a memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

19
Theory and Methodology A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem Paulo M. Franc ßa * , Alexandre Mendes, Pablo Moscato Faculdade de Engenharia El etrica e de Computac ß~ ao ± FEEC, Universidade Estadual de Campinas ± UNICAMP, C.P. 6101, 13081-970 Campinas-SP, Brazil Received 19 May 1999; accepted 18 April 2000 Abstract In this paper, a new memetic algorithm MA) for the total tardiness single machine scheduling SMS) problem with due dates and sequence-dependent setup times is proposed. The main contributions with respect to the implementation of the hybrid population approach are a hierarchically structured population conceived as a ternary tree and the evaluation of three recombination operators. Concerning the local improvement procedure, several neighborhood reduction schemes are developed and proved to be eective when compared to the complete neighborhood. Results of computational experiments are reported for a set of randomly generated test problems. The memetic approach and a pure genetic algorithm GA) version are compared with a multiple start algorithm that employs the all-pairs neigh- borhood as well as two constructive heuristics. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Scheduling; Memetic algorithms; Hybrid genetic algorithms; Single machine scheduling; Sequence- dependent setup times 1. Introduction Under the generic denomination of single ma- chine scheduling SMS), we understand one of the ®rst studied class of problems in the scheduling area, as the survey papers by Graham et al. [12] and Graves [13] show. There are many dierent kinds of SMS problems generally due to dierent input data and objective functions). One of the simplest to state, but not easy to solve, is the problem of sequencing n jobs, given its processing times and due dates distinct for each job), and with the objective function being to minimize the total tardiness. Tardiness is a regular performance measure, which means that an optimal schedule cannot have idle times between jobs [1,15]. Due to this fact, a valid solution of the problem can be de®ned as a permutation of the jobs. Using the permutation space representation, the solution European Journal of Operational Research 132 2001) 224±242 www.elsevier.com/locate/dsw * Corresponding author. Tel.: +55-19-788-3774; fax: +55-19- 289-1395. E-mail addresses: [email protected] P.M. Franc ßa), [email protected] A. Mendes), moscato @densis.fee.unicamp.br P. Moscato). 0377-2217/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 3 7 7 - 2 2 1 7 0 0 ) 0 0 1 4 0 - 5

Upload: paulo-m-franca

Post on 04-Jul-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

������ �� ������� �

� ������� �� ������ ��� ��� ����� �������� ��� �� ��������������� �������

����� � ������� �� �������� ����� ����� ������

��������� �� ����� � ������ �� � �� ������������ � ����� � ���� ���� �������� �� ���� �� � �������� ���� �� ��

�! "�#$% ���� ��#&�� '��( �

������� � �� � ! ������� �" ����� #$$$

��������

%� ���� ������ � ��& ������� �� ������ '�( ��� ��� ����� �������� ��� �� ������� �������� '))( ������� &���

�� ���� �� ��*�����+������� ����� ����� �� �������� ��� ���� ������������� &��� ������� �� ��� ��������������

�� ��� ����� ���������� �������� ��� � �������������� ��������� ���������� �������� �� � ������� ���� �� ���

���������� �� ����� ������������� ���������� ,�������� ��� ����� ����������� ��������� ������� ��� �������

�������� ������� ��� ������� �� ����� �� �� �-������ &��� ������� �� ��� �������� ��� �������� ������� ��

������������� ����������� ��� ������� ��� � ��� �� ������� ������� ���� ��������� ��� ������� �������� �� �

���� ������ �� ������ '.�( ������� ��� ������� &��� � �������� ����� �� ������ ���� ������� ��� ���+����� ��� �+

������ �� &��� �� �&� ������������ ����������� � #$$� /������� )������ 0�1� ��� �� ��� ��������

)�*+����, )������� ! ������ �� �������! 2���� ������ �� �������! )�� �� ������� �������� ! )�*�����+

������� ����� �����

� ���� ������

3��� ��� ������ ����������� �� ��� �� ��+����� �������� '))(� &� �������� ��� �� ���4��� ����� ����� �� �������� �� ��� �������� ����� �� ��� ������ ������ �� .����� �� ��� 5�#6

�� .����� 5�76 ���&� ����� ��� ���� �-�����8��� �� )) �������� ' �������� �� �� �-���������� ��� �� ��9������ ���������(� :�� �� ����������� �� ������ ��� ��� ���� �� ������ �� ���������� �� ��*������ 9���� ���� ��� ��������� ����� �� �� ���� '������� ��� ���� 9��(� ��&��� ��� ��9������ �������� ���� �� ������;� �������� ��������� �������� �� � ������ ������������������� &���� ����� ���� �� ������� ������������� ���� ��� ����� ���&��� 9��� 5���<6� =�� ������ ����� � ���� �������� �� ��� ������� ��� ���4�� �� � ����������� �� ��� 9���� 3��� �������������� ����� ��������������� ��� ��������

/������� >������ �� :���������� �������� �7# '#$$�( ##?@#?#&&&�������������A������A�&

�,���������� ������� ����B C<<+� +D""+7DD?! ���B C<<+� +

#" +�7 <�

�#�� � ���������, ������E�������������������� '���

�������(� ������E�������������������� '������(� �������

E�������������������� '�� ������(�

$7DD+##�DA$�AF + ��� ����� ������ � #$$� /������� )������ 0�1� ��� �� ��� ��������

�%%B ) $ 7 D D + # # � D ' $ $ ( $ $ � ? $ + <

Page 2: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

����� ��� G ���4 �������� �� ��� �� ���� �����+���� ���� ��������� �� ��� ��������

��� ��� ���� )) ������� ��� �� ������ ����� ��������� �� ��*����� ������� ����� ��������������� ����������� ��� ��� 9���� ���� ���������� ���� �� ��9������ ���������� ����� �� ���& '��� ����+&��� ��������(� &� ��� &��� �� ������;���� ��8������ ��� ����� ��������� ��� ���� ���+������ ��� ������ �� ���� 9���� �� ���� � ���+���� ��� �� ����� ��9�������� &���� &�������������;� � �����+�������� �������� ���������� ���� ���� �� ��� ��� ��� � ������� �� ��������� &����&� ��� ���� �� �������� '��� ,������ D �� ���� 5 6(�

��� )) ������� &��� ��*�����+������������ ����� �� ������� �� ���� ��������� ����+�������� �������� �� ������ ��� �� ���� 5#?6� %����� �������� ��� ��������� �� � 9�� ��*����� ������ ����� &���� ����� �� ��� ���������� 9���%� ����+&��� ����������� ���� ����� ��� ������������� ���� �� ������� � �������������� �� �����'�� 9��� �� - ��� ��� �� �-����� �����(� ���� ��������� ������� �������� ���� ��������������� ����� ��� ���� ��� '&������ ��*�����+������� ���+���(� ���� �� �� ��� ����� ���� ����&� ���&���9���� ��� ��� �������� ����� &���� ������� ����� �-������ �������� ������ ��� ��� ���� ���+���� �� ���� �����

��� )) ������� &� &��� ����� �� ���� �������� �� ������� �� �����&�B

����B H�� �� ��� ������ �� 9��� �� �� ���+����� �� ��� �������� H�� ���� � � � � ��� �� ��� ������ ��������� ����� ��� ���� ��� �� ����� ������ � � � � ��� �� ��� ���� �� �� ���� ��� ���� 9���H�� ���� �� � ������ �� ����� ������ &���� �� �� ������� ��*���� �� ����� 9�� - ����� ��� ������� ���9��� 4����� ��������� 9�� �

.��/B ��� � ����������� ���� ������;�� �������� �������� �� ��� �������� &���� �� �����������

���

���

����$� �� � ����

&���� �� ���������� ��� ���������� ���� �� 9�� /'����� ��� ���� &��� ��� ������� 4������ ��������� 9�� /(�

%� �� &��� 8��&� ���� ��� ������� �� ��*������ 9��� �� ��� ������� &������ ����� ����� �� ������

I�+��� 5"6� =������ ��� ����������� �� ���� &��������� �� ��� )) ������� ������ �� ���� ���������� ������� ������ ��������� �� ��� �������� ���+�������� �� ��; 5#?6 �������� � 0����#��#0���'0J0( ����� ��� ���� ����� ��������� ��� ������� �� ����������� ��� ������ �� ����� �� ���5#<6 �� H�� �� ��� 5�K6 ��� ��������� ����� ������ ��� ����������� �� � �������� ���� �� ���� ������������� �������� &���� �� ���� ������� ����� ����������� �� � ����� ������ ��������� �&������� ���� �������������� ���� ���� ������� ������ ����� �� �� ��; 5#K6 ������� � ��&��������� �������� �� ������ � ��� � ���� ���'.�( �� � ��� �� ���� ��������� ��� ������� ��+����� �� ��� .� �������� &��� ������� &������ ���� ���� � 0J0 �� &��� � ���� ��� �����')( �� ������ �� ���� ������� ���� ) ���+�������� 0J0 �� .� �� ���� ���������� ���+������ ������ ���� �� *������ �� ��������� ������������� ��������� :� ������� ��� ��������� ��&���� ) ����������� 0J0 &��� ��� ���� &������� ����� ����� � ��� 4� �� ������� �������������� � ����� �� ��� ������ �� ���� &�� ���������� 0J0 &�� �������� �� ���� ������ �������� ���+������� ��������� .���� ����� �������� ����� I��������� 5#D6 ����� ��� ) ������*�� �� ��������� ��������8 ��� �������� �����������&��� ��� � ������� ���� ')�( �������� ������������ ����� ���������� &�� ���� )� ������+����� ) �� ��� ��� ����� ���������� &��� ���+����� � ������������ ��� ������ ���� KL�

%� ���� ������ &� ������� � .� �� � ����� ����� ��� '�( �� ����� ��� )) ������� &�����*�����+������� ����� ������ ��� � �� �+����� ���������� �������� ��� ����� ��� �� ��������������� ���������� �������� &��� ��� �����+��4������ ��&�� �� �� � ��� ����� ������ �����+���� �� ��� ���� ��� ��� ������� I�������;����� �������� ���� �� *������� ���� �+���� 5�D6� ���� ������������� 5� 6� �������� �� ���������� 57@K�#76� )������ �������������������� '����������( 9������ &��� �������� ������� ������ ��������� ��� �������� �� ��� ��+����� ��� ������� � ����� ��� ������������ ���+������ ��,) 5�K6� M� ���� ������� ��� ������� &����� ) ����������� ���� ��� ���+����� ��� ����+��� �� &��� � ��������� ����� &���� ����������� �������� �� ��� '/==( &��� �� ���� �

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 ##<

Page 3: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

��������� %� ����� �� �� ���� 5#D6� &� ��� ��� )�� ������ �� � ��������8 �� ��8� ������������M� ���� ������ ������������� ����������� �� ��+�� �� �������� ��� �������� �-���������� �� � ����+��� �� ������������� ��������� ���������� ���������� ���� ��������

� ���������� �� ���������

M� ���� �� ������� ��� �������� � ����� ������� ��� ���� ��������� �� ��� �� ����� ����� ������ �� �� �� ��������� �� ���� �� ������������ ������� ������� �� ��������� ������ � ���&��� ��� ���� ��������� %�������� &��� ����������� �� ��� ����� �� ��� �� I��������� 5#D6�� H�� �� ��� 5�K6� ��� ��;� �� ��� ��������� ���������&��� #$ �� �$$ 9���� ��� ��������� �� ���+������ ����� �� ����� ����� �����&� � �������������� �����������B =3 �$� �$$�� =�� ���� ��� ������� ������� �� �&� ����������B ��� ������� �� ��� ���� ���� ��� �� ��� ��� � ���4�� ������� �� � �� ��� ������� 5� �� ��������� ��

�� � �����

&���� �� �� ��� ���� ��������� �������� �� ���� ���� �� �4�� �� ��� ���� ���

3����� �� &���� �������� ��� �������� � �� 9������� ��� ��� ������� �� ���������� ����� ������� ��� �*������ ��� ��� �� ���� ���� ��

�� � ��� ������

M� ����� ����� ������ ��� � �� 5B $�#� $�K �� ��$�0� �������� ����� ������� &� ������ ���� �-��+��� ���4 �������� �� ����� ����������� ����� ���� ��; 5#K6 ���& ���� &��� ���� ����� 0J0 ��+ ������� �� �������� &��� ��� �� ���� ����������� � &�� ��� � '� ��� � ����� �� 5( �� ������ ������� ���� ��� &��� ��� �� ���� ����������� �� ������& ��� �� )��������� &��� ��� ���� �� ��� ������ ���� ���� ��� �� ����� �� ���� ��� �� �� ���������� ��� ������� �� ������ �� ����� ��� �����0J0� %� ��� ���� ���� ���� ��� ���� �� ����������� ��� ������� ������� ������

� ���������� ���������� � ��� ��� ��������� ��

����

%� ���� �� ������� ��� ���������� ��+��������� &� ������ ����� ����� ������B )�/== ��������� '/==���( �� ��,)� ��� ) ��+ ������ ���������� �� ���� &��8 �������� �� ��+��������� �������� �� ������� ����� �������������&� �� � ���� ������� �������� ���� ���� �����+����� ��� �������� ���������� ��� ������������ �� � ����� �������� ��� ��� ����� ��� ��+����� �� �������������� �&����� ��� ����� �� 9����� ��� ���� ��*������ ��� ������� �� ������� ��������� ����� � ���� ��������� '� ���� ����� ������������ ���� ���( �� �����4� �� ���� ��� ���� ����+���� ���� ���� �� �������� %� �� ��� �� ��� �������������� �� ���� ������ �� ������� �������� ������ &��� ��� ��������� �� � ����� ������ �������=������ ���� ����� ) ��������������� ���� ���&� �� ������������ ��� ��*������ �������� ����� ����� ��� �� ��������8��

��� /==��� �� � ��������� ���� ����� ��� ���������� &��� �� ����� ��� ������� ������������������� �� � 4��� ������ �� ��*������ ��� 9���������� �� ��� /== ����� ����� �� � ���+�+������� ���� �� ��� �� ����� %� ��� ����������� ��� ������� �� ���������� �� �������� ����9�� �� ��� /== ��*����� �� ��� �������� ����������� ��� ������� �������� ������� ��� ��� ���� ������ ��� ������� ����� ��������� %� �� � ������ ���+��������� �� ���� �������� ������� �� ��� I/2�� ������ 4��� ������� ��� ��� N�&+���� ����+��� 5##6� ��� ���� ����� �������� �� � ����� �������������� ���� �� ���� ���+����� �� ������������ ��������� %� �� ��������� ����� � 9�� �� ��� ���� ��*����� �� �������������� ����� ��� ������������&��� ��� �&� 9��� �� ��� ��*������ ��� ���� ���������� �� �� ������ ��� ���������

H�� �� ��� 5�K6 ������� ��� ��������� ������,) �� �� ��������� �� ������� ���� 5#<6� %���8�� ���� ������� ��� ����� �� ���������� ����� �� ����� ����� ����� �� ��������� ������ %��������� �� ����� ������� ������� ��� 4��� ��� �� �������������� �� ����� ���������� ���� ���� �� ���������������������� �� ��� �������� ���� �� ��;�� ������� ����� ����� �� ��������� ������ %� �������� ������ � ������� �� ������� ���� �� ������������� ��������� �� ��� �������� ������

##K ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 4: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

�������� �� ��� ���� ������ � ����� ������ �����+��� ���� �� �&�� �� ��������� ��� ���������� �������

�� �� �� ���!�����������

.�� ������� ���� ������ �� ��� �� � D$�������������� ����� >��� 2������� ���8 ����� ��#����� � ������� �� ��� :� �� &*����� &���������� 5�?6� )���� ����� �� �� ����� ������������ �O������� .� ������ ��������� �� ��������%� ��� � "$�� � ��& ����� �� /�+����#�������.��� ��������� ����� �*0� � .��� ������ �������� �� ��� �������� ����������� ���� ��;�� ��������� �-������� �� ������������ &��� ���������������+���� ����������� ���� �� ���� &������� ���;� �� �� �� � " 5#�6 �� ���� ����+������� ��� ������ &���� ������� 5D�#$6� )����� ���� ���� �������� �� .��� &���� ��*���� �� �������� ���4 �������� ���� ��� ����� ���+��� �� � ����� ������ �� ������� 2�&����� ���� ����� ��&��� ��� �� �� �������;������ � ����������+���� ������� ���� � ����� �� �� 8��&� ��������� ������� &���� ��� �� ����� ���8 �� ��� ����� DD 5�$6� 0���&� &� ���& � �����+��� �����+��������� �� � ����� ������+���� ��

��� ��������;����� ����� �� ��� �� ������!�"�#��$�!����� �� ��� 9��� ������ ��� ������ �������%� �� ����������� ��� �������� �� ������� ������+���� '���( �� ����������� ���������� ��*����� ������������ ������;����� �� ���������� �� ���� ���+���� �������� �������� �� ��������� H����+)�����+/� ����� �� /���������������� ��������������������

����� ��� H����+)�����+���� ������ �� �+�����!

��%��

������!�"�#���!����� ��� ���� ��������!������!�"�&'�����% �;��� !������� �������� � �� � ��H����+)�����+/� ���' (!������� �������� � �� � /����������+����' (!������ A� ��������� ���� �A

��� ��� �� <�����0 �� �� ���!��������%� '�����=�� ���#

��='(����!�+= � ������������ '�����=�������='(!�� '��!����������� �+= � �( �����+= � ��������'�+= � �(!�+= � ���H����+)�����+/�+ ���'�+= � �(!/��������������'�+= � �(!� �&'�����% �������� �+= � ��� �;��� !

�� (��)� �#���!����� �-����� �;��� �����!

����! *�����������+�������������(!�� !

��� ����� ����� ������� ��� ��+����� ���#�� � ����� �� ���� ����� �&� ������ ���4 ��������'�����=�� �����='( ��� ������� ��� ���������+���� '��!��������%�( �� �� �-����� �� �������&��� ��� ���������'���( ������ ����� �� �� �� ��+����� �� ������ '��!�����������(� � ���������������� �� ������ �� ��� ��� ���� ����� ��� ���������;����� �� ��� �������� ����� � � ����������� ��������� ��� ���������� �� ���������'� �&'�����%( ���� ��� �-����� � ����� ��� ��+������������ ��� ���� ��� �-����� �� ����������� ��� ����������� �������� � ����������� ����+���� �� ����8� ��� ���� �� � ��& ����������� ����

I���� &� &��� ������ ��� ��� ���� ����������������� ��� �� &� ���� ����������� M� &��� ���������� ������������ ���������� ���������� ����������+����� ������������� �������� ��������� ����������4����� �������� �� ��� ��������� �� ��������� ����������� ���� ��� ����������� ��� �-������������ ��� ���������� �������� ������ �� ��������������� �� ����� ��������������� �� &��� �� �� ��������� � �� ��� ���������� ��������� &��� �����

9��� &���� � ���������� �

M��� ���� � .� �� �� �� �� �� ���� �����+���� �� 8��� �� ��� ���� ��� �������������� �� ��������� ��� ������ ��N����� ��� �-���������� ����� �� ������� M��� ����������� � �������� �� �PP����������QQ �� PP �������QQ� ��� ����� �����

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 ##D

Page 5: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

��� ��������� ���� ����� ���� �� �� ��� ������ �� ���������� ������ ��������� &��� ������ �� ��� 4������������� ��� ��� ���� ��� ���� �� ��� ��� ������������ %� ���� ����� �� �� &��� �� ������� ������������� ��������������� )��� � ��������� ��������� ��������� &��� ��� ������ ���� ������� �� ������������� �� ��� *������ �� ��� �-����� �

��� �������������� ��� ��� )) &� ���������� �� *���� ��������� &��� � �������� ��������� � ���������� &��� ��� ������� ������� �-����� ���� �� ������ �� ��� ��� �� ��������� ����������� ��� �� ����� ���� ���� ������������������������� �� �����*������ ��� ��;� �� ��������� ����� �� G ���� �������� ��� �� ������ ���� .� �������� ����� &��� ��*������ ���������

9�6� ���������

����� �-����� ��������� ��������� &��� ��+��������� ��� �� ���� ���� ������ ��� 4������������ &� ���� ���������� �� &��� 8��&� ������� ��������� ':R( 5��6� ����� ������� �&�������� ����� � ��� ��!��������%� ��������� ���� ���� �� ��� ���������� ���� ��� �� ���� ������� ���� ��� �-����� � ��� ��������� �� ������ ���� �� ��� ��������� �� ������ %� �������� ������ ��� ����� ��������� ��� ��*���������4��� ������� �� ��� ���������� �� ��� ����������� �� �����&�� ��� ��*����� �� 9����

%� ��� ����� �������� ��� ��� ���� �� ����������� ������ � �� �������� �� 9��� D@"@K@ ����������� ?@D� ��� ����Q� ����� ��������� ��� ����4��� ������� �� ��� ���� ���� ������ �� ������������� �� ������ 0� ���� ������ ���� ������������ &��� �� ����� ��� ����� �� ����� �� ���9����

��� ����� ��������� &� ���������� &��������� �� ����� �� �� ��; 5#K6� %� &�� ���+��4����� ��� �� ��� ���� ������� �� ����� ����� ��� ���� ��� &� &��� ����� �� �� �� ��R� �����R ��� ��� ���� �������� ��� �������� ���� ����� 9���� ��� ���� ��������� ���� 9��� �� ����� ��+������ ��������� �� ��� ��*������ %� ����� ��� 9������� �&� ���� �� ����� ���� ������� �� �������������� �� ���� �������� &��� �� ����� �+�������� �����&�� ���� ������� ������� �� �� ���+������ ��� �������� �&� �� ���� ���� ������ ����� �������� �� � 4�� ��;� ���������� �� �������� �� ��������� �� ������ ���� �� ��� �-����� �� ������������� ���� ��� ����������� ���� �������������� &��� ������� �������� �� ��� ���+����� ���������� ��� ���� ������� ���� �� ���� ������ ������ �� ��� �� ��� �-����� �

�������� � ���� ������������� ������ � ���������� ���� ���������� ����� �� ������ ���� �� � ����������� �� &���� ���� �� ��� ������������� �� ����� ��������� �� ��� ������� �� ��� :R ����������� ��� ����� ���� ������� �� ��� ��R �����+�����

��� ������ �� ��& ��������� ������ ���� ��� ��������� �� ������ �� ��� ���������=������������� �� �� �������� �� ���=� (� � �����#����=����� &���� ���=� (� �� ��� ������ �� ���+������ �� ��� �����������

9�!� ����� �

��� ����������� ������� ���� �������� ������ ���� �� ��������� ���� �� ��� ������������������� �� ���� &��� � �� ��������� ������ ���� ���� �� �������� �� ���� �� ���� �� ������������� ���������� ��� �� � *���8 ���� ����������� �������� ��� ���� �� ��������� ���� ����������� ��� �������� �� ��� ����������� %������� ���� ��������� �� ���������������� ����������� ��� ��������� 5�"6� M� ���������� � ����+������ �������� ������ � ���� �� 9�� �&����� �������� �� ��� �����'�( ��������� �&� ������������ ������� ������� �� ��� ������� �� ����� ��+������� �&�� ����� ������� ��� �������� �� �������� ���� �������� &��� � ����������� �� ���=������ ���� ������ �� ������� ���� �&� �������� ������� �� ��� ���������� &��� ������ ��� �� ��

##" ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 6: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

&���� �������� %� ����� &��� ��� ������ �� ������������� ���������� �������� ����������� ���� �� ������� &������� ��� ������� ������������ ��� ���+��� ��� ��� ��������� ���=���� &��� �� ������������

9�9� >���� ������

H���� ������ �� ������� ���� �� � ��� ����+��� �4������ ���� ����������� � ������������ ��+�&��� ��������� �� ��� ���4 ������� ������ %� ����&��8� �&� ��� ������� �4������� &��� �������� ���� &��� ���� ��� �� ��� ) �� �� ��� ������������ :�� ��� �4�� ��� ��� ������� �� ��������� '� 9�� ��*�����( �� ��� ��� �� ������������� �� ��������� �� �������� ��� �������� ��������&� �� ��� ��� ������� ��������� �������:�� �� ��� ��� �������� ���������� &�� ������#�� ��� %� �������� �� ��� �������� �&��� �� ����� ��9��� �� � ���� ��������� � � ��#�� �0 �� ��������� �� �4�� �� ��������� �� ���� ��� �������!����� ������� &��� �� ������� ����������� �� ��� 9����� �&�� �� ���4��� ����� ���� �� ������ � ����+���� �� ��� ����� ��������� :���� ����� �� �&�������������� ��8�� ������ ����� �� ������� �������+���� �� ��������

��� ����� ��� ������� ���������� &�� ��� ���� � ��� �������� %� �������� �� ������� �9�� ���� ��� �������� �� �������� �� �� ����������� >��� ��� ������ �� ������� ������� ������� �� ����� �� ��� ��*������ ��� ����+������� �������� �� ��� ���� &� ��� ��� ��� ���+������������

9�?� � ���� 3��� �

��� 4����� �������� �� � 8�� ������� �� ������ ������������ �������� � �������� ���� ���� ��� �������� ���������� ����� ������� ��� �� ���������� ������� �� ��������� �� �������� ������ ��� ����������� &��� � �� ��� ��������������� &��� �� ���������

�� �� ��� ������� ��� ��9������ �� �� ������;���� ����� ��������� ��� 4����� �������� ������ &��

�� � �� � �����

&���� .� �� ��� ����� �������� �� �������� � ������������ �� �� �� ��� ���� ���� � ��� � ����� ���+����� ����� � ��& 4����� �� ���� ������ ��� ������������� &�� �������� �� ��� �� ���� �� ���� �������� �� ;��� &��� �� �*���� ;���� � �������4����� �������� &�� ���� ��� �� ����� 5K�#K6�

9��� ������� � ���������

.�� ���� ��������� ���������� ������������� ������ �� ��������������� �� &���� ���+���������� ����� ��� ������� �� �������� ����������3������ �� ���� ����� ���� ��������� �� �������������� ��� �������� �� � ������ �� ����� �������������� �� �������� ��������� '&��� ��������������������( ��� �� ������ ���� ������ ���� ������� ������� �� ��*������� �������� '&���� ��+������ ������ ���+��������� �����������(� /������� � ��� ������������� �������������� ������� ���� ���� ������ ��� �� � ��� ��+������������������ &� ���� �� ��������� � ���������������������� ��������� ���� �� � ������� ����� %��������� &��� ��� ���+��������� �������� &���� ������������ ��� ��������� &��� ���� ������ ������������� �� ���� ���� ��������� ���������� ��������� ��������������

��� ��������� �������� �� ������� ��������� ������� ����� � ������ �������� �� ����� ������������������� �� ���&� �� �� � �� ��� ����� �� �������� �� ��&��� 4���� ���� ��� ����������� �� ������*������ ��� �������� ���� �� �� ����� �� ������ 4���� ��������� ���� ������ ��������� ����& ��������� ��� ���������� �������� ������+�� �� ����� ������� �9�������� ��� ��������� ��8��� ���� ��������� &��� ������

��� ������ �� ��������� �� ��� ���������� ����������� �� ��� ������� �� ���� �� � ��������������� ����� ���� �7� � ���#� &���� / �� ��� ������

�� � �� ���������� ����������

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 ##

Page 7: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

�� ������ �� ��� ����� ���� ��� �7 ��������� ������������ �� ��������� � ������� ���� &��� ������������ ?$ �� ��8� ��� &��� ���� ������ �� �� ���

%� ���� �� ���������� ��� �-���������� �� ���������� ���������� ������ ������� �� �����+��������� ���� &� ������� ����� ���� ������ ��� �� ���������� 0����� ��� ����� ��� ��+������� ������ � ��� ���� ��������������� ���� ���� ����������

9����� ��������� ���� , &��������� ������� ���������� ����� &�� ������ ���� �� ��� ��;� ��

��� ����������� ��������� ���� �� �������� �������������� ��� �����&�� ��� ��B

��� �������� ��������� 4��� ��� ���������� �������4� ������ &����� ��� ��� �� ������ ����� ���+���� ������ � ��� ��N����� ��� 4��� ������ �� ������������ )�� &� ���� ��� ���������� ��;� ������&����� ��� ��� � �� 8��� ��� ���� ���� ����� �������� ���� �� �� ��� ���� ����� ��������� ����� ��������� ��� ���� &� 4� ��� ��;� �� ��� ����������

�� ��� ���� ����� ���� �� ����� ������ ������������ ����� ��� ������� ��������� ���� &�� ��4������ &��� ��� �������� ���� ��� ���� 4������� ��������� ��� 4��� ����� �� ��� �������������� � ��� ���� ����� �������� ���� �� ��� �������������� ��� ���� �� ������� ����� �� ������& &��� ��� ���������� ��� �� ��� ���� ���� ������ ��� �������� ������ �� ��� �� �� ���� ������ ������� ����� �������� ����� �� ������� �� ��� ������� ��� ���� ����� �������� ���� ���� ��� �� ������������� �� ������� ��� ���� ��������� ��������� ������ ���� ������ � ���&� ���� ����� ������������ ����� &��� ������ �� ���� �� �� ��� ������������� �������

���������� &��� ����� ��� .� �� � &���:R ���������� ��� � ��� �� ���+�����+��������� ������� 1����� �� � �� 5 &��� 4�� �� $�K������ &��� ����� ���4 �������� �� � �� 5 ��������� �� ��4���� ���������� �� ��� �������� ��� �������������� ���� ��� �������� �� ����� ��

9���6� ��������� ���� , ��#���������� ������� ���������� ����� �����&� ��� ���� �����+

��� � ��� ��� ��������� ���������� ���������&��� ��� ��� � �� ���������� ��;� ���� ��$� �<$� ���$+�������� ������ ��� ���� ���������� ���������� �� ����� #�

���������� ��;� �7� ?$ �� �#� ��������� '���+���� ���� &��� 7� ? �� < ������(

,�������� ���� ���� $L �� �$$L '�� �$L �����(������� ���� ���� $L �� �$$L '�� �$L �����(

����� �

0��� ���������� ���� ��� ��� ��������� ����������

.������ �� ������ ������ �� ������

���������� ��;� ,�������� ���� ������� ���� ���������� ��;� ,�������� ���� ������� ����

#$ �#� $�7 $�" ?$ $�# $��

?$ �#� $�? $�D ?$ $�7 $

K$ ?$ $�7 $�K �7 $�# $��

"$ ?$ $�< $�" �7 $�7 $

�$$ �7 $�< $�" �7 $�# $

����� #

0��� ���������� ���� ��� ��� ���+��������� ����������

.������ �� ������ ������ �� ������

���������� ��;� ,�������� ���� ������� ���� ���������� ��;� ,�������� ���� ������� ����

#$ �$$ $�< $�D "$ $�7 $��

?$ D$ $�? $�" K$ $�< $��

K$ D$ $�? $� <$ $�? $�$

"$ <$ $�< $�" ?$ $�7 $�$

�$$ 7$ $�K $�D #$ $�7 $��

#7$ ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 8: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

0��� �� ��� ������� ���&� �� ������ � �� #������ ��� ��� ���� �� �� � ����������� ���&������������ ������ �� ������� ��;� '�������� ���� ��� 4�� ���� ��;� �� �$L ������ ��� �������������( ������ ��� ��� ��;� �� ����������� ������� �� �������� �� ��� ����� �������� ������������ �� �������� ��� ��������� ������ �� %� �������� ��� &� �� ������� ��:���� �� &��� ��+���� ��� ���� ����� ��������� ���������� �������� ��� ��8� ����� ���������� �� ��������������� ��� 9��� �� � � ������ ���� ����� ����� �� ��� ������ ��� ����� ������������ ������� ��������� ������� ������� �� ����� �������� ��� ���������� �� �������� �� ��� ��� ����������� ��;� ���� ��� ���� .��� :�� �������� �� ��;;�� �� ��� D$@"$@ $L ������ ���������� ��� .� �������� ����� �� ���� ��� ���� ��+���� �� ��� �������� � �� ��& � � ����� ���� ���������� �� �������� �������� ��������� ���+������ �� � ����������� ������� �������� ������ ��������� &��� ��� ������ � �� 9�� ������������� ��������� ��� �&� 9��� ������� �� � �&������� 3������ �������� ����� ��� � ���� $L ��<L �� �������� ��� ���� �������� � �� �������������� �� ��� �������� � �� -�0� '�� ���( ������� ������� :� �� �������� �� ��;� � � �$$� ���KL �������� ���� ������ �� 9��� &��� ���*�������� �� � "$L �������� ���� ������ �� #� � ������ :�� ��� ��������� ����� �� � .� ��+������ ����� �� �� ��������� ���� .��� &����������� �� � ��������� ������;����� ������������ �� ��� ������� ���� ���������� �� �� ��������� ����� 8��� � ����� �������� &��� � ����������� �������

M��� ������� �� ��� ��� ��� ���������� &���& �� ���� �������� ����� �� ��� �� ���� ��&������ ,�������� ����� ��� ������ ��� ���� ��� ���

����������� &��� � ��� ���� �� ��� ���� ��� ��� .��� ��� ��� ���+��������� ����������� ��� ���+��� �� ��������� �������� &��� ��� ������ ��9��� ������ �������� �� � ������ ��������� ���������������� �� �� ������ �� ���� ��& ����������� ��8� ���� ���������� ���� �� ���� ������������� �� ��& �����������

9���!� &��������� ������� � ������ �#����������������� �

%� ���� ������� &� ������� ������� ��� ��� �����+���� �� ��� ���+��������� �������� �� ��� ��2���� &� ��� �� ���& ��� ���������� �� � ������+������ ���������� ���������� ����� ���� ��& ����������� ���� ������ &��� ��� �������� ��������� ������� 5#�#76� I���� &� ������� � ����� �������� ��� ������� ������� �� ���� ���������� &���������� �� ��� ���� ������� �� ��� ) �� �+����� ��� �� � ��������8� ��� ������ ��� ������� ���+�����+���� ����� ������ �� ��� ����������������� ����B # �������� I������ ��� ���+����� � ����������� ���� ��� ) ������ �� 1������� � �� 5 &��� 4�� �� $�K�

/��� ����� �� ����� 7 ���������� ��� ����� ������ ��� 4�� �-����� ���������� ��� ������� ���+���� ���� ��� ����������� ��������� &��� ������+���� ��������� �� ���� ��� ����� ���������� ��������� ��� ������� ��� ���� ��������� �� ���+��������� ������������ ��� ��� ��������� &��� "$9��� �� ���������� �$$ 9���� ��� �� �� *���� ����+����� ����� ������� ������������� ��������������& � ����� ����������� ����������� �� ��� ����� ��� .�� I����� ���� ��� .� �� � ��+�������� ����� ��� ���� ���������������� ������� �-������ ���� ��� H����+)�����+/� ���������� ���� �� �&����� �- �� ��� .��

����� 7

,��������� ���&��� ��� ���+��������� �� ��� ��������� �����������

.������ �� ������ ������ �� ������

I��+��������� ���������� )�������� ���������� I��+��������� ���������� )�������� ����������

#$ �#�7 �#�D ��$ ��D

?$ �#�" �7�$ �7�# �!�9

K$ � �# �D�$ �#�? �9��

"$ ����# �K�7 �$�� �6��

�$$ ��D�$ �"�K K�� ���$

��� �"�< �<�< "�D � �%

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 #7�

Page 9: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

9�%� �� �0������ ������ ��

.���� ��� ��� � ��;� �� ��� ���+����� �� �����+���� ��� ��������� �� ��� ������������� ���+������� ��*���� ��� ���������� ��� ����� ����������� ���� ��������� ��� �������������� �� ��������������� �� ��������� ��� ������ &����� � ������� ������� ��*����� ��� ����������� �� ��� ��+������� ���� ����� �� ��� %� ��� �������� ����������� �� ���� �������� ������� ����� � � �&���� �� ��������� ���� �� *���� ���� ��� ����� ��+*������ ��������� ��8� �)� ��� ��������� �������������� �� ��� ��9������ ��������Q� ���������'��� /+��� ���������� ��� �������( ��� �� ��� ���������� ����� ��� ���� �� ��������� �� �� ��������� �� � �� �� � ��� ��& ����� 2�&�����&��� ��� ��9������ �������� �� ��� ����� ������������ ���� � �� ��� ��*����� �� 9��� ��� �-��� ����������� �� ��� 9��� ���� ��� ����� ����� ��� �������� ���� ���� ����� ���������� ���� ��& ����+������ ��*����� � ���� ����+�������� ���� ������������� ��� ����� ���������

����� ��� �������� ��� �� ������� ��������� ���� ������� &���� ����� �� �� �� &���������� �� ���� ����� ��� ������ �� ����� �����+�������� ����� ��� ������� ������������

������ �� ��& ����������� ��� ����� ��������� � &���+��� �� �������� ������ ����� ��+��� ��� ������ �� ����������� �� ���� �� ���+����� &������ ������ ��� ����� �� �� ��� ����������� ��� ���� ��������� ���� ��� ������ ��������� ����� ����� �� ��� ����� ��� ��������� ��������� ������ �� �� ��������� �����+ ������ �� ����� ���� �� �������� �����4��� ������� )��� ������� ����� �� ����� ��+������ ������� �� ��� ���� � �� ������ ���

�� ����� ���� ���� &� ���� ��� �������� ������� ��� ����� �����Q ������� M� ���� ������� �������� �� �������� ���� � ������ �����������+���B ��� ����� ����� ���&��� 9��� �� ����� ������������ ���� ������ ���� �� ����������� ����� ��������&��� ����� ����� ����� ���&��� 9��� &��� �� ������� ���� �������� ��& ������

9�%��� �� �0������ ������ �� 3�� ��� ���#�� �� �� ���� � �������

M� ��� �� ���� �������� ����� ��� ��� ���+����� ��� ������� �� �&� ����� ��� ��� ������������ �������� ���� ��� ���� �� ����������� ����� ����� ����� �� ��������� ����� ������� ����� ����� ,������ � �&�� ���� �� ���&� ���� � #�

�� � #� )&�� �����

#7# ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 10: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

:�� 4��� ���� �� @ ��� ����� ? @ ����������� ����� �&�� ���� &��� �� �������� '�� ��� ������������� �����������( ���� �� �� ����� ��� �� �����& ����� ������ 9������ &��� ��� ��������� �������������� �� ��� ��& ��*����� �� ������� ���� ����� ����� ��� ����� �# �� �7 ��� ������� �� ������ ���� ������������ ��� ���� �? �� ���� �� ������ �� ��� ����� ����� �� ��� ��������� ������������ �� ��� ���� ������ �� ����� ���

��� ����� ��� ��� ��������� ��� ������� ������� ���� �� ��� ������ � �� ��� ����� ����� ����������� ������ �� ���&� �� �� � 7 �� ����� <���� 4��� ���� %� @ ��� ����� < @ ����������� ���� ����������� ���� &��� �� �������� ���� �� ��� ����4������ ��� ������� �� 9�� �� &��� �� ��� �������������� 9�� - ��� ������ ����� ���� %# �� ���� ��+

���������� �������� �������� �� ��� �� ����� ���+������ �����

9�%�6� �������� ��� ������� ������ K ���&� ��� ������� ������� �� ��� ���

��� ������� ��������� �� &��� �� � ������������ ������� ���� ��� ��� ���� ������� ��� �&���� ���������� �� ���� ��� �������� � ��������������� �� ���� ���� &��� ������� �� ) ���� �����+����� ��� �������� ��� �� ���� ������ ��� ������� ������ �� ���� '# �������(�

��� ���� �� ��������� ��� ��� �����&�� �������� '�� 5(B �$�K� $�#�! �$�K� $�K�! �$�K� ��$�! ���$� $�#�!���$� $�K�! ���$� ��$�� M� � ��� ������� � � $�#������� �� ��� ����������� ����4� �� ���� ����� ���) ����� ������� ������ ���� ;��� &��� � � $�#��� ���� ��� �������� ������� �� � �������� �������� ���� ����������� ���� ������ ��������� ����������� ��� ��& ������ & (� �������� ��� ���������� ��� ��;� �� ��� ����� ��� ������� ��������� ��� ����+��;� ��� ��������

����� ?

�������� ����� ��� �&�� �����

�������� �����

�� ���� � ���� ��#� � �#�� ��7� � �7�� ��?� � �?��

�# ����� � ���� ��#� � �#��� � ���7� � �7�� ��?� � �?���

�7 ����� � ���� � ��#� � �#��� ���7� � �7�����?� � �?���

�? ���� � �#� � ��� � �#�� ��7� � �?� ��7� � �?��

�� � 7� %�������� �����

����� <

�������� ����� ��� ��� ��������� �����

�������� �����

%� ���� � ��� � �#�� � ��#� � �7� � �7��%# ���� � ��� � �#�� ��#� � �7� � �7��

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 #77

Page 11: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

� ���� ����� ��N����� �� � �� 5 �� ������ ������� �������� ����������� &�� ��+������ ��� ���4 �������� �� �� *���� ������� ��+������ ���� ��� �� �������� �� ��� ���� ���� ����������� �� ���� �� ��� ����� ���� ������� &����� ��� ���� �� � �� 5�

��� �������� ������� ���� ���� ���&� ��������� ��� �� ���������� ��� �����+��;� ��+�������� ��� ����� ��� �#� �7 �� �? �������������� ���� ��� ���� ��;� ��� �������� ������ ������ ��;�� ���� ���� ���� <L �� �� <�L �� ��� ����������� M��� ��� ��������� ��� �������� &� ��+���� � �-����� ��������� ��� �������� ������ %��� � ���� ���� ����������� @ �������� ��������� ��� ��������� ����� ��;� @ &���� ��� %# ���+����� ������� ��� ����� ������� ��� ���� �&������ '�#A%#( ������� ��� ���� ������������ ��+����� �� ��� ���� �������� �� �������� �� ���#+���� ����� ������ �� ��� �������� ��*����� ��� ����� � �� %#+���� ����� ������� ��� 4����������� �� ���� �������� ��� ��;� �� ���� �������� ������� �� ����� � ������ �� ��� ���+����� ����������� ��� �������� �� ������ ������ ���������� ���� ����� ���� ���������� ��� ������� ����� ���� ������ �� ����� ��� ������������� ������������� ��� ��������� ��� ��� ���� � &��� ������������ ��*����� ���� � ����� �������� �� �������� ,�3 �����

9�"� &����� � �� �����0 �� �

9�"��� ��#���������� ������� ���� ��!��������%� �������� �����&� ���

�������� +���� ������ 5��6� ,������ ��� ����� 4�+���� �� ��� ���������� �� ���� ��� ��� �� ���

4����� �� ��� ���������� =����� ��� ��������4����� �� ���� ����� 4������ ��� &��� ������ ����������� �� ��� ������������ 4����� ���� ���� ���+����� ��� ���������� ��� ��� �������� ������������ ���������� &��� 4����� �$� �< �� 7$� �������� 4����� �� << �� ��� �������� �� ���� ���+����� �� $��"� $�#D �� $�<<� ������������� �����+����� ��� �������� ��� ���� �������� �� ��� ��������&���� �� �$� $��"�� �$��"� $�?<� �� �$�?<� ��$��

� ����� ������ ���&��� $ �� � �� ��������� ��� �������� �� &���� �������� ��� ���������� �� �������� %������ ����� ���&� ���� ��� ������������ ���� ��� ���������� &�� ������������ �� ������ ��� ����������� ���������� ������� &� &���8����� ��� ���� �������� ���� ���� ��&���������� �� ��� ��� ����� ���� �� � ������ ����+��� &��� �������� �������� ���������� &� �� ���������� ����������� �� ����� ���������

/��� �������� ��� �� ��������� �������� ��#���0 �� &���� ��� ������ ������ ���� �� 3����� %��� �� ����� ���� ��� �������� ��* �� ������� ����������������� �����&��� �� �� �������� ��� ������� ��������� ������ ���� �������������� ������������ �� ��� ���� &��� � ����������� �� $�<� &��������� �� ��� ��8� ���� �� <$L �� ��� ���������� ���������� ���� ������ �������� �� ��� ���� ���+����� �� &���� ��� � �������� ��� ���� ������������� ��� �������� &��� ������� �� ��� ��+����� �������� &���� �������

��� ��� ����� ���������� ��� �������� �����0 ��� ��� �� ���� �� ��� ����� �� ��� ������������� ������ ���� ���� � ���+��������� �������� �� ��+������ ��� �������� �� ��� 3����� �������� �� ���� ����"$L �� ��� ���������� �� ������� �� ����������� ��� ��������� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ��#���0 � ��������� ��� ��� �� �����

����� K

I�� ������� �������� ����������

L �������� �� �A:RA)�������� ���������� &��� ������� �� )A���+����� ����� ������

���+����� �� �# �7 �? %�������� %� %# �#A%#

#$ $�" $� $�K $�? �� $�? ���� �% $�

?$ �$�# � �! �$�$ "�# �7 K�$ �<�� ��! ���7

K$ �? �$�? � �" �7 �$�< ?�K ��$�? ��? ���

"$ D�D "�K � � �? �< #�$ ��D�D 9�� ����

�$$ <� K�$ "�$ D�# "�6 �$�? �#7�$ 6�� �$�D

��� K�" D�# %�$ K� D�D #�< ����< 9� $�6

)�;� � $�<� $�$< $�$< $�#� � S$�$� $�<$ $�#?

#7? ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 12: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

9�"�6� &��������� ������� �������������� �� ��� ��������� ����������

��� ���� �� ��� ���&��� � ����� �� ��� �� ������������� &����� ��� ���� �������� ��� ��!�����$

���%� �������� ��&��� ������� � ����� @ �������*������ ��� ������� @ &������ ���� ��� ���+����� &���� �� ��� ����� ����� ��������� ������������ �� ������� '��������� �� �����( ��� �� �������� ���������� ������� �� ��� ���� ������� �� ���������� ������ I� ����������� �� ��� ������ ���������������� �� �������� ��� ��8� ���� �� &������������� ��� ���� �������4������ �������� ������ ��� ���� �������� ���� ��8� ���� �� ��+����������� �$L �� ��� ��������������� ���� ����$L �� ��� ���������� ����� &��� ��������� ������� ��������� ��������

9�$� 4;��� ���� � �� ������� �

9�$��� ��#���������� ������� �M� ��� �� ����������� ���������� ��������

&��� � ������������ ��������� ������� ��� �����+���� ������ ���� ��� ��������� �� ����������������� ��� ���� �� �� ����������� ������������ ���� �� ��� �� �� ��� ������������� ���� ������� ������� ���� ���� ��� � �#���!����� ����+���� �������� ��� ���� ����� ��������� �����+�� �� ��� ���+�������� ��*����� �� 4������

� �������� ������� ��������� &�� ���� �����+������ �� ��� � �#���!������ %� �������� �������� ��������� ���� ��� ����������� ����+������ �� ��� ���� �� ���� �� � ����� ������������� ���� �� �-����� ���� ��� ���� ���������&��� ��� ����� ��������� �� ���� ���� �������� ������������� ���� ����� �������� ���������� ������ ������ ��� �������� �����

�� ��� �� �� ��� ��������� �������� ��� �����+������ ���������� �� ������ ���� ������ ��� ��������4� �� �� � �� ����� �� ��&��� ��������� ������������ �������� �� ��� ��� �����

9�$�6� &��������� ������� �������� �� ��� � �#���!����� �������� ���

��� ��������� ����������� �� ��� 4����� �� �� �-+����� �� ������ ���� ��� ����� ������� �� ��!���$

�����%�� ��� ��& �������� ����������� ���:����&���� �� ��8�� ��� ����� �� ��� ��������� ����

���8 ���� �� ��� �������������� %� ��� ��& ���+����� �� ������ ������� �� ��� ����������� ���� ���� ��� ������� �� &� ����� � ������ �� ��� ��+��&�� �������� ��������� �� ����� ���� ����������� ����� ��� �-����� ��� ���� �������� ������������� �� ������������ )���� ��� 4����� �� ����������� ���� �� ������ �� �*��� �� ��� 4����� ����� ��� ��������� &���� ���� ��� ������� ����& ������ ����� ��� ����� &��� ���� ��������� &��������� 4����� ���� ��� ��&�� ����� �� ��� ������������ &��� �� ��� ����� �� ��� ��������� ���+ ����� ��� �9������� �� ��� �� �������� �������� �� ���� ��� ���� &��� ��� ����������� %� ������������ ����� ��� �� �� ������� ���� ���� �&��������� ��� ������ ����+������ �� ������ ���������� ���� 9���

+ ������������! �,���������

�� ������ ��� �� )������ 7� ��� .� �� ����������� ��� ��� )) ������� ���� ���� ����������� &��� ����� ����� ���������� @ )�/==��� �� ��,)� ��� ���� �������������� ����� .�� �� ��� &� ����� ����� �-��������������� �� ������� �� )������ ?�#� ��� ����+������ �� ��������� ��� ��� ��� ������ �� ������������������ ��� ������ ��R �������� �� ��� ������� �� ����� �� �� ��; 5#K6� M� ��� 9��� �����R ��������� ������� �� ���� ����� �� ��-����� .�A� �����&��8 ������� �� ��� ����� �� �� ���� �������� &� ������ ����� �������� ��� � &��� ����� ��� ���� .�A��R� M� ������� � 4�� ,�3 ���� �� # ������� ��� �� ������������� ��� ��� ��,) �� ��� /==���� &���� ��+*���� ��&��� ���� ���� # ������� ��� ������&��� ��� �� )�� >��� >=T ��# �� ����������� � �,+���������� �/I�%3 %%+#KK 2;&��� �#" � ���

�� � ��������8� &� ���8 ��� ������� �� ��� )&��� ���+����� ����� ������� ��� ����� ����������&��� ������� �� �� �� ��� ������ D@�< ���& ������� �������� ����������� �� ��� ������ ��� ��� � ����� 4�� ���� ����� ���� �������� ����������� ����������� ��

���� � �

�� �� )

�� �$$�

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 #7<

Page 13: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

����� "

����� � �$�#� $�K� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �?<�# #�? �##�$ �7�$ �!�6 �7�# ���#�� �7$D� ?$ �7D�" 7�7 K�" #K�K ?9�6 <$�< �D$�# �DK�#K$ �K$�? ��?� �#$�D 7<�D "�� D"�K �?$�K �KD�D"$ � #�K �##�# �D?�? 7K�? "6�? D?�D ��<� ��<���$$ ��#7�D �7K�< � "�" #7�� � �6 <?�K � �" $�7

��� �D�� ��7�K �?��" #K� ?$�6 <?�7 �? �D � 7�7

�����

����� � �$�#� ��$� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �?#�� �#7�$ �7$�# � �6�� �$�$ � <�� �#<�� ?$ �""� ��$�� �??�# �K�$ �%�? K#�K �����# ��"���K$ ��?7�D �?D�D �KK�� K<�" � � K�� ��7D�K �#$"� "$ ��K"�� ��� �# ��?$�" ?<�K ""�% "K�K �#<�# ��$$���$$ �#$7�? ��D$�< �� K�7 <#�? "��% "$�D �$�# �K<�$��� ��# �# �D?�� � <�< 7D� %��� KD�# �D��" ��K��?

����� �$

����� � �$�K� $�#� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �"�" �7� �7�K ��D ��% ��D �#$�< �?$�??$ ����# �<�? �#�$ 7�# ���6 �?�� ��7�� ��<�<K$ ��K�D �7�# � �K <�D �9�% �7�� ���� �7�""$ �#7�K ��� ��$�D ?�$ �6�" �? ?�# #�?

�$$ �#D�# �7�7 ��K�� <�7 �!�� ���$ <�7 7�#

��� ��D�< �7�< �"�? ?�$ ���% �$�? �<�$ ��$�"

����� D

����� � �$�#� $�#� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �#"�7 ?�" <�$ 7� "�� K�D �"$�$ ���$�$?$ �#$�< �#�� �7�K <�? !6�9 #7� �#7�" �77�?K$ �K#�7 7�� �D�# #�� 96�$ 7K�? ��$�< ��?�<"$ �D$�� �$�< ��<�? �"� !"�6 7$�7 �7�$ ���<�$$ ���#�� ��$�# �7#�D � � 96� ?$�$ 7�7 <�D

��� �<"�K �� ��$�" �?�$ !6�" #D�< �##�" �7��D

#7K ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 14: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

����� ��

����� � �$�K� $�K� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ ��$�� �#�D �7�7 ��# 6�� ��" �# �# �#$�7?$ ��<�? �7�$ �<�? 7�? �"�? �<�K � �" � � K$ ��K�K �D�$ �D�# ?�7 �?�� �<�$ �?�# �?�<"$ ��"�D �K�7 ��#�< <�" ���6 �<�" #�7 #�D

�$$ �##�K �"�K ��D�< <�7 �?�? �#�# <�7 ?�

��� ��K�D �<�< � �# ?�$ �!�� �#�� �D�� �<�?

����� �7

����� � ���$� $�#� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �#�< ���7 �7�# �6 �6 �6 �"�7 ��<� ?$ ��$�D �#� �?�" ��D ��6 <� �7�< �"��K$ ��#�? �#�$ �7�� #�$ %�! K�? 7�7 ���?"$ ��<�# �?�# �<�? ��? ��" <�$ ?�� �$�"�$$ ��K�? �7� � �" ��D ��6 <�# ?�D ��$

��� ����? �#� �<�# ��? ?�! ?�< �$�< �<�$

����� �?

����� � ���$� $�K� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �K�7 ���7 �#�� �% �% �% � �# ��#�"?$ �D�< �7�� �$� #�� ?�D 9�" �?�? �K�DK$ �D�K �7�< �7�7 #�< %�$ K�" ��# �#�$"$ ��$�K �7�# �<�K ��7 ��? <�? #�K �#�"�$$ ��#�D �<�D � �? ��< ��6 7� 7�" ��#

��� �"� �7�7 �?�7 ��K ?�6 ?�7 ���# �?�K

����� �#

����� � �$�K� ��$� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �"� ��$ �#�# �? �? �? �#7� �7#��?$ �� �D �7�K �?�D 7�< �?�? �?�? ��?�D ���� K$ ��"�D �7�D �"�" ?�� ���% �<�K �#�D �K�D"$ �7$�7 �"� ��$�7 7�" �"�9 �?�$ �7�? �?���$$ �7 �7 ��#� �#D�7 #�D �%�? ���$ ��$ ��#

��� �#7�7 �<�K ��$�K #� �!�% ���7 �"�D ��$�D

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 #7D

Page 15: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

&���� ���� �� ��� �������� ����������� �� �������� �� ���������� &��� ��� )� .�� ��� ������������� ������� �� ��� ����� ���� �����;��� ��� .) �� ��� ����� �������� ������� �� )���� ��� ���+����� ��� �������� ��� ��� ����+��� ������ ��� ��� �� &�� �#A%#� /��� ����������� �� � ����������� �� '�� 5(� ��������� ��������� $�#� $�K �� ��$�

��� �$$L ����������� �������� ���� ��� ����� � ����� �������� �*��� �� ;��� �� ��� ����&���� ��� ) � ��� 4� ����

�����;�� ��� ������� ������� �� ��� .�� ����� ��� &� ��� ������� ���� :R �� ��� ����

��������� �������� �� ���� ����� ��� ��R �����+���� �������� ������� �������� ������� �� ���*���8 ���� �� ��������� ��� ) ����������� .�&��� :R �� ��� ��� ��& ������ ������ � &��� � ����� ��� ������ ������ ���� �$L� :� ��� ����� ������� � ��&��� ����������� ��� )� ��� � � $�#���� ������������ &��� ��������� �� �� ���� ��������� �� ����� ������ ��� ������� ����� ���������*���� ;��� �� ���� ���� ;���� ���������� ��� ���+����� &��� ������ ���� �� � ������������� �����,) ��������� ���� �������� &���� ���&�� ������ ������� ���� /==��� �� ��� ��� ��� ��� ����%�� ����������� &�� ���&� �� �� ������ �� ��������� �� 9��� ���������� ��� ���� ���� "$ 9������ ��,) ���� ��� ����� ) �� �� ������ ������� .� �� ������ ��� ��������� ���4 �������������� �K �������;�� ��� ���� �������� ���������� ���� ����������� �� � �� 5�

%� �� ������� ���������� �� ��� ������� ����������������� &� ��� ��� ���� ��� �� ������ ����� ���� ���� ':R ��������� �� ����������(� ���+

����� ���R ��������� ������ � ������� �� �����

�� �� ��; 5#K6:R ���� ��������� ������ ���,) ��������� ���� ������� �� H�� �� ���

5�K6

����� �K

��� ��������

����� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

�$�#� $�#� �<"�K �� ��$�" �?�$ !6�" #D�< �##�" �7��D�$�#� $�K� �D�� ��7�K �?��" #K� ?$�6 <?�7 �? �D � 7�7�$�#� ��$� ��# �# �D?�� � <�< 7D� %��� KD�# �D��" ��K��?�$�K� $�#� ��D�< �7�< �"�? ?�$ ���% �$�? �<�$ ��$�"�$�K� $�K� ��K�D �<�< � �# ?�$ �!�� �#�� �D�� �<�?�$�K� ��$� �#7�7 �<�K ��$�K #� �!�% ���7 �"�D ��$�D���$� $�#� ����? �#� �<�# ��? ?�! ?�< �$�< �<�$���$� $�K� �"� �7�7 �?�7 ��K ?�6 ?�7 ���# �?�K���$� ��$� �D�" �#� �?�< #�# ?�� ?�D �$�# �7�#��� �7��" ��#�� �#��� �$�< 69�6 #��" ��"�K �7#�D

����� �<

����� � ���$� ��$� .������ �� ������ ������ �� ������ ��,) /==���

��R :R ��RA:R ��R :R ��RA:R

#$ �?�# �#�< �#� $�� �! �! �?�D ��K�#?$ �<�# �#� �#�# #�K ��% K�� �7�< �#�<K$ �D�" �#�� �7�7 #�< $�� D�� �$�� ���7"$ � �K �7�� �K�� ��" �� ?�7 ��< $�7

�$$ ��#�< �7�D �"�7 7�� ?�$ ?�" ��" �$����� �D�" �#� �?�< #�# ?�� ?�D �$�# �7�#

#7" ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 16: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

��&� �� ��� .� &��� :R ��������� ��,) �� ������� ������ �����&� �� ��� ����� .��� ���&���� ����������� &�� ������� �� ��� /==���

�����

?��� .���� + �� ��� ������ �3 5�0 �� 5���(

����� �D ���&� ��� ������������� ������� ��+����� �� ��� �������� ��� �� ��� ������� ������� �� �� ��; 5#K6� &���� ��� ��R ���������&�� �������� ��� ��������� ���� ���� �< �� ?<9��� �� ��� ������� ������ ��� .� �� �

&��� :R ��������� ��� ��,) ���� �� ��� �������� ������ �������� �� ���� 5#K6 @ ������ ������PP.������ ��RQQ� %� ����� &��8� ���� ��� ���������� �� ������� ������ �� ������������������8� @ ������� ������ ��� ����� ������������ �� � ������+��+���� ����� 5#?6 ������� ����� ������ �� ��� ������� ����������������� ����� ������� ����� �&� ������� ������� ��� ��� �� ����� �&� ������� �������� ������ ,�3 ���� &��� ���������� ��� .� ���B # ������� �� ,�3 ���� ��� ���� ��� '.�#�

�� �#�( �� ��� ����������� �*�������� ,�3���� ��� ��� .������ ��R '.��� �� ���(�

����� �D

,���������� &��� ����� �� �� ��;�� ��������

�#� ��� .�#� .��� ��,) .������ ��R

�< $ $ �?� ����� �D?�? �����$ $ $ $ $ $

$ $ �$�K ���� �#�? �$�K$ $ $ $ �?�� $

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

$ $ �$�� �$�# �?�< �$�D$ $ $ �$�< �<�" �$�7

#< ��" ��D �$�" �#�< �K�? �7�"$ $ $ $ $ $

$�? $�7 �$�# �$�7 �$�K �$��$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

$ $ ���7 �#�# �?�< ���"�D�D �K�" �D�$ ��� �� <�7

7< D$�$ K��D ���$ �D �K��D �#��$ $ $ $ $ $

?�$ 7�D #�# $�< ��$ $�?

��< ��? �$�D ���$ �?�$ �$���"�7 �K�? �<�" ����$ �#D�� ��$� $ $ $ $ $ $

#�# #�# �$� �$�7 �7�$ �$�D77�� 7��7 # �K #��$ # �$ #���

?< �$ "�< �?D�$ �<<�< �K �# �<#�?$ $ $ $ $ $

��K ��? ���# ���# ���7 �$�"<�$ 7�K $�" �$�7 ��< $�?

?�� $�D �?#� �<��D �"#�� �?���$ $ $ $ $ $

<� <�$ 7� $�7 �$�# $�D

K�$ ?�D 7�D ���� �$�7 $�

����� � <�K <�$ ���# �7�7 � �D �7�$

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 #7

Page 17: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

��� �*�������� ���� &�� ��������� ��8�� ���������������� ��� �-����� ������������� ��+�&��� ����� �� �� ��;�� ���������� �� ������������������� ���������B %���� ?"KA77 2; �� %���� �������

%%A#KK 2;�� ��� �� �B M���:�+DD �� >����%� ��� ����������� ��� �*�������� ,�3 ���� ���&�� ��8�� �� �$L �� ��� ,�3 ���� ������� ������� �� �� ��; ��� ��� .������ ��R�

��� 4 ���� �� ����� �D ��������� �� ��� ��+��� � �������� ����������� ��������� ��

���� � �

�� �� 0J0

�� �$$�

&���� ���� �� ��� ����� � �������� ������+����� �� ��� �� ������� .�� ��� ����� ��������������� �� ��� �� ������ ���� �������������� ��� .0J0 �� ��� ����� �������� ������� ����� 0J0 ����� '������� �� ����� ����(� ��������� &��� ������� ���� 4�� ����� ������ ������� �� ��� .������ ��R �������� ���� ���� 5#K6�&���� ��������� �� ����� �� ��������� ���� #$�����

��� ������� ������� ���� ���� �� ������������ ������ ���� ��� .�� �� ��,)� ���� ��+������ ���4��� ��� ���� ��� ���� ��� �������������� &� ������� ��� ��� �������� ��� �������������� ��� ��� ���� ����� �� �� ��;��������� ��� � ������ ������ ���� ��� ������ :R ������� �� �� &���� �����8�� ���� ����� �� ���������� � ����� ������ ����� �� ��� ����������������� &���� ���� ��� ���� �� ���������� ����������� �� ���� ������ ��� ���� ������� ��� ��������� &��� ��� �������� ��� � ���� #������� �� � ���� ����� �������� �� ���� ����� ������ ������� �� ��� ����� �������� �� ���� ������������ ��� ��� �� ���������� ��� � ���� ���� ������ ����� �� ����������

- ������. �� ����!������

���� ����� ���&� ��� ����������� �� �� �&��� ������� �� ����� ��������� ���������� ������ ����� �������� )) ������� &��� ��*�����+������� ����� ������ ��� � ������� ��� ����

������� �� ���� ���� &��� ��� ��������� ���������� ����� �� �� ��; '��R( &�� ���� M� ���������� ���� ��� ��R �������� �� ��4������&���� ���� ��� ������ &���+8��&� ���� �����+���� ':R(� ��� ����� ����� �� �� ��� ���� ��+����������� �������� ��� ���� ��*������ ��������� ��� ����� ��� ����������� �� ��� ��R��������� &�� ������ ����������� � ���� ���� ���� ���� ���������� ������ �� ����� �� �� ��;5#K6 ��� ���� ���������� �������� M� ����� ��� ��+ ������� &��� ������� ����� ��������� ���� #$ ���$$ 9��� �� &��� ���4 �������� ��� ��� ������ ����� �� �� ��������� ��������� %� � ���+���������� ������������� ����������� ���� �������+������� ��� �������� 4��� �� ��� ������������ �� ���� 5#K6 &��� ����� &��� ��� �� ��������� ��� ������� ������� � ����� ��� ���� ��+����� �� ��� ��� ���� .� &��� ��� ��R �����+����� ��� � ����������� ��� ����� ���������� �� ���� �����

�&� �� ��� ����� ��� �������� �� ��� � ��+������������ ������� �� ���� ����� ��� ������ ������� ��������� �� ��� ����������������������� ����������� ,������������ ����� ���� � ���+��������� ���������� �� ���� ������������ ��������� ���� �� ��� 3��� ���#�� �� ��� �+������� ���� �� �� � ����������� ���� �� ���+��������� ���������� ��� ��� � ����������

��� ��,) ��������� ���� �� �� �*���������������� ������� �� .� �� � &��� ��R �������� ��� ��������� &��� "$ �� �$$ 9���� ���������� ���������� ��� ��,) ����������� ���������������� �� ������ ������� &��� ���������+��� ����������� %� �� ��������� �� 8��� �� ������� ��,) ��� ���� ��������� ������� ��� ��� ))������� �� �� ������ ���������� �� ����������&���� /==��� �� � ������ ��������� �� �� I/2+���� �� ������ 5##6�

=���� ��� ��� � ������� �� ��� �� ����������������� ���� �� ��&�� ��� �� ������������� ��� � ������� ���� ��������� ��� �� ����� &���������� ��������� ���������� ������� ��������� ����� �������� �� ��������� ������ �� �� &��� �������4� ������ ��������� ������ ��� �� ����+���+����� �������4������� ��� ����� �������� &��� ��+������������ �������� �� � ���������� ������ ��� ������������ ����� ��� ���������� ��� ������� � ����� ��������� ������*���� %� ��� ��

#?$ ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696

Page 18: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

����� ������������� �� ���� ��� ����� � ��+����� &��� ���� ���� ������� �� ���� &���� ��������� �� ��,) �� )� ���������� ��� ���������&��� "$ �� ���� 9��� �� � � ��$�

M� ���� ������� ���� ��� � ����������� ����� ����������� �������� �� ��& ���������� ����� ���� ��� ������� �����&��8� ����������������� &��8 �� ��& ���������� ����������� ��+����� ��� �������� �� ����� ������� �� ����� �� ���� ������ ��������

��/��0!� %������

���� &��8 &�� �������� �� ��� ,�������I������� � =�������������� ,�����U4�� � ���+����� ��� ',I�*( �� ��������� � ������ �����*���� � /���� � )��� ����� '���/)�(�0��;���

1���������

5�6 T� 0�8��� .� )����� )�*������ &��� ��������� ��

�������� ���������B � �����&� :��������� �������� 7"

'� $( ##@7K�

5#6 �� 0�������� �� ������� ��� ������ ����������� ����+

���B �� ���� ������� � ��� ������������ �����������V� ��B

=� ,����� � =��� �� �� .����� '/��(� ��B I�& %��� ��

:�����;������ �.��&+2���� I�& W��8� � � ��� #K�@

#D"�

576 /�T� 0��8�� >��� I�&���� ���� M����� � ������� �� �+

����� ��� ���������� ���� ���������� � H������ I���� ��

,������� )������ ��<7 '� K( #?�@#<$�

5?6 /�T� 0��8�� >��� I�&���� � �����+��� � ������������

�� ������ ��� ��� ��������� �������� %/// ������������

�� /����������� ,���������� 7 '�( '� ( K7@D?�

5<6 /�T� 0��8�� ��>� )����� 2���� /����������� ������*���

��� ��� ���������� )������� �������� %/// ��&��

/� ������� )������ ������������� �� �������

5K6 �� ,��� � � .��� �������� ������� �������� ��������

���� ������� �� �������� ,�������� �� %��������

/� ������� 77 '7+?( '� D( DK�@DK?�

5D6 =� ,����� �� .������ � =��� �� ��B I�& %��� ��

:�����;������ �.��&+2���� I�& W��8� � �

5"6 >� =�� >�W��� H��� � �����;�� ����� �������� �� ���

������� �� I�+���� ���������� �� :��������� ��������

�< '� $( ?"7@? <�

5 6 � .��� �� ,��� � ��B .������ �� ������� �� /� �����+

�� =��� �� M����� I�& W��8� � D�

5�$6 �� .������ )������ ������ �� ����+����� @ ����� ���

������ ��������� :� )��8���� �D '#@7( '� <( �#<@�7D�

5��6 =�/� .����� � ��B .������ �� ������� �� )������ :�����+

;����� �� ������ H������ � �����+M������ ����� �

�� � " �

5�#6 ��H� .������ /�H� H�&���� >�T� H������� ��2�.� ������

T��� :�����;����� �� ������������� �� ������������

��*������ �� �������� B � ������� ������ �� =�������

���������� < '� D ( #"D@7#K�

5�76 )�,� .������ � �����& �� ��������� �������� � :����+

����� �������� # '� "�( K?K@KD<�

5�?6 >� 2������ ��������� �� I������ �� ����4���� )��+

����� ��� 3��������� �� ���� �� ������ ��� ������

%� � D<�

5�<6 ,� T�������� ��� ����� �������� �������B �����& ��

����������� :��������� �������� ?# 'K( '� ?( �$#<@�$?��

5�K6 W�2� H��� T� 0���8����� � ������ � ��������� ��

������;� ��� ����� &�� ��� �������� &��� ��*�����+

������� ������� %%/ ������������ # '� D( ?<@<#�

5�D6 �� ��;� 0� ����������� � ���������� �� ������� �� �+

������� ���� ������� �� ��� �������� ��� ��� *�������

���� ����� �������� ��B �������� � �� ��� %������������

,�� ���� �� /����������� ,���������� ',/,Q (� � � ��

�������

5�"6 �� ��;� 0� ����������� ������� ��������� �� �������

�� ������ ��� �� ��B =� ,����� � =��� �� �� .�����

'/��(� I�& %��� �� :�����;������ �.��&+2���� I�&

W��8� � � ��� #?<@#K$� �� �������

5� 6 �� ��;� 0� ����������� ������ �� ������� �� ��� 4�����

�������� �� ��� ���� ��+����������� �������� ��B ��+/�

/����� �� 0���8� � )���������� 2�+�� )��&���� '/��(�

�������� � �� ��� ����� %������������ ,��������� ��

�������� ������� )����� ���� I������ H������ I���� ��

,������� )������ �? "� )���� ��� 0������ � "� ��� DK<@

DD?�

5#$6 �� ������� �� ����������� �� ���������� ���������� ���

������;����� �� ������������ ��9������ ���������B � ��+

������� �� ��� ���� �� ���� )������ ������ �� :���������

�������� ?� '�@?( '� 7( "<@�#��

5#�6 �� ������� :� ���������� ������� ������;������ ������

�� ������� �� ������� ����B ��&��� ������� �� ��������

��������� ������� ,������ ,��������� ,���������� ���+

���� ,7� ������ "#K� � " �

5##6 I� I�&�;� /�/� /������� %� 2��� � ��������� �� ������ ���

��� �+�������� �+9�� N�&���� ��*������ ��������

:/.� @ %������������ >������ �� ��� ����� )������

�� '�( '� "7( �@ <�

5#76 0� ��������� �� ,����� � �.� I������ 2� H�������

/��������� �� � ������� ���������� ������� ��B /�T�

0��8�� �� ���� '/��(� ��� �������� �� ������ ��

�������� ���������� � H������ I���� �� ,�������

)������ ��<7� )���� ��� 0������ � K� ��� #<�@#K<�

5#?6 .�H� �� ��;� � ������+��+���� ����� ��� �������

�������� ��*������ �� � ��� �� ��������� &��� ��*�����

������� ����� ������ ��B �������� � �� ��� #?�� ������

����� �� ��� =������� )������� %��������� � 7� ��� �7D<@

�7DD�

5#<6 I� ������ ��1� �������� �� ��0� ������� ���� ����

�������� �� �� �������� ������������ �������

���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696 #?�

Page 19: A memetic algorithm for the total tardiness single machine scheduling problem

/������� >������ �� :���������� �������� ?$ '� " (

###@#?#�

5#K6 ���� ������ .�H� �� ��;� )������� �� � ��*�����

������� ����� ����������� &��� ������ ������� ,��+

������ �� :��������� �������� ## '�( '� <( "<@ �

5#D6 T�,� ���� �� I���������� �����;�� �������� �� �

��� �� ��������� &��� ��*�����+������� ����� �����B �

�������� �������� ��������� :/.� @ %������������

>������ �� ��� ����� )������ #< 'K( '� D( K� @K7?�

#?# ���� ������ �� ��� 1 ������� 2����� �3 4����� ��� 5������� �!6 76 �8 669�696