0,97


Mortality rate (%) 0,98 0,98 0,96 0,98 1,02 0,95 0,98 0,96 0,98 0,99 0,98


Mortality rate (%) 1,00 0,99 1,00 1,03 1,00 0,98 1,07 1,00 1,04 1,05 1,02

Mean rate thirty years (%) 0,99

Table 5 - Estimate of h for Italy

% average wage 67% 100% 133% 167%

Marginal tax rate t 54,80% 54,80% 62,80% 63,20%

Average tax rate T/Y 40,80% 47,80% 51,80% 54,10%

log (1–t) –0,345 –0,345 –0,429 –0,434

log (1–T/Y) –0,228 –0,282 –0,317 –0,338

h 1,515 1,221 1,355 1,284

Avarage value of h 1,344

Ë

Ë immediato calcolare

l Ë

p

T

Ë


l Ë

p

T

Figure 2 - Average growth rate of GDP in the period 1979-2018for Italy (sources: Istat and World Bank, 2018)

1. Estimate of rt according toRamsey formula

1.1. Estimation of constant parameters d and h

1.2. Analysis of the historical series of the growth rate of consumption gt1.3. Identification of the probability distribution that best approximates the historical data

1.4. Monte-Carlo analysis to estimate the probable values of gt1.5. Estimate of the probability distribution of the discount rate r

2. Estimate of the “certainty-equivalent” discount factor

3. Estimate of the “certainty-equivalent” discount rate


data, to which the logistic curve is superimposed, i.e. theone that best approximates the starting dataset.

5.1.4. Monte-Carlo analysis to estimate theprobable values of gt

Based on the probability distribution defined in point 5.1.3,we predict the likely GDP growth rate by the Monte Carloanalysis. Specifically, 10,000 random extractions are madeto foresee the unknown parameter. Figure 4 shows theprobability distribution of gderiving from the Monte Carlosimulation.

5.1.5. Estimate of the probability distribution ofthe discount rate r

Once the probability distribution of the growth rate of con-sumption g has been defined, the distribution of the dis-count rate r can also be obtained by applying the Ramseyformula (1). Figure 5 returns the probability distribution ofr deriving from the Monte Carlo simulation, of which onlythe positive values are considered.

Table 6 shows the minimum, average and maximum valuefor each of the 100 discretization intervals of the distributionfunction of r. The probability is then estimated that theaverage rate of each interval has to occur.

5.2 Estimate of the “certainty-equivalent” discountfactor

Note the series of values to be associated with the discountrate r and the relative probability (Table 6), the “certainty-equivalent” discount factor can be estimated using the for-mula (11)

(11)

In Table 7 the “certainty-equivalent” discount factors as afunction of time is therefore reported.

Figure 3 - Frequency distribution of historical data and logisticdistribution curve.

Figure 4 - Probability distribution of the variable g deriving fromthe Monte-Carlo simulation.

Figure 5 - Probability distribution of the variable r deriving fromthe Monte-Carlo simulation.

Graphicbin r min r max r med Prob. Freq.

1 -3.677% -3.538% -3.608% 0.051% 5

2 -3.538% -3.400% -3.469% 0.111% 11

3 -3.400% -3.261% -3.330% 0.111% 11

4 -3.261% -3.123% -3.192% 0.101% 10

5 -3.123% -2.984% -3.053% 0.061% 6

6 -2.984% -2.846% -2.915% 0.142% 14

7 -2.846% -2.707% -2.776% 0.132% 13

8 -2.707% -2.568% -2.638% 0.203% 20

9 -2.568% -2.430% -2.499% 0.101% 10

10 -2.430% -2.291% -2.361% 0.193% 19

11 -2.291% -2.153% -2.222% 0.213% 21

Table 6 - Distribution of r probability of r deriving from the Monte Carlo simulation



Segue Table 6 - Distribution of r probability of r deriving from the Monte Carlo simulation



12 -2.153% -2.014% -2.083% 0.193% 19

13 -2.014% -1.876% -1.945% 0.182% 18

14 -1.876% -1.737% -1.806% 0.182% 18

15 -1.737% -1.599% -1.668% 0.284% 28

16 -1.599% -1.460% -1.529% 0.284% 28

17 -1.460% -1.321% -1.391% 0.294% 29

18 -1.321% -1.183% -1.252% 0.264% 26

19 -1.183% -1.044% -1.114% 0.517% 51

20 -1.044% -0.906% -0.975% 0.466% 46

21 -0.906% -0.767% -0.836% 0.497% 49

22 -0.767% -0.629% -0.698% 0.416% 41

23 -0.629% -0.490% -0.559% 0.486% 48

24 -0.490% -0.352% -0.421% 0.436% 43

25 -0.352% -0.213% -0.282% 0.699% 69

26 -0.213% -0.074% -0.144% 0.730% 72

27 -0.074% 0.064% -0.005% 0.841% 83

28 0.064% 0.203% 0.133% 0.760% 75

29 0.203% 0.341% 0.272% 0.953% 94

30 0.341% 0.480% 0.411% 1.013% 100

31 0.480% 0.618% 0.549% 0.993% 98

32 0.618% 0.757% 0.688% 1.348% 133

33 0.757% 0.895% 0.826% 1.348% 133

34 0.895% 1.034% 0.965% 1.490% 147

35 1.034% 1.173% 1.103% 1.439% 142

36 1.173% 1.311% 1.242% 1.693% 167

37 1.311% 1.450% 1.380% 1.510% 149

38 1.450% 1.588% 1.519% 1.794% 177

39 1.588% 1.727% 1.658% 1.774% 175

40 1.727% 1.865% 1.796% 2.037% 201

41 1.865% 2.004% 1.935% 2.017% 199

42 2.004% 2.143% 2.073% 2.230% 220

43 2.143% 2.281% 2.212% 2.138% 211

44 2.281% 2.420% 2.350% 2.270% 224

45 2.420% 2.558% 2.489% 2.422% 239

46 2.558% 2.697% 2.627% 2.209% 218


47 2.697% 2.835% 2.766% 2.574% 254

48 2.835% 2.974% 2.905% 2.574% 254

49 2.974% 3.112% 3.043% 2.361% 233

50 3.112% 3.251% 3.182% 2.716% 268

51 3.251% 3.390% 3.320% 2.453% 242

52 3.390% 3.528% 3.459% 2.483% 245

53 3.528% 3.667% 3.597% 2.382% 235

54 3.667% 3.805% 3.736% 2.128% 210

55 3.805% 3.944% 3.874% 2.524% 249

56 3.944% 4.082% 4.013% 2.534% 250

57 4.082% 4.221% 4.152% 2.564% 253

58 4.221% 4.359% 4.290% 2.493% 246

59 4.359% 4.498% 4.429% 2.199% 217

60 4.498% 4.637% 4.567% 2.027% 200

61 4.637% 4.775% 4.706% 2.047% 202

62 4.775% 4.914% 4.844% 1.865% 184

63 4.914% 5.052% 4.983% 1.915% 189

64 5.052% 5.191% 5.121% 1.652% 163

65 5.191% 5.329% 5.260% 1.561% 154

66 5.329% 5.468% 5.399% 1.429% 141

67 5.468% 5.606% 5.537% 1.196% 118

68 5.606% 5.745% 5.676% 1.358% 134

69 5.745% 5.884% 5.814% 1.196% 118

70 5.884% 6.022% 5.953% 1.186% 117

71 6.022% 6.161% 6.091% 1.186% 117

72 6.161% 6.299% 6.230% 0.973% 96

73 6.299% 6.438% 6.369% 0.638% 63

74 6.438% 6.576% 6.507% 0.821% 81

75 6.576% 6.715% 6.646% 0.689% 68

76 6.715% 6.853% 6.784% 0.659% 65

77 6.853% 6.992% 6.923% 0.507% 50

78 6.992% 7.131% 7.061% 0.497% 49

79 7.131% 7.269% 7.200% 0.517% 51

80 7.269% 7.408% 7.338% 0.507% 50

81 7.408% 7.546% 7.477% 0.405% 40


5.3. Estimate of the “certainty-equivalent” discountrate. Results and discussion

Finally, formula (8) leads to the result of the analysis, thatis to the estimate of the “certainty-equivalent” discountrate. This is a function that declines over time according tothe relationship:

(8)

As shown in Figure 6, the declining discount rate for Italystarts from an initial value of 3.65% to reach 2.68% after 30years, 2.18% after 50 and 0.49% after 300 years.Figure 7 represents the interval function (dotted line) thatapproximates the continuous function of the decliningrate.The estimate provides a value of the discount rate that inthree hundred years declines by about 2.5%, with a moremarked decrease in the first eighty years and less appre-ciable with the progression of the time horizon. The averagerate for the first twenty years, as shown in Figure 7, is equalto 3.3%, a result consistent with the discount rate suggestedby the European Commission (2014) for economic analysesthat is 3.0%.

6. CONCLUSIONS AND POLICY IMPLICATIONS

The estimate of the discount rate is among the most com-plex and debated issues of the economic evaluation of theprojects. This is because the Social Discount Rate (SDR) isa parameter that significantly influences the economic per-formance of an investment project. Generally, the discount-ing carried out for public projects takes place at a constantrate, thus assigning a progressively lower weight to thecosts and benefits that are more distant over time. Thisproblem is more important when it is necessary to evaluateinvestments with long-term effects, first those with envi-ronmental and/or social implications. A possible resolutionof the question is to resort to time-declining discount rates.In this way, it is possible to reduce the contraction effectthat the financial discounting causes on the more distantmonetary terms over time.In the literature there are essentially two approaches forestimating the Declining Discount Rate (DDR), i.e. the Con-sumption-Based Approach and the Expected Net PresentValue Approach. The critical analysis of these approacheshighlights certain limitations. For the Consumption-BasedApproach, these limits essentially concern the forecast ofthe growth rate gt of consumption that appears in (2). Infact, according to the assumptions regarding the gtpredic-tion, we obtain:a) a constant function and not declining of the discount

rate rt;b) a declining function of the discount rate, but significantly

influenced by the estimate of the shock correlation para-meter r;



82 7.546% 7.685% 7.616% 0.375% 37

83 7.685% 7.823% 7.754% 0.334% 33

84 7.823% 7.962% 7.893% 0.355% 35

85 7.962% 8.100% 8.031% 0.304% 30

86 8.100% 8.239% 8.170% 0.264% 26

87 8.239% 8.378% 8.308% 0.223% 22

88 8.378% 8.516% 8.447% 0.142% 14

89 8.516% 8.655% 8.585% 0.304% 30

90 8.655% 8.793% 8.724% 0.182% 18

91 8.793% 8.932% 8.863% 0.071% 7

92 8.932% 9.070% 9.001% 0.172% 17

93 9.070% 9.209% 9.140% 0.193% 19

94 9.209% 9.347% 9.278% 0.122% 12

95 9.347% 9.486% 9.417% 0.041% 4

96 9.486% 9.625% 9.555% 0.162% 16

97 9.625% 9.763% 9.694% 0.081% 8

98 9.763% 9.902% 9.832% 0.091% 9

99 9.902% 10.040% 9.971% 0.081% 8

100 10.040% 10.179% 10.110% 0.061% 6

Table 7 - “Certainty-equivalent” discount factor

Year“Certainty-equivalent” discount factor

Year“Certainty-equivalent” discount factor

1 0.885 30 0.360

2 0.854 40 0.280

3 0.824 50 0.223

4 0.796 60 0.181

5 0.769 70 0.150

6 0.743 80 0.127

7 0.718 90 0.108

8 0.694 100 0.094

9 0.671 150 0.053

10 0.650 200 0.035

20 0.476 300 0.020



a probability function is associated on the basis of the cor-responding historical data. From this function it is possibleto obtain the probable values to be associated to the growthrate g of consumption and, consequently, to the discountrate r. In this way it is assumed that the probable valuesassociated with the uncertain parameter g are the sameeach year, i.e. that there is no correlation between thevalues of year t and those of year t + 1. With the advantageof not having to estimate the correlation parameter ρ, whichremains uncertain as far as the forecast model used can besophisticated.

The proposed model, based on theoretical principles widelyrecognized in the literature, is easier to implement thanthe known approaches and is based on economic anddemographic data of easy retrieval. The implementationfor the Italian economy makes it possible to validate themodel and returns a discount rate that declines from aninitial value of 3.65%, and then falls to 2.68% after 30 years,at 2.18% after 50 and, finally, at 0.49% after 300 years.

It is to be considered that the discount rate estimated forthe first 30 years is on average 3.1%. This result is close tothe 3.0% value suggested by the European Commission(2014) to countries not belonging to the Cohesion Fund

c) a declining function of rt, with gt modelled through anormal distribution which however is not always theone that best approximates the historical data. On theother hand, the Expected Net Present Value Approachcan be criticized because it estimates the discount rateuncertain on the basis of government bond interestrates. And the use of such data, it has been said, oftendoes not reflect the socio-economic structure of a coun-try. Moreover, the prediction of the ri values that appearin (7) occurs through econometric models often difficultto implement.

The attempt to overcome the detected limits leads to char-acterize an innovative estimation model of the DDR basedon probabilistic laws. Starting from the Ramsey formula,the growth rate of consumption gt – on which the discountrate rdepends – is modelled as a random variable, to which

Figure 6 - Term structure of DDR for Italy.

Year


discountrate

Year


discountrate

1 0.885 30 0.360

2 0.854 40 0.280

3 0.824 50 0.223

4 0.796 60 0.181

5 0.769 70 0.150

6 0.743 80 0.127

7 0.718 90 0.108

8 0.694 100 0.094

9 0.671 150 0.053

10 0.650 200 0.035

20 0.476 300 0.020

Figure 7 - Step function of DDR for Italy.

Year r

1-20 3.304%

21-40 2.669%

41-70 2.071%

71-100 1.561%

101-150 1.137%

51-200 0.823%

201-300 0.586%


for the 2014-2020 programming period. It should also benoted that the European Commission itself, while not pro-viding any indication on the use of time-declining discountrates, encourages Member States to make specific estimateson the Social Discount Rate (SDR) to be used in the eco-nomic evaluation of projects at national level.The application makes it clear that for long-term projectsthe outcomes of the Cost-Benefit Analysis (CBA) can differsignificantly by choosing a declining in place of time-invari-ant discount rates, with political repercussions on the entireprocess of allocating resources public (Burgess 1988, Gust-

man and Steinmer 2012, Groom and Hepburn, 2017). In thissense, by adopting constant discount rates, we tend tounderestimate the long-term externalities, so as to inducethe decision-maker to a different selection of the projectinitiatives to be financed.Therefore, proposing a rigorous and simple DDR estimationmodel, can correctly favour the use of hyperbolic discountprocedures in economic analyses, distinguishing betweenconstant discount rates for the evaluation of projects withintra-generational effects and discount time-declining inthe case of inter-generational interventions.

DIAMOND P., Opportunity Cost of Public Investment:Comment, The Quarterly Journal of Economics, n. 84, 1968,pp. 682-688.

DASGUPTA P., Discounting Climate Change Journal of Riskand Uncertainty, Vol. 37, n. 2-3, 2008, pp. 141-169.

EVANS D.J., KULA, E., Social Discount Rates and WelfareWeights for Public Investment Decisions under BudgetaryRestrictions: The Case of Cyprus, VIII Milan EuropeanEconomic Workshop, University of Milan, Working Paper,n. 19, 2009.

EUROPEAN COMMISSION, Guide to Cost-Benefit Analysis ofInvestment Projects. Economic appraisal tool for CohesionPolicy 2014-2020, Directorate-General for Regional andUrban policy, Bruxelles, 2014.

FLORIO M., SIRTORI E., The social cost of capital: recentestimates for the EU countries, Centre for industrial studies,Working Paper, n. 03, 2013.

FIORE P., NESTICÒ A., MACCHIAROLI M., The energyimprovement of monumental buildings. An investigationprotocol and case studies,Valori e Valutazioni, n. 16, 2016,pp. 45-55.

FREEMAN M. C., GROOM B., EKATERINI P., PANTELIDES S. T.,Declining discount rates and the ‘Fisher Effect: Inflated past,discounted future?, Journal of Environmental Economicsand Management, Vol. 73, 2015, pp. 32-49.

GOLLIER, C., Discounting an Uncertain Future, Journal ofPublic Economics, Vol. 85, n. 92, 2002a, pp. 149-166.

GOLLIER C., Time horizon and the discount rate, Journal ofEconomic Theory, Vol. 107, 2002b, pp. 463-473.

* Gabriella Maselli. Department of Civil Engineering. University of Salerno, Italye-mail: [email protected]

** Antonio Nesticò. Department of Civil Engineering. University of Salerno, Italye-mail: [email protected].

Bibliography

ARROWK. J., CROPPERM. L., GOLLIERC., GROOMB., ET AL., ShouldGovernments Use a Declining Discount Rate in ProjectAnalysis?, Review of Environmental Economics and Policy,Vol. 8, n. 2, 2014, pp. 145-163.BARSKY R. B., KIMBALL M. S., JUSTER T. F., SHAPIRO M. D.,Preference Parameters and Behavioral Heterogeneity: AnExperimental Approach in the Health and RetirementSurvey, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 112, n. 2,1997, pp. 537-579.BURGESS D. F., Complementarity and the Discount Rate forPublic Investment, The Quarterly Journal of Economics,Vol. 103, n. 3, 1988, pp. 527-541.CECCHETTI S. G., LAM P. S, MARK N. C., Asset pricing withdistorted beliefs: Are equity returns too good to be true,American Economic Review, Vol. 90, n. 4, 2000, pp. 787-805.CONCEIÇÃO P., ZHANG, Y., Discounting in the context ofclimate change economics: the policy implications ofuncertainty and global asymmetries, EnvironmentalEconomics and Policy Studies, Vol. 12, n. 1-2, 2010, pp. 31-57. DOI: 10.1007/s10018-010-0162-9.COWELL F. A, GARDINER K. A., Welfare Weights, London Schoolof Economics, London, STICERD Research Paper, n. 20, 1999.CROPPER M. L., LAIBSON D., The Implications of HyperbolicDiscounting for Project Evaluation, World Bank PolicyResearch Working Paper Series 1943, Washington DC, 1998.CROPPERM. L., FREEMANM.C., GROOMB., PIZERW.A., DecliningDiscount Rates, American Economic Review: Papers &Proceedings, Vol. 104, n. 5, 2014, pp. 538-543.

Authors contribution

The present paper is to be attributed in equal parts to the two authors.



GOLLIER C.,Maximizing the expected net future value as analternative strategy to gamma discounting, Finance ResearchLetters, Vol. 1, n. 2, 2004, pp. 85-89.

GOLLIER C., The consumption-based determinants of theterm structure of discount rates, Mathematics and FinancialEconomics, Vol. 1, n. 2, 2007, pp.81-102.GOLLIER C., Discounting with Fat-Tailed Economic Growth,Journal of Risk and Uncertainty, Vol. 37, n. 2, 2008, 171-186.

GOLLIER C., Pricing the future: The economics of discountingand sustainable development, Princeton University Press,Princeton, 2011.

GOLLIER, C., WEITZMAN, M. L., How Should the Distant Futurebe Discounted When Discount Rates are Uncertain?,Economic Letters, n. 145 2010, pp. 812-829.

GOULDER L. H., WILLIAMS R. C., The choice of discount ratefor climate change policy evaluation, Climate ChangeEconomics, Vol. 3, n. 4, 2012, pp.1-18.

GROOMB., HEPBURN, C., Reflections—Looking Back at SocialDiscounting Policy: The Influence of Papers, Presentations,Political Preconditions, and Personalities, Review ofEnvironmental Economics and Policy, Vol. 11, n. 2, 2017, pp.336-356.

GROOM, B., HEBPURN C., KOUNDOURI P., PEARCE D., DecliningDiscount Rates: The Long and the Short of it, Environmentaland Resource Economics, Vol. 32, n. 44, 2005, pp. 445-493.

GROOM B., KOUNDOURI P., PANOPOULOU E., PANTELIDES S.T.,Discounting the Distant Future: How much does modelselection affect the certainty equivalent rate?, Journal ofApplied Econometrics, Vol. 22, n. 3, 2007, pp. 641-656.

GUSTMAN A. L., STEINMEIER T. L., Policy Effects in Hyperbolicvs. Exponential Models of Consumption and Retirement,Journal of Public Economics, Vol. 96, n. 5-6, 2012, pp. 465-473.

HAHN R.W., DUDLEY P.M., How Well Does the U.S.Government Do Benefit-Cost Analysis?, Review ofEnvironmental Economics and Policy, Vol.1, n. 2, 2007, pp.192-211.

HARRIS C., LAIBSON D., Dynamic Choices of HyperbolicConsumer, Econometrica, Vol. 69, n. 4, 2001, pp. 935-957.

HENDERSONN., LANGFORD I., Cross-Disciplinary Evidence forHyperbolic Social Discount Rates, Management Science,Vol. 44, n. 11, 1998, pp.1493-1500.

HEPBURNC., KOUNDOURI P., PANOPOULOU E, PANTELIDIS T., SocialDiscounting under Uncertainty: a Cross-countryComparison, Journal of Environmental Economics andManagement, Vol. 57, n. 2, 2009, pp.140-150.

HM TREASURY,Central Government Guidance on Appraisaland Evaluation, The Green book, London, 2018.

KULA E., Derivation of Social Time Preference Rates for theUnited States and Canada, The Quarterly Journal ofEconomics, Vol. 99, n. 4, 1984, pp. 873-882.

MARGLIN S., The Social Rate of Discount and the OptimalRate of Investment, The Quarterly Journal of Economics,Vol. 77, n. 1, 1963, 95-111.

MUÑOZ TORRECILLAS M. J., CRUZ RAMBAUD S., A multifactorapproach to the social discount rate: An application to theSpanish forest system, Journal of Sustainable Forestry, Vol. 36,n. 7, 2017, pp. 687-702. DOI: 10.1080/10549811.2017.1347794.

NESTICÒ A., DEMARE G., CONTE A., Theoretical and empiricalapproaches to estimating the social discount rate. Anestimation for Italy through the Ramsey Formula, Valori eValutazioni, n. 14, 2015, pp. 47-62.

NESTICÒA., MASELLI, G., Intergenerational discounting in theeconomic evaluation of projects, in Calabrò F., Della SpinaL., Bevilacqua C. (eds), New Metropolitan Perspectives.ISHT 2018. Smart Innovation, Systems and Technologies,Springer, Cham, Vol. 101, 2019, pp. 260-268. DOI: 10.1007/978-3-319-92102-0_28.

NESTICÒ A., MASELLI G., Sustainability indicators for theeconomic evaluation of tourism investments on islands,Journal of Cleaner Production, 248, art. no. 119217, 2020.DOI 10.1016/j.jclepro.2019.119217.

NEWBERY D., Long-Term Discount Rates for the ForestEnterprise, paper commissioned by the Department ofForestry, Forestry Commission, Edinburgh, 1992.

NEWELL R. G., PIZER W. A., Discounting the Distant Future:How Much Do Uncertain Rates Increase Valuations?, Journalof Environmental Economics and Management, n. 46, 2003,pp. 52-71.

PEARCED., ULPHD., Social Discount Rate for United Kingdom,in David Pearce (eds), Environmental Economics: Essays inEcological Economics and. Sustainable Development,Edward Elgar, Cheltenham, 1999, pp. 268-285.

PERCOCO M., A social discount rate for Italy, AppliedEconomics Letters, Vol. 15, n. 1, 2008, pp. 73-77. DOI:10.1080/13504850600706537.

PRICE C., Declining discount rate and the social cost ofcarbon: Forestry consequences, Journal of ForestEconomics, Vol. 31, n. 1, 2018, pp. 39-45.

RAMSEY F. P., A Mathematical Theory of Saving, The EconomicJournal, Vol. 38, n. 152, 1928, pp. 543-559.

RAPPORT LEBÈGUE, Révision du taux d’actualisation desinvestissements publics, Commissariat Général au Plan,Paris, 2005.

READ D., Is Time-Discounting Hyperbolic or Subadditive?,Journal of Risk and Uncertainty, n. 23, 2001, pp. 5-32.

RUBINSTEIN A., Is it ‘Economics and Psychology?: The Caseof Hyperbolic Discounting, International Economic Review, Vol. 44, n. 4, 2003, pp.1207-1216.

SCHELLING T., Intergenerational Discounting, Energy Policy,Vol. 23, n. 4-5, 1995, pp. 395-401.

STERN N., Welfare Weights and the Elasticity of MarginalUtility of Income, in Artis M., Norbay R., (eds), Proceedingsof the Annual Conference of the Association of UniversityTeachers of Economics Blackwell, Oxford, 1977.

WEITZMAN M. L., On the Environmental Discount Rate,Journal of Environmental Economics and Management,Vol. 26, n. 2, 1994, pp. 200-209.


WEITZMAN M. L., Why the Far-Distant Future Should beDiscounted at its Lowest Possible Rate, Journal ofEnvironmental Economics and Management, n. 36, 1998,pp. 201-208.

WEITZMANM. L., Gamma Discounting, American EconomicReview, Vol. 91, n. 1, 2001, pp. 260-271.

WEITZMAN M. L., Subjective expectations and asset-return

puzzle, American Economic Review, Vol. 97, n. 4, 2007, pp.1102-1130.

ZHUANG J., LIANG Z., LIN T., DEGUZMAN F., Theory and Practicein the choice of Social Discount Rate for Cost-BenefitAnalysis: A Survey, ERD Economics and ResearchDepartment, Working Paper, n. 94, Asian DevelopmentBank, Manila, 2007.

rivista valori e valutazioni n. 24 - 2020 181

Gabriella Maselli*, Antonio Nesticò** parole chiave: politica economica,valutazione economica dei progetti,

social discounting, saggio sociale di sconto

Un modelloprobabilistico per la stima del saggio di scontodeclinante

1. INTRODUZIONE

Il Saggio Sociale di Sconto (Social Discount Rate, SDR),ossia il tasso r che permette di confrontare Cash Flow (CF)che si manifestano in istanti temporali differenti, è tra iparametri che maggiormente influenzano i risultati del-l’Analisi Costi Benefici (ACB) svolta dal punto di vista del-l’operatore pubblico (Marglin, 1963; Diamond, 1968; Bur-gess, 1988; Zhuang et al., 2007). Ne consegue che il valoredell’SDR influenza considerevolmente la lista di prioritàdei progetti da finanziare quando è necessario sceglierefra più investimenti, con implicazioni sull’intero processo

di allocazione delle risorse (Fiore et al., 2016; Nesticò eMaselli, 2019).

Oltre che dal valore dell’SDR, il risultato dell’ACB è for-temente condizionato anche dall’orizzonte temporalerispetto al quale è condotta l’analisi. Ciò perché il fattoredi sconto è funzione del tempo t secondo una relazioneesponenziale del tipo e-rt.

Così, all’aumentare del tempo t si verifica una sempre mag-giore contrazione dei valori attuali dei flussi di cassa pro-gressivamente più lontani rispetto al momento della valu-tazione. Ad esempio, con riferimento al generico investi-

Nell’Analisi Costi-Benefici (ACB) le tradizionali proceduredi sconto determinano una sensibile contrazione dei ter-mini finanziari più lontani nel tempo. Tale contrazionenon è accettabile nella valutazione economica dei pro-getti pubblici con effetti inter-generazionali, poiché pro-voca scarso apprezzamento dei benefici netti per le gene-razioni future. Il ricorso ad un Saggio di Sconto Declinantenel tempo (time-Declining Discount Rate, DDR) rappre-senta una possibile soluzione del problema. A valle diun’analisi critica delle principali metodologie che la teoriadescrive, lo studio propone un modello innovativo perla stima del DDR. Il modello, fondato su principi larga-mente riconosciuti in letteratura, ricorre a leggi probabi-listiche e restituisce un algoritmo previsionale di semplice

impiego, dal momento che utilizza dati economici edemografici di agevole reperimento.

L’implementazione per l’economia italiana permette divalidare il modello e rende evidente quanto significati-vamente possano variare gli esiti dell’ACB se si sceglieun saggio di sconto declinante in luogo di un saggiocostante nel tempo. Le importanti ricadute politiche sul-l’intero processo di allocazione delle risorse pubblichedimostrano l’efficacia delle procedure di sconto iperbo-liche, suggerendo di distinguere tra saggi di scontocostanti per la valutazione di progetti con effetti intra-generazionali e saggi di sconto time-declining nel casodi interventi con implicazioni inter-generazionali.

Abstract

rivista valori e valutazioni n. 24- 2020182

generations“ (Arrow et al., 2014). Tali scelte governativetestimoniano l’utilità delle procedure di sconto “iperbo-liche”, quindi tramite saggi di sconto declinanti, quandooccorre esprimere giudizi di convenienza economica periniziative di investimento i cui effetti si esplicano per piùdecenni (Newbery, 1992; Cropper e Laibson, 1998; Hen-derson e Langford, 1998; Harris e Laibson, 2001; Read,2001; Rubinstein, 2003; Hahn e Dudley, 2007; Hepburn etal., 2009; Muñoz Torrecillas e Rambaud, 2017).Di seguito, al paragrafo 2 si analizza il framework teoricoconcernente gli approcci attualmente utilizzati in lette-ratura per la stima del DDR, ossia il Consumption-BasedApproach e l’Expected Net Present Value Approach. Ladisamina consente di evidenziarne peculiarità, potenzia-lità ma anche taluni limiti. Tali limiti, esposti al paragrafo3, possono essere superati, almeno parzialmente, imple-mentando strumenti d’indagine probabilistica. Quindi,al paragrafo 4 si propone un modello innovativo struttu-rato su algoritmi a logica probabilistica per la stima deiparametri da cui dipende la misura del saggio di scontodeclinante. Il modello è poi applicato ad un caso studio,quello del sistema economico italiano, al fine di testarnela validità (paragrafo 5). Infine, al paragrafo 6 si riportanole conclusioni della ricerca. In particolare, si analizzanole importanti implicazioni di Politica economica che deri-vano dall’adozione di saggi di sconto time-declining nellavalutazione economica di progetti inter-generazionali.

2. APPROCCI TEORICI PER LA STIMA DELSAGGIO DI SCONTO DECLINANTE

La letteratura scientifica propone due approcci per la sti-ma del DDR:1. il Consumption-Based Approach;2. l’Expected Net Present Value Approach.Per entrambi, il presupposto teorico consiste nell’inclu-dere un fattore di incertezza nella struttura temporaledel saggio sociale di sconto (Gollier, 2011). Ma se nel primo approccio l’incertezza è associata al tassodi crescita del consumo che compare nella formula diRamsey (1928), nell’approccio del Valore Attuale NettoAtteso, invece, è proprio il saggio di sconto ad essereconsiderato incerto.

2.1 Consumption-Based Approach

Presuppone che nelle analisi economiche i costi e i bene-fici del progetto vengano attualizzati al tasso di scontodel consumo, ossia quel saggio rt al quale la società èdisposta a post-porre un’unità di consumo corrente perottenere maggiori consumi in seguito. Si consideri la funzione di utilità U(ct), cioè l’utilità deri-vante dal consumo medio al tempo t, ed il tasso di scontod dell’utilità U(ct). Allora per il social planner è indifferentericevere � dollari oggi o $1 al tempo t se l’utilità marginaleè la stessa:

mento che annualmente determina un flusso di cassa paria 1.000 �, si osserva che il Valore Attuale Netto (VAN) gene-rato dall’iniziativa tra 100 anni vale oggi 138 � se si utilizzaun saggio del 2%, mentre si riduce addirittura ad 1 � se l’o-perazione di attualizzazione avviene al tasso del 7,5%. LaTabella 1 esemplifica l’effetto dell’SDR nelle operazionidi attualizzazione al variare del tempo t.

È chiaro che la contrazione dei CF in funzione del tempot diviene particolarmente marcata nel caso di progettiinter-generazionali, ossia per quelli i cui effetti sono avver-titi da generazioni differenti rispetto a quelle che sosten-gono i costi (Schelling, 1995; Dasgupta, 2008; Goulder eWilliams, 2012; Gustman e Steinmeier, 2012). Basti pensareai progetti che occorre valutare su lunghi orizzonti tem-porali, come quelli volti alla riduzione delle emissioni digas serra. Difatti, si tratta di interventi con costi di investi-mento che si sostengono all’inizio del periodo di analisi,mentre i benefici connessi al contenimento dei gas si mani-festano per secoli (Conceição e Zhang, 2010; Arrow et al.,2014; Price, 2018). Ma vale anche richiamare: gli schemi diriassetto multi-obiettivo dei bacini idrici riguardanti laprovvista di acqua a fini industriali e civili, la difesa delsuolo, la produzione di energia elettrica; gli interventi diriforestazione, che raggiungono la fase di regime dopo15-25 anni dalla piantumazione; gli investimenti per impian-ti nucleari, che si caratterizzano per rischi ambientali rile-vanti solo dopo i primi 20 anni dall’entrata in funzionedelle centrali (Nesticò e Maselli, 2019; 2020).Una possibilità concreta per ovviare a tale problematica,ossia per evitare una eccessiva contrazione del valoredei Cash Flow, consiste nel ricorrere a saggi di scontotime-declining, in luogo di tassi time-invariant. Ciò per-mette di attribuire maggiore peso ad eventi più distantinel tempo. Attualmente diversi Governi adottano saggidi sconto declinanti (DDR): il Regno Unito (HM Treasury,2018), la Francia (Rapport Lebègue, 2005), la Norvegia,di recente anche la Danimarca, mentre Svezia ed Olandastanno considerando di adottarli (Price, 2018). Negli StatiUniti l’OMB (Office of Management and Budget) pureraccomanda un saggio di sconto costante più basso perla valutazione economica di progetti che incidono sullegenerazioni future: “project costs and benefits bediscounted at a constant exponential rate (which, otherthings equal, assigns a lower weight to future benefitsand costs than a declining rate), although a lower con-stant rate may be used for projects that affect future

Tabella 1 - Variazioni del VAN in funzione dell’SDR e del tempo, per CF = 1.000 �

SDR [%] t (anno) t = 10 t = 25 t = 50 t = 100

2 VAN [�] 820 610 372 138

3,5 VAN [�] 709 423 179 32

5 VAN [�] 614 295 87 8

7,5 VAN [�] 485 164 27 1

Un modello probabilistico per la stima del saggio di sconto declinante


nomia a lungo termine implica che i parametri m e s pos-sono essere trattati come incerti (Gollier, 2008, 2011; Gol-lier e Weitzman, 2010; Weitzman, 2007). Si suppone allorache il registro del consumo segua un moto brownianocon trend m(θ) e volatilità s(θ). Tali valori dipendono daun parametro θ, che risulta incerto al tempo 0. In parti-colare, si esplicitano due casi:1. la media � del tasso di crescita dell’economia è incerto,

cioè m = m(θ). Allora

(4)

in cui ∑qθ = 1, con qθ probabilità che il parametro massociato all’incertezza ha di verificarsi;

2. la volatilità s del tasso di crescita dell’economia è incer-ta, cioè s = s(θ). In questa circostanza si ha che

(5)

in cui ∑qθ = 1, dove qθ è la probabilità che il parametro �associato all’incertezza ha di verificarsi.

2.2 Expected Net Present Value Approach

L’approccio dell’ENPV assume quale parametro incertoproprio il saggio di sconto. Weitzman (2001) dimostrache stimare l’ENPV con un tasso di sconto incerto macostante equivale a computare il Net Present Value (NPV)con un saggio certo ma che decresce con un “equivalentedi certezza” fino a raggiungere il minimo valore possibileal tempo t=∞.

Se non si tiene conto dell’incertezza correlata al saggior, l’attualizzazione dei costi e dei benefici futuri che simanifestano al tempo t avviene per mezzo del noto fattoredi sconto Pt:

(6)

Quando r è una variabile stocastica, il valore attuale attesodi 1$ che si manifesta dopo t anni vale:

(7)

La (7) rappresenta il fattore di sconto “equivalente di cer-tezza”. Quindi il corrispondente saggio “equivalente dicertezza”, inteso come tasso di cambio del fattore di scon-to atteso, vale:

(8)

r̃t è dunque il tasso di progressione da t a t + 1 o anchesaggio di sconto marginale.

u’ (c0) e = e-dt u’ (ct) (1)

Se valgono le ipotesi (Arrow et al., 2014):la funzione di utilità del social planner è a variabili sepa-rabili;– l’utilità ricevuta da un dato livello di consumo è costan-

te nel tempo;– l’utilità futura è attualizzata ad un tasso d;– la funzione del consumo U(c) è iso-elastica, cioè l’ela-

sticità dell’utilità marginale del consumo è costante;allora la risoluzione della (1) in funzione di e, con e = exp (–rt ⋅ t), conduce al valore rt del tasso di sconto delconsumo espresso dalla nota formula di Ramsey (1928):

rt = d + h ⋅ gt (2)

Dove:– dè il tasso di preferenza temporale, che riflette l’importanza

che la società attribuisce al benessere della generazioneattuale rispetto a quello della generazione futura;

– h è l’elasticità dell’utilità marginale del consumo, intesocome parametro di avversione del social planner, o piùin generale del Governo, verso la disparità dei redditi;

– gt è il tasso di crescita del consumo al tempo t.Proprio l’incertezza correlata al tasso di crescita del con-sumo gt porta a scrivere la formula di Ramsey estesa. Inparticolare, se si ipotizza che gt sia approssimato da unasequenza di variabili random normalmente, indipenden-temente ed identicamente distribuite con media m evarianza s2, allora la (2) diventa:

rt = d + h ⋅ m – 0,5 h2 ⋅ s2g (3)

L’ultimo termine della (3), detto “precauzionale”, riassu-me l’incertezza sul tasso di crescita del consumo e deter-mina una riduzione del valore del saggio di sconto rt. Talesaggio è comunque costante nel tempo. Gollier (2002a; 2002b; 2008; 2011) dimostra che per otte-nere un saggio di sconto declinante la funzione dell’utilitàU(c) deve essere iso-elastica e gli shock al tasso di crescitadel consumo positivamente correlati. Nello specifico,Gollier propone di valutare il DDR prevedendo il tassodi crescita del consumo tramite un modello auto-regres-sivo lineare AR(1). In tal caso, è necessario stimare unparametro di correlazione degli shock r, il cui valoreinfluenza significativamente il risultato finale della pre-visione. La letteratura propone anche altri modelli per lastima del tasso di crescita del consumo. Basti citare il regi-me-switching model, che suggerisce una funzione delDDR che decresce lentamente nel tempo (Cecchetti, Lame Mark, 2000).Secondo Gollier (2004, 2007, 2008, 2011), un’ulteriore pos-sibilità per ottenere una funzione declinante del saggiodi sconto è quella di introdurre alcuni parametri di incer-tezza nella (3). Difatti, l’assenza di un set di dati sufficien-temente ampio relativo al processo di crescita dell’eco-

Ë comunque

c G

Ë necessario s

Ë quella di i

‡

Ë Allora

‡ che il

p



p


a


A

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Al fine di esemplificare lo schema logico su cui si basal’approccio in discorso, si consideri la stima del fattoredi sconto equivalente di certezza e del saggio di scontoequivalente di certezza, dal tempo t = 1 al tempo t = 10,nel caso di saggio di sconto incerto ma costante, con lastessa probabilità di valere sia il 5% che il 2%. Allora:a) al tempo t = 1 e al tempo t = 2 i fattori di sconto equi-

valenti di certezza valgono rispettivamenteE(P1) = 0,5 · e-0,05·1 + 0,5 · e-0,02 ·1 = 0,9657E(P2) = 0,5 · e-0,05·2 + 0,5 · e-0,02 ·2 = 0,9328

b) per t = 1 il saggio di sconto equivalente di certezza è

r̃t = E(P1) – 1 = 0,9657r̃t = –––– – 1 = –––––– – 1 = 0,0353 = 3,53%r̃t = E(P2) – 1 = 0,9328

Così procedendo per gli istanti temporali successivi, puòcostruirsi la Tabella 2, che mostra come l’inclusione delfattore “incertezza” nella struttura del saggio di scontone determini una funzione declinante con l’orizzontetemporale t.

Per stimare i DDR tramite l’approccio dell’ENPV, è inoltrenecessario stabilire: 1. quale parametro economico impiegare per la stima

dei saggi ri che compaiono nella formula (7); 2. il modello econometrico che permette di stimare il

valore del saggio di sconto ri, una volta stabilito il trendstorico di dati da utilizzare per la previsione.

Sul primo punto, sovente in letteratura si utilizzano ibond governativi a lungo termine. Autori come Weitzman(1994, 1998, 2001), Newell e Pizer (2003), Groom et al.

(2007), Freeman et al. (2015) ritengono che i dati passatirelativi ai bond governativi forniscano informazioni checonsentono un’attendibile previsione dei possibili per-corsi futuri del saggio.

Per ciò che riguarda la seconda questione, in letteraturasono proposti sia modelli econometrici semplici, comequello Auto-Regressivo lineare AR (1) basato su distribu-zioni normali o log-normali dei dati storici, sia modellipiù complessi, quali AR (p)-GARCH (l, m), Regime Swit-ching (RS), modello a Spazio di Stato (SS), anche con para-metri che variano nel tempo e che sono in grado diapprossimare meglio il trend di dati storici (Weitzman,1998, 2001; Newell e Pizer, 2003; Groom et al., 2005; Groomet al., 2007; Freeman et al., 2015; Groom e Hepburn, 2017).

3. ANALISI CRITICA DEGLI APPROCCI TEORICIPER LA STIMA DEL DDR. PROPOSTE PER UNMODELLO INNOVATIVO

Entrambi gli approcci sinteticamente descritti al prece-dente paragrafo rilevano delle criticità.

L’approccio basato sul consumo (Consumption-BasedApproach) mostra certamente un’impostazione teoricarigorosa, quella della formula di Ramsey, oltretutto fon-data su dati economici ed indicatori demografici in gradodi riflettere la struttura socio-economica di un Paese.Nondimeno, criticità sorgono nella previsione del tassodi crescita del consumo gt che compare nella (2):

a. nel caso in cui il tasso di crescita del consumo siaapprossimato ad una sequenza di variabili random nor-malmente, indipendentemente ed identicamentedistribuite con media m e varianza s2, si ottiene la for-mula di Ramsey estesa, che considera un termine “pre-cauzionale” per l’incertezza di gt. Tuttavia, come mostraproprio la (2), tale modellazione non conduce ad unafunzione declinante ma restituisce solo un valore piùcontenuto del saggio di sconto;

b. se si ipotizzano shock persistenti nel tempo, si ottieneuna funzione declinante del saggio di sconto, ma for-temente influenzata dalla stima del parametro r di cor-relazione degli shock. Difatti, sue piccole variazionipossono alterare notevolmente la rapidità con cuideclina la funzione del DDR;

c. quando si ipotizza che il consumo segua un motoBrowniano con trend m(θ) e volatilità s(θ), dove θ è laprobabilità che i parametri hanno di verificarsi, allorala variabile random gt è modellata attraverso una distri-buzione normale che non sempre è quella che meglioapprossima i dati storici (Nesticò e Maselli, 2019).

L’approccio dell’Expected Net Present Value è stato cri-ticato “for its shortage of link to the theory of benefit-cost analysis“ (Cropper et al., 2014). D’altra parte, taleapproccio stima il saggio di sconto incerto sulla base deitassi d’interesse dei government bond. E l’utilizzo di talidati, differentemente dalla formula di Ramsey che ricorread informazioni economiche e demografiche, non con-

Tabella 2 - Stima del Fattore di sconto e del Saggio di sconto equivalente di certezza al tempo t

t

Fattoredi sconto(Formula 6per r = 2%)

Fattoredi sconto (r = 5%)

Fattoredi scontoequivalentedi certezza(Formula 7)

Saggiodi scontoequivalentedi certezza(Formula 8)

1 0,9802 0,9512 0,9657 0,0353

2 0,9608 0,9048 0,9328 0,0350

3 0,9418 0,8607 0,9012 0,0348

4 0,9231 0,8187 0,8709 0,0346

5 0,9048 0,7788 0,8418 0,0343

6 0,8869 0,7408 0,8139 0,0341

7 0,8694 0,7047 0,7870 0,0339

8 0,8521 0,6703 0,7612 0,0337

9 0,8353 0,6376 0,7364 0,0334

10 0,8187 0,6065 0,7126 0,0332



sente di riflettere la struttura socio-economica di un Pae-se. Ancora, aspetto critico attiene alle già evidenziate dif-ficoltà dei modelli econometrici di prevedere i valori diri che compaiono nella (7).

Ebbene, in considerazione delle criticità rilevate conriguardo agli approcci sinteticamente esposti, s’intendecaratterizzare un modello di stima del DDR in grado diperseguire due obiettivi.

In primis superare le criticità sulla natura dei dati da uti-lizzare per la previsione degli ri. Ciò ricorrendo, per leragioni esplicitate, alla formula di Ramsey, che permettedi stimare il tasso di sconto del consumo ricorrendo adati facilmente reperibili dai database nazionali ed inter-nazionali.

In secundis, si vuole evitare il ricorso a modelli econo-metrici che presuppongono spesso stringenti ipotesi pre-liminari. A tal proposito, il tasso di crescita del consumogt che compare nella formula (2), dal quale dipende ilvalore del saggio di sconto rt, può modellarsi come unavariabile casuale, a cui si associa una funzione di proba-bilità sulla base dei dati storici dello stesso gt. Dalla fun-zione di probabilità così ottenuta, è possibile determinarepoi una serie di probabili valori da associare al tasso gte, per conseguenza, all’incognita rt.

In funzione degli obiettivi stabiliti, il paragrafo 4 che segueillustra la struttura logica del modello, poi verificato conl’applicazione al paragrafo 5.

4. UN APPROCCIO PROBABILISTICO PER LASTIMA DEL DDR

Con lo scopo di determinare una sequenza temporale divalori del DDR razionalmente decrescenti, si riproponela formula (2) di Ramsey rt = d + h ⋅ gt come impiegata nelConsumption-Based Approach.

L’idea è di assumere il tasso di crescita del consumo gtnella (2) come variabile incerta e costante nel periodo

d’analisi. Ciò significa associare al valore futuro incertodi g = gt una distribuzione di probabilità desunta dall’a-nalisi dell’evoluzione dello stesso gt in un arco temporalepassato sufficientemente ampio (Fig. 1).Una volta prevista la distribuzione dei probabili valori dig, è possibile ottenere i probabili valori che può assumereil tasso di sconto del consumo r. Difatti, la (2) mostra che rt è funzione di gt , oltre che dellevariabili deterministiche d e h, rispettivamente tasso dipreferenza temporale ed elasticità dell’utilità marginaledel consumo. In particolare, d e h possono ottenersi tra-mite le formule:

d = l + r (9)

(10)

Nella (9) l è un saggio di mortalità ed r è saggio di prefe-renza temporale pura. Nella formula (10), proposta daStern (1977) e da Cowell e Gardiner (1999), t è l’aliquotamarginale d’imposta, T/Y è l’aliquota media d’imposta,rapporto tra l’ammontare complessivo delle imposte sulreddito e il reddito tassabile al lordo delle imposte.Da evidenziare che l’impostazione data al problema valu-tativo conduce ad assegnare a g, e quindi ad r, distribu-zioni di probabilità costanti nell’intervallo temporale d’in-dagine.Ora la questione diventa: tra gli infiniti possibili valori dir tra quelli che la distribuzione di probabilità indica, qualè quello da assegnare per le operazioni di sconto deiflussi di cassa che il progetto d’investimento genera neglin anni del periodo d’analisi?Qui soccorre la logica dell’approccio dell’ENPV, secondocui stimare l’ENPV con un tasso di sconto incerto macostante equivale a computare l’NPV (Net Present Value)con un saggio certo ma che decresce con un “equivalente

‡ rilevate c

‡ sulla natura dei dati da u Ú ricorrendo, p

I

Ú modellarsi come una variabile casuale, a cui

s ‡ sulla base dei d

‡ cosÏ ottenuta, Ë possibile determinare p

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Ë possibile ottenere i probabili valori che

p Ú assumere il tasso di sconto del consumo

D Ë funzione di g

Ë un saggio di mortalit‡ ed r Ë saggio di

p

Ë

‡ costanti

‡ i Ë quello da assegnare per le operazioni d

Ú significa passare dal

s ‡ in Figura 1,

a

La banda grigia rappresenta l’intervallo entro il quale ricadono i valori previsionali di gt da cui dipende la stima del saggio di sconto rt secondo laformula (2). rt è assunto incerto e costante nel tempo, secondo la distribuzione di probabilità rappresentata in alto a destra.

Figura 1 -Distribuzione di probabilità di gt sulla base del tren storico.


di certezza” fino a raggiungere il minimo valore possibileal tempo t = � (Arrow et al., 2014). Ciò significa passare dalsaggio di sconto incerto e costante come stabilito attra-verso la distribuzione di probabilità in Figura 1, al saggiocerto ma decrescente con un “equivalente di certezza”.Il passaggio dal saggio di sconto incerto e costante al sag-gio certo ma decrescente con un “equivalente di certez-za”, impone innanzitutto di stimare il fattore di scontoE(Pt) per ogni istante futuro t. Tale fattore di sconto è stimato attraverso la relazione:

(11)

Dove:ri = valore dell’i-esimo saggio di sconto, come risulta dalladistribuzione di probabilità di r derivata dalla formula (2)con gt variabile incerta;pi = probabilità che l’i-esimo valore ri del saggio ha diverificarsi;t = variabile temporale;m = numero di intervalli in cui la funzione di probabilitàdi r è discretizzata. È chiaro che il termine esprime il valoredel fattore di sconto r in grado di rappresentare, attraversoun unico valore di sintesi, la sua intera distribuzione diprobabilità. In altri termini, si perviene alla sequenza temporale deifattori di sconto E(P1), E(P2), …, E(Pn). A questo punto, l’ultimo passaggio consiste nella stimadel saggio di sconto declinante :

(8)

Nella (8), già introdotta al paragrafo 2.2, E(Pt) rappresentail fattore di sconto “equivalente di certezza”. Tale fattorevaria in funzione tempo t, così da condurre ad una strutturadeclinante del saggio di sconto. esprime il tasso di pro-gressione da t a t + 1 o anche saggio di sconto marginale. Alla luce di quanto esposto, la struttura logica del modellodi stima del DDR si articola in tre fasi tra loro sequenziali:1. previsione del saggio di sconto r su base probabilistica;2. stima del fattore di sconto equivalente di certezza E(Pt);3. determinazione del saggio di sconto equivalente di cer-

tezza r̃t .La Tabella 3 schematizza le fasi logiche ed operative delmodello.

5. UN’APPLICAZIONE DEL MODELLO. STIMADEL DDR PER L’ITALIA

Il modello probabilistico proposto è implementato perstimare il DDR al quale ricorrere per la valutazione eco-

nomica di progetti d’investimento a lungo termine in Ita-lia. Le elaborazioni ripercorrono gli step di Tabella 3.

5.1 Previsione di rt sulla base della formula diRamsey

5.1.1. Stima dei parametri costanti d ed h.

Come spiegato al paragrafo precedente, è necessario inprimo luogo stimare il saggio di preferenza temporale de l’elasticità dell’utilità marginale del consumo h. d riflette l’importanza che la società attribuisce al benes-sere della generazione attuale rispetto a quello dellagenerazione futura (Barsky et al., 1997; Kula, 1984). In par-ticolare, d è somma di due contributi, il saggio di scontol basato sulla mortalità ed il saggio di preferenza tempo-rale pura r, secondo la (9):

d = l + r (9)

Poiché gli individui scontano razionalmente l’utilità futurain base alla probabilità di essere vivi al momento della deci-sione, l coincide con la media temporale del tasso di mor-talità. Tale tasso, per definizione, è il rapporto tra il numerodei decessi nell’anno di riferimento e il numero medio diresidenti. Assumendo che il tasso di mortalità medio nel-l’ultima generazione di nati si mantenga costante nel futuro,allora si considerano i dati dell’ultimo trentennio, pur segna-lando che il tasso di mortalità subisce variazioni contenuteal variare dell’intervallo temporale (Nesticò et al., 2015).In Tabella 4 il saggio l è stimato per l’Italia sulla base deitassi di mortalità forniti rispettivamente dall’ISTAT e dallaWorld Bank per il periodo 1989-2018.Ne deriva per l’Italia l = 0,99%. Il saggio di preferenza temporale pura r è positivo e riflet-te il comportamento irrazionale degli individui nellescelte sulla distribuzione delle risorse nel tempo. Poichéle persone tendono a dare peso maggiore al benessereattuale rispetto a quello futuro, r deve essere non nullo.Si ritiene di attribuire un valore basso, precisamente r =0,3%, allo scopo di non creare eccessiva disparità di trat-tamento tra la generazione attuale e quella futura (Nesticòet al., 2015). Ciò esattamente come suggerito da Evans eKula (2009) e pure in accordo con Pearce e Ulph (1999)che valutano 0< r <0,5%. In definitiva:

d = 0,99% + 0,3% = 1,3%.

L’elasticità h dell’utilità marginale del consumo è stimataimplementando la formula di Stern (1977) e di Cowell eGardiner (1999), come espresso dalla (10):

(10)

dove t è l’aliquota marginale d’imposta; T/Y è l’aliquotamedia d’imposta, rapporto tra l’ammontare complessivo


‡ di r


‡ I



s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e



‡





‡ di t



‡ di r


‡ I



s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e



‡





‡ di t



‡ di r


‡ I



s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e



‡





‡ di t



‡ di r


‡ I



s

A

Ë implementato

p

Ë necessario in p

Ë somma di due

c ‡ e



‡





‡ di t




medio, si ricava il valore finale di h che è pari a 1,334. InTabella 5 si riporta il dettaglio delle elaborazioni.

5.1.2. Analisi della serie storica del tasso dicrescita del consumo gt

In accordo con i dati di letteratura, gt è stimato sulla basedel tasso di crescita del PIL pro capite (Percoco, 2008; Florioe Sirtori, 2013). Passaggio cruciale è la selezione dell’inter-

delle imposte sul reddito e il reddito tassabile al lordodelle imposte.

Il database dell’OECD (Organization for Economic Coo-peration and Development Countries) fornisce le aliquotemarginali t e quelle medie T/Y di tassazione individualesul reddito per diversi multipli (67%, 100%, 133%, 167%)del salario medio. Utilizzando tali dati, è immediato cal-colare log (1–t), log (1–T/Y) ed il relativo rapporto. Dallamedia dei risultati ottenuti per ciascun multiplo di salario

Tabella 3 - Le fasi logico-operative del modello

Tabella 4 - Tasso di mortalità per l’Italia nel trentennio 1989-2018

Anno 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Media tasso decennio

Tasso di mortalità (%) 0,94 0,96 0,97 0,96 0,97 0,97 0,98 0,97 0,98 1,00 0,97





Media tasso trentennio (%) 0,99

Tabella 5 - Stima di h per l’Italia

% salario medio 67% 100% 133% 167%

Aliquota fiscale marginale t 54,80% 54,80% 62,80% 63,20%

Aliquota fiscal media T/Y 40,80% 47,80% 51,80% 54,10%

log (1–t) –0,345 –0,345 –0,429 –0,434

log (1–T/Y) –0,228 –0,282 –0,317 –0,338

h 1,515 1,221 1,355 1,284

Valore medio di h 1,344

Ë


l Ë

p

T

Ë


l Ë

p

T

1. Stima di rt secondo la formu-la di Ramsey

1.1. Stima dei parametri costanti d ed h

1.2. Analisi della serie storica del tasso di crescita del consumo gt1.3. Identificazione della distribuzione di probabilità che meglio approssima i dati storici

1.4. Analisi Monte-Carlo per stimare i probabili valori di gt1.5. Stima della distribuzione di probabilità del saggio di sconto r

2. Stima del fattore di scontoequivalente di certezza

3. Stima del saggio di scontoequivalente di certezza


vallo temporale di dati da prendere a riferimento poichéesso influenza sensibilmente il risultato della previsione.Dall’analisi storica ed economica relativa al trend del tassodi crescita del PIL pro-capite, si ritiene coerente selezionarei dati dell’ultimo quarantennio, ossia dal 1979 al 2018. In Figura 2 è schematizzato l’andamento del tasso di crescitadel PIL per l’Italia nell’intervallo temporale individuato.

5.1.3. Identificazione della distribuzione diprobabilità che meglio approssima i datistorici

Passaggio fondamentale ai fini della previsione dei pro-babili valori da associare al tasso di crescita del consumoè l’individuazione della distribuzione di probabilità cheapprossima meglio la serie storica di partenza. Tale distri-buzione è individuata con l’ausilio del software OracleCrystall Ball. Nello specifico, dal test di Anderson-Darling,si evince che la migliore approssimazione dei dati storiciè data dalla curva logistica.La Figura 3 riporta la distribuzione di probabilità dei datistorici, alla quale si sovrappone la curva logistica, cioèquella che meglio approssima il dataset di partenza.

5.1.4. Analisi Monte-Carlo per stimare iprobabili valori di g

Sulla base della distribuzione di probabilità definita alpunto 5.1.3, si prevedono i probabili valori del tasso dicrescita del PIL mediante l’analisi Monte Carlo. Nello spe-cifico, si effettuano 10.000 estrazioni casuali per la previ-sione del parametro incognito. La Figura 4 evidenzia ladistribuzione di probabilità di g derivante dalla simula-zione Monte Carlo.

5.1.5. Stima della distribuzione di probabilitàdel saggio di sconto r

Definita la distribuzione di probabilità del tasso di crescitadel consumo g, è possibile ricavare anche la distribuzionedel saggio di sconto r applicando la formula di Ramsey(1). La Figura 5 restituisce la distribuzione di probabilitàdi r derivante dalla simulazione Monte Carlo, di cui siconsiderano solo i valori positivi.In Tabella 6 si riportano il valore minimo, medio e mas-simo per ciascuno dei 100 intervalli in cui si discretizzala funzione di distribuzione di r. Si stima poi la probabilitàche il saggio medio di ciascun intervallo ha di verificarsi.

Figura 2 - Tasso di crescita medio del PIL per l’Italia(fonti: Istat e World Bank, 2018).

Figura 3 - Distribuzione di frequenza dei dati storici e curvadi distribuzione logistica.

Figura 4 -Distribuzione di probabilità della variabile g derivantedalla simulazione Monte Carlo.

Figura 5 -Distribuzione di probabilità della variabile r derivantedalla simulazione Monte Carlo.



5.2 Stima del fattore di sconto equivalente dicertezza

Nota la serie dei valori da associare al saggio di sconto r ela relativa probabilità (Tabella 6), il fattore di sconto equi-valente di certezza può stimarsi tramite la formula (11):

(11)

In Tabella 7 si riportano dunque i fattori di sconto equi-valenti di certezza in funzione del tempo.

Bin digrafici r min r max r med Prob. Freq.

1 -3,677% -3,538% -3,608% 0,051% 5

2 -3,538% -3,400% -3,469% 0,111% 11

3 -3,400% -3,261% -3,330% 0,111% 11

4 -3,261% -3,123% -3,192% 0,101% 10

5 -3,123% -2,984% -3,053% 0,061% 6

6 -2,984% -2,846% -2,915% 0,142% 14

7 -2,846% -2,707% -2,776% 0,132% 13

8 -2,707% -2,568% -2,638% 0,203% 20

9 -2,568% -2,430% -2,499% 0,101% 10

10 -2,430% -2,291% -2,361% 0,193% 19

11 -2,291% -2,153% -2,222% 0,213% 21

12 -2,153% -2,014% -2,083% 0,193% 19

13 -2,014% -1,876% -1,945% 0,182% 18

14 -1,876% -1,737% -1,806% 0,182% 18

15 -1,737% -1,599% -1,668% 0,284% 28

16 -1,599% -1,460% -1,529% 0,284% 28

17 -1,460% -1,321% -1,391% 0,294% 29

18 -1,321% -1,183% -1,252% 0,264% 26

19 -1,183% -1,044% -1,114% 0,517% 51

20 -1,044% -0,906% -0,975% 0,466% 46

21 -0,906% -0,767% -0,836% 0,497% 49

22 -0,767% -0,629% -0,698% 0,416% 41

23 -0,629% -0,490% -0,559% 0,486% 48

24 -0,490% -0,352% -0,421% 0,436% 43

25 -0,352% -0,213% -0,282% 0,699% 69

26 -0,213% -0,074% -0,144% 0,730% 72

Tabella 6 -Distribuzione di probabilità di r derivante dalla simulazione Monte Carlo


27 -0,074% 0,064% -0,005% 0,841% 83

28 0,064% 0,203% 0,133% 0,760% 75

29 0,203% 0,341% 0,272% 0,953% 94

30 0,341% 0,480% 0,411% 1,013% 100

31 0,480% 0,618% 0,549% 0,993% 98

32 0,618% 0,757% 0,688% 1,348% 133

33 0,757% 0,895% 0,826% 1,348% 133

34 0,895% 1,034% 0,965% 1,490% 147

35 1,034% 1,173% 1,103% 1,439% 142

36 1,173% 1,311% 1,242% 1,693% 167

37 1,311% 1,450% 1,380% 1,510% 149

38 1,450% 1,588% 1,519% 1,794% 177

39 1,588% 1,727% 1,658% 1,774% 175

40 1,727% 1,865% 1,796% 2,037% 201

41 1,865% 2,004% 1,935% 2,017% 199

42 2,004% 2,143% 2,073% 2,230% 220

43 2,143% 2,281% 2,212% 2,138% 211

44 2,281% 2,420% 2,350% 2,270% 224

45 2,420% 2,558% 2,489% 2,422% 239

46 2,558% 2,697% 2,627% 2,209% 218

47 2,697% 2,835% 2,766% 2,574% 254

48 2,835% 2,974% 2,905% 2,574% 254

49 2,974% 3,112% 3,043% 2,361% 233

50 3,112% 3,251% 3,182% 2,716% 268

51 3,251% 3,390% 3,320% 2,453% 242

52 3,390% 3,528% 3,459% 2,483% 245

53 3,528% 3,667% 3,597% 2,382% 235

54 3,667% 3,805% 3,736% 2,128% 210

55 3,805% 3,944% 3,874% 2,524% 249

56 3,944% 4,082% 4,013% 2,534% 250

57 4,082% 4,221% 4,152% 2,564% 253

58 4,221% 4,359% 4,290% 2,493% 246

59 4,359% 4,498% 4,429% 2,199% 217

60 4,498% 4,637% 4,567% 2,027% 200

61 4,637% 4,775% 4,706% 2,047% 202

Segue Tabella 6 -Distribuzione di probabilità di r derivante dalla simulazione Monte Carlo


5.3 Stima del saggio di sconto equivalente dicertezza. Risultati e discussioni

Infine, la formula (8) conduce al risultato dell’analisi, cioèalla stima del saggio di sconto equivalente di certezza. Sitratta di una funzione declinante nel tempo secondo larelazione:

(8)

Come mostra la Figura 6, il saggio di sconto declinanteper l’Italia parte da un valore iniziale del 3,65% per atte-starsi al 2,68% dopo 30 anni, al 2,18% dopo 50 e allo 0,49%dopo 300 anni.La Figura 7 rappresenta la funzione ad intervalli (lineatratteggiata) che approssima la funzione continua delsaggio declinante. La stima fornisce un valore del saggio di sconto che intrecento anni declina del 2,5% circa, con un decrementopiù marcato nei primi ottanta anni e meno apprezzabile



62 4,775% 4,914% 4,844% 1,865% 184

63 4,914% 5,052% 4,983% 1,915% 189

64 5,052% 5,191% 5,121% 1,652% 163

65 5,191% 5,329% 5,260% 1,561% 154

66 5,329% 5,468% 5,399% 1,429% 141

67 5,468% 5,606% 5,537% 1,196% 118

68 5,606% 5,745% 5,676% 1,358% 134

69 5,745% 5,884% 5,814% 1,196% 118

70 5,884% 6,022% 5,953% 1,186% 117

71 6,022% 6,161% 6,091% 1,186% 117

72 6,161% 6,299% 6,230% 0,973% 96

73 6,299% 6,438% 6,369% 0,638% 63

74 6,438% 6,576% 6,507% 0,821% 81

75 6,576% 6,715% 6,646% 0,689% 68

76 6,715% 6,853% 6,784% 0,659% 65

77 6,853% 6,992% 6,923% 0,507% 50

78 6,992% 7,131% 7,061% 0,497% 49

79 7,131% 7,269% 7,200% 0,517% 51

80 7,269% 7,408% 7,338% 0,507% 50

81 7,408% 7,546% 7,477% 0,405% 40

82 7,546% 7,685% 7,616% 0,375% 37

83 7,685% 7,823% 7,754% 0,334% 33

84 7,823% 7,962% 7,893% 0,355% 35

85 7,962% 8,100% 8,031% 0,304% 30

86 8,100% 8,239% 8,170% 0,264% 26

87 8,239% 8,378% 8,308% 0,223% 22

88 8,378% 8,516% 8,447% 0,142% 14

89 8,516% 8,655% 8,585% 0,304% 30

90 8,655% 8,793% 8,724% 0,182% 18

91 8,793% 8,932% 8,863% 0,071% 7

92 8,932% 9,070% 9,001% 0,172% 17

93 9,070% 9,209% 9,140% 0,193% 19

94 9,209% 9,347% 9,278% 0,122% 12

95 9,347% 9,486% 9,417% 0,041% 4

96 9,486% 9,625% 9,555% 0,162% 16



97 9,625% 9,763% 9,694% 0,081% 8

98 9,763% 9,902% 9,832% 0,091% 9

99 9,902% 10,040% 9,971% 0,081% 8

100 10,040% 10,179% 10,110% 0,061% 6

Tabella 7 - Fattore di sconto equivalente di certezza

Anno Fattore di scontoequivalente di certezza

Anno Fattore di scontoequivalente di certezza

1 0,885 30 0,360

2 0,854 40 0,280

3 0,824 50 0,223

4 0,796 60 0,181

5 0,769 70 0,150

6 0,743 80 0,127

7 0,718 90 0,108

8 0,694 100 0,094

9 0,671 150 0,053

10 0,650 200 0,035

20 0,476 300 0,020



Tale problematica assume maggiore rilievo quando occorrevalutare gli investimenti con effetti a lungo termine, primiquelli con implicazioni ambientali e/o sociali. Una possibilerisoluzione della questione consiste nel ricorrere a saggidi sconto time-declining. Così facendo è possibile ridurrel’effetto di contrazione che l’attualizzazione finanziariacausa sui termini monetari più lontani nel tempo. In letteratura sono proposti essenzialmente due approcciper la stima del Declining Discount Rate, ossia il Consump-tion-Based Approache l’Expected Net Present Value Approa-ch. L’analisi critica di tali approcci evidenzia taluni limiti.Per il Consumption-Based Approach tali limiti riguardanoessenzialmente la previsione del tasso di crescita gt delconsumo che compare nella (2). Difatti, a seconda delleipotesi riguardanti la previsione di gt, si ottiene: a) una funzione costante del saggio di sconto rt , il cui

valore è però troppo basso; b) una funzione declinante del saggio di sconto, ma sen-

sibilmente influenzata dalla stima del parametro r dicorrelazione degli shock;

c) una funzione declinante di rt , con gtmodellata attra-verso una distribuzione normale che comunque nonsempre è quella che meglio approssima i dati storici.

D’altra parte l’Expected Net Present Value Approach è

con il progredire dell’orizzonte temporale. Il saggiomedio per i primi trent’anni, come in Figura 7, è pari al3,1%, risultato coerente con il valore del 3,0% del tassodi sconto suggerito dalla Commissione Europea (2014)per le analisi economiche.

6. CONCLUSIONI ED IMPLICAZIONI DIPOLITICA ECONOMICA

La stima del saggio di sconto è tra le questioni più com-plesse e dibattute della valutazione economica dei progetti.Ciò perché il Social Discount Rate è un parametro cheinfluenza sensibilmente la performance economica di unprogetto d’investimento. Generalmente, l’operazione diattualizzazione condotta per progetti pubblici avviene adun saggio costante, attribuendo così un peso progressiva-mente più basso ai costi e ai benefici più distanti nel tempo.

Figura 6 - Struttura a termine del DDR per l’Italia. Figura 7 - Funzione a step del DDR per l’Italia.

Anni r

1-20 3,304%

21-40 2,669%

41-70 2,071%

71-100 1,561%

101-150 1,137%

51-200 0,823%

201-300 0,586%

Anno

Saggiodi sconto

equivalente dicertezza

Anno

Saggiodi sconto

equivalente dicertezza

1 0,885 30 0,360

2 0,854 40 0,280

3 0,824 50 0,223

4 0,796 60 0,181

5 0,769 70 0,150

6 0,743 80 0,127

7 0,718 90 0,108

8 0,694 100 0,094

9 0,671 150 0,053

10 0,650 200 0,035

20 0,476 300 0,020


criticabile perché stima il saggio di sconto incerto sullabase dei tassi d’interesse dei government bond. E l’utilizzodi tali dati, si è detto, spesso non riflette la struttura socio-economica di un Paese. Inoltre, la previsione dei valoridegli ri che compaiono nella (7) avviene attraverso modellieconometrici spesso di difficile implementazione.

Il tentativo di superare i limiti rilevati conduce a caratteriz-zare un innovativo modello di stima del DDR fondato suleggi probabilistiche. A partire dalla formula di Ramsey, iltasso di crescita del consumo gt – da cui dipende il valoredel saggio di sconto r – è modellato come una variabile ran-dom, a cui si lega una funzione di probabilità sulla base deicorrispondenti dati storici. Da questa funzione è possibileottenere i probabili valori da associare al tasso di crescitadel consumo g e, per conseguenza, al saggio di sconto r.In questo modo si assume che i probabili valori associatial parametro incerto g siano gli stessi ogni anno, ossia chenon ci sia correlazione tra i valori dell’anno t e quelli del-l’anno t + 1. Con il vantaggio di non dover stimare il para-metro di correlazione r, che resta incerto per quanto sofi-sticato possa essere il modello previsionale utilizzato.

Il modello proposto, fondato su principi teorici largamentericonosciuti in letteratura, risulta di più semplice impiegorispetto agli approcci noti ed è basato su dati economici edemografici di agevole reperimento. L’implementazioneper l’economia italiana permette di validare il modello erestituisce un valore del saggio di sconto che declina a par-tire da un valore iniziale pari al 3,65%, per poi scendere al

2,68% dopo 30 anni, al 2,18% dopo 50 e, infine, allo 0,49%dopo 300 anni. Da considerare che il tasso di sconto stimato per i primi 30anni è mediamente del 3,1%. Tale risultato è prossimo alvalore del 3,0% suggerito dalla Commissione Europea (2014)ai Paesi non appartenenti al Fondo di Coesione per il perio-do di programmazione 2014-2020. Da rilevare ancora chela stessa Commissione Europea, pur non fornendo alcunaindicazione sull’utilizzo di saggi di sconto time-declining,incoraggia gli Stati Membri a rendere specifiche stime sulSocial Discount Rate (SDR) da impiegare nella valutazioneeconomica di progetti a livello nazionale. L’applicazione condotta rende evidente che per progettia lungo termine gli esiti dell’Analisi Costi-Benefici possonodifferire sensibilmente se si sceglie un saggio di scontodeclinante in luogo di saggi time-invariant, con ricadutepolitiche sull’intero processo di allocazione delle risorsepubbliche. In tal senso, adottando saggi di sconto costanti,si tende a sottostimare le esternalità di lungo periodo, cosìda indurre il decision-maker ad una differente selezionedelle iniziative progettuali da finanziare. Pertanto, proporre un modello di stima del DDR rigorosoe di semplice impiego, può correttamente favorire il ricorsoa procedure di sconto iperboliche nelle analisi economiche,distinguendo tra saggi di sconto costanti per la valutazionedi progetti con effetti intra-generazionali e saggi di scontotime-decliningnel caso di interventi con implicazioni inter-generazionali.

CECCHETTI S. G., LAM P. S, MARK N. C., Asset pricing withdistorted beliefs: Are equity returns too good to be true,American Economic Review, Vol. 90, n. 4, 2000, pp. 787-805.

CONCEIÇÃO P., ZHANG, Y., Discounting in the context ofclimate change economics: the policy implications ofuncertainty and global asymmetries, EnvironmentalEconomics and Policy Studies, Vol. 12, n. 1-2, 2010, pp. 31-57. DOI: 10.1007/s10018-010-0162-9.

COWELL F. A, GARDINER K. A., Welfare Weights, London Schoolof Economics, London, STICERD Research Paper, n. 20, 1999.

CROPPER M. L., LAIBSON D., The Implications of HyperbolicDiscounting for Project Evaluation, World Bank PolicyResearch Working Paper Series 1943, Washington DC, 1998.

* Gabriella Maselli, Dipartimento di Ingegneria Civile, Università degli Studi di Salerno, Italiae-mail: [email protected]

** Antonio Nesticò, Dipartimento di Ingegneria Civile, Università degli Studi di Salerno, Italiae-mail: [email protected].

Bibliografia

ARROWK. J., CROPPERM. L., GOLLIERC., GROOMB., ET AL., ShouldGovernments Use a Declining Discount Rate in ProjectAnalysis?, Review of Environmental Economics and Policy,Vol. 8, n. 2, 2014, pp. 145-163.

BARSKYR. B., KIMBALLM. S., JUSTERT. F., SHAPIROM. D., PreferenceParameters and Behavioral Heterogeneity: An ExperimentalApproach in the Health and Retirement Survey, The QuarterlyJournal of Economics, Vol. 112, n. 2, 1997, pp. 537-579.

BURGESS D. F., Complementarity and the Discount Rate forPublic Investment, The Quarterly Journal of Economics,Vol. 103, n. 3, 1988, pp. 527-541.

Contributi dell’autore

Il presente lavoro è da attribuire in parti uguali ai due autori.



CROPPERM. L., FREEMANM. C., GROOMB., PIZERW. A., DecliningDiscount Rates, American Economic Review: Papers &Proceedings, Vol. 104, n. 5, 2014, pp. 538-543.

DIAMOND P., Opportunity Cost of Public Investment:Comment, The Quarterly Journal of Economics, n. 84, 1968,pp. 682-688.

DASGUPTA P., Discounting Climate Change Journal of Riskand Uncertainty, Vol. 37, n. 2-3, 2008, pp. 141-169.EVANS D.J., KULA, E., Social Discount Rates and WelfareWeights for Public Investment Decisions under BudgetaryRestrictions: The Case of Cyprus, VIII Milan EuropeanEconomic Workshop, University of Milan, Working Paper,n. 19, 2009.EUROPEAN COMMISSION, Guide to Cost-Benefit Analysis ofInvestment Projects. Economic appraisal tool for CohesionPolicy 2014-2020, Directorate-General for Regional andUrban policy, Bruxelles, 2014.

FLORIO M., SIRTORI E., The social cost of capital: recentestimates for the EU countries, Centre for industrial studies,Working Paper, n. 03, 2013. FIORE P., NESTICÒ A., MACCHIAROLI M., La riqualificazioneenergetica degli edifici monumentali. Un protocollo diintervento e caso studio, Valori e Valutazioni, n. 16, 2016,pp. 45-55.

FREEMAN M. C., GROOM B., EKATERINI P., PANTELIDES S. T.,Declining discount rates and the ‘Fisher Effect: Inflated past,discounted future?, Journal of Environmental Economicsand Management, Vol. 73, 2015, pp. 32-49.

GOLLIER, C., Discounting an Uncertain Future, Journal ofPublic Economics, Vol. 85, n. 92, 2002a, pp. 149-166.

GOLLIER C., Time horizon and the discount rate, Journal ofEconomic Theory, Vol. 107, 2002b, pp. 463-473.

GOLLIER C.,Maximizing the expected net future value as analternative strategy to gamma discounting, Finance ResearchLetters, Vol. 1, n. 2, 2004, pp. 85-89.

GOLLIER C., The consumption-based determinants of theterm structure of discount rates, Mathematics and FinancialEconomics, Vol. 1, n. 2, 2007, pp.81-102.GOLLIER C., Discounting with Fat-Tailed Economic Growth,Journal of Risk and Uncertainty, Vol. 37, n. 2, 2008, 171-186.

GOLLIER C., Pricing the future: The economics of discountingand sustainable development, Princeton University Press,Princeton, 2011.

GOLLIER C., WEITZMANM. L., How Should the Distant Futurebe Discounted When Discount Rates are Uncertain?,Economic Letters, n. 145 2010, pp. 812-829.

GOULDER L. H., WILLIAMS R. C., The choice of discount ratefor climate change policy evaluation, Climate ChangeEconomics, Vol. 3, n. 4, 2012, pp.1-18.

GROOMB., HEPBURN, C., Reflections - Looking Back at SocialDiscounting Policy: The Influence of Papers, Presentations,Political Preconditions, and Personalities, Review ofEnvironmental Economics and Policy, Vol. 11, n. 2, 2017, pp.336-356.

GROOM, B., HEBPURN C., KOUNDOURI P., PEARCE D., DecliningDiscount Rates: The Long and the Short of it, Environmentaland Resource Economics, Vol. 32, n. 44, 2005, pp. 445-493.GROOM B., KOUNDOURI P., PANOPOULOU E., PANTELIDES S.T.,Discounting the Distant Future: How much does modelselection affect the certainty equivalent rate?, Journal ofApplied Econometrics, Vol. 22, n. 3, 2007, pp. 641-656.GUSTMAN A. L., STEINMEIER T. L., Policy Effects in Hyperbolicvs. Exponential Models of Consumption and Retirement,Journal of Public Economics, Vol. 96, n. 5-6, 2012, pp. 465-473.HAHN R.W., DUDLEY P.M., How Well Does the U.S.Government Do Benefit-Cost Analysis?, Review ofEnvironmental Economics and Policy, Vol.1, n. 2, 2007, pp.192-211.HARRIS C., LAIBSON D., Dynamic Choices of HyperbolicConsumer, Econometrica, Vol. 69, n. 4, 2001, pp. 935-957.HENDERSONN., LANGFORD I., Cross-Disciplinary Evidence forHyperbolic Social Discount Rates, Management Science,Vol. 44, n. 11, 1998, pp.1493-1500.HEPBURNC., KOUNDOURI P., PANOPOULOU E, PANTELIDIS T., SocialDiscounting under Uncertainty: a Cross-countryComparison, Journal of Environmental Economics andManagement, Vol. 57, n. 2, 2009, pp.140-150.HM TREASURY,Central Government Guidance on Appraisaland Evaluation, The Green book, London, 2018.KULA E., Derivation of Social Time Preference Rates for theUnited States and Canada, The Quarterly Journal ofEconomics, Vol. 99, n. 4, 1984, pp. 873-882.MARGLIN S., The Social Rate of Discount and the OptimalRate of Investment, The Quarterly Journal of Economics,Vol. 77, n. 1, 1963, 95-111.MUÑOZ TORRECILLAS M. J., CRUZ RAMBAUD S., A multifactorapproach to the social discount rate: An application to theSpanish forest system, Journal of Sustainable Forestry, Vol.36, n. 7, 2017, pp. 687-702. DOI: 10.1080/10549811.2017.1347794.NESTICÒA., DEMAREG., CONTE A., Approcci teorici ed empiricinella stima del saggio sociale di sconto. La formula diRamsey per un valore nazionale aggiornato, Valori eValutazioni, n. 14, 2015, pp. 47-62. NESTICÒA., MASELLI, G., Intergenerational discounting in theeconomic evaluation of projects, in Calabrò F., Della SpinaL., Bevilacqua C. (eds), New Metropolitan Perspectives.ISHT 2018. Smart Innovation, Systems and Technologies,Springer, Cham, Vol. 101, 2019, pp. 260-268. DOI: 10.1007/978-3-319-92102-0_28.NESTICÒ A., MASELLI G., Sustainability indicators for theeconomic evaluation of tourism investments on islands,Journal of Cleaner Production, 248, art. no. 119217, 2020.DOI 10.1016/j.jclepro.2019.119217.NEWBERY D., Long-Term Discount Rates for the ForestEnterprise, paper commissioned by the Department ofForestry, Forestry Commission, Edinburgh, 1992.


NEWELL R. G., PIZER W. A., Discounting the Distant Future:How Much Do Uncertain Rates Increase Valuations?, Journalof Environmental Economics and Management, n. 46, 2003,pp. 52-71.

PEARCED., ULPHD., Social Discount Rate for United Kingdom,in David Pearce (eds), Environmental Economics: Essays inEcological Economics and. Sustainable Development,Edward Elgar, Cheltenham, 1999, pp. 268-285.

PERCOCO M., A social discount rate for Italy, AppliedEconomics Letters, Vol. 15, n. 1, 2008, pp. 73-77. DOI:10.1080/13504850600706537.

PRICE C., Declining discount rate and the social cost ofcarbon: Forestry consequences, Journal of ForestEconomics, Vol. 31, n. 1, 2018, pp. 39-45.

RAMSEY F. P., A Mathematical Theory of Saving, The EconomicJournal, Vol. 38, n. 152, 1928, pp. 543-559.

RAPPORT LEBÈGUE, Révision du taux d’actualisation desinvestissements publics, Commissariat Général au Plan,Paris, 2005.

READ D., Is Time-Discounting Hyperbolic or Subadditive?,Journal of Risk and Uncertainty, n. 23, 2001, pp. 5-32.

RUBINSTEIN A., Is it ‘Economics and Psychology?: The Caseof Hyperbolic Discounting, International Economic Review,Vol. 44, n. 4, 2003, pp.1207-1216.

SCHELLING T., Intergenerational Discounting, Energy Policy,Vol. 23, n. 4-5, 1995, pp. 395-401.

STERN N., Welfare Weights and the Elasticity of MarginalUtility of Income, in Artis M., Norbay R., (eds), Proceedingsof the Annual Conference of the Association of UniversityTeachers of Economics Blackwell, Oxford, 1977.

WEITZMAN M. L., On the Environmental Discount Rate,Journal of Environmental Economics and Management,Vol. 26, n. 2, 1994, pp. 200-209.

WEITZMAN M. L., Why the Far-Distant Future Should beDiscounted at its Lowest Possible Rate, Journal ofEnvironmental Economics and Management, n. 36, 1998,pp. 201-208.

WEITZMANM. L., Gamma Discounting, American EconomicReview, Vol. 91, n. 1, 2001, pp. 260-271.

WEITZMAN M. L., Subjective expectations and asset-returnpuzzle, American Economic Review, Vol. 97, n. 4, 2007, pp.1102-1130.

ZHUANG J., LIANG Z., LIN T., DEGUZMAN F., Theory and Practicein the choice of Social Discount Rate for Cost-BenefitAnalysis: A Survey, ERD Economics and ResearchDepartment, Working Paper, n. 94, Asian DevelopmentBank, Manila, 2007.

a probabilistic model for the estimation of declining

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