a. aegypti -...

UMA APLICACAO D E MO D E LO S PAR A D AD O S D E CO N T AG E M

IN F LACIO N AD O S D E Z E R O S N A MO D E LAG E M D O N UME R O

D E O V O S D O MO S Q UIT O AEDES AEGYPTI

Camila Macedo Lima NAGAMINE1

Cecılia CAND O LO 2

Maria S ılv ia de Assis MO U R A2

RESUMO: A dengue e uma doenca tropical transmitida pela femea do mosquito Aedes

a egy p ti, para a qual nao ex iste uma vacina. Em paıses como o B rasil, o controle da doenca

e feito atrav es do controle do mosquito. Um aspecto importante deste controle e, sem

duv ida, o estudo do ciclo de v ida deste v etor e, neste sentido, um dos principais ob jetiv os

e estudar a ov iposicao. D esta forma, e de grande importancia entender o comportamento

da quantidade de ov os postos, v isando controlar a infestacao do mosquito. Este trab alh o

tem por ob jetiv o analisar o numero de ov os do mosquito Aedes a egy p ti atrav es de modelos

para dados de contagens, usando dados ob tidos de um ex perimento realizado em regiao

de infestacao do mosquito e ocorrencia da doenca. Apos a apresentacao dos modelos

estatısticos, iremos ob ter estimativ as de max ima v erossimilh anca dos parametros e

testaremos as h ipoteses de interesse utilizando testes escore. C omo neste caso nao ex iste

um teste otimo, faremos uma analise grafi ca para v erifi car o comportamento dos modelos

em questao a fi m de v erifi car a adequab ilidade destes modelos em relacao ao numero de

ov os do mosquito Aedes a egy p ti.

P AL AV RAS-C H AV E: Ex cesso de zeros; P oisson; b inomial negativ a; dengue; teste escore;

estimativ as de max ima v erossimilh anca.

1 Introducao

A den g u e e u ma doen ca q u e con stitu i u m g rav e p rob lema de sau de p u b lica

n o B rasil e n a maioria dos p aıses trop icais, on de as con dicoes climaticas fav orecem

1Departamento de Estatıstica, Programa de Pos-Graduacao em Estatıstica- UFSCar, Rua Francisco

B enıcio, 4 , Centro, CEP:4 5 .6 0 3 -3 1 0 - Itab una, B a, B rasil. E-mail: kena cam ila@h o tm ail.co m2Departamento de Estatıstica, Centro de Ciencias Ex atas e T ecnologia, Univ ersidade Federal

de Sao Carlos - UFSCar, Caix a Postal 6 7 6 , CEP:1 3 .5 6 5 -9 0 5 , Sao Carlos, SP, B rasil. E-mail:

cecilia@po w er.u fscar.br / m silvia@po w er.u fscar.br

R ev . B ras. B io m ., Sao Paulo, v .2 6 , n.1 , p.9 9 -1 1 4 , 2 0 0 8 9 9

a proliferacao do mosquito A. aegypti, o principal vetor da doenca. A dengue etransmitida ao h omem por algumas especies de mosquitos do genero Aedes, sendoo A. aegypti a mais importante. Alem do h omem, nao se conh ece nenh um outroh ospedeiro de importancia signifi cativa que atue como reservatorio.

P ode-se contrair a dengue classica e a h emorragica. Geralmente, quandocontaminada pela primeira vez , a pessoa contrai a dengue classica, em uma segundacontaminacao, ex iste um risco muito maior de se contrair a dengue h emorragica,que e muito mais grave e pode levar a morte. Avaliando-se a serie h istorica deincidencias de dengue no Brasil, verifi ca-se uma tendencia ascendente com pico em2 0 0 2 e 2 0 0 8 com um signifi cativo aumento da forma h emorragica da doenca.

Somente as femeas do A. aegypti se alimentam de sangue, as quais possuemh abitos alimentares diurnos e utilizam-se preferencialmente de depositos artifi ciaisde agua limpa para colocar os seus ovos, que por sua vez , tem uma alta capacidadede resistir a dissecacao, mantendo-se viaveis na ausencia de agua por ate 4 5 0 dias,T auil (2 0 0 2 ).

Apesar da dengue ser muito pesquisada, nao esta disponıvel uma vacinapreventiva efi caz . No momento, a unica medida preventiva e o controle do vetor detransmissao.

O A. aegypti e um mosquito com h abitos domiciliares que se proliferafacilmente em criadouros, ou seja, recipientes com agua limpa, pouca materiaorganica e ex postos em locais sombreados. Essas condicoes sao favorecidas pelapresenca de ch uva, pois e na estacao ch uvosa que a populacao deste mosquito atingenıveis elevados e ocorrem epidemias de dengue.

Uma medida sanitaria para o controle da dengue e o controle do mosquito euma forma de estudar a proliferacao do mosquito e via oviposicao. O estudo donumero de ovos do mosquito postos pela femea tem recebido atencao para o devidoentendimento e possıvel controle das infestacoes.

A motivacao deste trabalh o surgiu a partir de um conjunto de dados reais paraavaliar o uso de armadilh as de oviposicao como medida de vigilancia entomologicapara o mosquito A. aegypti. Armadilh as de oviposicao, tambem denominadas deovitrampas, sao muito uteis no monitoramento do mosquito A. aegypti, e permitema contagem e identifi cacao dos ovos do mosquito, fornecendo um metodo sensıvel eeconomico.

Um fato que se observou na variavel numero de ovos foi o grande ex cessode zeros. O ex cesso de zeros em dados de contagem e uma ocorrencia de certaforma comum em ex perimentos nas mais diversas areas, que pode ser causada poruma combinacao dos ch amados zeros estruturais e zeros amostrais. No primeirocaso, os zeros estruturais ocorrem independentemente da distribuicao discretade probabilidade. No ultimo caso, os zeros amostrais estao relacionados com aocorrencia de zeros segundo o modelo probabilıstico adotado.

O modelo P oisson Infl acionado de Z eros (Z IP ), sem covariaveis, e discutido porvarios autores, mas e Lambert (1 9 9 2 ) que primeiro apresenta este modelo associadoao uso de covariaveis. O modelo Binomial Negativo Infl acionado de Z eros (Z INB)e tambem uma alternativa na modelagem de dados de contagens, com ex cesso de

100 Rev. Bras. Biom., Sao Paulo, v.26, n.1, p.99-114, 2008

zeros, por ser mais flexıvel na modelagem da variabilidade. Neste contexto, Ridoutet al. (2001) propuseram um teste escore para testar o modelo ZIP contra umaalternativa do modelo ZINB.

Uma dificuldade encontrada na implementacao destes modelos neste trabalhofoi nao termos visto na literatura o desenvolvimento analıtico da obtencao dosestimadores de maxima verossimilhanca. Um dos objetivos deste trabalho eapresentar este desenvolvimento, e a escolha entre os modelos sera baseada emtecnicas graficas e atraves de testes escores apresentados na literatura.

O objetivo esta em verificar se os modelos inflacionados de zeros, ZIP eZINB, podem explicar o numero de ovos do mosquito A. aegypti coletados pelaovitrampa, onde o principal interesse deste trabalho esta em avaliar pontualmentecada quinzena, para em estudo futuro fazer analise no tempo com a inclusao decovariaveis climaticas.

Na Secao 2 sao definidos os modelos ZIP e ZINB, e a estimacao dos parametrospor maxima verossimilhanca. Em seguida, na Secao 3 , testaremos as hipoteses deinteresse utilizando Testes Escores para os modelos ZIP e ZINB. O conjunto dedados e descrito na Secao 4, e na Secao 5, sao apresentados os resultados referentesa metodologia utilizada considerando dados reais do estudo sobre o numero de ovosdo mosquito A. aegypti.

2 Modelos inflacionados de zeros

Nesta Secao serao apresentados os modelos Poisson Inflacionado de Zeros eBinomial Negativo Inflacionado de Zeros.

2.1 Modelo Poisson inflacionado de zeros (ZIP)

Segundo X ie et al. (2001), o modelo Poisson Inflacionado de Zeros consideraque alguns zeros, os zeros estruturais, ocorrem com probabilidade 1− ω e os zerosamostrais, com probabilidade ω e denotam o modelo Poisson Inflacionado de Zeroscomo sendo

P (Y = y) =

{

(1− ω) + ω f(0), y = 0

ω f(y), y > 0, (1)

onde f(0) = P (y = 0) = e−λ, e, entao,

P (Y = y) =

(1− ω) + ω e−λ, y = 0

ω e−λλy

y!, y > 0

. (2)

O parametro ω tem a restricao de que 0 < ω < 1. A esperanca e a varianciade Y sao, respectivamente, E(Y ) = ωλ e V a r (Y ) = ωλ + ωλ[λ−ωλ]. A obtencaodos estimadores de ω e λ, para o modelo Poisson Inflacionado de Zeros, e feitaatraves do metodo de maxima verossimilhanca. Seja Y1, Y2, . . . , Yn uma amostra detamanho n, com n0 observacoes iguais a zero, e ny observacoes diferentes de zero

Rev. Bras. Biom., Sao Paulo, v.26, n.1, p.99-114, 2008 101

para y = 1, 2, . . ., tal que, n1 sao as observacoes iguais a 1, n2 sao as observacoesiguais a 2 e assim por diante, de forma que n = n0 +

∑

∞

y= 1ny .

O logaritmo da funcao de verossimilhanca e dado por1

l(ω, λ) = n0 log(1− ω + ωe−λ) +

∞∑

y= 1

ny log(ωe−λ λy

y!) . (3)

Os estimadores de maxima verossimilhanca para os parametros ω e λ, saoobtidos atraves da derivada do logaritmo da funcao de verossimilhanca com respeitoa ω e λ. As derivadas da funcao de verossimilhanca com respeito a ω e λ saorespectivamente,

∂ l(ω, λ)

∂ ω=−n0(1− e−λ)

(1− ω + ωe−λ)+

∞∑

y= 1

ny

ω, (4)

∂ l(ω, λ)

∂ λ= −

n0 ω e−λ

(1− ω + ωe−λ)+

∞∑

y= 1

ny

(

y − λ

λ

)

. (5)

Os estimadores de maxima verossimilhanca de ω e λ sao obtidos de formaexplıcita e dados por

ω =1− n0

n

1− eλe λ =

y

ω, (6 )

onde y =∑n

i= 1

yi

n.

2.2 Modelo binomial negativo inflacionado de zeros (ZINB)

Seguindo a notacao usada por K elvin et al. (2003), o modelo BinomialNegativo Inflacionado de Zeros pode ser escrito como sendo

f(y, ω, λ, k) =

(1− ω) + ω

(

k

k + λ

)k

, y = 0

ωΓ (y + k)

Γ (k)y!

(

k

k + λ

)k (

λ

k + λ

)y

, y = 1, 2, . . . ,

(7 )

sendo que λ e a media da distribuicao Binomial Negativa com parametros (λ, k).Novamente, para o parametro ω existe a restricao de que 0 < ω < 1, e 1 − ω

representa a probabilidade de zeros estruturais. A esperanca e a variancia de Y

sao, respectivamente, E(Y ) = ωλ e V ar(Y ) = ωλ[λ(1− ω) + 1 + λk].

O estimador de maxima verossimilhanca para o parametro ω e obtido atravesda derivada do logaritmo da funcao de verossimilhanca com respeito a ω. Seguindoa notacao usada no modelo Poisson Inflacionado de Zeros, para uma amostra detamanho n com n0 observacoes iguais a zeros e ny observacoes diferentes de zero

1maiores detalhes ver Xie et al, 2001.


para y = 1, 2, . . ., o logaritmo da funcao de verossimilhanca para o modelo BinomialNegativo Inflacionado de Zeros e dado por

l(y ,ω, α , k) = n0 log (1− ω) + ωk

k + λ

k

+∞

y=1

ny log ωΓ (y + k)

Γ (k)y!

k

k + λ

k λy

(k + λ)y.

(8 )

As derivadas do logaritmo da funcao de verossimilhanca com respeito aosparametros ω, λ e k sao, respectivamente,

∂ l(y, ω, λ, k)

∂ ω= −

n0 1−k

k + λ

k

1− ω + ωk

k + λ

k−

∞

y=1

ny

ω, (9 )

∂ l(y, ω, λ, k)

∂ λ= −

n0ω kk

k + λ

k

(k + λ) 1− ω + ωk

k + λ

k−

∞

y=1

ny k

λ + k+∞

y=1

ny y k

(λ + k)λ, (10 )

∂ l(y, ω, λ, k)

∂ k=

n0ωk

k + λ

k

(k + λ) lnk

k + λ+ λ

(k + λ) 1− ω + ωk

k + λ

k+∞

y=1

ny Ψ (y + k)−∞

y=1

ny y

k + λ

−

∞

y=1

nyΨ (k) +∞

y=1

ny lnk

k + λ+∞

y=1

nyλ

k + λ, (11)

onde, a funcao Ψ (·) e a funcao Digamma, dada por Ψ (·) = ∂ ln[Γ(·)]∂(·) .

As estimativas dos parametros do modelo B inomial N egativo Infl acionado de

Rev. B ra s. B io m ., S a o P a u lo, v .2 6 , n .1, p .9 9 -114 , 2 0 0 8 10 3

Zeros podem ser obtidas iterativamente usando o seguinte sistema de equacoes

ω =1−

n0

n

1−k

k + λ

k

n0ω kk

k + λ

k

(k + λ) 1− ω + ωk

k + λ

k=

(n− n0)k

λ + k−

ny k

(λ + k)λ

n0ωk

k + λ

k

(k + λ) lnk

k + λ+ λ

(k + λ) 1− ω + ωk

k + λ

k= ∞

y=1 ny Ψ(y + k)−ny

k + λ

−(n− n0)Ψ(k) + (n− n0) ln k

k+λ+

(n− n0)λ

k + λ.

(12)

3 Teste escore

Nesta S ecao serao apresentados os T estes E scores para os modelos P oissonInflacionado de Zeros e Binomial Negativo Inflacionado de Zeros.

3.1 Teste escore ZIP

Nesta S ecao e apresentado um T este E score para testar situacoes onde onumero de zeros e muito grande para uma distribuicao P oisson ajustar bem osdados, como e o caso dos dados que estao sendo analisados referente ao numero deovos do mosquito A. aegypti.

O objetivo do T este E score ZIP e verifi car se ha alguma evidencia nos dadospara apoiar a suposicao de que a distribuicao P oisson Inflacionada de Zeros erealmente mais apropriada do que a distribuicao P oisson.

O T este E score ZIP foi baseado no trabalho de Broek (19 9 5 ), onde aparametrizacao utilizada nesta secao e diferente da utilizada por Broek .

F azendo uma reparametrizacao no modelo ZIP dado em (2 ), em que ω =1

1 + θ,

temos a funcao de densidade para o modelo ZIP dada por

f(yi,θ,λ) =

θ

1 + θ+

1

1 + θe−λ yi = 0

1

1 + θ

e−λλyi

yi!yi > 0.

(13 )

E ssa distribuicao sob a hipotese nula H0 : θ = 0 se reduz ao modelo P oissonpadrao.


O logaritmo da funcao de verossimilhanca para o modelo ZIP e dado por

l(yi, θ, λ) = −

n∑

i=1

log(1 + θ) +∑

i:yi=0

log(θ + e−λ) +∑

i:yi>0

[yi log(λ) − λ − log(yi!)] .

(14 )

As primeiras derivadas de l(θ, λ, yi) com respeito aos parametros θ e λ saorespectivamente,

∂ l(yi, θ, λ)

∂ θ= −

n

1 + θ+

n0

θ + e−λ, (15)

∂ l(yi, θ, λ)

∂ λ= −

n0e−λ

θ + eλ+

ny

λ− n + n0. (16 )

Sob a hipotese nula H0 : θ = 0, com λ e θ os estimadores de max imaverossimilhanca, temos que o vetor escore e dado por

U(λ, 0) =

[

0,−n +n0

e−λ

]

. (17 )

A matriz de informacao observada, obtida atraves das derivadas de segundaordem e dada por

J =

n

(1 + θ)2−

n0

(θ + e−λ)2n0e

−λ

(θ + eλ)2

n0e−λ

(θ + eλ)2n0e

−λ

θ + e−λ−

n0(e−λ)2

(θ + e−λ)2−

ny

λ2

, (18 )

Sob H0 : θ = 0, essa matriz se reduz a

J =

−n +n0

(e−λ)2−

n0

eλ

−

n0

eλ

ny

λ2

, (19)

A estatıstica do Teste Escore para testar o modelo ZIP e escrita da seguinteforma

S1 = UT (λ, 0)J−1[2, 2]U(λ, 0), (20)

onde J−1[2, 2] e o elemento superior a esquerda da inversa da matriz de informacaocalculada no estimador de max ima verossimilhanca sob H0 e e dado por


J−1[2, 2] =[n(e−λ)2 − n0]λ

2

n2y(e−λ)2 − nyn0 + n20λ

2. (21)

Assim, a estatıstica escore para testar o modelo ZIP, no caso sem covariaveis,e obtida atraves da expressao dada por

S1 =

(

−n +n0

e−λ

)2(

n2y(eλ)2 − nyn0 + n20λ

2)

ny(e−λ)2, (22)

onde y e a media amostral, n0 o numero de zeros nas observacoes e n o numerototal de observacoes. Sob a hipotese nul, H0 : θ = 0, a estatıstica S1 tera umadistribuicao assintotica χ2 com um grau de liberdade.

3.2 Teste escore ZINB

Nesta Secao o Teste Escore apresentado tem com o objetivo, verificar asuposicao de que o modelo ZINB e mais apropriado para ajustar o numero deovos do que o modelo ZIP, como proposto por R idout et al. (2001).

Fazendo uma reparametrizacao no modelo ZINB dado em (7), em que k = α−1,temos:

f(y, ω, α, λ) =

(1 − ω) + ω

(

α−1

α−1 + λ

)α−1

, y = 0

ωΓ (y + α−1)

Γ (α−1)y!

(

α−1

α−1 + λ

)α−1(

λ

α−1 + λ

)y

, y = 1, 2, . . . ,

(23)em que α ≥ 0 e um parametro de dispersao que e assumido nao depender decovariaveis. Essa distribuicao, sob a hipotese nula quando no limite α tende a zero,indicada por H0 : lim

α→0α, se reduz ao modelo Poisson Inflacionado de Zeros. O

Teste Escore para testar a hipotese nula H0 : limα→0

α, tem a vantagem de calcular os

estimadores dos parametros da distribuicao ZIP, que e a distribuicao sob a hipotesenula, nao havendo entao, a necessidade de estimar os parametros do modelo ZINB.

Sendo assim, para o caso sem covariaveis, a estatıstica escore e dada por

S2 =

∑ni=1((yi − λ)2 − yi) − nλ2ω

λ

√

√

√

√n(1 − ω)

(

2 −λ2

eλ − 1 − λ

)

, (24)

em que λ e ω sao os estimadores dos parametros obtidos por maxima verossimilhancasob H0 (ou seja, sob o modelo ZIP) e n o numero total de observacoes.Assintoticamente, sob H0, a estatıstica S2 tem uma distribuicao Normal padrao.


4 Descricao do conjunto de dados

Os dados analisados neste trabalho foram gentilmente cedidos pelo professorD r◦ Francisco C hiaravalotti Neto, da Faculdade de M edicina de Sao J ose do RioPreto, e estao descritos em detalhes por Barbosa, (2006). Estes dados foram obtidospela coleta de ovos atraves de armadilhas de oviposicao (ovitrampa), em 100 casasdispostas numa area de 50 quadras.

A ovitrampa e uma armadilha de oviposicao, constituıda por um recipientepreto, de plastico, com a boca larga, onde e adicionado 500 ml de agua ou cha.Em seu interior, e colocada uma palheta de madeira compensada de 12, 5 cm por2, 0 cm, com uma face rugosa voltada para cima para facilitar a aderencia do ovocolocado pela femea do mosquito A. aegypti.

As quadras selecionadas para a realizacao das atividades, foram as maishomogeneas possıveis e sem a presenca de pontos estrategicos (locais com grandeconcentracao de recipientes, como borracharias, ferros velhos e etc). Em cadaquadra, duas casas foram escolhidas para a instalacao das armadilhas. Para que asarmadilhas apresentassem distribuicao uniforme na area, as casas foram selecionadasem faces opostas de cada uma das quadras, ora nas faces norte e sul, ora nasfaces leste e oeste. A variavel resposta ” numero de ovos” foi obtida pela coletaquinzenal, durante o perıodo de outubro de 2003 a setembro de 2004, totalizando2.600 observacoes do numero de ovos.

D ados desse tipo, em geral, apresentam uma variabilidade maior do que aesperada pelo modelo padrao (superdispersao) em funcao da presenca de excesso dezeros, por esse motivo, os modelos ZIP e ZINB foram propostos para abordar essesdados.

5 R esultados e discussoes

C onsiderando os modelos ZIP e ZINB dados pelas expressoes (2) e (7)e os estimadores de maxima verossimilhanca dados pelas equacoes (6) e (12),correspondentes aos modelos ZIP e ZINB, respectivamente, foram calculados osvalores das estimativas para esses dois modelos, considerando Yi, o numero de ovosdo mosquito A. aegypti para as 26 quinzenas. O processo iterativo para o calculodas estimativas dos parametros ω, λ e k teve como valores iniciais as estimativasencontradas atraves do metodos dos momentos. O calculo destas estimativas foidesenvolvido no programa M aple. Os resultados estao na Tabela 1.

As estimativas do parametro ω do modelo ZINB, sao sempre maiores ou iguaisas estimativas obtidas pelo modelo ZIP. As estimativas do parametro λ pelo modeloZIP sao sempre maiores ou iguais as estimativas do modelo ZINB. V erificandotambem, valores altos dessas estimativas nos dois modelos.

As medias estimadas pelo modelo ZIP e pelo modelo ZINB para todas asquinzenas, estao proximas da media amostral do numero de ovos. A diferenca entreas medias dos modelos ZIP e ZINB sao pequenas a menos da ultima quinzena, comopode ser verificado atraves da Figura 1.


Table 1 - Medidas Descritivas: Media Amostral (Y ), Variancia Amostral (S2), T amanh o d a amostra (n), N u mero d eO v os (n0), E sp e ranca (E(Y )), Variancia (V a r (Y )) e e stimativ as d os p arametros d os mod e los Z IP e Z IN B ,re sp ectiv amente , aju stad os p ara o nu mero d e ov os em cad a q u inz ena.

ZIP ZINB

Quin. Y S2

n n 0 ω λ E(Y ) V a r (Y ) E(Y ) V a r (Y ) ω λ k

1 7 ,5 3 6 3 ,2 9 6 6 6 0 ,3 1 2 4 ,1 7 ,5 1 3 2 ,0 7 ,5 3 1 8 ,2 0 ,3 3 2 2 ,8 0 ,82 1 7 ,1 8 5 7 ,7 1 0 0 4 2 0 ,5 8 2 9 ,5 1 7 ,1 2 2 9 ,5 1 7 ,0 8 9 4 ,8 0 ,6 3 2 7 ,0 0 ,63 4 ,4 9 5 ,5 9 6 5 5 0 ,4 2 1 0 ,3 4 ,4 3 0 ,4 4 ,3 1 0 2 ,4 0 ,4 2 1 0 ,3 0 ,64 5 ,3 1 7 5 ,0 9 9 7 0 0 ,2 9 1 8 ,2 5 ,3 7 3 ,6 5 ,2 0 1 8 5 ,3 0 ,3 2 1 6 ,2 0 ,65 1 2 ,6 7 2 5 ,4 9 6 6 2 0 ,3 5 3 5 ,6 1 2 ,6 3 0 1 ,7 1 2 ,6 6 7 5 ,0 0 ,3 6 3 5 ,0 1 ,16 2 1 ,5 1 2 8 2 ,4 9 7 3 9 0 ,5 9 3 6 ,1 2 1 ,5 3 3 6 ,5 2 1 ,3 1 0 9 8 ,1 0 ,6 1 3 4 ,9 0 ,97 2 5 ,2 8 7 7 ,5 9 7 1 6 0 ,8 3 3 0 ,2 2 5 ,2 1 5 4 ,3 2 5 ,1 1 0 1 7 ,7 0 ,8 8 2 8 ,5 0 ,78 3 3 ,9 2 0 3 7 ,0 9 9 2 2 0 ,7 7 4 3 ,7 3 3 ,9 3 7 1 ,8 3 3 ,1 2 0 3 8 ,7 0 ,8 0 4 2 ,0 0 ,89 3 0 ,7 1 2 0 3 ,9 9 6 3 1 0 ,6 7 4 5 ,4 3 0 ,7 4 8 7 ,5 3 0 ,7 1 4 1 3 ,9 0 ,6 8 4 5 ,2 1 ,41 0 2 3 ,4 1 0 5 4 ,3 9 7 2 4 0 ,7 5 3 1 ,1 2 3 ,4 2 0 5 ,0 2 3 ,3 1 1 2 8 ,5 0 ,8 1 2 8 ,8 0 ,61 1 3 3 ,8 1 6 9 6 ,1 9 9 1 6 0 ,8 3 4 0 ,4 3 3 ,8 2 6 3 ,9 3 3 ,4 1 9 8 1 ,8 0 ,8 8 3 8 ,0 0 ,71 2 3 3 ,2 1 7 8 4 ,7 9 7 1 4 0 ,8 5 3 8 ,8 3 3 ,2 2 2 0 ,3 3 3 ,1 1 6 2 4 ,4 0 ,8 9 3 7 ,2 0 ,81 3 2 1 ,7 1 4 8 5 ,9 9 7 2 7 0 ,7 2 3 0 ,1 2 1 ,7 2 0 5 ,5 2 1 ,5 1 4 1 8 ,8 0 ,8 9 2 4 ,2 0 ,31 4 3 3 ,0 1 5 8 1 ,0 9 9 1 6 0 ,8 3 3 9 ,3 3 3 ,0 2 5 1 ,5 3 2 ,6 1 6 1 6 ,8 0 ,8 6 3 7 ,9 0 ,81 5 4 2 ,5 2 8 7 2 ,8 1 0 0 1 2 0 ,8 8 4 8 ,3 4 2 ,5 2 8 9 ,3 4 2 ,1 2 9 5 9 ,8 0 ,9 2 4 5 ,8 0 ,71 6 2 3 ,3 1 5 1 2 ,2 9 9 3 1 0 ,6 8 3 4 ,0 2 3 ,3 2 7 4 ,6 2 3 ,1 1 9 1 2 ,3 0 ,6 8 3 4 ,0 0 ,41 7 1 6 ,8 8 4 6 ,6 1 0 0 3 5 0 ,6 5 2 5 ,9 1 6 ,8 1 6 9 ,6 1 6 ,5 9 5 0 ,0 0 ,6 6 2 5 ,0 0 ,51 8 5 ,0 1 5 1 ,3 1 0 0 6 0 0 ,4 0 1 2 ,6 5 ,0 4 3 ,5 4 ,8 1 5 1 ,9 0 ,4 0 1 2 ,1 0 ,51 9 1 8 ,2 1 3 5 4 ,7 9 9 4 3 0 ,5 6 3 2 ,3 1 8 ,2 2 7 5 ,3 1 8 ,0 5 6 1 ,2 0 ,5 6 3 2 ,2 2 ,02 0 1 4 ,6 1 0 6 9 ,4 1 0 0 4 8 0 ,5 2 2 8 ,0 1 4 ,6 2 1 1 ,5 1 4 ,4 9 3 1 ,2 0 ,6 3 2 3 ,0 0 ,42 1 1 1 ,4 5 7 9 ,7 9 4 3 9 0 ,5 8 1 9 ,6 1 1 ,4 1 0 5 ,2 1 1 ,3 4 6 0 ,6 0 ,7 5 1 5 ,0 0 ,42 2 7 ,4 3 6 2 ,9 9 9 6 5 0 ,3 4 2 1 ,7 7 ,4 1 1 3 ,8 7 ,3 3 6 7 ,9 0 ,4 1 1 7 ,9 0 ,42 3 9 ,5 4 2 3 ,8 1 0 0 3 4 0 ,6 6 1 4 ,3 9 ,5 5 5 ,9 9 ,3 3 6 9 ,9 0 ,9 4 9 ,9 0 ,22 4 4 ,2 2 2 1 ,8 1 0 0 7 2 0 ,2 8 1 5 ,0 4 ,2 4 9 ,7 3 ,9 9 9 ,1 0 ,2 8 1 4 ,1 1 ,02 5 1 ,7 6 5 ,0 9 9 8 0 0 ,1 9 9 ,1 1 ,7 1 4 ,5 1 ,7 4 8 ,7 0 ,1 9 9 ,1 0 ,42 6 6 ,8 2 8 6 ,4 9 5 5 7 0 ,4 0 1 7 ,0 6 ,8 7 6 ,1 2 ,5 1 6 8 ,1 0 ,4 1 1 6 ,2 1 ,1

108

Rev.Bras.

Bio

m.,

Sao

Paulo

,v.2

6,n.1

,p.9

9-1

14,2008

Figure 1 - Comparacao entre a media amostral, esperanca do modelo ZIP eesperanca do modelo ZINB

J a a variancia amostral do numero de ovos apresenta valores muito maioresdo que a media amostral, indicando assim uma superdispersao nos dados. PelaTab ela 1, pode-se ob servar que a variab ilidade do modelo ZINB acompanha quasesempre a variab ilidade dos dados, como pode ser verifi cado atraves da Figura 2 .No entanto, no modelo ZIP, as estimativas da variancia nao conseguem captar todaessa variab ilidade.

Figure 2 - Comparacao entre a variancia amostral, variancia do modelo ZIP e avariancia do modelo ZINB


5.1 Resultado do teste escore ZIP

Nesta Secao e feita uma aplicacao da metodologia descrita na Secao 4,aplicando teste escore aos dados do numero de ovos postos pelo A. aegypti.

Table 2 - Estatısticas do Teste Escore para o modelo ZIP (S1), calculada atravesda equacao(22).

Q uinzena Estatıstica Q uinzena EstatısticaEscore (S1) Escore (S1)

1 0, 15× 1020 14 0, 38× 104 2

2 0, 26× 103 6 15 0, 56× 107 8

3 0, 11× 1014 16 0, 71× 104 6

4 0, 17× 1016 17 0, 39× 103 5

5 0, 14× 1029 18 0, 27× 1015

6 0, 14× 104 4 19 0, 31× 103 8

7 0, 10× 104 9 20 0, 15× 103 2

8 0, 10× 108 2 21 0, 95× 103 1

9 0, 36× 106 5 22 0, 10× 1020

10 0, 33× 104 6 23 0, 27× 1022

11 0, 13× 106 4 24 0, 14× 1014

12 0, 60× 106 2 25 0, 15× 109

13 0, 71× 104 3 26 0, 36× 1018

O percentil da χ2(1) , considerando o nıvel de 5% de significancia, tem valor

crıtico do teste igual a 3, 84 e, observa-se na Tabela 2 que, para todas as quinzenasos valores obtidos atraves da estatıstica escore S1 sao bem maiores que o valorcrıtico, rejeitando a hipotese nula H0 : θ = 0. Pode-se concluir que o modeloPoisson Infl acionado de Zeros e mais apropriado do que o modelo Poisson padrao,que e a distribuicao sob a hipotese nula para estes dados.

5.2 Resultado do teste escore ZIN B

Esta Secao traz uma aplicacao referente a metodologia descrita sobre o TesteEscore ZINB apresentado na Secao 4 para verificar a suposicao de que o modeloZINB e mais apropriado para ajustar o numero de ovos do que o modelo ZIP.

Para cada quinzena do numero de ovos, foi calculada a estatıstica escore para omodelo ZINB, considerando as estimativas dos parametros λ e ω, dados na Tabela 1.

Para todas as quinzenas os valores obtidos atraves da estatıstica escore S2

sao bem maiores do que o percentil da Normal (0, 1) para um nıvel de 5%de significancia, cujo valor crıtico e 1, 64 (pois o teste e unilateral), rejeitandofortemente a hipotese nula H0 : lim

α→0α.

Conclui-se que o modelo Binomial Negativa Infl acionado de Zeros, neste caso, emais apropriado do que o modelo Poisson Infl acionado de Zeros, que e a distribuicaosob a hipotese nula.


Table 3 - Estatısticas do Teste Escore para o modelo ZIP (S2), calculada atravesda equacao(24).

Quinzena Estatıstica Quinzena EstatısticaEscore (S2) Escore (S2)

1 43,44 14 26,892 45,35 15 66,193 29,54 16 69,994 34,98 17 58,625 29,55 18 38,006 47,92 19 75,157 14,82 20 77,628 42,71 21 67,899 27,50 22 46,4110 39,23 23 57,3911 30,32 24 52,6012 49,91 25 38,3413 95,31 26 46,16

5.3 Analise grafica

Com o objetivo de verificar qual modelo representa melhor o numero deovos postos pelo A. aegypti, entre os modelos ZIP e ZINB, foi utilizada umaimplementacao grafica para analisar o comportamento destes modelos comparadoscom os valores observados do numero de ovos.

A partir das estimativas dos parametros dos modelos ZIP e ZINB dadosna Tabela 1, foram construıdos os graficos destas distribuicoes, na forma dehistogramas, das 26 quinzenas, que foram sobrepostos aos histogramas dos dadosobservados do numero de ovos, em cada quinzena. D esta forma, foram construıdos26 graficos, e para ilustrar esta comparacao, as Figuras 3 e 4 trazem os histogramasdos modelos ZIP e ZINB e o histograma dos valores observados do numero de ovosdas quinzenas 7 e 12 respectivamente. Para as outras quinzenas, o comportamentofoi semelhante as quinzenas que foram ilustradas.

Nota-se que nos histogramas dos valores observados do numero de ovos, paratodas as quinzenas, ex iste uma grande variabilidade que os modelos ZIP e ZINB naoconseguem acompanhar, como foi visto nos resultados apresentados na Tabela 1.No entanto, o modelo binomial negativo inflacionado de zeros (ZINB), mostra umasemelhanca maior com o comportamento dos histogramas dos dados do numero deovos, comparativamente com o modelo Poisson inflacionado de zeros (ZIP), comofoi verificado atraves da variabilidade observada na Figura 2 e pelos Testes Escores.analise das medidas descritivas nao e suficiente para direcionar

Conclusao

Neste trabalho foi apresentado o desenvolvimento analıtico dos modelos


Figure 3 - Histograma dos valores observados de numero de ovos e histogramas dosmodelos ZIP e ZINB a partir das estimativas da Tabela 1 da 7a Quinzena

Figure 4 - Histograma dos valores observados de numero de ovos e histogramas dosmodelos ZIP e ZINB a partir das estimativas da Tabela 1 da 12a Quinzena


Poisson Inflacionado de Zeros e Binomial Negativo Inflacionado de Zeros, e, combase nesses dois modelos, foram calculados alguns resultados importantes paradesenvolver os Testes Escores e fazer analisar graficamente os dois modelos paraa escolha de uma distribuicao adequada com o objetivo de modelar o numerode ovos postos pelo mosquito A. aegypti. Estes resultados, mostraram que omodelo ZINB mostrou-se mais adequado para explicar a variabilidade do numerode ovos, assim como foi comprovado atraves dos resultados dos Testes Escores.O objetivo a posteriori, e de modelar o numero de ovos do mosquito A. aegypti

atraves das variaveis explicativas climaticas como pluviosidade, temperatura eumidade, considerando que a variavel resposta seguira o modelo ZINB. E importanteressaltar que este estudo compreende uma primeira tentativa de modelagem donumero de ovos do A. aegypti como forma de entender o processo de propagacaodo mosquito, e, subsequentemente, o controle do mosquito e da doenca. Nao foiencontrado na literatura nenhum outro trabalho que buscasse a modelagem destavariavel como ferramenta para o controle do mosquito. Entendemos que dada arecente proliferacao do mosquito e propagacao da doenca, faz-se necessario maioresforco de modelagem. Como ja comentado acima, pretende-se expandir este estudoconsiderando variaveis climaticas explicativas e dependencia temporal, alem de,posteriormente, procurar implementar uma analise espacial.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Prof◦.Dr◦. Francisco Chiaravalloti Neto e a AngelitaCarniel Barbosa pelo fornecimento dos dados.

NAG AM INE, C. M . L .; CANDOL O, C.; M OU R A, M . S. A. An application ofmodels for count data zero-inflated for modeling the number of eggs for the mosquitoA ed es aegypti. R ev. M at. E stat., Sao Paulo, v.26, n.x, p.97-114, 2008.

ABSTRACT: The dengue is a tropical disease transmitted by the female of the mosquito

Aedes aegypti, for w hich a v accine doesn’t ex ist. In countries as Braz il, the control of the

disease is made through the control of the mosquito. An important aspect of this control

is, undoubtedly, the understanding of the cycle of life of this mosquito. Therefore one of

the main objectiv es of this w ork is to study the ov iposicao. In such w ay, is important to

understand details related to the amount of put eggs, in order to control the proliferation

of the mosquito. The aim of this w ork is to analyze the number of eggs of the mosquito

Aedes aegypti by means of models for count data. After the introduction of the statistical

models, w e w ill obtain max imum lik elihood estimates of the parameters to these models

and w e w ill check the hypotheses of interest using test score. W e w ill mak e a graphical

analysis to identify the behav ior of the models studied in order to v erify the adequacy

of these models subject to the number of eggs of the mosquito Aedes aegypti.

K E Y W O RD S: E x cess of zeros; negativ e binomial; P oisson; dengue; max imum lik elihood

estimates; score test.


References

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Received in 25.10.2007.

Approved after revised in 20.04.2008.


a. aegypti -...

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