9. Vektor funkcija

9.1. Znacajni pojmovi i objasnjenja

Kada se analizira lekcija o vektorskim funkcijama jedne realne promenljive, moze se uocitipostojanje deset pojmova. Pre ponavljanja ovih pojmova, ponovimo osnove o vektorskim funk-cijama. Neka je data vektorska funkcija:

~r = ~r (t) = x (t) ·~i+ y (t) ·~j + z (t) · ~k = (x (t) , y (t) , z (t))

tada je:

~r =(

˙x (t), ˙y (t), ˙z (t))

= (x′ (t) , y′ (t) , z′ (t))

izvod vektor funkcije po nezavisnoj promenljivi t. Intezitet vektorske funkcije u nekoj tackijednak je:

|~r (t)| =√x2 (t) + y2 (t) + z2 (t)

Ne ulazeci u njhove definicije, posebno su znacajni:

- Vektor tangente:

~τ (t) =~r (t)∣∣∣~r (t)

∣∣∣ odnosno ~τ (t) = ~r (t) (9.1)

- Vektor normale:

~n (t) =~τ (t)∣∣∣~τ (t)

∣∣∣ odnosno ~n (t) = ~τ (t) (9.2)

- Vektor binormale:~b (t) = ~τ (t)× ~n (t) (9.3)

- Prva krivina - fleksija:

K =

∣∣∣~r (t)× ~r (t)∣∣∣∣∣∣~r (t)

∣∣∣3 (9.4)

- Poluprecnik prve krivina:

RK =1

K(9.5)

- Druga krivina - torzija:

T =det[~r (t) , ~r (t) ,

...~r (t)

]∣∣∣~r (t)× ~r (t)

∣∣∣2 =

∣∣∣∣∣∣x (t) y (t) z (t)x (t) y (t) z (t)...x (t)

...y (t)

...z (t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~r (t)× ~r (t)∣∣∣2 (9.6)

- Poluprecnik druge krivine:

RT =1

|T |(9.7)

- Vektori ~τ i ~n daju oskulatornu ravan. Ako je poznata tacka M0 = ~t0 tada je vektor oskulatorneravni jednak:

~b0 = ~τ (t0)× ~n (t0) = ~r (t0)× ~r (t0)

76

sledi:Roskulatorna = 〈M0,~b0〉 (9.8)

- Na slican nacin se od vektora ~n i ~b dobija vektor normalne ravni, sledi:

Rnormalna = 〈M0, ~n0 ×~b0〉 (9.9)

- Vektori ~b i ~τ daju vektor rektifikacione ravni, sledi:

Rrektifikaciona = 〈M0,~b0 × ~τ0〉 (9.10)

Ako hodograf vektor funkcije lezi u jednoj ravni, to je onda oskulatorna ravan. Posledica ovecinjenice da je vektor takve oskulatorne ravni konstantan - ne zavisi od t. Znacajni su ekstremikrivine krive i torzije. Nalaze se na jednostavan nacin jer je tada krivina funkcija jedne realnepromenljive K = K(t).

9.2. Zadaci

Primer 9.1. Odrediti - izracunati, svih deset pojmova (9.1 - 9.10) u tacki t = 0 za sledecevektor funkcije:

a)

~r (t) = et ·~i+ e−t ·~j +√

2t · ~k

b)

~r (t) = et cos t ·~i+ et sin t ·~j + et · ~k

c)

~r (t) = a ch t ·~i+ a sh t ·~j + at · ~k, a ∈ R

Primer 9.2. Odrediti poluprecnik obe krivine hodografa sledecih vektor funkcija:

a)

~r (t) = ln (cos t) ·~i+ ln (sin t) ·~j +√

2t · ~k

za proizvoljno t;

b)

~r (t) = t2 ·~i+ 2t3 ·~j + 0 · ~k

za proizvoljno t;

c)

~r (t) = 3t2 ·~i+(3t− t3

)·~j + 2 · ~k

za t = 1;

d)

~r (t) = (cos t+ t sin t) ·~i+ (sin t− t cos t) ·~j + 0 · ~k

u tacki t =π

2;

e)

~r (t) = a ch t ·~i+ a sh t ·~j + at · ~k, a ∈ R

u proizvoljnom t.

77

Primer 9.3. Ako je a 6= 0 fiksiran parametar, za hodograf vektor funkcije:

~r (t) = a ch t ·~i+ a sh t ·~j + at · ~k

naci torziju i poluprecnik torzije u proizvoljnoj tacki t ∈ R.

Primer 9.4. Za vektor funkciju:

~r (t) = t ·~i− t ·~j +1

2t2 · ~k

u tacki t = 2, naci svih deset pojmova (9.1 - 9.10).

Primer 9.5. U tacki t = 0 hodografa vektor funkcije:

~r (t) = et cos t ·~i+ et sin t ·~j + et · ~k

odrediti torziju i njen poluprecnik.

Primer 9.6. Napisati jednacinu oskulatorne ravni u tacki t = 0 hodografa vektor funkcije:

~r (t) = et ·~i+ e−t ·~j +√

2t · ~k

Primer 9.7. Napisati jednacinu oskulatorne ravni u tacki t = 2 hodografa vektor funkcije:

~r (t) = t ·~i− t ·~j +1

2t2 · ~k

Primer 9.8. Za vektor funkciju:

~r (t) = 2 cos t ·~i− 2 sin t ·~j + 3t · ~k

odrediti sva tri vektora prirodnog triedra u tacki hodografa t = 0.

Primer 9.9. Data je vektor funkcija:

~r (t) = et cos t ·~i+ et sin t ·~j + et · ~k

a) U tacki t = 0, naci svih deset pojmova (9.1 - 9.10).

b) Kojoj povrsi drugog reda pripada hodograf date vektor funkcije?

Primer 9.10. U tacki ekstremalne krivine krive hodografa vektor funkcije:

~r (t) = ln (cos t) ·~i+ ln (sin t) ·~j +√

2t · ~k

naci jednacinu oskulatorne ravni.

Primer 9.11. Ako je kriva L hodograf vektor funkcije:

~r (t) =

(t+

1

t

)·~i+

(t− 1

t

)·~j + 2 ln t · ~k

naci tacku M u kojoj je torzija maksimalna. U toj tacki odrediti jednacinu oskulatorne ravni.

Primer 9.12. Ako je kriva L hodograf vektor funkcije:

~r (t) = 2t ·~i+ ln t ·~j + t2 · ~k

naci tacku M u kojoj je krivina ekstremalna. U toj tacki odrediti jednacinu binormale.

78

9.3. Reseni zadaci

Primer 9.13. Dokazati da hodograf L vektor funkcije:

~r (t) =(−t+ 2t2

)·~i+

(2t− t2

)·~j +

(2t+ 2t2

)· ~k

lezi u jednoj ravni.

Dokaz. Ako hodograf vektor funkcije lezi u jednoj ravni, ta ravan je oskulatorna i pri tome imaisti vektor ravni za svako t. Oblast definisanosti date vektor funkcije je R3. Da bi nasli vektoroskulatorne ravni potrebno je:

~r = (−1 + 4t, 2− 2t, 2 + 4t)

~r = (4,−2, 4)

Sledi:

~b = ~τ × ~n= ~r × ~r

=

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

−1 + 4t 2− 2t 2 + 4t4 −2 4

∣∣∣∣∣∣= (8− 8t+ 4 + 8t,− (−4 + 16t− 8− 16t) , 2− 8t− 8 + 8t)

= (2, 2,−1)

i konstantan je - ne zavisi od t Za t = 0 dobijamo tacku:

M0 = ~r (0) = (0, 0, 0)

i jednacina oskulatorne ravni Roskulatorna = 〈M0,~b〉 je:

2 · (x− 0) + 2 · (y − 0)− 1 · (z − 0) = 0⇒ 2x+ 2y − z = 0

Primer 9.14. Ako je L hodograf vektor funkcije:

~r (t) = e−t ·~i+ et ·~j + t√

2 · ~k

tada u tacki ekstremalne krivine krive naci jednacinu oskulatorne ravni.

Dokaz. Nadimo krivinu krive, koristeci formulu:

K =

∣∣∣~r (t)× ~r (t)∣∣∣∣∣∣~r (t)

∣∣∣3uz zapazanje da je oblast definisanosti date vektor funkcije R3.

~r =(−e−t, et,

√2)

~r =(e−t, et, 0

)

79

Nadimo i potreban vektorski proizvod:

~r × ~r =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

−e−t et√

2e−t et 0

∣∣∣∣∣∣ =(et√

2, e−t√

2,−e−tet − e−tet)

=(et√

2, e−t√

2,−2)

i njegov intezitet je: ∣∣∣~r × ~r∣∣∣ =√

2e2t + 2e−2t + 4

=√

2√e2t + 2 + e−2t

=√

2

√(et + e−t)2

=√

2∣∣et + e−t

∣∣= 2

√2

∣∣∣∣et + e−t

2

∣∣∣∣= 2

√2 |ch t|

kako je ch t uvek pozitivna funkcija sledi da je:∣∣∣~r × ~r∣∣∣ = 2√

2 ch t

Slicno: ∣∣∣~r∣∣∣ =√e−2t + e−2t + 2 =

√e2t + 2 + e−2t = ch t

Konacno se moze izracunati krivina krive i to kao funkcija od t:

K (t) =2√

2 ch t

ch3 t=

2√

2

ch2 t

Krivina krive je uvek definisana jer je ch t > 0, ∀t ∈ R. Nadimo izvod krivine po t:

K ′ (t) = 2√

2−2 sh t

ch3 t= −4

√2

sh t

ch3 t

odakle jednostavno sledi da je:

K ′ (t) = 0⇒ sh t = 0⇒ t = 0

potencijalni ekstrem, a iz:K ′ (t) > 0⇒ sh t < 0⇒ t < 0

sledi da je tacka M = ~r (0) = (1, 1, 0) ona u kojoj krivina K hodografa L vektorske krive~r (t) =

(e−t, et, t

√2)

ima minimum. Oskulatorna ravan se jednostavno dobija, jer smo njenvektor vec izracunali:

~b (0) = ~r (0)× ~r (t) =(e0√

2, e0√

2,−2)

=(√

2,√

2,−2)

konacno:

√2 (x− 1) +

√2 (y − 1)− 2 (z − 0) = 0⇒

√2x+

√2y − 2z − 2

√2 = 0

80