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21ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2007, 25(1), 2132

ORGANIZADORES DEL CURRCULO COMO PLATAFORMA PARA EL CONOCIMIENTO DIDCTICO. UNA EXPERIENCIA CON FUTUROS PROFESORES DE MATEMTICAS

Ortiz, Jos1, Rico, Luis2 y Castro, Enrique21 Universidad de Carabobo. Venezuela.

2 Universidad de Granada. Espaa.

[email protected]@[email protected]

INVESTIGACIN DIDCTICA

Resumen. Se estudia el conocimiento didctico expresado en el uso e incorporacin de la calculadora gr ca en tareas escolares, as como los criterios que manejan los profesores en formacin en el uso didctico de la modelizacin matemtica. El estudio se realiz, desde una aproximacin cualitativa, con diez profesores de matemticas de secundaria en formacin. Los resultados del estudio revelan cambios en el conocimiento didctico de los participantes, evidenciado en el diseo de actividades didcticas de contenido algebraico con la integracin del proceso de modelizacin matemtica y la calculadora gr ca, as como en la introduccin de estrategias no convencionales para el trabajo en el aula.Palabras clave. Organizadores del currculo, conocimiento didctico, profesores de matemticas en formacin, modelizacin matemtica, calculadora gr ca.

Didactical knowledge supported in curriculum organizars. A experience with pre-service mathematics teachersSummary. We study the didactical knowledge as the use and incorporation of the graphic calculator in school tasks, as well as the criteria studies that trainee teachers handle in the didactical use of the mathematical modelling. The study was made, from a qualitative approach, with ten pre-service mathematics teachers. The results of the study reveal changes in the didactical knowledge of the trainee teachers, demonstrated in the design of didactical activities of algebraic content with the integration of the process of mathematical modelling and the graphic calculator, as well as in the introduction of non conventional strategies for the work in the classroom.Keywords. Curriculum organizers, didactical knowledge, pre-service mathematics teachers, mathematical modelling, graphic calculator.

INTRODUCCINEl eje central de la investigacin es el estudio del cono-cimiento didctico derivado de la implementacin de un programa de formacin que integra, a travs del lgebra lineal, el uso de la calculadora gr ca y la modelizacin en la formacin inicial de profesores de matemticas de secundaria. A efecto del anlisis curricular se parti de una estructura terica soportada en las cuatro dimensio-nes siguientes: conceptual, cognitiva, formativa y social

(Rico, 1997a, 1997b). Dicha teora considera que el conocimiento didctico de los tpicos matemticos debe fundamentarse en los sistemas de representacin (Duval, 1995; Janvier, 1987), la modelizacin (Houston, Blum, Huntley y Neill, 1997; Niss, Blum y Huntley, 1991), los errores y di cultades (Borassi, 1987), la fenomenolo-ga (Freudenthal, 1983), la historia de las matemticas (Fauvel, 1991) y los materiales y recursos.


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En esta investigacin se opta por la utilizacin de la calculadora gr ca TI-92, como recurso didctico en el proceso de enseanza y aprendizaje de las matemticas. El contenido matemtico involucrado fue el lgebra li-neal, porque propicia una riqueza de aplicaciones impor-tantes en la modelizacin de situaciones del mundo real, tal como lo plantean Harel (1998) y Brunner, Coskey y Sheehan (1998), entre otros.La pertinencia de la investigacin procede del programa de formacin inicial de profesores de matemticas de se-cundaria en la Universidad de Granada, correspondiente al Plan de Estudios de la Licenciatura de Matemticas 1975, especialidad de Metodologa. Tomando en consi-deracin que en dicho programa se aprecia escaso trata-miento de las nuevas tecnologas y de la modelizacin matemtica, para realizar el estudio se implement un curso complementario, de carcter voluntario y en cuyo programa se integra la modelizacin, la calculadora gr- ca y el lgebra lineal en la elaboracin de actividades didcticas.

Las cuestiones formuladas fueron las siguientes:

Qu conocimiento didctico desarrollan los profesores en formacin mediante el manejo e incorporacin de la calculadora gr ca en tareas escolares, y de qu manera lo integran en su conocimiento profesional?

Cules son los criterios que manejan los profesores en formacin para el uso de la modelizacin matemtica y de qu manera recurren a ella?

Qu potencialidades didcticas brinda el lgebra lineal para el establecimiento de vnculos y relaciones entre la calculadora y la modelizacin matemtica, en la forma-cin inicial del profesor?

La calculadora grfi ca como recurso didctico

El uso de la calculadora gr ca obedece a su utilidad interactiva de representacin mltiple y sistema de clculo simblico, adems de su creciente inters para educadores e investigadores de educacin matemtica, por sus caractersticas para la presentacin y genera-cin de conceptos matemticos, por la diversidad y simultaneidad de sistemas de representacin y por la potencialidad de sus clculos, procesamientos e inferen-cias. Este inters intrnseco se encuentra al servicio del conocimiento profesional del profesor de matemticas. Waits y Demana (1998) consideran que el profesor de matemticas es el agente ms valioso para la incorpora-cin de las calculadoras en la enseanza y aprendizaje de las matemticas. Estos autores opinan que no se pueden esperar cambios fundamentales en los mtodos de en-seanza si los profesores no han sido introducidos en el uso de estos recursos. Asimismo, en los estndares, se a rma que el uso efectivo de la tecnologa en el aula de matemticas depende del profesor (NCTM, 2000), para lo cual asumen que ste debe tener una formacin ade-cuada en el manejo tcnico y didctico de la tecnologa que incorpore en su actividad docente. Propuestas de

esta naturaleza fueron consideradas en su momento en el informe Cockcroft (1982), donde se plantea la necesidad de contar con materiales que orienten a los profesores sobre las maneras de incorporar las calculadoras en la enseanza de las matemticas. Hilton (2000) a rma que la calculadora tiene una in uencia sobre lo que se ensea y sobre el cmo enseamos; su uso puede dar ms nfa-sis a la construccin de modelos matemticos surgidos de situaciones del mundo real. De ah que, mediante la calculadora gr ca, el rol del profesor contemplara crear situaciones de inters que contribuyan al surgi-miento de conceptos y relaciones matemticas (Ruthven, 1992; Ortiz, 2004).Algunas implicaciones de la incorporacin de la calcu-ladora en la formacin del profesorado de secundaria son puestas en evidencia en el estudio desarrollado por Bitter y Hat eld (1992), al encontrar que los profesores participantes en su estudio estaran dispuestos a poner en prctica un currculo que tuviese integradas actividades bien plani cadas y diseadas con la calculadora.

Super (1992) considera, dentro de las recomendaciones para los profesores, que: 1) las calculadoras sean utili-zadas por los alumnos para realizar clculos difciles relacionados con aplicaciones a la vida real; 2) las cal-culadoras no reemplacen la necesidad de usar las habili-dades con papel y lpiz; entre otras. Finalmente, el autor a rma que cuando las estrategias de implementacin son serias y se emplean bien, las calculadoras pueden llegar a ser parte integrante del currculo de las matemticas escolares.

Por su parte, Mohammad (1999), a partir de sus trabajos con estudiantes de educacin matemtica, logr que las competencias en manejo de las calculadoras gr cas, y en otras herramientas tecnolgicas, mejoraran signi ca-tivamente. Concluy que los programas que se dicten a los profesores en formacin deben dirigirse a la adqui-sicin de competencias en tecnologa, relacionadas con su futuro campo profesional, buscando los grados de aprovechamiento del programa, en cuanto a las habili-dades y destrezas para la enseanza de las matemticas con tecnologa.

Los resultados del estudio de Bedoya (2002), efectuado con profesores de matemticas en formacin, destacan la caracterizacin de tres tipologas de futuros profesores estructuradas a partir de rasgos actitudinales relaciona-dos con el programa implementado. La primera incluye el grupo de profesores que se caracteriza por su carcter re exivo, innovador, autnomo y efectivo frente al uso de la calculadora gr ca en la enseanza de las mate-mticas. El segundo tipo identi ca a los que presentan actitud favorable hacia el uso de las tecnologas pero no muestran efectividad al llevar a la prctica sus intencio-nes favorables. El tercer tipo se caracteriza por manifes-tar resistencia a la innovacin tecnolgica y presentar una actitud desfavorable hacia la calculadora gr ca. Este estudio propone indagar acerca del cmo actuar, en las dos ltimas tipologas, para contribuir a la integra-cin y al cambio de actitud favorable hacia las nuevas tecnologas en el currculo de matemticas.


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Las consideraciones anteriores contribuyen a crear am-biente de indagacin respecto a los aportes de las calcu-ladoras gr cas en el proceso de enseanza y aprendizaje de las matemticas.

Modelizacin en la enseanza y aprendizaje de las matemticas

El proceso de modelizacin como organizador para se-cuenciar y desarrollar la enseanza de los contenidos ma-temticos nos hace considerarlo como un elemento clave en la formacin inicial. Blum (1991) y Castro y Castro (1997) sealan que la modelizacin debe ser incorporada en la enseanza de las matemticas. Asimismo, el informe Cockcroft (1982) sostiene que la enseanza de las matem-ticas debe incluir resolucin de problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana. Tambin en NCTM (2000) se plantea que, con el uso de la tecnologa en la enseanza, los estudiantes pueden modelizar y resolver problemas complejos que antes eran inaccesibles para ellos. Estas sugerencias tienen su consideracin en los programas de matemticas de secundaria y bachillerato espaoles cuando en ellos se a rma que se deben relacionar las propiedades matemticas de los distintos objetos de estudio con las pro-piedades de los modelos obtenidos, e interpretar los resulta-dos de acuerdo con las situaciones planteadas.

Esta tendencia se ha visto reforzada recientemente en el mbito internacional con la difusin de los resultados de la Evaluacin PISA 2003, llevada a cabo por la OCDE (2004), de cuyo marco terico son parte constituyente los procesos de modelizacin. Segn el Informe PISA, los matemticos hacen matemticas, y las personas emplean las matemticas en una variedad de profesiones y traba-jos de manera completa y competente; para ello abordan cuestiones y problemas, abstraen y, por ello, modelizan sobre los datos que encuentran en su contexto de trabajo. El proceso de hacer matemticas, que conocemos como mo-delizacin, implica en primer lugar traducir los problemas desde el mundo real al matemtico. Este primer proceso se conoce como modelizacin horizontal, el cual se sustenta sobre actividades como las siguientes: identi car las ma-temticas que pueden ser relevantes respecto al problema; representar el problema de modo diferente; comprender la relacin entre los lenguajes natural, simblico y formal; encontrar regularidades, relaciones y patrones; reconocer isomor smos con otros problemas ya conocidos; traducir el problema a un modelo matemtico; y utilizar herramientas y recursos adecuados. Una vez traducido el problema a una expresin matemtica el proceso puede continuar. El estu-diante puede plantear a continuacin cuestiones en las que utiliza conceptos y destrezas matemticos. Esta parte del proceso se denomina modelizacin vertical, la cual incluye: utilizar diferentes representaciones; usar el lenguaje simb-lico, formal y tcnico y sus operaciones; re nar y ajustar los modelos matemticos; combinar e integrar modelos; argu-mentar; y generalizar. El paso posterior en la resolucin de un problema implica re exionar sobre el proceso completo de modelizacin y sus resultados. Los estudiantes debern interpretar los resultados con actitud crtica y validar el pro-ceso completo (Rico, 2005).

La modelizacin matemtica es un proceso que con-tribuye a optimizar la enseanza y aprendizaje de las matemticas, y representa una opcin que permite a los profesores en formacin el manejo y uso de conceptos y procedimientos matemticos para abordar el estudio de situaciones problema recurriendo a una estrategia din-mica de enseanza y aprendizaje. El empleo de la modelizacin matemtica en la forma-cin inicial de profesores no slo ampla su conocimien-to didctico sino que desarrolla una manera particular de pensamiento y actuacin del profesor. Se transmite conocimiento matemtico fusionando abstracciones y formalizaciones, ambas interconectadas a los fenmenos y procesos empricos considerados como situaciones problema. El acercamiento de los profesores en forma-cin a la modelizacin matemtica parece abrir posibili-dades creativas en la enseanza de las matemticas. Las bondades del empleo de la modelizacin matemtica en la formacin de profesores han quedado de mani esto en diversas investigaciones. Hodgson (1997) desarro-ll un curso de modelizacin matemtica, basado en situaciones abiertas del mundo real, para profesores de secundaria en ejercicio. Se encontr que la utilizacin de situaciones abiertas puede ayudar a facilitar el desarrollo de habilidades para la resolucin de problemas.

Barbosa (2001), en un programa implementado con ocho profesores en formacin inicial, encontr que las princi-pales di cultades para emplear la modelizacin matem-tica estn referidas al contexto escolar. Esto nos conduce a re exionar tambin sobre el contexto de aplicacin, es decir, pensar en una formacin inicial de profesores de matemticas que tome en cuenta los contextos del futuro desempeo profesional de los estudiantes para profesores (Rico, 1997a; Adler, Ball, Krainer, Lin y No-votna, 2005). De esta manera se podra evitar la aparente inconsistencia encontrada por Ensor (2001) entre lo que se ofrece en los cursos de formacin inicial y lo que ellos hacen en sus clases al iniciar su actividad profesional.

En general, la modelizacin en la formacin inicial de los profesores de matemticas enfatiza en una losofa de las matemticas que supera barreras tales como considerar que existe slo una respuesta correcta a un problema matem-tico y que slo hay una manera de encontrar esa respuesta. La modelizacin ayuda al profesor a conectar el contexto de la vida diaria de los alumnos con las matemticas, as como a desarrollar en ellos diversas habilidades y destrezas. Se hace cada da ms relevante y pertinente la incorporacin de la modelizacin como un proceso complejo en la formacin inicial de profesores de matemticas.

lgebra lineal, ambiente para integrar la modeli-zacin y la calculadora grfi ca

La eleccin del lgebra lineal se apoya en el currculo disea-do por la Consejera de Educacin de la Junta de Andaluca (1992). Este documento establece que en el ncleo de lgebra para la Educacin Secundaria Obligatoria, periodo escolar que abarca a los estudiantes comprendidos entre los 12 y los 16 aos de edad, se debe contemplar la resolucin de ecua-



ciones lineales y de los sistemas de dos ecuaciones mediante mtodos diversos. Asimismo, se deben considerar aplicacio-nes de mtodos algebraicos en la resolucin de problemas matemticos y de la vida real. Dentro de la diversidad de situaciones que se resuelven con tratamiento algebraico, se destaca la importancia de aqullas cuya formulacin implica la bsqueda de uno o dos datos.

Por otra parte, algunos autores como Tucker (1993) conside-ran que el lgebra lineal es la matemtica de nuestro mundo tecnolgico actual de sistemas multivariables complejos y de ordenadores. Sin embargo, Carlson, Johnson, Lay y Porter (1993) a rman que la importancia del lgebra lineal en campos aplicados no llega a los alumnos porque hay una tendencia a enfatizar en la abstraccin lo cual puede implicar que stos adquieren poca comprensin de los conceptos y procedimientos bsicos para la resolucin de problemas del mundo fsico y social. Ese hincapi en la abstraccin podra signi car la falta de atencin a los niveles de conceptuali-zacin algebraica, entendidos estos ltimos en el sentido propuesto por Robert (2000). En ese sentido, para lograr salir de la rigidez de la estructura formal se recomienda utilizar la calculadora gr ca. Tal es el caso del empleo de estas ltimas para visualizar las representaciones gr cas cuando los alumnos se enfrentan con las di cultades para gra car las ecuaciones algebraicas en la educacin secundaria (Dorier, Robert, Robinet y Rogalski, 2000). Esa representacin de conceptos algebraicos en la calculadora gr ca consideramos que podra ayudar a establecer conexiones del lgebra con el mundo fsico y social, adems de enriquecer la comprensin de los conceptos y procesos algebraicos. La modelizacin matemtica llegara a tener importancia en el proceso de enseanza y aprendizaje del lgebra lineal, con lo cual los profesores podran encontrar ms receptividad, en sus alum-nos, hacia las actividades de modelizacin. De forma anloga recomiendan que los profesores en formacin comprendan las maneras de utilizar las calculadoras gr cas para explorar ideas y representaciones algebraicas de la informacin obte-nida en la resolucin de problemas (Conference Board of the Mathematical Sciences, 2001).Las consideraciones del pargrafo anterior, respecto del lgebra lineal, se corresponden con planteamientos del Linear Algebra Curriculum Study Group (LACSG) (Carlson, Johnson, Lay y Porter, 1993), el cual fue fun-dado para encauzar temas que conciernen a la enseanza y aprendizaje del lgebra lineal. Dentro de las recomen-daciones dadas por el LACSG se encuentra el nfasis en las interpretaciones geomtricas que se debe realizar en la enseanza del lgebra lineal.

Labraa, Plata, Pea, Crespo y Segura (1995) a rman que los instrumentos del lgebra lineal constituyen un aparato conceptual de utilidad creciente en todos los campos de aplicacin de las matemticas. Plantean que el desarrollo de los contenidos del lgebra lineal, contextualizados en situaciones signi cativas para el alumno, podra contri-buir favorablemente a aumentar las expectativas de xito de unos contenidos disciplinares, con miras al logro de un aprendizaje signi cativo. Sin embargo, estos autores a rman que son muy pocas las investigaciones realizadas en didctica de la matemtica sobre la comprensin de los conocimientos del lgebra lineal.

Edwards y Chelst (1999) a rman que los modelos ma-temticos, estructuras y simulaciones son precisamente las herramientas de la investigacin operativa, la cual es una disciplina rica en situaciones problema del mundo real que los estudiantes pueden relacionar y donde los conceptos algebraicos pueden ser desarrollados o aplica-dos. Por ejemplo, citan que la resolucin de sistemas de ecuaciones o inecuaciones lineales usualmente se ensea sin un sentido prctico; mientras que en investigacin operativa se ofrecen aplicaciones que motivan o refuer-zan el aprendizaje de tales conocimientos.Harel (1998, 2000) enuncia el principio de la necesidad en la enseanza, por medio del cual los estudiantes aprenden conceptos que no son introducidos arbitraria-mente, sino con razones por medio de las cuales llegan a comprender el desarrollo del conocimiento matemtico. Esto implica diferentes estrategias, tales como el uso de la tecnologa. El autor propone este principio para la en-seanza de las matemticas, espec camente del lgebra lineal. Dicho principio tiene congruencia con el proceso de modelizacin por su misma naturaleza de estar vincu-lado a la vida cotidiana y al mundo real del estudiante.

Las consideraciones anteriores resaltan la importancia del lgebra lineal en los currculos y sus bondades y di culta-des en su enseanza y aprendizaje. La modelizacin apare-ce como un proceso de natural desarrollo en los campos del lgebra. Una de las maneras para introducir la modelizacin en los currculos de secundaria es la dedicacin de menos tiempo a la ejercitacin de ejercicios repetitivos y de algorit-mos innecesarios (Quesada, 2000), lo cual se podra lograr al integrar la calculadora gr ca en la enseanza y aprendi-zaje de las matemticas (Ortiz y Rico, 2001). En ese mismo sentido Vizmanos (2000), al referirse al lgebra, seala que sera conveniente enfatizar ms en el planteamiento de las ecuaciones que en la resolucin de dichas ecuaciones, para lo cual se podra contar con una calculadora. Ese nfasis en la expresin de las relaciones mediante la construccin de las correspondientes ecuaciones ayuda a consolidar estruc-turas de pensamiento algebraico, tales como el papel de las variables y las relaciones entre ellas. Esto pareciera signi- carnos que la tecnologa tiene en el lgebra un terreno de aplicacin para bene cio de los estudiantes y profesores. Al respecto, la opinin de Ruthven (1997) es que, en el domi-nio del lgebra, las calculadoras estn creando las condicio-nes para cambios radicales en la prctica matemtica, que tarde o temprano deben in uir en el desarrollo del currculo de las matemticas escolares.

El conocimiento que cada profesor de matemticas debe adquirir en su formacin inicial, para lograr la competen-cia que le permita desarrollar su funcin e cientemente, involucra un dominio disciplinario y un conocimiento didctico. Es decir, adems de los conocimientos mate-mticos que adquiere en su formacin inicial, el profesor de matemticas requiere de otros conocimientos relati-vos a la enseanza y el aprendizaje de las matemticas, que le ayudarn a conformar su competencia profesional. Esto signi ca reconocer la necesidad, entre otras, de do-tar al profesor de habilidades y destrezas para: plani car programas de matemticas escolares, disear actividades didcticas, establecer di cultades y obstculos, diagnosti-



car y prevenir errores, conducir y evaluar el aprendizaje de los alumnos, ensear conceptos o procedimientos mate-mticos, evaluar innovaciones, re exionar sobre su actua-cin y, en general, comprender su papel en la escuela. Ese nivel de preparacin del profesor de matemticas estara en relacin directa con la comprensin matemtica y el logro de los alumnos. Todos los anteriores, constituyen competencias profesionales del profesor de matemticas que, junto con el conocimiento matemtico y las destre-zas y conocimiento prctico para la gestin de grupos de alumnos, forman parte relevante de lo que llamamos co-nocimiento profesional del profesor de matemticas.

Las expectativas de la implementacin del programa se orientan al conocimiento didctico del profesor en forma-cin. Espec camente conjeturamos que la implementacin del programa diseado mejora el conocimiento didctico del profesor de matemticas en formacin mediante un trabajo de integracin intensivo de la calculadora gr ca y los procesos de modelizacin con el lgebra lineal. Para referirnos a este programa utilizamos el cdigo MCA, que recoge las iniciales de sus tres descriptores principales: Modelizacin, Calculadora gr ca y lgebra lineal.

METODOLOGAEl estudio se desarroll con estudiantes del ltimo ao de la Licenciatura de Matemticas, de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada, del Plan de Estudios de 1975, durante el curso 2000-2001. Un grupo de estos estudiantes, futuros profesores de matemticas, particip voluntariamente en el programa de formacin MCA sobre calculadora gr ca y modelizacin en la for-macin inicial de profesores de matemticas; esta activi-dad era complementaria en la asignatura didctica de la matemtica en el bachillerato y la asignatura prctica de enseanza, cursadas por los profesores en formacin.

En total participaron diez sujetos, los cuales siguieron durante 30 horas el programa de formacin cuyo diseo se sustentaba sobre dos organizadores del currculo: la modelizacin y la calculadora gr ca como recurso en un contexto matemtico de lgebra lineal. El curso se es-tructur en diez sesiones presenciales, cada una de ellas de 3 horas de duracin.

Este trabajo se enmarca dentro de la metodologa de estudio de caso. Se opta por el diseo de la investi-gacin a partir del estudio de caso porque se trata de estudiar con profundidad el contexto de aplicacin y las producciones de los profesores en formacin (Yin, 2003). La importancia de este tipo de estudio de caso radica en que permite encontrar aspectos pretendidos en la implementacin del programa y sus alcances. Desde la perspectiva cualitativa, Miles y Huberman (1994) de- nen caso como un fenmeno de algn tipo que ocurre en un rea de in uencia. El caso queda as caracterizado por un foco y su entorno. En este trabajo el foco lo cons-tituyen las producciones de los participantes. El rea de in uencia est delimitada por el contexto, los con-ceptos, la muestra y el tiempo, entre otros. Se entiende

por producciones, las respuestas de los participantes a cada una de las actividades propuestas en el programa; espec camente, las relacionadas con el uso de la cal-culadora gr ca y la modelizacin en la enseanza del lgebra lineal, el manejo instrumental de la calculadora gr ca y su articulacin con la modelizacin; as como, el empleo de estos organizadores para plani car tareas de enseanza y aprendizaje de las matemticas, es decir, el conocimiento didctico del profesor en formacin. Las producciones de los participantes estn referidas a las actividades del programa MCA, recogidas en los cuadernillos correspondientes a cada una de las sesio-nes del curso-taller, donde aparecen establecidas las distintas actividades que estructuran el programa MCA en la prctica. Dichos cuadernillos fueron entregados a cada uno de los participantes al inicio de cada sesin. Se peda, explcitamente a los profesores en formacin, explicar de manera detallada las propuestas o soluciones a las situaciones problema, tomando en cuenta que las mismas deban estructurarse pensando en el nivel de comprensin de alumnos de secundaria.

El anlisis de las producciones de los participantes se efectu tomando como criterio la identi cacin de tres momentos claves en el desarrollo del curso-taller. En primer lugar las producciones de la primera sesin, debido a que en ella podamos encontrar pistas del es-tado inicial de los participantes, en lo concerniente a sus competencias didcticas y a las formas de abordaje de las situaciones propuestas, antes de recibir la formacin pre-vista en el programa. En segundo lugar analizamos las producciones de los participantes en la cuarta sesin, en tanto que etapa intermedia en el desarrollo del programa MCA. Este corte se hizo porque en esta sesin se podan apreciar aspectos que revelaran variaciones en los parti-cipantes como producto del programa, tanto en la forma de abordaje de las situaciones problema, como en el dise-o de actividades didcticas integrando la modelizacin matemtica y la calculadora gr ca. El tercer momento fue la dcima sesin, debido a que en esta ltima se po-dran evidenciar las competencias didcticas adquiridas y consolidadas a travs del programa. Esto constituye el insumo para la valoracin de los logros del desarrollo del programa MCA. Todo ello contrastado con las produc-ciones de las dems sesiones del curso-taller.

Los aspectos que se consideraron para el anlisis fueron: respecto a la modelizacin se identi c el desarrollo de habilidades para resolver problemas abiertos, la discu-sin y re exin sobre los abordajes de las situaciones problema, la valoracin crtica de cada parte de la acti-vidad desarrollada, habilidades de comunicacin oral y escrita y habilidades para trabajar en grupo, aspectos su-geridos por Galbraith, Haines y Izard (1998). Respecto al apoyo de la calculadora gr ca como recurso didctico, se analiz la utilizacin de los diversos sistemas de repre-sentacin y sus conexiones entre ellos, con los conceptos matemticos y con las situaciones planteadas en el diseo de actividades didcticas. Adems se tom en cuenta el aprovechamiento de las posibilidades de clculo, expe-rimentacin, visualizacin y contraste de resultados po-sibles de efectuar con el uso de la calculadora gr ca, de acuerdo con lo planteado por Kutzler (2000).



RESULTADOS

En este apartado se muestran los resultados, consideran-do los tres momentos focalizados en el estudio.

Estado de los profesores en formacin en el mo-mento inicial

El estado inicial de los futuros profesores se puede sinte-tizar mediante los siguientes descriptores generales:

1) Poseen una slida formacin disciplinaria.2) Estn abiertos al empleo de la calculadora gr ca, por parte del profesor de matemticas, sin embargo mantie-nen una posicin moderada sobre el uso de la misma por parte de los alumnos.

3) Tienen relativa habilidad para proponer situaciones del entorno del alumno.

4) Conservan el esquema de conduccin de la clase do-minada por el profesor.

5) Tienen poca iniciativa en el momento de proponer actividades de evaluacin.

Estas descripciones se sustentan en las siguientes evi-dencias:

1) Los participantes plantean situaciones problema y las resuelven de manera sistemtica y secuenciada.

2) Los profesores en formacin recurren a la calculado-ra para darle un uso instrumental ms que didctico, es decir, la utilizan como asistente matemtico en la resolu-cin de problemas. Por ejemplo: resolucin de [] en la calculadora (PF5, PF6, PF10).3) Algunas situaciones problema planteada no se ubican en el contexto y realidad de los alumnos de secundaria, por ejemplo, fabricacin de pulseras de oro, masa-resorte y circuito de motocicletas. Por otra parte, se observ falta de especi cidad en unas situaciones propuestas, por ejem-plo: cruce de trazados de humo de dos aviones (PF10).4) Algunos participantes mantienen una comunicacin uni-direccional en el aula, de tal manera que el profesor es quien presenta, representa y resuelve las situaciones problema. Por ejemplo: proponer y resolver problemas sencillos (PF8), explicar el problema (PF10), escribir el modelo (PF4), exponer problemas similares [] (PF5). 5) En cuanto a la evaluacin, los profesores en for-macin sealan rasgos generales a tomar en cuenta en sus alumnos, tales como: inters por la clase (PF5), eleccin del modelo (PF3), resolucin correcta (PF6). Asimismo, los participantes mencionan algunos instrumentos de evaluacin como las preguntas orales, las actividades en pizarra y los exmenes escritos, pero no especi can el para qu, el cmo o el cundo de la aplicacin de cada uno de ellos.

Desempeo de los profesores en formacin en el momento intermedio

El objetivo de la cuarta sesin consiste en desarrollar la capacidad para modelizar situaciones en las cuales subyacen relaciones de linealidad que conllevan a la resolucin de inecuaciones lineales. Una de las cinco situaciones propuestas en esta cuarta sesin de trabajo fue la siguiente:

Ricardo tiene dos trabajos de tiempo parcial; en uno le pagan 7 euros por hora y en el otro 5 euros por hora. Debe ganar, cuando menos, 140 euros semanales para sufragar sus gastos escolares. Determinar las diversas for-mas en que puede programar el tiempo para alcanzar su meta.

En el anlisis de esta situacin identi camos dos modos de aproximacin a la resolucin de la situacin: los que resolvieron la problemtica planteada en su totalidad y los que slo se limitaron a estudiar casos particulares.

Resolucin directa:

En este caso se considera el uso de la calculadora pero sin introduccin previa a la visualizacin de la misma; es decir, se deja que explique por s misma. No se hace interpretacin ni se aprecia su incorporacin al proceso de modelizacin. Un ejemplo de este caso lo representa la produccin de PF5 que plantea las ine-cuaciones 140



la construccin del modelo, introducen ecuaciones e inecuaciones en dos variables y la interpretacin de sus soluciones. Respecto del estudio de la situacin proble-ma encontramos que la mayora de participantes en esta categora resuelven casos particulares.

Figura 2

Figura 3

A manera de ejemplo, en el desarrollo mostrado por PF8, se aprecia la construccin del modelo a partir de la de -nicin de variables Sean x= horas en el primer trabajo; y= horas en el segundo trabajo y de la restriccin cono-cida 7x + 5y140. Tambin se emplea la calculadora gr- ca para despejar variables y de nir funciones lineales, as como para representar las soluciones de inecuaciones en dos variables. Por otro lado, el participante PF8 men-ciona la restriccin [] cada da no puede trabajar ms de 8 horas, las cuales podran conducir al re namiento del modelo considerado y a nuevas discusiones con los alumnos. En conclusin, se nota una integracin de la modelizacin y de la calculadora gr ca en el diseo de la actividad.

Desempeo de los profesores en formacin en el momento fi nal

El objetivo de la ltima sesin consiste en disear una actividad didctica de contenido algebraico para desa-rrollarla con alumnos de secundaria; tal actividad podra considerarse perteneciente a una unidad didctica del currculo de secundaria.

Las actividades a desarrollar en la sesin estuvieron cen-tradas en la siguiente propuesta:

Diseo de una actividad didctica:

Supongamos un profesor de secundaria que necesita elaborar una actividad didctica con la que mostrar la utilidad de los sistemas de ecuaciones lineales. Para satisfacer este propsito te pedimos que describas (o propongas) una situacin problema del mundo real que cumpla esa asignacin.

Asumiendo que el profesor conoce el proceso de modelizacin y que utilizar la calculadora gr ca con sus estudiantes:a) Enuncia al menos dos preguntas, cuya respuesta requiera el uso de la modelizacin y la calculadora gr ca. b) Ordena la secuencia de las actividades (guin) a seguir por el profe-sor, para lograr su objetivo. Sugiere al menos dos aspectos a evaluar (en los alumnos) e indica cmo los llevaras a cabo.

Es importante destacar que el enunciado de esta activi-dad fue idntico al propuesto en la parte B de la sesin inicial, con el propsito de identi car variaciones en el conocimiento didctico de los futuros profesores en el proceso de aplicacin del programa.

En la primera cuestin, los profesores en formacin plantean situaciones de la vida cotidiana, familiar, em-presarial, comercial y del mbito blico. Dentro de la vida cotidiana proponen situaciones relacionadas con seales de tr co (PF1), relaciones sociales en la escuela (PF5) y viaje de compras (PF9). Las situaciones de la vida familiar se re eren al apoyo familiar (PF4) y a las edades en familia (PF7). Respecto al mundo empresarial plantean situaciones de fabricacin de ladrillos (PF2) y produccin de conservas alimenticias (PF6). En lo comercial plantean una situacin de suma actualidad como es la telefona mvil (PF3). Por su parte, en el ambiente blico plantean una situacin relacionada con trayectorias de satlites de espionaje (PF10). A manera de ejemplo presentamos a continuacin una de estas situaciones:

Situacin vinculada con la vida familiar (PF4)Un padre quiere motivar a su hijo para que estudie y haga los ejercicios de matemticas (con o sin calculadora); para ello, propone a su hijo el siguiente trato:Por cada ejercicio que resuelvas correctamente te dar 1 , pero por cada ejercicio errneo me tendrs que dar 50 cntimos de . El nio accede, y en la primera relacin de 20 ejercicios gana 11.Estudiar:a) Obtener nmero de respuestas correctas y nmero de equivocadas.b) Estudiar todas las posibilidades en las que el hijo sale ganando dinero.c) Resolver el punto a) de distintas formas mediante la calculadora gr ca.

En esta situacin el profesor en formacin propuso como requisito que los alumnos tuviesen un entrenamiento previo de al menos una hora con la calculadora gr ca. En la gura 4 el profesor en formacin establece la ecua-cin ecu1 resultante de considerar x respuestas correctas con y respuestas incorrectas y un total de 20 ejercicios propuestos (x + y = 20). Tambin de ne la funcin ga-nancia gana(x,y) = x 0,5y, tomando en cuenta que por cada ejercicio correcto recibe 1 y por cada incorrecto debe pagar 0,5. El participante resuelve el sistema



x + y = 20 tanto con el comando solve como x 0,5y = 11mediante el mtodo de scaffolding (Kutzler, 1998).

Figura 4

Figura 5

Figura 6

En la gura 5 se muestra la con guracin de la ventana de visualizacin de la calculadora y en la gura 6 se ob-serva cmo se de nieron las funciones y1, y2 en el editor de funciones de la calculadora. Resalta el uso de dife-rentes sistemas de representacin y sus interconexiones. Esto es un indicador que re eja anlisis y bsqueda de alternativas para la comprensin de las ideas matemti-cas y de la situacin problema por parte de los alumnos. En ese sentido la tabla mostrada en la gura 7 contribuye a la discusin sobre la naturaleza de las soluciones del problema planteado, como por ejemplo a partir de siete respuestas correctas, qu ganancia se obtuvo.

Otra manera a la que acude el participante en la situacin problema que nos ocupa es utilizar la calculadora gr ca como una hoja de clculo para introducir las variables

y funciones algebraicas. Esto se puede apreciar en la gura 8. Este tratamiento es otra posibilidad de abordaje que se podra ofrecer a los alumnos para incrementar la comprensin de la situacin problema y de los conceptos matemticos relacionados.

Figura 7

Figura 8

Este participante, adems de mostrar un dominio tcnico de la calculadora, plantea situaciones de interrelacin entre los conceptos algebraicos participantes en la si-tuacin en cuestin. Recurre a diferentes maneras para presentar los razonamientos matemticos, lo cual abre expectativas didcticas para introducir con xito la mo-delizacin con los alumnos de secundaria.

En general, los profesores en formacin acuden a diferen-tes mbitos de inters para plantear las situaciones pro-blema. La forma de acercarse a las situaciones problema muestra una estructura conceptual para el lgebra lineal constituida fundamentalmente por la de nicin y trata-miento de variables, el manejo de relaciones mediante ecuaciones lineales y el establecimiento de sistemas de ecuaciones lineales. Se aprecia que los participantes utili-zan diferentes sistemas de representacin para los mismos haciendo uso de las potencialidades de la calculadora.

En cuanto a la segunda cuestin, las preguntas expues-tas por los participantes podran contribuir a desarrollar procesos de modelizacin que generaran discusiones donde se desarrollaran habilidades de comunicacin oral y escrita, as como la criticidad e independencia de pen-samiento de los alumnos. Entre las preguntas formuladas tenemos: qu tarifa es ms interesante? (PF3), estudiar posibilidades en las que el nio acaba ganando (PF4), qu ocurrira si dispusiramos del doble de horas y de la

{



tercera parte de la plantilla? (PF6), en qu caso interesa ms [el pago de la hora de trabajo]? (PF9).Respecto a la tercera cuestin, en lneas generales las secuencias propuestas consideran lo siguiente: 1) Organizar los alumnos en grupos pequeos. 2) Planteamiento de la situacin problema. 3) Formulacin (y seleccin) del problema. 4) Identi cacin de varia-bles. 5) Establecimiento de relaciones entre las variables (puede utilizarse la calculadora). 6) Construccin del modelo. 7) Representar el modelo utilizando varios sistemas de representacin (con el apoyo de la calcu-ladora). 8) Resolucin del problema (matemtico). 9) Interpretacin de la (o las) solucin (o soluciones). 10) Formulacin de nuevas preguntas, y 11) Planteamiento de nuevas situaciones a manera de ejemplo.Las propuestas de la cuarta cuestin, referida a la evalua-cin, signi can que los profesores en formacin conside-ran la evaluacin para [...] saber si el alumno aprendi (PF4) o [...] comprendi el problema (PF7), como bsqueda de informacin para el profesor, para que ste logre construir un marco general de sus alumnos y pueda tomar decisiones en relacin con las estrategias de en-seanza y aprendizaje. Adems, los participantes vieron en la evaluacin un papel complementario con las otras dimensiones del currculo escolar, de apoyo y estmulo al proceso de enseanza y aprendizaje de las matemticas.

DISCUSINDel anlisis de las producciones se observa que los pro-fesores en formacin plantean situaciones del mundo real ajustadas a los niveles de educacin secundaria y cercanas al entorno del alumno. Esto signi ca que las situaciones planteadas por los participantes se conectan con conceptos y procedimientos algebraicos contemplados en los progra-mas de Educacin Secundaria de Espaa. En cuanto al or-ganizador, materiales y recursos, se evidencia un dominio en el manejo tcnico y didctico de la calculadora, y de las opciones que sta ofrece, otorgndole importancia tanto para el profesor como para el alumno. Tales dominios fue-ron mani estos en el diseo de las actividades propuestas. Se revela una postura ante la enseanza de las matemti-cas que coloca al alumno en un plano de sujeto altamente activo, donde ste puede experimentar, conjeturar, formu-lar, resolver, explicar, predecir y contrastar con los dems compaeros y con el profesor. Los profesores en forma-cin recurren a diferentes sistemas de representacin y sus interconexiones, lo cual revela la bsqueda de alternativas para facilitar la comprensin en los alumnos. Exploran formas de explicar el lgebra a los alumnos como me-canismos para favorecer la comprensin de la situacin problema. Se pone en evidencia la aplicacin del proceso de modelizacin, integrado a la calculadora gr ca, en todas sus fases para el diseo de la actividad didctica de contenido algebraico solicitada, remarcndose el nfasis que mantuvieron en el uso de preguntas abiertas.

Durante la implementacin del programa los profesores en formacin muestran capacidad para incorporar nue-

vas competencias didcticas en el uso de la modelizacin y la calculadora gr ca, para el proceso de enseanza y aprendizaje de las matemticas. Adems, consideran que la rapidez de la calculadora ayuda en el aula a la realiza-cin de ms y diversos problemas, permitiendo al profe-sor dedicar ms tiempo a la enseanza de conceptos. Las producciones de los participantes estn referidas a:

1) La aplicacin sistemtica de la modelizacin en la resolucin de problemas del mundo real.

2) El uso de la experimentacin para la resolucin de problemas.

3) La utilizacin de la calculadora gr ca en los mo-mentos de abstraccin y resolucin correspondientes al proceso de modelizacin.

4) La utilizacin de las potencialidades de la calculadora gr ca con nes didcticos.

Las producciones de los profesores en formacin mues-tran su dominio de aplicacin para integrar en la dinmi-ca de enseanza la modelizacin y el uso de la calcula-dora gr ca, con el propsito de identi car y establecer conexiones entre los conceptos matemticos y la vida real, tal como plantean Edwards y Chelst (1999).Respecto a la modelizacin, los profesores en formacin proponen problemas abiertos, lo cual contribuye al desarro-llo de la autonoma intelectual de los alumnos, coincidiendo con las propuestas de Hodgson (1997) cuando se re ere a las bondades del uso de situaciones abiertas para el desarro-llo de habilidades en la resolucin de problemas.

La aplicacin de la modelizacin en las producciones de los profesores en formacin permite observar el inters por destacar el papel activo del alumno en su proceso de apren-dizaje y las consecuencias positivas para la resolucin de problemas. Los planteamientos dados a las diferentes situa-ciones problema estn dirigidos a desarrollar en el alumno, a travs de la modelizacin, la inventiva y la comprensin de los conceptos algebraicos, as como a despertar inters por nuevas situaciones y lograr una visin ms integral de las matemticas. Estas consideraciones son congruentes con las propuestas de Blum (1991), Stewart y Pountney (1995) y Socas, Camacho, Palarea y Hernndez (1996).Por otra parte, se observan cambios signi cativos res-pecto a la secuencia de la actividad presentada en el mo-mento inicial y la presentada en el momento nal. En el momento inicial encontramos que en la secuencia slo se pone nfasis en plantear la situacin problema, formular el modelo, resolver, plantear otros ejemplos similares y com-probar resultados con la calculadora gr ca; mientras que en el momento nal se considera el trabajo en grupo por parte de los alumnos, el planteamiento de situaciones y la seleccin y formulacin de problemas, la construccin y representacin mltiple del modelo (con el apoyo de la calculadora), la interpretacin de las soluciones y la for-mulacin de nuevas preguntas. Esto revela los avances o el efecto en el conocimiento didctico de los profesores en formacin generados por el programa MCA.



Un elemento a destacar es la consideracin de actividades grupales entre los alumnos para favorecer el aprendizaje co-laborativo. Respecto a la evaluacin es vista slo como bs-queda de informacin para la cali cacin del alumno ms que como elemento para favorecer el fortalecimiento de las capacidades de los alumnos y reorientar acciones dirigidas a mejorar el proceso de enseanza y aprendizaje. Sin em-bargo, se observa avance en la consideracin del uso de la calculadora por parte de los alumnos en las evaluaciones.

Adems del anlisis de la sesin inicial, intermedia y nal, se acude al anlisis de las producciones de las otras sesio-nes, en las cuales se encuentran similares tendencias a las mencionadas anteriormente, es decir, la preocupacin por el aprendizaje de los alumnos puesta de mani esto a travs de actividades algebraicas desarrolladas con la integracin de la modelizacin y la calculadora gr ca y apoyadas en diferentes sistemas de representacin, privilegiando siem-pre los conocimientos algebraicos sin menoscabo de las connotaciones ambientales de cada situacin problema.

En lo relativo a la importancia del lgebra lineal para la enseanza, los profesores en formacin plantean contex-tos que permiten utilizar los conceptos algebraicos para la aplicacin de la modelizacin y el reconocimiento de diferentes formas de enseanza.

CONCLUSIONES

La implementacin del programa contribuy a detectar el desarrollo de conductas deseables en la enseanza y aprendizaje de las matemticas recurriendo al uso de los organizadores del currculo, la modelizacin y la calcu-ladora gr ca, en el contexto del lgebra lineal para el diseo y plani cacin de actividades didcticas. Se da cumplimiento as al objetivo general de la investigacin y se con rm la conjetura de la investigacin. A partir de lo sealado, este estudio aporta elementos que pueden orientar las acciones futuras en lo relativo a la integra-cin de la modelizacin y la calculadora gr ca en la enseanza del lgebra lineal en la formacin inicial de profesores de matemticas.

Se puede concluir que despus de la implementacin del programa se observ en los profesores en formacin:

1) Un incremento apreciable en la habilidad para proponer situaciones problema que promuevan el aprendizaje del lgebra lineal mediante procesos de modelizacin. Las situaciones problema propuestas por los profesores en formacin y la incorporacin de los procesos de modeli-zacin favorecen el aprendizaje de tpicos algebraicos.2) El dominio de comandos, tcnicas y utilidades para utilizar la calculadora como una hoja de clculo e intro-ducir las variables y funciones algebraicas, lo cual abre otra forma de abordaje para los problemas algebraicos. Esto ltimo corresponde con otras formas de enseanza del lgebra a los alumnos de secundaria que ya han sido objeto de estudio por investigadores como Sutherland y Rojano (1993), entre otros.

3) Adems de dominio tcnico de la calculadora gr ca, demuestran capacidad para plantear situaciones donde interrelacionan los conceptos algebraicos involucrados en la situacin. Asimismo recurren a diferentes mane-ras de representacin de los conceptos y razonamientos matemticos, lo cual abre expectativas didcticas para introducir la modelizacin a los alumnos de secundaria. Con ello los alumnos pueden establecer conexiones que, en el momento de abstraccin, les ayudarn a construir el modelo y aplicar el proceso de modelizacin.

4) Comprensin de la riqueza del lgebra lineal como contexto matemtico para la descripcin, explicacin y prescripcin de los fenmenos vinculados con las mismas, expresada en el criterio manejado por ellos, al identi car y proponer las situaciones problema a tratar con sus alumnos.

5) Capacidad para utilizar la modelizacin e integrar la calculadora en el contexto algebraico adecuado, as como conocimiento de diversas estrategias de resolucin de pro-blemas que involucran heursticos simblicos, gr cos y tabulares; aspectos todos ellos de gran inters didctico.

6) Respecto a su capacidad para disear tareas y construir instrumentos de evaluacin, los participantes muestran su preferencia por cuestiones orales y escritas convencionales.

7) Los participantes muestran capacidad para presentar las resoluciones de una manera sistemtica y exponen con claridad la secuencia de los procedimientos algebrai-cos cada vez que se les requiere para ello, siempre dentro del marco del lgebra lineal escolar.

8) Los participantes muestran capacidad para recono-cer la complejidad que tiene la enseanza del lgebra lineal, debido a que involucra al alumno en conceptos y procedimientos dirigidos a plantear y resolver diversos problemas aplicados al mundo fsico y social. Los profe-sores en formacin proponen alternativas tales como la participacin efectiva en el aula.

9) Los profesores en formacin muestran capacidad para la formulacin de preguntas abiertas que podran contribuir a desarrollar procesos de modelizacin, que pudieran favorecer el desarrollo de habilidades de comu-nicacin oral y escrita, as como potenciar la criticidad e independencia de pensamiento de los alumnos.

10) Los participantes muestran disposicin al uso de la calculadora en el aula, es decir, dejan abierta la po-sibilidad de utilizacin de la misma, en las actividades propuestas, dependiendo del inters y decisin de los alumnos y no de una imposicin del profesor.

11) Respecto a la calculadora gr ca, los participantes revelan capacidades y destrezas didcticas, tales como el empleo de comandos y/o aplicaciones con criterio di-dctico para generar actividades de motivacin, utilizar diferentes sistemas de representacin para favorecer la comprensin de los conceptos manejados, y proponer eva-luaciones no convencionales y el empleo de la calculadora para agilizar y mantener el inters por el tema a ensear.



12) Los participantes muestran capacidad en el diseo de actividades de contenido algebraico donde proponen si-tuaciones problema susceptibles de aplicrseles el proceso de modelizacin, el cual ejecutaron en todos sus momen-tos. Tales logros fueron graduales, como se puede apreciar en los anlisis de las producciones de las sesiones.

13) Los profesores en formacin muestran capacidad para la aplicacin del proceso de modelizacin, es decir, consideran el ambiente de aplicacin, las condiciones para utilizarla ade-cuadamente y el nivel de actuacin en secundaria en conso-nancia con los respectivos objetivos de cada curso.14) La competencia de los futuros profesores en el manejo

de la calculadora gr ca tambin la re ej el aprovecha-miento de la capacidad de sta para posibilitar el envo de archivos entre sus compaeros; as como el intercambio de informacin sobre aplicaciones y usos didcticos de la calculadora con otros usuarios mediante conexin en la red internet y con el apoyo del enlace Graph Link.

15) Se echa en falta el desarrollo de competencias, en los profesores en formacin, para proponer actividades de evaluacin recurriendo a la modelizacin con el apoyo de la calculadora. Esta carencia obedece a limitaciones del programa que pudieran solventarse incorporando en su contenido ms actividades que promuevan la re exin hacia la evaluacin escolar no convencional.

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[Artculo recibido en enero de 2006 y aceptado en octubre de 2006]

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