8vo grado matemática ecuaciones con raíces y...
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2015-01-23
8vo Grado Matemática
Ecuaciones con raíces y radicales
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Tabla de Contenidos
Expresiones radicales que contienen variables
Simplificación de raíces cuadradas no perfectasSimplificación de raíces de variables
Click sobre el tema para ir a esa sección
Resolución de ecuaciones con cuadrados perfectos y raíces cúbicas
Common Core Standards: 8.EE.2
Glosario
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Vínculos a preguntas PARCC de muestra
Sin calculadora el N° 9
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Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero.
¿Cuántos tercios es en un entero?
¿Cuántos quintos hay en un entero?
¿Cuántos novenos hay en un entero?
Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.
El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para
armar una "pared de palabras".
(Haz click sobre el subrayado.)
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Volver al tema
FactorUn número entero que puede dividir a
otro número sin dejar resto
15 3 5
3 es un factor de 15 3 x 5 = 15
3 y 5 son factores de 15
1635 .1R
3 no es un factor de 16
4
Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer
número
El cuadro tiene 4 partes
Vocabulario1
Su significado 2
Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la
página del tema.
(Cómo se utiliza en
esta lección)
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Expresiones radicales que contienen
variablesVolver a la tabla de contenidos
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Para sacar la raíz cuadrada de una variable re-escribe su exponente como el cuadrado de una potencia.
Raíces cuadradas de variables
=
=
(x12)2 = x12
(a8)2 = a8
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Si la raíz cuadrada de una variable es elevada a una potencia par tiene como respuesta una variable elevada a una potencia impar, la respuesta debe tener el signo de valor absoluto. Esto asegura que la respuesta será positiva.
Raíces cuadradas de variables
Por definición...
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Ejemplos
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Intenta éstos.
= |x|5
= |x|13
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no no
¿Cuáles de estas expresiones necesitarán el signo del valor absoluto al ser simplificadas?
sí
s í
s í
s í
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5
A
B
C
D no tiene solución dentro del conjunto de los reales
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Simplificación de radicandos cuadrados
no perfectos
Volver a la tabla de contenidos
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Un número es un cuadrado perfecto si puedes tomar esa cantidad de 1x1
unidades cuadradas y formar con ellas un cuadrado.
11
Unidad cuadrada
4 es un cuadrado perfecto, porque tomas cuatro unidades cuadradas y formas con ellas un cuadrado de 2 x 2.
(Observa que la raíz cuadrada de cuatro es la longitud de uno de sus lados, ya que ese lado multiplicado por sí mismo es igual a 4.)
2
2
4 = 2
Simplificando cuadrados perfectos(Revisión)
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¿Qué sucede con los números que no son cuadrados perfectos?
¿Cómo podemos simplificar ? 8
8 no es un cuadrado perfecto, y no importa como organicemos las unidades cuadradas, no podremos formar
con ellas un cuadrado.
Así que, sabemos que no tendremos un número entero que pueda ser multiplicado por sí mismo y de igual al 8.
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¿Qué sucede cuando el radicando no es un cuadrado perfecto?
Re-escribe el radicando como un producto de su mayor factor cuadrado perfecto.
Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto.
Si la forma simplificada aún contiene un radical se dice que es un número irracional
8
click
click
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¿Qué sucede cuando el radicando no es un cuadrado perfecto?
1. Re- escribe el radicando como un producto de su mayor factor cuadrado perfecto.
2. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto.
Otro ejemplo
Si la forma simplificada aún contiene un radical se dice que es un número irracional
click clickclick
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Intenta éstos.
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Identificar el mayor factor cuadrado perfecto al simplificar raíces nos hace ahorrar mucho trabajo. Ej:
No simplifiques! Adelante!
Calcular el mayor factor cuadrado perfecto resulta en menos trabajo:
Observa que las respuestas son iguales para ambos procesos.
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6 Simplifica
A
B
C
D ya está en forma simplificada
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7 Simplifica
A
B
C
D ya está en forma simplificada
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8 Simplifica
A
B
C
D ya está en forma simplificada
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9 Simplifica
A
B
C
D ya está en forma simplificada
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10 Simplifica
A
B
C
D ya está en forma simplificada
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11 Simplifica
A
B
C
D ya está en forma simplificada
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12 ¿Cuál de los siguientes no tiene una forma simplificada irracional?
A
B
C
D
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13 La diagonal de un cuadrado puede ser expresada por la fórmula d= 2a, donde a es el largo del lado del cuadrado. Selecciona las opciones correctas para mostrar la longitud de la diagonal del cuadrado que se muestra.Tu respuesta debería ser un radicando expresado en la forma más simple.
A 3
B 4
C 9
D 1
E 2
F 3
d = ___ ___ 9
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14 La distancia, d, en millas que una persona puede ver el horizonte se calcula con la siguiente fórmula.
A 3 B 4 C 5
D 5
E 6
F 10
d = ___ ___
3h2
d = h = al altura de la persona sobre
el nivel del mar en pies.
100 ft above
sea level
¿A qué distancia del horizonte deberías ser capaz de ver desde este punto?Tu respuesta debería ser un radicando en la forma más simple.
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2
Nota - Si un radical comienza con un coeficiente antes que sea simplificado, cualquier cuadrado perfecto que sea simplificado será multiplicado por ese coeficiente. (multiplica lo de afuera)
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15 Simplifica
A
B
C
D
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16 Simplifica
A
BCD
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17 Simplifica
A
B
C
D
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18 Simplifica
A
BCD
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19 Simplifica
A
B
CD
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20 Cuando está escrito en la forma radical más simple, el resultado es, ¿qué valor de k?
A 20
B 10
C 7
D 4
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Adminis tra tion. Internet. Ava ilable from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.
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21 Cuando está escrito en la forma radical más simple el resultado es ¿cuál es el valor de a?
A 6B 2C 3D 8
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22 ¿Cuál es mayor ó 6?
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23 ¿Cuál es mayor ó 10?
Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí
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Simplificación de raíces de variables
Volver a la tabla de contenidos
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Uso del valor absoluto
Cuando simplificamos radicales, hemos dicho que asumimos que todas las variables son positivas.
Pero, ¿por qué?
Porque la raíz cuadrada del cuadrado de un
número negativo no es el número original.
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Por ejemplo -2
Pero, 4 no es -2, es +2. Por definición las raíces cuadradas de los números son positivas.
Comienzas con un número negativo (-2), y terminas con
un número positivo (+2).
Así que, la raíz cuadrada de un número es el valor
absoluto de su raíz cuadrada.
-22 = +4
4 = 2 Esto es para +22 y para -22.
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Suficientemente fácil.¿Qué sucede cuando el radicando es una
variable así que no conocemos el signo de este valor desconocido?
x2
x es positivo o negativo?
No podemos saber, así que asumimos que "todas las variables son positivas".
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Simplificando raíces de variablesLa definición técnica de "la raíz cuadrada de
x cuadrado" es "el valor absoluto de x".
x2 = x
x2=x x x es positivo
x2=x x x es negativo- -
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Simplificando raíces de variablesUso del valor absoluto
· La potencia de la variable dada es par
· La respuesta contiene una variable elevada a una potencia impar afuera del radical.
y
Cuando trabajamos con raíces cuadradas se necesita el signo del
valor absoluto si:x6
x3
x6 = x3
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x6 = x3
x x x x x x
Si x es positivo ó negativo, cuando se lo multiplica por sí
mismo un número par de veces, se convierte en un número
positivo.
así que, x es positivo.
= x x x
Sin embargo, si x es negativo, cuando se lo multiplica por sí
mismo un número impar de veces se convierte en un número
negativo.
así que, x podría ser negativo.
Así que, para , debemos usar un signo de valor absoluto para indicar que x es positivo.
x6 = x3
x6 = x 3
Pero, ¿por qué?
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Más ejemplosUsa la forma expandida para explicar por
qué se debe usar el valor absoluto en estas respuestas
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Simplificando raíces de variables
Divide el exponente por 2. El número de veces que 2 cabe dentro del exponente se convierte en la potencia sobre la parte de afuera del radical y el resto es la potencia del radicando.
Nota:No se necesita el signo de valor absoluto porque el radicando tenía una potencia impar al comienzo.
=x7 x x x x x x x x3 x=
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Ejemplos:
50x4y12z3
25 2(x2)2(y6)2
5 x 2 y 6z 2z
z zz
Combinándolos:
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Sólo y tiene una potencia impar sobre la parte de afuera del radical
x tenía una potencia impar bajo la raíz así que no se necesita el signo de valor absoluto.
La potencia inicial de m era impar, así que no necesita el signo de valor absoluto.
Simplifica
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Slide 56 / 85
Slide 57 / 85
26 Simplifica
A
B
C
D
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27 Simplifica
A
B
C
D
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Resolución de ecuaciones con
cuadrados perfectos y raíces cúbicas
Volver a la tabla de contenidos
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Usa los números mostrados para hacer la ecuación cierta.Cada número sólo puede ser usado una sóla vez. 4 8 10 64 1000100
a. =
=b. 3
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Cuadrados perfectos Cubos perfectos
Completa el Diagrama de Venn para clasificar los números como cuadrados perfectos o cubos
perfectos.1 64 96 125 200 256 333 361
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Cuando resolvemos ecuaciones, la solución, algunas veces requiere de calcular una raíz cuadrada o cúbica de ambos lados de la ecuación.
Cuando tu ecuación se simplifica a:
x2 = #
debes calcular la raíz cuadrada de ambos lados para calcular el valor de x.
Cuando tu ecuación se simplifica a:
x3 = #
debes calcular la raíz cúbica de ambos lados para calcular el valor de x.
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Ejemplo:
Resuelve.
Divide cada lado por e l coeficiente. Luego saca la ra íz cuadrado de cada lado.
=
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Ejemplo:
Resuelve
Multiplica cada lado por 9, luego ca lcula la ra íz cúbica de cada lado.
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¡Observa!
La respuesta es sólo 3 pos itivo, no 3.+-
¿Por qué la respuesta es sólo positiva y no tanto positiva como negativa?
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La raíz cúbica de 27 es 3, y no -3, porque cuando se eleva 3 al cubo se obtiene 27.
3 x 3 x 3 = 27
Si tuvieras -3, obtendrías -27...
-3 x -3 x -3 = -27
De esta manera, la raíz cúbica de -27 es -3.
¡Así que podemos sacar una raíz cúbica de un número positivo Y
sacar otra raíz cúbica de un número negativo!
Raíces cúbicas
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Ejemplos:
Raíces cúbicas
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Inténtalos:
Resuelve.
± 10 ± 8 ± 9 ± 7
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Inténtalos:
Resuelve.
2 1 4 5
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28 Resuelve
Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí
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29 Resuelve
Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí
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30 Resuelve
Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí
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31 Resuelve Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
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32 Resuelve
15 + = 40 Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Derived from
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33 Resuelve
2 + = 10
Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí Los alumnos escriben sus respuestas aquí
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34 Un cubo tiene un volumen de 343 .
a) escribe una ecuación para determinar la longitud L de un lado.
b) resuelve la ecuación.
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Derived from
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35 Estima el área del rectángulo a la décima más cercana.
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36 Si el área de un cuadrado es pulgadas cuadradas, ¿cuál es la longitud en pulgadas, de un lado del cuadrado?A
B
C
D
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37 ¿Cuál ecuación tiene tanto 4 y -4 como un posible valor de y?
From PARCC sample test
A
B
C
D
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Glosario
Volver a la tabla de contenidos
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Volveral
tema
CuboMultiplicar un número por sí mismo y luego por sí mismo
nuevamente.El producto de tres
factores iguales.
43 =4 x 4 x 4 =
64
¿Cuánto es 4 al cubo?
(4)(4)(4) = 63 =6 x 6 x 6 =
216
¿Cuánto es el cubo de 6?
(6)(6)(6) =
103 =10 x 10 x 10 =
1000
¿Cuánto es 10 al cubo?
(10)(10)(10) =
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Raíz cúbicaUn valor que, usado en una multiplicación
tres veces, da ese número.
3
Símbolo:
"raíz cúbica"
3
3
64 = 4
(4)(4)(4) = 644x4x4 = 64
216 = 6
(6)(6)(6) = 2166x6x6 = 216
Volveral
tema
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Potencia
32Base
Potencia
32= x 33
3 = x x 33 33
32 x 23
33 x 33"3 a la segunda
potencia"
Es otro nombre para un exponente. Es un pequeño número al que se eleva que muestra
cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Volveral
tema
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