9 terapan integral - handout

TERAPAN INTEGRAL

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22

Topik Bahasan

1 Luas Daerah Bidang Rata

2 Nilai Rataan Fungsi


Luas Daerah Bidang Rata

Perbedaan Perhitungan Integral Tentu dan Luas DaerahIlustrasi

Integral:R ca f (x) dx =

R ba f (x) dx+

R cb f (x) dx = 5 8 = 3. X

Luas:R ca jf (x)j dx =

R ba f (x) dx+

R cb f (x) dx = 5 (8) = 13. X

SALAH:luas =

R ca f (x) dx

= R ba f (x) dx+ R cb f (x) dx = j5 8j = 3.



Luas antara KurvaSekatan Tegak

,Metode 3S: (Skets, Sekat, Sum (Integral)

Skets Sekat

Sum

( ) ( )b

af x g x dx-



Luas antara KurvaSekatan Tegak

Metode 3S: Skets ! Sekat ! Sum (Integral)

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x) dany = g (x) serta garis x = a dan x = b, lakukan:

1 Buat sketsa grak, tandai daerah yang akan dicari luasnya.

2 Buat sekatan/irisan tegak persegi panjang kecil pada daerah tsb.Formulasikan hampiran luas sekatan tsb. dengan lebar 4x,panjang/tinggi = selisih ordinat kurva atas dan kurva bawah.

3 Integralkan dalam dx (jumlahkan luas takhingga banyaknya sekatan)dari a sampai b.



Denisi (Luas antara Kurva Sekatan Tegak)

Luas daerah di antara kurva y = f (x) dan y = g (x) serta garis x = a danx = b adalah

A =R ba jf (x) g (x)j dx (1)



y = g(x)

y = f(x)

a bx1 x2x

y

0

S1 S2 S3

Karena jf (x) g (x)j =8


Soal (Sekatan Tegak)

Buat sketsa daerah bidang rata berikut, lalu tentukan luas daerahnya.

1 f (x) = 2 x2 dan g (x) = x.2 f (x) = ln x, sb-x, x = 1, x = e, jawab: 1.

3 f (x) = cos x, g (x) = sin x, x = 0, x = pi/2, jawab: 2p

2 1

4 f (x) = ex, g (x) = ex, x = 1, x = 2 ln 2, jawab: 1/4+ 1/e+ e



Luas antara KurvaSekatan Datar



Denisi (Luas antara Kurva Sekatan Datar)

Luas daerah di antara kurva x = f (y) dan x = g (y) serta garis y = c dany = d adalah

A =R dc jf (y) g (y)j dy (2)

Catatan:

Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapatdiabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada (kanan- kiri).



Soal (Sekatan Datar/Tegak)

1 Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva x = y2, x = y+ 2, y 0.2 Tentukan luas daerah antar kurva y = ln x, sumbu-y, sumbu-x, garisy = 1. Jawab: e 1

3 Tinjaulah kurva y = 1/x2, 1 x 5,a Hitunglah luas di bawah kurva tersebut. Jawab: 4/5b Tentukan c sedemikian rupa sehingga garis x = c membagi-dua luaspada (a) sama besar. Jawab: 5/3

c Tentukan d sedemikian rupa sehingga garis y = d membagi-dua luaspada (a) dengan perbandingan luas di bawah garis : luas di atas garis= 4 : 1. Jawab: 9/25.

4 Andaikan f kontinu dan naik pada [1, 2] , f (1) = 1, f (2) = 2. JikaR 21 f (x) dx = 1, tentukanlah

R 21 f1 (y) dy. Petunjuk: buat graknya.

Jawab: 2.



SoalTentukan luas daerah A,B dan C dengan menggunakan sekatan tegak dandatar. Perlukah menghitung masing-masing luas dengan integral? Jawab:luas A,B,C = 1/3.

A

B

C

2y x=

2x y=

0



Soal Luas Plus I

SoalTerdapat suatu garis yang melalui titik asal yang membagi daerah yangdibatasi parabola y = x x2 dan sumbu x tepat menjadi dua daerahdengan luas sama. Berapakah kemiringan garis itu? Jawab: 1 13p2 .

2y x x= -y m x=

0



Soal Luas Plus II

Soal

Kurva f pada gambar berikut bersifat, untuk setiap titik P pada kurvabagian tengah y = 2x2, luas A dan B sama. Tentukan persamaan kurva f .Jawab: f (x) = 329 x

2.

A

B 2y x=

22y x=f

P

x

y

0(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 22

Nilai Rataan Fungsi

Nilai Rataan Fungsi

Rataan n nilai y1, y2, . . . , yn adalah y =y1+y2++yn

n

Berapa nilai rataan fungsi y = f (x), pada a x b ?Bagi interval [a, b] menjadi n bagian dengan lebar x, dan pilih xipada anak interval ke-i,

f = f (x1)+f (x2)++f (xn)n =f (x1)+f (x2)++f (xn)

(ba)/x= [f (x1)+f (x2)++f (xn)]x

(ba) =1

ba ni=1 f (xi)x

Bila n! , maka nilai rataan fungsi f pada [a, b] adalahf = limn! 1ba

ni=1 f (xi)x =

1baR ba f (x) dx


Nilai Rataan Fungsi

Teorema (Teorema Nilai Rataan (TNR) untuk Integral)

Jika f kontinu pada [a, b], maka ada bilangan c 2 [a, b] sedemikiansehingga

f (c) = f =1

b aZ baf (x) dx

atauZ baf (x) dx = f (c) (b a) . Bilangan f (c) disebut nilai rataan f

pada [a, b] .

[ ]( ) ( )( ),

,

b

af x dx f c b a

c a b

= -


Nilai Rataan Fungsi

Soal1 Tentukan nilai rataan fungsi berikut pada interval yang diberikan dantentukan nilai c yang dimaksud pada TNR Integral.a f (x) = x2 + 1, [1, 2] , jawab: 2, c = 1b f (x) = ln (x) , [1, e] , jawab: 1/ (e 1) , c = e1/(e1)c f (x) = 1/x, [1, 2] , jawab: ln 2, c = 1/ ln 2

2 Tunjukkan bahwa integral nilai rataan fungsi sama dengan integralfungsi pada interval;

R ba f dx =

R ba f (x) dx.

3 Jika f [a,b] menyatakan nilai rataan f pada interval [a, b] dan a < c < b,tunjukkan bahwa

f [a,b] =c ab a f [a,c] +

b cb a f [c,b]


Nilai Rataan Fungsi

Soal (Terapan Nilai Rataan)

Titik-titik pada grak berikut menyatakan hasil pengukuran suhu kotaJakarta (T dalam oC) setiap 2 jam pada suatu hari tertentu. Kurva yangmerepresentasikan gugus data pengamatan tersebut adalahT (t) = 28+ 5 sin

pi12 (t 1)

, dengan t menyatakan lama waktu (dalam

jam) setelah pukul 6 pagi. Tentukan rataan suhu kota Jakarta selamasatu hari. Petunjuk: cos (2pi ) = cos , jawab: 28oC.

( ) ( )28 5sin 112

T t tp = + -


Nilai Rataan Fungsi

Soal Terapan Integral IPengendalian Populasi Serangga Secara Alami

Salah satu metode untuk memperlambat pertumbuhan populasi seranggatanpa pestisida adalah dengan menambahkan sejumlah serangga jantanmandul ke dalam populasi. Serangga jantan mandul akan kawin denganbetina subur tetapi tidak memproduksi benih. Jika P = P (t) menyatakanbanyaknya serangga betina dalam populasi pada waktu t, S adalah jumlahserangga jantan mandul yang ditambahkan tiap generasi, dan r lajupertumbuhan alami populasi tersebut, maka populasi serangga betina Pdikaitkan dengan waktu t dapat dimodelkan dengan

t =Z P+ S

P [(r 1)P S]dP


Nilai Rataan Fungsi

Soal Terapan Integral IIPengendalian Populasi Serangga Secara Alami

Andaikan di awal pengamatan (t = 0) , pada 10000 populasi betina yangtumbuh dengan laju r = 0.1 ditambahkan 900 jantan, tunjukkan bahwa

t = ln10000P

+19ln

11000P+ 1000

Di sini P tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam t. Namun denganbantuan sistem aljabar komputer, dinamika berkurangnya populasiserangga betina dapat diamati dari waktu ke waktu, sbb.


Nilai Rataan Fungsi

Soal Terapan Integral IIIPengendalian Populasi Serangga Secara Alami


Nilai Rataan Fungsi

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika, FMIPA -IPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Luas Daerah Bidang RataNilai Rataan Fungsi

9 terapan integral - handout

Documents