A MATEMÁTICA NO ENEM

PROF. KELLER LOPES

A MOTIVAÇÃO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

SOH CAH TOA

A figura a seguir representa a planta de uma empresa revendedora de

carros. O pátio dessa revendedora é utilizada para acomodar os

veículos que serão revendidos e uma pequena oficina. Depois de um

período chuvoso, parte do muro do pátio ficou danificada e deverá ser

reconstruída. O segmento AB representa a parte que deverá ser

refeita.

A parte do muro, em metros, que deverá ser refeita é:

a) 12

b) 17

c) 18

d) 23

e) 25

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ˆ ˆA M

C é comum

Δ ABC Δ MNC 3

x 16

4

x = AB = 12

X

Em um terreno triangular ABC de dimensões AB = 20 m,

BC = AC = 30 m, deseja-se construir uma casa retangular, de

forma que um lado da casa esteja sobre o lado AB do terreno,

conforme a figura abaixo.

a)

b)

c)

d)

e)

10 2

20 2

100( 2 1)

100 2

200 2

Todo retângulo inscrito num triângulo,

tal que um dos seus lados está sobre o lado

do triângulo, tem como medida da base a metade

desse lado e a altura do retângulo mede a metade

da altura do tr

Dica:

iângulo.

30² = h² + 10² h = 800 h = 20 2m

10 2

10

2A=10.10 2 =100 2m

X

CÍRCULO

COMPRIMENTO DO CÍRCULO

ÁREA DO CÍRCULO

2. .C R

2.A R

A figura a seguir representa uma praça circular onde um robô percorreo caminho indicado pelas setas, iniciando no ponto O, centro dascircunferências, e terminando no ponto F.

A distância, em metros, percorrida pelo robô foi

a)

b)

c)

d)

e)

33 1 3 2 3 3 3 4 24 18 6(4 3 )

3 46 6

X

Nos grandes centros urbanos, é comum encontrarmos árvores plantadas nas

calçadas e nos canteiros centrais, nas quais, geralmente, é colocada uma

proteção metálica que as acompanha por vários anos. A figura a seguir ilustra

uma árvore com sua respectiva proteção:

Certa árvore está protegida por uma estrutura em forma de triânguloequilátero cujo lado mede cm. Sabe-se que, a cada ano, seu troncoaumenta a medida do raio da secção circular em aproximadamente 1centímetro. O centro da secção que representa o tronco coincide com ocentro do triângulo. Para garantir que o tronco não seja danificado, o tempomáximo, em anos, necessário para a retirada da proteção deve ser deaproximadamente

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

28 3

X

330 14

314 3 14 3

r rtg r

raio aumenta: 14 - 10 = 4 cm,

ou seja, 4 anos.

A cada ano cresce o número de pessoas que soltam balões,embora seja um ato criminoso que traz inúmeros riscos. Essaprática, que antes se concentrava durante os festejos dos mesesde junho e julho, atualmente ameaça vidas durante todo o ano.Considere um balão que tem sua altitude, em metros, descrita pelafórmula a seguir:

A fórmula fornece a altitude h desse balão t minutos após seulançamento durante o processo de subida. Sabe-se que, apósatingir determinada altura, o balão começa a perder altitude e,algum tempo depois, atinge o solo. Analisando a fórmula, a alturamáxima, em metros, atingida por esse balão é igual a

a) 465

b) 550

c) 615

d) 650

e) 695 A altura máxima, neste caso, dá-se

quando o seno assume o seu valor

mínimo.

valor que SENO e COSSENO

assumem: valor q

Dica: M

ue ele

aior

1 Menor s assumem: -1

1980 620( 1) 1980 620650

4 4

X

Uma empresa fabricava latas cilíndricas com uma

determinada área lateral. Por uma exigência dos

consumidores, passou a fabricar latas cilíndricas com o

dobro da área lateral, mantendo a altura anterior. Dessa

maneira, a razão entre os volumes das latas inicial e final

é:

a) b) c) d) e) 1

2

1

3

1

4

1

6

1

81C 2C

1 2LA rh 2 2LA Rh

2 12L LA A

2 2.2

2

Rh rh

R r

2

1V r h2

2 (2 ) 4 ²V r h r h

1

2

² 1

4 ² 4

V r h

V r h

X

Um chapéu cônico de aniversário foi deformado demaneira que seu vértice tocasse o centro da base dochapéu.

Se o sólido já deformado ficou com 8cm de altura e a base dochapéu possui 12 cm de diâmetro, o volume do sólido final, emcm³, equivale a:

a)

b)

c)

d)

e)

2496144

168192

Os triângulos são semelhantes

16 6

8 r

3r

1 22.cone coneV V V

2 2.6 .16 2. .3 .8

3 3V

3

192 48

V = 144π cm

V

X

4 ³

3e

RV

2

3ci

RV h

ci eV V2

4 ³

3 3

R Rh

24 ³

9 3

R Rh

2 12 ³ h 12RR h R

X

(ENEM 2016/2ª) Uma caixa-d’água em forma de um paralelepípedo

retângulo reto, com 4 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m de

altura, necessita de higienização. Nessa operação, a caixa precisará

ser esvaziada em 20 min, no máximo. A retirada da água será feita

com o auxílio de uma bomba de vazão constante, em que vazão é o

volume do líquido que passa pela bomba por unidade de tempo. A

vazão mínima, em litro por segundo, que essa bomba deverá ter para

que a caixa seja esvaziada no tempo estipulado é

a) 2.

b) 3.

c) 5.

d) 12.

e) 20.

34.3.2 24V m

324 24000m L

tempo = 20 min = 20 x 60s = 1200s

24000Vazão = 20 /

1200

V LL s

tempo s

X

(2016 – 2ª aplicação) Uma empresa europeia construiu um aviãosolar, como na figura, objetivando dar uma volta ao mundo utilizandosomente energia solar. O avião solar tem comprimento AB igual a 20 me uma envergadura de asas CD igual a 60 m.

Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez umamaquete desse avião. A escala utilizada pelos alunos foi de3 : 400. A envergadura CD na referida maquete, em centímetro,é igual a

a) 5.

b) 20.

c) 45.

d) 55.

e) 80

medida no desenhoESCALA=

medida real

km hm dam dm cm mm

6

m

0 3

45400 6000

xx

0 0

X

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos

cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir

da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas

escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de

um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher. 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode

ser escrita em função de M por meio da expressão:

a) b) c) d) e)S = k.M1 2

3 3S = k .M1

3S = k.M1 2

3 3S = k .M

1

23S = k .M

Grandezas proporcionais ou inversamante proporcionais

Grandezas

estão uma pela outra

DIRETAMENTE proporcionais

DIVIDIDAS

INVERSAMENTE proporcion

e grandezas

estãoais

MULTIPLI

DICA:

uma pela ouCADAS tra.

3

2

Sk

M 3 2.S k M

3 2.S k M 3 23 .S k M1 2

3 3.S k MPROPRIEDADE:

m

n m na a

X

Doenças relacionadas ao saneamento ambiental inadequado (DRSAI)

podem estar associadas ao abastecimento deficiente de água,

tratamento inadequado de esgoto sanitário, contaminação por resíduos

sólidos ou condições precárias de moradia. O gráfico apresenta o

número de casos de duas DRSAI de uma cidade:

O mês em que se tem a maior

diferença entre o número de

casos das doenças do tipo

A e B é

a) janeiro.

b) abril.

c) julho.

d) setembro.

e) novembro.

1200 100 1100

X

Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes:

no plano K, o cliente paga R$29,90 por 200 minutos mensais e R$0,20

para cada minuto excedente; no plano Z, paga R$49,90 por 300

minutos mensais e R$0,10 por cada minuto excedente. O gráfico que

representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos

minutos utilizados é:

a) b) c)

d) e)

K: 29,90 para x 200 Z: 49,90 para x 300

X

Num determinado parque, uma criança senta em um balanço

individual, cuja estrutura é uma pirâmide quadrangular regular, e,

quando está em repouso, a projeção ortogonal da gangorra coincide

com o centro da base (figura 1). Em seguida, a criança começa a

brincar e balança para frente e para trás (figura 2).

A projeção ortogonal do movimento da criança no plano da base

dessa pirâmide pode ser representada pela figura:

a) b) c) d) e)X

Um campeonato de futebol é composto por 24 times que

são divididos em 6 grupos com 4 times em cada um. De

quantas maneiras distintas é possível compor estes

grupos, de tal forma que os times A e B façam parte do

mesmo grupo?

a) 24 x 4 x 3.

b) 6 x 4 x 3 x 22!

c) 4 x 3 x 22!

d)

e)

24!

6!18!

24! 22!

6!18! 4!18!

Há 4 possibilidades de escolha em um grupo para o time A

Então são 3 possibilidades de escolha em um grupo para o time B

O restante dos times possuem 22! possibilidades

Como há 6 grupos, então:

4 x 3

4 x 3 x 22!

6 x 4 x 3 x 22!

X

A Mega-Sena paga milhões para o acertador dos 6 números

sorteados. Ainda é possível ganhar prêmios ao acertar 4 ou 5 números

dentre os 60 disponíveis no volante de apostas. Para realizar o sonho

de ser o próximo milionário, você deve marcar de 6 a 15 números no

volante. A aposta mínima, de 6 números, custa R$3,50. Quanto mais

números marcar, o preço da aposta aumenta proporcionalmente e

maiores as chances de faturar o prêmio mais cobiçado do país.

Dessa maneira, o preço da aposta em 10 números é:

a) R$35,00

b) R$98,00

c) R$294,00

d) R$735,00

e) R$1 617,00

n,p

n!

p!(n )!C

p

10,6

10! 10! 10.9.8.7.6 !210

6!(10 6)! 6!4! 6 ! 4.3.2.1.C

210 x 3,50 = 735

X

A poluição do ar é consequência da liberação degases poluentes na atmosfera. Nos grandes centrosurbanos, a poluição atmosférica é a principalcausadora de diversas doenças respiratórias(asma,bronquite,rinite alérgica e alergia).

Analisando um paciente aleatoriamente internado porproblemas respiratórios causados pela poluição, aprobabilidade de esse paciente ser uma criança é de:

a) 28% b) 31% c) 38% d) 66% e) 72%

nº de casos favoráveisP(A)=

nº de casos possíveis

180P(A)=

70 180

180P(A)= 0,72 72%

250

X

(ENEM2016/2ª) Uma caixa contém uma cédula de R$

5,00, uma de R$ 20,00 e duas de R$ 50,00 de modelos

diferentes. Retira-se aleatoriamente uma cédula dessa

caixa, anota-se o seu valor e devolve-se a cédula à caixa.

Em seguida, repete-se o procedimento anterior. A

probabilidade de que a soma dos valores anotados seja

pelo menos igual a R$ 55,00 é

a) b) c) d) e) 1

2

1

4

3

4

2

9

5

9

Caixa há 4 notasP(A): prob da 1ª nota ser de 5 P(B): prob da 1ª nota ser de 20 P(C): prob da 1ª nota ser de 50

ou ou

2 2 8 12 3

+ + = 16 16 16 16 4

1

4

2

4x

1

4x

2

4

2

4

4

4x

X

(ENEM 2016) Um paciente necessita de reidratação endovenosa feita

por meio de cinco frascos de soro durante 24 h. Cada frasco tem um

volume de 800 mL de soro. Nas primeiras quatro horas, deverá

receber 40% do total a ser aplicado. Cada mililitro de soro corresponde

a 12 gotas. O número de gotas por minuto que o paciente deverá

receber após as quatro primeiras horas

será

a) 16.

b) 20.

c) 24.

d) 34.

e) 40

X

TOTAL DE mL DE SORO 5 x 800 = 4 000 mL

NAS PRIMEIRAS 4H, TOMOU: 40% DE 4 000

40 x 4000 = 1 600 mL

100APÓS AS 4H RESTAM

4 000 - 1 600 = 2 400 mL

TOTAL DE GOTAS:

2 400 x 12 = 28 800

QUE SERÃO TOMADAS EM:

20H = 20 x 60 = 1 200 min

GOTAS 2880024

MIN 1200

Uma loja anuncia o preço de uma calça por 90 reais, caso

o pagamento seja à vista. O cliente também tem a opção

de comprar esta mesma calça, à prazo, pagando 100

reais, com uma entrada de 50 reais e trinta dias depois, os

outros 50 reais. Qual a porcentagem de juros que a loja

cobra do cliente, caso ele opte por comprar esta calça à

prazo?

a) 10%

b) 25%

c) 30%

d) 35%

e) 40%

Pagamento à vista: 90

Pagamento à prazo: 50 .............................. 50

Na verdade, a loja empresta 40 e um mês depois cobra 50

Quantos por cento de aumento há de 40 para 50?

diferença x 100

pelo o que tinha antes

50 40 x 100

40

1

x 100 = 25%4

X

Um time de vôlei recebeu a oportunidade de enviar uma de suasatletas para um treino de aprimoramento com técnicos da seleçãobrasileira. Para fazer a escolha, o técnico analisou a pontuação dascinco melhores atletas dos últimos cinco jogos do time. As pontuaçõessão apresentadas na tabela a seguir.

Visando indicar a que possui maior necessidade, o técnico decidiu escolher aatleta que, dentre as que apresentam menor média nas pontuações, possui omaior número de jogos com pontos abaixo de sua própria média nesses jogos.Pra o treino de aprimoramento deve ser envia da a atleta:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Atleta 4: 1 jogo

Atleta 5: 2 jogos

X

XX

X

A tabela, a seguir, informa o número total de medalhas que o Brasil

ganhou em olimpíadas, no período entre 1964 e 2016.

A soma da média com a moda e a mediana referente ao número de

medalhas no período de 1964 a 2016 é:

a) 30,25 b) 31,75 c) 32,46 d) 34,75 e) 35,36

ROL: 1,2,2,3,3,4,6,8,10,12,15,15,17,19

1+2+2+3+3+4+6+8+10+12+15+15+17+19MÉDIA: 8,36

14

MODA: 2 , 3 E 15 (TRIMODAL)

14 7º 8º 6 8MEDIANA: 7 7

2 2 2

:8,36 2 3 15 7 35,36SOMA

X

Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem

simultaneamente de um mesmo ponto, às 10 horas da

manhã de um sábado, e, andado, contornam uma

pista oval que circunda um jardim. Uma dessas

pessoas dá uma volta completa em 12 minutos. A

outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para

completar a volta. Que horas essas duas pessoas

voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida?

a) Às 10h e 30min.

b)Às 10h e 45 min.

c) Às 11h.

d) Às 11h e 15 min.

e) Às 11h e 35 min.

10h + 1h = 11h

X

log log log .b b ba c a c

log log logb b b

aa c

c

log 1b b

log .logn

b ba n a

logb ab a

Mudança de base b para a base clog

loglog

cb

c

aa

b

Definição de logarítmo logb a x xa b

Propriedades

1

0

2 8,2 = log

3Chile:

E

E

1 012,3 log logE E

0 1log log 12,3E E

2

0

28,8 = log

3Japão:

E

E

2 013,2 log logE E

0 2log log 13,2E E

2 1log 13,2 log 12,3E E

2 1log log 13,2 12,3E E

2

1

log 0,9E

E 0,92

1

10E

E

X

(ENEM 2016/2ª) Um clube tem um campo de futebol com área total de

8 000 m², correspondente ao gramado. Usualmente, a poda da grama

desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para o

serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam juntas

200 m² por hora. Por motivo de urgência na realização de uma partida

de futebol, o administrador do campo precisará solicitar ao clube

vizinho máquinas iguais às suas para fazer o serviço de poda em um

tempo máximo de 5 h. Utilizando as duas máquinas que o clube já

possui, qual o número mínimo de máquinas que o administrador do

campo deverá solicitar ao clube vizinho?

a) 4

b) 6

c) 8

d)14

e)16

Se as duas máquinas, trabalhando juntas,

podam 200 m² em uma hora, cada máquina

sozinha poda 100 m² por hora.

Para podar 8 000 m² em 5h, cada máquina

deverá podar 8 000 : 5 = 1 600 m² por h.

100 m² .............. 1 máquina

1 600 m² ........... x

100 x =1600

x = 16 máquinas.

Como já tem 2 máquinas, serão necessárias:

16 - 2 = 14

X

A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola

em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é

dada pela lei , onde c é a medida da altura do líquido

contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura,

representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas

condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é

a) 1. b) 2 c) 4. d) 5 e) 6.

23( ) 6

2f x x x c

2

( , )

2

4

4. .

V V

V

V

V x y

bx

a

ya

b a c

0Vy

2 3( 6) 4. .c

20

34.

2

0 36 6

6

c

c

X

BOA SORTE!

prof. Keller Lopes