a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ ...
DESCRIPTION
≤ [ ● < ‹ ○. Intervallen. ●. ○. a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d 3 < x ≤ π ‹ 3 , π ]. l. l. -8. 3. ○. ●. l. l. 4. 4 ½. ●. ●. l. l. 5,1. 7,3. ●. ○. l. l. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling
opgave 11
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling
opgave 11
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling
opgave 11
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling
opgave 11
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling
opgave 11
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling
opgave 11
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling
opgave 11
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
0x
y
voorbeeld
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
Ox
y
Ox
y
Ox
y
Ox
y
opgave 12
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12
b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000
c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000
opgave 18
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen
e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder
opgave 18
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250
b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875
c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag
3
2500
5
7000
2
1000
6
8500
opgave 22
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
2
20
4
50
a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk
b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk
c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000
4 6
50
20
5
∙
opgave 27
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
x
y
0
fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]
∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10
c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9
d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4
5
opgave 30
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
73
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft
de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20
de optie dydx geeft
de snelheid is 007degC per uur
dydx x=55 asymp 018
dydx x=20 asymp -007
c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur
d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC
opgave 40
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8
= 2
dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0
= -2
l y = -2x + bB(0 8)
l y = -2x + 8
[ ]dy
dx x=-2
B
[ ]dy
dx x=0
8 = -2 middot 0 + b
b = 8
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
opgave 44
c ∆x = 6
∆y = -12
rc = ∆y ∆x
rc = -12 6
rc = -2
R
T
∆x = 6
∆y = -12
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 50
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)
f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x
f(x) = -15xsup2 - x + 28
frsquo(x) = 2 middot -15x - 1
frsquo(x) = -30x - 1
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van het differentieumlren
opgave 58aopgave 58a
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)
k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56
k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56
k(x) = 27xsup2 - 50x + 71
krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50
krsquo(x) = 54x - 50
opgave 58d
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)
f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x
f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x
frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5
frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5
opgave 61a
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2
dus k y = 8x - 30
2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 63
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10
dus m y = 14x + 18
-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18
opgave 63
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4
b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10
dus k y = 17x + 41
-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41
opgave 65
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4
opgave 65
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0
x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1
dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)
dus m y = 12x - 24
0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24
opgave 65
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
= 18x
= 0 ndash 15p2 = -15p2
= 0 ndash 6t = -6t
= 3a2 ndash 0 = 3a2
= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7
= = 2x - 10
d(9x2 ndash 5p3)dx
d(9x2 ndash 5p3)dp
d(a3 ndash 3t2)dt
d(a3 ndash 3t2)da
d(x - 3)(x2 + 7)dx
d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx
d(x ndash 5)2
dxd(x2 ndash 10x + 25)
dx
opgave 69
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
N = 2t2 ndash 80t + 1400
a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af
b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur
dNdt
dNdt t = 95
dNdt
0 t
N
1400
20
opgave 74
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30
t = 29 N = 762
t = 30 N = 800
toename is 800 ndash 762 = 38 insecten
times 100 asymp 5038762
opgave 74
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022
Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar
b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af
opgave 77
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-
c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal
d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t
L
147
opgave 77
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Slide 36
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Slide 48
- Slide 49
-