8 tensões em engrenagens 1
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Universidade Federal de Goiás
Escola de Engenharia Elétrica e de Computação
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Elementos de Máquinas 2
Prof.: Ricardo Humberto de Oliveira Filho
ANÁLISE DE TENSÕES
EM ENGRENAGENS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Engrenagens podem falhar basicamente por dois tipos de solicitação:
•a que ocorre no contato, devido à tensão normal;
•e a que ocorre no pé do dente, devido a flexão causada pela carga
transmitida.
A fadiga no pé do dente causa a quebra do dente, o que não é comum
em conjuntos de transmissão bem projetados.
Geralmente, a falha que ocorre primeiro é a por fadiga de contato.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
A parte que tende ao vermelho mostra as maiores tensões em magnitude (Von
Mises) e a parte em azul as menores.
Esse modelo corresponde exatamente ao resultado obtido por outras técnicas,
como a fotoelasticidade, e mostra as tensões que levam às falhas citadas.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
A próxima figura mostra um caso de falha por fadiga de contato ainda no estágio
inicial.
Esses pequenos sulcos são formados na região próximo a linha primitiva do
dente, que é definida pelo diâmetro primitivo.
Surgem nessa região porque a velocidade de deslizamento entre os dentes anula-
se no ponto primitivo
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
A figura a seguir mostra ainda o mesmo tipo de falha após a progressão.
Nesse caso, a falha de fadiga por contato aumenta de tamanho e partes maiores
são arrancadas da superfície.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Formulação de Lewis (1892):
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
2
3
tW P xPonde Y
FYσ = =
2
4
tx
l=
2 2 2 46
6 1 1 1
/ 6 / 4
t t tW l W W
Ft F t l F t lσ = = =
( )23
passo circular
largura da face
t pW p
FF xpσ
=
2
3
xy
p=
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Pp
π=Y yπ=
2/ 2
/ 2 4
t l tx
x t l= =Por semelhança de triângulos:
tW P
FYσ =2
3
xPY =
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fatores de Correção:
Dinâmicos:
• Desvios do perfil evolvental;
• Velocidade;
• Deformações decorrentes do contato;
• Tenacidade do material das engrenagens, etc.
O ruído no engrenamento significa que existem impactos sobre os
dentes das engrenagens.
vtWK P
FYσ =
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
• Fatores dinâmicos perfil cicloidal (Século XIX):
600 Engrenagem de FoFo obtida por fundição
600
1200Perfis cortados em fresas
1200
v
v
VK
VK
+= →
+= →
• Fatores dinâmicos perfil evolvental (Século XX):
50 Engrenagem obtida por processo de corte em fresa
50
78Perfil retificado
78
v
v
VK
VK
+= →
+= →
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
≅
Raio de curvatura do dente Raio do cilindro
Largura do dente Comprimento do cilindro
≅≅
tW
tW
Durabilidade Superficial:
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Teoria de Hertz para contato entre cilindros:
( ) ( )( ) ( )
max
122 2
1 1 2 2
1 2
max
1 2 1 2
1 2
2
1 12
1 1
orça de contato nos cilindros
pressão máxima nas superfícies
comprimento dos cilindros
, , E e constantes elásticas
e d
Fp
bl
E EFb
l d d
F f
p
l
E
d
π
ν ν
π
ν ν
=
− + − = +
→→
→→
→ diâmetros dos cilindros
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Teoria de Hertz para contato em engrenagens:
É negativo por ser tensão de compressão!
( ) ( )( ) ( )
11 22
2 21 1 2 2
2
1
2
1 2
sin1/ 1/ 2
cos sin1 / 1 /2
1 1
cos
pt
c
G
tv
c p
drr rW
F dE E r
K WC
F r r
φ
σπ φ φν ν
σφ
=+ = − + − =
= − + ÷
1
2
2 21 2
1 2
1
1 1pC
E Eν νπ
= − −+ ÷
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Equações Fundamentais de Tensão de Flexão da Norma AGMA:
0
0
(Imperial Units)
1 (Unidades Métricas)
t d m Bv s
t H Bv s
t J
P K KW K K K
F JK K
W K K Kbm Y
σ
=
( )
0
força tangencial
fator de sobrecarga
fator de velocidade ou fator dinâmico
fator de tamanho
diametral pitch transversal
fator geométrico (inclui a concentração de tensão na raiz)
t
v
S
d
J
W
K
K
K
P
J Y
( )( )
largura da face
fator distribuição de carga
fator de espessura do anel
módulo
m H
B
t
F b
K K
K
m
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )( ) ( )( )
0
01
2 2
(Imperial Units)
(Unidades Métricas)
fator distribuição de carga
coeficiente elástico, / /
fator de acabamento superfíc
ft mP v s
P
C
t H RE v s
w I
m H
P E
f R
CKC W K K K
d F I
K ZZ W K K K
d b Z
K K
C Z lbf in N mm
C Z
σ
=
( )( )
1
ial
diametro primitivo do pinhão
fator de geometria para o contato
P w
I
d d
I Z
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Equações Fundamentais de Tensão de Contato da Norma AGMA:
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Equações de resistência AGMA: utiliza a resistência de engrenagem (sat
sac), também chamados de números de tensão admissível.
A resistência flexional (St) é dada pelas equações e gráficos a seguir.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Número de tensão de flexão admissível para aços endurecidos por
completo.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Número de tensão de flexão admissível para engrenagens de aço
endurecidas totalmente por nitretação.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Número de tensão de flexão admissível para engrenagens de aço
nitretado.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
A equação para tensão admissível de flexão é:
( )
( )
2 2
(Imperial Units)
(Unidades métricas)
Tensão admissível devido a flexão / /
fator de repetição para a tensão de flexão
fator
t N
F T R
all
t N
F Z
t
N
T
S Y
S K K
S Y
S Y Y
S lbf in N mm
Y
K Y
θ
θ
σ
=
( ) de temperatura
fator de confiabilidade
Fator segurança da norma AGMAR z
F
K Y
S
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
A equação para tensão de contato admissível é:
( )
( )
,
2 2
(Imperial Units)
(Unidades métricas)
Tensão admissível ao contato / /
fator de repetição para a tensão de contato
fat
c N H
H T R
c all
c N W
H Z
c
N
H W
S Z C
S K K
S Z Z
S Y Y
S lbf in N mm
Z
C Z
θ
σ
=
( )( )
or de relação de durezas
fator de temperatura
fator de confiabilidade
Fator segurança da norma AGMA
T
R z
H
K Y
K Y
S
θ
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de geometria para resistência à flexão YJ ou J: calculado pela
norma AGMA 908-B89;
0.95
f N
NN
YJ
K m
pm
Z
=
=
• Fator de correção de tensão Kf.
• Y: Fator da norma AGMA 908-B89.
• pN: Passo de base normal.
• Z: Comprimento da linha de ação.
• mN: razão de compartilhamento de carga, =1
para ECDR.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
0
0
1
t d m Bv s
t H Bv s
Jt
P K KW K K K
FK K
W K K Kbm
J
Y
σ
=
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
0
0
1
t d m Bv s
t H Bv s
Jt
P K KW K K K
FK K
W K K Kbm
J
Y
σ
=
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator geométrico da resistência superficial I, ZI:
0
01
ft mP v s
PC
t H RE v s
Iw
CKC W K K K
d F
K ZZ W K K K
d b
I
Z
σ
=
cos sin
2 1
cos sin
2 1
t t G
N G
t t G
N G
m
m mI
m
m m
φ φ
φ φ
+= −
Engrenagens Externas
Engrenagens Internas
mG: razão de velocidades=NG/NP
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Coeficiente elástico CP, ZE: 0
01
ft mv s
PC
t
P
EH R
v sw I
CKW K K K
d F I
K ZW K K KZ
d b
C
Z
σ
=
1
2
2 2
1
1 1p
p G
P G
C
E E
ν νπ
= − − + ÷ ÷
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )( ) 2/3
[ / min]
200[ / ]
50 56 1
0.25 12
B
v B
v
A VV ft
AK
A VV m s
A
A B
B Q
+ → ÷ ÷ = + → ÷ ÷
= + −
= −
( )( )
( )
2
max 2
3 / min
3 200 /
v
t
v
A Q ftV
A Q m s
+ − = + −
Fator dinâmico KV:
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de sobrecarga KO:
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de condição da superfície CF, ZR:
A norma AGMA ainda não definiu um valor ou uma equação para o
calculo do valor.
Uma regra, “bom senso”, seria considerar quanto mais rugoso maior o
valor deste fator.
Este fator representaria a redução da área real de contato em relação a
área aparente dentre outros fatores.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de tamanho Ks:
Normalmente adota-se a unidade para este fator, mas caso queira, existe
uma equação para determinação:
Se o fator calculado for menor que a unidade, adote o fator igual a 1.
0,0535
11,192S
b
F YK
k P
= = ÷ ÷
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de distribuição de carga Km, KH:
Este fator leva em consideração:
•Montagem da engrenagem;
•Deformações do eixo e da engrenagem;
•Largura da face;
•Relação largura da face e diâmetro primitivo.
( )1m mc pf pm ma eK C C C C C= + +
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )1m pf pmmc ma eK C CC C C= + +
1 Dentes não coroados
0.8 Dentes coroados* mcC
=
* Contato esférico
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
2
0.025 110
0.0375 0.0125 1 1710
0.1109 0.0207 0.000228 17 4010
0.05 0.0510
pf
FF in
dF
F F indCF
F F Fd
F
d
− ≤ − + < ≤
= − + − < ≤ <
( )1 pfm mc pm ma eK C C C CC= + +
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )1m mc pf pm ma eK C C C CC= + +
1
1
1 / 0.175
1.1 / 0.175pm
S SC
S S
<= ≥
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )1m mc pf pm emaK C C CCC= + +
2. .maC A B F C F= + +
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )1m mc pf pm emaK C C CCC= + +
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
0.8 para engrenamentos ajustados no local ou quando
a compatibilidade é melhorada por lapidação.
1 para todos os outros casos eC
=
( )1m mc pf pm emaK C CC C C= + +
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de razão de dureza CH:
( )
( ) ( )3 3
1.0 ' 1.0 relação de transmissão
8.98 10 8.29 10 1.2 1.7
' 0 1.2
0.00698 1.7
H G G
BP BP
BG BG
BP
BG
BP
BG
C A m m
H H
H H
HA
H
H
H
− −
= + − → =
− ≤ ≤ ÷
= <
>
,
(Imperial Units)
(Unidades métricas)
c N
H T Rc all
C N
H Z
H
W
S Z
S K K
S Z
S
C
Z
Y Yθ
σ
=
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de número de ciclos YN, ZN: t
F T Rall
t
N
N
F Z
S
S K K
S
S Y
Y
Y
Y
θ
σ
=
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
,
c H
H
N
T Rc all
C W
H Z
N
S C
S K K
S Z
S Y Y
Z
Z
θ
σ
=
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de confiabilidade KR, YZ:
,
c N H
H RTc all
C N W
ZH
S Z C
S K
S Z Z
S Y
K
Yθ
σ
=
t N
F Tall
t N
R
F Z
S Y
S K
Y
K
S Y
S Yθ
σ
=
( )( )
0.658 0.0759ln 1 0.5 0.99
0.5 0.109ln 1 0.99 0.9999R
R RK
R R
− − < <= − − < <
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de temperatura KT, Yɵ:
•A temperatura limite é dada pelo óleo que se degenera quando
aquecido.
•Em geral os óleos possuem ponto de fulgor próximo à 150ºC.
•A norma AGMA recomenda que os redutores quando trabalharem
abaixo de 120ºC utilizem este fator igual à 1.
•Para temperaturas superiores, utiliza-se o fator maior que 1.
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Fator de espessura de aro KB: Quando a espessura do aro não é suficiente para
proporcionar suporte completo para a raiz do dente, pode ocorrer falha por fadiga flexional.
RB
t
tm
h=
2.2421.6 ln 1.2
1 1.2
BBB
B
mmK
m
<= ≥
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Fatores de segurança contra falha por fadiga flexional SF e contra
falha por crateramento SH:
/ ( ) Resist ncia flex o corrigida por completo
Tens o de flex o
/ ( ) Resist ncia de contato corrigida por completo
Tens o de contato
t N T RF
c N H T RH
c
S Y K K ê à ãS
ã ã
S Z C K K êS
ã
σ
σ
= →
= →
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Decisões Iniciais do Projeto:
•Carregamento, velocidade, confiabilidade, vida desejada e fator de
sobrecarga.
•Fator de segurança: Quanto maior a incerteza do projeto maior deve ser
este.
•Sistema de dentes: ângulo de pressão e ângulo de hélice.
•Relação de transmissão, números de dentes da coroa e do pinhão.
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Variáveis de projeto:
•Qualidade (Qv).
•Módulo (diametral pitch).
•Largura da face.
•Material do pinhão, dureza do núcleo e superficial.
•Material da coroa, dureza do núcleo e superficial.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Sugestão de procedimento de cálculo:
1.Escolha o módulo (diametral pitch).
2.Examine as implicações na largura da face, nos diâmetros primitivos,
nas propriedades dos materiais. Se não for factível, altere o valor.
3.Escolha o material do pinhão definindo as durezas do núcleo e da
superfície.
4.Repita o passo 3 para a coroa.
5.Repita os passos anteriores até que as variáveis de projeto não se
alterem mais.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Critério de flexão do pinhão:
• Selecione um valor inicial de F=4π/P;
• Encontre as tensões limites;
• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as
tensões limites;
• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;
• Verifique o coeficiente de segurança.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Critério de flexão da coroa:
• Encontre as tensões limites;
• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as
tensões limites;
• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;
• Verifique o coeficiente de segurança.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Critério de desgaste:
• Encontre as tensões limites;
• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as
tensões limites;
• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;
• Verifique o coeficiente de segurança.
EXERCÍCIOS
Exemplos resolvidos:
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8