ACONSTRUC AODOSNUMEROSREAISNOSENSINOSFUNDAMENTALEMEDIOCydaraCavedonRipollUFRGScydara@mat.ufrgs.brIntroducao:As caracterizac oes de n umero irracional mais encontradas nos livros didaticos para a Escola Basicasaoasseguintes,divididasemgruposdesemelhanca:(A)Umn umero eirracionalsenaopuderserescritonaformaa/bcoma, b Zeb nao-nulo.Irracional eon umeroquenaopodeserescritonaformadefrac ao.(B)Irracional eon umerocujarepresentac aodecimal einnitaenao-periodica.Todon umeroescritonaformadeumdecimalinnitoenao-periodico eumn umeroirra-cional.(C)Osn umerosirracionaisrepresentammedidasdesegmentosquesaoincomensuraveiscomaunidade.Crticasobrecadaumadestasdenicoes:Tanto em (A) quanto em (B) cam pressupostos o conhecimento da existencia de outros n umerosalem do universo trabalhado ate o momento pelos alunos (a saber, o de n umeros racionais) - o que jae,nomnimo,incoerente,quandooquesequer eampliaroconjuntodosn umeros;capressupostatambem a capacidade de um manejo com tais n umeros que os permitam saber decidir se eles podemounaoserescritosnaformadefrac ao. Mas, mesmoquetrabalhemossobapremissaqueoalunosaibaqueexistemoutrosn umeros,temosproblemas:-em(A):alunosdeoitavaserieresponderam,numquestionarioaplicadopelosalunosdaLicen-ciatura da UFRGS, que ent ao1 e irracional, pois tambem1 nao pode ser escrito na forma defrac ao. Mesmo que esta confusao nao surja neste momento, ela podera aparecer quando, mais tarde,sejaabordadooassuntoN umerosComplexos. Defato, existemdemonstrac oesparacomprovarque2naopodeserescritonaformadefrac aoquepodemmuitobemserutilizadaspara1,demodoqueent ao,pelasdenic oescolocadasem(A)concluiramosque1 eirracional.Emoutraspalavras:N umerosimaginariosnaopodemserescritosnaformadefrac ao,enemporissosaoirracionais.E, para culminar, os autores que usam estas denic oes concluem denindo o conjunto dos n umerosreaiscomosendoauniaodosracionaiscomosirracionais!!!!, incluindoportantotodososn umeros,jaquetodoon umeroquenao eracionalvirouumirracionalpelasdenic oes(A)acima.- em (B) tambem pressupoe-se que o aluno ja saiba que existem outros n umeros alem dos racionais,mas aqui e ainda pior: fala-se na expansao decimal de qualquer n umero, como se qualquer n umero1tivesse uma expansao decimal!!! Repetimos: mesmo que o aluno nesta altura nao tenha conheci-mentoden umeroscomplexos,algunsanosmaistarde,aposteroconhecimentodaexistenciadestesn umeros,caracompletaaconfusao,fazendo-seapergunta: qualaexpansaodecimalde2 + 3i ?Antesdefazercoment ariossobreadenicaoem(C),fazemosoutrasobservacoes:O que os cursos de Licenciatura tem feito, em termos de formacao de seus professores,emrelacaoaestetema-n umerosirracionais-nosentidodeesclarecerasconfusoesqueemgeralexistemsobreele?Emgeral, nasuaformac aodentrodocursodeLicenciatura, ofuturoprofessorfazumcursodeAnalise na Reta ou similar, onde e feita a construc ao dos n umeros reais. Mas ali Re construdo como ocompletamento de Q via cortes de Dedekind ou seq uencias de Cauchy, deduzindo-se dessa estrutura asdemais propriedades, e muito pouco (ou nada) e esclarecido sobre os conitos normalmente existentessobreesteassunto. Da, os licenciados voltamaoEnsinoBasico, agoracomoprofessores, semodevido esclarecimento sobre tal assunto, sem, por exemplo, nunca terem feito a ponte entre aquelaconstruc aovistaemAnalisenaRetaearesposta`asperguntas:Se2 = 1, 414 2... e3 = 1, 732 1...entaoqual eaexpansaodecimaldon umero2 + 53?Anal,0, 999.... eounaoiguala1?Oobjetivodomini-curso.Tentamosaquiproporumaabordagemprecisamatematicamente,masmaisadaptada,nanossaopiniao,aoconhecimentodeumalunodenaldeEnsinoBasicoedeEnsinoMedio.Aqui o assunto sera apresentado como achamos que deva ser apresentado a alunos da Lienciatura,tendoemvistaaprecariedadedetextossobreirracionaistantonumquantonooutronvel.Agora sim, voltamos `a denicao (C): inicialmente, ela tambem tem que ser reformulada: nenhumn umeronegativoexpressaumamedidade comprimento, de modoque, nomnimoeladeve serreformuladapara(C)Osn umerosirracionaispositivosrepresentammedidasdesegmentosquesaoincomensura-veiscomaunidade.Eedefatocomestaideiaquevamos trabalhar: tentandoexpressar amedidaexatadeumsegmentodereta, vamoschegar`acpnstruc aodosn umerosirracionaispositivos, coincidindocomaevoulu caohistorica.Eimprescindvel, no entanto, a esta altura, tornar-se claro que, na pratica, salvo poucasexcec oes(comotrabalharcom2, porexemplo), emgeral trabalha-secomquantidadesracionais(aproxima coes das quantidades reais), de modo que a discussao sobre irracionais e puramente matema-tica (abstrata): por exemplo, matematicamente nao queremos que dois segmentos de tamanho muitoparecidosmasnaocongruentestenhamomesmon umeroexpressandooseucomprimento(aqui a2congruenciaestasendovericadacomcompassoenaocomreguagraduada). Napratica, noen-tanto,provavelmenteexpressaremosseucomprimentopelomesmon umero(racional-digamos,comalgumascasasdecimaisparaqueaaproximac aosejarazoavel).Revisandooconjunto Qdosn umerosirracionais:-umn umeroracional (positivo)podeserrepresentadoporinnitasfrac oesa/b, coma, b Neb = 0.-frac oesdecimaissaoaquelascujodenominadorepotenciadedez. Aodiscutirmossequalquern umeroracionalpodeserexpressoporumafracaodecimal,chega-se`aseguinte:Proposicao1-Sejaa/bumn umeroracionalcommdc(a, b) = 1.Entao: a/bpodeserrepresentadopor uma fracao decimal se e so se b = 1 ou entao b = 1 e os unicos primos que aparecem na fatoracaodebsao2e5.Exemplo1-7/15eumracional quenaopodeserrepresentadoporumafracaodecimal.-arepresentac aoemfracaodecimal dosn umerosracionaiseasdzimasperiodicas: Estaformade representar um n umero racional sera muito importante para a conceituacao e estudo dos n umerosreais,enadamais edoqueumaextensao,paraosn umerosracionais,darepresentacaodecimaldosn umerosnaturais(isto e,embasedez),comoporexemplo,3194 = 3 103+ 1 102+ 9 101+ 4 100.A ideia para acharmos a representacao em base 10 de um n umero racional positivo representado,digamos, pelafrac aoa/b, easeguinte: numaprimeiraetapaencontramosaparteinteiradea/b:dividindoointeiroapelointeirobeadmitindoresto, podemosescrevera=kb + c, ondekeumn umeronaturalec etambemumn umeronaturaltalque0 c < b,etemosentaoab=kb + cb= k +cb,sendo kum n umero natural e c/b uma frac ao maior ou igual a zero e menor do que 1,isto e,tal que0 c < b.Eclaroquekpodeserrepresentadonaformadecimal,digamosk = unun1...u1u0.Como 0 c/b < 1, e natural que, no caso em que c/b = 0, tentemos numa segunda etapa expressarc/bcomoumasomadefracoesdecimais. Maisprecisamente: procuremosdgitosaj {0, 1, ..., 9},1 j staisquecb=a110+a2102+ ... +as10s.Nocasodeencontrarmosestesn umeros,escreveremosab= k +cbk=unun1...u1u0== unun1...u1u0 +a110+a2102+ ... +as10s,edautilizamosaseguinterepresentac aoposicionalparaa/b :ab= unun1...u1u0, a1a2...as, (1)3ousimplesmenteab= k, a1a2...as,onde a vrgula serve para separar a parte inteira de a/b do que chamaramos representac ao decimaldapartemenordoque1dea/b.Ecomopodemosencontrartaisdgitosa1, a2..., am,seequeelessempreexistem?Inicialmenterelembremosareceita,tentandodeterminaraexpansaodecimalde54/37:54 |37 54 |37 54 |37 54 |37 54 |37 ...17 1 170 1, 170 1,4 170 1,4 170 1,45 ...

r1

r110 22 220 220 ...

r2

r210 35 ...

r3......Esteprocessopodedefatosersempreaplicadoemcadaetapa, mastemosumproblema: nemsempre ele acaba, istoe, on umerode etapas e nito. De fato, istoacontece quando, antes dechegarmosaorestozero,algumrestoserepete,eent aoassucessivasdivisoesvaoserepetir.Surgeaadenic aodedzimaperiodica:Denicao1-Umadzimaperiodicaeumaexpressaodaformam, a1a2...an...ondem Neaiedgitoparai =1, 2, ...., naqual, apos umn umeronitodetermos, apareceumblocodetermos(chamadoperodo)comapropriedadeque, apartirdele, alistadedgitoseconstitudaexclusivamentepelarepeticaosucessivadestebloco.Exemplo2eNotacao-0, 444... = 0, 4 0, 235747474... = 0, 23574Da, admitindo que representa cao nita nada mais e do que uma representac ao innita periodicadeperodozero,consegue-seprovar:Proposicao2-Todoracional temumaexpansaodecimal innitaperiodica.Queremosagoralevantaraseguintequestao:Seraque,inventandoqualquerperodo,sempreexistiraalgumn umeroracionalcujaexpansaodecimaltemexatamenteesteperodo?Estaquestaoeimportante, poissenaotivermoscuidado, quandoqueremosrecuperarafrac aoque originou, pelo processo das divisoes sucessivas, uma dada dzima periodica, podemos ser levadosaumabsurdo. RelembremosaquitambemaregraqueaparecenoslivrosdoEnsinoBasico:4Pararecuperarafrac aoquegerouadzimaperiodicadaforma0, a1a2...asc1c2...cttoma-separanumeradorapartenaoperiodicaseguidadoperodomenosapartenaoperiodica. E,paradeno-minador,tomamosumn umerode9

sigualaon umerodedgitosdoperodoseguidodeumn u-merode0

s igualaon umerodedgitosdapartenaoperiodica.Simbolicamente:0, a1...asc1...ct=a1...asc1...cta1...as99...9. .t0...0..s,s =n umerodetermosdapartenaoperiodicat =n umerodetermosdaparteperiodica.Da,sedesavisadamentetomamosadzima0,2999...,aplicandoaregraacimateremos:0, 2999... =29 290=2790=310, absurdo,poisaexpansaodecimalde3/10 e0, 3enao0, 2999...!!!!Voltamosent ao`aquestaolevantadaacima, equeagoraedeextremarelevancia, e, emgeral,nuncaeabordadanoEnsinoBasico:1. Seraque,inventandoqualquerperodo,sempreexistiraalgumn umeroracionalcujaexpansaodecimaltemexatamenteesteperodo?2. Existemanalracionaiscujaexpansaodecimal eperiodicacomperodoformadosopornoves?Aresposta`asegundaquestao enao(eportantoaresposta`aprimeiraquestao etambemnao).Teorema1-Oprocessodasdivisoessucessivasnuncageraperodoformdosopornoves.Prova: Aprovae por absurdo. Suponhaque a/b