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5/12/2018 8_Comportamento Materiais - slidepdf.com

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COMPORTAMENTO

DOS MATERIAlS

Mecanica dos Fluidos

Resistencia de Materiais

Conceitos basicos de Reologia

Maria Gabriela O. L. B. Lima

Cristina M. C. Laranjeira



III - lVIECANICA DE FLUIDOS

7. Hidrostatica

Embora se tenha alargado na literatura recente uma certa tendencia para supnrmr os

termos Hidrostarica e Hidrodinarnica, substituindo-os pelo conceito mais geral de "Mecanica

dos Fluidos", parece-rne que a separacao dos fen6menos estudados em dois grupos, envol-

vendo 0 primeiro os problemas com fluidos em repouso e abarcando 0 segundo os feno-

menos verificados em fluidos em rnovimento

Deve, no entanto, ter-se em conta que as nocoes de repouso e movimento sao nocoes

relativas e, consequentemente, a separacao acirna referida 56 e valida para urn estudo poucoaprofundado dos fen6menos

Decompondo a palavra nos seus elementos de formacao, hidro ~ estatica, descobre-se

que a ideia que esteve presente na sua genese foi, precisamente, a de estudar "a estatica da

aaua" ou zeneralizando va estatica dos liquidos", isto e tudo 0 que se passa no interior des;:, '-liquidos em equilibrio. E porque alguns desses fenomenos sao comuns aos gases, generali-

zou-se para "fluidos em equilibria" 0 que prirnitivarnente foi estudado nos liquidos em equ i -

librio.

Vamos, seguidarnente, proceder a uma breve revisao dos conceitos de pressao e de den-

sidade.

7.1 Conceito de pressao de urn fluido

Na primeira abordagem que foi feita do conceito de pressao, em estudos anteriores,

tanto a forca, como a superficie sobre que aetua, apareceram desprovidas do seu caracter

vectorial.

Com efeito definiu-se pres sao como a grandeza p da equacao

Fp::::-

S(1)

em que F representava a intensidade da forca e S a area c ia superficie sobre a qual a forcaactuava.

7.1.1Unidades Iegais . 0 Pascal.

No que se refere a unidades de pressao, em a generalizar-se progressivamente 0 uso

da unidade do sistema internacional de unidades S1,devido a obrigatoriedade da utilizacacdeste sistema.



E , pois, 0 pascal (Pa) a unidade de pressao que deve ser usada (I Pa = IN · m-2) .

No entan to ainda vao aparecendo unidades com o 0 kgf· ITlm-2• 0 em de Hg, 0 m m de Hg

(ou torr), a atmosfera, 0 bar eo milibar (mb). A existencia de tabelas de conversao facilitaa resolucao dos problemas.

N o quadro seguinte apresentarn-se algum as equivalencias:

1 kzf'- m m ? = 9,8 X 106 Pa :::08 P6 c d n n

1 em de Hg = 1,33 x 1 !Y Pa

1 to rr = 1,33 x 10: Pa« ~ m rm ~

I arm = 1,013 x lO S P a

1 rnb= 10: Pa

) C±m = 16 0 ~m.m~

ver Apendice III (tabela pressoes)

7.1.2 Unidades Anglo-saxonicas

( Sf - 0 axercico 0 , elcE a libra par polegada quodredo Pre expre sso 0 presso

unidade de peso libra (0,453 Kg) sobra a unidade de superficie, a polegcdc

( 1 1 1 = 2,539 em).

Logo, 1 PSI = 0,453/2,54 = 0,070307 kgf/cm2

ou sejo, 1 PSI = 0,0687 bar (0,070307/1,02)

7.2 Pressao atmosferica

~ a pre ssco exercido sobre a superficie de todos os corpos pela comodo gasosc

que constitui a atmosfera terrestre. Esta pressco co nlvel do mar, ~ igual ade uma coluna de mercur lo de 760 mm de altura.

Se em lugar do mercurlo, se utilizer outro liquldo, a altura ccpcz de ecuilibrcr

a pressco c+mosfer icc e inversamente proporcional co peso vel~mico do liquido

utiliz.ado.

Para a agua, estc altura ~ de 10,33 metros.

A pressco ctrncsfer ico diminui a medida que aumenta a altitude, Fig. 1

1 aim=76 0 mmHg =10,33 mH 20 = 101,3 kPa=1 ,013 bar =14 ,7 psi

J



{T=-570C

1 22 00M P =O .1 92 Kg f/c rr.2

{T :: -1L . °C

4500 M p= O.583Kgf /cm2

NIVE L DO MAR {PRE SSAO . = 1 J0333Kgf/cm2 au 760m .m . DE MERCURfOTEMPERATURA = 15°C

(VALORES MED!OS CORRE SPONDE NTE S A U MA LATITU DE DE 40° )

FIG. 1~--



7+3Pressao relativa ou manornetrica

E cquela que se mede a pcr rir de pres sec ctmosfer Ico.

~Pero medir pressoes uscrn-se os manometros a or

Unidade cnqlo-soxoriico

N a p r at ic a e f : eq ue n te s o br e tu do em m a n u a i s Ce i n s t r u~ 3 es e n c o n tr a r- s e 0 P S I C q ; , ; es i g n i f i e a

PS T G. . . . j..... r- : -.... '" b Ai7l _ .......... - ... -::... ~ - 1 . ..... ·.... .... '" 'C -. .. .. .. .. ... .:- ; -. ... -". . .. . .. . .. I . ,. tuc ., J.S,-u e , l 5 1 \ ; . . : , , ; IIICII~IHet....i. ...CC.s . .. .. . e . . . .c-..lvc5 l.JMU ::. = ,1.ar. .....l c . .. a .V

7.4 Pressao absoluta

E : aquelo que se mede a partir do vacuo absoluto.

Pressco absolute = Pressco relativa + Pressco otmosfer icc

Quando se ver ificcrn pressces inferiores a pressco ctrnosfer icc diz-se que se

est~ em vczio,

o vccuo relativo (cu vazio) e medido a partir do pressoo otrnosfericc, e varia

de:

o a 760 mm Hg de vacuo absoluto

o a 30 polegadas de Hg de vacuo absoluto

o a 11013 bar de vacuo absoluto

Para medir a pressoo ctmosfer ico utilizam-se os bcrorne+ros .

. Barometros de mercuric sabre 0 qual se mede a altura do coluna bcrornerr ico

. Bcrorne tros cnercldes, operfelcccdos por Bourdon e que estoo na bose de

todos os rnonorne+ros existentes actualmente no mercado.



A tensgo de vapor Pv de urn fluido, ~ a press~o que 0vapor do

fluido exerce num dado volume.Diz-se que um volume estA saturada, quando n~o pode canter

mais vapor; nestas circunst~ncias 0vapor diz-se saturante.A press~o de um g~s ou vapor que ocupa, juntamente com

autros, um dado volume, ~ igual A press~o que exerceria se 56 ele

ocupasse esse volume; a press~o da mistura serA~ igual A soma dasp~~essi:iesde cads compoY"lel'"lte.lQ( c ! 9 - D~ - 71-= b ?t.

A tens~o de vapor saturante aumenta com a temperatura,

tornando-se igual A press~o atmosf~rica no ponto de ebuli9~O. A

altura mAxima de uma coluna que a dada temperatura, equilibra a

Petm, ~ igual A diferen9a entre a altura correspondents A Patm e a

altura correspondente A tens~o de vapor A temperatura em quest~o.

Esta rela9~o ~ extremamente importante quando se analisam

problemas de bombagem, nomeadamente, no que diz respeito A

~

7.5 Pressao de vapor

aspira9ao.

liSadD&to

S:Ste.N1a..

c t . > d o c ska.'frOSd..b0bc6 a:o c:tJ?_

: : u .5T'9. : r ro. Qvy)8 : j u A J i C e.to ~ p::d:tm

sistema com P<Patmbai x a p~~essao

sistema com P)Patmalta press~o

7.6 Densidade de gases e liquidos , ou massa volumicaDesignada pelos ingleses "density", esta grandeza recebe, entre nos, 0 nome de densi-

dade e tambem 0 de massa vohimica,

De importancia fundamental na caracterizacao das substancias (solidas, liquidas ou

gasosas) e dos mais diversos materiais, torna-se necessaria a sua determinacao, quer em

disciplinas ligadas a Fisica dos solos, quer em analises de liquidos organicos, como por

exemplo, 0 sangue e a urina, quer ainda no estudo dos gases.

Recapitulando 0 que foi aprendido em estudos anteriores, eutende-se por densidade ou

m a ssa v ohim i ca de u m a su bstancia a massa contida na unidade de volume dessa substancia.

Como facilrnente se verifica, a equacao de dimensoes da densidade e [;3M; as dimensoes

da densidade sao, deste modo, -3 em relacao ao comprimento, 1 em relacao a massa e 0(zero) em relacao ao tempo. A unidade SI e 0 kg· rn".

o simbolo que representa habitualmente a densidade e a letra grega p.

Densidade

ou massa

vohimica



No caso de sistemas com densidade vari~vel,

densidade num ponto comodefine-se a

( J = = lim

\ 0v-> 6VC bv

(:2)

em que 6vc ~ 0 menor volume para 0 qual 0 meio continuo t~m

significado real.

R densidade da maioria dos sdlidos e liquidos ~ levemente

dependente da temperatura e a influ~ncia da press~o ~ desprez~vel

at~ 100 atm. Por outro lado, a densidade dos gases depende

fortemente da press~o, bem como da temperatura. Na aus~ncia de

dados especific,:,s(Tabelas 1 e 2 do Rp~ndice JI), a densidade dos

gases pode ser calculada, aplicando a lei dos gases perfeitos

f = \1 (P/Pl) (3)

o volume especifico ~ ~ 0inverso da densidade

(em 51 m3/kg) (4)

7.6.1 Densidades relativas-

E definida como a raz~o entre as densidades do material < P ) e

da ~gua pura (fw) ~ temperatura de 4QC e ~ press~o de 1 atm cujo

valor em unidades 51 ~:

p w = 1000 kg/m3

5 = f / f w (densidade relativa)

casc,da agua S = 1 ( v~t~Tabelas do Ap~ndice][)

(5)



7.7Principio fundamental da htdrostatica

Constituindo urna aplicacao muito particular de uma lei geral', visto que consideramos

apenas 0 caso de liquidos sujeitos ao campo da gravidade e nao a outros campos, varnos

abordar resumidarnente 0 problema em questao.

Considere-se entao urn liquido em repouso e dois pontos do interior desse liquido sepa-

rados pela distancia M, medida na vertical.

A diferenca de pressao entre esses pontos e obtida por aplicacao da lei geral da Hidros-

tatica a este caso particular; a sua expressao matematica e:

tJ .p=-pgt1z=pca- l ,=oh (6)

em que p representa a densidade do liquido ega aceleracao c ia gravidade no local da ex-

periencia,

o sinal menos significa que os acrescirnos t J . p e t1 z sao de sinal contrario; por outraspalavras, a pressao diminui, quando se sobe do fundo em direccao a superficie do liquido.

A afirmacao contida na expressao constitui 0 principia fundamental da Hidrostatica:

"A diferenca de pressao entre dais pontos do interior de urn liquido em repouso, a uma

dada temperatura, e igual ao peso de uma coluna de liquido que tern por altura a diferencade nivel entre esses dais pontos e por base uma superficie de base unitaria",

7.8 Impulsao, Principio de Arquimedes.

o conceito de impulsao surge como urna consequencia da aplicacao do principio fun-damental da Hidrostatica ao caso de urn corpo mergulhado num liquido (sendo tambem ex-

tensivel a qualquer fluido).

Na figura J. . representa-se urn cilindro completarnente mergulhado Dum liquido de den-

sidade p.

FIGURA 2

Deducao do valor da impulsao.

.- - ~••__ _,.._.- - _~ - __ 1"'.- _-- •

••- -"."., _ -+ + -- - _ -.~ ,.. -" •

..- - ~.,.- - '- -. . . . . : . : . - _ - .

: : . : : .: : ~ - =~ _ : . : :: - - ~ : : :: .: :~ = . J S - - ~ : ~ . : : _ : : : - =- - : . : : - - ~ : ~ ' ' ' : . : : : - =,,- , _ - . __,. -, - - .

. .- ~-.. .

. - _ .

. . . . . - _ -,.- - _ . . -. ._ _ _ .. .,.- _ -

... -- - . . • . . . . _ _ -.. -- _ _ .- - _-/ .. ---- _

. . ~ : : ~ ~ : : : : . ~~ : : - : =. : : : : : - ~- ~ & ~ ~ : : : : : . ~ ~ ~ : : - : ~ ~ : ~ : : :.... - _. _ • , - • _. __ - L _ , _



7.8.1 Condicoes de equilibrio de corp os flutuantes.

Sobre as bases do cilindro actuam forcas cujas resultantes estao designadas por i J e F ; _ .As forcas exercidas sobre a superficie lateral do cilindro equilibram-se duas a duas.

Entrando com0

conceito de pressao definido anteriormente, podemos escrever, para urnelemento de superficie da base do cilindro:

(7)

Analogamente para a outra base

~ ~

dF ; . =P2 dsz

Supondo que PI e P2se mantem constantes ao longo das bases, podemos escrever:

e

ou ainda

e

visto que Sl =S2 =S.

A intensidade da resultante destas forcas e:

~= F z - Fj = (P 2 - P l)S ,(8)

Tendo presente a equacao (6) " que nos permite calcular a diferenca de pressao entre

as bases do cilindro, c . E H transformar-se-a em:

Repare-se que p g V e 0 peso do volume de Iiquido que foi deslocado pelo solido.

Esta forca que actua sobre 0 cilindro, empurrando-o para cima, chama-se impulsiio e a

expressao (SJ e a traducao matematica do Principio de Arquimedes, que pode ser apli-cado aos fluidos:

Principia deArquimedes

"Urn corpo mergulhado num fluido recebe, da parte deste, uma forca, cuja direccao ea vertical, cujo sentido e de baixo para cima e cuja intensidade e 0 peso do volume de fluido

deslocado. "



7.8.2 Exemplos de aplicacau do principio de Arquimedes.

• A.s situacces possiveis ao abandonarmos urn corpo no seio de urn Iiquido podern serresumidas nag tres alineas seguintes: .

a) 0 'corpo desce no liquido e imobiliza-se no fundo do recipiente.

b~ 0 corpo imobiliza-se na posicao em que 0 deixamos, quer seja no fundo, quer sejano mew au em qualquer outro ponto do interior do liquido.

c) 0 corpo sobe no liquido, emerge uma parte do seu volume e so depois se imobiliza.

• Qual a interpretacao teorica destes factos experimentais?

Procuremos a sua explicacao,

a) 0 corpo desce porque 0 seu peso e superior, em modulo, a impulsao. Admitindo quesao apenas estas duas forcas as que se exercem sobre 0 corpo (0 liquido esta em repouso e

o corpo tambem nao possui movimento), e facil concluir que a sua resultante tern a direccaovertical e 0 sentido de cima para baixo.

b) 0 corpo fica na posicao em que se abandona porquc 0 scu peso c igual, em modulo,a impulsao, A direccao e vertical, para ambas as forcas, e os sentidos sao opostos. Sendo aresultante nula, nenhum movimento e comunicado ao corpo.

c) Neste ultimo caso 0 peso e inferior, emmodulo, a impulsao e a resultante destas duas

forcas tern 0 sentido de baixo para cima.Como consequencia, e cornunicado ao corpo urn rnovimento de baixo para cima. Quan-do se imobiliza 0 corpo, isto e , quando fica a flutuar?

Logo que 0 volume do corpo imerso corresponda a urn volume de liquido cujo peso

iguale a impulsao, A medida que 0 corpo emerge, a impulsao vai diminuindo (recordar 0

Principia de Arquimedes), ate igualar, em modulo, 0 peso do corpo. Nessa altura a resultante

anula-se e 0 corpo imobiliza-se, Diz-se entao que 0 corpo flutua.



~?w

> 0 7. PROBLENL\S (Hidrostarica)

~ 1I. U rn c ilin dro rn eta lic o de 80 kg. com 2 m de cornprim ento e com cada ex trern idade de area 2 5 ern" .

e st a c o lo c ado verticalrnente sobre 0 chao. Qu e p re ss io 0 cilindro ex erce no ch fio ?

fo rc ; :a no rmal (30 kg)(9,3 m/s~)p =. = '" 3,14 x la' ; -' ; /m~ = JI4 kPa.

area 25 x 10-· :n1

7.2 A pressao atm osferica vale aprox im adam en te I X 105 Pa. Que forca 0 ar exerce em um a sala no

lace interne de uma vidraca de 400 em X 80 em?

A atm osfera exerce urna forca norm al em qualquer superf'icie colocada neia, C onseqccntc-

m ente. a forca na vidraca e perpendicular a ela, e e dada po r

F = pA '" (I x W N /m = )(O ,40 x 0,80 ml) = 3,2 X lif N

N aturalm ente, urna forca quase igual, devida i atm osfera, no lado ex terno , evita que a vidraca

s e q ue bre ,

7.3 ~uma prer:,sa hidraulica como a da Fig. 1 , a pistao maior tern uma area ~e s~ao transv~r::u

A 1 = 200 crrr' e 0 m enor tern urna area A2 = 5 cm 2• Se urna forca de 25 0 N e aplicada ao pistao

meno r , calcule a forca FIno pistao maier,

Pelo principia de Pascal,

pressao sob 0 pistao maier =pressao sob 0 pistao menor

F [ F 2

A - ; - =: A:

AI 200 •F [ =Al F 2 = -5- (250 N) = 10000 N

Fig.1



7.~Urn fluido manorn~trico tern densidade relat~va S = ~195.Determine a densidade deste fluido em unldades Sl, a 40 QC.

Reduza 0resultado obtido ~s unidades do sistema CGS.

DADOS: consu 1tea tab. 1 00 Rpend ice ]I.

Resolu9~O : da equa9~o (6.4) c : : - p ' D , . .- 1 ( . . . .

par~a t = 40 QC retira-se da tab.1 f w = 994,59 kg/m3

f = s* p w ; ; ; : ;\

;;;:;934,04 kg/m3

3

10

p ; ; ; ; ; 2934,04*-· - ;;;;;,9.34 g/cm31 5

10

7.5 Calcule a densidade absoluta e a densidade relativa da gasolina, se 51 g ocupam 75 ern30

~

massa 0,051 kz.:.densidade ::::-- = - = 6 80 k cr/m J

volume 75 x lO-6 rrr' 0

~ensidade re1ativa

densidade d .a gasolina _ 6 80 kg(mJ = 068

densidade da agua - 1000 kg /rrr' '

7.6 Qual e 0 volume ocupado par 300 g de mercuric? A densidade do mercuric vale 13600 kg/m3

de p= m] V,

V m 0,30 kg < J== - "" =2,21X 10-0 m ==2,21cm J

p lJ6 00 kg( mol

7.7 Qual e a rnassa de urn litro (1000 em3) de oleo de caroco de algodao cuja densidade e de 926 kg/m3?

Qual e 0 seu peso?

m =pV= (926 kg/m J){ looo x 10 -6 rrr') = 0,926 kg

* , = - peso;;;;;; mg:::: (0,926 kg)(9,8 m /5 2) = 9,1 N



i.8 A rn as sa c e urn litro de Ieite e 1,032 kg. A nata que ele contern tern urna densidade de 865 kg/m 3,

quando PU,;!, e constitui 4% do volum e do le ite. Qual e a d en sid ad e do leite d esn atad o?

volum e de nata em 1000 em 3 d e le ite = 4% X 1000 em ) = 4 0 c rrr'

m aSS.J de 40 em 3 de nata ::: Vp = (40 X 10-6 m 3) (865 kg/m 3) = 0,0346 kg

. m assa (1,032 - 0,0346) kgdensidade do le ite desnatado ::: -_ = =1039 kg/m 3

volum e (1.000 - 40) X 10-6 m 3

C._ '

7,9 Qual a densidade do ar a 4, 133*10 Pa e a 177 QC ? ~0seu

volume especifico nas mesmas condi96es ?

DADOS: 1 atm = 101,3 kPa

cO'r"lsule El . tab.2 do Ap~nd ice'j[

\ = = f1(P/P1)t :::::77 QC Lo qo T :::::177 + 273 :::::50 K

5

para a mesma temperatura e P1 = 1 atm :::::01,3 kPa = 1,013*10 Pa

da tab.2 f 1 = 0,7833 kg/m35

como P :::::,133*10 Pa

5

4, 133*10

0,7833*--------- = 3,196 ~ 3,2 kg/m3<:'...J

~:::::13,2 = 0,31 m3/kg

7.10 C alcule a prcssso devida ao fluido , a urna profundidade de 76 em , (a ) em dgua parade

(p =1.00 g/em 3) e (b) em m ercuric parade (p =1 3.6 g /c m3).

(a) p = pgh = (0)76 m)(l000 kgJmJ)(9,8 m/s2) = 7450 NJm2 = 7,45 kPa

(b) p =pgh = (0,76 m)(13 6 00 kg/mJ)(9,8 m /s2) . . 1,01 X 10 5 N /m2~ I atrn



7.U Uma represa segura urn lago de 8 km2 atras dela. Junto a barragem a profundidade do lago e de12 m. Qual c a pressao da agua (a ) na base da represa? ( b) em urn ponto a 3 m da superficie?

A area do lago atras da barragern nao tern qualquer efeito sobre a pressao contra a represa.

Em qualquer ponto, p = pgh.

(a)

(b)

p = 02 m)(lOOO kg/m3){9,8 m /s2) = :1176OvPa

p = (3 m ) (IOOO kg/mJ)(9,8 m/s2) = 29400 Pa

IrY Q uand o urn sub m arin o de sc e a uma profundidade de 120 m, qual a pressao total a que estti sujeita

s ua sup e rf ic ie e x te ri or ? A densidade da agua do m ar e aproxirnadarnente 1,03 g/cm 3•

p = pr essao a tm os fe r ica + p re ss ao d a ag ua =!f=I X 105N/m2 + pgl! =I X IOSN/m 2 + (1030 kg/m 3) (9,8 m/s2) (120 m ) =

'P=1 XIOs N/m2 + 12,1 X lOs N/m2 ~13,1 XlOsN/m2 =1,31 MPa

7.13 Em urn lago , qual c a p rc ss flo d ev id a a agua a um a profundidade de 50 pes? 0 peso especfflco da

agua e 62,4 Ibf/p63.

p = pgh ='611 = (62,4 Ibf/pe3)(50 pes) =3 1201bf/pe2

~

7.14 A que altura a agua poderia subir nos , c..a~ c de U rn predio, se a m edida da pressao da agua

mostra qu e a pressso no andar terreo c de 270 kPa?

~ A m edida da pressao da dgua indica 0 e x ce ss o d e p re ss ao d ev id a a a gu a, is to e , a d ife re nc a e ntre

a pressilo da dgua e a prcssao da atm osfera. A pressao da dgua no fundo da m ais alta coluna que

p o d e s er s up or ta da e 270 kPa . Po rt an to , p =pgh nos da

P 2,7 x lO s N/m2

h = - = =27,6 mP g (1000 kg/m J)(9,8 m /5 2)



7.15 Um bloeo de alum inio "pesa" 25 g, no ar. (a ) Qual e a se u v olu m e? (b) Qual sera a tensao ... .IUm

fio q ue s us pe nd e 0 bloco, quando este estiver totalm ente subm erso em agua? A densidade do alu-

minio e 2 700 kg/rn:'. : I'

(a) C om o p =mjV, t emos

V- / - 0,025 kg -926XIO-6 3-926 3- m p - - , m -, em2700 kg/m]

(b) 0 bloeo desloca 9,26 X 10-6 m 3 de agua quando subm erso. Logo, a forca de : rA! f Jd !, :i ,sob re

el e e1 - . .

F:r,=p es o d e a gu a d es lo ca da =(volume) (p d a ag ua ) g.=

=(9,26 X 10-.6 m3) (l 000 kg/rn'') (9,8 m/s2) =0,091 N

7.16 Urn pedaco de um a certa liga "pesa" 86 g no ar e 73 g quando im e rso na agua. C alcule 0 s eu v olu m ee a s lJ a densidade,

~4-~

FriT-1>=O '* F1+T=mg

F-j: =(0,086) (9,8) N - (0,073) (9,8) N =(0,013) (9,8) N = 0,1274 N

A Fig. ~ rnostra a sit). .1a yaoquando,o objeto esta na agua, Da f igur a,

M as a im pulsao deve ser igual ao peso cia agua de slocade

F: t =peso da agua =(m a ss a d a a gu a) (g) =(v olu m :, d a agua) (d en sid ad e d a a gu a) (g)

Cornparando

0,1274 = Vx(1000x9,8)

donde V =1,30 X 10-5 m 3• Este tambem eo volum e do pedaco de liga. Portanto,

. _ m assa _ 0,086 kg

p da liga - -1-' - - 130 X 10-5 3 =6615,4 kg/m"vo um e, m

Fig . . . : 4

. ~ .~ . : : ~ > -

. ' > ~ . . . , > j i i ~ f i l



7.17 Urn cilindro solido de aluminio, de P == 2700 kg/m3, "pesa" 67 g no ar e 45 gem aguarras. Deter-

mine a densidade da aguarras.

A FI~ que atua no cilindro imerso e

F:c':== (0,067 - 0,045)(9,8) N == (0,022)(9,8) = 0 ,2 ,1 5 6 N

Este e tarnbem 0 peso da aguarras deslocada. 0 volume do cilindro e, de p ==m/V,

V do cilindro =m 0,067 kg

P 2700 kg/m3

Este e tambern 0volume da aguarras deslocada. Portanto, temos para a aguarras

= massaaguarras = 0,045 = 887kg/m3

Pagu.rrns volumeaguarras 2,48 x 10-5

o . A . . L

0,2156 = p a g u a r r a s x2,48x1O'5x 9,8

7.18 A densidade do gelo e 917 kg/m3, Que fra~ao do volume de urn pedaco de gelo ficara acima da aguaflutuando na mesma?

o pedaco de gelo flutuara na agua, uma vez que sua densidade e menor que 1000 kg/rrr" , a den-

sidade da agua. Assim sendo,

E x . = peso de agua deslocada = peso do pedaco de gelo

Mas, 0 peso do gelo e P~logV. onde Ve 0 volume dopedaco de gelo. Ainda mais, 0 peso da agua

deslocada e Paguag-V', onde V' e 0 volume de agua deslocada. Substituindo na equacso acima, temos

V'=

Pgelo 917

V = 1000 V = O,917VPagua

A frayao de volume flutuante e , entao,

V- V' V-O,917 V = 1-0917=0083--V-= V 1 >

®



7.19 ;Uma tampa esmerilhada de vidro "pesa" 2,50 g no ar, 1,50 g na agua e 0,70 no acido sulfurico,

Qual e a densidade do acido? E sua densidade relativa?

A F .:r.na agua e (0,0025 - 0,0015) (9 ,8) N . E ste e 0 peso da ag ua d eslo cad a. C o m o pg :::::pe-

Fr = (m ar - m iigua) g= PaguaV gso l V, tern os

F r = (0,0025 - 0,0015 )x g = lOOOxVxg volume deslocado e 0 volume da tampa

A forca de impulse no aoido

Fr = (m ar - m aeido) g= Paeido V g

F r = (0,0025 - 0,0007)x g = = Pacido x 1O·6x g Pacido= 1800 kg/nr'

Mas, isto e iguaI ao peso do acido deslocado, mg. Como p = ml V,m = 0,0018 kg e

V = 1 X 10-6 m3, temos

P do acido =0,0018 kg

1 X 10-6 m 3= 1800 kg/m3

Entso, para 0 acido,

P do acido5r = =

p da'agua

1800

1000= 1~8

Metoda alternative

peso da agua deslocada = [(2,50 - 1,50) X 10-3] (9,8) N

peso do acido deslocado = [(2,50 - 0,70) X 1O-Y.l(9,8) N

S f do acldo =peso de acido deslocado 1,80

1,00= 1~8

peso de igual volume de agua. deslocada

Entao, como 5"rdo acido = (p do aCido)J(p da agua)

P do acido = (Sr do acido)(p da agua) = (1,8)(1000 kg/m3) = 1800 kg/m3



8~CAPILARIDiillE

. ~ c~es~o influ@ncia decididamente as jen6Me~os capilares. AeXlstancla de cnes~~ indic- _- .

- - -', d-,,'_'S qu e qualql_!et~ n,.-d,6cltlae fl idcse encc'Yltt~a Cr:'Ylstnt erney;i;e submetid;:, "" .....oo.es- -l'r,-t t: 1.£1 '-'t ~. ~'''''~!r IP'_' l" an ~PS P 1 - ,t'

~ar.e das mol~cul~s vizinhas, aC96es cuja grandeza dimin~i

re.pldamerlte com a dlst~.i"lcia erlt'r'enK,leclllas Tcmaridc 1a fig. 1 d a' , .-. '.. - ecr i ,_como exemp 0

~x~rc~ a p g~na segulnte, as sollclta90es que UMa molecula.-_.- - S~~:e as C1t'cLlndantes, tot~Ylam-se pt'aticamey,te Ijespr~ezavei5no exterl'_'l'de urna esfe'r'a linlite hip,:,tetica centi'~ada na ml-,IArlllaa esfera de actividade mol~cular. - --- ,

Sa toda a esfera de actividade se encontra no interior detoda a Massa liquida, as aC96es que as outras moleculas, situadasno interior dessa esfera, exercem sobre a molecula a que essa

esfera diz respeito, equilibram-se. Mas, se a molEcula se situa a

~Ila distAncia da superficie livre do liquido, inferior ao raio da

esfera d~ actividade molecular, exista uma parte da rnesma que sa

localiza no exterior do dominio liquido e que e ocupada par

moleculas da gas ou vapor.Tendo em aten9ao a fig. 1, as aC96es no iYltsl"i,:,l"e B,

simetrica a A , naa s~o compensadas, criando-se uma resultante F,

dir iqida pat'a 0 irlter'ior do liquido, 'qUE sel'~atarrto n121.isi'ntensa,

quanta mais pr6x~ma a molecula estiver da superficie.

A pelicula superficial comparta-se como uma membrana tensa,

cuja a aC9ao E equivalente ~s esferas de actividade molecular que

sao ocupadas parcialmente par ar. Este fen6mena designa-se par -

Tens~o Superficial, E quantificada pelo Caeficiente de Tens~osl.lpe~'ficial- 0 '" . . ,

8.1 Tensao superficial

Define-se a grandeza tensdo superficial de urn liquido pela expressao

Fa=-

l(1)

em que F representa 0 modulo da forea que actua sobre 0 comprimento l.

Nesta definicao supoe-se que 0 Iiquido esta em contacto com a ar au com 0 vapor do

liquido. ,A existencia des ta s f orc as tangenciais a superficie dos liquidos conduz a su po sic ao d e

que as moleculas pertencentes a carnada superficial devern possuir energia potencial propria.P a r a calcula-Ia considera-se a' figura 1-8 .Como esta peli~~a tern uma espessura mui~_

'pequena, 0 contomo total doseu contacto com os ladosAB, sera igual a 2 1 (desprezou-se

a espessiira) e 0 modulo"cIa for9~-Fq~e equilibra a resultante das forcas de tensao superficial

vira dado por

F = (f-2 1 . ( 2.)

Se esta forca se deslocar de dx, aumentando a superficie da pelicula, havera moleculas

do interior do Iiquido que vao passar para a superficie. 0 trabalho reaIizado pela forca F

neste deslocamento ficara sob a forma de energia potencial nessas moleculas e s e r a dado por

dW = F s dx =a-21 · cb; =a·c iS .



-<,

- .\

J

\ /

~

---;/

/_ . . . . . . " . .

\\

\

- -FtG :_ ,1. A - ESFERA D E _ A CT IV ID AD E MOL EC ULA R

FIG.: '.lE - MOU~QJlA A SUPERFlCfE U V R E



Repare-se que dS representa 0 elemento de- superficie da . pelicula que corresponde aoseu aumento.

A equacao

dW= oss

foi considerada por Gauss como uma outra forma de definir a tensao superficial.

Tem portanto, as dimens6es de uma for~a por unidadede comprimento 01.1 ainda -2

MT em 51 N/m ou J/m2

A tensao superficial s6 depende do liquidoeda temperatura.

Embora a ~rea da superficie aumente, a for~a de tens~o

superficial manter-se-~ constante se T = cte. Ou seja~ n~o

depende da ~rea mas, da temperatura. 5e a temperatura do sistema

variar, a tens~o superficial tamb~m variar~, sendo an~loga ~press~o de vapor permanecendo constante para as duas fases em

equilibria se T = cte. No entento, contr~riamente ~ press~o de

vapor Pv, se a temperatura eumenta~ ~ diminui, tornando-se

nula: ~ = 0 quando T = Tc, au seja, quando as propriedadedo liqr.lid,:,orem id~nticas ~ do v.a por ,

Par~a a ~gua existe urrta expt'essaeo qlJ8 da a var~ia9a,:,de ()J com a

Temperatura em unidades SI:

(5) tel'll9. C

N,;:.'uadt~o4 ea' (APSN"DiC<tlr ~)apr~eserrtam-se valt;:.res de terls~io:,superficial para varios liqUldos. No primeiro em unidades 51 e a

20QC e no segundo em unidades inglesas e 51 e ~ temperatura de

sat ura9~c'.

Quadro1LiQUIDO

.: Tens~o superficial de varios liquidos a 20QC

EM CONTACTO COM TENSAO SUPERFICIAL(N/m - SI)

§.lcool Et i1ioo

Berrzeno

Merc(lrio

Merc(o-'ioMer~c(lri,:,,Gleo de lubrifica9aoGlec. m iner-al

~gua

ar-

at~

ar~

agua

v a z io

at'ar-

0,022344

0,028'31

0,0513324

0,392294

0,485588

0,034'386-0.037'3260,023324-0,037'326

0,072814



8.l.i Equacao de Laplace

, .Imagin~mos a supe rf ic ie de urn Iiquido em equ ilfb rio err. contacto com urn gas ou outroliquido e seja ABC Durn elernento dessa superficie com espessura e peso desprezaveis(figura ;t).

c

F IGURA 2..Po rc ao e lemen ta r da superficie de u rn I iqu ido .

A

8

Geralmente este elemento s e r a curve e n a o plano, pelo que a tensao superficial impli-

ca.:i

.a,existen~ia de uma forca dirigida no sentido da concavidade ou, 0 que e 0 mesmo,existira uma diferenca de pressao entre os dois lades da superficie do liquido.

A equacao de Laplace estabelece, precisamente, uma relacao entre (p - p). ae a formada superficie. .

~o caso, bastante frequente, de se considerar esferica a superficie do liquido, a ex-pressao ( b) apresenta a seguinte forma:

( 6 )

A

8.2 Angulo de conjuncao, Capilaridade em tuboscilindricos estreitos,

Agrupam-se no conceito de capilaridade (de "capillus" - cabelo, em latim) os feno-

menos que ocorrem em tubes muito estreitos. 0 comportamento dos liquidos neste tipo de

tubos e diferente do habitual, nao se verificando 0 principia dos vasos comunicantes, ao

introduzir urn tubo num recipiente com liquido: em vez de ficar ao mesmo nivel dentro e fora

do tubo, 0 liquido sobe, ou desce, no interior do tuba capilar, conforme molha ou n a o asparedes deste.

A Ades~o, ~ a manifesta9~0 do fen6meno de tens~o superficial

na presen9a de paredes sOlidas; a combina9~o das for9Bs de ades~ocom as de coes~o, explica os fen6menos capilares:

i) ascens~o

t \ _ O

: no caso dcs liquidos que molham

a parede do tubo no qual est~o

contidos(superficie livre conc~va).

i i) depressa,~

~

para os liquidos que n~o molham

as paredes do tubo no qual est~o

contidos(superficie livre convexa).



Uma grandeza que desempenha papel importante no estabelecimento de formulas que

permitem calcular a altura a que urn liquido sobe, por capilaridade, no interior de um tubo

estreito, e 0 angulo de conjuneac ou de concordancia, a, do liquido com 0 solido.

E dele que iremos falar, neste paragrafo, ao analisar as forcas que estao em jogo no

contacto d e u rn liquido co m u rn solido (p ared e d o rec ip ien te) e com urn gas (geraImente 0 ar).

A figura ~ representa urn pormenor da pare de do vasa que contem 0 liquido, com afiguracao das forcas que se exercem nos contactos solido-liquido, solido-gas e l iqu ido-gas ,

Sup6e-se que 0 liquido molha a parede.

g

FIGURA3·Contacto entre 0 liquido e a parede do recipiente,

com a indicacao das f01"935 emjogo,

. ," ,~, , -' . _ : < ~ .. . .

As forcas representadas c um p rira o a c on dic ao

tsl - tIg + tlg cos(1t ' - a) = 0 (f)

logo que a superficie do liquido, apes uma deformacao inicial, ern que a vai variando, atinja

a sua posicao de equilibrio.Conforme a liquido molha, au nao, a s paredes, assim a sera obtuso au agudo, corres-

pondendo, por conseguinte, a uma superficie c6ncava ou convexa.

Isolando ts i na equacao ('+) vern:

daqui se infere que

1r

ts i = . se a<- < h C l m Ynolho..~

e

iT ;

ts l <1;;g se Ct>-. 1"f)Olh6. ~~D2

G rande parte dos liquidos conhec ido s compo rt a- se , perante 0 vidro e perante 0 ar,como

a agua: 0 angulo de conjuncao e obtuso e a tensao entre 0 solido (vidro) eo liquido (agua)

e inferior a tensao entre 0 solido e 0 g a s (ar).Retornando a questao apresentada no inicio deste paragrafo, vamos estabelecer a relacao

que permite calcular a altura no interior de urn tubo cilindrico estreito.

Como 0 caso mais frequente e 0 do liquido que molba as paredes do tubo, vamos cal-

cular a altura a que 0 mesmo sobe.



A figura-4 representa esquernaticamente a situacao referida

FIGURA 4Calculo da altura a que 0 liquido

sobe num vasa capilar.

.1

~,. ,.. .-

I

i

It

d

p (=P " , pressao armosferica

P J =P " , n a s itu ac ao d e equ ilib ri o (a nte s, 0 l iqu ido sobe no ru bo a te atingir 0 equilibrio)

Pela lei geral da Hidrostatica aplicada aos liquidos, au seja, pelo principio fundamentalc ia Hidrostatica tem-se que:

P t - P z =pgh:

P 1 d . ( 2cr)or outro a 0, celI - P 2 =Ii' vern:

h2a

f Y 6 = R

(8)

(9)

oode

h= 20.

pgR l I D )

Pode verificar-se a generalidade desta expressao, discutindo a aplicabilidade a liquidos

que nao molham as paredes do tube.Voltando a relacao (-10), convem fazer inrervir 0 raio do tuba estreito, que e uma

grandeza facil de medir; ja 0 mesmo nao acontece com 0 raio de curvatura, R . do menisco,mesmo quando este se considera esferico.

Para se determinar a ascensXo ou depress~ocapilar, ou seja, 0desnivel h entre as superficieslivres no interior e no exte~~i.:.t~o tube., c.:'nsidet~a--se urntubo cilindrico de raio r e um liquido quecc'rt~espcl)rldao ~ngl.llode c.:.ntactcl9 (FI&.6J



rFIGUR..A. 5.

R - I2xu. '0 cia. Q9;,~'?G_ (~SCO)

, . - l 2 . . C U b d.o ~

o l . &~t1o obkGSo

e - 8~ o.~Ldc

Sendo 0 coeficiente detens~o superficial ~ , a for~a F

de tens~o superficial exercida no interior do tubo ser~:

F = 2 ' \ Y ' r ~ 0 " ( ,i.{)

dirigida segundo urnatangente ~ superficie; podendo esta decompor--se segundo a parede do tubo(componente tangencial) e umaperpendicular ~ parede(componente normal). Interessa-nos apenas·a

componente tangencial pais, ela ~ respons~vel pela subida oujescida do liquido:'no bubo, 0 seu valor se'r~~ '~t .:f: (cS,.e

2 'li'rr cos e (~2)

equilibrada pelo peso da coluna liqui~a de

va Lor-s P = rm. % 1 > " ( = F ~ ~ ~ - . p c : : '0,"

..tu.l 9\.& V = - I l l ? ? hU3)

Ft =Esta fort;a ~

altura h,·que t@m 0

Sendo ~ C o peso especifico do liquido.e ({3), obtem'~s:

Igualsndo as expressBes

h :::::----l!- < Y (14)

Para 0 par agua-vidro (e tambem para muitos dos Iiquidos que molham perfeitamenteo vidro),~ I (ou seja ~= x, . . 2 . . c C ( J D e=0° a expressao (14) torna-se em:



8.3 Formacao de gotas

E devido a accao da gravidade que a forma assumida por qualquer porcao de Iiquido,

livre, nao 6 esferica,

Por essa razao, quando se tern uma porcao de liquido de massa muito pequena, ha ten-dencia para que ela se apresente esferica, As gotas de chuva ou 0 mercuric muito dividido

constituem exernplos conhecidos.

Vamos seguidamente estudar a formacao de uma gota nwn conta-gotas,

A figura 6 representa a extremidade de urn conta-gotas que e, como se sabe, urn tube

de vidro muito estreito: ao comprimirmos a extremidade de borracha provocamos urn au-

mento de pressso sobre 0 liquido contido no tube; esse incremento na pressao vencera as

forcas devido a tensao superficial e 0 liquido cornecara a sair, formando uma gota, que antes

de se soltar, apresenta.ci 0 estrangulamento visivel na figura.

FIGURA 6.Formacao de u m a go ta n um c on ta go tas .

PD~

IP.Sobre a gota que vai desprender-se actuarn forcas, cujos m6dulos a seguir se indicam

e que, no momento em que a gota se desprende, se equilibram:

Peso c ia gota: P =mg

Forcas exercidas pelo liquido restante de-

vide a existencia da ten sao superficial

Forcas resultantes da diferenca de pressso

entre 0 interior do liquido e 0 exterior

(equacao de Laplace

}2" ro jXlis l'i: I V . Q a Q "'~1f"

}

P= F/S -=) F:; P:'5!S-=lf"2.

7r r2 ( p - P o ) = 7r r2 .!~r

, Tendo em conta que; peso da gota ( P ) - e a forcadevido a pressao do liquido no tubo

(P ) tern 0 mesmo sentido e que este 6 0 oposto ao das forcas devido a existencia da tensao

superficial, pode escrever-se a condicao de equilibrio, valida para 0 instante que precede a

queda da gota: .

2 1_mg-2 lrr( I+rrr 0 - ._0

r

ou

+'=mg= TCrO ' (15)



8.4 l\ledi~ao da tensao superficial

Referem-se apenas dois metodos tensiometricos: 0 rnetodo de arrancamento e 0metodo

das gotas.

1) Metodo de arrancamento

o fundamento deste metcdo reside na propria definicao de ten sao superficial; par essa

razao 0 funcionamento da s balances tensiometricas ( po r e x e rn p lo a balanca de Jolly) baseia-

-se na determinacao da forca necessaria para destacar da superficie do liquido urn pequeno

anel metalico de perimetro conhecido.

2) Metodo das gotas

Este meta do baseia-se nas consideracoes teoricas que conduziram ao estabelecimento

da expressao ,) 6); permite cornparar os pesos de urn mesrno mimero de gotas de dois

liquidos, urn cuja tensao superficial e conhecida e outro cuja tensao superficial se pretende

medir. Utilizando a expressao U6) para os dais liquidos e dividindo membro a membra

tem-se:

P a

Pressupoe-se que as gotas sao identicas, visto serem produzidas com 0 mesrno conta-

gotas.



· _ -c.: :.:~-~:._--'--._:,_-,.-,~.c~ c. -'~.'. ···c,_·:~<_·'"-.,

if~8. PROBLEIHAS (Capilaridade)

~ 8.1 Rept~eseY-ltegt~aficamey-,~e a ,:,al"~ia9aOa tensac. sl_\pel"~ficialcom atemperatura, entre U e 4u QC! comparando com os yalores

experimentais da tab.3 do Ap~ndiceX

Sugestao: fa~a intervalos Lt= 10 QC.

Resolu9ao: da equa~ao (6.5)

t/QC C Jcalc

3 3

tlQC

75,5

73,2

6'3,7

calc tab

o10

0,07385

0,07208

0,07030

0,06853

0,06675

7.3,85

72,08

70,03

68,53

56,76

o15,56

37,780

30

40

' "-,-,

1;

30 3S 40

Verifica-se uma certa discrep~ncia,quando a temperatura aumenta,entre as curvas. Isso pode significar que a equa9ao (6.5), naodesct~eye da me lhor- mane ir-a a By,::.lc;:'ao (f vs t.



Q ~ Urn man6metro de Mercario, com di&metro interne de 5 Mm, ~0.....

utilizado na medi~~o da press~o de urn sistema ende 52

pretende fazer v~cuo. Calcule 0desnivel verificado (h),

sabendo que 0~ngulo de contacto parede-Hg ~ de 352.

DADOS: ' 6 = 133280 N/m3

Hg

2*cc~s8l"-

n = ------*U7 5 i"'

d = 5 r o m = O,005 m logo r = 0,005/2 = 0,0025 m

~ = 0,485588 N/m

Hg

2*c':~s .35Qh = -------------*0,485688 = 0,0024 mHg = 2,4 mmHg

13.3280*0l 0025



9. Hidrodinamica

Pode considerar-se que a Hidrodinamica e a parte d . a Fisica que estuda 0 comportamento

dos liquidos (ou, antes, dos fluidos) em movirnento e tambem 0 movimento des solidos nointerior dos liquidos (ou melhor, dos fluidos).

No entanto, dada a dimensao que foi atingida no estudo do deslocamento de avioes e no

seu aperfeicoamento, este capitulo da Fisica desenvolveu-se extraordinariamente, passando

a constituir urn novo ramo, a Mecanica dos Fluidos.

9.1 Viscosidade

A viscosidade est~ relacionada com a resist~ncia que os

fluidos oferecem ~ deforma9~o, quando em movimento. N~o semanifestando com 0fluido em repouso. As aC95es da viscosidaderepresentam urna forma de atrito interno, exercendo-se entreparticulas contiguas que se deslocam com velocidades diferentes.

Considerando uma regi~o de fluido submetida a tens5es tangen-ciais,fig 1 . Estas tens5esprovocarn urndeslocamento dofluido, caracterizado pelo,g_ngulo l1c<, oujo vale,r vaiaumentando sempre, enquanto seexercer a solicita~~o tangen-cial; t~m ent~o sentido, falar

Fi g. Deforma~~o angularde um fluido

Os fluidos podem sar:

em:velocidade de deformac~oangular do fluido, traduzidapela vat~ia~~,:,o ~l'"lgulo40(com 0 temp':.. Ad.

Ll...t

i) Newtonianos: quando existe urnarela9~o linear entre as tens6esaplicadas e a velocidade de deforma9~o angular.

ii) N~o Newtoniano: Quando esta rela9~o n~o ~ linear.

9.1.1 Viscosidade dinamica ou absoluta

Para ilustrarmos a rela9~Oconsideremos UMa massa fluids em

entre tensbes e deforma9bes,movimento e dois elementos de



superficie paralelos, de Area dS,distantes de um infinit~simo dn,segundo a normal comum. Suponha-mos que uma delas com velocidad~v coplanar consigo pr6pria e outravelocidade v + dv, na mesma dire-c1;aclque a antet'ior-, 0 grad iente =h l

de velocidade na normal comum ~sduas superficies ~ num~ricamenteigual A deforma1;ao angular que serA

(

//

dv

fig. ~ coeficientedn de viscosidade

Newton verificou experimentalmente que 0 elernento maisrApido, tende a arrastar 0forGa tangencial dF, cujanewtonianos, proporcional ~

segundo a normal, isto ~ :

mais lento e reciprocamente, com urnaintensidade~, no caso dos fluidos

Area dS e ao gradiente de velocidades,

dF = ~ dS (1 )dn

CIU ainda

r = ~ = = f dv

dS dntensao tangencial

(2.)

o coeficiente de proporcionalidade

/ v . _ = r dndv

(3)

~ 0 co=fici~nte de vi~cosidade dinAmica ou absoluta,dirne1'"ISOES sao:

cujas

-1-1

ML T

As ~nidades da viscosidade dinAnica au absoluta, sao

SISTEMAS UNIDADES

eGSM~tr' ieCI

I 1'"101~s

8I

(1 e P : : : :

poiseCp) :::: dine.s/cm2kqf.slrll2Ib.sec/ft2N.s/m2 = = Pa.s

0,01 P = = mPa.s = 0,001 Pa.s --) 1 P = 0,1 Pe.s)

R viscosidade de ~gua ~ dada em fun9~o da temperatura, pelsf6rmula de Poiseuille

0,0178

~,. ::.

1 + ~,0337*9 + 0,000221*8

send a 8 a temperatura em Q e .



No Ap@ndice apresentam-se os Quadros 1 e 2 e respectivosnomogramas para determina~~o da viscesidade din~mica de acordo coma temperatura, para liquidos e gases respectivamente, como tamb~m,o Quadro 3 com a viscosidade da Agua para vArias temperaturas,

tude em unidades SI.

9.1.2 Viscosidade cinematica ou relative

Fl"~equenternente,cc,nsidera-se em VEZ de r ,que deperlde damassa especifica f (0 efeito de viscosidade din~mica ~ tantomaior, quanto maior for a massa especifica), um outro coeficientede vis cos idade: (So'U: deb 0.. VYlOI) l ! " Y Y \ Q . V \ . irt \zQ.'r()-SJ2 QJ . . J . J . . _ t i l. J . . ) , A ' doS.j

($)

E 0 Coeficiente de vi~cosidade cin~mAtica ou relativa, que seobt~m, dividindo pela massa especifica 0 coeficiente deviscosidade d inam ice, Rs suas dir.lensoessi3.0:,:02l.a:\-t\O.V'V"i\'\"t)?' a..SQ'Udcf..

2 -1 U;....L o , J o . A Q J ( 1 " , . I . . . l 9 . 'Y\tv Q .u. .L

L T { Q . u i d . O ' »

As unidades da viscosidade cinemAtica ou relativa ~, s~o:

SISTEMAS UNIDADES

CGSM~tric':,Ingl@s81

1 Stoke = 1 cm2/s

m2/s = 100 Stc.keft2/sm2/s

R determina9~0 do coeficiente de viscosidade cinemAtica, faz-se para aplica~5es industriais com 0auxilio de viscosimetros, ques~o aparelhos nos quais se determina, geralmente, 0tempo que urncerto volume de liquide demors a eseoer per urn erificie au tubeeapilar, ou, 0 volume eseoado num intervale de tempo determinado.Comercialmente a viscosidade refere-se ~s indica90es desteaparelho. Dutros modes de efectuar a medi9~o d~ viscosidade, podemconsistir na anAlise da queda de urna esfers nurnds resist~ncia oferecida ao movimento de rota9~o

ciIindf~c'.

me ic. vi5C':'S':'; o Ude urn diseo ou,

9.2 Medicao de viscosidade

Apenas serao referidos dois metodos.

Num deles, que designaremos por metodo de comparacao, estabelece-se a cornparacao

entre as tempo.s de escoamen:o d~ dois liquidos, urn de viscosidade conhecida tH') a tempe-ratura do ensaio e 0 outro cuja viscosidade se quer rnedir ( l L ) .



Sabendo os tempos de escoamento ( to e t) de volumes iguais de ambos os liquidos

atra ves do mesmo tuba viscossimetrico e as quedas de pressao poe p que motivam 0 escoa~

mento, podemos calcular )~ a partir da expressao:

o outro metodo baseia-se no estudo da queda de um corpo no seio de urn fluido

9.3 Regime de movimentos

Movimento estaclonario de urn fluido

Urn fluido em movimento pode comportar-se de maneiras diferentes conforme a velo-

cidade que 0 anima; 0 regime rnais simples de movimento e 0 regime estaclonario ou per-manente.

Neste tipo de movimento, que corresponde a valores baixos da velocidade, mantem-se '

constantes, em cada ponto do espaco ocupado pelo fluido, a velocidade, a densidade, a pres-

sao, de tal modo que as particulas do fluido que passaro por urn me sm o ponto, percorremtodas a mesma tr aj ec to ria , f ix a no espaco; a esta t ra jec to r ia charna-se linha de corrente, par

ser a curva tangente, em cada ponto, ao vector velocidade.

Urn tuba de corrente (figura 3) e fonnado por urn conjunto de linhas de corrente, todas

tangentes a uma curva fechada; 0 fluido circula no seu interior como se percorresse uma

conduta solida,

F IGURA 3.Tube de corrente.

Regime lamelar e regime turbulento

o escoarnento de urn fluido ao longo de uma conduta pede realizar-se de maneiras dife-

rentes, segundo a velocidade que se lhe imprime.

Uma das experiencias mais divulgadas nos textos escolares, dada a clara interpretacao

que permite dos factos observados, e a que consiste na adicao de urn fio de tinta a uma cor-rente de agua, de tal modo que_um dos filetes se apresenta colorido (figura z s ) ,

., f .c



Tubo de vidro

com agua corrente

a) b)

FIGURA 4 .a) Tinta no interior de agua em movimento (regime laminar).

b) Regime turbulento.

Se se aumentar lentamente a velocidade de escoamento da agua no tuba observa-se 0

seguinte:

1) Enquanto a velocidade for pequena 0 filete colorido mantern-se paralelo ao eixo do

tubo, por se rnisturar com 0 resto do fluido; conclui-se que as particulas de agua se movern

tambem paralelamente ao eixo.

Este tipo de escoamento e designado par regime Iarnelar ou de Poiseuille,

Velocidade 2) A partir de urn certo valor da velocidade ( ve lo c id ade c ritic a y 0 filete encurva-se e

crftica difunde-se rapidarnente por todo a tubo; fonnam-se remoinhos que atingern toda a mass a

lfquida,

Este tipo de escoamento e designado par regime turbulento ou de Venturi.

9.4 Reologia

A viscosidade evid~ncia-se predominantemente, nos

movimentos com pequenas velocidades(fluxo laminares); nos

esCOamel'"ltositos IItut~bulentos",como ja.vimos no atr-Lt em bubos,

as tensaes tangenciais viscosas(tens~o de corte), manifestam-se

junto das paredes sOlidas, numa camada muito pequena designada

camada limite ou subcamada laminar, sendo a tens~o tangencial fora

desta zona de natureza predominantemente turbulenta. A designa9~o

de fluidos perfeitos ou ideais, diz respeito ao caso te6rico de

fluidos sem viscosidade. Na realidade, n~o existem fluidos deste

tipo, apanas podem ocorrer situa96es em que ~ possivel desprezar 0

valor da viscosidade. A n~o considera9~o da viscosidade depende,

fundamentalmente das caracteristicas do escoamento e ngo de

natureza do fluido:

i) Um liquido muito viscoso que Escoe a grande velocidade,

comports-se como pouco viscoso.

ii) Um liquido pouco viscoso, pode comportar-se como muito

viscoso, se a sua velocidade de escoamento for muito pequena.



A rela~~o lineard'9'

t"'"A _ . -dn

que caracteriza os fluidos de viscosidade Newtoniana~ ~ urnaaproximag~o suficientemente correcta para urn grande n~rnero deliquidos e gases. No entanto~ para outros, a rela9~o entre as

tensdes e 0 gradiente de velocidades~ n~o ~ t~o simples; osfluidos que se comportarn assim, t@m a designa~go de N~o

Newtonianos ou~ de viscosidade n~o Newtoniana.Os fluidos que nos interessa considerar particularmente,- a

Agua e 0ar - comportam-se como fluidos n~o newtonianos.Dc,.lsigna·-seor- Dia_g'r~amar~e'::~lg_fLL~.f~;:0 grafico da fig. S

traduz a rela~~o entre tensties e deforma9ties.Neste diagrama, encontram-se rela9ties para fluidos

per~feitos('r~ecta cotnc iderrte com 0 ; : , eixo dos YY), fluidosnewtonianos e n~o newtonianos. Tamb~m se observam curvascorrespondentes a corpas plAsticos. Os plAsticoS ideais suportamum determinado esforgo sem fluir( como se viu no capituloanterior); a partir deste valor, existe urna relag~o linear entre 0 ; : 0

esforgo cortante e velacidade de deformagga angular. Nos

plAsticos reais, a rela9go ~ traduzida par uma curva.Existern substAncias denominadas TixotrOpicas, para as quaisas relagties entre tensgo tangencial e velocidade de deformaggoangular, variam com a hist6ria anterior da 5ubstAncia, isto ~, comas tensties a que esteve submetida anteriormente, isto t@rn 0 ; : 0 nomede 'r~,;:.Ctia. (/}p5t"rrdic - e ., W )

(ex.: tintas de irnpressgo).

qUE

I t . . J )

(S)

fig. 5 diagrarna reol6gico

(1) Fluid.;:,et~feito t " '" 0

(2) F'Lu idc. Newtoniano r "' " cte

(3) Fluido N~o::oewt on ia1'"10 / 1 , . + cte

(4) PlAstico ideal: suporta determinado esforgo sem fluir e, apar~tir~de rto vet~ifica-se uma 'r~elagaolinear~.

(5) PIAsticCt Real Ngo::o~ qualquer rela9ao linear.



9.1 Determine a viscosidade cinematica da agua (v) em unidades c.g.s., it

temperatura de 60°C. Convcrta 0 resultado obtido para unidades Sf e ,

compare-e , com 0 valor que obteria atraves do nomograma do Quadro 1 do\ "r I~t~pell(.lce _1.

Pcla equacao : f1(poise)= .~--- 0,0178 "l

1+ 0,0337 x 0+0)000221)( (f

como 0 = 60°C

Ji = ~--~~0178-------.,::.7. 0,0047P(poisc)1+ 0,0337 x 60+ 0:000221;.: 60-

da tabela 1 do Apendice na 60°C p=985,46 kg/m ' = 0,98546 g/cm-'

00047 ., ~ '1 '1

como V= J 1 l p = > V= --' - = = 0,0047 stoke=4.8 »: 10-'>x 10-' = 4,8)( 10-' m-!s0,98546 .

para converter a 81 . 1 P=

0,1 Pa.s

p=O,0047 P=O,.00047 Pa.s =0,47 mf'n.s

Do Quadro 1 X = lO~2

Y = 13,0

T=60 + 273 =333 K

do Nomograma :

~L= 0,47 mPa.s, confirma-se 0 resultado

9.2 Determine aviscosidade diudmica (u) e cinematica (v) do Helie , a 27°C.

Consultando 0 Quadro 2 do Apendice II: X = . 0,9 marcando os dois

Y = - _ : : 20,5 pontes

t =27°C :::::;.T = 27 + 273 = 300 K =:;, p..= = (>.,019ml'a.s (Nomograms)

v = ~tlp c necessario saber 0 valor da massa vohirnica



da Tab.2

(0,1328··0,1906) ---(366 - 255)

(0,132 S ~ X ) ~--(366 - 300)

X-=0,1672 kg/m:'

por interpolacao linear:

0,019 X 10"3 , ..l'lv=------ = 1 . 136 x 10 nc s

0,1672 ;

9.3 Determine a viscosidade dinamica do ar a temperatura de 100°C"

consultando 0 Quadro2 e nomograma do Apendice II. Compare 0 resultado

com 0 que obreria se interpolasser 0 valor correspondente a essa temperatura,

da Tabela 2.

t = 100°C =212 of

X = 11,0Y =20,0

da Tab.2

r T (;,. . . . . ,K~)"""""'=,~_T,l~=lx=l~~J

I ' 350 2,075!

! 373 ? IL ~ _ ~ o o .~,2,2~!

=:;, T = 100 - I- 273 =373 K

u= 0,021 mPa.s :=; 2,1 x 10-5 Pa.s

. ~. (400 - 350) --- (2)86 -2,075)por interpolacao linear :(400-373)~--(2,286- X) X= 2,172 y 10.5 Fa.s

como se pode ver os valores nao sao muito diferentcs.



ESAS

FlslCA

MECANICA DOS FLUIDOS

Conceitos de Pressao

Se colocarmos um cuba sobre uma superficie, 0 todo sujeito a

aceleracao da gravidade (ou outra qualquer, como seja umaaceleracao centrffuga), essa superticie em contacto com um

lado do cuba (bern como 0 pr6priolado do cuba) fica sujeita a

uma forca, 0 peso do objecto; esta forca, distribuindo-se sobre

a supertfcie de contacto, produz pressao.

-F

1 atm = 760 mmHg = 10,33 mH20

101,3kPa = 1,013 bar = 14,7 psi

29,92inHg = 1,033 kg/cm2

Maria Gabriela de O. L. Basto de Lima19



FislCA


Principio de Pascal

A pressao aplicadaa um fluido dentro de um recipiente

fechado e transmitida, sem variacao, a todas as partes

do fluido, bem como as paredes do recipiente.

Pistao com

grande area

fluido

confina do

ESAS Maria Gabriela de o. L Basta de Lima20



FislCA


Pressao atmosferica ou barornetrlca

Oar como qualquer substancia pr6xima da Terra, e atraido por ela, pois

o ar tarnbem tem peso. A camada atrnosferica que envolve a Terra,atinge uma altura de dezenas de km, exerce pressao sobre os corpos

nela mergulhados .. 0 valor da pressao atrnosferica pode ser medido

com uma experiencia idealizada pelo ffsico italiano Evangelista

Torricelli: Pegamos um tubo de vidro de 1m de comprimento, fechado

numa das extremidades, e 0 enchemos completamente com mercuric.

Fechamos com 0 dedo a extremidade aberta, invertemos 0 tubo e 0

imerg.imos num frasco que tarnbern contem mercuric. Ao retirar 0 dedo,

observamos que 0 tubo nao se esvazia completamente. 0 mercuric nele

contido eSCOapara 0 frasco ate que 0 desnfvel atinja cerca de 76cm.

merci.lrio

pressao

exercida

recipiente

com

merct:lri :o

ESAS Maria Gabriela de O. L. Basta de Lima21



,

FISICA


Pressao atmosferica vsAltitude

Pascal repetiu a experiencia de Torricelli no alto de uma

montanha e verificou que a valor da pressao atmosferlca era

menor do que ao nfvel media das aquas do mar.

A pressao atmosferica diminui com a altitude ..

Altitude (m) Patm (cmHg)

0 76

500 72.

1000 67

2000 60

3000 53

4000 47

5000 41

600036

7000 31

8000 27

9000 24

10000 21

ESAS Maria Gabriela de O. L. Basta de Lima 22



FislCA


Pressao relativa au manometrica

Oepende somente da massa volurnica do fluido, da altura do

fluido e da aceleracao da gravidade, independentemente doformato e tamanho do recioiente.

PiRI!:SSAO

k."ft/m~m'C8

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ O. 0

mnn 1

2.000 2

lOOO 3,

~ - 4 ~ - - ~ ~ - - ~ ~ ~ ~ - - - - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - - ~ ~ - - - 4 0

t t : ~ t = : : ~ ~ : : ~ ~ ~ = = = = ~ ~ 2 : = = ~ ~ ~ ~ t = = = ~ tm

lOUD 6 '

; Phi

iPa=P+Ph

F~G"1




FislCA


Pressaoabsoluta (Total)

A superifc ie liv re do Ifqu ido e

ESAS

P a b s

Pabs P m an + Pbar = Prel + Patm

PRESS,!.O AelMA DA PRESSAO ATMOSFERICA

q;

!o J

. I l lIL

I '"0! ::;

§ ~o,q;

0 i : l l'"! 1

u rrt

~D-

.,

'" ~h

<F Jiii

~D- ill

rt

00 , 0 ;III

'"'".

PRESsAO ATMOSF~RICA (VARIAv~t)

PRESSAO RELATIVAZERO

?RESSAC ABAIXO Oil ?RESSAO

ATMOS!'ERICA

PRESSAOABSOLOTA ZERO

,[VACUO PERFElTO)

Maria Gabriela de O. L . Basto de Lima24



FislCA

MECANICA DOS FlUIDOS

lei de Stevin Principio fundamental da hidrostatica

A pressao de um fluido (com massa volurnica constante) varia

linearmente com a profundidade, vamos considerar uma

porcao imaqinaria de fluido na forma de um cilindro circular

recto com seccao recta de area A e altura h, com a face

superior I.ivrepara a atmosfera.

~p = pgh em que pg eo peso da coluna de Iiquido

J..I 'i

iI

!

I f'h

IPB=P+Phl

FIIG.1

ESAS Maria Gabriela de O. L. 8asto de Lima25



ESAS

FislCA


M,edicao da Pressao atmosferica ou

barometrica

Bar6metro de Mercurioo instrumento usado para medir, a pressao

atrnosferica e 0 bar6metro de mercuric,

Quando se mergulha a extremidade aberta de

urn tubo de vidro, com cerca de 90 cm de

comprimento, cheio de rnercuno, numrecipiente tarnbern contendo rnercuno, 0

conteudo do tubo tende a escoar-se para 0

recipiente,ate que a coluna de mercuric dentro

do tubo seja equilibrada pela pressao do ar,

exercida sobre a superffcie livre do recipiente.

o comprimento da coluna do mercuric torna-

se, pols, uma medida de pressao do ar. Esta

foi a experiencia realizada par Torricelli em1643.

Maria Gabriela de o. L. Basta de Lima26



ESAS

FislCA


Medicao da Pressao atmosferica ou barornetrica

Bar6metro Aner6ide

Funcionando como "altirnetros" e "bar6grafos", 0

bar6metro aner6ide consiste, essencialmente, numa caixa

rnetalica flexivel, completamente fechada, dentro da qual

e feito vacuo parcial. Uma pequena mala no seu interior

impede que ela seja esmagada pela pressao externa. A

carnara flexivel reage as variacoes de pressao, cujos

movimentos resultantes sao transmitidos a urn ponteiro

que se desloca sobre um mostrador.

Sbtema de ;,lta.v«ncn

Maria Gabriela de O. L. Basta de Lima27



ESAS

FislCA


Medicao da Pressao Manometrica

Manometros de tuba em U

Baseia-se na Lei de Stevin. Os man6metros de tubo em U, foram osprimeiros indicadores de pressao. Originalmente, estes tubos eram

feitos de vidro e as escalas eram adicionadas conforme fosse

necessario, Mas os man6metros sao grandes e fraqeis, tornando-se

inc6modos, e nao estao bem ajustados para inteqracao nas cadeias

autornaticas de controlo. No entanto, os man6metros encontram-se

usualmente nolaborat6rio, ou sao usados como indicadores locais.

Oependendo da pressao de referenda usada, podem indicar press5es

absolutas, atrnosferlcas e diferenciais.




ESAS


Medi~ao da Pressao Manometrica

Man6metros de Bourdon

Man6metros de sensor deformavel, transdutor e

transmissor de press6es. 0 termo medidor de pressao

refere-se usualmente a um indicador que converte a pressao

detectada, num movimento mecanico de um ponteiro. Um

transdutor de pressao pode combinar 0 elemento prirnario

de urn rnedidor com um conversor rnecanico/electrico ou

mecanico/pneurnatico e urn fornecimento de potencia,




FislCA


Medic;ao da Pressao Manometrica

Man6metros de Diafragma

Os diafragmas sao muito utilizados de entre os elementos pnmanos e

flexfveis de pressao, dado que requerem menos espaco e porque a

movimento, forca, que produzem, e suficiente para operar transdutores

electr6nicos.

Estao tarnbern disponfveis numa larga variedade de materiais para

processos corrosivos. 0 diafragma esta ligado a um ponteiro que serve

para converter a pressao do processo num sinal, electrico ou

pneurnatico. De infcio, 0 acoplamento mecanico era ligado a um

transmissor pneurnatico de pressao, que geralmente gerava um sinal de

safda de 3-15 psig. Com a evolucao da electr6nica do estado continuo e

o aumento das distancias de transrnissao, os transmissores de pressao

tornaram-se electr6nicos. Os primeiros sinais de salda foram 10-50 mV,

1-5 mV e 0-100 mV, mas depois passaram estar compreendidos entre 4-

20 m A o

~C Q r r ~ a t ft l s~ MAl~~p1 t C : ; _ p s l J 1 e E . l e ' f ' l ' f e n t

DJi1I~




ESAS


Hidrostatica

Ciencia que estuda as propriedades dos fluidos em

repouso.

Massa Volumica (densidade absoluta)

Propriedade fisica de irnportancia fundamental na

caracterizacao dos materiais (solidos, Hquidos e gasosos).

Define-se como: a massa contida ne unidade de volume

dessa substencie. mp=-

VEm unidades S.1. kg/m3 e c.g.s. g/cm3

19/cm3 = 1000 kg/m3

Esta propriedade varia inversamente com a temperatura.

No caso dos s61idos e Ifguidos, e independente da variaQ80de pressao. No caso dos gases e dependente da variag80

de pressao, pois estes sao fluidos compressfveis.

Utilizando a equacao dosgases perfeitos:

p p




ESAS

FislCA


Denstdade relativa

E uma variavel adimensional, sendo definida como: a

rezeo entre a massa voiumice do material a

determinada temperatura e a massa volumice daagua

pura a essa temperatura. t

d t = = Pt

P a g u a

Principle de Arquimedes

Um corpo mergulhado num tlukio, recebe, da parle oeste,

uma iorce cuja direcceo e vetiicei, cuja sentido e de baixopara cima e cuja intensida de e 0 peso do volume do fluido

deslacado. Forca de irnpulsao FI-

F I =F 2 - F 1 = ( P 2 - P 1 ) x S

F I =pgh S =pgV




ESAS

FislCA


Principia deArquimedes

SITUACOES POSSiVEIS~ Corpo desce no liquido em repouso e imobiliza-se no

fundo do recipiente entao: Pcorpo > FI

movimento do corpo 1: > - Corpo desce no Iiquldo em repouso e imobiliza-se no

fundo do recipiente entao: Pcorpo = FI (figura)

~ Corpo sobe no liquido em repouso parte do seu

volume emerge, irnobiliza-se flutuando entao:

Maria Gabriela de O. L. Basto de Lima

movimento do corpo r

33



ESAS

,

FISICA


Medic;ao da densidade absoluta

Metodo corrente - Utilizacao do

picn6metro, por gravimetria,

utilizando urna substancia de

referencia, normal mente a aqua,

conceito de densidade. Para 61eos

alimentares.

Metodo pelo principia de

Arquimedes - Tuba em vidro

com haste com escala,

devidamente calibrada

consoante a garna de massa

volurnica, medicao directa,

utilizando 0 a capacidade dascorpos flutuarem num liquida.

Maria Gabriela de o. L. Basta de Lima34



ESAS

FislCA


Hidrodlamlca

Estudo do comportamento dos fluidos emmovimento.

LiQUIDO VISCOSO IDEAL au DE NEWTON

Para este tipo de Iiquidos

proporcional ao gradiente

obedecem a Lei de Newton

a tensao e directamente

de ve.locidade, ou seja,

dv dv~=cte.--=-j..I..-.

dy dymais conhecida e 1" = j..I..y

em que y = dy velocidade de deformacao em s-1dt

High shear rate

t

t

. stu!ated

Moving pla'e with shear area A 10contact H ut l iquid belo

. ~ Stationary plate

Fig. 3 Flo~ belween two .,arallel piaes

Maria Gabriela de o. L. Basto de Lima 35



ESAS

FislCA


, 1 - 1 - viscosidade dinarnica au absoluta (Newtoniana) -

propriedade fisica que traduz a resistencia que 0 fluido

manifesta quando e obrigado a escoar par uma tensao

aplicadae uma medida do seu atrito interno. Traduz a forca

de atrito par unidade de superficie, entre dais planes

paralelos no seio de urn fluido, que se deslaca com uma

diferenca de velocidade unitaria, mantendo uma distancia

unitaria.

Unidade S.1.- Pa.s, no c.g.s. - P (Poise- dine.s/cm-)

1 P = 0,1 Pa.s

A viscosidade diminui com a temperatura.

v - viscosidade cinernatica que e a razao entre a

viscosidade dinarnica e a massa volurnica.

v=l1p

Unidades S.1. - m2/s e no sistema c.g.s. cm 2 /s = 1 st

1 cm2ls = 10-4 m2/s




FislCA


Medicao davlscosldade clnematica

v de um fluido esta relacionada por uma constants C do

aparelho, que e dada pelas caracteristicas especificas do

viscoslmetro utilizado. Esta constante obtem-se normalmente

por calibracao do viscosimetro com um fluido de referenda

certificado de viscosidade conhecida vR a determinada

temperatura pela equacao seguinte:

c= VR

t R

tR e 0 tempo de escoamento do fluido de referencia no

viscosimetro. Temperatura constants. Este tipo de visc. Tem

normalmente a forma de U, permitindo a determinacao da

viscosidade cinernatica pelaequacao

v ; _Cx t

ESAS Maria Gabriela de O. L Basta de Lima37



ESAS

FislCA


Medic;ao da viscosldade clnernatlca

VlscosfMETROS CAPILAR DE

OSTWALD

introduz-se 0 fluido ate ao nfvel A,

depois aquele e aspirado pelo 0 outre

lade do eapilar, ate a marea B e

determina-se 0 tempo de escoamento

ate 0 fluido atingir a marea C.

H

G

VlscosfMETROS CAPIILAR DE

CANNON-FENSKE

introduz-se 0 fluido dolado A,

determina-se 0 tempo de escoamento

do fluido desde a marea C ate atingir a

marea E.

Maria Gabriela de O. L. Basto de Lima38



FislCA

MECANICA DOS FlUIDOS

Forcas de Pressao nurn liquido

SImel"fIde

f t J t i ! V ! e t t : ' 8WI:aa. t'lutn pOnto A.' dB .

u a. upelfi ie e] mentar b..situm:la rrum ponte A f 0 int -

'or de m Hquidoem equ ilifi,.io · :

hidrostAtleO t est (t" ,oere~dua--

f o r t ; a . s FC s e a l ) F ~

fi . 13.9 - guP.:

- s a o iguais em m o dulo .e di c-~.. mas tern ntidos pos-

tos:

- 0 mOdulo F ,. aumenta co a

. a ol d Ala superficie

HV're do Ii ui e,

Cristina M. C. Laranjeira 58



FislCA


Teorema Fundamental da Hldrostatlca

A »11 0 ~ ~ i> -1 '( !f u. nd i.&. d •h~

a~ioM:moaf~ P. M i ' i t : :: : i l c i l l : J ; a .

~ i I I o um - e n t o 11 .p(p:ri IU ~

-tAfte&) :

P .. :=; P . - - + Ap..

.P8inl. .k " '" 0 (wpeH'i-c-te H~ 40. li.-quid ,,) ~: P. ~p~-{~ a m o s - -t6ika.-j. - .- --- - .

h

A P _ I J . p ex.ercida, num

pon to , por-nm Uquido m equi 'brio

hidr~ ~Q~ e Fopm-c iona l a pro--

fundIdade ' l i t (distmcla. do ponto

a : s 'i~icie ·livre 'do Iiqwdo) ;esta p~es.sio chama-a pr &~iQ

n,wastdt;.co. ou vrestlio ~tft icQ ! ..

- ~ jli, f'QlMtudada. por. Pa8fJal i

®Fig.. f r J , ) It. 4'ffllreni,c ie'~,,(iQ hidrtJ8~ -

td~" 8~-Imito 'OS ~_A _-- Bdo ~~ 4e uin If~~~dQ>. . . . .. ~~,

t . t !: l J o J i O . eu . 4tf~a

46 »fu$J" b . . n~clJ Jeula. _ - - i _ i E , t :- - - . _ - _ . -

t ) ._ p ~ "fft •A It .

(b ) p~ ---i : ~ t 4 ~ O : 6 & A PP I

6A fJiV ~ pDJ:ttos )JC" ~-.-.--

pNV~"(m.niB-':dq~·· A

- tJ B-d~ p . o m : _ ' f ! . supa1"f id.e

l;ivneufJ Uq~.--




FISICA


Pressao manornetrlca

Pressao exercida par urn fluido

- - ' . : - " : "

"_"-.."

..~~ .... Pwi!!! +\il'r

""j",.. i:

...(tf,) Mor(;Ga da' pY..,~&lJq~ um

Uq\t~ ~m& ..rolm, a,s ~lf. urn V . . tC!J1\Or'Bio. per- .

p~idi utdTU (I ~103, CDMOO

. mP$tra a dfrec~ d ~ dOlI

. J l I q _ \ 1 . I d . · -que *.&'nquan ..... ; 8;s. ; i' bl iha :$ . . .

t~' iP '·t$tS1.i!~:ly e . t . • • • .

'. tl>j 0 II . j 6 1 " tfi.:otoatrCii\' l dO $ ~\1l8

~ tambemque '.. i l ) . J ' : ~~"lXf,)A4'm~~ .'~ni.«ief4~ · a : o - s - o n t i c t A m ~ h ; 'wpm--/fCie 111,.,6 #f~r.d1f9,

Cristina M. C. Laranjei.ra 60



FislCAMECANICA DOS FLUIDOS

Pressao sobre uma membrana.Vasos comunicantes.

Fij. A p . _ . . qUO Uqwdo B mffIl!'l"'~

sob . tlrnmnbrana da ell· u

. : :. i . · ~ : . 0

.~Q +.Jg~ uqut. . t u b O '8lnU~

. ..,t"t~_tk4 ·exerclda (> e Uquilfo_.········profurrd h 1~ <lJrecta

··ll~ 16 A.

B!:itimm <d~v~

"mlCN<tiw.e demo luJ ;: 'I "d l cm.

tmMI~~"U1mC!ltil iIa

..liJtl.~: ~~I'&

. . n I ' o l l 1 ti (tllDo tnt tflI;ftU.o~~.

Cristina M. C. laranjeira 61




Vasos comunicantes

Fig. Urn- tv.} de 4guc,. 4dAoc/utU1ndO

<par niv~. por

pIa. 1)8 ~0I!:m1.9~.




FislCA


Paradoxo hldrostatlco

__m~fl! c •-lei de varlfiooil'

~ln~O!liliJ'ad~o. bJ,...

~t twJ~Ckt vasos AiE l 11, fieUfUbdo - "e -_de w pmD,- a.:po131t.l.~

nos o p m t O s ~ - balaa'Qa. de & n R i . S.

Del..tand()a mesma aU« ~ -de Uqui-'dO_ -~do : vas, a ba~8.ifl~_fk<A

:_:ilibi~) ~ ()~~ - _ d l -- - ' t . i I r - - - f.» peso ~e i U q U : 1 d O c tJdo




FislCA


Curiosidades da hldrostatlca

Fig, 0 ,t~ 4iGnt#tfc(l dOG <)8l'J'OB.

~ando 'OQ i In 0-, p6 110 pEidal F o d . O tm 'Au ~1It '\1m a~meJ, (I~,~ bO,

61CQ40 ml],Jt'(trofl. Este iI\~~lnto de Pl"~' trQ.7t.miitldo ~lo ' i J T e 6 I'l.I» , e : r n 1 l ; J o I D s

(p1lJtoo,. 1 1 > , qUe cmnprlmeffi (Ill tn!.'Vl)ta (1NI_) J eoutm -o mm t » r e dlI. ~; tm~

",:,:,p~Q.alil nlldeu'.

(OiJ :;r,tlNl qUIlt" ft, d~foo, ,c t ifquido

~ nUb po.re4~ dOe~. '

t4 11ida., J 0 7 ' f J ' « B d' flr~ciQrn(l~fi9J Q 1 c~ '0 ~il,

r o o D l i : '~no.r@d " ' : ~ e S 'bl" 0 1Iqutdo: ,dltligldB. em ., ~

tIdo vpostn • a cia. ~ \ I I S A . . ( 1d f l S tu~ ,

(b) A ~ do lil!u1~ '~~Q

tubO de"1~ _d~'"'O' d p<'4I-

~1\9,V~M. dwldo AflMJtdU-do tuba, d bo,r :m.d ta B.

CristinaM. C. Laranjeira 64



FislCA


Principia de Arquimedes. Impulsao

4:rq tiT ifll ~ ao··.th- & WBU : tW t -

·.}.vi,o ' ~ p e s o ; ''loan 0. ;va1m .. . . . . . . 1 I r l ! . ~ 4a ~aQhek'a, ~QO~ .,

·· .••~de.. . .~.

. ~ ila.,g . " d < j q:! RIdo: ~ ..St-....t~ .~ r p r 1 J n o , .,,. - _ ' . - ' , .

Fig1 (tl):. 0 i l C l o IS} '6 n U r L s denBD

do- que. '0 liqUldQ. QWJndt) lmersoi

0 vaJ-or doseu ·peso {l,flii lr t f.

' C O l t - rino$ 0- n o de~ol OB6HdOcal.no fUlldo dO V&so. .

(b). 0 Udotern tbmIidlUl(f1qut.l1 .Q do

I f , q u ; do. Qtmm.d[ } tnt r&o9 :fica 'em }'1e8(). por-qa .

p. =P.,,!'o"/ < = - _> p. ~ o, P01!'S.P~ :.1.

ae O{)~mos 0 flo de ~~ 0 ~l.kIo

ti-ca. eDt q:ttfBlJr l,o qWUquet" posJ~ flO

nterlQrOUqutdo




FislCA


Principio de Arquimedes. lrnpuisao

~itl~ t~), 0 .. U .-do (S)"e· m enoe ~

d u .qu'eO l l .qub1ol: fluntaJ ' q 1 ! f a n d t t > a . tmpu~. . . : ..... ,.. . .....

.f.· sotiid&i ,. parte im- apUe~no

F . . m ~ de: lmp.asa9 (J~ tiver '!Itlor !gua1 ao do

. .... -+-. . "g.~6 r~P ~ 'do. lidQ (B) I .al j) 'Ucada 1 l 1 ' O

~ent..o tle. ,g_N\vi(Jaa~ '9 .. : . " p p~ ..; p n r e n . t e - . ~ nu1li~S e e ~t'mos 0 _I)

(h~· '~edAao.tO eqUilfbtG -fr. ~urmm~ ~"f l i ; P U J . s F l o , tiaG'§D af-eetadb&'

",{bJ•. O. "U -.U :Ce .H ,- tf '9 ~ M _. "'.sti aehna. do' ! l611tro -de,:~.\l'ida(le G do . 'J'®; o blruirt'O

. . . : ; ; . . .

~otfPJ1_; f t u t $ mulireUa"".o b ..: (!(I ' 0 I . 1W-1tbYludest,e ,.. tdvel: (cl. n." 8:,5. II, neta. '4 .

~g~14JJ~ (iooIo 1).

~ _.

-0 flu't~ ,II metg~ Uia1' do

que 0' flutWid A.-"-"!"-~~----.

Cristina Laranjei.ra 66



FislCA


Principio de Arquimedes. trnpulsao

. · ItJ ~.: . ._ t·t .U ,·1 !sfla ~~ ·· em ~ ltt.:tJ~·:-4"{sul"litf1rii1;'.Q.,w,mwiit(), ft

. ' ' Z e ! J } ~ J ' ; f f ! : f ! ~ : : j : .i· .Sf)

·C . ·1w/~". fC1ipt i l i te ·,.lgua/ .d i n w i J . . ~ ! W . :·f i l l

' :~~j-M::(P~ n;..I~ FlUnrr/t) ..' f l . . 'I'paf~Qscdl1t(l;#·'.CI ~Y.- il~

: : ~ I f ~ t ~ : ~ ~ : ~ : r : : ~ · ~ 4 r 1 j. :¢a.,· /de.I«~$iio. l 'q&lkuia$- 'pefO: 'OOlf t t l lWt1S

·~1F~ .e.~e¢4~.qlK.lwiWinitttaina s 'h i /. vn iD f

: ;; jJ ! i : t ~ ~ ~ I fi IJ . E v m : :: : r w ~ l~ ~ : ·. . . .· n D ~ ~ s . e r v u i 6 ~ i D ~ · ; ( ! R 2 ) /iU-. e ilm"u/;

:o,FSfJdo s i i b , . u - ( J l Q P t u a qs t~n.u·_Jln

r 1 U 1 . · ~ a e . e r , J ~ J . J a . d e M tp<.i}.: - _ . ' : : - : " : , : : . : : : :

Pi( . .-Ie /1- QimnrlD '[l-J'tf'. oorPfJ. ~i!m-erJililllJrilil fl: lIilM':fk ,~ Jdt)-. :,,- - , - . . . . .. . , ..fe~ lfUfJ>,; p...ea· f I g · m p u J . · (JW ;fOj.t"l!",;1 .

. is·~. C Q 'J IcJ.rkl~t i§.r f iK;· J76..Jj +~.~o 1 1 # 0

10 m (A~·176-1j)~ q tiir~fi~tlsll/etJf)a.ulR'. biIUW(}de~lw< q - ·e~Obi fga il

"mD~N~~t.~t; i.t(JtWti/Q··p~f.fo• i1 fJ iU llb d o . · . . . . .




FislCA


Estrutura do lodo nos diferentes estados fisicos




FislCA


Escoamento de liquidos

l ! f' 1 . iJ • .

. . . . : a " wt; •g u

J\.~~~ :q~ 1,ll tlD~ 06eJ<lNtlDBnloIIiIDfl)

o:-,r~rW9 i,~) s o :;tlpi!~1At

))fl' 10 it mnobUiir la'l ie daB 1iW1iew'86.

QS,J iqufdos ~nl.fwd~z mas t lUo' t6ni .,'I , & n t ' ti j ".6pri4JtblJl~do; por i$So~:6, .'

f o r m a . doa : v e s o s . eontentores. Epor'

w t i n r o , em Vlftude de' as" distitllli~ ".

entre· ,aspaTtiieU'b*a serem P'3quenu, asliqUidos ' 5 1 0 · trunoom POUCQ c~·B i v e m (p.equ .ena e1aBt icl dade de-y6Iu~m~l~




10..Elasticidade e PlasticidadeQuando se aplica uma forga Dum solido ele pode ou nao quebrar.

Se a forga e retirada 0solido pede ou nao voltar a sua posiQao inicial;

dependendo do tipo de solido e da intensidade da f org a a pl ic ad a.

Una forca aplicada a um corpo sem oponente leva 0corpo a rrover+se, mas duas

ou mais forces opostas marrtem 0corpo estatico, apesar de The causarem defor

rnaQao.

Dr ---

~ ' - - - - - I - - : ~ : ~J

lb)

I

F I

I

-- _.IF

lG >

L__

(0..)

p, . . . ------...,I I ..

I

: /J'I/F

~=+=-----/I: L J

( c t ) 1nie1a . . t

( b ) TJtae~ao

(c.) Covunaeci io

(d ) TOfWao

U r n c orp o re sp on de a aCQao de um a dada forga de tres modos diferentes;

i) Se a tensao e s uf ic ie nte me nte g ra nd e, 0 corpo deforma-se e atinge um a Sl

-tuagao de equilibrio que se marrtem ate que a tensao seja rerrovida. Nes-

ta s cond.icoes 0matertial,diz-se ~,t1eo.

i i } Se depois de retirada a tensao aplicada 0corpo nao volta a sua forma ini

cial assurnindo urn certo grau de deformacao , diz-se que 0material a p . e . i i , o -

tieo.

illJ Se 0 corpo nao atingir nunca urn es tado de e qu il ib ri o, d ef on na nd o-s e c on ti

nuarrente sob a acgao da tensao, 0material escoa-se e c t a . origem a efeitos

de v ,uc.o -6 . tdade.



A tensao requerida para produzir estes efeitos varla coma natureza d o material

e coma sua estrutura. Os sistemas que tendem a "fLuiz-" sao os de reduzi

da ordem atomica (arrorfos) , Para os de elevada cristalinidade, onde os

atorros se encontram bastante proxirros e com elevada ordem a sua desIocacao

e mais dificil.

10.1 Deformacoas elasticas. Lei de Hook

Quando se aplica a urn solido forcas quer de conprcssao , quer de tracgao, es

tas tendem a alterar a separacao entre pares de atorros ao longo de acgao das

forcas opostas. Ao longo de todo 0rnaterial,isto r-esul.ta nUTlB.xtensao ou

corrtraccao das suas dirrensoes ,

for-cas de t.raccao

A variagao de. separagao entre partlculas, resulta numa variagao da energia

de ligagao, deixando esta de ter 0seu valor n U n i J r . o .

(a.)

citfotz.~(~

J ('(\.to. t z at0 ' ' '~'\.I.:C a.

(6)

Nesta altura, actuam as forcas de restituigao. Estas forcas serao atracti-

vas se as forgas de deformagao forem de tracgao e repulsivas se aquelas fo-

rem de compressao. Enquanto as forcas de deforrracao actuarem, existira urn

equilibrio entre estas e as forgas de restituigao.

Rerrovi.dasas forces de deforrraceo aplicadas, a separaeao .irrtera+cmi.ca reto-

t . . -ma0valor correspondente ao ffilDlmO de energla por acgao das forgas de res-

tituigao.

Para 0cristal ideal, a deformagao e proporcional ao total das forgas de res



, .

tituigao e de deforrnaoao. Assim, no cristal ideal, 0 conpor-tamzrrto das for

gas interatomicas e consistente coma lei de Hooke:

L ei de. H ooke. - para 6 o J t ~ c v . s de . pe.quena . .[ n: ten; )" [d a .d ( J. ) as rrodi.f i.cacoes que wn

corpo solido sofre, sao proporcionais a s intensidades dessas

forcas ,

A reacgao da pega salida a qualquer destas forces depende da georretria da

pega: (Ex. forca de 1 Nproduz nenos efeito nurra peca de ferro de J D nunde

diillretro que nurra barra de 0,1 rnmde diarretro).

Tendo em atengao a fig. anterior:

- Se as for-cas aplicadas aurrerrtarnde intensidade, a curva das foroas de resti

tuigao acaba por deixar a linha ABtl~

o comportarrento do material pede ainda

continuar a ser elastico, rras, com una

relagao de nao proporcionalidade entre

foroas aplicadas e deformacoes corres-

pondentes.

(

- U r n aurrerrto indefenido das for-cas aplicadas

nao pode ser sustido. H a portanto, urnmixnro para as forcas de res t.i.tui.cao

6 m a x . a partir do qual os atoJTDsse separam e 0material se desintegra.

10.2 Deformacdes plasticas

Se as forcas exteriores aurrentarem ate que 0 limite da lei de Hookee ultra-

pasaado , as foroas de restituigao aproxim:un-se do valor de 6 m a x . e em cris-

tais ideais pode ocorrer a frectura.

Na pratica, isto nao sucede coma maior parte dos corpos solidos (rretai.s so

lidos, pol.Irreros , etc.) pois estes podemextender-se granderrente para alem

-o limite de proporcionalidade, para una regiao em que 0ma:teJUai. . he..6ponde. a

:te.n.-6a.o a puc .a da M - c.a nd o pVl.lnc m e.n.. . .te .m e H .te .He6-6 a nOlWla. Nu:ta fLe.g.lao cU z --6 e .

que. 0 ma:teJUai. ! : J O o l r . e . de.6ol1.mo..~a.op.f.M:ti .ca e e esta propriedade que permite aos



/

rretais serem rolados, noldados , batidos, sem que voltem a pos.i.cao inicial.TQ.~ ! L f d I , - k ' e a . . I nt. t0. ,Kca.'Ic o r -----.;>t

I I

I I

Ie

,I

Ina ,tt-O 0' dl /~ <Tr)a. c , a : opil.l"l~"""'rntt

Na regiao plastica (p - zi,a tensao necessaria para aurrerrtar- a deforrracao,

aurrenta coma deforsracao. A partir cb ponto Z 0 mrterti.al, nao suporta ten-

sOes superiores e toma-se exrrerrarrerrte fino, de umarranei.ra muito rapida

e a ruptura es ta proxima.

Se 0materd.al, se encontra na zona plastica na pos icao R, tirancb.a 'tensao

I

II

f,I

I

I

,I

aplicada. A pega contmi -se pam una pos.ieao O ' e perrranece comuna defor-

nagao persranerrte correspondente a 00' que nao e recuperevel.

o caminho c J ! R e aproxirrudamerrte paralelo a OLe representa a 1 L e . c . . u P e A a < ; . . a o e. -

£ . M . t i. . c .. a pMUa . . e . . Sob a acgao de nova tensao, 0caminho percorrido e prati-

canerrte icfentico, excepto perto de R onde h~ urnpequeno deslocarrento.

10.3 Modulo de Young

Se tun corpo solido de comprimento £ . e seccao uniforrre A, for suje.i.to a forca

de tracgao F ele alonga-se de 0 . A . t e .f " t .6 a o d e . : tJ ta c . .~ .a o sen~ a : ; F /A e a d e . -

6 o J U n w ; . a o CalongamentoPOI'uni.dade de comprirrento) sera E :; 0/1!...

Se a forca F nao exceder as condi.coes da lei de Hooke a tensao (J. e proporcdo

nal a deformagao 0 e 0coeficiente de proporcionalidade cha.TlB-sem o d u l o d e .

y o u . n g ( Y o u E J

a :; Y e (le...i. d e. H o o k e. )

a := E c



E esta relacionado coma variagao praticarnente linear entre as forgas de

restituigao e as distancias interatomicas.

10.3.1 Elasticidade nos solidos

Para os cristais ideais, com fortes ligagoes atomicas sera de esperar for-

gas de restituigao elevadas quando ocorrem desLocacces dos atomos. Ou se

ja , atendendo a definigao de E, e de esperar valores elevados de m5dulode

young:

10 2

M ateri a i s E x 10 N / c m

DiaJIBllte 84

Carvao 77

B o r e 41

dxido de Al 40

Silicone 16

Titanea 12

Cobre 13

P01iestireno 0,4

Borracha 0,0007

No caso da borracha, as propriedades e1asticas derivam do deslizarrento das

cadeias de pol.Ineros umas sobre as outras . Assim, E e muito pequeno e a

borracha tern grande extensibilidade.

E vulgar que extendendo a borracha

para urncomprirnento 3 a 4 vezes maior

que 0inicial ela permanece no limi-

te de elasticidade.

o alongamento dos pollffieros conduz a

umarraior ordem na sua estrutura.

Se 0 alongamento dos pOl:l1reros aurren

ta a ordern da es tmrtur-a, ID3S, par o~



1:ro lado, a temperatura awnenta a desordem estrutural, 0 aurrerrto da tempe-

ratura opce-se a acgao das forcas de tracs;ao e0rrOdulodeyoung aumerrta com a

temperatura. Caracterlstica que se observa apenas nos po.l irreros de borrecha.

10.3.2 Contraccao transversal. Cocficlcnte de Poisson

Na rralha de urn cristal, 0 deslocamento atomico na linha de acs;ao das for-cas

opostas tern tambern efeito nas ligagoes laterais. Assim, a variagao e volu-

me produzida pela forga de tracgao ou compressao nao consiste apenas num a-

longamento ou corrtraccao na direcgao do vector forca, rras , tambemnuma con-

tracgao ou alongamento fid , numa direcgao perpendicular.

tsd :: d - d' contracgao ou alongamento numa direcgaoperpendicular ao vector forca

Define-se C o e f i i c i e n t e d e Poi6~on, ( eo e 6 ic l e n t e d e eo~e~ao xnanbV~at)

I : . d / d~;;6Tl

De acordo com a exper-ienc'ia, 1 1 depende apenas do rraterial e tOITB.alores e!!_

tre 0 ,2 eO , 5. 0 valor u = = 0,5 indica que nao h3: perda de vol .ume em exten

Sao ou conpressao. (pol.Irreros de bcrrecha) ,

10.4 Compressao total. Modulo de conlpressibilidade

U r n corpo solido cuja superficie total esta sujeita a uma pressao uniforme

( F / A J defo~-se de tal maneira que tocla a superficie geometrica tragada s£

dele'; permsnece seneIharrtet ~ .

<,/~'-------~rrV/~

I / o yV~,~~~-~-~-~-~-~-~-~-~-~~- -~7

;/ ,~' ,;

bre .ou dentro. . . .

a Sl propruo ,

- - Cornpressao total

Se for I : . V a variagao de volurre sofrida pelo corpo, par analogia com a lei de

Hook, a equagao de compress ibiliclade e:

- a ;; - F / A ;; K I : . JK e 0noduto de cornpressibilidade

o sinal que menos aparece porque a um aumento de pressjio cor-responde uma di

minuigao de volume.



10.4.1 Forcas de torsao

Supondoque 0corpo representado na f'i.gura esta sujei to a s forcas de ten-

sao F (forces que actuam tangenciaJ..rrente a s faces em que es tao aplicadas)

a tensao de tomao sera:

F

F / A

para ; t e J u , o e . . o pe.quena.6, os solidos defornam-se elasticarr:ente e, neste rei£

Ire, a deformacao e proporcional a tensao aplicac1a. Se for e 0 angulo de

desvio das faces em relagao a posigao inicial a equagao sera:

F /A = G e OU T = G . e

G moduto de . ; t 01 t6a .o , que da a rredida de elasticidade de forma ou configura

-ao.

10.5 Sistemas de escorregamento

Corrovirros , se una pega metalica e es forcada, para alem do seu limite elas

tico, ela sofre 1..UIB. deforma.gao(dita plastica) que nao e desfeita quando a

pega dew de estar em tensao.

Quandournfio rretalico e sujeito a urnes forco crescente de tracgao, obser-

va-se para urndado valor desse esforco urnpequeno al.ongarrerrto que irredia.ta

mente para. Continuando a aumerrtar- a forca aplicada ocorre novo pequeno

alonga.mento que ta.JJ"ll:)8mara irrediatarrente.

ADaurrentar ainda. mai,s a forca aplicada, 0processo descrito vai-se repe-

tindo ate que a ruptura do fio ocorra.

Observando a superficie exterior do fio, nota-se que para cada alongarrento

registado ocorreu l . 1 J 1 B . linha de deforrrB.gao. Os a'longanerrtos do fio devem-

-se a l . 1 J 1 B . parte do rresrro tel' "esccrregado'' sobre outra, segundo urnplano

e direcgao determinadas.

As linhas observadas no exterior nao sao rrais que a repercussao desses es-

corr agarrerrtos sobre a superficie. 0 facto de depois de cada alongarren.to



ser requerida uma fo~a maior para que 0novo alongarrento ocor.0a, signifi-

ca que a cada deforrracao plastica corresponde urnendurecimento da peca com

urn correspondente aumento da resistencia da mesrna.

Observancb mais de per-to estes fenomenos, constata-se que os p'Ianos de esco£

regamento, dentro do plano respectivo coincide comuma das direcgoes de maiom

densidade atomica. A cada conjunto plano - direc~ao de escorregarnento cha-

ma-se .6 i6 . tema de e J . : , C O Meg am en.:t. o •

- ,Conclui-se por-tarrto , que quanta maior e 0mrrero de s.i.sterras de escorrega -

rrerrto de urncristal, rrai.s defornBvel ele e.

I

D' ~ , - - - - - - - - - r - - - - _IE.' .

---- ...-.~.~ .-._._J, I

\

D

Note-se que a superflcie de escorregamento nao coincide direccionalmente

com0vector tensao aplicada. De facto, a +ensao efectiva responsavel pelo

escorr-egarrerrto e a 'tensao de corte. Se 0 plano de escorregerrerrto fizer urn

angulo 8 coma 'tensao de tracgao a , 0 valor da . t e Y L 6 a o de co rd s: e .6 l c. az e :

T z: a.6e1128

A distensao do material so ocorre porque 0escorregamento se faz obljq~

teo

o escorregarnento nao ocorre pela simultanea deslocagao de todos os atornos

do plano de escorregarrento. Tal implicaria a quebre instantanea de urnnii-

rrero enonne de liga~Oes. De facto 0escorregarrento inicia-se em locais on

de existem :iJnr-:erfeigoesna estrutura - deslocanentos. Por exemplo na re -



· .

giao de urndes Iocairerrto quando h a urn"desajust e'' de atorros. Se 0 na'ter-i.aL

for sujeito a uma dada tensao este desajuste vai ser transferida para ou-

tra posigao. A repetigao deste processo implica que 0deslocamcnto se rno

va atraves do cristal envolvendo a ruptura de apenas algurrss lig~oes em c~

da. instante. Emilltina anal ise , estes deslocarrentos sao transportados para

a periferia, deixancb urndegrau quando atinge a superficie do cristaL De

fonnagOes posteriores requerem 0escorreganerrto noutro lado.

Por vezes tenta evitar-se a propagacao des desLocanerrtos , rrediante a rrodi-

ficagao da composcao cbs rresnos, f 0caso do ferro temperado no qual se

introduzem particulas de ca.rbureto de ferro na rede de ferro inicial.

No caso cbs rrateriais policristalinos, acontece que os graos (conjurrto de

n cristais) estao orientados ao acaso e os limites de Eraogeram descontinui

dades que tendem a resistir a reform3.gao plBstica, pon],ue actuam corro bar-

reiras aos rnovinentos dos de5iocamentos. (os limites de grao numcristal

pure, tendem a ser- mai.s fortes (res i.s'terrtes ) que os proprios graos, e par-

tanto, quanto naior for 0 nlirrero de graos (ou quarrto mai.s pequenos forem)

maior sera a resistencia do material.

C o n c l u s o e s :

o rrOdulode young representa 0 aurrento proporcional que urnnaterial pode

ter sob a acgao de umadada 'tensao podendo depois re'tomar-a sua forma ini.

cial quando cessa a acgao da tensao em causa. : t : portanto, Ul1B Indi.cacao

da rigidez do rrater-ial.,

A res istenci.a do ma.terial, sere a nBrlma tensao que ele P:)(;B super-ten an-

tes de quebrar-, Em princ{pio, esta es ta relacionada comas forces inter-

atornicas entre os atoms e portanto, os netai.s serao nais fracas que as

substanc.iss comLi.gacoes iooicas, que par Sl,E. vez sao rrenos resistentes

que os nateriais com ligagoes covalentes.



Na pnitica, a resistencia O O S ffi3..teriais e afectada pela presen<;a de defei

tos na rede, especialrrente de deslocarrentos (estes sao responsave is pela

ocorrencia de deformacoes pJ.asticas para pequenas tensOes apl.i.cadas)

Serao materd.ai.s extrerrarrerrte resistentes, os cristais fibrosos, cujas es-

truturas sao isentas de defeitos, e tanIDo2'ms nateriais anorfos e orgdni-

cos.

A propaga<;aode fissuras nos naterd.ais torna-os pouco resistentes, partin

do ainda na zona elastica. As roturas sao, no errtarrto , impedidas de propa

gar com a utilizagao de res inas ou adesivos que se i.rrpregnamnas estrutu

rase

E m surra, 0comportarrento plastico dos rrateriais cristalinos e tlJTB conse-

quenci.a directa das ligagOes atomicas e da exis tencfa de imperfeigOes 10-

calizadas na rede atomica.

(~\Q-~ A-~rnc.ti(Q:TIL)



'~

~

/>j 10. .rROBLEMAS (Elasticidade e Plasticidade)

~ \ : t ; ! 10.1 Determinar 0 alongarrento total de uma barra de ",,0 cam 60 em de comprdrren

~ to, sendo a tensao de tracgao igual a 1 050 kg/cm2

T o.bei.a . 1

concreto em compressao

E (kg/c.m2}

5

21 x 1 0

5

20 x 1 0

5

7 x 10

5

1 1 x 1 0

5

7 x 1 0

5

1 ,1 x 1 0

5

3 x 1 0

E = a e . ae£= "I

5

d a : : tab ei.a. 1 E = 21 x 1 0 kglem2

a 7 05 0 -'+e : =

E= = 5 x 1 021 x 1 05

a =e x R . = 5 x 1O ~ x 6 0 = 0,03 em

Materiais. :.

ago de construgao com

0,15 a 0,25% de carbono

ago niquel com 3 a 3,5%

de N ..{.

D..!raluminio

Cu' laminado a frio

vidro

pinho

R . = 6 0 e m

a = 1 05 0 k g l c . n F .

10.2 De'terminan a forca de tracgao de una barra de ago cilindrico com 3 em3

de dianetro sendo0

a.longarrerrto relativo igual a 0,7 x 10-

a = f/A

5

E = 2 1 x 1 0 k g Ic m 2

Tab. 1

5 3

a=Exe: .=21xl0xO,7xl0- =

= 14 7 0 kglc.m2

f = a x A = 14 7 0 x 7J069 = 1039t ,4 kg



10.3 Qual a relagao entre os nOdulos de elasticidade dos rrateriais de duas bar

res cb nesno 'tammho, se, sob a acgao de fOD;:aB de tracgao iguais, os a-

longarrentos relativos das ba..rras estao na relagao 1:21/11. Determinar

estes al.onganerrtos , sendo uma das barras de ago e outra de cobre , e a

tensao de trecgao igual a 700 k.g/cm:?',.

E /E "'?a r ; . o c . u

qE=-

E

a : : ; a = : 7 0 0 k g / em : ?

a r ; . a c . u

o cue . E --

cu E cu

E ' "?

a ~ a E ::;21 x 1 0 5 k g / em : ?a ~ a

Ec.U::; ? 5

E = 11 x 1 0 k g / e m : ?c . u

7 0 0_4

° ar;.o ::; = 3,333 x 1 0:;

E::;

5 3 0 0 0a~o E a r ; . o 2 1 x l 0

7 0 0_It

° c . u ::; 6,364 x 1 0: ::; =e 11 x 1 05 1571,4c . u ° c . u

E a . ¢ ! O 1 5 7 1 / ; 1 '1::;

7::; ::: -

Ec.u 3 0 0 0 1.91 ~

10.4 Um a barra prisnBtica de ago de 60 em de cornprdrrerrto , e distendida de 0,06

em sob a acgao cE tuna foroa de tracgao. Achar a grandeza da force sendo

o vofure da berr-a de 400 em " ,

F::: ?

. e . : : : 6 0 e m

v ::;4 0 03

em

Q : : : 0 , 0 6 e m

5

E ::: 21 X 10 k g / e m : ?

F= ~= 0,06X6,667x21x105

, ( _ 6 0 : : : 1 4 0 0 0 , 7 k g



10.5 U r n arame com 30 m de corrpnirrerrtosujeito a 1JJIla forca de tracgao 50 0 kg,

a1onga-se de 3 em. Determinar- 0 nOdulo de elasticidade cb materti.al , sen-

do a a r e a da sec<;ao transversal do arame igwl a 0,25 cm 2•

l ::::0 m : : ; 3 0 0 0 e m

f ::::0 0 K g 0_Fl-At

0 : : : : 3 e m

E - Fi ::5 0 0 x 3 0 0 0

:: 2 0 X 1 05 k g/ e m 2

E :: ? - 1 \ 8 0 , 2 5 x . 3

A :: 0 , 25 c . n f

10..6 Um a barre de ago, de secgao transversal A :: 5 c . r r f , esta sujeita a acgao

das forcas Q i : . 420 k g e p : : 210 k . _ g . Calcular 0alongarrento total da

B l l ; >

10.7 Resolver 0 prob.lerra 6 supondo que 0 rraterial e duraluminio e P -Q ::; 4 2 0 K g .

o : : : : ? Qll + (Q~l l-0'=2 ~ ~

P ::; Q : : : : 4 2 . 0 kg ( J

barra.

A

Q'::25~

1

A : : : : 5 c m2

E :::: 7 X 105 k g / c m 2

A forca de tracgao nas partes superior e infe-

rior da barre e Q , enquanto que na parte cen-

trale P . o alongamento total

. . . ~II ( Q -P } l2ra: 0= 2r +

At4 2 0 x . 25

+( 4 2 0 - 2 1 0 ) 2 5

0 ::; 2 5 5 x 21 X . 1 0 ! )5 x 2 1 x . l 0

da barra se

: : : :, 0 0 2 5 e m

o : : : : Q : : : : 42 0 k g

o : : : : 2 . 4 2 0 x . 2 5 : : : :, 0 0 6 e m

7 x . l 0 ~ x 5

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