94962080-seminarskiokr

UNIVERZITET U TUZLI

MAŠINSKI FAKULTET

ODSJEK: Energetsko Mašinstvo

FEA – Finite element analysis

(Metoda konačnih elemenata)

SEMINARSKI RAD

Student: Dino Bratić Broj indeksa: I-408/11

Tuzla, maj 2012. godine

Seminarski rad FEA – Finite element analysis

SADRŽAJ

1. Uvod u metodu konačnih elemenata…………………………………………......................3

2. Osnove na kojima se zasniva MKE………………………………………………………....4

2.1 Različiti aspekti MKE.................................................................................................5

3. Postupak izbora konačnih elemenata.............................................................................6

3.1 Proces simulacije uz pomoć metode konačnih elemenata.........................................7

3.2 Predprocesioniranje u FEA metodi...........................................................................8

3.3 Riješavanje u FEA metodi........................................................................................9

4. Zaključak..........................................................................................................................13

5. Popis slika .......................................................................................................................14

6. Literatura........................................................................................................................15

2


1. UVOD U METODU KONAČNIH ELEMENATA

Koncept metode konačnih elemenata (MKE) je zasnovan na diskretizaciji kontinuuma konstrukcije jednostavnim dijelovima konačnih dimenzija. Nad tim dijelovima – konačnim elementima, metodama i principima fizike uspostavljaju se osnove statičke, kinematičke, dinamičke i termodinamičke veze, koje se proširuju do granica kontinuuma. Koristeći neki od osnovnih principa mehanike, formira se sistem diferencijalnih jednačina (običnih, parcijalnih ili integralnih). Nepoznati parametri koji se kod nosećih struktura traže su kinematičke veličine - pomeranja, statičke veličine - unutrašnje sile ili mešovite veličine (pomeranja i unutrašnje sile istovremeno). Osim ove dvije metode koristi se metoda reziduma (tamo gdje je teško definisati potencijal) i metoda energetskog bilansa kod zadataka koji tretiraju različite tipove energija (mehaničku, toplotnu, elektromagnetnu). Za ove diferencijalne jednačine, traži se riješenje, najčešće približno. Pretpostavljene forme riješenja omogućavaju prelazak sa diferencijalnih jednačina na algebarske jednačine. Riješenja tih jednačina su pomeranja, unutrašnje sile ili dinamički odgovor konstrukcije. Pojedine etape traženja riješenja, zasnivaju se na matričnoj algebri i numeričkoj analizi koje se realizuju matematičkim metodama naročito pogodnim za računar. Koncept metode je definisao 1941. Hrenikoff. Godine 1956. istraživači Claugh, Martin, Turner i Torr računarom su rešili zadatak ravanskog naponskog stanja krila aviona "BOEING", primenom trougaonih konačnih elemenata. Tada je na prijedlog američkog istraživača Claugh-a definisano današnje ime metode: "the finite element method", skraćeno FEM. Značajan doprinos širenju ideja i koncepta metode imala je štampa prve monografije autora Zienkiewicz-a i Cheng-a 1970. Sedamdesetih godina istraživač Oden značajno uopštava metodu, uvodeći u nju trodimenzionalnost, nelinearnost, dinamiku struktura, talasno prostiranje, uticaj fluida i optimalnost struktura. Prava, široka primjena metode počela je razvojem računarske tehnike i pojavom komercijalnih softverskih paketa. Prvi komercijalni programski paketi bili su: NASTRAN (program NASE), SESAM -(Super Eiement Stntctuial Antdysis Modulus -Norveška), SAP (Structural Analysis Program-USA) Razvoj metode konacnih elemenata počeo je polovicom prošlog stoljeća. U početnoj fazi on se odvijao kroz dva

3


međusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski, a odmah zatim matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim proračunima zamjenjivane su diskretnim sustavima koji su se sastojali od štapova i koji su račinati po poznatim postupcima statike linijskih nosača. Od strane matematičara, tražena su približna riješenja određenih graničnih zadataka pomoću diskretnih modela uz primjenu varijabilnih postupaka. Ova dva prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od ogromnog značaja da dalji brži razvoj i široku primjenju MKE.

2. Osnove na kojima se zasniva MKE

Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji jednadžbi graničnih problema, MKE se zasniva na fizičkoj diskretizaciji razmatranog područija. Umjesto elemenata diferencijalno malih dimenzija, osnovu za sva proučavanja predstavlja dio područija konačnih dimenzija, manje područije ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednadžbe pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim elemntima, a pomoću kojih se formulira i problem u cjelini, umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske.

Sa stajališta fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područije, kao kontinuum sa beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata, sa konačnim brojem stupnjeva slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izbabere onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajući granični problem.

Suština aproksimacije kontinuuma po MKE, sastoji se u sljedećem:

1. Razmatrano područije kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, dijeli se na određeni broj manjih područija konačnih dimenzija. Pojedina manja područija se

4


nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cijelo područije sustav ili mreža konačnih elemenata.

2. Predpostavlja se dasu konačni elementi međusobno povezani u konačnom broju tačaka, koje se usvajaju na konturi elemenata. Te tačke se nazivaju čvorne tačke ili čvorovi.

3. Stanje u svakom konačnom elementu (npr. polje pomaka, deformacija, naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i konačnog broja parametara u čvorovima koji predstavljaju funkcija konačnog bro ja parametara u čvorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veličine u MKE.

4. Za analizu i proračun sustava konačnih elemenata važe svi principi i postupci koji važe za klasične diskretne sustave.

2.1. Različiti aspekti MKE

Prema načinu na koji se izvode i formuliraju osnovne jednadžbe MKE, odnosno jednadžbe za pojedine konačne elemente, postoje četiri osnovna aspekta MKE i to: direktna metoda, varijabilna metoda, metoda razidiuma i metoda energetskog balansa.

Direktna metoda je analogna metodi deformacije u proračunu linijskih nosača. Ova metoda se može koristiti kod relativno jednostavnih problema, a pogodna je zbog jasnog geometrijsko-mehaničkog značenja pojedinih koraka aproksimacije.

5


Varijabilna metoda se zasniva na principu o stacionarnosti funkcija. U problemima mehanike čvrstog tijela funkcija je obično potencijalna odnosno komplementarna energija sustava iliu se funkcija formulira na osnovu ove dvije energije. Za razliku od direktne metode, koja se može primjeniti samo na elemente sasvim jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na elemente sasvim jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na elemente jednostavnog i elemente složenog oblika.

Metoda raziduuma je opći aspekt aproksimacije po MKE, koji se zasniva na diferencijalnim jednadžbama razmatranog problema. Ova metoda ima naročito primjenu kod onih problema kod kojih je teško formulirati funkciju i onih problema kod kojih funkcija uopće ne egzistira.

Metoda energetskog balansa se zasniva na balansu različitih aspekata energije i ima primjenu u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontiuuma.

Od navedenih aspekata MKE, u mehanici čvrstih deformacijskih tijela do posebnog su značaja varijabilna metoda i metoda raziduuma, koje u područiju primjene predstavljaju dvije komplemetarne metode podjednake tačnosti.

Za razliku od klasičnih varijabilnih metoda u kojima izbor interpolacionih funkcija zavisi od konfiguracije razmatranog problema, u MKE to nije slučaj, s obzirom na to da se interpolacione funkcije definiraju isključivo u okvirima pojedinih konačnih elemenata. Interpolacione funkcije su skup međusobno nezavisnih funkcija koje se usvajaju za element, tako da su im vrijednosti u područiju svih ostalih elemenata, osim elemenata na koji se odnose, identično jednake nuli.

6


3. Postupak izbora konačnih elemenata

Analiza metodom konačnih elemenata zahtjeva fizičku diskretizaciju konstrukcije i izbor konačnih elemenata koji adekvatno opisuju njeno ponašanje pri spoljašnjem utjecaju. Raznovrsnost utjecaja i geometriji struktura, uslovila je brojnost vrsta i podvrsta konačnih elemenata. Osnovna razlika među njima ogleda se u različitosti "unutrašnjih" funkcija. Te "unutrašnje" funkcije, funkcije oblika (shape function), opisuju polje pomjeranja u elementu i određuju aproksimacije kontinuuma u metodi konačnih elemenata. Izbor konačnog elementa osim topologije podrazumeva izbor interpolacione funkcije i direktno određuje tačnost metode. Osnovni tipovi konačnih elemenata su odredjeni prostorom koji koriste. Jednodimenzioni konačni elementi su: zatege, štapovi, grede, užadni elementi, granični elementi, cijevni elementi. Granični elementi su kategorija koja služi za formiranje veza na granicama kontinuma, koja matematičkom modelu definiše neki uslov. U ovu podgrupu spadaju elementi: opruge, zazori (gap), veze (link), stepeni slobode (DOF) i drugi. Dvodimenzioni konačni elementi definišu napone i deformacije ravanskog kontinuuma, pa shodno tim vrstama osnovni elementi su membrana, ploča, ljuska. Trodimenzioni konačni elementi su prizmatični i osnosimetrični. U ovu grupu spadaju i debela ploča i debela ljuska, prizma, piramida, osnosimetrični elementi i 3D konačni elementi sa ortotropnim osobinama

kao što su slojevite forme. Konačne elemente je moguće klasifikovati i prema familiji - grupaciji (ljuska, ploča, greda), prema redu interpolacionih funkcija (linearan, paraboličan, kubni), geometriji (trougaoni, četvorougaoni), prema fizičkim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska) i prema materijalnim svojstvima (izotropan, anizotropan). Izbor konačnog elementa za modeliranje, zavisi od geometrijske forme posmatranog kontinuuma i procjene unutrašnje distribucije sila i deformacija. Geometrijska forma je zadata konceptom konstrukcije i sadržana je na projektnoj dokumentaciji. Forme dugačkih članova (malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu) zamjenjuju se jednodimenzionim konačnim elementima. Ravne površine zidova, pregrada, dijafragmi, lamela nosača, zamjenjuju se dvodimenzionim konačnim elementima (obično za analizu napona). Tamo gde se javljaju koncentrisana lokalna naprezanja usljed geometrijske složenosti, koriste se trodimenzioni konačni elementi. Njima se obično opisuju kompaktne geometrije kao što su kotrljajući dijelovi ležajeva, lopatice rotacionih kola turbomašina, glavčine rotacionih elemenata, zupčanici, lančanici, kućišta motora SUS, kućišta klipnih mašina, složeni elementi (koljenasta vratila, helikoidni zupčanici) i drugo.

7


3.1 Proces simulacije uz pomoć metode konačnih elemenata

Analiza metodom konačnih elemenata se obično sastoji od tri koraka podržanih od strane različitih alata:

- predprocesiranje: generisanje simulacionih modela iz geometrije (CAD)

- riješavanje: izračunavanje željenog ponašanja

- postprocesiranje: vizuelizacija i izvještaj

Slika 1: Proces simulacije metodom konačnih elemenata

Predprocesiranje skoro uvek zahteva modeliranje od strane čoveka i proveru. Rešavanje i postprocesiranje su automatizovani

8


3.2 Predprocesiranje u FEA metodi:

1. Kreiranje geometrije (ako je geometrija kreirana iz CAD modela onda njeno uprošćavanje)

2. Generisanje mreže (može biti automatsko)

3. Izbor materijala

4. Definisanje opterećenja

5. Definisanje graničnih uslova (oslonci, veze i stepeni slobode kretanja)

6. Dodela parametara analize (linearni-statični, maksimalno vreme…)

7. Verifikacija modela

Slika 2: Predprocesiranje kod metode konačnih elemenata

9


3.3 Riješavanje u FEA metodi

1. Definisanje matrica krutosti elemenata

2. Sastavljanje globalne matrice krutosti

3. Dodjeljivanje graničnih uslova vezanom modelu

4. Generisanje vektora opterećenja

5. Riješavanje pomeranja {�}:

[�]{�} = {�}

gde je:

[�] = matrica krutosti

{�} = vektor pomjeranja čvorova

{�} = vektor opterećenja

6. Izračunavanje sila i naprezanja u elementima

Slika 3: Definisanje matrica i riješavanje kod FEA

10


Slika 4: Primjer FEA koncepta: a) parametarski model, b) mrežni model, c) simulacioni model sa definisanim materijalom, opterećenjima i graničnim uslovima

11


Slika 5: Primjena kolor 3D štampe kod FEA analize

12


4. ZAKLJUČAK

U trci za brzim i ekonomičnim postupkom razvoja proizvoda, neke forme izrade fizičkih prototipova će i dalje biti neophodne u budućnosti, ali sa konstantnim smanjenjem te potrebe. Većina simulacija u virtualnom razvoju su proučavanja poput FEA analize, proučavanje dinamike kretanja ili analiza mogućnosti montaže, često puta su ove analize izvršene pomoću virtuelnog razvoja pouzdanije i tačnije nego u slučaju kada bi se pravio prototip uz pomoć neke od RP tehnologija. Virtuelno testiranje prototipova je još uvijek u fazi razvoja, dok je testiranje fizičkih prototipova dokazano kao veoma pouzdano. Potrebno je izvršiti opširno proučavanje opcija izrade prototipova u budućnosti, naročito kada alati za analizu i testiranje virtualnih prototipova dostignu svoju zrelost. U nailazećim godinama, adaptacija vrhunskih metoda virtualne izrade prototipova mogu igrati značajnu ulogu u industrijskom uspjehu. Bez obzira na trenutna ograničenja virtualne izrade prototipova, proizvođači će morati kontinualno da prate daljni razvoj i da se pripreme za njegovu adaptaciju. Ovo sa sobom povlači i potrebne

tehničke i organizacione promjene. Implementacija virtualnog razvoja prototipova je lakša ako se izvodi na nivou komponenata nego li na nivou sistema, zbog kasnije nužnosti modeliranja kompleksnih interakcija između podsklopova i komponenata. VP na sistemskom nivou se može jedino postići punom integracijom proizvodnih i procesnih podataka. Nezavisni alati za VP uglavnom nisu efikasni kao i potpuno integrisani sistem. Ipak, ako je proizvod dovoljno komplikovan, čak i pristupačniji alati za VP mogu omogućiti moćno i isplativo riješenje, naročito ako kasnije mogu da zamjene skupe fizičke prototipove.

13


5. Popis slika

Slika 1. ....................................................................................................................7

Slika 2. ....................................................................................................................8

Slika 3. .................................................................................................................. 10

Slika 4. ...................................................................................................................11

Slika 5. ...................................................................................................................12

14


LITERATURA:

M. Sekulović (1984): Metod konačnih elemenata. IRO „Građevinska knjiga“, Beograd.

p. Staykov, N. Rangelov (1998): Two span continuous truss railway bridge over Sava at Jasenovac – project for proofloading test. Sofija.

Miltenović V., Razvoj proizvoda – strategija, metode, primena, Univerzitet u Nišu – Mašinski fakultet, Niš, 2003.

Dr. M. Jovanović, Mr. J. Jovanović : CAD/FEA Praktikum za projektovanje u mašinstvu, Podgorica 2000.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fused_deposition_modeling

15

94962080-seminarskiokr

Documents