a: ĐẶt vẤn ĐỀ · web viewcác bạn và các em học sinh...

f: đơn điệuf(xo)=0

SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải toán” GV:Nguyễn Văn Hoàng

A: ĐẶT VẤN ĐỀ

Các bạn và các em học sinh thân mến!Ngoài ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thì tính chất

này còn được vận dụng để giải rất nhiều dạng toán như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình,...Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn, hay và độc đáo.

Do sự giảm tải kiến thức toán ở bậc THPT, những bài tập ra trong SGK thông thường học sinh giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ,... còn số lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu để giải rất ít, hạn chế và rất nghèo nàn. Nhưng trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thì rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị cho học sinh giải bài toán bằng phương pháp hàm số là rất cần thiết. Tôi xin trình bày một số ứng dụng của phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu để giải toán.I. Lý do chọn đề tài:1. Cơ sở lí luận:

Để giải các dạng bài tập về chương trình BĐT, giải PT, BPT, hệ PT bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số thường dựa trên các nguyên tắc sau.

a. Chứng minh BĐT:Bài toán: cho x , chứng minh BĐT: “A(x)>B(x)”

Phương pháp giải:- Biến đổi BĐT về dạng: A(x) – B(x) >0 (1)

hoặc B(x) – A(x) <0 (2)- Đặt f(x) = A(x) – B(x) hoặc g(x) = B(x) – A(x).Từ đó: CM (1) tương đương với việc chứng minh:

CM (1) tương đương với việc chứng minh: b. Giải phương trình:Bài toán: giải PT: “h(x) = g(x)” (1)

Để CM (1) có nghiệm duy nhất ta tiến hành như sau:B1: Biến đổi PT(1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x).B2: CM: nếu thì : x = xo là nghiệm duy nhất của PT. Để biến đổi PT (1) có dạng phức tạp thành PT: U(x)=V(x) có dạng đơn giản, đã có phương pháp giải, ta tiến hành như sau:

B1: Biến đổi PT (1) về dạng: B2: Chứng minh f là đơn điệu.B3: kết luận (1) u(x) = v(x)

c. Giải hệ phương trình:

Bài toán: Giải hệ

Trang 1

f: là hàm số đồng biến f(a)=0

f: là hàm số đồng biến f(a)=0g: là hàm số nghịch biến g(a)=0

F(x,y) = 0G(x,y)= 0

(I)


Nếu một trong hai phương trình của hệ đưa về dạng:f(x) = f(y) (1) hoặc (

và f là một hàm đơn điệu thì:

Hệ (I) hoặc (I)

d. Giải bất phương trình: Cơ sỏ lập luận tương tự chứng minh bất đẳng thức.

cơ sở thực tiễn:Phương pháp “sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán” là một phương mang

tính hiện đại, cách giải hay, mang tính nhanh gọn và độc đáo.Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dung phương

pháp này để giải còn rất ít, SGK chỉ giới thiệu các dạng bài tập này mang tính chất tham khảo, do đó Phương pháp này không mang tính chất phổ biến và bắt buộc. chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng.

Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỉ năng, kỉ xão trong việc giải bài tạp băng phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt ket quả cao trong các kì thi đại học, cao đẳng.

Đó là lí do tôi chọn đề tài nàyII. Mục đích và phương pháp nghiên cứu:

1. Mục đích yêu cầu:- Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất của tính đơn điệu của hàm số.

- Chứng minh đuợc các tính chất đơn điệu của hàm số (dùng định nghĩa hoặc định lý

để chứng minh).

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập bằng phương pháp hàm số.

- Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi tuyển

sinh đại học cao đẳng.

2. Phương pháp:a. Kiến thức trang bị:

* Định nghĩa: cho f(x) xác định trên K

f: đồng biến trên

f: nghịch biến trên

* Tính chất: Cho xác định trên K

Với

* Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số trên K ta dựa vào 2 phương pháp sau:

- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

Trang 2

x = yG(x,y)= 0

(II) u(x) = v(y)G(x,y)= 0

(III)

'( ) 0,f x x K


+ Lấy , lập tỉ số

+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu

A>0: f đồng biến

A<0: f nghịch biến

- Phương pháp 2: dùng định lý+ Tính chất 1: f: đồng biến trên

+ Tính chất 2: f nghịch biến trên

Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó.

b. Phương pháp:

Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán có thể tiến hành theo các bước sau:B1: Nhận dạng, biến đổi BĐT, BPT, PT, HPT về dạng thích hợp.B2: Thiết lập hàm số.B3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).B4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận

Trong các buớc trên B1 là quan trọng nếu nhận dạng đuợc bài toán có thể sử dụng phuơng pháp hàm số để giải thì bài toán xem như đã có phuơng pháp giải.

III. Giới hạn của phương pháp sử dụng tính đơn điệu để giải.

Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải rất ít nên phương pháp này không được phổ biến rộng khắp như phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ.

Đại đa số học sinh không biết sử dụng tính đơn điệu để giải toán.Các bài tập giải theo phương pháp này thường là các bài tập khó, có dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất khó để nhận dạng.

IV. Kế hoạch thực hiện:

- Giáo viên chỉ dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn của lớp nâng cao.

Trang 3

tại hữu hạn điểm của K



- Giáo viên có thể dạy phương pháp này cho cả 3 khối 10, 11, 12, nhưng hiệu quả cao nhất là học sinh ở khối 12; vì ở lớp cuối cấp học sinh được trang bị kiến thức về hàm số một cách khá đầy đủ.

- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi đại học

B. NỘI DUNG

I. phương pháp dạy học sinh giải toán bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số

- Để dạy học sinh giải toán bằng phương pháp hàm số là một phương pháp khó, Phương pháp này thường dung để giải các bài tập khó có dạng không mẫu mực. đề giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra Phuong pháp giải. tôi dạy học sinh tiến hành theo các bước sau đây:

B1: nhận dạng, biến đổi BĐT, BPT, PT, HPT về dạng thích hợp.B2: thiết lập hàm số.B3: chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).B4: dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận

1. B1: Nhận dạngTôi xem đây là bước quan trộng nhất, bới vì một bài toán nếu biết dùng tính chất đơn điệu cửa hàm số để giải thì bài toán xem như đã biết phương pháp giải. Thông thường những bài toán dung phương pháp này để giải ta nhân dạng như sau:

Đối với PT, BPT, HPT không thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ để tìm ra nghiệm bài toán

Không thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày trong SGK phổ thong

Mối liên hệ hai của hai vế của một PT, BPT khác biệt nhau chúng ta không thể dung các phép biến đổi để đưa PT, BPT về dạng quen thuộc đã có

phương pháp giải, chẳng hạn: Khi giải phương trình: 3x+4x=5x

Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực hiện được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc nhẫm nghiệm và sử dụng phương pháp hàm số để chương minh nghiệm duy nhất

Khi giải phương trình: 2x = 1-x

Trang 4

'( ) 0,f x x K


Ta thấy VT của PT chưa lũy thừa, VP của PT chứa đa thức cho nên việc biến đỗi thong thường để tìm ra nghiệm của bài toán la không thực hiện được, chình lẻ đó ta phải nghĩ ngay đến tính đơn điệu của ham số để giải

2. B2: Thiết lập hàm số:Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến đổi PT, BPT, HPT về dạng thích hợp: f(x)=f(y); f(u(x))= f(v(y)),….. thì quy tắc f chính là hàm số ta cần xác lập

3. B3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm sốĐể chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dung hai phương pháp sau:

- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

+ Lấy , lập tỉ số

+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu

A>0: f đồng biến

A<0: f nghịch biến

- Phương pháp 2: Dùng đạo hàm+ Tính chất 1: f: đồng biến trên

+ Tính chất 2: f nghịch biến trên

Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó.

4. B4: kết luận- Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài toán thì bài

giải được kết thúc- Nếu bài toán đã cho được biến đổi thành một bài toàn đơn giản hơn thì chúng ta

phải tiếp tục dung các phương pháp khác để giải cho đến khi tìm được nghiệm của bài toán thì dừng lại

II. Giải các dạng toán bằng phương pháp sửdụng tính đơn điệu của hàm số1. Chứng minh bất đẳng thức:

Thí dụ 1: x - < sinx (1) với x >0 (BT SGK lớp 12 NC)

Hướng dẫn cách chứng minh:

Trang 5




Chuyển bđt về dạng: : - x + sinx >0

Thiết lập hàm số: f(x) = - x + sinx , x (0 ; )

Cm: f(x) Đồng biến trên đoạn [0 ; + ), f(0) = 0Cách giải:

Ta có (1) - x + sinx >0 x >0

Xét hàm số: f(x) = - x + sinx , x (0 ; )

Ta có: f(x) liên tục trên đoạn [ 0 ; + ), f’(x) = - 1 + cosx và f’’(x) = x – sinx ;

f’’’(x) = 1 – cosxDo f’’’(x) = 1 – cosx 0 x >0 và f’’’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên (0 ; + )

f’’(x) Đồng biến trên [ 0 ; + ) f’’(x) >f’’(0) = 0 với x >0 f’(x) Đồng biến trên [ 0 ; + ) f’(x ) > f’(0) = 0 với x >0 f(x) Đồng biến trên [ 0 ; + ) f(x ) > f(0) = 0 với x >0

Thí dụ 2: CMR: sinx + tanx >2x , x (0; ) (BT SGK lớp 12 NC)

Hướng dẫn cách chứng minh:Chuyển bđt về dạng: sinx + tanx -2x > 0

Thiết lập hàm số: f(x) = sinx + tanx -2x , x (0; )

Cm: f(x) Đồng biến trên đoạn [ 0 ; ) f(x ) > f(0) = 0 với x (0; )

Cách giải:

Xét hàm số : f(x) = sinx + tanx -2x , x (0; )

Ta có f(x) liên tục trên [ 0 ; ) và f’(x) = cosx + - 2

Do x (0; ) 0 < cosx < 1 cos2x <cosx

f’(x) = cosx + - 2 > cos2x + - 2 2 – 2 = 0

f’(x) > 0 với x (0; )

f(x) đồng biến trên [ 0 ; )

f(x) > f(0) = 0 (đpcm).

Trang 6


Thí dụ 3: Với x>0, n N* ta có: ex > 1 + x + + + … + (BT tham khảo)

Hướng dẫn cách chứng minh:

Chuyển bđt về dạng: x - ln(1 + x + + + … + ) >0

Xét hàm số: f(x) = x - ln(1 + x + + + … + ) x (0 ; )

Chứng minh hàm số đồng biến trên [0; + ) f(x) > f(0) = 0 với mọi x (0 ; )Cách giải:

Xét hàm số : f(x) = x - ln(1 + x + + + … + ) , x (0 ; )

Ta có: f(x) liên tục trên [0; + )

và có f’(x) = >0, x >0

f(x) đồng biến trên [0; + ) f(x) > f(0) = 0 với mọi x (0 ; + )Bài tập tham khảo:Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a.) cosx > 1 - , x > 0

b.) sinx > x - , x < 0

c.) ex > 1 + x +

d.) , a b > 0

2. Giải phương trình, bất phương trình:Thí dụ 4: Giải các phương trình sau:;

a.) 3x + 4x = 5x

b.) 2x = 3 – xc.) log2

x = 3 – xBài tập SGK 12 nâng cao

Hướng dẫn cách giải:Cách 1: - Nhẩm nghiệm

- Chứng minh nghiệm duy nhấtCách 2: - Thiết lập hàm số

- Dùng tính đơn điệu để suy ra nghiệm của phương trình.Cách giải:

Trang 7


a.) 3x + 4x = 5x (1)Cách 1: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình 3x + 4x = 5x (1)

(1)

Vế trái: là hàm số nghịch biếnVế phải là hàm hằng

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1)

Cách 2: (1)

Xét f(x) =

f’(x) = ln + ln < 0

f’(x) nghịch biến trên và f(2)= 1 x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).Các ví dụ b, c giải tương tựThí dụ 5: (Bài tập tham khảo)

Giải phương trình: (1)

Hướng dẫn cách giải:

Nhận dạng: Nếu đặt v – u =

- Do đó (1) (2)

- Nhận thấy phương trình có nghiệm u = vThiết lập hàm số: biến đổi phương trình 2 về dạng: log3

u +u = log3v +v

Xét hàm số f(t) = , t > 0Cách giải: đặt > 0

>0 v - u =

Phương trình (1) = log3u +u = log3

v +v (2)

Xét hàm số f(t) = , t > 0

f’(t) = 1 + >0 với t > 0

f(t) đồng biến với t > 0(2) f(u) = f(v) u = v v – u = 0 x = 1 v x = 2

Trang 8

Nếu phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy nhất


Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x= 2

Thí dụ 6: (Bài tập tham khảo)

Giải bất phương trình: (1)Hướng dẫn cách giải:

- Đặt: t = x = 4t

- Đưa bpt về dạng: 3 (2)

- Thiết lập hàm f(t) = 3

- Chứng minh f(t) là hàm nghịch biến và f(1) = 1

Cách giải: Điều kiện: x > 0

Đặt t = x = 4t

Bất phương trình (1) trở thành: 3 + 2t > 5t 3 (2)

Xét hàm f(t) = 3

f’(t) = 3 ln + ln <0

f(t) nghịch biến trên (2) f(t) >f(1) t < 1 log4

x < 1 0< x < 4

Bài tập tham khảo:

Bài 2: Giải phương trình, bất phương trình sau:a. x2 + 3log

2x = xlog

25

b.c. 2x + 3x + 1 >6x

d.

3. Giải hệ: (Bài tập tham khảo)

Thí dụ 7: Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn cách giải:Học sinh nhận thấy được phương trình (1) có nghiệp x = yBiển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3)

Trang 9

(I)


Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + tChứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y

Cách giải: (I)

Xét hàm số: f(t) = 3t + t f’(t) = 3tln3 + 1 >0 t f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y

Nên (I) x = y = 2

Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2)

Thí dụ 8: Giải hệ (I)

Hướng dẫn cách giải:- Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y- Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng

- Thiết lập hàm số: f(t)= , t [- ;4]

Cách giải: Điều kiện -

Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng (3)

Xét hàm số: f(t)= , t [- ;4]

f’(t) = t [- ;4]

f(t) đồng biến trên (- ;4)

(3) Suy ra: (pt vô tỉ dạng cơ bản)

Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x= (thỏa điều kiện)

Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3),

Bài tập tham khảo:Bài 3: Giải hệ pt sau:

a)b)c)d)

Trang 10


II. Thực trạng và những mâu thuẫn:

- Giải bài toán bằng phương pháp hàm số đây là một phương pháp hay, độc đáo giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn.

- Các bài tập dùng phương pháp này để giải thông thường là các bài tập ở dạng nâng cao, khó và thuộc dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất khó nhận dạng và thiết lập tương quan hàm số.

- Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải quá ít.- Phương pháp hàm số được xem là phương pháp giải toán hiện đại, phương

pháp này sử dụng rất hay nhưng không thể dạy phổ biến ở bậc THPT.- Khả năng vận dụng phương pháp bị hạn chế ở các học sinh trung bình và

yếu, chỉ có hiệu quả cao đối với học sinh khá và giỏi.- Ở bậc THPT, bài tập SGK còn quá ít nên học sinh được học một cách qua

loa.Trong khi đó các đề thi tuyển sinh của một số năm gần đây hay đưa ra những bài toán phải sử dụng phương pháp này để giải.

III. Các biện pháp giải quyết vấn đề:

- Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải bài bằng phương pháp hàm số, giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh.

- Giáo viên nên mạnh dạn giới thiều phương pháp này cho học sinh từ năm lớp 10, 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các em quen dần với phương pháp này.IV. Hiệu quả áp dụng:

- Qua nhiều năm giảng dạy ở bậc THPT và luyện thi đại học. Tôi đã sử dụng theo cách đã nêu trên để dạy cho học sinh:

- Đối với học sinh khối 10, khối 11 chỉ sử dụng những hàm đơn giản như

hàm bậc 2, hàm phân thức hữu tỉ dạng y = và những hàm căn thức đơn giản,

hướng dẫn học sinh chứng minh tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp dùng định

nghĩa.

- Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm

số thì phương pháp này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho học sinh mang

tính phong phú, đa dạng và khó hơn.

- Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với phương pháp

giải toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo.

C. KẾT LUẬN

Trang 11


Giải toán bằng “phương pháp hàm số” nói chung và ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là phương pháp rất hay, độc đáo, đã được sử dụng rất lâu, nhưng do không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá trình tham khảo, học hỏi ở các bậc thầy đi trước, tôi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh và nhận thấy có hiệu quả cao đối với học sinh. Tôi xin phép được mạnh dạn đưa ra ý tưởng này để các bạn đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ giới thiệu một phần nhỏ trong ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán. Mong rằng các bạn đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ của chuyên đề được cao hơn. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tính khả thi cao hơn.

Chân thành cảm ơn các bạn và các em học sinh.Ngãi Giao, ngày 30 tháng 03 năm 2011

Người viết SKHN

Nguyễn Văn Hoàng

Trang 12


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bài tập chọn lọc từ sách giáo khoa 12 nâng cao

2. Phương pháp giải toán của Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc

3. Bài tập tham khảo tù Tạp Chí “Toán Học – Tuổi trẽ”

Trang 13

a: ĐẶt vẤn ĐỀ · web viewcác bạn và các em học sinh...

Documents