Integral Luas dan Volume Benda Putar

MODUL PERKULIAHAN

Tentang

Modul Standar untuk

digunakan dalam Perkuliahan

di Universitas Mercu Buana

FakultasProgram StudiTatap MukaKode MKDisusun Oleh

FASILKOMTeknik Informatika1290013Drs.Sumardi Hs.,M.Sc.

AbstrakKompetensi

Modul ini akan membahas integral menghitung volume benda putar dengan integral tunggal, metode cakram dan shell lengkap dengan contoh-contoh dan soal-soalMahasiswa dapat memahami integral menghitung volume benda putar dengan integral tunggal, metode cakram dan shell dan dapat menerapkan untuk mengerjakan soal-soal yang diberikan.

INTEGRAL LUAS dan VOLUME BENDA PUTAR

12.1 INTEGRAL VOLUME BENDA PUTAR

Jika suatu bidang datar diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka akan diperoleh suatu benda yang alas dan tutupnya akan berupa sebuah lingkaran.

Untuk menghitung volume benda tersebut akan didekati oleh jumlahan volume tabung-tabung kecil berupa lempengan-lempengan.

Integrasi Volume Benda Putaran adalah jumlahan volume lempeng-lempeng kecil berupa tabung pendek, yang volumenya adalah luas alas kali tinggi ( r2 t ),

r = jari-jari alas, t = tinggi.

t

V = r2 t

Misal suatu bidang yang dibatasi oleh y=0, y = f(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, seperti di bawah ini. Maka volume (V) dari benda yang terjadi adalah

y=f(x)

y

b

V = y2 x

a

a bx

x

Gambar di atas adalah menghitung volume benda putar dengan metode cakram.

Contoh-Contoh Soal-Jawab :

1). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi

oleh parabola y2 = 8 x, sumbu x dan x = 2 diputar

mengelilingi sumbu x satu kali.

2

Jawab: V = y2 dx

yy2=8x 0

2

= 8 x dx = 8 ( x2)|2

2 x0 0

= 8 ( . 4 ) = 16

dx

2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi

oleh parabola y2 = 8 x, dan x = 2 diputar

mengelilingi garis x = 2 satu kali.

Jawab: Perpotongan antara y2 = 8 x dan x = 2

ydiperoleh y2=16

4y2=8x ( y1 = - 4, y2 = 4

dy4

2x V = (2-x)2 dy =

-4 4

= 2 (2-y2)2 dy

-4

x=2

0 8

= .= 256 /15

3. Tentukan volume benda putar, jika daerah antara y = 4x2, x = 0, y = 16 diputar terhadap garis y = 16

Jawab:

V= ( = = ( sat. vol

Perhatikan: Bentuk daerah yang diputar seperti gambar di bawah ini !

Jika daerah A diputar mengelilingi sb x, maka volume benda putar yang terjadi yaitu :

V = ( , bukan V = (

Contoh Soal-Jawab :

1. Hitung volume yang terbentuk karena perputaran terhadap sumbu x dari daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3 Jawab:

y

V= ( = .. = ( sat. vol

2. Carilah volume benda putar yang terbentuk oleh perputaran terhadap garis x = -4 dari daerah yang dibatasi oleh dua parabola

x = y y2 dan x = y2 3

Jawab :

Titik potong kedua kurva :

y y2 = y2 3 ( 2y2 y 3 = 0

( y + 1 ) ( 2y - 3) = 0

y1 = -1 ( x1 = - 2 ( ( -2, -1 ) = P

y2 = ( x2 = - ( ( -, ) = Q

Volume benda putar yang terjadi :

V= (

= . =

B. METODA KULIT BERLAPIS (SHELL METHOD)

Pias diputar mengelilingi sby maka akan terbentuk kulit silinder:

tebalnya = ( x

jari-jari dalam = x

jari-jari luar = x + ( x

tingginya = y = f(x)

Isi kulit silinder

(V = (( x + (x )2 y - ( x2 y

= ( ( 2x (x) y + ( (x2 y

Jika kulit silinder dibuat tipis ( (x2 ( 0

Sehingga ( (x2 y diabaikan: ( (V = 2( x y (x

Maka volume benda putar adalah (V = 2( x y (x atau

V = 2(

CONTOH SOAL-JAWAB:

1. Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh

parabola y = x2, sumbu x dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu y.

Jawab :

V = 2(

= 2(

= .

= 8 ( sat. vol

2. Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh

y = -x2 3x + 6. dan garis x + y 3 = 0 diputar mengelilingi garis x = 3

Jawab :

titik potong kedua kurva :

- x2 3x + 6 = -x + 3

x2 + 2x 3 = 0

(x + 3) (x 1) = 0

x1 = -3 ( y1 = 6 ( (-3, 6) = P

x2 = 1 ( y2 = 2 ( (1, 2) = Q

-x+3

O x=3

Lihat grafik !Isi kulit silinder : dV = 2 ( r . tinggi . dx

Maka volume benda putar

V = 2 (

V = 2 (

= =

3. Suatu daerah dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 1 dan x = 2 diputar terhadap garis y = 2 sebagai sumbu putar. Tentukan volume benda yang terbentuk karena perputaran itu.

Jawab:

Kurva y = x2 diubah menjadi x = ( namun karena daerah yang dimaksud terdapat dalam kuadran I maka digunakan x = . Batasnya c = 1 dan d = 4. Diputar terhadap y = 2 maka y ( y + 2 dan

g(y) ( 2 g(y) = 2 sehingga

V = =

= = =

4. Hitung volume torus yang terbentuk oleh perputaran lingkaran x2 + y2 = 4 terhadap garis x = 3 sebagai sumbu putar.

Jawab:

Fungsi tersebut diubah menjadi y = (

V = =

= -

= = 24 (2

5. Daerah yang dibatasi parabola y = x2 3x + 6 dan garis x + y 3 = 0 diputar terhadap a). garis x = 3

b). garis y = 0

Hitung volume benda yang terjadi akibat perputaran tersebut.

Jawab:

Kedua kurva itu berpotongan di P(1, 2) dan Q (3, 6) a. Menggunakan metode kulit ( sumbu putar x = 3 ) V =

=

=

= =

b. Menggunakan metode cakram ( sumbu putar y = 0 )V = = =

= =

Soal-Soal (Buktikan):

1). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y2 = 8 x

dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu y. ( Jwb: 128 /5 )

2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y = 4 x x2,

y = 6, x=0 dan x = 2 diputar mengelilingi garis y = 6. ( Jwb: 1408 /15 )

3). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola

y = x2 - 3 x + 6 dan garis x + y = 3 diputar mengelilingi;

(a). garis x = 3, (b). garis y = 0. ( Jwb: (a). 256 /3, (b). 1792 /15 )

4). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang

yang diberikan dan mengelilingi suatu garis yang diketahui:

a). y=2x2, y=0, x=5; sb-xb). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-x

c). y=4x2, x=0, y=16; sb-yd). y=4x2, x=0, y=16; y=16

e). y2=x3, y=0, x=2; sb-xf). y=x3, x=2, y=0; x=2

(Jwb: a). 2500 , b). 256 /3, c). 32 , d). 4096 /15, e). 4 , f). 16/5)

5). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang

yang diberikan dan mengelilingi suatu garis yang diketahui:

a). y=2x2, y=0, x=5; sb-yb). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-y

c). y=4x2, x=0, y=16; sb-xd). y=x3, x=0, y=8; x=2

e). y=x2, y = 4x-x2; sb-xf). y=x2, y = 4x-x2; y=6

(Jwb: a). 625 , b). 128 3, c). 2048 /5, d). 144 /5, e). 32 /3, f). 64/3)

Daftar Pustaka

1. Ayres F. Jr. 2000, Calculus 2/Ed, Schaum Outline Series, McGraw-Hill, Singapore2. Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral, Alva Gracia, Bandung.3. Murray R. Spiegel: MATHEMATICAL HANDBOOK, Schaums, McGraw-Hill, New-York.4. Purcell,E.J., Varberg,D.,2005, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 & 2, PT. Erlangga, Jakarta.

5. Stroud, K.A., Erwin Sucipto, 1991: Matematika Untuk Teknik, Erlangga, Jakarta.

6. Wikarya Gazali, Soedadyatmodjo: KALKULUS, Graha Ilmu, Yogya, 2005.

7. Browsing Internet.

12

a

b

(x

f (x)

g (x)

x

y n

A

P dan Q adalah titik potong kedua kurva P (-1,2) dan Q (2,5)

y = x + 3

y = x2 + 1

Q

x

P

-1

2

(y

x = y2 - 3

x = y y2

Q

P

y

x

a

b

y = f(x)

A

(x

2

x

y

A

y = x2

Q

P

y

x

1

2

y = x2

Y

X

0

y = 2

(2, 4)

Daerah

y = 1

2

X

Y

0

x = 3

2

2

X

Y

P

Q

O

X = 3

y = x2 3x + 16

132KalkulusPusat Bahan Ajar dan ELearning

Drs. Sumardi Hs., M.Sc.http://www.mercubuana.ac.id

_1311194061.unknown

_1311194238.unknown

_1311194327.unknown

_1359966619.unknown

_1360644513.unknown

_1359966661.unknown

_1311194346.unknown

_1311194355.unknown

_1359791602.unknown

_1311194350.unknown

_1311194343.unknown

_1311194286.unknown

_1311194323.unknown

_1311194254.unknown

_1311194145.unknown

_1311194160.unknown

_1311194167.unknown

_1311194154.unknown

_1311194129.unknown

_1311194141.unknown

_1311194065.unknown

_1207769096.unknown

_1311194021.unknown

_1311194041.unknown

_1311194056.unknown

_1311194035.unknown

_1258371501.unknown

_1311194017.unknown

_1311194014.unknown

_1207770070.unknown

_1208111474.unknown

_1207769364.unknown

_1207767344.unknown

_1207768338.unknown

_1207768706.unknown

_1207768285.unknown

_1207767845.unknown

_1207768243.unknown

_1207766164.unknown

_1207767067.unknown

_1207765686.unknown