9. adİ dİferansİyel denklemlerİn sayisal ÇÖzÜmlerİ
DESCRIPTION
9. ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ. Serbest düşen paraşütçünün denklemi:. Bağımsız değişken; 1: Adi dif. Denk 1’den fazla: Kısmi Dif. Denk. Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
11
9. ADİ DİFERANSİYEL 9. ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL DENKLEMLERİN SAYISAL
ÇÖZÜMLERİÇÖZÜMLERİ
Serbest düşen paraşütçünün denklemi:Serbest düşen paraşütçünün denklemi:
Bağımsız değişken;
1: Adi dif. Denk
1’den fazla: Kısmi Dif. Denk.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
22
•Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler.Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir.
dt
diLv 21 q =
dt
TdC 2
t
T = dt
wdJ 2
F = dt
vdM 2
•Bir sistemin nasıl değiştiğini (dinamik karakteristiğini) bilirsek, hangi zaman veya hangi konumda nasıl tepki vereceğini tahmin ederek, tasarımlarımızı buna göre yapabiliriz. Gösterim biçimi:
y=f(x) dy/dx=f(x)
Daha yararlı
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
33
Bir sistemin durumu hakkında gözlemler ve deneyler sonucundaBir sistemin durumu hakkında gözlemler ve deneyler sonucunda
y 4 - - - - -
+ + + 3 x
Sistemi genel olarak karakterize Sistemi genel olarak karakterize
eden y=f(x) fonksiyonu eden y=f(x) fonksiyonu
. xi xi+1 xi+n x
y
y
Eğim=
+ + 1i i
Adım büyüklüğü h
x x
x
1i iy y h
. - -
0
+ + + 3 x (b)
dy/dx 8 - - - - -8 -
y= dxdx
dy
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
44
Bilgisayar olmaksızın ADD’ler genellikle analitik Bilgisayar olmaksızın ADD’ler genellikle analitik integrasyon teknikleriyle çözülür. integrasyon teknikleriyle çözülür.
ÖrneğinÖrneğin cv g v dt
m
Şu anda, pratik öneme sahip olan bir çok ADD’in kesin çözümü yoktur. Sayısal yöntemler, bu gibi durumlar için güvenilebilecek tek alternatiftir. Sayısal yöntemler, genelde bilgisayar gerektirdiği için öncesi çağda, mühendislerin araştırmaları büyük oranda sınırlanmıştı.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
55
•Mühendisler ve uygulamalı matematikçiler bu zorluğu aşmak için doğrusallaştırma adını verdikleri
bir yöntem geliştirdiler. Doğru bir adi dif. denklem, aşağıdaki genel şekle
uyar.
Burada ( )ny , y’nin x’e göre n. Türevi olup, a’lar ve f’ler x’in birer fonksiyonudur.
( ) '1 0( ) ....... ( ) ( ) ( )n
na x y a x y a x y f x
Denklem doğrusal olarak adlandırılır. Çünkü bu denklemde bağımlı değişken y ve türevlerinin çarpımı ( '2y y gibi) veya doğrusal olmayan (sin(y), ln(y), ey gibi) işlevleri yoktur.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
66
• Doğrusal ADD’in pratikte önemi analitik olarak Doğrusal ADD’in pratikte önemi analitik olarak çözülebilmeleridir. çözülebilmeleridir. Bu nedenle bilgisayar öncesi dönemde doğrusal olmayan Bu nedenle bilgisayar öncesi dönemde doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için bir yol, onları doğrusallaştırmaktıdenklemlerin çözümü için bir yol, onları doğrusallaştırmaktı
Örnek: Newton 2.hÖrnek: Newton 2.h
l
g.m
F=m.a
2
2sin 0
d g
dt l
Nonlineer
Analitik çözüm için bir yol, sarkacın denge konumundan itibaren küçük yer değiştirmeleri için ( ’nın küçük değerleri için) şu bağıntının sağlanmasıdır.
sin
2
20
d g
dt l
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
77
Böylece denklemi, analitik olarak çözümü kolay olan Böylece denklemi, analitik olarak çözümü kolay olan doğrusal bir şekle dönüştürmüş oluruz.doğrusal bir şekle dönüştürmüş oluruz.
Doğrusallaştırma, mühendislik problemlerinin çözümü için Doğrusallaştırma, mühendislik problemlerinin çözümü için değerli bir araç olmasına karşın, bunun yapılamayacağı değerli bir araç olmasına karşın, bunun yapılamayacağı durumlar da vardır.durumlar da vardır.
Örnek: Örnek: Sin(0)=0; Sin(0)=0; sin(pi/100)=sin(0.0314)= 0.0314sin(pi/100)=sin(0.0314)= 0.0314sin(pi/50)=sin(0.0628)= 0.0628sin(pi/50)=sin(0.0628)= 0.0628......sin(pi/2)=sin(1.5708)=1 sin(pi/2)=sin(1.5708)=1
Bu durumda sayısal çözümleme yöntemlerine başvurmamız gerekir. Bu durumda sayısal çözümleme yöntemlerine başvurmamız gerekir.
sin
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
88
9.1. Mühendislik 9.1. Mühendislik UygulamalarıUygulamaları
Temel yasalar, fiziksel özelliklerdeki ve sistemin Temel yasalar, fiziksel özelliklerdeki ve sistemin konumundaki değişimleri açıklayan deneysel konumundaki değişimleri açıklayan deneysel gözlemlere dayanır. gözlemlere dayanır.
Yasalar, fiziksel sistemin Yasalar, fiziksel sistemin durumunu doğrudan açıklamak durumunu doğrudan açıklamak yerine, genellikle, konuma ve yerine, genellikle, konuma ve zamana bağlı değişimlerini ifade zamana bağlı değişimlerini ifade ederler.ederler.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
99
Tablo’da bazı yasalara ilişkin örnekler verilmiştir. Tablo’da bazı yasalara ilişkin örnekler verilmiştir.
Tablo.9.1. Zaman veya konuma bağlı olarak bazı değişkenlerin değişim hızını ifade eden temel yasalar için örnekler (Chapra S.,Canale,R., 2003)
Yasa Matematiksel İfadesi Kulanılan Değişkenler Seri RL devresi için akım yasası
di V Ri
dt L L
Akım(i), gerilim (V), Bobinin indüktansı(L), Direnç (R)
Newtonun hareket için 2. yasası
dv F
dt m
Hız (v), kuvvet (F) ve kütle (m)
Fourier ısı yasası ' dTq k
dx Isı akısı (q), ısıl iletkenlik ( 'k ) ve
sıcaklık (T)
Bu değişimler, sürekli durumda (lim t ) türevlerle ifade edilirse, diferansiyel denklemler ortaya çıkar. Daha sonra bu diferansiyel denklemler integre edilirse, enerji, kütle ve hız değişimleri açısından bir sistemi konuma ve zamana göre tanımlayan matematiksel işlevler elde edilir.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1010
F=ma Fizik Yasası
dv c
g vdt m
ADD
Çözüm
Analitik Sayısal
1i i i
cv v g v t
m
( / )1 c m tgmv e
c
Şekil.9.2. ADD kullanılarak temel fizik yasalarından mühendislik problemlerinin çözümüne geçiş yolları (Chapra S.,Canale,R., 2003)
Düşen paraşütçü problemi, temel bir yasadan, bir adi dif. denklemin türetilmesinin bir örneğidir. Bu bağıntının integre edilmesiyle, zamanın işlevi olarak düşme hızını tayin etmek için bir denklem elde edilmiştir. Bu denklem, tasarım amaçları da dahil olmak üzere bir çok amaç için kullanılabilir. Fakat daha önce de belirtildiği gibi, pratik önemi olan bir çok dif. denklem, yüksek matematikteki analitik yöntemlerle çözülemez.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1111
9.2. Diferansiyel Denklemlerin 9.2. Diferansiyel Denklemlerin Matematik TemeliMatematik Temeli
y=-0.5x4+4x3-10x2+8.5x+1 3 22 12 20 8.5dy
x x xdx
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1212
0
+ + + 3 x (b)
y 4 - - - - -
+ + + 3 x (a)
. 0.8 x - - - 2.0-
dy/dx 8 - - - - -8 -
3 22 12 20 8.5y x x x dx
y=-0.5x4+4x3-10x2+8.5x+C
y C=3 - C=2 - C=1 – C= 0 C=-1 C=-2
+ + + 3 x
1=0.5*(0)4+4*(0)3-10*(0)2+8.5*(0)+C
C=1
Şekil.9.4. 3 22 12 20 8.5x x x ’in integrali için altı farklı olası çözüm. Bunlardan her biri, integral sabiti C’nin farklı bir değerine karşılık gelmektedir. (Chapra S.,Canale,R., 2003)
C=-2,-1,0 2,3,…
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1313
Başlangıç koşulları genellikle, fiziksel problem verilerinden türetilen diferansiyel denklem yorumlamasıyla elde edilirler.
Örneğin
Serbest düşme t=0 için v=0
Başlangıçta kondansatör boş ise,t=0 için Vc(0) =0
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1414
9.3. Sayısal Çözümleme Yöntemleri9.3. Sayısal Çözümleme Yöntemleri
Bölüm.6’da nonlineer
denk sist. sayfasını
hatırlayalım
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1515
( , )dy
f x ydx
( , )dy
f x ydx
= eğim
y
Eğim=
+ + 1i i
Adım büyüklüğü h
x x
x
1i iy y h
. - -
yi+1
( , )dy
f x ydx
şeklindeki adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri, bir önceki xi ve
bunun fonksiyonda aldığı değer olan yi değerlerinden yola çıkarak, diferansiyel (fonksiyonun eğimi) yardımıyla daha sonraki (xi+1, yi+1) değerlerini bulmak olarak özetlenebilir.
Bütün çözüm yöntemleri bu şekilde olmakla birlikte, aralarında sadece eğim tahmininde kullanılan yöntem yönünden farklılıklar vardır.
Şekil.9.6. y fonksiyonunun yörüngesi
. xi xi+1 xi+n x
y
Şekil.9.7. Eğim tahmini
Tahmin
Gerçek
- - 2.0-
y
h
+ +
1i ix x x
Hata
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1616
9.3.1. Euler Yöntemi9.3.1. Euler Yöntemi
( , )i i
dyf x y
dx
yi+1=yi+ ( , )i if x y h
Euler Formülü
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1717
Örnek: Eşitlik 9.8’deki dif. denklemi sayısal Örnek: Eşitlik 9.8’deki dif. denklemi sayısal olarak çözmek için Euler yöntemini kullanın olarak çözmek için Euler yöntemini kullanın (Adım büyüklüğünü h=0.5 olarak alın, x=0’dan (Adım büyüklüğünü h=0.5 olarak alın, x=0’dan x=4’e kadar integre edin, başlangıç koşulu x=0 x=4’e kadar integre edin, başlangıç koşulu x=0 için y=1)için y=1)
Çözüm:3 22 12 20 8.5
dyx x x
dx
Buradaki x=0, y(0)=1 noktasındaki eğim tahmini;
f(0,1)= -2 (0)3+12 (0)2-20 (0)+8.5=8.5 Buradan
y(0.5)=1+8.5*0.5=5.25 bulunur.
Oysa orijinal fonksiyonun bu noktadaki gerçek değeri;
y=-0.5 (0.5)4+4 (0.5)3-10 (0.5)2+8.5 (0.5)+1=3.21875’tir.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1818
i) y(1)=y(0.5)+f(1 , 5.25)*0.5 Buradaki x=1, y(1)=5.25 noktasındaki eğim tahmini; f(1 , 5.25) = -2 (0.5)3+12 (0.5)2-20 (0.5)+8.5=1.25 Buradan y(1)=5.25+1.25*0.5=5.875 bulunur. Tüm adımlar için sonuçlar tabloda verilmiştir.
Tablo.9.2. Fonksiyonun gerçek ve euler yaklaşımıyla çözümleri
x ygerçek yeuler
0 1 1 0.5 3.21875 5.25 1 3 5.875
1.5 2.21875 5.125 2 2 4.5
2.5 2.71875 4.75 3 4 5.875
3.5 4.71875 7.125 4 7 7
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
1919
y - - 1 –
ygerçek
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
(x0,y0)
( , )dy
f x ydx
( , )dy
f x ydx
(x1,y1)
(x2,y2)( , )
dyf x y
dx
( , )dy
f x ydx
(x7,y7)
(x4,y4)(x3,y3)
Şekil.9.8. Gerçek çözüm-Euler çözümü karşılaştırması (Chapra S.,Canale,R., 2003)
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2020
9.3.2. Runge-Kutta Yöntemi9.3.2. Runge-Kutta Yöntemi
43211 26
1kkkkyy ii
Runge-Kutta FormülüYine bir (ortalama) y
ii yxfhk ,1
,
2
ky,
2
hxfhk 1
ii2 ,
2,
22
3
ky
hxfhk ii 34 , kyhxfhk ii
yegim*h
2
yk 1k
2
h= x
+ + 1i ix x x
2
1i
x
1k1 yk
En son adımda en güncel
Delta y
tahmini
kullanılır
f
k4y
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2121
Örnek: )(10)(
)(tI
td
tdI dif. denklemini Runge-Kutta yöntemiyle çözünüz. h=0.1, I(0)=0;
Çözüm: y=I, x=t y0=I0=0, x0=t0=0 (başlangıç anı) k1=h f(x0 , y0)=h f(t0 , I0) = 0.1*(10-I0) = 0.1*(10-0)=1
2,
21
002
ky
hxfhk =
)
2
10(10*1.0 =0.1*(10-0.5)=0.95
2,
22
003
ky
hxfhk =
)
2
95.00(10*1.0 =0.9525
3004 , kyhxfhk = )9525.00(10*1.0 =0.9047
I(0.1) = 0+ 9047.09525.095.0216
1 =0.9516
t2 = 0.2 k1=0.1*f(x1,y1)=0.1(10-0.9516)=0.9048 , k2=0.1*[10-(I(0.1)+2
0.9048)
k3..... k4..... Buradan gerekli hesaplamalar yapıldığında I(0.2)= 1.8127 bulunur.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2222
İlk Değerleri Ata n, x0,y0 , h
E
i=i+1
i=1 ?ni
H n. adım için y değerini göster
xi+1 =xi+h
ii yxfhk ,1
2,
21
2
ky
hxfhk ii
43211 26
1kkkkyy ii
2,
22
3
ky
hxfhk ii
34 , kyhxfhk ii
Algoritma ve ProgramAlgoritma ve Program
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2323
9.3.3. Adam's Yöntemi9.3.3. Adam's Yöntemi Bu yöntem, çözüm yörüngesini daha etkili şekilde belirlemek için Bu yöntem, çözüm yörüngesini daha etkili şekilde belirlemek için
daha önceki adımlardan kalan bilgileri saklar.daha önceki adımlardan kalan bilgileri saklar. 2 ve 3 adımlı olmak üzere 2 farklı Adams formülü vardır. 2 ve 3 adımlı olmak üzere 2 farklı Adams formülü vardır.
gürültü 1if
if
Ortalama eğim
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2424
2 adımlı Adam's yöntemi2 adımlı Adam's yöntemi
11 32 iiii ffh
yy
Örneğin 0112 32
ffh
yy değerini bulabilmek için f(x0,y0) ve f(x1, y1)'i önceden bilmek
gerekir.
3 adımlı Adam's yöntemi3 adımlı Adam's yöntemi
211 5162312 iiiii fffh
yy
y3 değerini ( 01223 5162312
fffh
yy ) bulabilmek için, f(x0,y0) , f(x1, y1) ve f(x2,y2)
değerleri bilinmelidir.
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2525
Örnek: xydx
dy dif. denklemini Adam's yöntemiyle çözünüz. x0=0 , y0=1.5, x1=0.25,
y1=1.892, x2=0.5, y2=2.324, h=0.25
x3=x2+h=0.5+0.25=0.75 , y3=y2+ 012 5162312
fffh
f2=f(x2,y2) = y2-x2=2.324-0.5=1.824, f1=f(x1,y1) = y1-x1=1.892-0.25=1.642
f0=f(x0,y0) = y0-x0=1.5-0=1.5
y3=2.324+ 5.1*5642.1*16832.1*2312
25.0 y3=6.99
y4=y3+ 123 5162312
fffh
f3=f(x3,y3) = y3-x3= 3.22 Buradan y4 bulunur
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2626
Soru.1: Salgın bir hastalığın zamana bağlı olarak yayılması diferansiyel denklemlerle ifade edilebilir. Burada D : hastalığa Dirençsiz olan kişilerin gurubu Y : hastalığa Yakalanmış kişiler gurubu A : hastalığa direnç kazanma, ölüm, karantinaya alınarak guruplardan izole edilme vs. gibi nedenlerle yukarıdaki guruplardan Ayrılanların oluşturduğu gurup olmak üzere guruplar aşağıdaki denklemlerde görüldüğü gibi birbirlerinden etkilenmektedir. Burada u: Hastalığa yakalanan yeni bireyler (Yani Y gurubuna eklenen yeni girişler) dir.
YDDdt
dD , uYYD
dt
dY , YD
dt
dA
T=0.2 sn’lik peryodlarla, t=0’dan t=0.6’sn’ye kadar D,Y ve A guruplarının zamana göre değişimlerini her adımda Euler yöntemiyle bularak ayrı ayrı grafiklerde çizin.
1
İlk koşullar: D(0)=1, Y(0)=0, A(0)=0, t=0 için u (0)=1, t>0 için u(t)=0
( Euler formülü: yi+1=yi+ ( , )i if x y h )
Çözüm: D : Dirençsizler, Y : Yakalanmışlar, A : Ayrılanlar
Euler formülü: yi+1=yi+ ( , )i if x y h idi, Adım büyüklüğü h=T=0.2sn.
1 için diferansiyel denklemler yeniden düzenlenirse
YDDdt
dD =fD(t,D,Y,A,u) , uYYD
dt
dY = fY(t,D,Y,A,u)
YDdt
dA = fA(t,D,Y,A,u) ,n=(0.6sn-0sn)/0.2sn= 3 adım için çözüm yapacağız
(Dorf, 2005)
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2727
t0=0. saniye için D(0)=1, Y(0)=0, A(0)=0, u (0)=1 verilmiş fD(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))=-D(0)-D(0)*Y(0)=-1-(1)*0=-1 fY(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))=D(0)*Y(0)-Y(0)+u(0)=(1*0)-(0)+1=1 fA(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))=D(0)+Y(0)=1+0=1
i) 1. adımda t1=0.2. saniye için D1=D(0.2)=D(0)+ fD(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0)) *h= 1+ (-1)*0.2=1-0.2=0.8 Y1=Y(0.2)=Y(0)+ fY(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))*h=0+(1)*0.2=0.2 A1=A(0.2)=A(0)+ fA(t0, D(0), Y(0), A(0), u(0))*h=0+(1)*0.2=0.2 t>0 için u(t)=0 oluğundan u1= u(0.2)=0’dır ve bundan sonraki tüm u(t) değerleri de sıfır olacaktır.
fD(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))=-D(0.2)-D(0.2)*Y(0.2)=-0.8-(0.8)*0.2= -0.96 fY(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))=D(0.2)*Y(0.2)-Y(0.2)+u(0.2)=(0.8*0.2)-(0.2)+0= -0.04 fA(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))=D(0.2)+Y(0.2)=0.8+0.2=1
ii) 2. adımda t2=0.4 saniye için D2=D(0.4)=D(0.2)+ fD(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2)) *h= 0.8+ (-0.96)*0.2=0.608 Y2=Y(0.4)=Y(0.2)+ fY(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))*h=0.2+(-0.04)*0.2=0.192 A2=A(0.4)=A(0.2)+ fA(t1, D(0.2), Y(0.2), A(0.2), u(0.2))*h=0.2+(1)*0.2=0.4
fD(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))=-D(0.4)-D(0.4)*Y(0.4)= -0.608-(0.608)*0.192= -0.7247 fY(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))=D(0.4)*Y(0.4)-Y(0.4)+u(0.4)=(0.608*0.192)-(0.192)+0= -0.075264 fA(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))=D(0.4)+Y(0.4)=0.608+0.192= 0.8
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2828
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
t(sn)
A(t
)
iii) 3. adımda t2=0.6 saniye için D3=D(0.6)=D(0.4)+ fD(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4)) *h= 0.608+ (-0.7247)*0.2= 0.46306 Y3=Y(0.6)=Y(0.4)+ fY(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))*h=0.192+(-0.075264)*0.2= 0.1769472 A3=A(0.6)=A(0.4)+ fA(t2, D(0.4), Y(0.4), A(0.4), u(0.4))*h=0.4+(0.8)*0.2= 0.56
Bu durumda D = 1.00 0.8000 0.608 0.4631, Y= 0 0.20 0.192 0.1769 ve A = 0 0.20 0.4 0.56 bulunur. Grafikleri
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
t(sn)
Y(t
)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
t(sn)
D(t
)
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
2929
İlk değerleri ve sabitleri belirle alfa,beta,gamma, h, n, D(1),Y(1),A(1), u
E
k=k+1
k=1 ?nk H
t’ye göre D,Y,A’nın değişimini çizdir
t(k+1)=t(k)+h
D(k+1)=D(k)+fD(k)*h Y(k+1)=Y(k)+fY(k)*h A(k+1)=A(k)+fA(k)*h
fD(k)= YDD fY(k)= uYYD
fA(k)= YD
Soru.2) 1. soruyu çözecek a) algoritmayı oluşturun ve b) programı yazın.
Çözüm:
Program Çıktısı (soruda istenmiyor!)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected]
3030
KaynaklarKaynaklar
Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve diğ., Literatür YayınlarıMüh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve diğ., Literatür Yayınları
Sayısal Çözümleme Ders Notları, Bilgin, M.Z., Kocaeli Ün., Elektrik Sayısal Çözümleme Ders Notları, Bilgin, M.Z., Kocaeli Ün., Elektrik Müh. BölümüMüh. Bölümü
Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems, Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005Pearson Prentice Hall, 2005