95732011 fisika-statistik
TRANSCRIPT
FISIKA STATISTIK
PERHITUNGAN FUNGSI PARTISI
Agar supaya energi-dalam dapat di hitung, perlu menghitung lebih dahulu fungsi partisi
𝑧𝑓 = ∑ 𝑒−𝑤𝑖𝑘𝑇
~
𝑖=1
Dengan 𝑤𝑖 = (𝑖 − 1
2)hf, maka
𝑧𝑓 = 𝑒 −1
2 ℎ𝑓
𝑘𝑇 + 𝑒−11
2 ℎ𝑓
𝑘𝑇 + … … . 𝑒−(𝑖−
12
) ℎ𝑓
𝑘𝑇 + … . . 𝑒−(𝑛−
12
) ℎ𝑓
𝑘𝑇 .... (2.61)
Persamaan ini disederhanakan dengan mengeluarkan 𝑒−ℎ𝑓
2𝑘𝑇 dari tanda kurung, didapat
𝑧𝑓 = 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇 (1 + 𝑒−
ℎ𝑓𝑘𝑇 + 𝑒−
2ℎ𝑓𝑘𝑇 + ⋯ )
Suku-suku dalam kurung disederhanakan, misalnya 𝑥 = 𝑒−ℎ𝑓
𝑘𝑇, maka suku-suku dalam kurung
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ . 𝑥𝑛
Untuk x kecil, persamaan tersebut dapat disedrhanakan menjadi = 1
1−𝑥
Maka 𝑧𝑓 = 𝑒
−ℎ𝑓
2𝑘𝑇
1− 𝑒−
ℎ𝑓2𝑘𝑇
ln 𝑧𝑓 = −ℎ𝑓
2𝑘𝑇− ln (1 − 𝑒−
ℎ𝑓
𝑘𝑇)...... (2.62)
Dideferensialkan terhadap T :
𝑑
𝑑𝑇ln 𝑧𝑓 = −
ℎ𝑓
2𝑘𝑇2 − 𝑑 (1 − 𝑒−
ℎ𝑓𝑘𝑇)
1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇
𝑑 (−ℎ𝑓
2𝑘𝑇)
= −ℎ𝑓
2𝑘(𝑑 𝑇−1)
= −ℎ𝑓
2𝑘− 1 𝑇−2
= ℎ𝑓
2𝑘𝑇2
ln (1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇)
Misal :
(1 − 𝑒−ℎ𝑓
𝑘𝑇) = 𝑢
𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇 = 𝑣
−ℎ𝑓
𝑘𝑇= 𝑤
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑓
𝑑𝑢.𝑑𝑓
𝑑𝑣.𝑑𝑓
𝑑𝑤
= 1
𝑢 . 𝑣 ′. 𝑤 ′
= (1
1 − 𝑒 −ℎ𝑓𝑘𝑇
) . 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇 .
ℎ𝑓
𝑘𝑇2
= 𝑒−
ℎ𝑓𝑘𝑇
1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇
.ℎ𝑓
𝑘𝑇2
Maka
𝑑
𝑑𝑇ln 𝑧𝑓 = +
ℎ𝑓
2𝑘𝑇2 − 𝑑 (1 − 𝑒 −
ℎ𝑓𝑘𝑇)
1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇
=ℎ𝑓
2𝑘𝑇2 + ℎ𝑓
𝑘𝑇2 𝑒−
ℎ𝑓𝑘𝑇
1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇
Energi dalam 𝑈𝑓 = 𝑁𝑘𝑇2 𝑑 ln 𝑍𝑓
𝑑𝑇
= 𝑁𝑓 𝑘𝑇2 {ℎ𝑓
2𝑘𝑇2 + ℎ𝑓
𝑘𝑇2 𝑒−
ℎ𝑓𝑘𝑇
1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇
}
𝑘𝑇2 dimasukkan diantara suku-suku dalam kurung didapat
𝑈𝑓 = 𝑁𝑓 (ℎ𝑓
2+
ℎ𝑓
𝑒+ℎ𝑓𝑘𝑇 − 1
) … . . (2.63)
Persamaan (2.63) menyatakan :
Energi-dalam 𝑁𝑓 osilator yang frekuensinya masing-masing f, sama untuk seluruh osilator.
Kristal telah dimodelkan sebagai osilator sederhana bebas terbedakan. Masalahnya berapakah
benyaknya osilator yang dapat memerikan kristal tersebut ?
Untuk menjawab pertanyaan ini, kita tinjau kristal yang titik kisinya berjumlah N, dalam ruang titik
kisi mempunyai 3 koordinat (x,y,z). Jika setiap titik kisi mengalami pergeseran sangat kecil, maka
koordinat yang terlibat pada pergeseran sel sejumlah 3 N. Energi potensial sebanding dengan
koordinat kuadrat, energi kinetik sebanding dengan momentum kuadrat, sedang momentum
merupakan perkalian massa dengan kecepatan, untuk setiap koordinat bertaut dangan 1 kecepatan.
Jadi untuk memodelkan kristal yang terbangun oleh N titik kisi diperlukan 3N osilator harmonis
sederhana bebas terbedakan.
Selanjutnya, kita tinjau osilator-osilator yang frekuensinya tak sama, yang distribusinya dapat
diperkirakan oleh persamaan.
𝑑𝑁𝑓 = 𝑛𝑓𝑑𝑓 .............(2.64)
Dengan 𝑛𝑓 fungsi frekuensi, ditulis 𝑛𝑓 = 𝑛𝑓 (𝑣), menyatakan jumlah osilator ...... persatuan rentang
frekuensi.
Jika diintegralkan untuk seluruh frekuensi, maka didapatkan harga sejumlah osilator yang memerikan
watak kristal tersebut.
∫ 𝑑𝑁𝑓 = ∫ 𝑛𝑓𝑑𝑓 = 3𝑁 ................(2.65)
Energi isolator yang freuensinya antara f dan d =df adalah
𝑤𝑓 = 𝑈𝑓
𝑁𝑓= (
1
2 ℎ𝑓 +
ℎ𝑓
𝑒ℎ𝑓𝑘𝑇 − 1
)
Jika diintegralkan untuk seluruh osilator didapatkan
𝑈 = ∫ 𝑤𝑓𝑑𝑁𝑓 = ∫ (1
2ℎ𝑓 +
ℎ𝑓
𝑒ℎ𝑓𝑘𝑇−1
) 𝑛𝑓𝑑𝑓 ...................... (2.66)
Jika 3N osilator memberikan kristal dengan N titik kisi, sedang kristal yang mempunyai N titik kisi
tersebut sebanyak 1 “mole”, maka seluruh energi yang diberikan oleh persamaan 2.66 adalah energi
per “mole”, sedang N adalah jumlah titik kisi untuk 1 “mole”, kristal = 𝑁𝐴 (𝑁𝐴 =
𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐴𝑣𝑜𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜).
Pendekatan yang dilakukan Einstein adalah 3N osilatoryang memberikan watak getaran kristal
masing-masing mempunyai frekuensi = fE = frekuensi osilator Einstein
𝑈 = ∫ 𝑤𝑓𝑑𝑁𝑓
= ∫ {1
2 ℎ𝑓𝐸 +
ℎ𝑓𝐸
𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1
} 𝑑𝑁𝑓
𝑈 = {1
2ℎ𝑓𝐸 +
ℎ𝑓𝐸
𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1
} 3𝑁
Kapasitas panas pada colume tetap Cv
𝐶𝑣 = (𝜕𝑈
𝜕𝑇)
𝑣=
𝑑
𝑑𝑇 {
1
2 ℎ𝑓𝐸 . 3𝑁 +
ℎ𝑓𝐸 . 3𝑁
𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1
}
= −ℎ𝑓𝐸 .3𝑁.{𝑒
ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 (−
ℎ𝑓𝐸
𝑘𝑇2)}
𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1
𝐶𝑣 = −1
𝑘 (
ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇
) 2.3𝑁 𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇
𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 −1
= 𝑘(
ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇
)2
.3𝑁 𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇
𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 −1
..................(2.68)
𝑑𝑖 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 ℎ𝑓𝐸
𝑘= 𝜃𝐸 .................(2.69)
𝜃𝐸 = temperatur karakteristik Einstein
Maka 𝐶𝑣 = 𝑘 (
𝜃𝐸𝑇
)2
𝑒𝜃𝐸𝑇 .3𝑁
𝑒𝜃𝐸𝑇 −1
Untuk “mole” N menjadi 𝑁𝐴, 𝐶𝑣 menjadi 𝐶𝑣 dan 𝑁𝐴𝑘 = R = tetapan gas alam
𝐶𝑣∗ =
3𝑘 𝑁𝐴 (𝜃𝐸
𝑇)
2
𝑒𝜃𝐸𝑇
𝑒𝜃𝐸𝑇 − 1
𝐶𝑣∗ =
3𝑅 (𝜃𝐸𝑇
)2
𝑒𝜃𝐸𝑇
𝑒𝜃𝐸𝑇 −1
.........................(2.70)
Atau 𝐶𝑣
∗
3𝑅=
(𝜃𝐸)2 𝑒𝜃𝐸𝑇
𝑒𝜃𝐸𝑇 −1
Jika digambarkan 𝐶𝑣
∗
3𝑅 sebagai sangsi T, maka untuk T harga
𝐶𝑣∗
3𝑅= 1, sesuai kaedah Dulong Petit,
sedang untuk T 0 harga 𝐶𝑣
∗
3𝑅 0 mendekati hasil percobaan,tetapi mendekati nol, terlalu cepat jika
dibandingkan hasil percobaan.