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PTSI-SII - CIN Exercices d’application A) Liaisons et schémas cinématiques page 1/19

A) Liaisons et Schémas cinématiques

Exercice 1 : Représentation 2D et 3D des liaisons

Compléter le tableau ci-dessous. Pour les schémas, représenter en 2 couleurs les symboles normalisés.

Exercice 2 : Liaisons associées (en parallèle)

Compléter la désignation des liaisons dans le tableau suivant. NB : Le centre de la liaison de gauche sera nommé le point A et celui de la liaison de droite le point B.

x

y

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Exercice 3 : Schéma cinématique (système de manœuvre d’aiguillage)

Le schéma cinématique d’un système de manœuvre d’aiguillage est donné ci-dessous (figure 1). Question 1 : Compléter le tableau suivant, afin d’identifier les 5 liaisons demandées :

Liaison entre… Centre Nom et orientation Degrés de liberté

Tx Ty Tz Rx Ry Rz

Couronne / Bâti

Couronne / Galet

Galet / Bras

Bras / Bâti

Bras / Tringle de manœuvre

L’arbre d’orientation (non représenté figure 1) est en liaison pivot d’axe y avec le bâti, au point J. De plus, la tringle de manœuvre ne doit pouvoir que translater par rapport à l’arbre d’orientation, dans la direction (AK).

Question 2 : Quelle doit être la liaison entre la tringle de manœuvre et l’arbre d’orientation (au point K) ?

Question 3 : Représenter la liaison entre l’arbre d’orientation et le bâti, la liaison entre l’arbre d’orientation et la tringle de manœuvre, puis terminer complètement le schéma cinématique, figure 1. Question 4 : Comprendre le fonctionnement du mécanisme. Pour cela, le plus simple est d’identifier les mouvements des pièces liées directement au bâti, dans l’ordre logique de la transmission du mouvement : axe moteur, couronne (via le réducteur), bras (via le galet), puis arbre d’orientation (via la tringle de manœuvre).

y

x

Tringle de manœuvre

Réducteur à 4 engrenages

M

Limiteur de couple à friction (avec accouplement élastique)

Actionneur

ABras O

Galet C D

Couronne

A

B

E F

H

I

Figure 1 : Système de manœuvre d’aiguillage

J

K

PTSI-SII - CIN Exercices d’application B) Vecteurs et torseurs page 3/19

B) Vecteurs & torseurs

Exercice 4 : Calcul vectoriel Soit le repère vectoriel ( ), ,R x y z

et 1 2 3, ,V V V

trois vecteurs quelconques non nuls.

En justifiant votre démarche, déterminer ce que vaut : ( ) ( )1 2 3 3 1 3. . .V V V V V V ∧ ∧

Exercice 5 : Produits scalaires et vectoriels sur figures planes

Soient 3 repères i i i iR (O,x ,y ,z )

définis de la façon suivante :

• R2 est obtenu par une rotation de R1 d'angle θ et d'axe 1(O,y )

;

• R3 est obtenu par une rotation de R2 d'angle φ et d'axe 2(O,z )

.

1. Représenter les figures planes correspondant aux 2 changements de base. 2. Calculer :

1 2.z x

1 3.x z

1 2.y z

1 2z x∧

1 3x z∧

1 2y z∧

3 1y z∧

3 1.y z

3. On donne les vecteurs 1 3 3. .V a x b z= +

, 2 1.V a y=

et 1 2= ∧

W V V ; calculer la projection de W

sur 3x

.

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Exercice 6 : Addition de torseurs

Soit le repère orthonormé direct ( ), , ,R O x y z

. Soient deux torseurs 1T et 2T définis comme suit :

( )

11

1

2 3

0M

R x yT

M M

ω ω = − + = =

( )

22

2 0N

R x zT

M N

ω ω = − + = =

avec ω ≠ 0 ; 2 3OM ax ay= +

; 2 2ON ax az= +

; a > 0

Soit le torseur T tel que 1 2 0T T T+ + = . Déterminer les éléments de réduction de T en O.

PTSI-SII - CIN Exercices d’application C) Cinématique du solide indéformable page 5/19

C) Cinématique du solide indéformable

Exercice 7 : Vitesses et accélérations du manège Space Mountain

Ce modèle cinématique peut être représenté par le schéma cinématique ci-contre.

Q.1. Construire la ou les figures planes de repérage puis exprimer les vecteurs vitesse instantanée de

rotation 1/0Ω

, 2/1Ω

, 2/0Ω

.

Q.2. Déterminer 2 ,2 / 0OV

, vitesse absolue du cou du passager.

Q.3. Déterminer ,2 / 0GV

et ,2 / 0Ga

, respectivement la vitesse et l’accélération absolue de G.

Q.4. On imagine le cas le plus défavorable en supposant que l’accélération maximale (9 m/s² d’après le

cahier des charges) est supportée par le terme de l’accélération sur 2y

, à savoir 2.a βɺɺ . Montrer que le cou

du corps humain, qui peut supporter jusqu’à 80 rad.s-2, résiste (a2 = 17 cm). Déterminer alors le coefficient de sécurité.

R0

R

R1

R2

O2

O1

G

0y

0x

= 1x

1x

1y

2x

β

α x

O


R

Exercice 8 : Torseur cinématique d’un radar d’avion Le système Σ(1,2,S) est un radar mixte monté dans un nez d'avion. Le repère

( ), , ,R O x y z

est lié à l'espace de référence

(la terre). L'avion est en translation

rectiligne dans cet espace : (P,S/R)V ( ).v t x=

,

v étant une fonction connue, dérivable. Paramétrage

La partie mobile du radar est schématisée par l'ensemble (1,2). Son orientation par rapport au support de fixation S, lié à la cellule de l'avion, est repérée par les deux paramètres α et β définis ci-dessous : Solide1 : 1ère sous unité.

Repère lié ( )1 1 1, , ,P x y z

.

Mouvement (1/S) : rotation autour de ( ),P z

.

Position (1/S) repérée par ( ) ( )1 1, ,x x y y α= = (angle de gisement).

Solide 2 : 2nde sous unité (qui porte l'antenne, ou réflecteur).

Repère lié( )2 2 2, , ,H x y z

. 1.PH h x=

, h étant une constante positive.

Mouvement (2/1) : rotation autour de( )1,H y

.

Position (2/1) repérée par ( ) ( )2 1 2, ,z z x x β= = (angle de site).

2.HG a x=

, a étant une constante.

Travail demandé

Tous les résultats doivent être exprimés le plus simplement possible.

1. Tracer les figures planes de changement de bases.

2. Donner l’expression des vecteurs vitesses de rotation

2/1 1/ / 2/, , , S S R SΩ Ω Ω Ω

.

3. Donner l’expression des vitesses ,2 /1HV

et ,1/P SV

.

4. Exprimer au point P, le torseur cinématique 1/SV .

5. Déplacer ce torseur cinématique au point H.

6. Comparer ,2 /H SV

et ,1/H SV

. Expliquer votre raisonnement.

7. Exprimer, au point H, le torseur cinématique 2/SV .

8. Déplacer ce torseur cinématique au point G. 9. Calculer l’accélération absolue au centre de gravité ,2 /G Ra

(cette accélération est utile pour appliquer le

PFD et en déduire le lien entre mouvement et actions mécaniques sur le radar).

Sur le dessin α = β = 0


Exercice 9 : Équations et graphes du mouvement d’un chariot linéaire

Soit le chariot suivant, guidé suivant un rail rectiligne de direction x

. Un motoréducteur lié à une roue lui permet de se déplacer à une vitesse nominale v0 = 0,2 m/s.

Valeurs numériques : b = 20 mm d = 1,5 m ΦD = 60 mm l = 300 mm H = 210 mm

Tous les calculs devront être effectués en expression littérale avant application numérique.

1) Mouvement uniforme On néglige la phase d’accélération et de décélération du chariot et on considère donc que le chariot se déplace à une vitesse constante v0 = 0,2 m/s.

a) Calculer la durée de déplacement du chariot entre les deux butées.

2) Mouvement trapézoïdal On considère que le mouvement du chariot s’effectue en trois phases : - accélération constante : |a1| = 0,05 m/s² jusqu’à atteindre la vitesse nominale ; - vitesse constante à vitesse nominale : v0 = 0,2 m/s ; - décélération constante : |a3| = 0,1 m/s² jusqu’à l’arrêt.

b) Tracer le graphe de vitesse v(t) du chariot (avec les valeurs littérales uniquement). c) Déterminer la durée des phases d’accélération (t1) et de décélération (t3). d) Calculer la durée de déplacement du chariot entre les deux butées. Quelle est l’erreur relative que

l’on avait faite en négligeant les accélération/décélération en question a) ?

ΦD

b b d

l

H


Exercice 10 : Roulement sans glissement d’une roue de vélo

Q.4. Pour un braquet 51 x 14, déterminer la fréquence de pédalage (en tr/min) d’un coureur cycliste professionnel lorsque celui-ci roule à une vitesse de 50 km/h.

Remarque : un braquet 51 x 14 (utilisé sur du plat) correspond au nombre de dents du plateau (pédalier) puis du pignon (roue arrière, tournant à la même vitesse que la roue avant). Ainsi pour un tour du pédalier, la roue tournera de 51/14 tours.


Exercice 11 : Glissement d’une came à excentrique


Exercice 12 : CIR graphique (exercice d’entrainement)

Le solide 1 est en mouvement plan (x,y) par rapport à un solide 0. L’étude se fait à un instant donné t1.

La vitesse D1/ 0V

en D est connue, et la direction de la vitesse C1/ 0V

en C est connue. (cf. schéma 1)

Tracer le CIR I1/0 sur le schéma 1. En déduire C1/ 0V

(à tracer sur le schéma 1) et sa norme.

Exercice 13 : Equiprojectivité graphique (exercice d’entrainement)

Le solide 3 est en mouvement plan (x,y) par rapport à un solide 1. L’étude se fait à un instant donné t1.

La vitesse B3 /1V

en B est connue, et la direction de la vitesse C3 /1V

en C est connue. (cf. schéma 2)

Tracer C3 /1V

sur le schéma 2 en utilisant la méthode de l’équiprojectivité. En déduire sa norme.

1 m/s

Schéma 1 (CIR) : Solide 1 à l’instant t1

D C

D1/ 0V

direction ( C1/ 0V

)

1 m/s

Schéma 2 (Equiprojectivité) : Solide 3 à l’instant t1

C B

B3 /1V

direction ( C3 /1V

)


Exercice 14 : Cinématique graphique (CIR sur le manège Falgas Bully)

Le manège FALGAS BULLY (représenté page suivante) est, entre autres, composé de quatre groupes cinématiques : - Le support 1 est fixé sur le sol ; - La cabine 2 est l’espace dans lequel se positionne l’enfant ; - La manivelle 3 est en liaison pivot avec le support 1 en A, et en liaison pivot avec la cabine 2 en B ; - Le bras 4 est en liaison pivot avec le support 1 en D, et en liaison pivot avec la cabine 2 en C. La manivelle 3 est entraînée en rotation par un moteur et une poulie, avec ω3/1 = 4 rad/s (sens positif). Voici son schéma cinématique (non à l’échelle !) :

QUESTION : Déterminez graphiquement

E2 /1V

AIDE (à n’utiliser que si nécessaire, et seulement les premières indications si elles sont suffisantes) : AIDE n°1 : Déterminer le mouvement 2/1 (si c’est une translation rectiligne ou une rotation, on connaîtra la

direction de la vitesse). AIDE n°2 : Si 2/1 est un mouvement plan, voir si E ne serait pas un point fixe avec un autre solide dont on

connaîtrait le mouvement. AIDE n°3 : Si E n’est pas un point fixe avec un autre solide, alors il faut trouver deux points appartenant à 2

dont on pourra déterminer la direction des vitesses 2/1, afin de trouver le CIR 2/1. AIDE n°4 : Afin de déterminer la direction des vitesses ∆

B2 /1V et ∆

D2 /1V il faut voir si B et D sont des points

fixes, donc appartenant aussi à d’autres solides, dont les mouvements seraient connus (3/1 et 4/1).

AIDE n°5 : Une fois le CIR I2/1 trouvé (perpendiculaire à ∆

B2 /1V en B et à ∆

D2 /1V en D), il faut connaître

une valeur de vitesse : on trouvera entièrement

B2 /1V car on peut connaître

B3 /1V (on connait

ω3/1 provenant du moteur). Puis tracer le « triangle des vitesses » sur la droite (I2/1E).

A B D

C

E

1

2

3 4


1 B

C

A

E

3

2

4

Y

X

Echelle 1:8 Vitesses : 1mm ↔ 5mm/s

D

PTSI-SII - CIN Exercices d’application D) Cinématique des mécanismes page 17/19

D) Cinématique des mécanismes

Exercice 15 : Liaison équivalente en série (bras CoMax)

Le bras CoMax peut être représenté par le schéma cinématique ci-dessous (sans soulèvement) :

1) Quelle est a priori la liaison équivalente entre 1 et 2 ? 2) Déterminer la liaison équivalente entre 1 et 2 par les torseurs cinématiques.

Pivot d’axe (A,z) Pivot d’axe (B,z)


Exercice 16 : Liaison équivalente en parallèles

On donne le schéma suivant :

1) Quelle est a priori la liaison équivalente entre 1 et 0 ? 2) Déterminer la liaison équivalente entre 1 et 0 par les torseurs cinématiques.


Exercice 17 : Fermeture géométrique d’un oscillateur

Soit un oscillateur (mécanisme plan) dont le schéma cinématique est donné ci-dessous, avec le paramétrage associé :

1) Tracer la figure plane des angles θ1 et θ2 (sur une seule figure plane).

2) Déterminer la relation entre les angles θ1 et θ2.

3) Dériver la relation précédente afin d’obtenir la loi entrée-sortie en vitesse ( )2 1fθ θ=ɺ ɺ .

4) Déterminer la relation entre le glissement l et l’angle moteur θ1 : l=f(θ1)

B

A

1 3

2

0

0y 2x

1x

C

0

0x

1 1.AB L x= −

2.BC l x= −

0 0.AC L x= −

( ) ( )1 0 1 0 1, ,x x y yθ = =

( ) ( )2 0 2 0 2, ,x x y yθ = =

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