a catedra´ e284 - e ´ i b f i u n l p
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INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES
APUNTE DE CATEDRA
E284 - ELECTRONICA INDUSTRIAL B
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
MARCELO G. CENDOYA
ANDREA N. BERMUDEZ
MARCELO F. FARIAS
ANA C. ROQUEZ
2012
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3
Introduccion
En este apunte se da una breve introduccion a los sistemas de control mas usados en losprocesos industriales. En primer lugar se define un sistema de control tıpico, explicando ca-da una de sus partes. Luego se presentan algunos modelos matematicos de sistemas fısicos,necesarios para la descripcion de la planta que se desea controlar.
Se presentan ademas las principales caracterısticas de los sistemas de control y las dife-rencias entre el control de lazo abierto y de lazo cerrado, explicando las ventajas de cadauno de estos sistemas.
Finalmente se estudian algunos metodos de control de lazo cerrado muy utilizados.
4 INDICE
Indice
1. Sistema de Control de Procesos 51.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Ejemplo de un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Modelos Matematicos 72.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Sistemas de Nivel de Lıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Tanque con bomba en los conductos de entrada y salida . . . . . . . . 92.2.2. Tanque con resistencia hidraulica en el conducto de salida . . . . . . . 92.2.3. Sistemas de nivel de lıquido con interaccion . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Sistemas Termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Caracterısticas de un sistema de control 133.1. Estabilidad BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Tiempo de establecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3. Error de estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Tipos de control 144.1. Control de lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Control de lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Analisis de sistemas de control 155.1. Ganancia estatica de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.1. Ganancia en un sistema de lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.1.2. Ganancia en un sistema de lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2. Error de Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3. Efectos de las perturbaciones en los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . 17
6. Acciones de control: controladores 196.1. Control ON/OFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2. Control ON/OFF con histeresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3. Control semiproporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.4. Control proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.5. Control Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.6. Control Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.7. Acciones de control combinadas: P–I–D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7. Referencias 25
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1. Sistema de Control de Procesos
1.1. Objetivo
El objetivo de un sistema de control es controlar variables fısicas como la presion, tem-peratura, velocidad, etc. de tal forma de que “sigan” a los valores deseados en el proceso.Cuando hablamos de un sistema, nos referimos a un conjunto de elementos que actuancoordinadamente para realizar un objetivo determinado, y por proceso, a toda operacionque conduce a un resultado determinado. Tıpicamente, un sistema de control se puede des-cribir con el diagrama en bloques de la figura 1.
Se pueden distinguir dos tipos de sistemas de control. Sistemas tipo regulador en los cua-les se quiere controlar una variable de tal manera que se mantenga en un valor constante (elejemplo de la seccion 1.4 es un sistema de este grupo); y sistemas tipo servomecanismos en loscuales la variable controlada debe “seguir” a una referencia variable en el tiempo.
Figura 1: Sistema de control de procesos
1.2. Componentes
En este sistema se pueden reconocer 5 bloques principales1.
Planta: es el sistema fısico que se desea controlar. La variable a controlar es y, que puede seruna o varias, mientras que la accion de control ejercida con tal fin es u′. Ejemplos deplantas son: un motor, un sistema de calefaccion, etc.
Controlador: es un sistema electronico que genera la variable electrica u adecuada paraobtener el valor necesario de la accion de control u′, a partir de la comparacion entre lasenal de referencia r (set–point), y la senal medida yf .
Actuador: es el elemento usado para controlar la planta, convierte la senal electrica u en unasenal fısica u′ que actua directamente sobre la planta.
1Los bloques sensor y comparador solo son aplicables a sistemas de lazo cerrado
6 1 SISTEMA DE CONTROL DE PROCESOS
Sensor/transductor: es el elemento que mide las variables fısicas y genera una senal electri-ca proporcional (p.e. de tension), de forma de poder compararla con el set–point. Es elbloque inverso al actuador, transforma una variable fısica medida en la planta en unasenal electrica. Un ejemplo es el tacometro que se puede utilizar como transductor enmotores, mide la velocidad y la traduce a valores de tension.
Comparador: es el bloque que realiza la comparacion entre la referencia r y la senal medidayf . El resultado de dicha comparacion (diferencia) se llama error e, sobre el cual sedetermina la accion de control.
1.3. Perturbaciones
Existen ademas perturbaciones P que actuan sobre la planta, modificando la variablecontrolada. Un ejemplo de perturbacion es la variacion de la temperatura ambiente, en pro-cesos que requieren control de temperatura. En general es deseable que el control mantengalas variables a controlar mas alla de las perturbaciones, “rechazando las perturbaciones ex-ternas”. Esta propiedad de “rechazo de perturbaciones” es caracterıstica de los sistemas decontrol de lazo cerrado.
1.4. Ejemplo de un sistema de control
En esta seccion se presenta un ejemplo sencillo, en el que se identifican los componentesde un sistema de control de procesos.
La figura 2 ilustra un sistema en el que se calienta leche a la temperatura de pasteuri-zacion. En este caso, la temperatura es la variable controlada, mientras que el vapor quecircula a traves de los tubos, transfiere su calor al fluido modificando la temperatura. Porconsiguiente, el flujo de vapor es la variable manipulable o accion de control sobre la planta.La temperatura ambiente que rodea al tanque se puede considerar como una perturbacion,ya que afecta directamente a la temperatura del fluido.
En el caso de control automatico se monitorizara la temperatura utilizando un sensor,por ejemplo una resistencia PT100. En este tipo de elementos el valor de resistencia electri-ca depende de la temperatura del mismo; el sensor utilizara esta propiedad para traducirvalores de temperatura en una una senal electrica proporcional.
Figura 2: Proceso de pasteurizacion
7
La salida del sensor de temperatura (tension electrica) se compara con la referencia me-diante algun circuito apropiado, y la diferencia entre ambos valores o error, sera procesadapor el controlador.
Si la temperatura decrece por debajo de los lımites permisibles (comparacion), o se apar-ta del valor preestablecido de referencia, el controlador debera aumentar el caudal de vaporpara mantener la temperatura. El controlador es el bloque del sistema de control que “deci-de” que ajuste necesita el sistema, y lo implementa. Tal implementacion se hace mediante eldispositivo actuador. En nuestro caso, el controlador abre o cierra (o modula el caudal de)una valvula de control de vapor.
De este modo el sistema mantiene la temperatura constante durante el perıodo de pas-teurizarizacion.
2. Modelos Matematicos de Sistemas Fısicos
2.1. Introduccion
El modelo matematico de un sistema es una ecuacion matematica, o un conjunto de ellas,en base a las cuales podemos conocer y representar el comportamiento del sistema bajoestudio.
El modelo matematico que se desarrolla a partir de un sistema no es unico, ya que sepueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representa-ciones no se contradicen, sino que contienen informacion complementaria. Por este motivose debe encontrar aquella que proporcione la informacion de interes para cada problema enparticular. En este curso nos concentraremos en el metodo de “relacion entrada-salida”, quebusca una expresion (o un conjunto de las mismas) que relacione la salida del sistema con laentrada aplicada.
Una vez obtenido el modelo matematico del sistema fısico bajo estudio, se puede encon-trar un circuito electrico analogo. Se llama de esta forma a un circuito electrico que esta re-presentado por el mismo modelo matematico que el sistema fısico bajo estudio.
Los circuitos electricos analogos son de gran utilidad, en especial cuando aumenta lacomplejidad del sistema fısico bajo estudio.
2.2. Sistemas de Nivel de Lıquidos
La figura 3 muestra un sistema de nivel de lıquido. El mismo consiste en un tanquedonde se almacena el lıquido del que se desea controlar el nivel, y conductos de entrada ysalida a los cuales se le aplicara el control adecuado.
Definiciones
En primer lugar se definiran algunos conceptos basicos de este tipo de sistemas fısicos.La resistencia al flujo (RH) se define como la perdida de presion que resulta cuando un
fluido pasa a traves de algun conducto o tuberıa. Cuando el flujo es laminar la resistencia alflujo es lineal; y es no lineal cuando el flujo es turbulento. En ambos casos se calcula como elcociente entre la variacion de presion y el caudal neto.
RH =∆P [Kg/m · seg2]
Q [m3/seg](1)
Donde ∆P es la variacion de presion hidrostatica y Q el caudal neto que entra al sistema.
8 2 MODELOS MATEMATICOS
Figura 3: Sistema de nivel de lıquido
Sin embargo, para el caso de lıquido en reposo, la variacion de presion hidrostatica esdirectamente proporcional a la variacion en la altura de la columna de lıquido, es decir quepodemos definir una nueva resistencia al flujo que relacione directamente el incremento decaudal con el de la altura del lıquido en el tanque:
∆P = ρ · g ·∆h (2)
Donde ρ es la densidad del fluido (enKg/m3), g es la aceleracion de la gravedad (enm/seg2)y ∆h es la variacion de la altura de la columna de lıquido (en m).
Reemplazando la presion hidrostatica en (1) y reordenando terminos, se puede definiruna nueva “resistencia al flujo”, en la que ya esten incluıdos los valores de la densidad delfluido y la aceleracion de la gravedad. Esta nueva resistencia hidraulica se calcula directa-mente como el cociente entre la variacion del nivel del lıquido y el caudal neto:
R =RH
ρ · g=
∆h [m]
Q [m3/seg](3)
Por otro lado, la capacitancia de un tanque se define como la capacidad de almacena-miento que presenta el mismo; y se calcula como el cociente entre la variacion en la cantidadde lıquido acumulado y la variacion de la altura del mismo.
C =∆V [m3]
∆h[m](4)
Las unidades resultantes para esta magnitud son unidades de area. Si el tanque es uniforme,la capacitancia de un tanque es simplemente la seccion transversal del mismo.
Modelo Matematico
Para realizar el estudio del comportamiento de estos sistemas, se analizara su condicionde equilibrio. En los sistemas de niveles de lıquido esta condicion se define de la siguientemanera:
Se dice que el sistema se encuentra en equilibrio cuando la diferencia entre el caudal de entrada yel de salida durante un pequeno intervalo de tiempo∆t, es igual al incremento del volumen de lıquidoacumulado en el tanque; es decir:
qi(t)− qo(t) = C ·∆h
∆t(5)
2.2 Sistemas de Nivel de Lıquidos 9
Si se estudia la variacion del caudal neto en un intervalo de tiempo muy pequeno, esdecir un diferencial de tiempo (dt), se obtiene a partir de (5) la ecuacion diferencial querepresenta al sistema bajo estudio:
qi(t)− qo(t) = C ·dh(t)
dt(6)
2.2.1. Tanque con bomba en los conductos de entrada y salida
En primer lugar se estudiara la resolucion de la ecuacion diferencial del sistema en elcaso de presentar bombas tanto en el conducto de entrada como en el de salida. Este es elcaso mas sencillo, ya que ambos caudales son constantes, y quedan determinados por lasbombas. En este caso la altura del lıquido en el tanque se obtiene mediante:
dh(t)
dt=
qi − qoC
(7)
h(t) =1
C
∫
(qi − qo) dt =(qi − qo)
C· t+ ho (8)
Donde ho es el nivel de lıquido inicial.El circuito electrico analogo correspondiente a este caso, se deduce de la ecuacion (8);
esta ecuacion integral corresponde a la tension sobre un capacitor de capacidad electrica Cy corriente constante e igual a qi − qo.
Figura 4: Tanque con bomba de entrada y salida. Circuito electrico equivalente
En la figura 4 los caudales de entrada y salida son representados por los generadores decorriente qi y qo respectivamente, la capacidad del tanque es representada por la capacidadelectrica C; mientras que el nivel de lıquido es representado por la caıda de tension h(t). qnrepresenta el caudal neto que entra en el tanque, que para este caso es simplemente qi − qo.
2.2.2. Tanque con resistencia hidraulica en el conducto de salida
Si en lugar de una bomba, el conducto de salida presenta una resistencia hidraulica devalorRH , el caudal de salida qo debe expresarse en funcion del nivel del lıquido. Despejandoqo de la definicion de resistencia (ecuacion (3)), se obtiene:
qo(t) =h(t)
RH
(9)
Sustituyendo (9) en (6), y reordenando terminos se obtiene ecuacion diferencial para elnuevo sistema:
qi(t) = C ·dh(t)
dt+
h(t)
RH
(10)
Notese que RH · C es la constante de tiempo del sistema.
10 2 MODELOS MATEMATICOS
Manteniendo las analogıas entre caudales con corrientes y tensiones con alturas realiza-das para el caso anterior; se observa que de la ecuacion (10) corresponde a la de un nodo decorriente en un circuitoRC, con un generador de corriente de valor qi. Esto mismo se graficaen la Figura 5.
El caudal neto que entra en el tanque para este caso es:
qn = qi −h(t)
RH
(11)
Figura 5: Tanque con resistencia hidraulica a la salida. Circuito electrico equivalente
2.2.3. Sistemas de nivel de lıquido con interaccion
En el sistema de la Figura 6 dos tanques interactuan entre sı, de tal forma que el caudalde salida del primero q1 es el caudal de entrada del segundo, que claramente dependera delos parametros del primer tanque.
Figura 6: Sistema de nivel de lıquido con interaccion
Para encontrar un modelo matematico que lo represente se puede proceder como parael caso de un tanque, teniendo en cuenta las interacciones entre los tanques, o bien, simple-mente combinando el circuito electrico analogo de cada tanque, segun lo hallado en el puntoanterior. La forma en que ambos tanques interactuan es a traves del caudal q1 que sale deltanque 1 a traves de la resistencia hidraulica R1, y entra en el tanque 2. El circuito electricocorrespondiente se obtiene conectando en cascada ambos bloques RC, y se muestra en laFigura 7. En la misma los caudales qn1 y qn2 son los caudales netos de entrada en los tanques1 y 2 respectivamente, y se calculan mediante:
qn1 = qi − q1
qn2 = q1 − q2 (12)
2.3 Sistemas Termicos 11
Figura 7: Sistema de nivel de lıquido con interaccion. Circuito electrico equivalente
2.3. Sistemas Termicos
Los sistemas de control de temperatura son otro caso tıpico de estudio. La figura 8 mues-tra el diagrama de un horno electrico, en el mismo se distinguen los siguientes parametros:
C: Capacidad calorica
RT : Resistencia termica
RC : Resistencia calefactora
Ve: Tension de alimentacion
Th: Temperatura del horno
Ta: Temperatura ambiente
Figura 8: Diagrama de un horno electrico
Definiciones
Capacidad calorica (C): La capacidad calorica o calorıfica de una sustancia es unamagnitudque indica la capacidad de dicha sustancia de variar su energıa calorica (calor) antecambios incrementales de la temperatura; es decir:
C = lım∆T→0
∆Q
∆T=
dQ
dT(13)
Resistencia termica (RT ): La resistencia termica de un material representa la capacidad delmaterial de oponerse al flujo del calor. Matematicamente nos dice cuanto es la sobreele-vacion de temperatura 2 respecto a la temperatura ambiente, por cada W de potenciade perdida (Pp):
2Generalmente se utiliza la letra griega θ para representar la sobreelevacion de la temperatura sobre latemperatura de ambiente
12 2 MODELOS MATEMATICOS
RT =∆T
Pp
(14)
De la definicion de capacidad calorica (13) y utilizando la regla de la cadena, se puedeencontrar una expresion para la potencia termica del horno (PH):
PH =dQ
dt= C ·
dTh
dt(15)
A partir del Principio de conservacion de la energıa, y utilizando las expresiones anterioresse puede encontrar un modelo matematico que represente al horno electrico. Una parte dela potencia entregada al sistema (potencia electrica) se convierte en potencia calorıfica y esutilizada para calentar el horno, el resto se disipa debido a las perdidas, es decir:
Pi = PH + Pp (16)
Pi = C ·dθ(t)
dt+
θ(t)
RT
(17)
Donde Pi, PH y Pp son las potencias de entrada, del horno y perdidas respectivamente, yθ(t) es la sobreelevacion de la temperatura respecto de la temperatura ambiente:
Th = θ(t) + Ta (18)
El circuito electrico analogo del sistema se desprende de las expresiones (17) y (18), lasmismas corresponden a la ecuacion de corriente de nodo de un circuito RC y la de tensionde la malla de salida, respectivamente. La figura 9 muestra dicho circuito, en el mismo se haagregado un retardo td, que representa el tiempo que tarda el horno en comenzar a elevar sutemperatura una vez que se le ha suministrado la energıa electrica, el mismo es caracterısticodel horno.
Figura 9: Horno electrico. Circuito electrico analogo
13
3. Caracterısticas de un sistema de control
El desempeno de un sistema de control esta relacionado con la respuesta en el tiempodel mismo. Los siguiente factores caracterizan el desempeno del sistema.
3.1. Estabilidad BIBO
Es un factor importante cuando se analiza un sistema de control que utiliza realimenta-cion. Un sistema de control es estable en sentido “entrada acotada-salida acotada” (BIBO desus siglas en ingles), si logra que la variable controlada sea acotada para cualquier referenciaacotada. Si el sistema no fuera estable, la variable controlada podrıa “dispararse” y llegar avalores muy lejanos a los deseados.
En general se pueden observar distintos comportamientos de la variable controlada enfuncion del tiempo:
1. Apartamiento creciente del valor deseado, con o sin oscilacion (INESTABLE).
2. Oscilacion permanece alrededor del valor de referencia (CRITICAMENTE ESTABLE).
3. Aproximacion asintotica al valor deseado, con o sin oscilacion (ESTABLE).
En las figuras siguientes se ilustran distintos comportamientos de la variable controladaante un cambio del valor de referencia.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2
-1
0
1
2
3
4
Time offset: 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time offset: 0
Respuesta oscilatoria creciente Respuesta oscilatoria
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time offset: 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time offset: 0
Respuesta oscilatoria amortiguada Respuesta “amortiguada”
3.2. Tiempo de establecimiento
Es el tiempo que tarda la variable controlada en alcanzar un determinado porcentaje devalor de referencia (0.95 o 0.98), despues de una variacion de la referencia. Este valor solotiene sentido en sistemas estables.
3.3. Error de estado Estacionario
Una vez alcanzado el estado estacionario, el valor final de la variable controlada puedeno ser igual al valor de la referencia. Este resultado dependera del diseno del controladory de las caracterısticas de la planta. La diferencia entre el valor de la variable controlada
14 4 TIPOS DE CONTROL
y el valor de referencia en estado estacionario, se define como error de estado estacionario(E.E.E.), y uno de los objetivos del control de procesos es mantener este error dentro demargenes preestablecidos.
4. Tipos de control
Los sistemas de control de procesos se puede clasificar en dos tipos: control de “lazoabierto”, y control de “lazo cerrado”.
4.1. Control de lazo abierto
Este control implica una prediccion de la senal de control r necesaria para ajustar lavariable de salida y en el valor deseado. Como la variable controlada no se realimenta, esdecir, su valor es desconocido, las perturbaciones y los cambios en la planta pueden generargrandes desviaciones del valor de salida esperado (error).
La figura 10 muestra un diagrama en bloques tıpico de este sistema.
Figura 10: Sistema de lazo abierto
Este tipo de control es mas simple de implementar. Suele garantizar la estabilidad y serrelativamente economico en comparacion con los sistemas de lazo cerrado, aunque el errorde estado estacionario puede tomar valores inaceptables.
Un ejemplo practico de este tipo de sistemas es una lavadora automatica. La misma estacompuesta por tres sistemas de control. Control de lavado (variable controlada: limpieza),control de enjuague (variable controlada: porcentaje de residuo de jabon) y control de secado(variable controlada: contenido de humedad en las prendas). Estos tres sistemas de controloperan a lazo abierto segun una base de tiempos preestablecida. Cualquier perturbacionpuede generar un gran error de estado estacionario: ropa manchada con pintura no soluble,o caudal de agua insuficiente, exceso de ropa, etc.
En el ejemplo anterior, es necesario destacar que la medicion de las variables controladases de difıcil implementacion, o, en ultimo caso muy costosas.
4.2. Control de lazo cerrado
En estos sistemas se mide la variable controlada, y se la compara con un valor de referen-cia. El controlador realiza acciones de acuerdo al apartamiento resultado de la comparacion.De esta manera se puede alcanzar el valor deseado de la senal de salida con gran exactitud.
La figura 11 muestra un diagrama en bloques de este sistema.Sobre la comparacion del valor de referencia r y el valormedido yf , el controlador efectua
una accion correctiva. Si la senal controlada y no es una magnitud electrica (p.e. velocidad,presion, temperatura, etc.) suele utilizarse un sensor o transductor, el cual convierte talesmagnitudes, en magnitudes electricas.
El controlador debe disenarse de forma que la accion de control corrija cualquier desvia-cion del valor deseado de la senal de salida.
15
Figura 11: Sistema de lazo cerrado
La ventaja principal de estos sistemas es que puede asegurarse una cota para el Error deEstado Estacionario, independiente de las variaciones de la planta o de las perturbacionesque esta pueda sufrir. Ademas pueden lograrse respuestas mas rapidas que en los sistemasde lazo abierto, mediante un diseno apropiado del controlador.
Como desventaja pueden citarse la mayor complejidad del sistema, y la posible inestabi-lidad del mismo, si el controlador no se disena apropiadamente.
5. Analisis de sistemas de control
5.1. Ganancia estatica de un sistema
La ganancia estatica de un sistema es la relacion entre la entrada y la salida una vez quese ha alcanzado el estado estacionario.
5.1.1. Ganancia en un sistema de lazo abierto
En la figura 12 vemos el diagrama en bloques de un sistema de lazo abierto en estadoestacionario.
La relacion entrada–salida para este caso, es simplemente:
y = Kc ·Ka ·Kp · r (19)
Figura 12: Sistema de lazo abierto en estado estacionario
Llamamos Ganancia Estatica de Lazo Abierto al valor:
TLA = Kc ·Ka ·Kp (20)
16 5 ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
y = TLA · r (21)
5.1.2. Ganancia en un sistema de lazo cerrado
El diagrama de un sistema de lazo cerrado en estado estacionario se muestra en la figura13.
Figura 13: Sistema de lazo cerrado en estado estacionario
La relacion entre la entrada y la salida puede obtenerse con las relaciones siguientes:
y = Kp · u′
u′ = Ka · uu = Kc · ee = r − yfyf = Km · y
Combinando estas ecuaciones, obtenemos la relacion entre la entrada r y la salida y.
y =Kc ·Ka ·Kp
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
· r (22)
La Ganancia Estatica de Lazo Cerrado es:
TLC =Kc ·Ka ·Kp
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
(23)
Lazo Abierto vs Lazo Cerrado
En (19) se observa que, en el sistema de lazo abierto, la salida y depende directamente dela ganancia de la planta Kp; y por lo tanto la salida es sensible a pequenas variaciones en suvalor (y es directamente proporcional a Kp).
En el sistema de lazo cerrado en cambio, se puede lograr que Kc · Ka · Kp · Km >>1 mediante la ganancia del controlador Kc, entonces la ecuacion (22) se puede aproximarmediante:
y ≃Kc ·Ka ·Kp
Kc ·Ka ·Kp ·Km
· r
5.2 Error de Estado Estacionario 17
y ≃1
Km
· r (24)
En (24) se observa que en este caso la salida depende exclusivamente de la ganancia Km
del sensor, que en general es un elemento de precision. Si en el diseno se elige un conjun-to controlador–actuador con ganancia suficientemente grande, la variable de salida no severa afectada por eventuales cambios en la ganacia de la planta.
Es preciso tener en cuenta que valores elevados de ganancia pueden inestabilizar el sis-tema. Es decir, existe un compromiso en la eleccion de la ganancia del controlador, la mismadebe ser grande para desensibilizar al sistema de variaciones en la planta, pero no demasia-do como para provocar la inestabilidad del mismo.
5.2. Error de Estado Estacionario
Al analizar un lazo de control, se debe examinar tanto el comportamiento dinamico delsistema como el comportamiento en regimen permanente. Es decir la respuesta transitoria,tal como el tiempo requerido para alcanzar el estado estacionario, el tiempo de estableci-miento o el valor pico que toma la respuesta; como ası tambien la respuesta en estado esta-cionario, es decir el error respecto de la referencia en dicho estado.
Se define al error de estado estacionario e a la diferencia entre la senal de referencia ry la senal de realimentacion yf una vez que se alcanza el estado estacionario. Este errormide el alejamiento de la salida del sistema y su valor deseado, una vez que el sistemaesta funcionando en regimen permanente. Es un indicador de la exactitud del sistema.
Es decir, el error de estado estacionario se define como:
e = r − yf = r −Km · y = r −Km · TLC · r (25)
Reemplazando por (23) y reordenando, se obtiene:
e =
(
1−Kc ·Ka ·Kp
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
·Km
)
· r
e =1
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
· r (26)
En un sistema de lazo cerrado se puede lograr que el error de estado estacionario sea tanchico como se quiera, con solo aumentar la ganancia del controlador Kc.
Los sistemas de lazo abierto no tienen accion sobre el error de estado estacionario debidoa que no se compara la salida con el valor de referencia, y por lo tanto el controlador nopuede actuar sobre el mismo. Por esta razon los sistemas de control a lazo abierto solo seutilizan cuando el sistema tolera error en el valor final.
5.3. Efectos de las perturbaciones en los sistemas de control
En un sistema de control se considera perturbacion a todas las senales o condiciones quemodifican la senal de salida y de una forma no deseada (por medio de variables internas o ex-ternas a la planta). Por ejemplo, la variacion de la temperatura ambiente es una perturbacionexterna en casi todos los sistemas de control de temperatura. La variacion del coeficiente derozamiento de un motor, es un ejemplo de variable interna.
En lıneas generales, el efecto de las perturbaciones en un sistema de control de lazo ce-rrado puede despreciarse, si el controlador posee un diseno apropiado.
18 5 ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
Las perturbaciones pueden representarse como senales que se suman en algun punto delsistema. El diagrama en bloques de un sistema de control de lazo cerrado, con una pertur-bacion aditiva aplicada a la salida, se muestra en la figura 14.
Figura 14: Perturbaciones en un sistema de lazo cerrado
Para sistemas lineales, se puede aplicar el principio de superposicion, considerando pri-mero la salida producida por la entrada de referencia (cuando no hay perturbacion) y luegosumando a ese valor la salida producida por la entrada de perturbaciones (para referenciaigual a cero).
Si se considera p = 0 y r 6= 0, la respuesta (yr) del sistema a la referencia sera:
yr =Kc ·Ka ·Kp
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
· r (27)
Considerando p 6= 0, una perturbacion aditiva aplicada a la salida de la planta (Figura14), y r = 0 la salida correspondiente es:
yp =1
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
· p (28)
El comportamiento de la variable de salida debido a la actuacion simultanea de la refe-rencia y la perturbacion esta determinado por la suma de las ecuaciones (27) y (28):
y =Kc ·Ka ·Kp
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
· r +1
1 +Kc ·Ka ·Kp ·Km
· p
El primer termino corresponde a la salida que se busca y el segundo a la salida generadapor las perturbaciones que producen variaciones no deseadas. Este efecto se ve atenuadopor la ganancia del lazo que si es suficientemente grande puede lograr el efecto de las per-turbaciones a la salida sea despreciable.
Si se disena el controladorKc de modo queKc ·Ka ·Kp ·Km >> 1, la salida se aproximaa:
y ≃1
Km
· r +1
Kc ·Ka ·Kp ·Km
· p
La transferencia entre la perturbacion y salida es pequena. De esta forma se logra que lasperturbaciones tengan un efecto disminuido o nulo en la variable de salida.
1
Kc ·Ka ·Kp ·Km
≃ 0
En un sistema de lazo abierto (figura 15), el efecto de la perturbacion p sobre la salidaresulta:
19
Figura 15: Perturbaciones en un sistema de lazo abierto
y = yr + yp = Kc ·Ka ·Kp · r + 1 · p
El sistema de control no tiene capacidad de corregir la variable de salida ante la ocurren-cia de perturbaciones.
En el sistema de lazo cerrado, tras la deteccion de la perturbacion (debido a la realimen-tacion de la salida), la senal de error se modifica y el controlador ajusta su senal de salida upara corregirlo. En cambio, en el sistema de lazo abierto, el sistema no detecta las variacionesen la salida, y por lo tanto tampoco a las perturbaciones presentes, es decir que la variablede salida permanecera afectada por las mismas hasta que estas desaparezcan.
6. Acciones de control: controladores
Un sistema de control esta formado por la planta, el sensor/transductor, el actuador ypor un controlador, en esta seccion se estudian los controladores mas usados en los distintosprocesos.
Los controles basicos, que se usan solos o combinados, son:
1. Control ON/OFF
2. Control ON/OFF con Histeresis
3. Control semiproporcional
4. Control Proporcional
5. Control Integral
6. Control derivativo
6.1. Control ON/OFF
En muchos sistemas de control, se utiliza un controlador con dos niveles de salida paracontrolar la planta. Generalmente los dos niveles son ON y OFF (encendido y apagado).Este tipo de controlador es muy usado para temperatura, por ejemplo en una casa se seteaun valor de temperatura, si la temperatura esta por debajo del mismo, la estufa se enciendey si se sobrepasa la temperatura deseada, la misma se apaga. El diagrama en bloques de estesistema se presenta en la figura 16.
La senal de control u sera:
u =
{
umax, si e > 0
umin, si e < 0(29)
La desventaja de este control es que la respuesta del controlador no puede ajustarse deacuerdo a lamagnitud del error, solo son posible dos niveles de control: prendido o apagado.
20 6 ACCIONES DE CONTROL: CONTROLADORES
Figura 16: Control ON/OFF
Esta limitacion produce un ripple (senal de alta frecuencia que se suma a la salida deseada;figura 17), debido a la lentitud de respuesta de la planta. No es aconsejable usar este controlen actuadores mecanicos porque la variacion continua entre un estado y otro acorta la vidautil de los componentes mecanicos.
Figura 17: Ripple sobre la senal deseada
6.2. Control ON/OFF con histeresis
Dependiendo de la sensibilidad del sistema, un control ON/OFF puede ciclar entre en-cendido y apagado a una frecuencia muy alta. Para compensar este problema, se usa controlcon histeresis, que es un control ON/OFF para el cual se setean dos lımites distintos. El lımitemas bajo enciende el controlador y el lımite superior lo apaga.
En la figura 18 se ilustra el diagrama en bloques:
Figura 18: Control ON/OFF con histeresis
Este sistema de control funciona de la siguiente manera: si el error supera el umbral eM ,la salida del controlador sera el valor uM ; luego de un tiempo el error disminuira y la senaldel controlador seguira siendo uM , hasta que e < em, entonces la salida del controladorconmutara a um.
6.3 Control semiproporcional 21
Figura 19: Funcion de transferencia del controlador ON/OFF con histeresis
En la figura 19 se muestra la curva de transferencia (relacion salida–entrada) de este tipode controlador.
Un caso tıpico que usa este tipo de control es un tanque de agua, el cual se lo desea llenarhasta una cierta altura, por ejemplo 3 m, luego se cierra la valvula y recien cuando el nivelde agua esta muy bajo se vuelve a abrir, por ejemplo 0,5 m.
6.3. Control semiproporcional
El control ON/OFF clasico tiene la ventaja de que es facil de implementar ya que la senalde control toma dos valores, entonces el actuador tambien toma solo dos estados, por ejem-plo la valvula que se abre o se cierra. Pero tiene una desventaja que es el gran ripple quepude producir. Para mejorar esta situacion se puede usar un controlador semiproporcional,que puede tomar varios niveles de salida distintos dependiendo de la magnitud del error.Esto reduce el ripple de la senal de salida. La funcion de transferencia del controlador semuestra en la figura 20.
Figura 20: Transferencias de los controladores ON/OFF y Semiproporcional
6.4. Control proporcional
En el control proporcional, la salida u es proporcional a la senal de error e. Es decir:
u = K · e ; conK constante de proporcionalidad
22 6 ACCIONES DE CONTROL: CONTROLADORES
La figura 21 muestra el diagrama en bloques correspondiente a un sistema de lazo cerra-do con un controlador proporcional.
Figura 21: Controlador proporcional
La ganancia del controlador es:
KC =∆u
∆e=
uM − um
e2 − e1(30)
Se llama banda de proporcionalidad (bp) al valor:
bp[ %] =1
KC
· 100 (31)
Si se expresa a la ganancia del controlador en funcion de la banda de proporcionalidad,se obtiene:
KC =100
bp [%]
Para elegir el valor de KC adecuado se deben tener en cuenta el Error de Estado Esta-cionario (EEE) y la estabilidad del sistema; ya que ambos parametros dependen de dichaganancia.
Figura 22: Funcion de transferencia del controlador proporcional
De (26), el error de estado estacionario en un sistema de lazo cerrado es:
e =1
1 +KP ·KC ·Km
· r
Si se aumenta el valor de KC el error de estado estacionario disminuye; sin embargo alaumentar la ganancia el sistema puede hacerse inestable, perdiendose el control del lazo. Es
6.5 Control Integral 23
decir que existe un compromiso al seleccionar el valor de la ganancia del controlador, entreel error de estado estacionario tolerable y la estabilidad del sistema.
El rango de variacion de la variable de control u depende de la saturacion de los actua-dores. La saturacion en una valvula, por ejemplo, es cuando la misma esta completamenteabierta o completamente cerrada.
Una caracterıstica de este tipo de accion de control es que, mientras el error persista, elcontrol va a producir una senal correctiva. Sin embargo para algunos sistemas el hecho deque la senal de control es nula cuando no existe error (e = 0 con u = 0) se presenta como unagrave desventaja; en estos casos se utiliza una polarizacion (bias). El esquema se presenta enla figura 23.
u = KC · e+ polarizacion (32)
Figura 23: Sistema de control proporcional con polarizacion
La salida del controlador en funcion del error se muestra en la figura 24.
Figura 24: Transferencia del controlador proporcional con polarizacion
6.5. Control Integral
Para este tipo de controladores, la senal de control es proporcional a la integral en eltiempo de la senal actuante e. Matematicamente se puede escribir como:
u = KC ·
∫
e dt
DondeKC es la ganancia del controlador integral. Si la senal de error es positiva, la senalde correccion u aumenta en forma proporcional al error. Para que la senal de correccion udecrezca, debe haber un error e negativo. Esto resulta en una accion de control que aumen-ta bruscamente, generando un sobrepico en el valor de salida deseado y que genera unarespuesta oscilatoria en la salida del proceso.
24 6 ACCIONES DE CONTROL: CONTROLADORES
6.6. Control Derivativo
La senal de control u para un bloque de control derivativo es proporcional a la tasa decambio de la senal de error e. Es decir:
u = KC
de
dt
En este caso KC es la ganancia del controlador derivativo. Cuando la senal de error e esconstante, el control derivativo produce una senal de salida u = 0. Cuando e varıa, el controlprovee una senal que es proporcional a la tasa de cambio.
La ventaja del control derivativo es que tiende a anticipar la ocurrencia de una desvia-cion del valor deseado. Si la senal de error varıa, la accion del control empieza a corregir elsistema.
La desventaja, es que no corrige errores constantes en la senal de salida. Por este moti-vo es que en general los controladores derivativos no se utiliza solos; en cambio son muyfrecuentemente utilizados en forma combinada con un control integral y/o proporcional.
6.7. Acciones de control combinadas: P–I–D
Este controlador combina tres metodos mas simples de control: las acciones proporcio-nales, integrales y derivativas. Es frecuentemente utilizado para obtener el control deseadodel proceso.
A continuacion se definen las posibles combinaciones entre ellos. Para cada caso se da laexpresion matematica que relaciona la accion de control u con el error e y el correspondientediagrama en bloques para cada controlador se presenta en las figuras 25, 26 y 27.
Control proporcional – integral (PI):
u = KP · e+KI ·
∫
e dt
Control proporcional – derivativo (PD)
u = KP · e+KD ·de
dt
Control proporcional – integral – derivativo (PID)
u = KP · e+KD ·de
dt+KI ·
∫
e dt
Figura 25: Controlador proporcional–integral (PI)
25
Figura 26: Controlador proporcional–derivativo (PD)
Figura 27: Controlador proporcional–integral–derivativo (PID)
7. Referencias
Apuntes de clase de Electronica Industrial B – E284
Katsuhiko Ogata “Ingenierıa de Control Moderna”. 3a Edicion (1998). Prentice Hall.