8. VAJA IZ TRDNOSTI

(izrek o virtualnem delu, izrek o dopolnilnem virtualnem delu)

NALOGA 1: S principom o virtualnem delu,δW = δD, izpelji robni problem (ravnoteznoenacbo s pripadajocimi robnimi pogoji) zaprikazani nosilec in ga tudi resi.

Podatki: q, a, EIyy

Resitev: w(ξ ) =qa4

48EIyyξ

2(2ξ −3)(ξ −1), 0≤ ξ ≤ 1

NALOGA 2: Izracunaj vplivnico η za vpetostnimoment v tocki A, MY (A) = Pη , ce pomicnaobtezba P ucinkuje vzdolz AB. Iz vplivniceizracunaj tudi vrednost vpetostnega momentaMY (A), pri velikosti sile P = 24kN v tocki T .

Podatki: a = 1m

Resitev: η(x) ={

2a− x, x ∈ ATx−6a, x ∈ T B

NALOGA 3: S principom o virtualnem deluizpelji ravnotezno enacbo prikazanega sistematogih teles AD, BF , CE, in EG. Sila P ucinkuje vsmeri palice EG (slediscna, nekonservativna sila).

Podatki: F , P, a = BD > AD, b = BF , DF =CEResitev: aF− (b−a)Pcosϕ = 0

NALOGA 4: Izracunaj vplivnice za reakcijo vtocki B, B = FηB, ter notranje sile Nt , Nn in Mb vtemenu D za prikazani polkrozni nosilec polmeraa, ce pomicna obtezba ucinkuje na notranji straninosilca. Iz vplivnice izracunaj vrednost reakcije vtocki B pri velikosti sile F = 30

√2kN v tocki C.

Podatki: a, F , ∠COA = ∠EOB = 45◦

Resitev: ηB(ϕ) =√

22 (sinϕ− cosϕ), 0≤ ϕ ≤ π; B =−30kN;

ηD(ϕ) =

{a2(sinϕ− cosϕ), ϕ ∈ [0, π

2 ]a2(sinϕ + cosϕ), ϕ ∈ (π

2 ,π]

NALOGA 5: Naprava za raziskovanje luninepovrsine na vesoljskem vozilu je sestavljena izvzmetne risarske priprave in detektorske glave. Sprincipom o virtualnem delu izpelji ravnoteznoenacbo in izracunaj togost vzmeti kx, da bo pri ϕ1kontaktna sila enaka P. Tezo togih rocic in glavezanemari. Vzmet je nedeformirana pri kotu ϕ0.

Podatki: P = 20N, ϕ0 = 30◦, ϕ1 = 120◦, a = 12cmResitev: 7Psin ϕ

2 −4akx(sin ϕ

2 − sin ϕ02 )cos ϕ

2 = 0, kx = 8.32N/cm

NALOGA 6: Izpelji dopolnilno virtualno delo δD∗ notranjih sil Nx, My in Mz ravnega nosilcadolzine a za Hookeov konstitucijski zakon. Pri izpeljavi upostevaj glavni koordinatni sistem vsrediscu precnega prereza.

Podatki: Nx, My, Mz, a, E, Ax

Resitev: δD∗ =∫ a

0

(NxδNx

EAx+

MyδMyEIyy

+ MzδMzEIzz

)x.

NALOGA 7: Konzola dolzine a je obremenjenaz enakomerno zvezno obtezbo q. S principom odopolnilnem virtualnem delu, δW ∗ = δD∗, izpeljikinematicni enacbi za prikazani staticno dopustnivirtualni obtecbi.

Podatki: EIyy, q, a

Resitev: (i) −12w(0)+w(a

2)+7qa4

384EIyy= 0; (ii) w(0)− qa4

8EIyy= 0

NALOGA 8: Prostolezeci nosilec dolzine a jeobremenjen s konstantno obtecbo q, kot kaze slika.Izracunaj pomik in zasuk na sredini nosilca.

Podatki: EIyy, q, a

Resitev: w(a2) =

5qa4

768EIyy, ϕ(a

2) =5qa3

384EIyy

NALOGA 9: Doloci silo X tako, da bo navpicnipomik v tocki B enak uZ(B).

Podatki: a = 1m, EIyy = 6400kNm2, P = 4kN, uZ(B) = 3cmResitev: X = 1

208

(3EIyy

a3 uZ(B)−92P)= 1kN

NALOGA 10: Izracunaj navpicni pomik v tockiT . Upostevaj tudi vpliv osnih sil na deformiranje.

Podatki: t = 1cm, a = 2m, E = 20000kN/cm2, P = 10kNResitev: uZ(T ) = 2Pa

EAx+ Pa3

3EIηη+ Pa3

3EIζ ζ= 3.864cm

NALOGA 11: Izracunaj vektor pomika v tockiT . Vse palice so enake. Nalogo resi tudi s togost-nimi matrikami, [K] ·U =F (glej mehaniko trdnihteles).

Podatki: a, P, EAp

Resitev: u(T ) = aPEAp

(6.178eX +0.277eZ), u|δP=1 = ∑

neli=1 `i

NiNiEiAi

NALOGA 12: Izracunaj vektor pomika vsrediscu toge okrogle plosce, ki je podprta s tremipalicami, kot kaze slika. Plosca je obremenjena ssilo P, ki je vzporedna s stranico a = AC enakos-tranicnega trikotnika 4ABC. Za koliko se zavrtitoga plosca?

Podatki: P, a, EAp

Resitev: u(S) = (− aP6EAp

, aP√

36EAp

), ϕY = 0

NALOGA 13: Togi okrogli plosci teze W inpolmera a sta pokriti z okvirom, kot kaze slika.Trenje med ploscama in okvirom ter med okviromin podlago zanemarimo. Za koliko se tocki A, Brazmakneta, ko plosci pokrijemo?

Podatki: a, W , EIyy

Resitev: ∆ = 129−26√

32EIyy

a3W

NALOGA 14: Za prikazano ravninsko palicjeizracunaj zdrs v pomicnih podporah glede na pod-lago. Vse palice so enake.

Podatki: a, F , EAp

Resitev: uX(A) = 31+12.5√

2EAp

aF , uB = 3√

2EAp

aF

NALOGA 15: Za prikazani ravninski okvir izra-cunaj pomik na mestu in v smeri sile F . Upostevajtudi vpliv osnih sil na deformiranje.

Podatki: a, F , q = Fa , EIyy, EAx

Resitev: uF = 51+3√

54EAx

aF + 23EIyy

a3F

u|δP=1 =

nel

∑i=1

∫ `i

0

(NxNx

EAx+

MyMy

EIyy+

MzMz

EIzz

)x.

NALOGA 16: Izracunaj reakcije in notranje sileNx, Nz in My za prikazani nosilec. Nalogo resiz: (i) enacbo upogibnice, (ii) metodo razreza (glejmehaniko trdnih teles) in (iii) s principom o dopol-nilnem virtualnem delu. Primerjaj metode!

Podatki: a, q, EIyy

Resitev: Ax = 0, Az =−58 qa, MA

y = 18 qa2, Bz =−3

8 qa, w(a2) =

qa4

192EIyy

NALOGA 17: Bakrena palica elasticnega modulaE1, dolzine a in premera d je brez trenja vlocenav aluminijsko cev iste dolzine a, elasticnega mod-ula E2 in zunanjega premera D. Tako sestavljenapalica je tesno vstavljena v tog primez, kot kazeslika. Izracunaj napetosti in deformacije v palici incevi, ce rocico primeza dolzine b zavrtimo s siloF . Dolzina navojev je e. Za koliko smo ravrtelirocico?

Podatki: d = 15mm, D = 25mm, a = 300mm, E1 = 10300kN/cm2 (baker), E2 = 7000kN/cm2

(aluminij), F = 150N, e = 2.5mm, b = 20cm

Resitev: σ1 =−14.49kN/cm2, σ2 =−9.85kN/cm2, n = 0.169

NALOGA 18: Izracunaj napetosti v sestavljenipalici v tockah A in B po deformiranju s silo P.

Podatki: a = 50cm, δ = 0.05mm, P = 200kN, A1 = 150cm2, E1 = 10000kN/cm2 (baker),A2 = 50cm2, E2 = 20000kN/cm2 (jeklo)Resitev: σA =−0.77kN/cm2, σB = 1.08kN/cm2

NALOGA 19: Litozelezno palico elasticnegamodula E1 in premera d1 brez trenja vstavimov jekleno cev elasticnega modula E2 in zunan-jega premera d2, obe pa brez trenja vstavimo se valuminijasto cev elasticnega modula E3 in zunan-jega premera d3 (glej sliko). Izracunaj napetosti vposameznih palicah zaradi sile P.

Podatki: d1 = 5cm, d2 = 11cm, d3 = 17cm, E1 = 12000kN/cm2 (lito zelezo), E2 = 20000kN/cm2

(jeklo), E3 = 7000kN/cm2 (aluminij), P = 400kNResitev: σ1 =−1.80kN/cm2, σ2 =−3.00kN/cm2, σ3 =−1.05kN/cm2

NALOGA 20: Nosilec AB je v tocki A podprt spontonom osnovne ploskve A0 (plovec). Izracunajreakcije, notranje sile. Za koliko se potopi ponton?

Podatki: a, P, A0, γ , EIyy

Resitev: wA = P(γA0 +3EIyy

a3

)−1

NALOGA 21: Reko sirine 2a premostimo zmontaznim mostom tako, da ga na sredini rekepodpremo s pontonom (plovcem) osnovne ploskveA0. Za koliko se potopi ponton, ce je most obre-menjen z obtezbo q?

Podatki: a, q, A0, γ , EIyy

Resitev: ∆ = 54qa(γA0 +6EIyy

a3

)−1

NALOGA 22: Za prikazano palicje izracunajosne sile Nx in pomik uP na mestu in v smeri sileP. Vse palice so enake.

Podatki: a, P, EApResitev: N1 =−1

2 P, uP = 27aP4EAp

NALOGA 23: Za prikazano palicje izracunajosne sile Nx in pomik uP na mestu in v smeri sileP. Vse palice so enake.

Podatki: a, P, EApResitev: N1 = 0.8135P, uP = 7.970 aP

EAp

NALOGA 24: Za prikazani ravninski okvirizracunaj reakcije in notranje sile Nx, Nz in My ternavpicni pomik v tocki A.

Podatki: a, q, EIyy

Resitev: Np =− 316 qa, wA = qa4

16EIyy

NALOGA 25: Za prikazani ravninski okvirizracunaj reakcije in notranje sile Nx, Nz in My terpomik uP na mestu in v smeri sile P.

Podatki: a, P, E, a2Ap = 75Iyy

Resitev: Np = 0.9539P, uP = 0.0382 a3PEIyy

NALOGA 26: Za prikazani ravninski okvirizracunaj reakcije in notranje sile Nx, Nz in My terpomik na mestu in v smeri sile P.

Podatki: a, P, EIyy

Resitev: uP = 59a3P12EIyy

NALOGA 27: Doloci moment X tako, da bofunkcija zasukov ϕ zvezna po celotni dolziniprikazanega kontinuirnega nosilca. Izracunaj tudireakcije in narisi diagrame notranjih sil.

Podatki: a, M, EIyyResitev: X = 3

4M, BZ = 3M16a

NALOGA 28: Doloci silo P tako, da bo vertikalnipomik v tocki A enak δ . Izracunaj tudi reakcije innarisi diagrame notranjih sil.

Podatki: a, EIyy, δ

Resitev: P = δ12EIyy

7a3 , AX =−32P

NALOGA 29: Za prikazani ravninski okvirizracunaj reakcije in notranje sile Nx, Nz in My terpomik uP na mestu in v smeri sile P. Upostevajtudi vpliv osnih sil na deformiranje.

Podatki: a, P, E, a2Ax = 30Iyy

Resitev: AZ = 314P, uP = 16a3P

105EIyy

NALOGA 30: Homogena toga plosca teze W jepritrjena na dva vodoravna nosilca, kot kaze slika.Izracunaj reakcije, notranje sile v nosilcih in zasuktoge plosce. Upostevaj tudi vpliv osnih sil na de-formiranje.

Podatki: a, W , E, a2Ax = 160Iyy

Resitev: BX = 5551W , BZ =− 25

136W , ϕ =− 11a2W816EIyy

NALOGA 31: Doloci silo P in moment Mtako, da bo zasuk ϕ(0) = 0 in pomik w(a) = δ .Izracunaj reakcije in narisi diagrame notranjih sil.

Podatki: a, δ , EIyy

Resitev: P = δ24EIyy

a3 , M =−δ6EIyy

a2

NALOGA 32: Za prikazani kontinuirni nosilecizracunaj reakcije in notranje sile Nx, Nz in My terzasuk na mestu in v smeri enega od momentov M.Pri izracunu upostevaj simetrijo konstrukcije.

Podatki: a, M, EIyy

Resitev: ϕM =− aM8EIyy

NALOGA 33: Za prikazani ravninski okvirizracunaj reakcije in notranje sile Nx, Nz in My terpomik v tocki B. Pri izracunu upostevaj simetrijokonstrukcije in vpliv osnih sil na deformiranje.

Podatki: a, P, EAx, EIyyResitev: uX(B) =− 4aP

EAx

NALOGA 34: Izracunaj notranje sile in vektorpomika v prostem vozliscu E za prikazano pros-torsko palicje. Vse palice so enake.

Podatki: a, EAp, F =F√

2(0.3,0.4,0.5), A(0,0,0), B(3a,4a,0), C(0,4a,0), D(0,4a,4a), E(3a,0,4a)Resitev: N4 =−0.469F , uE = aF

EAp(4.483,6.296,3.649)

NALOGA 35: Izracunaj notranje sile zaprikazano prostorsko palicje v obliki pravilnegaoktaedra s stranico a. Sili F lezita na smernici AC.Za koliko se razdalja med tockama A in C spremenipo deformiranju? Vse palice so enake.

Podatki: a, F , EAp

Resitev: N13 =−(6−4√

2)F , ∆ =−4√

2−1EAp

aF

NALOGA 36: Aluminijska cev dolzine a,elasticnega modula E2, zunanjega premera d2 innotranjega premera d1 ima na obeh straneh vrezanenavoje sirine e. Na enem koncu cev zapremo z vi-jakom, v cev pa vlozimo bakreno palico premerad0 in elasticneg modula E1, ki je nekoliko daljsaod cevi. Cev zapremo se z drugim vijakom. Ko vi-jak privijemo do cevi, ga zavrtimo se za n obratov.Doloci notranji sili in raztezka v palicah.Podatki: a = 25cm, d0 = 25mm, d1 = 28mm, d2 = 36mm, e = 1.5mm, E1 = 105000kN/cm2

(baker), E2 = 7000kN/cm2 (aluminij), n = 14

Resitev: σ1 =−5.56kN/cm2, σ2 = 6.79kN/cm2

NALOGA 37: Zaradi posedanja temeljnih talse podpora B premakne v navpicni smeri zaδ . Izracunaj reakcije in narisi diagrame notranjihsil. Upostevaj tudi vpliv osnih sil na deformiranje.

Podatki: a, q, δ , E, a2Ap = αIyy

Resitev: MYC =−3

2qa2+2δEAp

3+α

NALOGA 38: Naj bo 4ABD enakostranicentrikotnik in stranica AC = BC = CD. Pri montaziso ugotovili, da je palica CD za δ prekratka od pr-votne dolzine a. Palicje so vseeno sestavili tako, daso palico CD elasticno raztegnili. Izracunaj osnesile po montazi.

Podatki: a, δ , EAp

Resitev: N3 =√

32+3√

3δEAp

a

NALOGA 39: Zaradi pomanjkanja materiala sopri montazi prikazanega palicja diagonalo (palica6) sestavili iz dveh kosov, ki so jih tesno privijaciliz natezno vezno spono. Dolzina navoja v sponi jee. Izracunaj osne sile v palicah, ce spono privijemoza n obratov.

Podatki: a, EAp, e, nResitev: N6 =

25en432aEAp

NALOGA 40: Doloci sili P1 in P2 tako, da bostaw(0) = w1 in w(a) = w2 pri togosti vzmeti k. Koli-ksni sta sili v limiti k→ 0. Pokazi, da je upogibnimoment v tocki B neodvisen od togosti vzmeti.

Podatki: a, a3k = αEIyy, w1 =−w2 = δ

Resitev: P1 = kδ2α+9

2α, P2 =−kδ

α+9α

NALOGA 41: Za prikazani ravninski okvirizracunaj reakcije in narisi diagrame notranjih silter pomik na mestu in v smeri sile P. Vzmeti nado-mesti z eno samo vzmetjo ustrezne togosti.

Podatki: a, P, EIyy, k1 = 57.6EIyya3 , k2 = 2k1

Resitev: BZ = 571437P, uP = 842

1311a3PEIyy

NALOGA 42: Improvizirano talno stikalo jenarejeno iz dveh vzporednih togih kvadratnih desks stranico 4a in stirih razlicnih vzmeti, kot kazeslika. Zgornja plosca se lahko giblje le v smeri osiZ. Stikalo se sprozi pri dotiku obeh plosc. Dolocisilo P pri sprozitvi.

Podatki: h = 3cm, k1 = 10N/cm, k2 = 300N/cm, k3 = 700N/cm, k4 = 150N/cmResitev: P = 1123.2N

NALOGA 43: Koliksno mora biti temperaturnopolje ∆T (z) = A+Bz vzdolz precnega prereza, dabo pomik tocke A enak uA?

Podatki: a, αT , uA = (uA,wA)Resitev: A = uA

aαT, B =− 2wA

3a2αT

NALOGA 44: Jekleni vijak premera d0, kiima n navojev na 1cm dolzine, vstavimo z jek-leno podlozko debeline t v aluminijevo cev no-tranjega premera d1 in zunanjega premera d2, kotkaze slika. Pri temperaturi T0 vijak z moment-nim kljucem tesno privijemo do cevi, nato paga zategnemo ce za k obratov. Doloci napetostiin pripadajoce deformacije v jeklenem vijaku inpodlozki ter v aluminijevi cevi, ce temperaturodvignemo na T1.Podatki: a = 100mm, t = 2mm, d0 = 13mm, n = 16, k = 1

4 , d1 = 14mm, Ej = 20000kN/cm2,αj = 12 · 10−6 /◦C (jeklo), d2 = 17mm, Ea = 7500kN/cm2, αa = 23 · 10−6 /◦C (aluminij), T0 =25◦C, T1 = 65◦CResitev: σj = 15.05kN/cm2, σa =−27.34kN/cm2

NALOGA 45: Za prikazani ravninski okvirizracunaj reakcije in narisi diagrame notranjih sil,ce ga enakomerno segrejemo za ∆T . Koliksen jepomik v tocki A? Upostevaj tudi vpliv osnih sil nadeformiranje in simetrijo konstrukcije.

Podatki: a, αT , ∆T , E, a2Ax = β Iyy

Resitev: uA = 0, wA =−aαT ∆T 4β (1+√

2)3√

2+2β (1+√

2)

NALOGA 46: Izracunaj vplivnice za reakcijo inzasuk v tocki A ter precno silo in upogibni mo-ment v tocki B. Rezultate razlozi tudi z Bettijevimizrekom.

Podatki: a, EIyyResitev:

ηAZ(ξ ) =−12

(1− ξ

a

)2(2+ ξ

a

),

ηϕ(ξ ) =− a2

4EIyy

ξ

a

(1− ξ

a

)2,

kjer(0≤ ξ ≤ a).

NALOGA 47: Z izrekom o dopolnilnem virtu-alnem delu doloci reakcije in diagrame notranjihsil {Nt ,Nn,Mb} za prikazano konstrukcijo. Ko-liksen je pomik na mestu in v smeri sile P?

Podatki: a, P, E, IbResitev: Notranje sile:Nt(ϕ) = P

(sinϕ + 2

πcosϕ

), Nn(ϕ) = P

(cosϕ− 2

πsinϕ

), Mb(ϕ) = aP

(1− sinϕ− 2

πcosϕ

).

Reakcije:Ax = P, Ay =−2P

π, MA

z =(1− 2

π

)aP, By =

2Pπ

.Pomik na mestu in v smeri sile P:uP =

(3π

4 −1− 1π

) a3 PE Ib

= 0.038 a3 PE Ib

.

NALOGA 48: Z izrekom o dopolnilnem virtu-alnem delu doloci reakcije in diagrame notranjihsil {Nt ,Nn,Mb} za prikazano konstrukcijo. Ko-liksen je pomik na mestu in v smeri sile P?Upostevaj tudi vpliv osnih sil na deformiranje.

Podatki: r, E, Ib, β , Ib = β r2At

Resitev: uP = Pr3

8E Ib

(π +β − 8

π

).

NALOGA 49: Za prikazano ravninsko mrezoizracunaj reakcije in notranje sile Nz, Mx in My.Izracunaj pomik na mestu in v smeri sile P.

Podatki: a, P, E, Iyy, G, IxxResitev: AZ =−P, MA

X = 0, MAY = 2

3 aP.

uZ(C) = a3 P6E Iyy

.

NALOGA 50: Za prikazano ravninsko mrezoizracunaj reakcije in notranje sile Nz, Mx in My tervertikalni pomik v tocki C.

Podatki: a, P, E, Iyy, G, Ixx, 1.3GIxx = E Iyy

Resitev: AZ =−49P59 −

54M59a , BZ =−10P

59 + 54M59a , MA

X =−49Pa59 −

54M59 , MA

Y =−10Pa59 −

5M59 .

uZ(D) = 49a3 P177E Iyy

+ 18a2 M59E Iyy

,

NALOGA 51: Za prikazano ravninsko mrezoizracunaj reakcije in notranje sile Nz, Mx in My terzasuk v tocki D.

Podatki: a = 1.6m, E = 20000 kNcm2 , M = 160kNm, Iyy = 20000cm4, 0.8E Iyy = GIxx,

Resitev: AZ = 0, BZ = 15M19a , CZ =−15M

19a ,MA

X = 4M19 , MA

Y = 0, ωX(D) =−0.5549◦.

NALOGA 52: Doloci pomik v tocki D. kako sespremeni ta pomik, ce v tocki D pomik ni prekinjens clenkom? Doloci in skiciraj diagrame notranjihsil Nz, Mx in My v obeh primerih.

Podatki: a, P, E, Iyy, G, Ixx, E Iyy = GIxx

Resitev: u1Z(D) = 23qa4

24E Iyy, u2

Z(D) = 11qa4

24E Iyy.

NALOGA 53: Za prikazano ravninsko mrezoizracunaj reakcije, notranje sile Nz, Mx in My tervertikalni pomik v tocki D. Pri tem upostevaj da jeE Iyy = GIxx.

Podatki: a, P, E, Iyy, G, Ixx

Resitev: AZ =−187qa540 , MA

X =−qa2

270 , MAY = 17qa2

90 , BZ =−17qa108 , CZ =−67qa

135 , wD = 119qa4

3240E Iyy.