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uem nunca brincou de preencher um quadrado mgico?1 aquele em que voc tentava dispor vrios nmeros de forma que a soma fosse a mesma nas diagonais do quadrado, nas linhas e tambm, nas colunas2.

Um quadrado mgico muito interessante, que possibilita uma reflexo de fcil entendimento o de trs linhas e trs colunas, no qual, deve-se dispor os nmeros de 1 a 9, de modo que a soma em cada linha, coluna e diagonal, seja 15.

A matemtica do quadrado mgico no to elementar3, mas a anlise lgica que ser aqui apresentada deste quadra-do pode ser trabalhada em sala de aula por professo-res desde as sries iniciais do Ensino Fundamental segundo ciclo por no exigir muitos pr-requisitos.

Vamos soluo, analisando cada situao:

1) So nove algarismos a serem dispostos no quadro:

1-2-3-4-5-6-7-8-9

2) Entre os nmeros de 1 a 9 temos: mpares = 5 Pares = 4

(3) As possveis combina-es de trs parcelas so:

a)par+par+par = par b)par+par+mpar = mpar c)par+mpar+mpar = par d)mpar+mpar+mpar= mpar

4) Analisando as combi-naes acima, vemos que as nicas possveis so b e d, pois o nmero 15 mpar.

5) O nmero que deve ocupar o centro do quadrado merece ateno especial, pois ir ser parcela de quatro das oito somas. Suponha que o nmero do centro seja par. Pelo 3b item, os outros dois nmeros de cada diagonal devem ser, um deles, par e o outro, mpar:

mpar Par

Par

6) O que leva a duas situaes:

Primeira

mpar mpar Par

Par Par

Esta forma exige um nmero mpar na primeira linha, para que a soma seja mpar, pelo item 3d. Mas isso fora que seja colocado um nmero par para completar a coluna do meio, pelo item 3b, o que vai deixar a terceira linha com trs nmeros pares:

mpar mpar mpar Par

Par PPaarr Par

Segunda Leva ao mesmo

raciocnio, pois uma rotao anti-horria da primeira.

mpar Par mpar Par PPaarr mpar Par

7) Nos resta tentar pr um nmero mpar no centro do quadrado mgico. Pelo item 3, h duas possveis for-mas de preencher as diagonais do quadrado de modo que as somas sejam mpares, o que nos leva a quatro combinaes poss-veis. Analisemos cada uma:

Primeira

mpar mpar mpar

mpar mpar

Esta no a soluo, pois pelo item 3c, completando as demais casas com nmeros pares, as somas das linhas e colunas seriam todas pares.

Segunda

Par mpar mpar

mpar Par

Esta no a soluo, pois todas as casas restantes devem ser preenchidas com nmeros pares. Mas s temos 4 pares de 1 a 9. Aqui so necessrios 6.

Terceira

mpar Par mpar

Par mpar

Tambm no a soluo, pois no passa de uma rotao anti-horria do caso anterior.

Quarta

Par Par

mpar Par Par

Esta pode ser a soluo, pois basta completar as casas vazias com mpares. Logo, o nmero do centro mpar.

8) Analisemos agora, as combinaes que resultam 15, contendo dois nos pares para preenchermos as duas diagonais.

1+8+6 2+8+5 2+6+7 2+9+4 3+4+8 4+5+6

9)O nico nmero mpar que se apresenta em duas das adies anteriores o 5. Logo, este deve ser o nmero do centro. Ficando a seguinte disposio.

2 5 8

10) A disposio dos nmeros 4 e 6 na outra diagonal no altera o

resultado, pois trata-se de uma rotao da soluo. Depois, s dispor os nmeros restantes.

2 6 5 4 8

11) Estas so todas as possveis solues para o quadrado mgico 3x3:

4 9 2 2 9 4 3 5 7 7 5 3 8 1 6 6 1 8

8 1 6 6 1 8 3 5 7 7 5 3 4 9 2 2 9 4

2 7 6 6 7 2 9 5 1 1 5 9 4 3 8 8 3 4

4 3 8 8 3 4 9 5 1 1 5 9 2 7 6 6 7 2

12)Todos os outros quadrados mgicos 3x3 tm como estrutura o modelo base anterior. Exemplos:

a) Se adicionarmos um nmero qualquer a todos os nmeros de 1 a 9 na soluo anterior teremos um novo quadrado mgico. Somando 6, por exemplo, temos um, em que se deve dispor os nmeros de 7 a

15 de modo que a soma seja 33.

8 13 12 15 11 7 10 9 14

b) Se multiplicarmos os nmeros da soluo por 2 e subtraindo 2, teremos um novo quadrado mgico em que dispondo os nove primeiros pares a soma ser 24.

2 12 10 16 8 0 6 4 14

c) Se somarmos 1 aos nmeros da soluo ante-rior, teremos um quadrado mgico em que dispondo os nove primeiros mpares, a soma ser 27.

3 13 11 17 9 1 7 5 15

Como pode-se ob-servar, essa forma de resoluo do quadrado 3x3 de fcil entendimento para professores e alunos, por no necessitar de um aprofundamento em concei-tos matemticos.

NOTAS_____________

1.Ver exerccios com quadrados e crculos mgicos em: BERLOQUIN, Pierre. 100 jogos numricos. Lisboa: Gradiva.

2.Sobre quadrados mgicos de ordem superior, estrelas mgicas, crculos, etc.: BOLT, Brian. Actividades Matemticas. Lisboa: Gradiva,1991

3. Para resoluo e construo de quadrados mgicos de qualquer ordem: Rpm, Revista do Professor de Matemtica, n 39, como contruir um quadrado mgico de ordem mpar; Rpm n41, Mais sobre quadrados mgicos.