a magia da matemÁtica (.) a magia da matemÁtica (a arte de produzir fome...) “É natural que...
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A MAGIA DA MATEMÁTICAA MAGIA DA MATEMÁTICA((A arte de produzir fome...).)
“É natural que nossos alunos sintam mais prazer quando estão envolvidos em atividades desafiadoras e que permitam a descoberta. É o que chamamos de heurística. Para isso precisam de estímulo, de motivação, de provocação.”
Prof.MSc. Ilydio Pereira de Sá (UERJ – USS – UNIFESO)
Prof.ª Dra. Ana Maria Severiano de Paiva (USS)
POR QUE TEM DE SER UMA “MÁ-TEMÁTICA”?
A Matemática tem a duvidosa honra de ser a
matéria menos apreciada do curso ... Os futuros
professores passam pelas escolas elementares
aprendendo a detestar a Matemática
... Depois, voltam à escola elementar para ensinar uma nova geração a detestá-la.“
(Educational Testing Service, Princeton)
Não podemos esquecer a importância do aspecto lúdico, associado ao exercício intelectual, característico da matemática. Infelizmente, parece que tal aspecto tem sido desprezado.
Por que não introduzir no currículo uma matemática construtiva, lúdica, desafiadora, interessante, nova e útil para o mundo moderno?
(UBIRATAN D’AMBRÓSIO)
"Por ter alto valor no desenvolvimento da inteligência e do raciocínio, é a Matemática um dos caminhos mais seguros por onde podemos levar o homem a sentir o poder do pensamento, a mágica do espírito.“
(MALBA TAHAN em O HOMEM QUE CALCULAVA)
Todos sabemos do medo que a maioria das pessoas têm da matemática. Sabemos que o mito de ciência difícil, hermética e sem grandes atrativos, percorre gerações.
Sabemos também que a atitude do professor, as metodologias usadas e o seu próprio modo de “encarar” a matemática são fundamentais no combate ou no reforço desse mito.
Aprender sem pensar é trabalho perdido.Confúcio ( 551- 479 a. C. ) – Filósofo Chinês
O que é “Lúdico”?
Entendemos o Lúdico como a forma de desenvolver a criatividade, os conhecimentos, o raciocínio de um estudante de todos os níveis, através de jogos, música, dança, teatro, filme, leituras, mímica, desafios, curiosidades, histórias, etc.
A proposta é educar matematicamente, permitindo que o aluno raciocine, descubra e interaja criticamente com colegas e professores.
O que é “Motivar”?
Motivar é criar e revelar pretextos que facilitem o ensino e a aprendizagem. A incentivação relaciona-se com o interesse e a atração.
William James, em “Talkes to teachers”, citado por TAHAN in: Roteiro do Bom Professor, Vechi:1969, divide os assuntos que devem ser ensinados em dois grupos:
1. Os que possuem em si um alto potencial de interesse;
2. Os que não possuem esse potencial.
Afirma esse autor que os alunos só assimilarão os assuntos do 2º grupo se estes foram, inteligentemente associados aos do 1º grupo.
Por que aprender Matemática?
Algumas perguntas que nossos alunos fazem ...
− Professor, para que serve toda essa Matemática que estamos estudando?
− Todas esses números e fórmulas não são para mim... não tenho cabeça para isso!
Qual o verdadeiro papel da Matemática na formação do aluno? Como fazer para motivá-los para o estudo da Matemática?
Respostas, às vezes evasivas ... “Tudo isso você vai precisar para o que vai aprender mais tarde” ...
... o que nem sempre é verdadeiro, todos sabemos.
Muito do que ainda restou e que se ensina no modo tradicional, descontextualizado, está lá por mesmice. Ninguém tem coragem de tirar dos programas. A única razão é de natureza histórica – há tempo se ensina isso.
E o professor infere: "se me ensinaram é porque era importante, portanto...ensino o que me ensinaram".
(D’AMBROSIO)
Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom, um dos mais importantes matemáticos do século passado, ao divulgar um poema de um sábio chinês, que diz:
"Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu tudo que possuía para se aperfeiçoar nessa arte. Depois de três anos ele se achava perfeitamente preparado mas, que frustração, não encontrou oportunidades de praticar sua habilidade." (Dschuang Dsi)
"Como resultado ele resolveu ensinar como matar dragões." (René Thom)
Ajudaria bastante se os professores da Escola Básica, trouxessem para a sala de aula questões práticas interessantes, histórias, desafios, jogos, curiosidades, que sirvam de fatores de motivação e investigação.
Existem saídas?
Usando atividades lúdicas, problemas heurísticos (desafiadores), curiosidades, histórias, tecnologias, etc, os educadores matemáticos têm um poderoso auxílio para a sua prática docente cotidiana.
O importante é que tais atividades sejam trabalhadas e investigadas, resistindo à tentação inicial de buscar “regras decoradas” e sem significado.
A tentativa e o erro são muito importantes no processo de aprendizagem. Numa atividade de investigação matemática o resultado é importante, mas, muito mais importante que a resposta é o caminho percorrido para encontrá-la.
[...]Toda experiência de aprendizagem se inicia com uma experiência afetiva. É a fome que põe em funcionamento o aparelho pensador. [...]
[...] conhecimentos que não são nascidos do desejo são como uma maravilhosa cozinha na casa de uma pessoa que sofre de anorexia. Pessoa sem fome: o fogão nunca será aceso. O banquete nunca será servido. [...]
(Rubem Alves – 2002)
O enfoque progressista que ampara a O enfoque progressista que ampara a Educação Matemática concebe o ensino de Educação Matemática concebe o ensino de Matemática integralmente comprometido Matemática integralmente comprometido com a transformação social, desenvolvendo com a transformação social, desenvolvendo estratégias que solicitam maior participação estratégias que solicitam maior participação do aluno, de modo que a Matemática seja do aluno, de modo que a Matemática seja atraente, prazerosa, lúdica e útil, tanto atraente, prazerosa, lúdica e útil, tanto quanto instrumento para a vida e para o quanto instrumento para a vida e para o trabalho. trabalho.
A proposta é a de instigar o aprender da A proposta é a de instigar o aprender da matemática não como um ato mecânico de matemática não como um ato mecânico de “decorar e aplicar fórmulas”, mas compreender que “decorar e aplicar fórmulas”, mas compreender que “a matemática” está na vida, muito antes de ser “a matemática” está na vida, muito antes de ser apreendida ou apresentada no espaço apreendida ou apresentada no espaço escolarizado. escolarizado.
Cabe, portanto, despertar o interesse, o prazer por Cabe, portanto, despertar o interesse, o prazer por esta matemática. Foi com essa finalidade que esta matemática. Foi com essa finalidade que selecionamos todas as atividades lúdicas selecionamos todas as atividades lúdicas apresentadas. Estas poderão ser usadas em sala apresentadas. Estas poderão ser usadas em sala de aula da educação básica, por professores (as) de aula da educação básica, por professores (as) ou como sugestões para futuros professores (as).ou como sugestões para futuros professores (as).
Não tivemos qualquer preocupação com a cronologia das séries, mas objetivamos apresentar um elenco de sugestões com a intenção de provocar no estudante a “fome” necessária ao estudo das coisas da matemática.
Explorando o lado lúdico da Matemática
Quais as vantagens?
Motivação, desafio Ponto de Partida
POSSIBILIDADES DOS JOGOS, DESAFIOS E ATIVIDADES LÚDICAS
DESENVOLVIMENTO DE HABILIDADES
Tomada de decisões; trabalho em equipes; desenvolvimento de estratégias, da imaginação e da criatividade.
SITUAÇÕES DO COTIDIANO
Muitas situações diárias se assemelham a jogos e desafios e que exigem tomada de decisões.
RACIOCÍNIO LÓGICO DEDUTIVO
Essencial na construção dos conceitos Matemáticos e em situações do dia-a-dia.
Algumas atividades Lúdicas que
podem ser aplicadas em sala de aula.
Atividade 1: O adivinho indiscreto
Clicar aqui
Qual a justificativa matemática desse jogo?
Agora vou descobrir as idades de alguns de vocês. Basta dizer sim ou não, conforme a sua idade esteja ou não nas telas que irão surgir em seguida.
Justificativa Esta atividade envolve uma interessante propriedade dos números naturais e do Sistema Binário de numeração.
“Todo número natural pode ser escrito como uma soma de potências de 2”
Vejamos, por exemplo, o número 23. Em primeiro lugar vamos escrevê-lo na base 2.
1 0
2 2 1
2 5 1
2 11 1
2 23 Logo, o número 23, escrito na base 2, fica: 23 = 101112 . Isto significa que:
16 4 2 1 23
2 . 1 2 . 0 2 . 1 2 . 1 2 . 1 23 43210
Assim sendo, o número 23 só irá aparecer (SIM) nas cartelas iniciadas pelas potências de 2 que estão na sua decomposição (1, 2, 4, 16). Nós só temos que somar esses valores. Verifique na tabela !
Atividade 2:Atividade 2: Área com balança????Área com balança????
Imagine que você pedisse a um aluno do Ensino Fundamental que calculasse uma área irregular e não poligonal.
Esse cálculo, de forma aproximada, poderia ser feito com uma balança de dois pratos?
Tira retangular, com 1 cm de largura, feita com o mesmo material que a figura que se deseja calcular a área.
Devemos colocar uma tira bem grande e ir cortando com cuidado. Quando a balança ficar em equilíbrio, se a tira tiver x cm de comprimento, a área da figura será x cm2. Por que?
Atividade 3: Quebra-cabeças com Pitágoras
Atualmente existem, catalogadas, cerca de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Várias dessas demonstrações podem ser iniciadas com quebra-cabeças interessantes, como o que vamos propor. Trata-se de uma simples e criativa solução de Henry Perigal, publicada em 1873, em Londres.
A partir de um triângulo retângulo qualquer, construímos 3 quadrados. Um sobre a hipotenusa e os outros dois sobre os catetos. Traçamos, em seguida, dois segmentos de reta no quadrado construído sobre o maior cateto, passando pelo seu centro, sendo um dos segmentos paralelo e o outro perpendicular à hipotenusa do triângulo retângulo.
A proposta do quebra-cabeça é recortar as 4 partes obtidas sobre o quadrado do meio e o quadrado menor e, com as 5 peças obtidas, tentar recobrir o quadrado maior (que foi feito sobre a hipotenusa).
Solução
Veja com recursos de Geometria Dinâmica
Veja que idéia genial !!!!
Atividade 4: SOFTWARE PARA DESENVOLVIMENTO DE RACIOCÍNIO
ESPACIAL – CONSTRUFIG 3D
Sobre o CONSTRUFIG3DSobre o CONSTRUFIG3D
O CONSTRUFIG3D é um software gráfico para O CONSTRUFIG3D é um software gráfico para construção de figuras geométricas tridimensionais a construção de figuras geométricas tridimensionais a partir de figuras geométricas bidimensionais. partir de figuras geométricas bidimensionais.
O aluno pode selecionar o tipo e quantidade de O aluno pode selecionar o tipo e quantidade de figuras, a partir das opções disponíveis e verifica se figuras, a partir das opções disponíveis e verifica se é possível gerar uma figura tridimensional é possível gerar uma figura tridimensional compatível. Isto é feito de uma forma interativa compatível. Isto é feito de uma forma interativa utilizando um método de tentativa e erro. utilizando um método de tentativa e erro.
DEMONSTRAÇÃO
Link para download do software:
http://sites.google.com/site/construfig3d/Home/download
Coordenação do Projeto: Dr. Carlos Vítor de A. Carvalho
http://sites.google.com/site/carlosvitorcarvalho
Atividade 5: Área do CírculoAtividade 5: Área do Círculo
A seguir, uma atividade de Geometria A seguir, uma atividade de Geometria Dinâmica, para demonstração da fórmula Dinâmica, para demonstração da fórmula da área do círculo.da área do círculo.
Contradição ou contra-senso, pelo menos Contradição ou contra-senso, pelo menos
aparente;aparente;
Coisa que parece estar certa, mas gera Coisa que parece estar certa, mas gera
um absurdo;um absurdo;
Coisa incrível;Coisa incrível;
Discordância, discrepância, desarmonia.Discordância, discrepância, desarmonia.
Atividade 6: Investigando ParadoxosAtividade 6: Investigando Paradoxos
O que é um Paradoxo?O que é um Paradoxo?
Paradoxo dos dados
Jogando com três Jogando com três dados, 9 e 10 dados, 9 e 10
pontos podem ser pontos podem ser obtidos de seis obtidos de seis
maneiras maneiras diferentes:diferentes:
9 pontos
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
10 pontos
1 3 6
1 4 5
2 2 6
2 3 5
2 4 4
3 3 4
Paradoxo dos dadosParadoxo dos dados
Porque este fato não está de acordo com
a experiência que revela que a soma 10
ocorre mais vezes que a soma 9?
Paradoxo dos dados
Resultados de vários lançamentos Resultados de vários lançamentos (simulação):(simulação):
nº lançamentos Soma 9 Soma 10
100 12 11
1000 137 139
10000 1183 1260
20000 2287 2493
Paradoxo dos dadosParadoxo dos dados
Cardano (1501-1576) (1501-1576)
“Livro sobre jogos de azar”
(escrito em 1526, (escrito em 1526, publicado em 1663)publicado em 1663)
Este problema foi estudado por gente famosa:
Girolamo Cardano
Paradoxo dos dados
Galileu Galilei (1564-(1564-1642)1642)
““Considerações sobre Considerações sobre o jogo dos dados”o jogo dos dados”
(escrito entre 1613 e (escrito entre 1613 e 1623)1623)
Galileu Galilei
Paradoxo dos dados
As combinações anteriores não são As combinações anteriores não são igualmente prováveis.igualmente prováveis.
Há Há 27 maneiras maneiras igualmente prováveis de de obter obter 10 pontos.
Há apenas Há apenas 25 maneiras maneiras igualmente prováveis de obter de obter 9 pontos.
Paradoxo dos dados
Resultado Resultado 1 2 6
1º dado 2º dado 3º dado
1 2 6
1 6 2
2 1 6
2 6 1
6 1 2
6 2 1
Paradoxo dos dados
Resultado Resultado 1 4 4
1º dado 2º dado 3º dado
1 4 4
4 1 4
4 4 1
Resultado 3 3 3
1º dado 2º dado 3º dado
3 3 3
Paradoxo dos dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 6
1 3 5 6
1 4 4 3
2 2 5 3
2 3 4 6
3 3 3 1
total 25
Paradoxo dos dados
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 6
1 4 5 6
2 2 6 3
2 3 5 6
2 4 4 3
3 3 4 3
total 27
Paradoxo dos dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 6
1 3 5 6
1 4 4 3
2 2 5 3
2 3 4 6
3 3 3 1
total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 6
1 4 5 6
2 2 6 3
2 3 5 6
2 4 4 3
3 3 4 3
total 27
Atividade 7: Produto de FraçõesNormalmente as operações de Adição e Subtração de frações costumam ser associadas à visualizações com chocolates, pizzas ou similares. O que não é usual é um processo para a visualização do produto de frações. A seguir mostraremos uma forma prática e visual para tal operação. O professor pode fazer um modelo com transparências, retroprojetor ou até mesmo com papel transparente.
Sugerimos usar a representação das frações como partes de um mesmo todo. Para uma das frações a serem multiplicadas usamos uma representação com linhas horizontais e para a outra com linhas verticais. Fazendo a sobreposição das duas frações, através da interseção dos conjuntos representados, teremos o produto dessas frações. Vejamos alguns exemplos.
3
1 x
2
1 :Exemplo
Vamos representar esse produto geometricamente:
Deslizando uma fração sobre a outra
6
1
3
1 x
2
1
6
1
3
2 x
3
2 :exemplo Outro
Dessa forma, podemos concluir que para multiplicarmos duas frações, basta determinarmos o produto de seus numeradores e de seus denominadores.
9
4
3
2x
3
2
Simples, não?
9
4
Atividade 8: Que buraco é esse?Atividade 8: Que buraco é esse?Os dois triângulos da figura são iguais, no entanto, o segundo triângulo é formado pelas "peças" do primeiro e por um misterioso buraco (retângulo vermelho) que parece ter surgido do nada. Como isto é possível, se os dois triângulos são iguais e ao usarmos todas as partes do primeiro, cobrimos o segundo e ainda sobra o “buraco”?
Que buraco é esse?Que buraco é esse?
COMENTÁRIO:
De onde surgiu o buraco?
Pode-se verificar que a linha une os pontos A e B não é um segmento de reta, já que os ângulos e não são iguais. Como essa diferença é muito pequena, ilusoriamente somos induzidos a pensar que se trata de um segmento de reta. Na primeira figura há um “excesso”, ou seja, uma sobra de área em relação à área de um triângulo. Na segunda figura há uma “falta”. Quando as peças são reagrupadas, essa diferença é que forma o buraco vermelho que apareceu.
Atividade 9: Leitor de “Mentes”
Pense num número de dois dígitos (exemplo: 54)
•Subtraia, desse número, seus dois dígitos (ex: 54 - 5 - 4 = 45)•Olhe na tabela o símbolo correspondente ao seu resultado.•Concentre-se na figura que está à direita do resultado que você obteve.• Vou ler a sua mente e descobrir a imagem que você está olhando.• Vamos lá...pense num número e faça como instruímos...
Só precisamos de traduzir para linguagem matemática todos os passos que fizemos ao longo do desafio.
Seja DU o número em que pensamos, em que D é o algarismo das dezenas e U o algarismo das unidades. A operação que fizemos “DU” – D – U significa 10D + U – D – U, ou seja, 10D – D + U – U ou ainda 9D.
Note que o resultado será sempre um múltiplo de 9, independentemente do número escolhido a princípio.
O que fizemos foi sempre colocar a mesma imagem, em cada tabela, ao lado dos múltiplos de 9. Dessa forma, não há como errar, concorda comigo?
JUSTIFICATIVA MATEMÁTICA...
Atividade 10: Procurando o centro Um carpinteiro cortou cuidadosamente 4 discos de madeira que pretendia utilizar como rodas de um carrinho de brinquedo. Ele precisava determinar, com exatidão, o centro de cada disco, para poder fazer um buraco por onde passasse o eixo.
Acontece que os únicos instrumentos que tinha à mão eram um esquadro não graduado e um lápis. Como ele poderia proceder para encontrar os centros de cada roda? Vamos ajudá-lo com nossos conhecimentos de Geometria?
Solução
Coloca-se o vértice do esquadro num ponto qualquer da borda da roda e, com o lápis, marcam-se as interseções dos lados do esquadro com a borda da roda. Estes pontos definem as extremidades de um diâmetro do disco. Em seguida, girando o esquadro para outra posição, traçamos um outro diâmetro, procedendo da mesma forma. O ponto de interseção desses dois diâmetros será o centro procurado.
Este é um ótimo desafio para uma aula de Ensino Fundamental, como aplicação do conteúdo “ângulos no círculo”.
40 29 66 137 85
37 26 63 134 82
51 40 77 148 96
62 51 88 159 107
96 85 122 193 141
Atividade 11: UMA TABELA ESPECIAL
1. Escolha um número qualquer dessa tabela. Pinte a célula onde o número se encontra (sem escondê-lo). Em seguida, elimine todos os outros números que estão na mesmo linha e na mesma coluna do escolhido. Veja.
40 29 66 137 8537 26 63 134 9951 40 77 148 9662 51 88 159 10796 85 122 193 141
2. Repita a operação com outro número. Mais outro, sempre eliminando os demais que estiverem na mesma linha e coluna. Ao final, só restarão cinco números em sua tabela.
40 29 66 137 8537 26 63 134 9951 40 77 148 9662 51 88 159 10796 85 122 193 141
3. No nosso exemplo, sobraram os cinco números acima. Você deve somar os cinco números que sobraram em sua tabela (sem falar nada). Quando for solicitado, todos deverão dizer a soma encontrada.
SURPRESOS !!!! Como se justifica isso matematicamente?
40 29 66 137 85
37 26 63 134 82
51 40 77 148 96
62 51 88 159 107
96 85 122 193 141
23 12 49 120 68
17
14
28
39
73
Cada número da tabela foi obtido a partir de uma SOMA de dois números. Como cada um dos cinco restantes representa a soma de dois desses dez números que geraram a tabela, é claro que a soma dos cinco que sobraram é igual à soma dos dez números (amarelos).
Atividade 12: Investigando quadrados perfeitos
Sobre o tema raiz quadrada, existem ricas atividades investigativas que podem gerar procedimentos interessantes para esse cálculo, ao mesmo tempo que permitem também relembrar importantes propriedades dos números naturais. Vamos aqui exibir uma dessas atividades, que permitem saber se o número natural dado é um quadrado perfeito e, ao mesmo tempo, determinar a sua raiz quadrada.
Técnica: Subtraindo números ímpares
Uma forma de verificarmos se um número é quadrado perfeito é subtraindo-o, sucessivamente da seqüência dos números ímpares. Se chegarmos ao resultado zero, o número em questão é quadrado perfeito e o número de subtrações feitas é exatamente o valor da raiz quadrada desse número.
Vejamos alguns exemplos:
16
16 – 1 = 1515 – 3 = 1212 – 5 = 7 7 – 7 = 0
Logo, o número 16 é um quadrado perfeito e a raiz quadrada de 16 é exatamente 4 (o número de subtrações que fizemos).
3636 – 1 = 3535 – 3 = 3232 – 5 = 2727 – 7 = 2020 – 9 = 1111 – 11 = 0
Logo, o número 36 é um quadrado perfeito e a raiz quadrada de 36 é exatamente 6 (o número de subtrações que fizemos).
2424 – 1 = 2323 – 3 = 2020 – 5 = 1515 – 7 = 8 8 – 9 ≠ 0
Logo, o número 24 NÃO é um quadrado perfeito. Como se justifica o processo?
JUSTIFICATIVA:
Para um aluno do Ensino Médio podemos, através da soma da P.A, mostrar que a soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n2. Logo, temos:
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n – 1) = n2
É claro então que, se fizermos a subtração n2 – 1 – 3 – 5 – 7 - ... Chegaremos sempre a zero. Como são n parcelas, o número de subtrações é exatamente o valor da raiz quadrada procurada (n).
Para um aluno do Ensino Fundamental podemos também mostrar que essa soma é igual a n2, através de indução incompleta, fazendo com eles alguns exemplos para buscar a lei de formação.
1 + 3 = 4 = 22 (são duas parcelas)
1 + 3 + 5 = 9 = 32 (são três parcelas)
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 (são quatro parcelas)
...
Pitágoras e seus discípulos imaginavam os números naturais como pontos ou figuras geométricas. Assim sendo, essa propriedade dos números quadrados, pode ser vista e verificada através da seguinte seqüência de imagens.
Atividade 13: Desafio - Os Cinco “Dois”
Segue agora um desafio bastante interessante, envolvendo apenas o algarismo 2 e as quatro operações fundamentais da Matemática (Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão).
Tente escrever todos os números naturais, de 0 a 10, usando sempre “cinco“ algarismos dois e as operações fundamentais da matemática.
Por exemplo, o zero pode ser obtido da seguinte maneira:
2
2 -
2
2 - 2 0
Você consegue fazer isso com os demais números naturais, de 1 até 10?
Solução
1 = 2 + 2 – 2 – 2 / 2
2 = 2 + 2 + 2 – 2 – 2
3 = 2 + 2 – 2 + 2 / 2
4 = 2 x 2 x 2 – 2 – 2
5 = 2 + 2 + 2 – 2 / 2
6 = 2 + 2 + 2 + 2 – 2
7 = 22 / 2 – 2 – 2
8 = 2 x 2 x 2 + 2 – 2
9 = 2 x 2 x 2 + 2 / 2
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2
É claro que existem várias outras
soluções. Alguém achou outras?
1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Vamos chamar essa quantidade de A. (Anote)
2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o valor A, sem considerar o resto da divisão. Vamos chamar essa nova quantidade de B. Caso seja ano bissexto e a data for anterior ou igual a 29 de fevereiro, anote B – 1.
Atividade 14: Em que dia da semana você
nasceu?
5Dezembro4Junho
3Novembro1Maio
0Outubro6Abril
5Setembro3Março
2Agosto3Fevereiro
6Julho0Janeiro
3) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele, que está na tabela logo abaixo. Vamos chamar esse número de C.
4) Considere o dia do nascimento (x). Calcule x – 1, que vamos chamar de D.
3Quinta-feira6Domingo2Quarta-feira5Sábado1Terça-feira4Sexta-feira0Segunda-feira
5) Some os quatro valores anotados A, B (ou B – 1), C, D) e obtenha o resto da divisão por 7. Veja na tabela o dia da semana.
Exemplo 1: Em que dia da semana caiu 21 de setembro de 1962?
Solução:
A = 62 (1962 – 1900)
B = 15 (62: 4. 1962 não foi bissexto)
C = 5 (SETEMBRO)
D = 20 (21 – 1)
CONFERINDO
A + B + C + D = 102.
102 : 7 = 14 e resto 4. Pela tabela uma sexta feira.
Setembro - 1962D S T Q Q S S
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30
Exemplo 2: Em que dia da semana caiu 15 de Janeiro de 1940?
Solução:
A = 40 (1940 – 1900)
B = 10 (40: 4. anote 9 (10 – 1), pois 1940 foi bissexto e a data é anterior a 29 de fevereiro.
C = 0 (JANEIRO)
D = 14 (15 – 1)
A + (B – 1) + C + D = 63.
63 : 7 = 9 e resto 0. Pela tabela uma segunda-feira.
CONFERINDO
Janeiro - 1940
D S T Q Q S S 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
Justificativa MatemáticaFato 1: Todos os passos que foram colocados na regra prática visam determinar o “deslocamento”, na seqüência de dias da semana, que a data procurada tem em relação à segunda-feira, 01/01/1900, que é o nosso “ponto de partida”.
Fato 2: Como 365 dividido por 7 deixa resto 1, cada ano de 365 dias (não bissexto) tem o seu primeiro de janeiro deslocado de um dia, no ciclo dos dias da semana (segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo, segunda...), em relação ao primeiro de janeiro do ano anterior.
Quando a pessoa faz a diferença entre o ano de seu nascimento e o ano 1900, está descobrindo quantos “afastamentos”, ou deslocamentos, essa data primeira sofreu em relação ao àquele 01/01/1900
Fato 3: Quando descobrimos, na fase seguinte, a quantidade de anos bissextos (ao dividir o resultado anterior por 4), estamos acrescentando o deslocamento adicional de mais uma “casa”, no ciclo de dias da semana, para cada ano bissexto considerado. Isto porque os anos bissextos afastam o primeiro de janeiro do ano seguinte não em 1 “casa”, mas em 2, já que 366 deixa resto 2 quando dividido por 7.
Todo o processo feito até agora serviu apenas para localizar o dia 1º de janeiro do ano considerado, ou seja, até aqui apenas o ANO da data desejada foi considerado. Agora é a vez de acrescentarmos os deslocamentos gerados pelo mês e pelo dia da data procurada.
Se todos os meses do ano tivessem 28 dias (que gera resto zero ao ser dividido por 7), todos os meses teriam o seu dia primeiro exatamente no mesmo dia da semana que o primeiro de janeiro do ano considerado. Mas como temos meses com mais de 28 dias, todos esses meses (transcorridos de janeiro até o mês considerado) “empurram” o seu dia primeiro um certo número de “casas” adiante no ciclo dos dias da semana.
A tabela criada para o nosso algoritmo está relacionada à aritmética modular, ou seja, à congruência módulo 7. Vejamos como surgiram os números da tabela.
Janeiro é a nossa referência, logo não há qualquer afastamento em relação a ele próprio. Por isso, na tabela dada, ao lado do mês de janeiro, temos o número zero.
Como o mês de janeiro tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse mês vai “empurrar” o primeiro dia do mês seguinte 3 “casas” para a direita em relação ao primeiro de janeiro daquele ano. Por isso, o mês de fevereiro recebe o número 3 na tabela.
Como fevereiro tem 28 dias e 28 dividido por 7 deixa resto 0, esse mês não irá acrescentar qualquer “deslocamento” adicional ao mês seguinte. Logo, o primeiro dia do mês de março cairá no mesmo dia da semana que o primeiro de fevereiro daquele ano, ou seja, será deslocado apenas das mesmas 3 “casas” para a direita, em relação ao primeiro de janeiro daquele ano. Por isso, na tabela dada, o mês de março também tem o número 3.Como março tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse mês vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de (3 + 0 + 3) “casas” para a direita, já que como num dominó em cascata, esses deslocamentos são cumulativos. Por isso na tabela, o mês de abril tem o número 6.
Como abril tem 30 dias e 30 dividido por 7 deixa resto 2, esse mês vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de (3 + 0 + 3 + 2) “casas”, mas como a semana só tem 7 dias, na congruência módulo 7 o número 8 corresponde ao 1 (8 : 7 = 1 e resto 1). Isto é, avançar oito “casas” no ciclo de dias da semana é o mesmo que avançar uma “casa” apenas. Por isso o mês de maio na tabela tem o número 1. E assim, sucessivamente para os demais meses.
Precisamos agora, para finalizar, determinar a quantidade de deslocamentos necessários para atingirmos o exato dia procurado. Ora, se localizamos o dia 1 e queremos localizar o dia x de um determinado mês, precisamos ainda de um deslocamento correspondente a (x – 1) “passos”.
Veja, por exemplo, se a data procurada fosse o dia 4 de um determinado mês, teríamos ainda mais 3 (= 4 – 1) deslocamentos à direita no ciclo de dias da semana.
É claro que, finalizando, a soma dos quatro números obtidos nas etapas do processo terá de ser dividida por 7, pois são sete os dias da semana e o ciclo se repete sempre.
Essa atividade, ou brincadeira, ou truque é um outro exemplo interessante do que chamamos de congruência módulo k, que nesse caso é igual a 7.
Atividade 15: O Homem que só sabia multiplicar e dividir por dois
Certa vez, li num artigo da Internet, que um professor havia encontrado um aluno que só sabia multiplicar e dividir por 2 e que, mesmo assim, conseguia resolver (e até com certa rapidez) todas as multiplicações envolvendo dois números naturais, até mesmo com
números bem grandes.
No artigo mostrava que ele procedia da seguinte maneira. Por exemplo, se ele queria multiplicar 85 por 42, ele fazia da seguinte maneira:
1. Montava uma tabela, com duas colunas, iniciando uma delas pelo 85 e a outra pelo 42.
2. Enquanto ia dividindo os números da coluna da esquerda por dois, abandonando os “quebrados”, se fosse o caso, ia multiplicando os números da coluna da direita por 2.
3. Em seguida, abandonava todas as linhas da tabela, cujos números da esquerda eram PARES.
4. Finalmente, somava todos os números da segunda coluna que haviam sobrado. Era o resultado da multiplicação.
Veja como ele fazia:
85 42
42 84
21 168
10 336
5 672
21344
12688
“ABANDONA”
85 42
21 168
5 672
1 2688
Então, para obter o resultado de 85 x 42 ele agora somava 42 + 168 + 672 + 2688 = 3570 (verifique !). Faça outros exemplos e veja que SEMPRE vai dar certo.
Verifiquei, através de pesquisas, que o processo usado por esse aluno, tratava-se de uma técnica usada pelos antigos camponeses Russos. Um método muito eficiente e que facilita bastante o cálculo mental, já que só lida com dobros, metades e somas. Mas qual será a justificativa desse método???
Vamos supor que você tenha 8 notas de 5 reais...
É fácil perceber que teríamos a mesma quantia com metade das notas, mas do dobro do valor, ou seja:
8 x 5 reais ou
4 x 10 reais
Ou ainda 2 notas de 20 reais.
Portanto...
8 x 5
4 x 10
2 x 20
: 2
: 2
x 2
x 2
Então, se desejarmos multiplicar 32 x 17, poderemos imaginar que são 32 grupos de 17 objetos cada um.
GRUPOS OBJETOS
32 17
16 34
8 68
4 136
2 272
1 544
Então 32 x 17 = 544
Nesse caso foi bem fácil, pois 32 é uma potência de 2 e, dessa forma, será sempre possível as sucessivas divisões por 2. Vejamos então um caso em que isso não acontece...
Vejamos então o produto de 42 por 17. Vamos imaginar 42 grupos, de 17 objetos cada um.
GRUPOS OBJETOS
42 17
21 34Como 21 não é divisível por 2, vamos considerar 20 grupos de 34 objetos e guardar 1 grupo de 34 objetos 10 68
5 136Novamente, como 5 não é divisível por 2, consideramos 4 grupos de 136 objetos e guardamos 1 grupo de 136 objetos.
2 272
1 544
Logo, o resultado de 42 x 17 será igual a 544 mais os dois grupos que havíamos guardado antes, ou seja, 544 + 34 + 136, o que é igual a 714. (confira!)
Vamos fazer mais um exemplo e resumir a regra da multiplicação russa. Vamos multiplicar 71 por 43.
71 43 1) Vamos dividindo por dois os números da esquerda. Quando a divisão não for exata, consideramos apenas a parte inteira. Pararemos sempre no número 1.
2) Ao mesmo tempo, vamos multiplicando por 2 os números da direita.
3) Somamos todos os números da direita, que tenham à esquerda um número ímpar. Vamos completar agora o exemplo, seguindo a regra.
35 86
17 172
8 344
4 688
2 1376
1 2752
Logo, 71 x 43 = 43 + 86 + 172 + 2752 = 3053
Os livros de História da Matemática contam que tal método já era usado no antigo Egito.
Métodos como esse, da multiplicação feita pelos camponeses Russos, assim como as demais técnicas que mostramos, é que mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação Matemática – a Etnomatemática.
A Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento matemático existente em distintos grupos sociais e etnias, tem como um de seus maiores estudiosos o emérito professor brasileiro Dr. Ubiratan D’Ambrósio.
A) A multiplicação na Índia
(Método da Gelosia)
Historicamente se considera indiscutível a procedência hindu para o sistema de numeração decimal e alguns algoritmos para operações.
ATIVIDADE 16: ANTIGAS TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO
Genericamente, em contraste com o severo racionalismo grego, a matemática hindu era considerada intuitiva e prática.
Os matemáticos hindus eram interessados em questões numéricas relacionadas a equações determinadas e indeterminadas.
Os matemáticos hindus desenvolveram um método de multiplicação através de tábuas quadriculadas. Mais tarde os árabes o levaram para a Europa e ficou conhecido como Método da Gelosia.
Inicialmente eles construíam uma tabela com 4 colunas e 3 linhas, por conta da quantidade de algarismos dos números envolvidos na operação.
Vejamos como ficava essa tabela.
Exemplo 1:
Multiplicar 6 538 por 547
5
6 538 x 547
4
7
6 5 3 8
Traçamos as diagonais desses quadradinhos, como mostramos abaixo:
5
4
7
6 5 3 8
Dentro de cada quadradinho colocamos os resultados das multiplicações dos algarismos correspondentes da coluna e da linha. Se o resultado for de apenas um dígito deve ser escrito precedido de zero.
5
4
7
6 5 3 8
0
4
2
3
6
5
5
1
2
1
1
2
5
2
0
2
5
3
0
3
4
2
2
4
Em seguida somamos os algarismos que estão nas mesmas diagonais. Usamos a mesma técnica do “vai um “ que usamos no algoritmo tradicional. Vejamos:
5
4
7
6 5 3 8
0
4
2
3
6
5
5
1
2
1
1
2
5
2
0
2
5
3
0
3
4
2
2
4
682
1
6
1
7
1
5
3
Podemos então concluir que o resultado da multiplicação proposta é:
6 538 x 547 = 3 576 286
Mas por que será que funciona?
Antes de tentarmos justificar o método, vamos fazer um outro exemplo:
Multiplicar 537 por 24
Vamos construir a tabela correspondente (Método da Gelosia).
5 3 7
2
4
5 3 7
2
4
10
2
41
6
0
82
21
0
5 3 7
2
4
10
2
41
6
0
82
21
0
1
2
8 8 8
5 3 7
2
4
10
2
41
6
0
82
21
0
1
2
8 8 8
Logo, 537 x 24 = 12 888
Para justificarmos o método, devemos lembrar que, na multiplicação 537 x 24, temos na realidade (500 + 30 + 7) x (20 + 4). Se aplicarmos a propriedade distributiva, teremos:
500 x 20 = 10 0 0 0
30 x 20 = 6 0 0
7 x 20 = 1 4 0
500 x 4 = 2 0 0 0 30 x 4 = 1 2 0
7 x 4 = 2 8
8 8 82 1Verifique que as somas que obtivemos em cada coluna são exatamente iguais às somas das diagonais do método da Gelosia. Isso nos mostra que os antigos hindus já conheciam o valor posicional dos algarismos no sistema de numeração decimal.
B) Multiplicação Chinesa B) Multiplicação Chinesa
Os chineses usavam um método prático com varetas de bambu. De uma certa forma é uma variante do método da Gelosia dos Hindus.
Exemplo:
Multiplicar 342 por 25
As varetas ficavam dispostas na horizontal e na vertical, representando o multiplicador e o multiplicando. Os pontos de interseção das varetas são contados e representam as multiplicações que achamos na Gelosia.
3 24
2
5
3 24
2
5
102423
6
3 24
2
5
102423
6
0 8 550
25
5
25
58
Logo:
342 x 25 = 8 550
24
2
4
Vejamos um outro exemplo: 42 x 24 =
8208
8010
1008
Verifique que a justificativa para o método Verifique que a justificativa para o método Chinês é exatamente a mesma que usamos Chinês é exatamente a mesma que usamos para o método da Gelosia. A única diferença para o método da Gelosia. A única diferença é que, no lugar da tabela (gelosia), eles é que, no lugar da tabela (gelosia), eles usavam as varetas e a contagem das usavam as varetas e a contagem das interseções.interseções.
Métodos como esses, da multiplicação feita pelos Hindus ou pelos Chineses,, é que mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação Matemática – a Etnomatemática.
A Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento matemático existente em distintos grupos sociais e etnias, tem como um de seus maiores estudiosos o emérito professor brasileiro Dr. Ubiratan D’Ambrósio.
Para educadores da EJA os estudos de Etnomatemática são muito importantes no entendimento de processos, métodos e técnicas matemáticas que os alunos jovens ou adultos possam ter desenvolvido, mesmo que em espaços não formais de educação.
112112
Para uma reflexão final...
113113
Um grupo de cientistas e pesquisadores colocou cinco macacos numa jaula. No meio da jaula, uma escada e no alto da escada um cacho de bananas.
Quando um macaco subia a escada para pegar as bananas, um jato de água fria era jogado nos macacos que estavam no chão.
114114
Depois de um certo tempo, quando um macaco subia a escada para pegar as bananas, os outros que estavam no chão o pegavam e o enchiam de pancada.
Passado algum tempo, nenhum macaco subia mais a escada, apesar da tentação das bananas. O jato de água fria tornou-se desnecessário.
115115
Então os pesquisadores substituíram um dos macacos por um novo. A primeira coisa que ele fez foi subir a escada, dela sendo retirado pelos outros que o surraram.
Depois de algumas surras, o novo integrante do grupo não subia mais a escada.
116116
Um segundo substituto foi colocado na jaula e o mesmo ocorreu com este, tendo o primeiro substituto participado com entusiasmo na surra ao novato.
Um terceiro foi trocado e o mesmo ocorreu.
Um quarto e afinal o último dos cinco integrantes iniciais foi substituído.
117117
Os pesquisadores tinham, então, cinco macacos na jaula que, mesmo nunca tendo tomado o banho frio, continuavam batendo naquele que tentasse pegar as bananas.
Se fosse possível perguntar a algum deles porque eles batiam em quem tentasse subir a escada, com certeza, dentre as respostas, a mais freqüente seria:
"NÃO SEI, MAS AS COISAS POR AQUI SEMPRE FORAM ASSIM."
Talvez essa fábula tenha muito a ver com a Educação, com a Matemática e com as experiências que alguns de nós vivenciamos ao longo de nossa escolarização...
Mas será que tudo tem de ser mesmo do jeito que sempre foi?
SUGESTÕES DE LEITURAS
Almanaque das Curiosidades MatemáticasIan Stewart. Zahar Editores
Mania de Matemática 1 e 2 – Ian Stewart. Zahar Editores.
A Magia da Matemática: Atividades Investigativas, Curiosidades e Histórias da Matemática - Ilydio Pereira de Sá
Editora Ciência Moderna
A Janela de Euclides - Leonard Mlodinow
Ed. Geração
Matemática Divertida e Curiosa - Malba Tahan
Ed. Record
Divertimentos Matemáticos - Martin Gardner
Ed. Ibrasa
O Diabo dos Números - Hans Magnus EnzensbergerEd. Cia das Letras
Aprenda Álgebra Brincando – I. PerelmannHemus Editora.
O Homem que Calculava – Malba TahanEd. Record
Coleção Explorando o Ensino da Matemática, 3 volumes.
MEC. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/
““Nunca se afaste de seus sonhos...porque se Nunca se afaste de seus sonhos...porque se eles se forem, você continuará vivendo, mas eles se forem, você continuará vivendo, mas
terá deixado de EXISTIR.” (Mark Twain)terá deixado de EXISTIR.” (Mark Twain)
TENTE!!!TENTE!!!