a didatizaÇÃo e contextualizaÇÃo da modelagem … · aula com a matemática cotidiana que cerca...
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ISSN 2176-1396
A DIDATIZAÇÃO E CONTEXTUALIZAÇÃO DA MODELAGEM
MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA: UMA PROPOSTA DE
ATIVIDADE PARA SALA DE AULA
Dácio Alves de Azevedo1 - IFPB
Eixo – Didática
Agência Financiadora: não contou com financiamento
Resumo
O rendimento dos alunos nas avaliações de Matemática revela um quadro alarmante. Nesse
pano de fundo, o discurso global que tem regido o ensino de Matemática é voltado às ideias
da contextualização e da didatização no processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos.
Com base nessa problemática, o presente trabalho foi articulado com o intuito de propor o
desenvolvimento de uma atividade que fosse capaz de ilustrar como o processo de
modelagem matemática é importante e como ele pode ser contextualizado e didatizado nas
aulas de física do Ensino Médio. Nessa perspectiva, foi feito um levantamento bibliográfico
que constituiu um importante aporte teórico para a elaboração do plano de atividade. Tomou-
se como base para a estruturação deste trabalho, autores como Almeida (2002a, 2002b), que
traz o conceito de modelagem matemática, assim como Bassanezi (2002), ademais, no que se
refere ao ensino de Matemática, tomaram-se como suporte os trabalhos de Chevallard et al.
(2001), D’Ambrosio (1986) e Viecili (2006). Quanto à proposta de atividade didática
apresentada, tomou-se como base o trabalho de Magarinus (2013). Assim, foi proposto o
desenvolvimento de uma atividade de intervenção que associa Matemática e Física e que
requer o conhecimento da modelagem matemática por parte dos alunos, especificamente do 1º
ano do Ensino Médio, a fim de que eles tenham a possibilidade de formular modelos
matemáticos para explicar fenômenos físicos. Espera-se, com a aplicação desta atividade em
sala de aula, um maior desenvolvimento da abstração dos alunos, bem como de uma maior
compreensão acerca da associação entre a Matemática formal e a Matemática cotidiana, além
de potencializar o saber de Física de colisões dos discentes a partir da associação entre teoria
e prática, de forma didática.
Palavras-chave: Modelagem matemática. Ensino de Matemática. Ensino de Física. Didática.
1 Mestre em Ensino de Física pela Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA), especialista em Física
pela Universidade Federal de Lavras (UFLA) e graduado em Licenciatura em Física pela Universidade do
Estado do Rio Grande do Norte (UERN). Atualmente é professor de Física do Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia da Paraíba (IFPB) - Campus Sousa. E-mail: [email protected].
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Introdução
Na condição de uma ciência regida de saberes essenciais para a articulação de
habilidades intelectuais, lógicas e cognitivas dos indivíduos, a matemática constitui-se como
primordial para o entendimento do cotidiano da sociedade. Um problema evidente no
processo de ensino-aprendizagem dessa ciência é a maneira inconveniente com a qual ela é,
muitas vezes, trabalhada em sala de aula, o que leva o aluno a relacioná-la unicamente à
realização de atividades avaliativas, como provas e simulados, deixando de enfatizar a
conexão da matemática com o dia-a-dia de cada sujeito.
Nessa perspectiva, é importante estabelecer uma associação entre a matemática formal
e aquela do cotidiano, a fim de criar pontes entre o conhecimento científico e a realidade do
aluno. Dessa forma, este trabalho pretende abordar os conhecimentos da modelagem
matemática envolvidos com a temática de colisão - evento isolado, no qual dois ou mais
corpos em movimento exercem forças relativamente fortes entre si, por um tempo
relativamente curto - na resolução de situações-problema que estão inseridas no cotidiano dos
sujeitos. Para tanto, tomar-se-ão como alicerces teórico e metodológico obras de autores
renomados na área de física de colisões e de modelagem matemática.
Nesse sentido, o centro do discurso pedagógico tem um consenso global no que faz
menção à importância da contextualização e da didatização que devem fazer parte do processo
de ensino-aprendizagem em matemática, de forma a fazer com que os docentes sempre
busquem maneiras de relacionar o conteúdo teórico matemático e físico com as suas
aplicações práticas, a fim de carregar esse conhecimento científico para o cotidiano dos
alunos.
Logo, o presente trabalho tem o objetivo geral de apresentar uma proposta de atividade
que seja capaz de desenvolver a abstração, além do conhecimento dos alunos no que diz
respeito à compreensão dos conceitos matemáticos e físicos associados ao assunto de choque
mecânico. Dentre os objetivos específicos, os quais se relacionam com as consequências
pretendidas com a atividade a ser proposta, tem-se: identificar e diferenciar os tipos de
choques mecânicos; compreender o conceito de energia mecânica; interpretar o valor do
coeficiente de restituição; e, plotar gráficos de funções logarítmica e exponencial.
Ao apresentar uma proposta de intervenção para a sala de aula, esta pesquisa toma
como referência trabalhos que têm o mesmo intuito, como o de Magarinus (2013), que trouxe
uma proposta para o ensino de funções através da utilização de objetos de aprendizagem, bem
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como a pesquisa de Pedroso (2009), a qual se intitula “Jogos didáticos no ensino de Biologia:
uma proposta metodológica baseada em módulo didático”.
Destarte, a atividade que será proposta pode ser aplicada em turmas do Ensino Médio,
especificamente com o 1º ano, com a intenção de aprimorar a abstração e o raciocínio lógico
dos alunos, de uma forma bem didática, tendo em vista que a modelagem matemática requer
um significativo grau de atenção e de conhecimento do discente. Assim, a abordagem dessa
metodologia da modelagem em colisão tem a intenção de aproximar o aluno da sua realidade
por meio da contextualização, a qual se caracteriza por ser fundamental para a efetivação do
ensino-aprendizagem.
Referencial teórico
Nesta seção, buscamos realizar uma breve revisão da literatura acerca da importância
do conhecimento matemático, sobre alguns aspectos da modelagem matemática com o intuito
de aproximar, de forma didática, a matemática do aluno, haja vista a presença constante dessa
disciplina no dia-a-dia dos discentes.
De primeira instância, falar-se-á acerca da importância do conhecimento matemático
no Ensino Médio. Como é bem sabido, a matemática é uma área do conhecimento que gera
dois vieses perceptivos distintos diante do contexto educacional. O primeiro relaciona-se à
importância dessa disciplina, haja vista a sua conexão com o mundo e os fenômenos
presenciados pela sociedade. O segundo, por sua vez, envolve o desagrado visualizado
frequentemente no tocante à aprendizagem dos saberes matemáticos, a qual, conforme Druck
(2003), ex-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática, alcançou o seu mais baixo
nível.
A averiguação da importância da matemática em diversos setores da sociedade está
fortemente relacionada à intensa conexão que ela tem com o cotidiano das pessoas,
configurando-se como uma ferramenta capaz de auxiliar na resolução de situações-problema,
caracterizando-se como essencial para a edificação dos saberes de outras áreas do
conhecimento. Igualmente, esse componente curricular, apresenta grande caráter sugestivo na
formação intelectual dos sujeitos, assim como na construção do raciocínio dedutivo e da
capacidade cognitiva.
No que faz menção ao aborrecimento evidenciado na dificuldade do estabelecimento
efetivo e consistente do processo de ensino-aprendizagem em matemática, é válido mencionar
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como causas os problemas de cunho metodológico, os quais, muitas vezes, constituem-se de
procedimentos mecânicos e repetitivos, que valorizam a memorização em detrimento da
verdadeira apreensão dos conteúdos estudados. Assim, é notória a urgente necessidade de
rever metas, métodos e desmistificar o ensino tradicional, promovendo uma ensino-
aprendizagem baseado na didática, a fim de aproximar a matemática teórica vista em sala de
aula com a matemática cotidiana que cerca o dia-a-dia dos discentes.
Nesse pano de fundo, o processo de modelagem matemática configura-se como um
método de ensino capaz de conseguir desenvolver um modelo matemático suficiente para
representar ou proporcionar soluções para determinados problemas que são vistos no
cotidiano do estudante. Conforme Bassanezi (2002, p.174), “um modelo matemático é um
conjunto consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a
algum fenômeno – este pode ser físico, biológico, social ou psicológico”.
Nesse plano de fundo, a modelagem matemática está a cada dia que passa recebendo
mais seguidores, isto é, docentes com elevado grau de modernização e criatividade,
habilitados para integrar a realidade do discente aos saberes da matemática, por meio da
criação de modelos condizentes com o mundo real.
Cheballard et al. (2001) compreendem que boa parcela dos conhecimentos
matemáticos pode ser atribuída à modelagem matemática. De acordo com eles, um elemento
importante no processo científico e intelectual matemático está fortemente relacionado à
articulação de um modelo matemático do mundo real, a partir do qual é possível de se obter
dados para serem investigados, a fim de responder algum questionamento levantado.
Nessa perspectiva, Bassanezi (2002, p.18) refere-se ao emprego da matemática
relacionada à modelagem:
o objetivo fundamental do “uso” de Matemática é de fato extrair a parte essencial da
situação-problema e formalizá-la em um contexto abstrato onde o pensamento possa
ser absorvido com uma extraordinária economia de linguagem. Desta forma, a
matemática pode ser vista como instrumento intelectual capaz de sintetizar idéias
concebidas em situações empíricas que estão quase sempre camuflados num
emaranhado de variáveis de menor importância.
A Modelagem propicia facilidade no processo de interpretação dos conceitos e
conteúdos matemáticos. É de fundamental relevância descrever esses acontecimentos,
averiguá-los e entendê-los, fomentando debates críticos e reflexivos diante desses fenômenos
que cercam a vida em sociedade. A modelagem matemática configura-se como uma
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representação do mundo real transpassando para uma interpretação potencialmente
significativa do mesmo.
É desejável que durante a Modelagem ocorra a aprendizagem de conceitos e técnicas
do conteúdo que está sendo estudado. Assim o objeto de estudo pode contribuir como agente
motivador da aprendizagem e dar suporte para a sua ocorrência. Nesse sentido, encontramos
em D’Ambrosio (1986) um forte argumento, que vem corroborar esta expectativa:
[...] o ponto de vista que me parece de fundamental importância e que representa o
verdadeiro espírito da matemática é a capacidade de modelar situações reais,
codificá-las adequadamente, de maneira a permitir a utilização das técnicas e
resultados conhecidos em outro contexto, novo, isto é, a transferência de
aprendizado resultante de uma certa situação para a situação nova é um ponto
crucial do que se poderia chamar aprendizado da matemática, e talvez o objetivo
maior do seu ensino.
Assim, é notável a relevância da modelagem matemática na condição de mecanismo
capaz de aproximar o conteúdo teórico da prática e da realidade de cada discente.
Metodologia
O procedimento de um modelador envolve várias etapas que ocorrem na prática. As
etapas que apresentamos aqui são possíveis de serem encontradas na literatura. Há muita
similaridade entre elas. Algumas são mais sucintas, outras mais detalhadas, mas todas são
representações simplificadas e explicativas do processo de Modelagem Matemática.
Segundo Bassanezi (2002, p.27-31), são cinco as etapas da Modelagem Matemática:
a) Experimentação: Nesta fase se faz a obtenção dos dados e o estudo inicial do
assunto que envolve o problema.
b) Abstração: Esta fase tem como objetivo a criação dos modelos matemáticos. Nesse
sentido, é feita a seleção de variáveis, isto é, definir claramente quais são as variáveis que vão
agir sobre o sistema, bem como dando ênfase na criação dos problemas teóricos que se
pretende resolver, formulando hipóteses.
c) Resolução: Obtenção do modelo matemático com a tradução da linguagem natural
das hipóteses para uma linguagem matemática coerente, mais “natural”. Nesta etapa é feita a
eliminação de variáveis menos importantes, de forma a deixar o problema matemático
tratável, chamado de simplificação. Os fenômenos tratados na matemática geralmente são
muito complexos quando considerados todos os seus detalhes.
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d) Validação: Aceitação ou rejeição do modelo de acordo com o grau de aproximação
com o objeto de estudo. E analisado se o modelo proposto serve para resolver o problema e
fazer previsões de novas situações.
e) Modificação: Reelaboração ou reformulação do modelo, caso este não tenha sido
validado na etapa anterior. Criação de novas hipóteses, caso necessário, o que implicará numa
reformulação do modelo.
De forma geral o ambiente a que nossos estudantes estão habituados é característico
das aulas discursivas e expositivas, com pouco espaço para interação (ALMEIDA, 2002a).
Desse modo, é adequado que a integração das atividades de Modelagem Matemática em sala
de aula seja um processo gradativo, permitindo ao estudante a familiarização com o ambiente
em tal perspectiva. Com a expressão “processo gradativo”, queremos dizer que a participação
dos estudantes em termos de grau de envolvimento na atividade deve aumentar no decorrer do
processo em foco.
Os estudantes devem perceber desde o princípio a importância e a utilidade do
processo de modelagem. Então é sugerido que as atividades de ensino ponderem três
diferentes momentos (ALMEIDA, 2002a, 2002b).
De primeira instância, é sugerido o desenvolvimento de um trabalho de modelagem
que fora de antemão já articulado. Assim, ele deve abranger todas as fases do processo, além
de que se deve optar por um assunto não tão complexo, a fim de que os alunos realmente
apreendam o ensinamento de forma efetiva.
Em segundo, o docente deve propor aos alunos uma situação-problema já
determinada, junto com um grupo de informações, afim de que os alunos participem do
processo, com a colaboração na construção de hipóteses, a partir de dedução de do modelo
empregado e a sua futura corrobação.
Em um terceiro instante, os discentes são estimulados a comandarem o processo de
modelagem baseado em uma situação-problema por eles selecionada, com a devida
assistência do professor.
A aula que se propõe pode ser dividida em quatro partes. A primeira parte consiste em
mostrar um experimento de uma bolinha de ping-pong rolando sobre a mesa e caindo no solo,
onde a mesma sai quicando várias vezes até finalizar seu movimento no solo (Figura 1). Em
seguida é mostrada a relação entre a altura atingida pela bolinha e sua velocidade após cada
colisão. A segunda parte da aula é referente à teoria sobre os choques mecânicos. A terceira
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parte da aula trata do experimento de queda livre, no qual uma bolinha é abandonada de 2 m
de altura e quica várias vezes no solo, atingindo alturas diferentes até parar. Assim,
juntamente com o professor, os alunos coletam essas alturas com auxílio de uma trena e
calculam o coeficiente de restituição. A quarta e última parte da aula é construir o gráfico
(altura x colisão) a partir da fórmula fechada. Antes, uma pequena revisão sobre logaritmos
será esplanada no quadro, dando ênfase aos logaritmos de base menor que 1 e maior que 0,
pois se trata de uma curva decrescente.
Figura 1 - Apresentação da Lista de Estilos do Word.
Fonte: O autor.
Dentre os recursos a serem empregados na aula inédita, tem-se: um quadro, um pincel,
uma bolinha de ping-pong, uma trena, um projetor (datashow) e um notebook. No processo de
avaliação, deve ser solicitado um experimento inédito, onde os alunos utilizarão uma bolinha
de ping-pong, porém, largada de uma altura diferente da utilizada anteriormente. Coletarão os
dados do experimento e plotarão o gráfico.
Nesse processo, poderão ser formados grupos de três alunos. Um aluno ficará
responsável por soltar a bolinha de altura inicial de 2m, o outro ficará responsável por segurar
a trena a fim de medir as alturas atingidas pela bolinha, enquanto o terceiro aluno
responsabilizar-se-á por filmar com um celular, que deve ficar estático, o quicar da bolinha.
Em seguida, utilizando-se do recurso de câmera lenta do aparelho, os dados poderão ser
devidamente coletados.
Expectativa de resultados
Nesta seção, será mostrado como a aula inédita poderá ser desenvolvida pelos
docentes.
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Dados da aula:
1. TÍTULO: Estudo do coeficiente de restituição das colisões mecânicas utilizando a
modelagem matemática.
2. DURAÇÃO: 140 min
3. CONTEÚDOS: Energia Mecânica, Choques Mecânicos (colisões), Função
Exponencial e Logaritmos.
Mostra-se a relação entre a altura atingida pela bolinha e sua velocidade após cada
colisão. Lembrando que o conceito de energia já é um conhecimento prévio dos alunos.
Pela conservação da energia mecânica, temos:
Figura 2 – Equação (1).
ghv
ghv
mghmv
mghmv
EE PC
2
2
2
2
2
2
2
Fonte: O autor.
A partir de agora, usaremos a Equação (1), utilizando índices, de acordo com a
nomenclatura abaixo:
Figura 3 – Para aplicação da Equação (1).
Fonte: O autor.
Lembrando que a velocidade da bolinha antes da 2ª colisão é igual à velocidade da
bolinha depois da 1ª colisão, devido à conservação da energia, ou seja, só há perda de energia
quando há colisões.
A segunda parte da aula é referente à teoria sobre os choques mecânicos. Há três tipos
de choques:
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1º Choque Perfeitamente Elástico: Não há perda de energia. (e=1)
2º Choque Parcialmente Elástico: Há uma pequena perda de energia. (0 ˂e˂ 1)
3º Choque Inelástico: Há uma grande perda de energia. (e=0)
Coeficiente de Restituição (e): Grandeza física adimensional que permite identificar o
tipo de choque entre dois corpos. No caso desta aula, seriam a bolinha e o solo.
Figura 4 – Equação (2).
Fonte: O autor.
Utilizaremos a técnica de modelagem numa simulação simples a fim de entendermos o
comportamento complexo da bolinha quicando no solo.
A terceira parte da aula trata-se do experimento de queda livre, no qual uma bolinha é
abandonada de 2 m de altura e quica várias vezes no solo, atingindo alturas diferentes até
parar. Coletaremos essas alturas com auxílio de uma trena e calcularemos o coeficiente de
restituição.
Dados coletados: Suposição de resultados do mundo real.
Figura 5 – Equação (3).
Fonte: O autor.
Cálculo do coeficiente de restituição: Encontrando três valores e fazendo uma média.
Figura 6 – Equação (4).
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Fonte: O autor.
Pelos valores encontrados, conclui-se que o choque da bolinha com o solo é do tipo
parcialmente elástica. De posse desses resultados, iremos em busca de um modelo
matemático. Como o valor de e foi calculado de acordo com as equações abaixo, então,
consideremos n como sendo a n-ésima altura atingida pela bolinha.
Figura 7 – Equação (5).
Fonte: O autor.
Com essa fórmula recursiva, é possível encontrar o valor de várias alturas.
Figura 8 – Equação (6).
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Fonte: O autor.
Com esses valores, é possível fazer uma tabela que relacione a altura atingida pela
bolinha com a referida colisão.
Tabela 1 – Colisão x Altura.
Fonte: O autor.
De acordo com a fórmula recursiva, temos:
Figura 9 – Equação (7).
Fonte: O autor.
Essa fórmula fechada permite escrever diretamente a altura inicial da bolinha em
função da colisão.
Por exemplo: Qual será a altura máxima atingida pela bolinha após a 10ª colisão com
o solo?
Resolução: Nesse caso, temos n = 10.
Figura 10 – Equação (8).
Colisão no chão Altura atingida
Antes da 1ª colisão (n=0) 2,00 m
Após a 1ª colisão (n=1) 1,21 m
Após a 2ª colisão (n=2) 0,72 m
Após a 3ª colisão (n=3) 0,43 m
Após a 4ª colisão (n=4) 0,25 m
Após a 5ª colisão (n=5) 0,15 m
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Fonte: O autor.
Transformando em centímetros, temos:
Figura 11 – Equação (9).
Fonte: O autor.
Ou seja, após a 10ª colisão da bolinha com o solo, sua altura é aproximadamente um
centímetro e meio.
A quarta e última parte da aula é construir o gráfico (altura x colisão) a partir da
fórmula fechada. Antes, uma pequena revisão sobre logaritmos será esplanada no quadro,
dando ênfase aos logaritmos de base menor que 1, pois se trata de uma curva decrescente.
Figura 12 - Gráfico Altura x Colisão.
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Fonte: O autor.
Vale salientar:
✓ Notemos uma pequena variação em alguns resultados, devido aos arredondamentos
feitos;
✓ O gráfico Altura x Colisão foi plotado no software Excel da Microsoft;
✓ Na semana subsequente desta aula, a turma será dividida em grupos e farão o
experimento, coletarão os dados e plotarão o gráfico. Cada grupo será avaliado pela
organização e os resultados no gráfico;
✓ Também será proposto um desafio: descobrir após que colisão a bolinha estará em
certa altura. Esse desafio requer um pouco de conhecimento sobre Logaritmos e será
feito um pequeno resumo deste tópico.
Conclusão
Portanto, espera-se que a aplicação da atividade proposta consiga alcançar os objetivos
mencionados anteriormente, fazendo com que os alunos consigam desenvolver suas
habilidades matemáticas, sua abstração e que consigam enxergar a relação intrínseca entre
Matemática formal e Matemática cotidiana, com base em uma proposta de ensino didática.
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No que se refere ao conteúdo de Física, o discente terá a oportunidade de aprimorar os
seus saberes associados às colisões, podendo observar como é fascinante a teoria física
concretizando-se na prática.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, L. M. W. Introdução à Modelagem Matemática. Notas de aula. Mestrado em
Ensino de Ciências e Educação Matemática. UEL. Londrina - PR, 2002a.
ALMEIDA, L. M. W. Modelagem Matemática na sala de aula: um estudo. In: ENCONTRO
PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2002. Anais eletrônicos do VII
EPREM. Foz do Iguaçu: Unioeste, 2002b. 1 CD.
BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. São Paulo: Contexto, 2002
CHEVALLARD, Y; BOSCH, M. e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo perdido entre
o ensino e a aprendizagem. Tradução: Daisy Vaz de Moraes, Por to Alegre: Artmed, 2001.
D’AMBROSIO, U. Da Realidade à Ação: Reflexões sobre Educação e Matemática. São
Paulo: Summus; Campinas: Ed. Da Universidade Estadual de Campinas, 1986.
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Disponível em: < http://www1.folha.uol.com.br/folha/sinapse/ult1063u343.shtml>. Acesso
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MAGARINUS, R. Uma Proposta Para o Ensino de Funções Através da Utilização de
Objetos de Aprendizagem. Universidade Federal de Santa Maria, Centro de Ciências
Naturais e Exatas, Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional – PROFMAT.
Santa Maria, 2013.
PEDROSO, C. V. Jogos Didáticos no Ensino de Biologia: UMA PROPOSTA
METODOLÓGICA BASEADA EM MÓDULO DIDÁTICO. IX Congresso Nacional de
Educação e III Encontro Sul Brasileiro de Psicopedagogia, Eixo Temático: Didática: Teorias,
Metodologias e Práticas, PUCPR, 2009.
VIECILI, C. R. C. Modelagem Matemática: UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DA
MATEMÁTICA. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Faculdade de
Física, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática. Porto Alegre,
2006.