ค ายคณิตศาสตร บูรณาการ · 2010. 9. 18. · ค...

คายคณตศาสตรบรณาการ

วนท 18-19 กนยายน พ.ศ. 2553 ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยสงขลานครนทร

คายคณตศาสตรบรณาการ ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย ม.อ. ปตตาน

โครงการสนบสนนการจดตงหองเรยนวทยาศาสตรในโรงเรยน โดยการกากบดแลของมหาวทยาลย (โครงการ วมว.)

2

คายคณตศาสตรบรณาการ

หนา ทาไมตองคณตศาสตรบรณาการ 3 กระบวนการทางคณตศาสตรบรณาการ 6 โมเดลทางคณตศาสตรบรณาการกบธรรมชาต 7 เรยนรโปรแกรม GSP 22 สถตเบองตน และการวดคากลางของขอมล 49 หลกการคด ขนตอนวธ (Algorithm) 53 ไบโอนคส (Bionics) – เรยนรจากธรรมชาตเพอสรางเทคโนโลยใหม 71 ธรรมชาตกบคณตศาสตร – จากฟโบนชชสโครงสรางทางชววทยา 79 ปรชญาคณตศาสตรบรณาการสงทาย 87 โครงงานคณตศาสตรบรณาการ 88



3

ทาไมตองคณตศาสตรบรณาการ เกดคาถามมากมายเกดขนในประเทศไทย บางคาถามกตอบไดและหาทางออกได แตบางคาถามยงเปนปญหาใหกบการศกษาไทยอยมาจนถงปจจบนน เชน � ทาไมคนไทยสวนหนงไมชอบคณตศาสตร? � ทาไมการสอนคณตศาสตรจงนาไปสการใชประโยชนจรงไดนอยในเมองไทย? � มอะไรขาดหายไปในกระบวนการสอนคณตศาสตรหรอเปลา ขาดทมา และขาดทไป หรอไม? � ทาไมนกเรยน นกศกษา ถงพบปญหาการเรยนคณตศาสตรทวประเทศ? � ถงเวลาทจะคนหาคาตอบเหลานเพอดงศกยภาพทางคณตศาสตรในตวเราเองออกมาแลวหรอยง? � ตรวจเชคหรอยกเครองคณตศาสตรไดดวยตวเราเองหากคนพบสาเหตทแทจรง

กระบวนการทางคณตศาสตร การจาลองแบบทางคณตศาสตร

ในความเปนจรงๆ แลวคณตศาสตรไมไดโดดเดยวจากวชาอนๆ อยางทหลายๆ คนเขาใจ วาเรยนไปทาไม เรยนแลวไมไดใชประโยชนอะไร จะวาไปกเหมอนกบการทเราไมร คณประโยชนของพช แลวเรยกพชเหลานนวาวชพชนนเอง ทงๆทพชแตละชนดกมสรรพคณเปนของตวเอง นนคอหากเราไมทราบวาสงนนมประโยชนอะไรจงเปนการยากท อยากจะเรยนหากไมมปจจยอนมาบบบงคบใหตองเรยนร แตหากเมอทราบวาปวยเปนอะไรและตองการสมนไพรอะไรมารกษา แมวาจะหายากลาบากแคไหนกพยายามหาจนได คณตศาสตรกเชนเดยวกน การจะบอกวาเรยนไปทาไมกเพราะวาเรายงรไมเพยงพอทจะบอกวาแททจรง แลวประโยชนในการนาไปใชนนมอะไรบาง



4 จากภาพดานบนนนผมเอามาฝากไวเพอใหเราทกคนลองทบทวนดนะครบ วา ตวคณตศาสตรไมไดอยโดดเดยว ซงการสอนคณตศาสตรของเราไมวาจะเปนมาในอดตหรอปจจบน ตลอดจนอนาคต สวนหนงเราสอนหรอเรยนรกนในกลองสแดง นนคอ เรามาเรมกนทวา โจทยขอนเราจะแกกนอยางไร ซงจะเปนแบบนสวนใหญ นนคอเมอครใหโจทยมา เราจะทราบวาโจทยนจะใชวธการอยางไรแลวแกโจทยจนไดคาตอบออกมาแลวก ขดเสนใตสงครกนแคนน ซงโจทยลกษณะนขอใหทราบไววา กอนจะมาเปนโจทยนน มทมาอยางไร แลวเมอแกโจทยแลวไดคาตอบแลว คาตอบนนเอาไปอธบายหรอทาอยางไรตอไป ดงนนเมอผเรยนพบโจทยกขอใหรวาโจทยตวอยางนมทมาอยางไร ตรงกบการอธบายในธรรมชาต ของพฤตกรรมของอะไรบาง หรอปรากฏการณอะไร ซงโจทยเหลานนอาจจะอยในรปสมการในรปแบบตางๆ ไมวาจะเปนสมการเชงเสน เอกโพเนนเชยล ลอการทม ตรโกณมต สมการเชงอนพนธ สมการเชงปรพนธ หรอวาระบบสมการเชงเสน หรออนๆ เมอทราบวา โจทยแตละขอมทมากจะทราบวาการแกโจทยเหลานจะแกปญหาอะไร ในสวนนทาไดทงสองสวนคอผสอน แนะนาเบองตนใหทราบทมาวา การแกโจทยเหลาน โจทยเหลานมทมาอยางไร แลวไดคาตอบแลวคาตอบอธบายอะไรในแตละบรบท ในขณะเดยวกนผเรยนเมอไดรบโจทยก ควรจะเขาใจเชนกนวา โจทยนมทมา มนนาจะอธบายปญหาอะไรในธรรมชาต แลวเมอแกสมการแลวไดคาตอบ คาตอบนเราจะอธบายใหคนทวไปเขาใจอยางไร

การเรยนคณตศาสตรจงจาเปนตองเหนภาพรวมทงหมดตงแตเหน ธรรมชาต ตลอดจนแปลงปญหาในธรรมชาตใหเปนปญหาทางคณตศาสตร แลวแกปญหาทางคณตศาสตรเพอใหไดคาตอบ เมอไดคาตอบกอธบายคาตอบในรปแบบตางๆ เพอใหงายตอการเขาใจ มการตรวจสอบคาตอบจากสมการทมวาถกตองหรอไม หากไมถกตองแลวกตองทบทวนอกครง หากคาตอบ ใชไดจรงแลวกนาไปสการใชงานตอไป ดงนนเมอเราพบโจทยในวชาคณตศาสตรทขนวา จงหานน จงหาน กขอใหทราบวา เรากาลงทากระบวนการขอท 4 อยในกระดานดาขางบนนนเอง จะทาใหวชาคณตศาสตรไมหลดโลกโดดเดยวและนาไปใชประโยชนไดจรง

ดงนนตอไปนการเรยนวชาคณตศาสตร จาเปนตองบรณาการรวมเขากบวชาอนๆ มนเรมทใจของเราเปนจดแรกทจะเปดรบวชานใหเหนวามอยใน ธรรมชาตจรง เมอเหนโจทยผมจงบอกผเรยนร วา

มองใหออก บอกใหได ใชใหเปน เหนความจรง จะเหนวาหลายๆ หลกสตรในปจจบนไดมการตดวชาคณตศาสตรออกไปดวยความไมรหรอดวย ความรเทาไมถงการณของคนสรางหลกสตรกไมแนใจครบ แตผมคดวาเรองนนาจะมการทบทวนไมอยางนน อนาคตขางหนาประเทศไทยอาจจะวกฤตไดไมทางตรงกทางออมครบ จรงๆ แลวคนเขยนหลกสตรควรจะลงไปสอนวชาตางๆ นนดเพอจะไดรวาควรจะวางแนวทางอยางไร ใหสอดรบกบ กระบวนการจรงๆ และตอบโจทยความตองการของสงคมและประเทศชาตจรงๆ จงมาจบกบคาถามสดทายวา เราจะมการศกษาในหลกสตรนนเพออะไร?



5 การอนรกษสมนไพรไทยจงไมเกดหากคนไทยไมทราบวาสมนไพรนนม สรรพคณประโยชนอะไร และถงแมวาเราจะทราบวาสมนไพรนนมประโยชนอะไร แตหากเราปลอยปละละเลยในคณประโยชน สงนนกอาจจะหายไปได ในขณะเดยวกนวชาคณตศาสตรกจะไรคาเชนกน หากเรามองไมเหนวามน มทมา ทอย และทไปอยางไร กยากทจะเขาถงได แตหากเราทบทวนตวเราเองแลวคนหาจดบอดของเราเอง เรากจะพบวาสงเหลานแกไขไดแลวจดประกายใหมศกยภาพไดเชนกน มนอยทตวเราเองเปนสาคญ อยทวาเราจะละเลยหรออยรวมกนมนอยางเหนใจกน สงทผมพดมานไมไดหมายความวาผมเกงคณตศาสตร แตจะบอกวาคนเราชอบไมเหมอนกน แต สงทไมไดชอบเปนพเศษไมไดหมายความวาเราเรยนรสงเหลานนไมได ดนครบ.....

ดวยเหตทกลาวมาแลวนจงอยากใหเราทบทวนเพอทาความเขาใจกบ คณตศาสตรเพอการเรยนรตอยอดตอไปทถกตองและนาไปสการประยกตใช งานคณตศาสตรไดอยางมคณคา หากมปญหาทพวกเราและทมงานพอจะชวยได ถามไดเมอเจอครบ เจอกนทคลนกคณตศาสตรครบ คลนกคณตศาสตรอยทใด ไมไดอยทโรงพยาบาลนะครบ แตอยทใจของเรานละครบ วาจะกลาถามคณหมอในตวเราและคนรอบขางทเราอยากจะถามคณตศาสตรเหลานน ครบ ดงนนทกคนจะเปนหมอไปดวยในตวในสงทเรารเพอนาไปสการปพนฐาน ทสาคญตอไป เมอเรามปญหาเราถามคนทรในดานนนเรากจะเขาใจและเปนหมอใหคนอนๆ ตอไปเชนกน

สดทายจะฝากไววา หนงปญหาอาจจะทาใหเกดหลายๆ สมการ หนงสมการคณตศาสตรอาจจะมาจากหลากหลายปญหา และหนงปญหากอาจจะมไดหลายเสนทางสคาตอบ การเปดอสระสเสนทางการเรยนรผเรยนจาเปนตองคนหาวธการเรยน ใหตรงกบจรตของตนเอง (จาก http://www.schuai.net/MathClinic/)

เพราะมมมองทตางกน จงจาเปนตองบรณาการรวมกน

อ. สมพร ชวยอารย



6

กระบวนการทางคณตศาสตรบรณาการ อ. สมพร ชวยอารย

ตวเราเปนสวนหนงของธรรมชาต เราจาเปนทจะฝกฝนตนเองใหเหนธรรมชาตสวยงาม เหนความหลากหลายในธรรมชาต เมอเหนธรรมชาต เขาถงกระบวนการคดของธรรมชาตจะทาใหเราเขาถงกระบวนการทางคณตศาสตรมากขน คณตศาสตรเกดขนมาเพออธบายสงตาง ๆ ในธรรมชาตใหเขาใจงายมากยงขน เมอเราเหนธรรมชาตกเหนคณตศาสตร เหนตวเรา เมอเหนคณตศาสตรกเหนธรรมชาต เหนตวเรา เมอเหนตวเรากเหนคณตศาสตร เหนธรรมชาต สามเหลยม สามมมนจาเปนทจะตองเชอมโยงถงกนแลกเปลยนซงกนและกนเพอใหกระบวนการทางคณตศาสตรบรณาการสมบรณมากยงขน ดงคากลาวทวา

รเขา รเรา เขาใจรอยครง สขใจรอยครง

จงยกตวอยางปญหาทเชอมโยงระหวางธรรมชาต คณตศาสตรและตวเรา

คณตศาสตร

ธรรมชาต

ตวเรา



7

โมเดลทางคณตศาสตรบรณาการกบธรรมชาต ตอไปนจะยกตวอยางความสมพนธระหวาง ธรรมชาต คณตศาสตรและตวเรา เพอใหนกเรยนเชอมโยงและเหนความสาคญของคณตศาสตร คณตศาสตรและดอกไม

คณตศาสตรกบดอกไม



8 คณตศาสตรและภเขาชมทอง

ฟงกชนพหนาม (Polynomial Functions)

∑=

−=n

i

ini xaxf

0)(

ฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric Functions)

( θ ( α



9 คณตศาสตรและแผนทปลา



10 คณตศาสตรและนกบน

Initial value t=0 r1=100 r2=80 r3=20 Animation a=0.3-0.9cos(t) b=(-1)*0.2-0.8cos(t-1) c=(-1)*0.4-cos(t-1.4) x0=250 y0=150-r1*cos(t)/10 x1=r1*cos(a); y1=r1*sin(a); x2=r2*cos(b);y2=r2*sin(b) x3=r3*cos(c);y3=r3*sin(c);



11 คณตศาสตรและการไถพรวนดน



12 คณตศาสตรกบการสรางรงของนก



13 คณตศาสตรกบการกางและหบของใบไมยราพ



14 คณตศาสตรกบการจดเรยงใบของตนไม



15 คณตศาสตรกบนากลงบนใบบว



16 คณตศาสตรกบการกรดยางพารา

http://www.rubber.co.th/knowledge_1b.html



17 คณตศาสตรกบตนมะพราว



18 คณตศาสตรกบเนอกง หอย ป ปลา

http://t2.gstatic.com



19 คณตศาสตรกบขนมไทย

http://t2.gstatic.com



20 คณตศาสตรบรณาการกบธรรมชาต จะเหนวาจากตวอยางตาง ๆ ทไดนาเสนอมาแลว เปนตวอยางทอยใกลตวเราและเชอมโยงกบคณตศาสตรในระดบพนฐานและการประยกตใชในขนสง ทกสงทเหนเปนรปรางทางกายภาพกจะเชอมโยงกบเรขาคณต สมการภาคตดกรวยพนฐานและการผสมกนของฟงกชนหลาย ๆ ฟงกชน เชน ฟงกชนพหนาม ฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ฟงกชนลอการทม และฟงกชนอน ๆ สาหรบสงทมองไมเหนอาจจะไดแก พฤตกรรมตาง ๆ ทเปลยนแปลงไปตามเวลา กจะอยในรปแบบของการวดคา ประมาณคา เพอหาคาเปนตวเลขเพอนาไปสการประมาณคาตาง ๆ เพอจะอธบายไดเปนโมเดลทางคณตศาสตรทจะอธบายถงพฤตกรรมนน ๆ ตวอยางอน ๆ เกยวกบคณตศาสตรบรณาการ ใหผเรยนลองคดดวาจะเชอมโยงกบคณตศาสตรในเรองใด อยางไร

1. ลมหายใจเธอคอลมหายใจฉน ลมหายใจเราสองเปนของกนและกน 2. การแพรความรอนของกระทะและไขดาว 3. การกระจายของอากาศเยนในหองปรบอากาศ 4. สายใยอาหารในสระนาจด หวงโซอาหาร 5. เกษตรกรเลยงกง หอย ป ปลา จะขายไดเมอไร เวลาใดทเหมาะสมทไดประโยชนทงผผลตและผบรโภค 6. การเคลอนทของปลาตนบนผวทะเลโคลน 7. การประมาณการสะสมของตะกอนบรเวณปาชายเลนหลงคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย 8. การกดเซาะบรเวณชายฝงอาวไทยทงประเทศ 9. การคาดการณนาทวม แผนดนถลม พนทฝนตกในประเทศไทยรายวน 10. การทานายทศทางของพายเพอการเตอนภย 11. การทานายการเปลยนแปลงของพฤตกรรมของสงมชวตทามกลางภาวะโลกรอน 12. การอธบายพฤตกรรมการแสวงหาผลประโยชนตวเรา 13. สมการภาวะทางอารมณ การสบฉดโลหต การเตนของหวใจของตวเรา 14. สมการการยมสยาม 15. สมการโยคะ 16. สมการการเลอยของยอดตาลง 17. สมการตมไขใหเปนยางมะตม 18. สมการวเคราะหการเดน 19. สมการใจเธอใจฉน บรณาการใจกนของสองเรา 20. สมการรกเธอประเทศไทย 21. อน ๆ



21

คณจะจบหลกสตรสมนไพร กตอเมอ เขาไปในปาแลวไมพบวาพชชนดใดไรสรรพคณ

คณจะจบหลกสตรคณตศาสตรบรณาการ กตอเมอ

คณมองสงตาง ๆ พบวาไมมอะไรทอธบายดวยคณตศาสตรไมได



22

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) อ. อารนา ฮะซาน

การเขาโปรแกรม GSP

คลก

แถบเมน แถบชอเรอง

พนททางาน

แถบเครองมอ



23

แถบเมน แฟมใหม เปนคาสงสาหรบเปดหนาเอกสารใหม เปด... เปนคาสงเพอเปดไฟลทมอยในเครองคอมพวเตอร บนทก เปนคาสงทใชเมอตองการบนทก บนทกแฟม… เปนคาสงทใชเมอตองการบนทกเอกสารตามเงอนไขตางๆ ปด เปนคาสงปดหนาตางเอกสารปจจบน ทางเลอกเอกสาร... เปนคาสงใชจดการเกยวกบหนาเอกสาร ตงคาหนากระดาษ... เปนคาสงทใชจดขนาดของกระดาษทตองการใชในการพมพ ตวอยางกอนพมพ... เปนคาสงทใชแสดงตวอยางเอกสารกอนพมพ พมพ... เปนคาสงทใชเมอตองการพมพงาน จบการทางาน เปนคาสงทใชเมอตองการออกจากโปรแกรม

1. เมนแฟม



24 ทางเลอกเอกสาร เปนคาสงกาหนดคณสมบตของเอกสาร

สาหรบจดการเกยวกบ • หนาของเอกสาร - เพม/ลบ/เปลยนชอหนาของเอกสาร • เครองมอสรางเอง - สรางเครองมอสาเรจรปขนเอง



25 ยอนกลบ เปนคาสงทใชเมอตองการกลบไปยงงานทแกไขครงลาสด เลกทายอนกลบ เปนคาสงทใชสาหรบเรยกวตถทถกใชคาสง ทายอนกลบ ไปแลว ตด เปนคาสงทใชในการยายงานไปไวทอน คดลอก เปนคาสงทใชในการคดลอกวตถ วางรป เปนคาสงทใชในการวางวตถ ลบลาง เปนคาสงทใชในการลบวตถ ปมแสดงการทางาน เปนปมทสรางขนสาหรบสรางคาสง ซงถากดปมนแลววตถจะมการแสดงออกตาม

ความตองการของปมแสดงทเลอกสราง เลอกทงหมด เปนคาสงทใชเลอกวตถในจอภาพทงหมด เลอกตวแม เปนคาสงทใชเลอกวตถพอแมของวตถทเลอก

พอแมของวตถ หมายถง วตถทกอกาเนดวตถนน เลอกตวลก เปนคาสงทใชเลอกลกของวตถทเลอก

ลกของวตถ หมายถง วตถทงหมด แยก / รวม เปนคาสงทใช แยก จดออกจากวตถทเปนพอแมของวตถนน หรอใช รวม จดท

ตองการกบจดอน แกไขขอกาหนด... เปนคาสงทใชแกไขนยาม ขอความหรอคาอธบายของสงทเลอก สมบต... เปนคาสงสาหรบเปลยนคณสมบตของวตถหนง คาพงใจ... เปนคาสงสาหรบเปลยนแปลงสงทตงคาไว (Preferences)

2. เมนแกไข



26 ปมแสดงการทางาน

• ซอน / แสดง คาสงนจะใชไดเมอเลอกวตถทตองการซอนหรอแสดงอยางนอย หนงสง

• การเคลอนไหว... เปนการสรางปมสาหรบแสดงการเคลอนไหวของวตถ คาสงนจะใชไดเมอเลอกวตถทสามารถเคลอนไหวได การเคลอนทของจดหรอวตถเกยวของกบการสราง คอ สามารถสรางจดบนเสน จดบนเสนรอบวง จดบนฟงกชน Plot ฯลฯ

• การเคลอนท คาสงนใชสาหรบการเคลอนยายจากจดหนงไปหาอกจดหนง โดยจะเคลอนยายเขาหาจดทเลอกจดทสอง และเคลอนยายในแนวเสนตรง

• การนาเสนอ... คาสงนใชสาหรบการนาเสนอวตถตางๆใหแสดงออกมาตามลาดบทเลอก หรอแสดงออกมาพรอมกน

• เชอมโยง... คาสงนใชสาหรบสรางปมเพอเชอมโยงกบหนาเอกสารอน หรอเชอมกบอนเทอรเนต URL

• เลอนหนาจอ... คาสงนใชสาหรบการเลอนหนากระดาษ โดยใหจดทเลอกไปอยมมบนซายมอของจอภาพ หรอศนยกลางของจอภาพ



27 คาพงใจ (Preferences) คาสงนใชในการเปลยนแปลงการตงคาตางๆ ทมผลตอการทางานของ sketchpad ตามปกตกลองโตตอบคาพงใจมสามแผงรายการ คอ แผงรายการหนวย, แผงรายการส และ แผงรายการขอความ

• คาพงใจหนวย แผงรายการนใชในการระบหนวยและความเทยง

ท sketchpad ใชในการแสดงคาการวด และการคานวณ ซงหนวยทกาหนดนจะใชกบการวดและการคานวณทงหมดในแบบราง สวนความเทยงใชกบการวดและการคานวณทสรางขนใหมเทานน หากตองการเปลยนแปลงความเทยงของการวดหรอการคานวณทสรางไวกอนแลว ใหเปลยนแปลงในสมบตของคา

เกรดนาร : ความแมนยากบความเทยง

ความหมายของความแมนยาและความเทยงของการวดใน Sketchpad

o ความแมนยา ของการวด หมายถง คาทวดไดใกลเคยงกบคาท “ถกตอง” ในอดมคตo ความเทยง ของการวด หมายถง จานวนของตวเลขหลงจดทศนยมทใชแสดงคา

บนหนาจอ

ความแมนยาของการวด และการคานวณของ sketchpad ขนกบความสามารถในการคานวณของคอมพวเตอร คาการคานวณเรมตนตามปกต มความแมนยาในระดบตวเลขทมนยสาคญ 15 หลก

ความเทยงของการวดทนามาแสดงผล ขนกบระดบความเทยงทเลอกไวในคาพงใจหนวย เวลาทแสดงผลตวเลข sketchpad จะปดคาทคานวณไดใหมความเทยงตามทกาหนดไว



28

• คาพงใจส แผงรายการนใชในการกาหนดเกยวกบการ

เปลยนแปลงคาพงใจส สทจะกาหนดใหแกวตถใหมโดยอตโนมต สพนหลง และสทเลอกใชในแบบราง ตลอดจนลกษณะการจางหายของรอย

• คาพงใจขอความ แผงรายการนใชในการกาหนดเกยวกบปายของวตถ และระบวาจะใหแสดง แถบรปแบบอกษร โดยอตโนมตหรอไม

เวลาทจะเปลยนแปลงคาพงใจ เราสามารถระบในตวเลอกทอยดานลางของกลองโตตอบวาสงทเราเปลยนแปลงน จะใชกบแบบรางปจจบนเทานน หรอแบบรางใหมเทานน หรอใชกบทงแบบรางปจจบนและแบบรางใหม เลอก... ใชกบ : แบบรางน เมอตองการใหการเปลยนแปลงมผงตอวตถทสรางใหมในแบบรางปจจบน เลอก... ใชกบ : แบบรางใหม เมอตองการใหการเปลยนแปลงมผลตอแบบรางใหมทงหมด (รวถงหนาวางทเพมในเอกสารปจจบนดวย)



29 เมนแสดงผลมคาสงเกยวกบการควบคมภาพทปรากฏของวตถดวยคาสงเหลาน ทาใหวตถมความสวยงามมากยงขน และยงชวยเพมประสทธภาพในการนาเสนอเนอหาทางคณตศาสตรทเกยวของ เชน การใชขนาดของเสนและสทเหมาะสม พรอมกบเลอก ซอน/แสดงวตถเมอเนนความสนใจไปยงจดสาคญตางๆ นอกจากน ยงสามารถสรางรอยตดตามการเคลอนท ซงจะชวยแสดงใหเหนภาพทเกดจากรองรอยของการเคลอนทไดอกดวย

3. เมนแสดงผล



30

• เสน เปนคาสงสาหรบการตงคา ขนาดของเสน ซงม 3 ขนาด คอ

เสนประ เสนบาง เสนหนา

เมอทาการเปลยนขนาดของเสนแลว ในการครงตอไปขนาดของเสนกจะเปนไปตามนนดวย

• สรางรอย (Trace) เปนคาสงสาหรบสงใหวตถทงรองรอยทางเดนของวตถทถกเลอก เมอเลอกใหวตถใดทงรองรอยทางเดน จะปรากฏ

หนาคาสง สรางรอย และถาตองการยกเลก ใหเลอกวตถนนอกครงแลวเลอก สรางรอย

• เคลอนไหว (Animate) เปนคาสงสาหรบทาภาพเคลอนไหวของวตถ เชน จด วงกลม ซงขนกบทางเดนของจดทเราทาการ เคลอนไหว การเคลอนไหวภาพมได 2 แบบ คอ การเคลอนไหวแบบอสระ และ การเคลอนไหวบนเสนทางเดนวตถ การใชคาสง เคลอนไหว ควรคานงดวยวาการเคลอนไหวนนจะเคลอนไหวตามความเปนวตถพอแม หรอวตถลก



31

เมนนจะมคาสงเกยวกบการสรางทางเรขาคณตทสาคญหลายประการ คาสงนสามารถทาไดเชนเดยวกบเครองมอวงเวยน และเครองมอวาดเสนในแนวตรง แตในเมนสรางจะใชงายและสะดวกรวดเรวกวาการใชคาสงตางๆ ในเมนกลองเครองมอ

4. เมนสราง



32 การสรางรปทรงตางๆ โดยใชเมนสราง สราง เลอก จดบนวตถ เลอกทางเดนตงแต 1 วตถขนไป : สวนของเสนตรง, รงส, เสนตรง, วงกลม

, สวนโคง, พนททถกแรเงา, แกน x , แกน y , เสนกราฟทเกดจากฟงกชน Plot Function หรอทางเดนของจด

จดกงกลาง สวนของเสนตรงตงแต 1 เสนขนไป จดตด สวนของเสนตรง, รงส, เสนตรง 2 เสน วงกลมหรอสวนโคง 2 สวนโคง สวนของเสนตรง ตงแต 2 จดขนไป รงส ตงแต 2 จดขนไป เสนตรง ตงแต 2 จดขนไป เสนขนาน จด 1 จดและวตถแนวตรง 1 เสน เสนตงฉาก จด 1 จดและวตถแนวตรง 1 เสน เสนแบงครงมม จด 3 จด วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและจดอน

จด 2 จด

วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม

จด 1 จดและสวนของเสนตรงหรอระยะทางทไดจากการวด

สวนโคงบนวงกลม วงกลม 1 วงและจด 2 จด หรอ จดศนยกลางของวงกลม และจด 2 จด

สวนโคงผานจดสามจด จด 3 จด บรเวณภายใน ...แลวแตวตถทเลอก... โลคส จด 1 จด (จดขบ) ทสามารถเคลอนทไดบนเสนทางและวตถ 1 วตถ (วตถท

ถกขบ) เปนวตถทเคลอนทตามจดแรกซงวตถนนจะเคลอนทไดจากจดแรก



33

บรเวณภายใน คาสงนจะปรากฏเปนคาสงใดคาสงหนงในสคาสงตอไปน ขนอยกบวตถทเลอก สราง เลอก

บรเวณภายในรปหลายเหลยม

จด 3 จดขนไป หรอรปหลายเหลยม

บรเวณภายในวงกลม

วงกลม 1 วงขนไป

บรเวณภายในเซกเตอรของสวนโคง

สวนโคง 1 สวนขนไป

บรเวณภายในเซกเมนตของสวนโคง

สวนโคง 1 สวนขนไป



34

โลคส ใน GSP โลคสเปนสงทแสดงใหเหนวา ขณะทจดจดหนงเคลอนทไปตามเสนทางหนง วตถทองอยกบหรอขนอยกบจดนน จะอยตาแหนงใดบาง ถาเราเรยกจดวา จดขบเคลอน เรยกวตถทองอยกบจดวา วตถทถกขบเคลอน โดยเคลอนไปตามเสนทางขบเคลอน ซงอาจกลาวไดอกอยางหนงวา โลคสเปนเซตของตาแหนงทงหมดของวตถทถกขบเคลอน ทปรากฏขนในขณะทจดขบเคลอนเคลอนทไปบนเสนทางขบเคลอน โลคสจะสรางจากการกาหนดตาแหนงของวตถ (วตถทถกขบ) ซงตาแหนงหรอรปรางของวตถนถกกาหนดดวยการเคลอนทของจดขบ ขณะทเคลอนไปตามเสนทาง วตถทสามารถสรางโลคสคอจดหรอวตถทเปนเสนในแนวตรง วงกลม สวนโคง หรอบรเวณภายใน จดขบตองเปนจดบนวตถ และเปนตวกาหนดตาแหนงของวตถทถกขบ หรออกวธหนง อาจเลอกจดอสระทกาหนดตาแหนงของวตถทถกขบเปนจดขบกได

ทงนทงนน ในการสรางโลคส ไมวาวธใดจะตองเลอกเสนทางทไมขนกบจดขบ เพอเปนเสนทางการเคลอนทของจดขบ

จดขบ : จดบนวงกลม วตถทถกขบ : จดบนสวนของเสนตรง

ผลลพธ : โลคสของจด

จดขบ : จดอสระ เสนทาง : สวนโคง วตถทถกขบ : สวนของเสนตรง

ผลลพธ : โลคสของสวนของเสนตรง



35

เมนการแปลง เปนเมนคาสงทเกยวของกบเรอง การแปลง (Transformation) ของวตถ ทางเรขาคณตโดยเฉพาะ ซงประกอบดวย การเลอนขนาน (Translate) การหมน (Rotate) การยอ-ขยาย (Dilate) การสะทอน (Reflect) และนอกจากน ยงสามารถทาซา (Iterate) วตถทตองการไดอกดวย

คาสงพนฐานของการแปลง คอ เลอนขนาน หมน ยอ/ขยาย และสะทอน คาสงเหลานใชในการสรางภาพของการแปลงวตถอยางนอย 1 วตถ การใชคาสงการแปลงจะตองมการระบวตถทเปนเสมอนกบเปนพารามเตอรทใชในการกาหนดการแปลงของแตละชนด ตวอยางเชน การระบจดศนยกลางการหมน มการระบจดทเลอกไวเพอเปนจดศนยกลางการหมน และการยอ/ขยาย คาพารามเตอรทระบไวยงคงใชอยตลอดไปจนกวาจะมการระบคาใหม การระบคาโดยวธลด ทาไดโดยการดบเบลคลกทจดทตองการเลอก เพอระบจดศนยกลางการหมน หรอดบเบลคลกทสวนของเสนตรงเพอระบเสนสะทอน

• ระบจดศนยกลาง จดทระบไวลาสดเปนจดศนยกลางการหมนหรอการยอ/ขยาย • ระบเสนสะทอน สวนของเสนตรง รงส เสนตรงหรอแกนทระบไวลาสดเปนเสนสะทอน • ระบมม จด 3 จด ทระบไวลาสด หรอ คาของมมทวดไวจะเปนขนาดของมมทใชหมน • ระบอตราสวน สวนของเสนตรง 2 เสน จด 3 จดทอยในแนวเสนตรงเดยวกนหรอคา

อตราสวนทวดไว จะระบเปนอตราสวนของการยอ/ขยาย • ระบเวกเตอร จด 2 จดทระบไวลาสดจะเปนจดเรมตนและจดปลายของเวกเตอรของการ

เลอนขนาน • ระบระยะทาง ระบคาทวดไวเพอใหเปนระยะทางในการเลอนขนาน

5. เมนการแปลง



36

เลอนขนาน... เลอนขนานวตถทเลอกไวโดยกาหนดหรอระบเวกเตอรเชงขวหรอเวกเตอรแบบมมฉาก

หมน... หมนวตถทเลอกไวตามขนาดของมมทกาหนดรอบจดศนยกลางทระบ ยอ/ขยาย... ยอหรอขยายวตถทเลอกไวตามอตราสวนทระบรอบจดศนยกลางทกาหนด สะทอน สะทอนภาพของวตถทเลอกไวขามเสนตรง รงส สวนของเสนตรง หรอแกนท

ระบเปนเสนสะทอน o ทาซา... การสรางหรอการทาซาทขนอยกบการเลอกจดอสระและคาพารามเตอร

หลายคา



37

เมนการวด ใชในการคานวณหาระยะทาง หาพกด หาคาของฟงกชน หามม หาพนท หาสมการ และหาความชนของเสนตรง

ชอเมน การใชงาน การเลอก ความยาว วดความยาวของสวนของเสนตรง สวนของเสนตรง ระยะทาง วดระยะทาง จด 2 จด, จด-เสนตรง เสนรอบรป วดเสนรอบรป รปทรงปด,พนทสวนวง เสนรอบวง วดเสนรอบวง วงกลม มม วดมม จด 3 จด พนท วดพนท รปปด, วงกลม มมของสวนโคง วดมมทรองรบสวนโคง สวนโคง ความยาวของสวนโคง วดความยาวของสวนโคง วงกลมหรอสวนโคง รศม วดรศม วงกลมหรอสวนโคง อตราสวน วดอตราสวน สวนของเสนตรง 2 เสน หรอ จด 3 จด

ทอยในแนวเสนตรงเดยวกน

6. เมนการวด



38 สมบตของการวด การใชคาสงในเมนการวดจะตองมการเลอกวตถทจาเปนตองใชตามเงอนไขกอน ถาคาสงทตองการใช ปรากฏเปนสเทาใหตรวจสอบอกครงวาไดเลอกวตถทจาเปนตองใชครบแลวหรอไม (เฉพาะวตถทจาเปนเทานน) เสนสถานภาพ (อยตรงลางสดของแบบราง) จะอธบายเลอกในขณะนน เกรดนารเกยวกบการวด o ตรวจสอบวาการวดนน ทางานกบวตถทตองการวดหรอไม โดยการลากวตถทวดไวแลวไปมา เพอ

เปลยนแปลงคาทวดไว o ควรเขยนปายขอความแสดงวาคาทวดนนคอคาใด โดยใช เครองมอสรางขอความ ดบเบลคลกคาทวดไว

บนแบบราง เพอเปลยนแปลงขอความบนปาย o เปลยนแปลงคาความเทยงจากการวด (จานวนทศนยมทแสดง) โดยเลอกคาสง

แกไข → สมบต → คา o เปลยนแปลงหนวยของมมและหนวยของระยะทางทวดไวในแบบราง โดยเลอกคาสง

แกไข → คาพงใจ → หนวย o ถาตองการเพมจานวนแถวในตาราง สามารถกระทาไดโดยเลอกคาสง

กราฟ → สรางตาราง เพอสรางตารางทมาจากการเลอกคาทวดไวแลวใหดบเบลคลกทตาราง

การคานวณใน GSP ชอเมน การใชงาน การเลอก คานวณ... ใชสาหรบเรยกกลองเครองมอสาหรบ

การคานวณ

พกด วดคอนดบของจด จดตงแต 1 จด พกดทหนง (x) วดคา x ของคอนดบ จดตงแต 1 จด พกดทสอง (y) วดคา y ของคอนดบ จดตงแต 1 จด ระยะระหวางพกด วดระยะทางระหวางจด 2 จด แตเปน

ระยะทางระหวางคอนดบ จด 2 จด

ความชน วดความชน สวนของเสนตรง, รงส, เสนตรงตงแต 1 เสน

สมการ วดสมการของเสนตรงหรอวงกลม เสนตรงตงแต 1 เสน



39 หนาตางการคานวณจะปรากฏขนมาเมอ o เลอกคาสง การวด → คานวณ ซงพรอมจะทาการคานวณตอไป o เลอกคาสง กราฟ → ฟงกชนใหม หรอ

เลอกคาสง กราฟ → เขยนกราฟของฟงกชนใหม ซงพรอมทจะสรางฟงกชนหรอเขยนกราฟตอไป



40

เมนกราฟเปนเมนทใชสาหรบสรางและจดการเกยวกบระบบพกด สรางพารามเตอร และฟงกชน หาอนพนธของฟงกชน ลงจด และเขยนกราฟของฟงกชน ตลอดจนการสรางตารางของคาของการวด เมนนมคาสงตางๆ ทเปนพนฐานสาหรบการศกษา และการทากจกรรมในพชคณตและเรขาคณตวเคราะห

กาหนดระบบพกด คาสงนใชสาหรบการสรางระบบพกดใหมน เปนระบบพกดททางานได ระบบพกดทสรางขน จะเปนแบบใด และมสเกลแบบใด ขนกบสงทเลอก

ระบระบบพกด คาสงนใชในการระบใหระบบพกดทสมพนธกบวตถทเลอก เปนระบบ

พกดทใชในการวด หรอเขยนกราฟของวตถใหม วตถทเลอก : แกนของระบบพกด จดกาเนด จดหนงหนวย วงกลมหนงหนวย หรอกรด

7. เมนกราฟ



41

รปแบบกรด ใชในการเปลยนแปลงลกษณะของกรดทปรากฏ และตงสเกลของระบบพกดทระบ

กรดเชงขว กรดจตรส กรดสเหลยมมมฉาก

1

0.5

0.5

1

1 1

1.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

1 2

4

2

-2

-4

0.5 1

แสดงกรด ใชสาหรบแสดงหรอซอนเสนกรดของระบบพกดทระบ

สแนพจด ใชเมอตองการสรางวตถใหตรงกบตาแหนงทอยใกลตาแหนงทจดจะ

กระโดดไป ทงนจะขนกบรปแบบกรดของระบบพกดทระบ

ลงจด... ใชในการลงจดตงแตหนงจดขนไป บนระบบพกดทระบ ณ ตาแหนงทพกดระบ



42

พารามเตอรใหม ใชในการสรางพารามเตอรใหมลงในแบบราง ซงสามารถใชพารามเตอรทงในการคานวณ ในฟงกชน และในการแปลงวตถ

การแกไขคาของพารามเตอรกระทาไดงายจงควรใชพารามเตอรในกรณทตองการตวเลขทแกไขเปลยนแปลงงาย

ฟงกชนใหม คาสงนจะแสดงหนาตางการกาหนดฟงกชน ซงสามารถใชในการสรางฟงกชนใหมในแบบราง ฟงกชนทสรางสามารถประกอบดวยคาคงตว การดาเนนการทางคณตศาสตร การวด การคานวณ และพารามเตอรทมอยในแบบราง ตลอดจนฟงกชนมาตรฐาน และฟงกชนทผใชกาหนดเอง



43

เขยนกราฟของฟงกชน ใชในการเขยนกราฟของฟงกชนทเลอกไวตงแตหนงฟงกชนขนไป หรอในกรณทจะเขยนกราฟของฟงกชนใหม โดยคาสงนจะแสดงหนาตางเพอใหกาหนดฟงกชนใหมกอนทจะเขยนกราฟออกมา

อนพนธ คาสงนใชในการสรางฟงกชนใหมทเปนอนพนธของฟงกชนทเลอก

โดยเทยบกบตวแปรอสระของฟงกชนนน

สรางตาราง คาสงนใชในการสรางตารางใหมสาหรบวตถทเลอก ซงวตถทเลอกตองมเฉพาะการวด การคานวณ พารามเตอร พกดจากการวดจากสมการเทานน ขอมลในตารางจะเปนคาจากการวด ณ เวลาหนงๆ

เพมขอมลในตาราง คาสงนจะแสดงกลองโตตอบเพอใหเราเพมแถวขอมลตงแตหนงแถวขน

ไปลงในตาราง ขอมลแตละแถวทเพมจะเปนคาของการวด (วตถ) ทนามาสรางตาราง โดยเปนคาทวดได ณ เวลาทเพมแถว คาสงเพมขอมลในตารางจะใชไดเมอมการเลอกตารางทสรางดวยคาสงสรางตารางเพยงอยางเดยวเทานน

ลบขอมลในตาราง คาสงนจะแสดงกลองโตตอบ เพอใหเราลบขอมลออกจากตารางได

คาสงนจะใชไดเมอมการเลอกแถวหนงแถวทสรางดวยคาสงสรางตาราง ซงสรางดวยคาสงทาซา ถาตองการเพมขอมลใหแกตารางทจากการทาซา ใหเพมระดบของการทาซาโดยใชสมบตของการทาซา (หรอโดยการเลอกตารางและกดแปน + )



44 แสดงเอกสารทกาลงใชงาน ใชสาหรบคนหาและวธใชโปรแกรม GSP

8. เมนหนาตาง

9. เมนวธใช



45

กลองเครองมอ

เครองมอลกศร เปนเครองมอทใชเลอก หรอไมเลอกวตถ ใชเคลอนท หรอลากวตถ เครองมอลกศร ประกอบดวย เลอนขนาน หมน ยอ/ขยาย

เครองมอลงจด เปนเครองมอในการสราง หรอเขยนจดอสระ จดบนเสนทาง และจดตด

เครองมอวาดวงกลม เปนเครองมอทใชในการสรางวงกลมทกาหนดดวยจดสองจด คอ จดศนยกลาง กบจดทวงกลมผาน จดทสองนบางครงเรยกวา จดรศม เพราะเปนจดกาหนดรศมของวงกลม

เครองมอวาดเสนในแนวตรง เปนเครองมอเขยนเสนในแนวตรง สรางวตถทเปนเสนในแนวตรง คอ สวนของเสนตรง รงส และเสนตรงแตละวตถทสรางดวยเครองมอน กาหนดดวยจดสองจด

เครองมอพมพขอความ เปนเครองมอสรางขอความ กระทาการตางๆ กบปาย และวตถอนทแสดงขอความ

เครองมอกาหนดเอง เปนเครองมอทเราสรางขนเอง หรอมผอนสรางให เมอสรางเสรจแลวกสามารถนามาใชสรางรปตางๆ ได



46 วธการสรางเทสเซลเลชน 1. สรางสเหลยมดานขนาน 1 รป C

A

D

B 2. สรางรปรางอสระทางดานซายของรปสเหลยม

โดยสรางจดอสระ 3 จดและสรางเสนเชอมจดทงสามจด ดงรป

C

A

D

B 3. เลอนขนานรปรางอสระไปทางดานขวาของรป

สเหลยม 1) คลกจด D และ C แลวไปท

เมนการแปลง → ระบเวกเตอร 2) เลอกรปรางอสระ แลวไปท

เมนการแปลง → เลอนขนาน 3) ในชอง เวกเตอรของการเลอนขนาน เลอก

ตามทระบ แลวกดเลอนขนาน

B

CD

A

4. สรางรปรางอสระทางดานบนของรปสเหลยม แลวเลอนขนานไปทางดานลางของรปสเหลยม C

A

D

B 5. สรางบรเวณภายในรปหลายเหลยม

โดยเลอกจดทกจด แลวไปท เมนสราง → บรเวณภายในรปหลายเหลยม

C

A

D

B



476. ซอนรปสเหลยมดานขนาน

C

A

D

B 7. เลอนขนานรปหลายเหลยมทงรปไปทางดานขวา

ของรปสเหลยม 1) ระบเวกเตอรจาก D → C 2) คลกเลอกรปทงหมด แลวไปท

เมนการแปลง → เลอนขนาน 3) คลกบรเวณภายในของรปทสองแลวเปลยน

บรเวณภายใน

C

A

D

B

8. ในทานองเดยวกน เลอนขนานรปหลายเหลยมจนไดภาพ tessellations ดงรป

ตวอยาง Tessellations



48



49

สถตเบองตนและการวดคากลางของขอมล อ. เมตตา กนง

คณลกษณะขอมล การวดคากลางของขอมลทไมไดแจกแจงความถ คาเฉลยเลขคณต (mean) คานวณไดจากการหารผลรวมของขอมลทงหมดดวยจานวนขอมล ดงสตร

∑=

=++++

=N

ii

N xN

xxxx1

321 ...µ หรอ ∑

=

=++++

=n

ii

n xn

xxxxx1

321 ...

µ คอ คาเฉลยเลขคณตของประชากร และ x คอ คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง N คอ จานวนจากประชากร และ n คอ จานวนจากตวอยาง มธยฐาน (median) คอ คาทมตาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด โดยเรยงลาดบขอมลจากคานอยทสดไปหาคามากทสด หรอ

จากคามากทสดไปหาคานอยทสด โดยทวไปถามขอมลม N คามธยฐานจะอยในตาแหนงท 2

1+N

เชน มธยฐานของขอมล 12, 13, 15, 17, 18 คอ 15

มธยฐานขอมล 60, 60, 60, 61, 62, 63, 63, 66 คอ 2

6162+

ฐานนยม (mode) คอ คาของขอมลทมความถสงสด หาไดจากการดวาขอมลคาใดจากขอมลทมอยทงหมดมความถสงสดหรอปรากฏบอยครงทสด เชน ขอมลของอายนกเรยนทเขาคายคณตศาสตร จานวน 15 คน มดงน 5, 8, 7, 6, 7, 8, 12, 11, 10, 11, 8, 6, 8, 7, และ 8 ป จะมธยฐาน คอ 8 ป คาเฉลยเรขาคณต การวดการกระจายของขอมล (measure of dispersion) โดยทวไปการวดการกระจายของขอมลนยมใชกนอย ม 4 ชนด คอ



50 พสย (range) คอ คาทวดการกระจายจากผลตางระหวางขอมลทมคาสงสดและคาตาสด ถา x1, x2, x3, …, xn เปนคาขอมลชดหนง พสยของขอมลนเทากบ

xmax - xmin

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) คานวณไดดงน

N

)x(N

ii∑ −

= =1µ

σ หรอ

21

2

µσ −∑

= =

N

xN

ii

โดยท µ แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร และ N แทนจานวนขอมลของประชากร ในกรณทใชขอมลตวอยางซงเปนตวแทนประชากร สวนเบยงเบนมาตรฐานคานวณไดจาก

11

−

∑ −= =

n

)xx(s

N

ii

หรอ 11

22

−

∑ −= =

n

xnxs

N

ii

โดยท x แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง และ n แทนจานวนขอมลของตวอยาง สวนเบยงเบนควอไทล (quartile deviation) คอ คาทใชวดการกระจายทหาไดจากครงหนงของผลตางระหวางควอรไทลทสาม (Q3) และควอรไทลทหนง

(Q1) ดงน 213 QQ −

สวนเบยงเบนเฉลย (mean deviation หรอ average deviation หรอ M.D.) คานวณไดจากสตร

M.D. n

xx

nxx....xxxx

n

iin

∑ −=

−++−+−= =121

การวดตาแหนงทของขอมล เปนวธการในการแบงขอมลออกเปนสวน ๆ เทา ๆ กน ซงจะตองมการเรยงลาดบขอมลจากคานอยทสดไปหาคามากทสดกอน จากนนจงหาตาแหนงของขอมลทตองการ และคาขอมล ณ ตาแหนงทคานวณได โดยทวไปนยมใชกนคอ ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล ดงน



51 ควอไทล (quartiles หรอ Q)

จะแบงขอมลออกเปน สสวนเทา ๆ กน ดงสตรคานวณตาแหนง 4

1 )N(iQi

+= เมอ i คอ ตาแหนงทควอร

ไทล และ N คอจานวนขอมลทงหมด เชน ขอมลปรมาณการสงออกขาวของไทย ไปยง 10 ประเทศ เรยงลาดบจากนอยไปมากเปน 20 22 42 95 156 255 270 316 389 และ 764 ดงนน

ควอรไทลท 3 จะอยในตาแหนง 2584

11033 .)(Q =

+= นนคอ Q3 อยระหวางคา 316 และ 389

ตาแหนงตางกน 9-8 = 1 ปรมาณการสงออกขาวเพมขน 389-316 = 73

ตาแหนงตางกน 8.25-8 = 0.25 ปรมาณการสงออกขาวเพมขน 25181

73250 ..=

× พนตน

นนคอคาท Q3 = 316+18.25 = 334.25 พนตน หรอ 334,250 ตน เดไซล (deciles หรอ D)

จะแบงขอมลออกเปน สบสวนเทา ๆ กน ดงสตรคานวณตาแหนง 10

1 )N(iDi

+= เมอ i คอ ตาแหนงทเด

ไซลและ N คอจานวนขอมลทงหมด เปอรเซนไทล (percentiles หรอ P)

จะแบงขอมลออกเปน หนงรอยสวนเทา ๆ กน ดงสตรคานวณตาแหนง 100

1 )N(iPi

+= เมอ i คอ ตาแหนงท

เปอรเซนไทล และ N คอจานวนขอมลทงหมด Try !! ฉนบนทกขอมลนาหนก สวนสง รอบเอวและรอบคอ ของเพอน ๆแลวจะอธบายอยางไรด

ตารางสรปคาทางสถต (numerical summaries)

ตวแปร Size (n) Mean S.D. Min Med Max กลมท 1 กลมท 2 กลมท 3 รวม



52

การนาเสนอขอมลดวยแผนภมกลอง (box plot) ประกอบดวยขนตอน ดงน 1. เรยงลาดบขอมลจากนอยไปหามาก 2. หาคาตาแหนงและคาของ มธยฐาน ควอรไทลท 1 (Q1) ควอรไทลท 3 (Q3) คา IQR (Q3-Q1) ตาแหนงมธยฐาน = ………………………………คามธยฐาน = …………………………….. ตาแหนง Q1 = ……………………………..Q1=……………………………………… ตาแหนง Q3 = ……………………………..Q3 = ……………………………………… IQR = Q3-Q1 = ………………………………………………………………………….. 3. หาคาขอบเขตลาง (lower fence) และ ขอบเขตบน (upper fence) จากสตร ขอบเขตลาง (lower fence) = Q1– (1.5 × IQR) = ……………………………. ขอบเขตบน (upper fence) = Q3 + (1.5 × IQR) = ……………………………. 4. พจารณาคาสงหรอตาผดปกต โดยพจารณาจาก คาทตากวาคาขอบเขตลาง (lower fence) และ คาทสงกวา

คาขอบเขตบน (upper fence) คาเหลานนเรยกวา คาผดปกต (outlier) นยมใช * เปนเครองหมายแทน 5. วาดแผนภมกลอง



53

ขนตอนวธการ (Algorithm) อ. สนนต ทองสนช

ขนตอนวธการ คอ ภาษาหรอเครองมอทใชแสดงขนตอนวธการประมวลผลหรอสงใหคอมพวเตอรทางาน เพอใหโปรแกรมเมอรนาไปแปลงเปนโปรแกรมคอมพวเตอร เปนเครองมอทนกวเคราะหหรอ นกออกแบบ โปรแกรมใชกอนทจะเขยนโปรแกรม 1. ขนตอนวธการโปรแกรมแกรม

ขนท 1 กาหนดวตถประสงคของโจทย ขนท 2 วเคราะหขอมลเขา หรอ input ขนท 3 กาหนดผลทจะแสดงหรอ output ขนท 4 กาหนดวธการประมวลผล หรอ ขนตอนวธการ

- รบขอมลเขาแบบไหน - การกาหนดคาเรมตน การประมวลผล การทาซาหรอวนรอบ - วธการแสดงผล - วธการจบหรอหยดการประมวลผล

ตวอยาง จงเขยนโปรแกรมหาผมรวมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร วตถประสงค หาผลรวมของคะแนนทงหมด Input คะแนนสอบ ผลลพธ คะแนนรวม การประมวลผล

1. อานคะแนนมาหนงคน 2. รวมคะแนน 3. ขอมลหมดหรอยง

- ถายงไมหมด กลบทาขอ 1 - ถาหมด แสดงคะแนนรวม

2. เครองมอในการเขยนขนตอนวธการ

1. ผงงาน 2. อลกอรทมหรอรหสเทยม



542.1 ผงงาน (Flow Chat)

คอแผนภาพทมการใชสญลกษณรปภาพ และลกศร แสดงขนตอนการทางานของโปรแกรมหรอระบบทละขน รวมไปถงแสดงทศทางการไหลของขอมลตงแตแรกจนไดผลลพธ

สญลกษณทใชและความหมาย สญลกษณ ชอเรยก ความหมาย เรมตนและลงทาย

(Terminal) จดเรมตนหรอสนสดของโปรแกรม

ประมวลผล (Process)

การประมวลผลหรอกาหนดคา

นาขอมลเขา/ออก (general Input/output)

อานหรอแสดงขอมลโดยไมระบอปกรณ

ทศทาง (flow line)

ทศทางการไหลของขอมล

การตดสนใจ (Decision)

การตรวจสอบเงอนไข เพอตดสนใจ

การทางานดวยมอ (manual Operation)

จดทตองทางานดวยแรงคน

เทปแมเหลก (Magnetic tape๗

นาขอมลเขาหรอออกดวยเทปแมเหลก

จานบนทกขอมล นาขอมลเขาหรอออกดวยจานแมเหลก

การนาขอมลเขาดวยมอ (Manual input)

จดทจะนาขอมลเขาดวยมอ

การแสดงผล (display)

แสดงผลทางจอภาพ

การทาเอกสาร (Documents)

ทาเอกสารหรอแสดงผลทางเครองพมพ

การเตรยมการ (preparation)

กาหนดชอขอมลหรอคาเรมตน

การเรยนโปรแกรมจากภายนอก

เรยกโปรแกรมยอยจากภายนอก

การเรยนโปรแกรมภายใน เรยกโปรแกรมยอยทอยในโปรแกรมน



55

เรมตน

READ SIDE1, SIDE2,

PRINT AREA

การเรยงขอมล (sort)

จดทมการเรยงขอมลใหมตามทกาหนด

จดเชอมตอ (connector)

จดเชอมตอผงงานทอยในหนาเดยวกน

จดเชอมตอหนากระดาษ เชอมตอผงงานทอยคนละหนากระดาษ

การตดตอทางไกล การตดตอหรอยายขอมลดวยระบบทางไกล

หมายเหต แสดงรายละเอยดเพมเดม

ตวอยาง จงเขยนผงงานแสดงการคานวณหาพนทสเหลยมคางหม จบ

AREA = ((SIDE1+SIDE2)*HEIGHT)/2



56

ตวอยาง จงเขยนผงงานแสดงประเภทของจานวนเตม X

เรมตน

อานคา X

yes

X > 0 พมพ Positive Number no

yes X = 0 พมพ Zero Number no พมพ Negative Number จบ

2.2 อลกอรทมหรอรหสเทยม

คอขนตอนวธการทใชในการออกแบบการทางานทางคอมพวเตอร นยมใชขอความภาษาองกฤษ และสญลกษณทางคณตศาสตรสอความหมาย นยมเขยนเปนขอ ๆ

คาทนยมใช Read อานขอมล Print พมพผลลพธ Input รบขอมลทาง keyboard Start เรม Stop หยด If … then… ถา........ แลว ....... begin … end เรม ... จบ Do While ทาซาขณะท ... For ทาซา Do Until ทาซาไปเรอย ๆ จน กระทง Goto กระโดดไปท



57 ตวอยาง จงเขยนลาดบขนตอนแสดงการคานวณหาพนทสเหลยมคางหม

1. Read SIDE1, SIDE2, HEIGHT 2. AREA = ((SIDE1 + SIDE2)*HEIGHT)/2 3. Print AREA 3 Stop

ตวอยาง จงเขยนลาดบขนตอนแสดงประเภทของจานวนเตม X แบบท 1 แบบท 2 1. Read X 2. IF X > 0 THEN

2.1 Print “Positive Number” 2.2 ELSE IF X = 0 THEN

Print “Zero Number” ELSE Print “Negative Number” ENDIF

3. STOP

1. Read X 2. IF X > 0 THEN Print “Positive Number”

ELSE begin IF X = 0 THEN Print “Zero Number” ELSE Print “Negative Number” ENDIF

End ENDIF 3. STOP

3. เทคนคในการออกแบบขนตอนวธการ

1. แบงงานเปนขน ๆ หรอ สวน ๆ 2. หาความสมพนธของงานจากขอ 1 3. หาวธการยอยในแตละขนในขอ 1 4. ตรวจสอบวธการ 5. ปรบปรงขนตอนวธการ



58

ตวอยาง โปรแกรมนบจานวนนกเรยนแยกตามเพศ ขนท 1 ขนท 2

1. อานขอมลเพศ 1 ตว 2. ตรวจสอบเพศ

- ถาชาย รวมชาย - ถาหญง รวมหญง

3. อานหมดยง ? - ถายง ไปทาขอ 1

4. แสดงผลจานวนนกเรยนชาย, นกเรยนหญง 5. จบ

สรป

1. อานขอมลเพศ 1 คา 2. ตรวจสอบเพศ 2.1 ถาเปนชาย เพมตวนบนกเรยนชาย 2.1 ถาเปนหญง เพมตวนบนกเรยนหญง 3. อานหมดยง ? 3.1 ถายงไมหมด กลบไปทาขอ 1 3.2 หมด ไปทาขอ 4 4. แสดงจานวนนกเรยนชาย, นกเรยนหญง 5. จบ

ขอมล คอ ขอเทจจรงทเราสนใจ อาจจะเปน จานวน เชน 12, 12.53, ‘A’ หรอ ขอความ เชน ‘สมรกษ’ ‘123’ ‘ยะลา’

ตวแปร คอ ชอทเราตงขนมาเพอใชอางขอมล



59

4. ตวอยางขนวธการทสาคญและความหมาย จดประสงคโจทย Algorithm ผงงาน

1. กาหนดคา X เทากบ 5 X = 5

2 อานหรอรบขอมลครงละคามาไวทตวแปร X

Read X Input X

3. อานหรอรบขอมลมาครงละ 1 คา แตอานพรอมกน 2 ตว มาเกบไวท X และ Y

Read X, Y Input X,Y

4. พมพหรอแสดงคาทเกบไวในตวแปร X

Print X

5 พมพหรอแสดงคาทเกบไวในตวแปร X ,Y

Print X, Y

6 พมพหรอแสดงคาทเกบไวในตวแปร X ,Y และ พมพขอความ “ X = “, “ Y =”

Print “ X = “,X, “Y = “, Y

7. คานวณ X = Y x Z X = Y * Z

8. เพมคา X อก 1 X = X + 1

9. หาผลบวกสะสมไว ของ X

sum = sum + X

10. เปรยบเทยบ X = 1 หากเปนจรง ให X = X*X

if X = 1 then X = X*X Endif

11. เปรยบเทยบ X = Y หากเปนจรง ให X = X*Y หากเทจ ให Y = X/Y

if X = Y then X = X * Y Else Y = X/Y Endif

Read X

X = 5

Read X, Y

Print X

Print X, Y

Print “X =”,X, “Y = “,Y

X = Y * Z

X = X + 1

sum = sum +X



60 5. ขนตอนวธการแบบโครงสราง ม 3 แบบ คอ 5.1 แบบเรยงลาดบ (Sequence)

: Statement 1 Statement 2 Statement 3 :

5.2 แบบเลอก (Selection) (Iteration or Loop) เลอก 1 ทาง (if … then…)

: if …. Then statement 1 endif

เลอก 2 ทาง (if… then .. else …)

: if ….. Then statement 1 else statement 2 end if :

Statement 2

Statement 3

T F

T F

Statement 1



61เลอกซอน (if… then .. else if…)

: if …. then statement 1 if ….. then statement 2 else statement 3 end if else statement 4 end if :

เลอกหลายทาง (select case)

: : Case …. Case1 : Statement 1 Case2 : Statement 2 Case3 : Statement 3 : Other Statement 4 End Case :

T F

T F

1 2 3 n



62 5.3 แบบทาซา Do While

: While do ……. Statement 1 Enddo :

Do Until

: do Statement 1 Until …. :

For Loop

: For index = Start to Stop [Step inc] do Statement End for :

F T

F

T

Index = Start

Index <= Stop

No

เพม Index

Yes



63 6. เทคนคในการจบโปรแกรม

6.1. นบจานวนตวแปร หรอ จานวนรอบ (Counter) ในการทางาน ตวอยาง โปรแกรมหาผลรวมของจานวนยกกาลงสอง 10 จานวน

เรมตน No Counter < 10 Stop Yes Read Number Print Ans

1. counter = 0 2. Ans = 0 3. if counter < 10 then Read number Ans = Ans+ Number ^ 2 Print Ans Counter = counter + 1 goto 3 else stop endif

คาถามท 1 1. จากขนตอนวธการขางบน เมอกาหนด Number = 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 แลวโปรแกรมจะพมพ อะไรออกมา ……………………………………………………………………………. 2. จากขนตอนวธการขางบน เมอกาหนด Number = 1 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 แลวโปรแกรมจะ พมพอะไรออกมา …………………………………………………………………………….

Counter = 0, Ans = 0

Ans = Ans +Number^2

Counter = counter = 1



64

6.2 ตรวจสอบขอมลตวสดทาย ตวอยาง โปรแกรมหาผลรวมของจานวนเตมบวกยกกาลงสอง

Start Read Number no Number <> 0 Stop Yes Print Ans Read Number

1. Ans = 0 2. Read Number 3. if Number <> 0 then Ans = Ans + Number^2 Print Ans Read Number Goto 3 Else Stoop endif

คาถามท 2 1. จากขนตอนวธการขางบน เมอกาหนด Number = 1 2 3 4 5 5 0 แลวโปรแกรมจะพมพอะไร ออกมา ……………………………………………………………………………. 2. จากขนตอนวธการขางบน เมอกาหนด Number = 1 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 แลวโปรแกรมจะ พมพอะไรออกมา …………………………………………………………………………….

Ans = 0

Ans = Ans +Number^2



65

6.3 เพมขอมลเพอตรวจสอบ ตวอยาง จงเขยนโปรแกรมนบจานวนนกเรยนแยกตามเพศ

Start Read name, sex, check Yes no Sex = ‘ช’ yes Check <> 0 no Print count_male, count_female Stop

1. count_male = 0 2. count_female = 0 3. Read name, sex, check 4. if check <> 0 then If sex = ‘ช’ then Count_male = count_male + 1 Else Count_female = count_female + 1 Endif Read name, sex, check Goto 4 endif 5. print count_male, count_female 6. End

Data : สมชาย ช 1 นาร ญ 1 มาเรย ญ 1 มานะ ช 0

Data : สมชาย ช 1 นาร ญ 1 มาเรย ญ 0 มานะ ช 0

ผลทพมพออกมาคอ ผลทพมพออกมาคอ

Count_male =0 Count_female = 0

Count_male = count_male + 1

Count_female = count_female + 1



66 6.4 แบบถามตอบ ถามผใชวาจะทางานตอไปหรอไม ตวอยาง จงหาจานวนทมากจากกลมจานวน 3 จานวน

1. max_number = 0 2. Ans = ‘y’ 3. if Ans = ‘y’ or Ans = “Y” then 3.1 Read number1, number2, number3 3.2 Max_number = number1 3.3 If max_number <= number2 then Max_number = number2 Endif 3.4 If max_number <= number3 then Max_number = number3 Endif 3.5 Print ‘Max of ’ , number1, number2,number3,’ is ‘, max_number

3.6 input ‘Do you want to continue ? (y/n) : ’ ,ans

3.7 goto 3 endif 4. end

Start Ans = ‘y’ or no Ans = ‘Y’ stop Yes Read number1,number2,number3 Max_number <= yes number2 no max_number <= yes number3 Print number1,number2, number3, Max_number Read Ans

ผลจากการทางานของโปรแกรม ขอมล : 1 2 3 Max of 1 2 3 is 3 Do you want to continue ? (y/n) : y ขอมล : 4 12 3 Max of 4 12 3 is 12 Do you want to continue ? (y/n) : n

Max_number = 0 Ans = ‘y’

Max_number = number1

Max_number = Number2

Max_number = Number3



67 6.5 ตรวจสอบตวจบไฟล ใชในกรณอานขอมลจากแฟมขอมล ตวอยาง จงเขยนโปรแกรมแสดงเพอนบจานวนพนกงานทอยในจงหวดปตตานจากแฟมขอมลประวตพนกงาน

1. num_of_emp = 0 2. open emp_history_file.dat 3. read emp_no, address 4. do while not EOF

4.1 if address = ‘ปตตาน’ then num_of_emp = num_of_emp +1 endif 4.2 read emp_no, address

enddo 5. print num_of_emp 6. close emp_history_file.dat 7. end

Start Read emp_no, address yes EOF ? No Print num_of_emp Address = “ปตตาน” stop read emp_no, address

emp_history_file.dat 123 ยะลา 124 นราธวาส 125 พทลง 126 ปตตาน 127 ยะลา 128 ปตตาน 129 นราธวาส

ผลทได คอ 2

Num_fo_emp

Num_of_emp = Num_of_emp



68 ฝกเขยนขนตอนวธการ

1 จงหาผลบวกจานวน a,b,c

2 จงหาผลบวกของจานวน a,b,c โดยใหอานครงละ 1 จานวน

3 จงหาผลรวมของจานวนจาก 1 -10

4 จงหาผลรวมของ 5+10+15+....+100



695 จงเขยนขนตอนวธการเพออานตวเลข 10 จานวน

แลวนบจานวนของเลขค

6 จงเขยนขนตอนวธการเพอเปรยบเทยบคาของจานวน a,b

7 จงเขยนขนตอนวธการเพอผลรวมของจานวน n จานวนใด ๆ

8 จงเขยนขนตอนวธการเพอหาคาเฉลยเลขคณตของจานวน n จานวนใด ๆ



709 จงเขยนขนตอนวธการหาความยาวของชอ

นกเรยนทอาน

10 จงเขยนตอนวธการเพอจานวนอกษร ‘t’ จากขอความทอาน 1 ขอความ

11 จงเขยนขนตอนวธการเพอนบจานวนสระแตละตวจากขอความทอาน

12 จงเขยนขนตอนวธการเพอหาผลรวมของเมตรกขนาด 3*3



71

ไบโอนคส (Bionics) – เรยนรจากธรรมชาตเพอสรางเทคโนโลยใหม อ. สมพร ชวยอารย

เทคโนโลยในปจจบนกาวหนาไปจากในอดตมากมายเกอบทกๆดาน มการนาความรในธรรมชาตมาปรบใชเพอใหเขากบบรบทของความเปนอยของคนในแตละพนท มสาขาหนงทเกดขนเรยกวา ไบโอนคส (BIONICS) โดยมการศกษาและเขาใจธรรมชาต ไมวาจะเปนทงการศกษาเชงโครงสราง (Structural study)และเชงบทบาทหนาทหรอกระบวนการทางาน (Functional study) ซงเปนการศกษาทครบทงกระบวนการ

ไบโอนคส เปนสาขาวทยาศาสตรทคอนขางใหม ซงคานเกดจากการผสมคาระหวาง ไบโอโลจ (Biology) หรอ ชววทยา และ อเลกทรอนคส (Electronics) หรอ เทคนค(ส) (Technics) อาจจะเรยกวาสาขาวชาชวประดษฐศาสตร เปนการนาหลกการชววทยามาเชอมความสมพนธกบเทคนคเชงวศวกรรมศาสตร สถาปตยกรรมศาสตร คณตศาสตรและคอมพวเตอร โดยมจดประสงคทจะนาวธการแกปญหาตามวถธรรมชาตเขามาประยกตใชในสาขาเทคนคเพอจะไดนาเอา “การคดคนของธรรมชาต” ทมมากวาหลายลานปมาใชใหเกดประโยชนสงสด ซงเชอวาธรรมชาตนนมววฒนาการเพอหาคาตอบทดทสด

แมวาคาวา “ไบโอนคส” เพงจะเกดขนเมอทศวรรษท 60 (ค.ศ.1958) แตการเรยนรจากธรรมชาตมประวตศาสตรยาวนานกวานนมาก มนษยใฝฝนและพยายามทจะบนใหไดเหมอนนกถงกบลงทนประดษฐปกตดแขนสองขางใหกระพอบนได หลายครงทการทดลองเลยนแบบเชนนจบลงดวยความลมเหลว จนกระทง ออตโต ลเลยนทาล (Otto Lilienthal ค.ศ 1891) กลายมาเปนมนษยคนแรกทบนไดสาเรจดวยการใชเครองรอน (รปท 1) จนถงยคปจจบน ไดมการนาหลกการไบโอนคสมาใชแกปญหาในศาสตรทกสาขา โดยมหลายสาขาทประสบความสาเรจอยางสง เชน การประดษฐเครองบนในรปแบบตางๆ การออกแบบรถยนตทมรปรางคลายปลา การออกแบบชดวายนาโดยเลยนแบบโครงสรางของผวของปลาฉลามซงวายนาเรวใหนกกฬาวายนาวายนาไดเรวขน และตวอยางอนๆ

รปท 1. การประดษฐเครองรอนสาหรบการบน (ภาพจาก [1])



72หลกการแปลงธรรมชาตสไบโอนคส จากสงทพบเหนในธรรมชาตถอไดวาเปนคาตอบทธรรมชาตสรางขนบนพนฐานของเหตผลทจะอยเพอตอบสนองในสงตางๆ อยางมประสทธภาพสงสด การแปลงธรรมชาตสเทคนคทาไดโดยการเปนคนชางสงเกตและเขาใจถงกระบวนการทางานของระบบชววทยาทมอยแลวในธรรมชาต เชอมโยงไปสหนาทเพอจะกาหนดการทางานเชงเทคนคของงานนนๆ โดยมการถายโอนหลกและกฎตางๆ ทสกดไดจากธรรมชาต และเชอมโยงจากโครงสรางทสมพนธกนสผลลพธเชงเทคนคเพอการพฒนาตอยอดและนาไปพฒนาเพอใชจรง (รปท 2)

รปท 2. แผนผงการแปลงธรรมชาตสไบโอนคส ตวอยางไบโอนคส - การนาความรจากธรรมชาตไปประยกตใช

การบน การลอยนา และการเคลอนทใตนา การศกษาวจยคณลกษณะและคณสมบตของนกกบปลาถอเปนการคนควาทสาคญในสาขาไบโอนคส

โดยเฉพาะในดานกลไกการขบเคลอน การยกตวและลอยตว ดานรปรางหรอรปทรง รวมทงลกษณะผวหนงของสตวเหลานน ธรรมชาตมทางออกมหศจรรยเสรจสมบรณอยในตวเองทมนษยไดนาไปใชจนเปนผลสาเรจในทางไบโอนคส เชน ระบบไฮโดร-แอโรไดนามค การออกแบบรปทรงกระสวยทลอยตามกระแสนาไดดจากตนแบบของนกเพนกวนเจนท (รปท 3)

รปท 3. เพนกวนเจนท (Pygoscelis papua), แมแบบของรปทรงกระสวยทลอยตามกระแสนาไดด รปจาก Luginsland, K., Landesmuseum für Technik und Arbeit, มนนไฮม ประเทศเยอรมน (ภาพจาก [2])



73การเคลอนทและการยดเกาะ

ในธรรมชาตมพชและสตวทเชอมโยงกบการเคลอนทและการยดเกาะของสงตางๆ สาหรบมนษยนนการประดษฐลอเปนวงกลมและหมนไดรอบเพลาถอเปนนวตกรรมชนสาคญ แตลอทสรางขนจาเปนตองมรางหรอถนนในการอานวยความสะดวกใหลอเคลอนหมนไปไดแตไมสามารถเคลอนทไดในพนทบรเวณโคลน ทราย นาแขงหรอหมะ ดงนนธรรมชาตจงใหขาเปนอวยวะในการเคลอนทสาหรบสตวและหนวดยดเกาะสาหรบพชเลอยบางประเภท นกประดษฐหนยนตแบบไบโอนคสจงศกษาวธการและการบงคบเครองมอในการกาว วงของธรรมชาตไปพรอมๆ กบอวยวะทใชในการจบยด เชน ขาของแมลง และนาความรทไดมาประยกตในการสรางเครองกาววง และเครองจบยดตางๆ เชน หนยนตปนปาย (Robug II) สามารถปนฝาผนงในแนวตงไดเหมอนจงจก (รปท 4) เพอตอบสนองในการเคลอนทในพนทพเศษ

การรบรและระบบสมผส

ระบบสมผสมความสาคญอยางมากในเทคโนโลยสมยใหมโดยเฉพาะอยางยงในระบบการทางานอตโนมต การวดและกฎตางๆ ธรรมชาตไดสรางระบบสมผสแบบนมากมายเชนระบบรบแสง เสยง และกระแสจากสนามแมเหลกหรอไฟฟารวมทงการสมผสและการสนสะเทอน มนษยมระบบสมผสทละเอยดออนนอยกวาสตวและเพอตอบสนองในสงทขาดหายไปของมนษย การวจยทางไบโอนคสในดานการรบรและระบบสมผสจงมความสาคญมากซงเปนประโยชนในอนาคตมากมาย เชนในการสอสารใตนา ปองกนอคคภยหรอในการตรวจสอบวสดโดยไมทาใหเสยหาย ตวอยางจากธรรมชาตทางดานการสมผส เชน อวยวะสมผสทเปนชองระหวางตาและจมกของงหางกระดง (Crotalus spec.) เปนระบบสมผสทใชในการมองเหนเหมอนกลองรงสอนฟราเรด (รปท 5)

รปท 4. หนยนตปนปาย Robug II สามารถปนฝาผนงแนวตงไดเหมอนจงจก (ภาพจาก [2])



74

การกอสรางและการออกแบบโครงสราง

โครงสรางของพชและโครงกระดกสตวนนธรรมชาตไดออกแบบมาเพอสรางความแขงแรงใหพชและสตวโดยมววฒนาการมาอยางยาวนานเพอใหมนาหนกและใชวสดนอยทสดเทาทจะเปนได มนษยพยายามนาคณสมบตเหลานมาใชในเทคนคการกอสรางเชนกน นอกจากนระบบชววทยายงโดดเดนดวยความลงตวของรปทรงและสสน โดยทางดานสถาปตยกรรมไดมการสรางพนผวอาคารทมคลนลอนคลายผวฟองสบ ฝาเพดานรปทรงอวนแห ตาขาย หรอตะแกรงดดโคง ซงลวนเปนคาตอบทางไบโอนคสทสวยงามและใชประโยชนไดเปนอยางด เชน โครงสรางนาหนกเบาในธรรมชาตจากกระดกตะคากของหมดา (รปท 6)

การใชประโยชนและการรกษา

ในสาขาโบโอนคสดานพลงงานและสภาพอากาศไดมการคนควาหาทางออกเพอใชทรพยากรในธรรมชาตทมอยอยางจากดใหเกดประโยชนสงสดและการเสาะหาพลงงานทดแทน โดยไดทดลองนาหลกการสงเคราะหแสงของพชไปใชในการพฒนาเซลลสรยะแบบใหมสาหรบการผลตกระแสไฟฟา เพอใหสอดคลองกบการสรางบาน

รปท 5. อวยวะสมผสทเปนชองระหวางตาและจมกของงหางกระดง (Crotalus spec.) เปนระบบสมผสทใชในการมองเหนเหมอนกลองรงสอนฟราเรด (ภาพจาก [2])

รปท 6. โครงสรางนาหนกเบาในธรรมชาต ดตวอยางจากกระดกตะคาก (กระดกเชงกราน) ของหมดา (Euarctos americanus) (ภาพจาก [2])



75ตามแนวคด “บานประหยดพลงงาน” โดยไดนาพลงงานแสงอาทตยมาใชเปนแหลงใหพลงงานอยางเตมท การคนพบกลไกการทาความสะอาดตวเองของใบบวหรอทเรยกวา “โลตสเอฟเฟค” กเปนความสาเรจทางไบโอนคสอกประการหนงทมสวนชวยในการประหยดนาและสารเคมทใชในการซกลาง

การประยกตใหเกดประโยชนสงสด การกอสรางทางเทคนคสวนใหญเกดขนจากการสรางเพอจดมงหมายขอใดขอหนงของมนษย แตโครงสรางของธรรมชาตกลบเกดจากการทดลองและการปรบปรงพฒนาจากความผดพลาด ซงเปนการเปลยนแปลงทเกดขนโดยบงเอญทละเลกทละนอยในพนธกรรมหรอทเรยกวาการกลายพนธ (Mutation) โดยจะถกรกษาไวหรอกาจดในกระบวนการคดเลอกพนธทางธรรมชาตแลวแตวาการกลายพนธจะมประโยชนในการมชวตรอดหรอไม การกลายพนธและกระบวนการคดเลอกทาใหเกดววฒนาการทเกดขนอยางตอเนองและนาไปสโครงสรางและกระบวนการทางชววทยาอนเกดประโยชนสงสดดวยกลยทธหรอทเรยกวา กลยทธววฒนาการ โดยจะชวยดดแปลงใหประดษฐกรรมทางเทคนคมคณภาพสงสด การดดแปลงประยกตใชจากธรรมชาตไดอยางกลมกลนนนจะเหนวาเปนการออกแบบใหไดผลดทสดในเรองตางๆ เชน รปทรงหรอคณสมบตในดานบทบาทหนาทและกระบวนการทางานใหเกดประสทธภาพสงสด ตวอยางใหมๆ ทนาสนใจทางศาสตรไบโอนคส เพมเตม เชน

รปท 7. สาธตการใชงานเซลลสรยะเกรทเซลแบบใสมขนาด 10 x 15 เซนตเมตร สามารถขบเคลอนพดลมได รปโดย K. Luginsland, LTA Mannheim (ภาพจาก [2])



76

รปท 8. การออกแบบรถยนตจากโมเดลปลาทาใหการเคลอนทของรถสามารถลดแรงเสยดทานกบแรงตานลมได (ภาพจาก [3])

รปท 9. การออกแบบสวนหวของเครองบนและหองควบคมของนกบนโดยปรบมาจากสวนหวของนกและปาก (ภาพจาก [4])

รปท 10. การไหลของนาบรเวณผวของปลาฉลามสการออกแบบพนผวของเครองบนเพอประหยดการใชเชอเพลง (ภาพจาก [4])



77รปท 11. การวเคราะหการบนของนกเพอออกแบบเครองบนโดยพจารณาสวนของปลายปกและสวนกลางของปกสาหรบการสมผสลมยอนกลบ (ภาพจาก [4])

รปท 12. ปรากฏการณใบบว (Lotus Effect) เปนการทาความสะอาดตวเองของใบบวซงมพนผวขรขระชวยใหสามารถขจดสงสกปรกได เมอมหยดนากลงบนใบบว โดยมการนาหลกการนไปใชในการออกแบบพนผวกนสาด เสอผาสงทอและวสดอนๆ เพอไมใหสกปรกจากฝนละออง (ภาพจาก [4] และ [5]) ตวอยางใกลตวในบานเราทจะสามารถทาเปนสงประดษฐ เพอเปนแนวทางหนงของไบโอนคสได เชน รปทรงของเหดเพอการออกแบบบานเรอนเสาเดยว การจดเรยงตวของใบไมสาหรบการสรางอาคารใหไดรบแสงแดดในปรมาณทเพยงพอเหมาะสม การออกแบบระบบเตอนภยแผนดนไหวจากตนไมยราพ การปลวและการจายตวของเมลดยางนา การออกแบบการลอยจากผกตบชวา และอนๆ

รปท 13. เหดและการออกแบบจากธรรมชาตสาหรบการจดวาง (ภาพจาก [9]), ภาพตนยางนาและการกระจายตวของเมลดยางนาจากการออกแบบสองใบพดในการชวยการเคลอนท (ภาพจาก [10]) และการจดเรยงตวของใบพชเพอการรบแสงไดอยางมประสทธภาพสงสดและใชพนทนอยสดในการจดเรยง (ภาพจาก [11])

เปนโอกาสดมากทเราเกดเปนคนไทยไดอยในดนแดนทมความอดมสมบรณทางธรรมชาต เพราะการจะไดแนวคดทางไบโอนคสทดไดนนเราควรจะมธรรมชาตทสมบรณเพอศกษาและอยรวมกบธรรมชาต ตรงตามหลก



78ทวา “ความรอยในธรรมชาต ทาลายธรรมชาตขาดความร” และการศกษาเขาใจ เขาถงของกระบวนการคดของธรรมชาตจะทาใหเราสามารถอยกบธรรมชาตอยางเกอกลและพงพากนตลอดไปได แลวนองๆจะสรางนวตกรรมใหมรอบตวเราไดอยางไร? กจากการเรมสงเกตและสกดความรจากธรรมชาตในวนนนะสครบ

เอกสารอางอง

[1] http://www.goethe.de/mmo/priv/2323169-STANDARD.jpg

[2] http://www.goethe.de/mmo/priv/2169226-STANDARD.pdf

[3] http://www.d.lycos.de/startseite/auto/autogalerie/images/zoom/14727_1118141804194.jpg

[4] http://www.bionicsolutions.de/index.php?METHODE_BIONIK&PHPSESSID=915b1fe579c91b3f47cb43d4d9fa4806

[5] http://www.bionicsolutions.de/index.php?LOTUSEFFEKT_ANIMATION

[6] http://blog.goethe.de/sciencefilmfestival/index.php?/archives/14-unknown.html

[7] http://gotoknow.org/blog/mrschuai/122878

[8] http://www.goethe.de/ins/th/prj/wif/akl/thindex.htm

[9] http://gotoknow.org/file/parpak/%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B9%87%E0%B8%94+04.jpg

[10] http://www.fao.org/DOCREP/005/AC775E/AC775E119.jpg

[11] http://farm1.static.flickr.com/97/247322218_ffbbcfc474.jpg?v=0



79

ธรรมชาตกบคณตศาสตร ... จากฟโบนชชสโครงสรางทางชววทยา อ. สมพร ชวยอารย

สวสดครบทกคนทรกธรรมชาต เราเคยสงเกตการจดเรยงตวของเมลดทานตะวนไหมครบ จะเหนวาธรรมชาตไดออกแบบการจดเรยงตวไดอยางสวยงามและเปนการประหยดพนทในการจดเรยงเพอใหจดเรยงไดจานวนเมลดมากทสดภายในพนททจากด โดยการจดเรยงตวนนเปนการพฒนาการอยางหนงของธรรมชาตเพอไปสรนลกดทดกวา หรออกตวอยางเชนการขดของเกลยวหอยนอตลส ดงรปท 1 (ภาพจาก [1], [2]) ซงสามารถอธบายไดดวยคณตศาสตรไดเชนเดยวกน

ดอกทานตะวน การจดเรยงรปแบบของเมลด ลกษณะเกลยวกนหอย ฟโบนชชในธรรมชาต

รปท 1 ดอกทานตะวน การจดเรยงรปแบบของเมลด ลกษณะเกลยวกนหอย และฟโบนชชในธรรมชาต

ในบทความน ผมจงขอนาแนวคดเกยวกบธรรมชาตกบคณตศาสตรมาฝากนะครบ วาดวยเรองของลาดบฟโบนชช (Fibonacci sequence) กบธรรมชาตดนะครบ ลาดบเลขฟโบนชชเกดขนจากการสงเกตของนกคณตศาสตรชาวอตาเลยนชอ เลโอนารโด ฟโบนชช (Leonardo Fibonacci) แหงเมองปซา ในสมย ค.ศ. 1202 นะครบ ไดสงเกตจานวนคของกระตาย โดยมขอมลดงนคอ

รปท 2 การเพมขนของจานวนกระตายตามลาดบฟโบนชช

ไปเรอยๆ โดยมความสมพนธวา จานวนกระตายในเดอนนน มจานวนคเทากบจานวนกระตายในสองเดอนกอนหนานนรวมกน เชน กระตายในเดอนท 10 เทากบจานวนกระตายในเดอนท 9 รวมกบ เดอนท 8 ซงมจานวนเปน 21 + 34 = 55 คนนเอง จะสงเกตเหนวากระตายแตละคหลงจากเกดมาแลวจะตองใชระยะเวลาหนงในการโต

เดอนท 1 มลกกระตาย 1 ค เดอนท 2 มลกกระตาย 1 ค เดอนท 3 มลกกระตาย 2 ค เดอนท 4 มลกกระตาย 3 ค เดอนท 5 มลกกระตาย 5 ค เดอนท 6 มลกกระตาย 8 ค เดอนท 7 มลกกระตาย 13 ค เดอนท 8 มลกกระตาย 21 ค เดอนท 9 มลกกระตาย 34 ค



80เตมวยจงจะมลกได นนคอ 1, 1, 2 ซงหมายถง การเกด การโตเตมวย และมลกใหมหนงคและรวมกบตวเองเปนสองค ตามลาดบ เราจงนาจานวนคของกระตายมาเรยงตอกนเปนลาดบ ดงน

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... ซงสามารถเขยนไปไดเรอยๆ

และเราเรยกลาดบชดตวเลขนวา ลาดบฟโบนชช นนเองครบ ซงสามารถเขยนเปนสตรทางคณตศาสตรไดดงน

fn = fn-1 + fn-2 เมอ f1 = f2 = 1 และ n เปนจานวนเตมมคาเปน 3, 4, 5, … ไปเรอยๆ

ตอไปนจะยกตวอยางลาดบฟโบนชชทเชอมโยงกบจานวนกลบดอกไม เพอเปนการศกษาวาจานวนกลบดอกไมมความเกยวโยงกบลาดบฟโบนชชอยางไรบาง ทกคนคงคนเคยกบการนบกลบดอกไมอยแลวนะครบ เชน ทเราเลนเดดกลบดอกไมแลวพดวา รก ไมรก รก ไมรก นบไปเรอยๆ จนกวาจะหมดกลบครบ...ซงโดยสวนใหญเรากาหนดไดวาจะใหลงทายดวยคาวา รกหรอ ไมรก หากเรารวา จานวนกลบของดอกไมนนๆ วามกกลบ มจานวนกลบเปนจานวนคหรอเปนจานวนคนะครบ มาลองดจานวนกลบดอกไมกนเลยนะครบ



81

รปท 3 ดอกไมในธรรมชาต และจานวนกลบทสมพนธกบตวเลขในลาดบฟโบนชช

เหนไหมครบ วาดอกไมสวนใหญจะมจานวนกลบเทากบจานวนคาตวเลขคาใดคาหนงในลาดบฟโบนชชเปนสวนใหญครบ แตกมดอกไมจานวนหนงนะครบ ทไมเปนไปตามหลกน เชน ม จานวน 4 กลบ หรอ 6 กลบ หรอ 10 กลบ นคอตวอยางทอยนอกเหนอกฏจากลาดบนนะครบ



82

จานวน 4 กลบ จานวน 6 กลบ จานวน 10 กลบ mountain strawberry prairie blue-eyed grass (รปจาก [4]) (รปจาก [3]) (รปจาก [4]) รปท 4 ดอกไมในธรรมชาตทอยนอกเหนอจากลาดบฟโบนชชและอธบายไดดวยลาดบฟโบนชชอนดบสอง

จากลาดบฟโบนชช 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... เปนการรวมเขากนของ 2 คาเพอใหไดคาใหมในคาถดไป ซงหากเราปรบใหม เปนการรวมกนของ 3 คา เรากจะไดลาดบใหมทนท นนคอ สามารถเขยนสตรใหมไดเปน

Fn = fn + fn+1 + fn+2 โดยท fn, fn+1 และ fn+2 เปนคาในลาดบฟโบนชช และ Fn เปนลาดบใหมซงเกดจากการรวมกนของ 3 คาในลาดบฟโบนชช และ n มคาตงแต 1 เปนตนไป นนคอ F1 = f1 + f2 + f3 นนคอ

1+1+2 = 4 1+2+3 = 6 2+3+5 = 10 3+5+8 = 16 5+8+13 = 26 8+13+21 = 42

ซงจะไดลาดบใหมดงนคอ 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, … ไปเรอยๆ เราอาจจะเรยกลาดบใหมนวา ลาดบฟโบนชชอนดบสอง (Second-Order Fibonacci Sequence) เมอพจารณาลาดบใหมแลวนน กเปนการคานวณไดงายๆ อกเชนกน คอการเอาสองคารวมกนเพอไดคาถดไป นนคอ 4+6 = 10, 6+10 = 16 ตอไปเรอยๆ ในทานองเดยวกนเราอาจจะพบดอกไมบางชนดม 7 กลบ, 11 กลบ, 18 กลบ หรอ 29 กลบ ซงกสามารถสรางลาดบใหมโดยการนาสคาทอยตดกนในลาดบฟโบนชชมารวมกน เขยนสตรใหมไดเปน

Fn = fn + fn+1 + fn+2 + fn+3 โดยท fn, fn+1, fn+2 และ fn+3 เปนคาในลาดบฟโบนชช และ Fn เปนลาดบใหมซงเกดจากการรวมกนของ 4 คาในลาดบฟโบนชช นนคอ F1 = f1 + f2 + f3 + f4 นนคอ



831+1+2+3 = 7 1+2+3+5 = 11 2+3+5+8 = 18 3+5+8+13 = 29

ซงจะไดลาดบใหมดงนคอ 7, 11, 18, 29, 47, … ไปเรอยๆ เชนกน ซงเราอาจจะเรยกวา ลาดบฟโบนชชอนดบสาม (Third-Order Fibonacci Sequence)

นอกจากการนบกลบดอกแลว หากเราสงเกตตนไม ใบไม เราจะเหนการจดเรยงของใบไมในแบบตางๆ ตวอยางตอไปจะเปนโมเดลจาลองการจดเรยงของใบไมจากใบลางสดไปยงใบสงสด และการจดเรยงตวของใบไมจากธรรมชาต

รปท 5 การจดเรยงตวของใบของตนทานตะวน (รปจาก [5])

สงทเราจะพจารณาไดคอ เรมจากใบลางสดใหนบจานวนใบวนทวนเขมนาฬกาโดยนบไปหาปลายยอด หรอนบวนตามเขมนาฬกาโดยนบจากใบบนสดลงไปยงโคนลาตนโดยนบคาสองคาดงตอไปนคอ

1. จานวนใบ (Leaves) 2. จานวนรอบ (Revolutions)

ความหมายกคอวา ใหสงเกตใบทเรายดลางสด จะอยตรงกบอกใบหนงในชนบน นนคอ จานวนใบในการวนครบกรอบ นนเอง ยกตวอยางเชน

เรานบไดวา ในจานวน 5 รอบ มจานวน 8 ใบ เราจะไดอตราสวนทเรยกวา Phyllotaxis ครบ

โดยคาน จะมคาเทากบ จานวนรอบตอจานวนใบทมคาเทากบ 5/8 นนเอง หากถามวาทาไมธรรมชาตมการจดเรยงใบไมอยางน ประการแรกกคงตอบไดวาธรรมชาตไดออกแบบการจดเรยงตวของใบไมเพอกระบวนการสงเคราะหดวยแสงของตนไมในการรบแสงใหเพยงพอสาหรบใชในการปรงอาหารของพช ตลอดจนเปนการกระจายตวของใบเพอการตรงคารบอนไดออกไซดจากอากาศสใบอกดวย ประการตอมากเพอรกษาความสมดลในโครงสรางใหลาตนไมใหเอนไปทางใดทางหนงเพอใหตานกบการรบลมทพดผานไปมาอกดวย หากถามวาการ



84จดเรยงตวของใบไมเหลานเกยวของกบลาดบฟโบนชชอยางไร กคงตองเกบขอมลการจดเรยงตวของใบไมในธรรมชาต แลวมานบและสงเกตคาเหลาน คาเหลานทคานวณไดจะเปนคาการจดเรยงใบของพชนนๆ นนเอง ซงพชแตละชนดจะมคานตางๆ กนไป แตในพนธเดยวกนจะมการเรยงเหมอนกน เชน 1/2, 3/5, 3/8, 5/8, .... นนคอ เปนการนาคาในลาดบฟโบนชชมาใชนนเอง ไมวาจะเปนจานวนใบ หรอจานวนรอบทนบได หากเรานาคาเหลานไปคณกบ 360 องศา เราจะไดวา ใบทอยตดกนทามมตอกนกองศา เชน (5/8) x 360 = 225 องศา ซงมนษยเราสามารถนาคาเหลานไปประยกตใชในการออกแบบสรางอาคารเพอใหรบแสงอาทตยไดทวถงเชนกนโดยเฉพาะบานทมการตดแผงโซลารเซลลเพอแปลงเปนพลงงานไฟฟา

นอกจากตวอยางทกลาวมาแลวนน ตวเลขในลาดบฟโบนกช ยงสามารถจะอธบายการจดเรยงเมลดของทานตะวนไดอกเชนกนครบ หรอการจดเรยงของตาสบปะรด การแตกกงกานของตนไมและจานวนใบในแตละชนความสง ดงเชนภาพตอไปนครบ

รปท 6 การจดเรยงตวเปนแถวของเมลดทานตะวน และการจดเรยงตาของสบปะรด ซงจานวนตวเลขอยในลาดบฟ

โบนชช

รปท 7 การจดเรยงจานวนกงกานและจานวนใบของตนไมแตละระดบชนเปนไปตามลาดบฟโบนชช

จากรปท 6 จะเหนวาการจดเรยงตวของจานวนแถวของดอกทานตะวน หากเรานบจานวนแถวทเรยงกนทวนเขมนาฬกาจะนบได 21 แถว และหากนบในทศตามเขมนาฬกาจะนบได 34 แถว และเชนเดยวกนกบ จานวนตาของสบปะรด หากนบในแนวตางๆ จะนบไดเปน 5, 8, 13 ตา ตามลาดบ สาหรบพชบางชนดมการจดเรยงกงกานและจานวนใบในแตละชนเปนไปตามรปท 7 ซงเปนการแตกกงกานและใบเปนไปตามลาดบฟโบนชชในแตละชน



85 คราวน....หากเรากลบไปดลาดบฟโบนชชกนอกรอบ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... ไปเรอยๆ หากเรานาคาสองคาทอยตดกนมาหารกน โดยเอาตวหลงตงและหารดวยตวกอนหนา เราจะไดวา

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, ... ไปเรอยๆ

หากเราหาคาเหลานไปเรอยๆ เราจะพบวาคาเหลานจะวงเขาสคาคงทคาหนง ซงเราจะเรยกคาอตราสวนนวา อตราสวนทอง (Golden Ratio) นนเองครบ ซงคาน จะมความสาคญในการอธบายและออกแบบของธรรมชาตมากๆ นกออกแบบทงหลายจงนยมใช อตราสวนทองและตวเลขฟโบนชชในการนาไปประยกตใชจนอยางแพรหลายในปจจบน เหนไหมครบ วาในธรรมชาตนน มอะไรใกลๆ ตวเรามากมาย แมแตตวเรากมตวเลขและอตราสวนทองอกมากมายเลยนะครบ

รปท 8 ผลของตนสน หอยนอตลส เกลยวการหมนของยอดปมของกะหลาดอก และความยาวของกระดกนวมอ

จากรปท 8 แสดงปมของลกสนซงจะมการจดเรยงตวของปมคลายๆกบดอกทานตะวน ภาพหอยนอตลสเปนการแสดงถงอตราสวนระหวางจดศนยกลางของเกลยวเปลอกหอยกบเสนขอบของเปลอกหอยซงตวหอยเองจะเตบโตแลวจะมการเคลอนยายตวเนอของหอยออกไปทละชนซงเปนการออกแบบทยอดเยยมของธรรมชาต เกลยวการหมนของยอดปมของกะหลาดอกพนธโรมาเนตโก (Romanesco) เปนการสถาปตยกรรมทสวยงามของธรรมชาตผานการจดเรยงอยางมระเบยบและซอนเหตผลไวภายใน และสดทายคอภาพความยาวของกระดกนวมอแตละขอจะมความยาวเรยงตามลาดบเลขฟโบนชช (รปจาก [7]) นอกจากนยงมตวอยางอนๆ เชน การไหลของนาลงในอางลางจาน การหมนของพายไตฝน การงอนของเขาสตว การขดของลายนวมอกนหอยของคน ระยะตางๆ ของคนเรา ทงภายในภายนอก

เราพบตวเลขเหลานจากธรรมชาต ดงนนสงทมนษยสรางขนกจะนามาจากธรรมชาตดวย เพราะเราเชอวาสงเหลานนทธรรมชาตสรางขน ธรรมชาตเลอกดทสดแลวเพราะมววฒนาการมายาวนานในการเรยนรของธรรมชาต ดงนนการทเราจะสรางสงของใหมๆ ขนมากควรสรางขนมาใชเพอใหกลมกลนกบธรรมชาตดวยนะครบ... และนกคอ

ความงามของธรรมชาต ส ความงามของคณตศาสตร

The beauty of Mathematics from Nature



86อางอง [1] http://www.ph-heidelberg.de/wp/filler/mathabend/matheabend1.html [2] http://britton.disted.camosun.bc.ca/fibslide/fib00.jpg [3] http://lh3.ggpht.com/_GSrQ4yCrPdA/SHwabM9-reI/AAAAAAAADZs/zl3-kCqyR10/DSC00477.JPG [4] http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_05_06.html [5] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html [6] http://gotoknow.org/blog/mrschuai/177688 [7] http://learners.in.th/blog/eva/55052 [8] http://britton.disted.camosun.bc.ca/fibslide/jbfibslide.htm [9] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html



87

ปรชญาคณตศาสตรบรณาการสงทาย

คณตศาสตรจะสวยงามมากเมออยรวมกบสาขาวชาอน คณตศาสตรไดรบการยอมรบใหเปนราชนแหงวทยาศาสตร

คกบฟสกสซงเปนราชาแหงวทยาศาสตร

คาถา ยาแกกลว เมอมนและเจอปญหา f(กลว) = กลา

f(ปญหา) = ปญญา f(มน) = มานะ

ใจเขา ใจเรา เขาใจรอยครง สขใจรอยครง

ปกหนา ∫จทdย คอ โจทย อานวา บรณาการใจทดเยยม



88

โครงงานคณตศาสตรบรณาการ

ชอโครงงาน ผทาโครงงาน หลกการและเหตผล วตถประสงค ผลทคาดวาจะไดรบ วธการดาเนนงาน การทดลองทางคณตศาสตรและวทยาศาสตร ผลการทดลอง วจารณผลและสรปผลการทดลอง เอกสารอางอง