8-rjesavanje_jednadzbi-tekstualni (1)

Rješavanje jednadžbi8

Tekstualni (problemski) zadaci

Kroz prošle smo prezentacije naučili kako rješavati jednadžbe.

U ovoj ćemo prezentaciji rješavati tekstualne zadatke (tzv. problemske zadatke). U njima ćemo iz uvjeta zadatka trebati složiti odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Rješenje jednadžbe pomoći će nam da dođemo do rješenja zadanog zadatka.Prije nego što krenemo na takve zadatke, prisjetimo se naziva koje ćemo u njima koristiti...

Prisjetimo se:

Izraz u kojem se pojavljuje simbol + (npr. 2+3, 8+13, a+b ...) naziva se zbroj.

Izraz u kojem se pojavljuje simbol - (npr. 10-3, 28-3, x-y ...) naziva se razlika

.

Izraz u kojem se pojavljuje simbol · (npr. 7·3, 8·a, x·y ...) naziva se umnožak.

Izraz u kojem se pojavljuje simbol : (npr. 72:9, a:6, c:d ...) naziva se količnik.

Prisjetimo se:

Imajući na umu te nazive, reci što su sljedeći izrazi:

a) x - y razlika

b) 2 + x zbroj

c) 7x umnožak ( između 7 i x skriva se simbol · )

d) -5y umnožak

3xe) razlomak ili količnik (razlomačka crta označava dijeljenje)

f) (x-2) · (y+3) umnožak razlike i zbroja

g) (2-3x) · (4-y) umnožak dviju razlika

2x

h) - (z+7) razlika količnika i zbroja

i) (5-x) : (7y) količnik razlike i umnoška

Neka je x neki broj. Reci izraz koji predstavlja:

a) x uvećan za 2

x+2

b) x uvećan 2 puta

2x

c) x umanjen za 2 x-2

d) x umanjen 2 puta x:2 ili ( u jednadžbama češće koristimo )

2x

2x

e) 2 umanjen za x

2-x

f) 2 umanjen x puta 2:x ili x2

g) 30 umanjen za pola vrijednosti broja x

30 - 2x

ili 30 - x 21

Napomena: "x uvećan 2 puta" se može zapisati na sljedeće načine:

x·2, 2·x i 2x.

Svi su oni točni!

Međutim, kao što sme već puno puta vidjeli u jednažbama koje smo rješavali,u jednadžbama je uobičajen oblik 2x !Stoga je preporučljivo koristiti upravo njega, iako su i ostala dva oblika ispravna.Dakle, kod množenja je uobičajeno prvo pisati broj, a onda slovo!

g) y uvećan 6 puta

6y

Sad krećemo na problemske zadatke.

Ukoliko te zanima točno određeni tip problemskih zadataka, možeš koristiti donje linkove da bi krenuo baš na taj tip:

• problemski zadaci u kojima se traži broj koji zadovoljava neka svojstva

• životniji problemski zadaci

• geometrijski zadaci

• složeniji problemski zadaci

Ako želiš krenuti redom, klikni bilo gdje izvan gornjih linkova.

Problemski zadaciu kojima se traži broj

koji zadovoljava neke uvjete...

Primjer 1:

Ako neki broj pomnožimo sa 3, dobiveni umnožak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnožimo sa 6, dobit ćemo isti rezultat kao da smo početni broj pomnožili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj?

Imaš li ideju kako pronaći traženi broj?

Vjerujem da imaš:

Traženi broj ćemo označiti sa x, a zatim iz teksta zadatka složiti jednadžbu i riješiti je.Time ćemo dobiti koliki je traženi broj x...

Primjer 1:


x - traženi broj

Sad pažljivo čitajmo tekst zadatka i zapisujmo ga pomoću matematičkih simbola (da bismo dobili jednadžbu)...

3x - 7( ) · 6 = 7x + 2

Dobili smo jednadžbu!x u njoj predstavlja upravo onaj broj koji se traži u ovom zadatku.Riješimo jednadžbu i time ćemo pronaći traženi broj...

Kako riješiti ovu jednadžbu? Što ćemo prvo?

Riješiti se zagrade!

Kako ćemo se riješiti ove zagrade?

Iza zagrade je simbol ·, pa broj iza zagrade, tj. broj 6 množimo sa svakim u zagradi...

18x - 42

Ostalo prepišemo...

= 7x + 2

Primjer 1:


x - traženi broj

3x - 7( ) · 6 = 7x + 2

18x - 42 = 7x + 2

18x - 7x = 2 + 42

11x = 44 / :11

x =

Što sad?

Nepoznanice na lijevu, a poznanice na desnu stranu...

4

Traženi broj je broj 4.

Time je ovaj zadatak riješen.

Primjer 1:


x - traženi broj

3x - 7( ) · 6 = 7x + 2

18x - 42 = 7x + 2

18x - 7x = 2 + 42

11x = 44 / :11

x = 4


Provjerimo jesmo li dobili točno rješenje!Što misliš - kako ćemo ovdje izvršiti provjeru?Čitat ćemo tekst zadatka, sa dobivenim rješenjem (brojem 4) činiti sve što piše u zadatku i vidjeti hoće li to rješenje zadovoljiti sve što piše.Učinimo tako...

Primjer 1:


x - traženi broj

3x - 7( ) · 6 = 7x + 2

18x - 42 = 7x + 2

18x - 7x = 2 + 42

11x = 44 / :11

x = 4


Provjera:

Umjesto onoga "neki broj" uvrštavamo naše rješenje - broj 4!

4·3 = 12

12-7 = 5

5·6 = 30

4·7 = 28

28+2 =30

Zaista smo dobili isti rezultat, kao što i piše u zadatku!

Time smo provjerili da naše rješenje (broj 4) zadovoljava tekst zadatka.

Primjer 2:

Ako neki broj umanjimo za 4, dobivenu razliku uvećamo za 5,te dobiveni rezultat uvećamo 3 puta, dobit ćemo isti rezultat kao da smobroj 43 umanjili za traženi broj. Koji je to broj?

x - traženi broj

Krenimo kao i u prošlom primjeru:Sa x označimo treženi broj, a zatim pomoću matematičkih simbola zapišimo tekst zadatka...

x - 4 + 5( ) · 3 = 43 - x

Riješimo dobivenu jednadžbu...

3x - 12 + 15 = 43 - x

3x + x = 43 + 12

4x = 40

x = 10

- 15

/ :4


Time je ovaj zadatak riješen. Provjeru napravi sam.

Evo i nekoliko zadataka za vježbu. Pokušaj ih samostalno riješiti!Ako ćeš imati poteškoća, vrati se na prošle primjere.

Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio.Sretno!

2.) Ako neki broj pomnožimo sa -2, dobivenom umnošku dodamo broj 9 i dobiveni zbroj uvećamo 4 puta, dobit ćemo početni broj. Koji je to broj?

1.) Ako neki broj umanjimo za 10, te dobiveni rezultat povećamo 7 puta, dobit ćemo isti rezultat kao da smo broj 2 umanjili za početni broj. Koji je to broj?

3.) Mira je zamislila neki broj. Pomnožila ga je sa 4 i dobiveni umnožak oduzela od broja 100. Tako dobivenu razliku uvećala je 2 puta i od dobivenog rezultata oduzela peterostruki zamišljeni broj. Za rezultat je dobila broj 5. Koji je broj zamislila Mira?

Rješenja:

1.) To je broj 9.

Uputa: Trebalo je složiti jednadžbu(x-10)·7 = 2-x .

2.) To je broj 4.

Uputa: Trebalo je složiti jednadžbu(-2x+9)·4 = x .

3.) Mira je zamislila broj 15.

Uputa: Trebalo je krenuti od jednadžbe(100-4x)·2 - 5x = 5 .

A sad životniji primjeri...

Primjer 3:

Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica?

Imaš li ideju kako riješiti ovaj primjer?

Naravno, možemo pogađanjem, no ta nam metoda u složenijim zadacima neće pomoći.

I ovaj ćemo primjer riješiti pomoću jednadžbi, samo je u ovakvim slučajevima slaganje jednadžbi nešto složenije.Krenimo redom...

Primjer 3:

Uočimo da se u ovom zadatku traže dva broja - broj Aninih i broj Marijinih školjkica!Stoga ćemo prvo zapisati "Anine školjkice" i "Marijine školjkice",a možemo i kraće samo "Ana" i "Marija"...

Ana:

Marija:

Sad uočimo koja je od njih skupila manje školjkica i broj njezinih školjkica označimo sa x.Iz uokvirene rečenice zaključujemo da je Marija skupila manje, pa broj njezinih školjkica označimo sa x.

x

Ponovo pročitaj uokvirenu rečenicu i iz nje zaključi:Ako je broj Marijinih školjkica upravo x, a Ana je skupila 3 puta više, koliko školjkica ima Ana?

3x


Primjer 3:

Za sad smo i broj Aninih i broj Marijinih školjkica označili pomoću x.Sad nam još nedostaje jednadžba.

Da bismo složili jednadžbu, uočimo koji još podatak o njihovim školjkicama piše u zadatku, a kojega još nismo iskoristili!

Ana:

Marija: x

3x

Upravo ćemo tu rečenicu iskoristiti da bismo složili jednadžbu, i to ovako:

Uočimo koliko školjkica ima Ana,

koliko ih ima Marija,te koliko ih imaju zajedno!

Što (koju računsku operaciju) trebamo napraviti sa brojem Aninih i brojem Marijinih školjkica da bismo dobili ukupni broj školjkica?

3x + x = 84


Trebamo ih zbrojiti!Taj nam odgovor kaže kako iz gore uokvirenoga složiti jednadžbu...

Primjer 3:

Ana:

Marija: x

3x

3x + x = 84


Time smo dobili jednadžbu!

Kad tu jednadžbu riješimo, dobit ćemo koliki je x. Nakon toga ćemo dobiveno rješenje (broj) umjesto x-a uvrstiti ovdje...... i time ćemo saznati koliko je Ana skupila školjkica, a koliko ih je skupila Marija.

Riješimo jednadžbu!Što ćemo prvo?

Nepoznanice već jesu na lijevoj strani, a poznanica na desnoj. Zbrojimo nepoznanice na lijevoj...

4x = 84

x = 21

/ :4

Primjer 3:

Ana:

Marija: x

3x

3x + x = 84


4x = 84

x = 21

/ :4

Time smo riješili jednadžbu, tj. saznali koliki je x!

Sad ćemo to rješenje 21 uvrstiti umjesto x da bismo saznali koliko je Ana, a koliko Marija skupila školjkica...

= 3 · 21 = 63

Time smo saznali da je Ana skupila 63 školjkice.Izračunajmo sad za Mariju...

= 21

Dakle, Marija je skupila 21 školjkicu.Zapišimo odgovor...

Primjer 3:

Ana:

Marija: x

3x

3x + x = 84


4x = 84

x = 21

/ :4

= 3 · 21 = 63

Ana je skupila 63, a Marija 21 školjkicu.

= 21

Time smo gotovi sa rješavanjem zadatka.

Primjer 3:

Ana:

Marija: x

3x

3x + x = 84


4x = 84

x = 21

/ :4

= 3 · 21 = 63


= 21

Primjer 3:

Ana:

Marija: x

3x

3x + x = 84


4x = 84

x = 21

/ :4

= 3 · 21 = 63


Provjerimo jesmo li točno riješili:

U prvoj rečenici piše da su zajedno skupile 84 školjkice.Provjerimo je li to u skladu s našim rješenjem...

63 + 21 =

84

To je u redu!

U drugoj rečenici piše da je Ana skupila 3 puta više školjkica od Marije.Provjerimo je li to u skladu s našim rješenjem...63 je zaista 3 puta veći od 21,63 = 3·21,dakle rješenje je u skladu i sa tom rečenicom.

= 21

Primjer 3:

Ana:

Marija: x

3x

3x + x = 84


4x = 84

x = 21

/ :4

= 3 · 21 = 63

Time smo gotovi i sa rješavanjem zadatka i sa provjerom.

Prije prelaska na sljedeći primjer, još jednom se u kratkim crtama podsjetimo kako smo rješavali ovaj. (Iste ćemo korake raditi i u sljedećim primjerima.)

= 21


Primjer 3:


Primjer 3:

Ana:

Marija: x

3x

3x + x = 84


4x = 84

x = 21

/ :4

= 3 · 21 = 63 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to...

2. Iz teksta zadatka uočimo koja je našla manje školjkica i broj njenih školjkica označimo sa x...

3. Sad uočimo koliki je broj školjkica druge djevojčice u odnosu na prvu i zapišimo i to pomoću x...

4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe...

5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 3x i x zapišemo jednadžbu...6. Riješimo jednadžbu...

7. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x...

= 21


8. Napišemo odgovor.

9. Napravimo provjeru... (to sad nećemo)

Ako si sve shvatio, krenimo na novi primjer!Ako nisi, možeš se vratiti na pojašnjavanje prethodnog. Za to možeš koristiti sljedeće linkove:početak primjera 3,pojašnjavanje primjera 3 u kratkim crtama,provjera rješenja.Za prelazak na novi primjer, klikni bilo gdje izvan tih linkova.

Primjer 4:

Davor:

Iva:

x

8x

x + 8x = 108

Davor i njegova seka Iva ukupno imaju 108 kuna.Koliko koji od njih ima kuna ako Davor ima 8 puta manje od Ive?

1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to...

2. Iz teksta zadatka uočimo tko ima manje novaca i broj njezinih/njegovih kuna označimo sa x...

3. Sad uočimo koliko kuna ima Iva u odnosu na Davora, te zapišimo i to pomoću x...4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe...

5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x i 8x zapišemo jednadžbu...6. Riješimo jednadžbu...

9x = 108

x = 12

/ :9


= 12

= 8 · 12 = 96

Davor ima 12, a Iva 96 kuna.


9. Napravimo provjeru.

Provjera:Je li rješenje u skladu sa prvom rečenicom?12 + 96 = 108 OK!

A sa drugom rečenicom?12 je 8 puta manji od 96, pa je i to u redu.

Primjer 5:

crveni:

zeleni: x

x+7

x + 7 + x = 43

Na skladištu su crveni i zeleni bicikli. Crvenih je bicikala za 7 više nego zelenih,a ukupno ih je 43. Koliko je kojih bicikala na tom skladištu?


2. Iz teksta zadatka uočimo kojih bicikala ima manje i broj tih bicikala označimo sa x...

3. Sad uočimo koliki je broj crvenih bicikala u odnosu na broj zelenih, te zapišimo i to pomoću x...


5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu...6. Riješimo jednadžbu...

x + x = 43 - 7

2x = 36

x = 18

/ :2


Primjer 5:

crveni:

zeleni: x

x+7

x + 7 + x = 43

Na skladištu su crveni i zeleni bicikli. Crvenih je bicikala za 7 više nego zelenih,a ukupno ih je 43. Koliko je kojih bicikala na tom skladištu?


2. Iz teksta zadatka uočimo kojih bicikala ima manje i broj tih bicikala označimo sa x...

3. Sad uočimo koliki je broj crvenih bicikala u odnosu na broj zelenih, te zapišimo i to pomoću x...


5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu...6. Riješimo jednadžbu...

x + x = 43 - 7

2x = 36

x = 18

/ :2


= 18 +7 = 25

= 18

Na tom skladištu je 25 crvenih i 18 zelenih bicikala.


9. Provjeru napravi sam...



2.) Bara je ispekla 18 kolačića više nego Đurđa, a zajedno su ispekle 166 kolačića. Koliko ih je ispekla Bara, a koliko Đurđa?

1.) U Micikinom i Pepičinom dvorištu zajedno ima 70 kokoši, pri čemu je u Micikinom dvorištu 4 puta više kokoši nego u Pepičinom. Koliko je kokoši u Micikinom, a koliko u Pepičinom dvorištu?

3.) Marko ima 36 kuglica triju boja: bijele, žute i plave. Bijelih kuglica ima 2 puta više nego žutih, a plavih koliko bijelih i žutih zajedno. Koliko Marko ima bijelih, koliko žutih i koliko plavih kuglica?

Rješenja:

1.) U Micikinom dvorištu je 56, a u Pepičinom 14 kokoši.

Uputa: Micika: 4xPepica: x4x + x = 56...

2.) Bara je ispekla 92, a Đurđa 72 kolačića.

Uputa: Bara: x+18Đurđa: xx+18+x=166...

3.) Marko ima 12 bijelih, 6 žutih i 18 plavih kuglica.

Uputa: bijele: 2xžute: xplave: 3x2x+x+3x = 36...

U prošlim smo zadacima uvijek imali zadan ukupan broj - bilo kuna, kuglica, školjkica i dr., pa smo prilikom slaganja jednadžbi uvijek zbrajali (jer ukupan broj dobivamo zbrajanjem).

Sad ćemo rješiti i nekoliko drugačijih primjera...

Primjer 6:

Lolek:

Bolek: x

4x

4x - x = 9

Lolek i Bolek puhali su balone. Lolek je napuhao 4 puta više balona nego Bolek,a Bolek je napuhao 9 balona manje nego Lolek. Koji je napuhao koliko balona? 1. Krenimo po starom! Pročitajmo

tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to...

2. Iz teksta zadatka uočimo tko je napuhao manje balona i broj njegovih balona označimo sa x...

3. Sad uočimo koliko je balona napuhao Lolek u odnosu na Boleka, te zapišimo i to pomoću x...


5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 4x i x zapišemo jednadžbu...

Pažljivo razmisli:

Što moramo učiniti (koju računsku operaciju) sa brojem Bolekovih i brojem Lolekovih balona da bismo dobili koliko je balona Bolek napuhao manje od Loleka?Trebamo ih oduzeti - od broja Lolekovih balona oduzmemo broj Bolekovih balona!Tebi je možda na pamet pao drugačiji način slaganja jednadžbe:

od broja Lolekovih balona oduzeti razliku 9 i time se dobije broj Bolekovih balona:4x - 9 = xIli: broj Bolekovih balona je za 9 manji od broja Lolekovih: x = 4x - 9

Ili: broj Lolekovih balona je za 9 veći od broja Bolekovih: 4x = x + 9

Sve ove jednadžbe u biti govore isto i sve one vode do istog rješenja.Svejedno je koju ćeš koristiti, samo pazi da ne složiš neku jednadžbu koja ne vrijedi!

Primjer 6:

Lolek:

Bolek: x

4x

4x - x = 9

Lolek i Bolek puhali su balone. Lolek je napuhao 4 puta više balona nego Bolek,a Bolek je napuhao 9 balona manje nego Lolek. Koji je napuhao koliko balona?

3x = 9

x = 3

/ :3

= 4 · 3 = 12 1. Krenimo po starom! Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to...

2. Iz teksta zadatka uočimo tko je napuhao manje balona i broj njegovih balona označimo sa x...

3. Sad uočimo koliko je balona napuhao Lolek u odnosu na Boleka, te zapišimo i to pomoću x...




= 3

Lolek je napuhao 12, a Bolek 3 balona.


9. Napravimo provjeru... (to napravi sam)

Primjer 7:

Dalijo:

Marin: x

5x

5x - x = 12

Dalijo je 5 puta stariji od Marina, a Marin je 12 godina mlađi od Dalija.Koliko godina ima Dalijo, a koliko Marin?

4x = 12

x = 3

/ :4

= 5 · 3 = 15 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to...

2. Iz teksta zadatka uočimo tko ima manje godina i broj njegovih godina označimo sa x...

3. Sad uočimo koliko je puta Dalijo stariji od Marina i to zapišimo pomoću x...




= 3

Dalijo ima 15, a Marin 3 godine.


9. Napravimo provjeru... (to napravi sam)

Pažljivo razmisli:

Kako složiti jednadžbu ako znamo da je Marin 12 godina mlađi od Dalija?

Jedna od mogućnosti je - od broja Dalijovih godina oduzeti broj Marinovih godina i time dobivamo razliku u godinama...Može i: 5x - 12 = x , 5x = x + 12, x = 5x - 12 , x + 12 = 5x ...



2.) Otac je 4 puta stariji od kćeri. On je ujedno i za 33 godine stariji od kćeri. Koliko godina ima otac, a koliko kćer?

1.) U jednom kokošinjcu bilo je 7 puta više kokoši nego pijevaca, a pijevaca je bilo za 24 manje nego kokoši. Koliko je tu bilo kokoši, a koliko pijevaca?

3.) Pet učenika 6. razreda skupljali su boce. Ivica i Stipe skupili su jednaki broj boca. Josip je skupio 2 puta više od Ivice, a Vinko je skupio 3 puta više od Josipa. Zlatko je skupio dvije boce manje od Vinka. Koliko je koji skupio boca ako je Josip skupio 17 boca više od Ivice?

Rješenja:

1.) Bilo je 28 kokoši i 4 pijevca.

Uputa: kokoši: 7xpijevci: x7x - x = 24...

2.) Otac ima 44, a kćer 11 godina.

Uputa: otac: 4xkćer: x4x-x=33...

3.) Ivica i Stipe skupili su svaki po 17, Josip 34, Vinko 102, a Zlatko 100 boca.

Uputa: Ivica: xStipe: xJosip: 2xVinko: 6xZlatko: 6x-22x-x=17...

Geometrijski zadaci

Geometrijske problemske zadatke rješavat ćemo na isti način kao i prethodne, s tim da ovdje trebamo napraviti i skicu. Ona nam ponekad pomaže u slaganju jednadžbe...

Primjer 8:

širina:

duljina: x

x+7

x +

7

Širina pravokutnika je za 7 cm veća od duljine.Kolike su stranice tog pravokutnika ako mu je opseg 54 cm?


2. Iz teksta zadatka uočimo je li manja širina ili duljina i nju označimo sa x...3. Sad uočimo kolika je širina u odnosu na duljinu, te zapišimo i to pomoću x...

4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo.

5. Prije nego što krenemo na pisanje jednadžbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice označimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (x+7 i x).

7. Riješimo jednadžbu...

x + x = 54

4x = 40

x = 10

/ :4


x+7

x+7 xx

6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu...

Pažljivo razmisli:

Što je opseg bilo kojeg lika?Što moramo učiniti sa stranicama pravokutnika da bismo dobili opseg?

Trebamo zbrojiti duljine svih stranica!Uočavajmo redom stranice na skici i zbrajajmo ih - tako dobivamo jednadžbu...

+ x + x + 7+ x = 54

+ x + x

- 7 - 7

Primjer 8:

širina:

duljina: x

x+7

x +

7

Širina pravokutnika je za 7 cm veća od duljine.Kolike su stranice tog pravokutnika ako mu je opseg 54 cm?


2. Iz teksta zadatka uočimo je li manja širina ili duljina i nju označimo sa x...3. Sad uočimo kolika je širina u odnosu na duljinu, te zapišimo i to pomoću x...

4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo.

5. Prije nego što krenemo na pisanje jednadžbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice označimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (x+7 i x).


x + x = 54

4x = 40

x = 10

/ :4


x+7

x+7 xx

6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu...

+ x + x + 7+ x = 54

+ x + x

- 7 - 7

= 10 +7 = 17

= 10

Stranice tog pravokutnika duge su 17cm i 10cm.



Primjer 9:

kraci:

osnovica:

x

2x

x

Kraci jednakokračnog trokuta 2 puta su dulji od osnovice,a opseg tog trokuta je 40 cm. Kolike su mu stranice?


2. Iz teksta zadatka uočimo je li manja osnovnica ili krak, te to označimo sa x...3. Sad uočimo koliki je krak u odnosu na osnovicu, te zapišimo i to pomoću x...4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo.

5. Prije nego što krenemo na pisanje jednadžbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice označimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (2x i x).


5x = 40

x = 8

/ :5


x

2x2x

6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 2x i x zapišemo jednadžbu...Pažljivo razmisli:

Što je opseg bilo kojeg lika?Što moramo učiniti sa stranicama trokuta da bismo dobili opseg?

Trebamo zbrojiti duljine svih stranica!Uočavajmo redom stranice na skici i zbrajajmo ih - tako dobivamo jednadžbu...

+ 2x

+ 2x

= 40

= 2·8 = 16

= 8

Osnovica tog trokuta duga je 8 cm, a kraci 16 cm.



Opet zadaci za vježbu...Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio.Sretno!

2.) Kraci jednakokračnog trokuta za 8cm su dulji od osnovice, a opseg tog trokuta je 46 cm. Kolike su mu stranice?

1.) Širina pravokutnika je 3 puta veća od duljine, a opseg je 64 cm. Kolike su mu stranice?

3.) U raznostraničnom trokutu najdulja stranica je 3 puta dulja od najkraće, a srednja je za 4 cm kraća od najdulje. Kolike su stranice tog trokuta ako mu je opseg 38 cm?

Rješenja:

1.) Stranice tog pravokutnika su 24cm i 8cm.

Uputa: širina: 3xduljina: x3x+x+3x+x = 64...

2.) Osnovica mu je 10cm, a kraci 18cm.

Uputa: osnovica: xkraci: x+8x+x+8+x+8=46...

3.) Stranice su mu duge 6cm, 14cm i 18cm.

Uputa: najkraća: xnajdulja: 3xsrednja: 3x-4x+3x+3x-4=38...

4.) Stranice su mu duge 12cm i 6cm.

Uputa: duljina: 2xširina: x2x-x=6...

4.) Duljina pravokutnika je 2 puta veća od širine, a širina je za 6 cm kraća od duljine. Kolike su stranice tog pravokutnika?

Složeniji problemski zadaci

Primjer 10:

1. jato:

2. jato: x

2x

Lete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta više ptica nego u drugome.Ako 20 ptica iz drugog jata pređe u prvo jato, tada će u prvom jatu biti 3 puta više ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu?

1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to...

2. Iz teksta zadatka uočimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu označimo sa x...

3. Sad uočimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapišimo pomoću x...4. Sa 2x i x smo označili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo.

prije

Međutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabilježimo i to pomoću x...

poslije

Ako je u 1. jatu bilo 2x ptica

i došlo je još 20 ptica,

nakon toga u tom jatu ima - koliko ptica?

2x+20

Ako je u 2. jatu bilo x ptica

i otišlo je 20 ptica,

nakon toga u tom jatu ima - koliko ptica?

x-20

Primjer 10:

1. jato:

2. jato: x

2x





prije


poslije

2x+20

x-20

5. Nakon što smo oba stanja (prije i poslije promjene) označili pomoću x, podvučemo.6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili i pomoću njega zapišimo jednadžbu...

Sjetimo se da nakon seljenja u 1. jatu imamo 2x+20 ptica, a u 2. jatu x-20 ptica.Tekst zadatka kaže da je broj ptica u 1. jatu (tj. 2x+20) tri puta veći od broja ptica u 2. jatu (tj. od x-20 ).Zapišimo to matematičkim simbolima...

2x + 20 = 3 • (x - 20)

Primjer 10:

1. jato:

2. jato: x

2x





prije


poslije

2x+20

x-20


2x + 20 = 3 • (x - 20)


Kako ćemo riješiti ovu jednadžbu?

Naravno, prvo se trebamo riješiti zagrade.Kako ćemo je se riješiti u ovom slučaju?Ispred zagrade je množenje, pa ćemo broj ispred zagrade (tj. broj 3) pomnožiti sa svakim pribrojnikom u zagradi.Sve prije tog broja 3 prepišemo...

2x + 20 = 3x - 60

Primjer 10:

1. jato:

2. jato: x

2x





prije


poslije

2x+20

x-20


2x + 20 = 3 • (x - 20)


2x + 20 = 3x - 60

2x = -60

-x = -80

x = 80

/ :(-1)

- 3x - 20


=2•80=160

= 80

=2•80+20=180

= 80-20= 60


U prvom je jatu 160, a u drugom 80 ptica. Ako se 20 ptica preseli iz drugog jata u prvo, nakon toga će u prvom jatu biti 180, a u drugom 60 ptica. 10. Provjeru napravi sam...

Primjer 11:

1. vreća:

2. vreća: x

5x

U prvoj je vreći bilo 5 puta više brašna nego u drugoj. Iz prve vreće su 24 kg brašna presipana u drugu, te su nakon toga obje vreće postale jednako teške. Koliko je brašna u kojoj vreći bilo prije presipavanja, a koliko poslije?


2. Iz teksta zadatka uočimo u kojoj vreći ima manje brašna, te tu količinu brašna označimo sa x...

3. Sad uočimo koliko je brašna u 1. vreći u odnosu na 2. vreću i to zapišimo pomoću x...4. Sa 5x i x smo označili količine brašna prije presipavanja. Označimo pomoću x i količine nakon presipavanja...

prije poslije

Ako je u 1. vreći bilo 5x kg brašna

i iz nje smo uzeli 24 kg brašna,

nakon toga u toj vreći ima - koliko brašna?

5x-24

Ako je u 2. vreći bilo x kg brašna

i dosipana su 24 kg brašna,

nakon toga u toj vreći ima - koliko brašna?

x+24

Primjer 11:

1. vreća:

2. vreća: x

5x





prije poslije

x+24


Sjetimo se da nakon presipavanja u 1. vreći imamo 5x-24 kg brašna, a u 2. vreći x+24 kg brašna.

Tekst zadatka kaže da su te količine brašna jednake.Zapišimo to pomoću matematičkih simbola...

5x - 24 = x + 24

5x-24

Primjer 11:

1. vreća:

2. vreća: x

5x





prije poslije

x+24


5x - 24 = x + 24


5x = 24

4x = 48

x = 12

/ :4

- x + 24


=5•12=60

= 12

=5•12-24=36

= 12+24= 36


Prije presipavanja u 1. vreći je bilo 60 kg brašna, a u 2. vreći 12 kg.Nakon presipavanja u svakoj je vreći bilo 36 kg brašna.


5x-24

Opet zadaci za vježbu...Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio.Sretno!

2.) Tanja i Vanja dobile su bombonijere. U Tanjinoj bombonijeri bilo je 2 puta više bombona nego u Vanjinoj. Stoga je Tanja poklonila Vanji 7 bombona, pa su nakon toga imale jednako mnogo bombona. Koliko je koja dobila bombona?

1.) Zoran je imao 4 puta više autića od Gorana. Kad je Zoran izgubio 5 autića, ukupan broj Zoranovih i Goranovih autića bio je 10. Koliko je autića na početku imao koji dječak?

3.) U jednoj je bačvi bilo 3 puta više ulja nego u drugoj. Zatim je iz druge bačve istočeno 17 litara, a iz prve 6 litara, pa je u obje bačbe zajedno ostalo 105 litara ulja. Koliko je litara u kojoj bačvi bilo na početku?

Rješenja:

1.) Zoran je imao 12, a Goran 3 autića.

Uputa: prije poslijeZoran: 4x 4x-5Goran: x x 4x-5+x=10...

2.) Tanja je dobila 28, a Vanja 14 bombona.

Uputa: prije poslijeTanja: 2x 2x-7Vanja: x x+7 2x-7 = x+7...

3.) Na početku je u 1. bačvi bilo 96 litara, a u drugoj bačvi 32 litre ulja.

Uputa: prije poslije1. bačva: 3x 3x-62. bačva: x x-17 3x-6+x-17 = 105...

Time smo došli do kraja ove cjeline.Nadam se da je bilo korisno, jasno i ne preteško.

Autorica prezentacije:Autorica prezentacije:

Antonija Antonija HorvatekHorvatek

lipanj 2008.lipanj 2008.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija [email protected]://public.carnet.hr/~ahorvate

8-rjesavanje_jednadzbi-tekstualni (1)

Documents