8º grado matemática geometría en 2d...
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New Jersey Center for Teaching and Learning
Iniciativa de Matemática Progres iva®
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8º Grado Matemática
Geometría en 2D Transformaciones
www.njctl.org
2013-04-12
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Vínculos para preguntas PARCC de muestra
Sin calculadora N° 8
Sin calculadora N° 12
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Tabla de Contenidos
· Reflexiones· Dilataciones
· Traslaciones
Click en un tema para ir a esta sección
· Rotaciones
· Transformaciones
· Congruencia y Semejanza
Common Core Standards: 8.G.1, 8.G.2, 8.G.3, 8.G.4, 8.G.5
· Pares especiales de ángulos
· Simetría
· Glosario· Ángulos exteriores remotos
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Algunas veces cuando se restas fracciones, encuentras que no puedes porque el el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar desde los números enteros.
¿Cuántos tercios es en un entero?
¿Cuántos quintos hay en un entero?
¿Cuántos novenos hay en un entero?
Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.
El subrayado está vinculado a la página en la parte del glosario que contienen el vocabulario de la tabla.
(Haz click sobre el subrayado.)
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Volver al tema
FactorUn número entero
que se puede dividir con otro
número y no queda resto
15 3 5
3 es un factor de 15 3 x 5 = 15
3 y 5 son factores de 15
1635 .1R
3 no es un factor de 16
4
Un número entero que multiplica con otro número para hacer un tercer
número
El cuadro tiene 4 partes
Vocabulario1
Su significado 2
Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la
página con el tema.
(Cómo se utiliza en
esta lección)
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Transformaciones
Volver a laTabla de Contenidos
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Cada vez que mueves, encoges o agrandas una figura haces una transformación. Si la figura que estás moviendo (preimagen) está marcada con las letras A, B, y C, puedes marcar los puntos de la figura transformada (imagen) con las mismas letras y una comilla.
AB
C
A'B'
C'
pre-imagen imagen
Not
as p
ara
el p
rofe
sor
Transformación
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La imagen también se puede marcar con letras nuevas, como se muestra a continuación.
El triángulo ABC es la pre-imagen de la imagen reflejada del triángulo XYZ
AB
C
XY
Z
pre-imagen imagen
Transformación
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Hay cuatro tipos de transformaciones en esta unidad
· Traslaciones· Rotaciones· Reflexiones· Dilataciones
Las primeras tres transformaciones preservan el tamaño y la forma de la figura.
En otras palabras:Si tu pre-imagen es un trapezoide, tu imagen es un trapezoide congruente .
Si tu pre-imagen es un ángulo, tu imagen es un ángulo con la misma medida.
Si tu pre-imagen contiene rectas paralelas , tu image contiene rectas paralelas.
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Traslaciones
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Trasladar es mover una figura a otra posición (izquierda, derecha, arriba o abajo) sin cambiar su tamaño o forma y sin voltear o girar..
Puedes utilizar una flecha para mostrar la dirección y la distancia del movimiento
TraslaciónSlide 14 / 227
Esto muestra una traslación de la pre-imagen ABC a la imagen A'B'C'. Cada punto en la pre-imagen se movió a la derecha 7 y hacia arriba 4.
Traslación
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Click para ir a la página web Traslación
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¿Son los segmentos en la pre-imagen y en la imagen de la misma longitud? En otras palabras, fue preservado el tamaño de la figura?Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.
A B
CD
A' B'
C'D'
Para completar una traslación, mueve cada punto de la pre-imagen y marca los nuevos puntos.
Ejemplo: Mueve la figura 2 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba. ¿Cuáles son las coordenadas de la pre-imagen e imagen?
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Traslada la pre-imagen ABC 2 a al izquierda y 6 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y la pre-imagen?
A
B
C
¿Son los segmentos en la pre-imagen y en la imagen de la misma longitud? En otras palabras, fue preservado el tamaño de la figura?Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.
Slide 18 / 227Traslada la pre-imagen ABCD 4 a la derecha y 1 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y de la pre-imagen?
A
B
C
D
Los segmentos de la pre-imagen y de la imagen, ¿tienen igual longitud? En otras palabras, se conservó el tamaño de la figura?Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.
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AB
C
D
Traslada la pre-imagen ABCD 5a la izquierda y 3 hacia arriba. ¿Cuál es la regla y cuáles son las nuevas coordenadas de la imagen.
Los segmentos de la pre-imagen y de la imagen, ¿tienen igual longitud? En otras palabras, se conservó el tamaño de la figura?Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.
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Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas. Mira las siguientes reglas y coordenadas para ver si puedes encontrar un patrón.
2 Izquierda y 5 ArribaA (3,-1) A' (1,4)B (8,-1) B' (6,4)C (7,-3) C' (5,2)D (2, -4) D' (0,1)
2 Izquierda y 6 AbajoA (-2,7) A' (-4,1)B (-3,1) B' (-5,-5)C (-6,3) C' (-8,-3)
4 Derecha y 1 AbajoA (-5,4) A' (-1,3)B (-1,2) B' (3,1)C (-4,-2) C' (0,-3)D (-6, 1) D' (-2,0)
5 Izquierda y 3 ArribaA (3,2) A' (-2,5)B (7,1) B' (2,4)C (4,0) C' (-1,3)D (2,-2) D' (-3,1)
Reglas de traslación
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Trasladando a la izquierda o derecha cambias la coordenada de x.
Trasladando hacia arriba o abajo cambias la coordenada de y.
2 Izq. y 5 ArribaA (3,-1) A' (1,4)B (8,-1) B' (6,4)C (7,-3) C' (5,2)D (2, -4) D' (0,1)
2 Izq. y 6 AbajoA (-2,7) A' (-4,1)B (-3,1) B' (-5,-5)C (-6,3) C' (-8,-3)
4 Der. y 1 AbajoA (-5,4) A' (-1,3)B (-1,2) B' (3,1)C (-4,-2) C' (0,-3)D (-6, 1) D' (-2,0)
5 Izq. y 3 AbajoA (3,2) A' (-2,5)B (7,1) B' (2,4)C (4,0) C' (-1,3)D (2,-2) D' (-3,1)
Reglas de traslación
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Reglas de traslación
Trasladando izquierda/derecha cambias la coordenada de las x · izquierda restas a la coordenada x
· Derecha sumas a la coordenada x
Trasladando arriba/abajo cambias la coordenada y.· Abajo restas a la coordenada y
· Arriba sumas a la coordenada y
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Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas .
2 unidades a la izquierda … coordenada x - 2 coordenada y queda igual regla = (x - 2, y)
5 unidades derechay tres unidades abajo… coordenada x + 5 coordenada y - 3 regla = (x + 5, y - 3)
click
click
Reglas de traslación
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Escribe una regla para cada traslación.
2 Izq. y 5 ArribaA (3,-1) A' (1,4)B (8,-1) B' (6,4)C (7,-3) C' (5,2)D (2, -4) D' (0,1)
2 Izq. y 6 AbajoA (-2,7) A' (-4,1)B (-3,1) B' (-5,-5)C (-6,3) C' (-8,-3)
4 Der. y 1 AbajoA (-5,4) A' (-1,3)B (-1,2) B' (3,1)C (-4,-2) C' (0,-3)D (-6, 1) D' (-2,0)
5 Izq. y 3 ArribaA (3,2) A' (-2,5)B (7,1) B' (2,4)C (4,0) C' (-1,3)D (2,-2) D' (-3,1)
(x, y) (x-2, y+5) (x, y) (x-2, y-6)
(x, y) (x-5, y+3) (x, y) (x+4, y-1)
click para revelar
click para revelar click para revelar
click para revelar
Reglas de traslación
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1 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?
A (x,y) (x - 4, y - 6)
B (x,y) (x - 6, y - 4)
C (x,y) (x + 6, y + 4)
D (x,y) (x + 4, y + 6)D
E
F
G
D'E'
F'
G'
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2 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?
A (x,y) (x, y - 9)B (x,y) (x, y - 3)C (x,y) (x - 9, y)D (x,y) (x - 3, y)
DE
F
G
D'E'
F'
G'
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3 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?
A (x,y) (x + 8, y - 5)
B (x,y) (x - 5, y - 1)
C (x,y) (x + 5, y - 8)
D (x,y) (x - 8, y + 5)
DE
F
G
D'E'
F'
G'
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4 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?
A (x,y) (x - 3, y + 2)B (x,y) (x + 3, y - 2)C (x,y) (x + 2, y - 3)D (x,y) (x - 2, y + 3)
DE
F
G
D'E'
F'
G'
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5 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?
A (x,y) (x - 3, y + 2)B (x,y) (x + 3, y - 2)C (x,y) (x + 2, y - 3)D (x,y) (x - 2, y + 3)
DE
F
G
D'E'
F'
G'
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Rotaciones
Volver a la Tabla de Contenidos
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Una rotación (giro) es mover una figura alrededor de un punto. Este punto puede estar en la figura o puede ser algún otro punto exterior. Este punto se llamapunto de rotación.
P
Rotaciones
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Rotación
El dedo de la persona es el punto de rotación para cada figura
Slide 34 / 227
Cuando giras una figura, puedes describir la rotación, dando la dirección (en sentido horario o en sentido antihorario) y el ángulo de la figura gira alrededor del punto de giro. Las rotaciones son en sentido antihorario , a menos que se le indique lo contrario.
Esta figura se rota 90 grados en sentido contrario
a las agujas del reloj alrededor del punto A.
Esta figura se rota180 grados en sentido de
las agujas del reloj alrededor del punto B.
AB
click para revelar
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A B
CD
A'
B' C'
D'
¿Cómo se rotó esa figura en torno al origen?
En el plano de coordenadas cada cuadrante representa 90º.
Controla para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
Para determinar el ángulo, dibuja dos semirrectas (una desde el punto de rotación hasta el punto de la pre-imagen y otra desde el punto de rotación hasta el punto de la imagen. Mide ese ángulo.
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Las siguientes descripciones describen la misma rotación.¿Qué notas?¿Puedes dar tu propio ejemplo?
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La suma de las dos rotaciones (horaria y antihoraria) es 360 grados. Si tienes una rotación, puedes calcular la otra restandola de 360.
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6 ¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto A? (Elige más de una respuesta.)
A horario
B antihorario
C 90 grados
D 180 grados E 270 grados
Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
A, A'C'
C
BB'
D'E'
D
E
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7 ¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto de origen? (Elige más de una respuesta).
A horario
B antihorario
C 90 grados
D 180 gradosE 270 grados
Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
A B
CD
A'B'
C' D'
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Ahora echemos un vistazo a la misma figura y ver lo que sucede con las coordenadas cuando hacemos girar una figura.
Escribe las coordenadas de la pre-imagen e imagen.
¿Qué notas?
Rotaciones
A B
CD
A'
B' C'
D'
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¿Qué sucede con las coordenadas en un medio giro?
Escribe las coordenadas para la pre-imagen y la imagen.
¿Qué notas?
Rotaciones
A B
CD
A'B'
C' D'
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¿Podrías resumir que pasa con las coordenadas durante una rotación?
90° sentido antihorario:
Medio giro:
90° sentido horario:
Rotaciones
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8 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto A (5, -6) despues de una rotación horaria de ?
A (-6, -5)
B (-6, 5)
C (-5, 6)
D (5, -6)
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9 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto S (-8, -1) despues de una rotación anti horaria de ?
A (-1, -8)
B (1, -8)
C (-1, 8)
D (8, 1)
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10 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto H (-5, 4) despues de una rotación anti horaria de ?
A (-5, -4)
B (5, -4)
C (4, -5)
D (-4, 5)
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11 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto R (-4, -2) después de una rotación horaria de ?
A (4, -2)
B (-2, 4)
C (2, 4)
D (-4, 2)
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12 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto Y (9, -12) despues de una rotación de medio giro?
A (-12, 9)
B (-9,12)
C (-12, -9)
D (9,12)
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13 El paralelogramo A' B' C' D' (no el mostrado) es la imagen del paralelogramo ABCD después de una rotación de 180° en torno al origen. ¿Qué afirmaciones sobre el paralelogramo A'B'C'D son ciertas?. Selecciona cada afirmación correcta
A A'B' es paralelo a B'C'
B A'B' es paralelo a A'D'
C A'B' es paralelo a C'D'
D A'D' es paralelo a B'C'
E A'D' es paralelo a D'C'
From PARCC sample test
AB
CD
x
y
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Reflexiones
Volver a laTabla de Contenidos
Slide 50 / 227Ejemplos
Slide 51 / 227
Una reflexión (vuelta) crea una imagen de espejo de una figura.
ReflexiónSlide 52 / 227
Un reflejo es una vuelta porque la figura se voltea sobre una línea. Cada punto de la imagen está a la misma distancia de la línea como del punto original..
A y A' están ambos a 6 unidades de la recta t.B y B' están ambos a 6 unidades de la recta t.C y C' están ambos a 3 unidades de la recta t.
Cada vértice en el ABC está a la misma distancia de la recta t como los vértices en el A'B'C'.
Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
Reflexión
A
B C
A'
B'C'
t
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Refleja la figura transversalmente al eje y.
Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
Reflexión
x
y
A B
CD
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¿Qué notas acerca de las coordenadas cuando reflejas transversalmente al eje y?
Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
Reflexión
x
y
A B
CD
A'B'
C'D'
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¿Cuál es tu predicción sobre las coordenadas cuando se refleja sobre el eje x?
Reflexión
x
y
A B
CD
A' B'
C'D'
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Refleja la figura transversal al eje de las y, y luego al eje x.Haz click para ver cada reflexión
x
y
AB
CD
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Refleja la figura transversal al eje y.Haz click para ver la reflexión.
x
y
A B
C D
EF
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Refleja la figura transversal a la recta x = -2.
Click para ver la reflexión
x
y
AB
C
D
E
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Refleja la figura transversal al eje y = x.
x
y
A B
CD
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14 La reflexión representada debajo es una reflexión a través del:
A el eje x
B el eje y
C el eje x, luego el eje y
D el eje y, luego el eje x
x
y
A
B C
A'
B' C'
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15 La reflexión representada debajo es una reflexión a través del:
A el eje x
B el eje y
C el eje x, luego el eje y
D el eje y, luego el eje x
x
y
D
B C
A
A'
C' B'
D'
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16 ¿Cuál de las siguientes representa una reflexión simple de la Figura 1?
A
B
C
D
Figure 1Figura 1
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17 ¿Cuál de las siguientes describe el movimiento de la figura inferior?
A reflexión
B rotación, 90 horario
C deslizamientoD rotación, 180 horario
Figura 1
Figura
2
Slide 64 / 22718 Describe la reflexión mostrada debajo:A transversalmente
a la recta y = xB transversalmente
al eje y
C transversalmente a la recta y = -3
D transversalmenteal eje x
Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
x
y
A
B C
DE
A'
C'
B'
D'
E'
Slide 65 / 22719 Describe la reflexión mostrada debajo:
A transversalmentea la recta y = x
B transversalmente al eje x
C transversalmentea la recta y = -3
D transversalmentea la recta x = 4
Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.
x
y
A
B
C
A'
C'
B'
Slide 66 / 227
En el plano de coordenadas se muestran tres figuras congruentes. Usa esas figuras para responder a las siguientes dos preguntas.
From PARCC sample test
1
23
y
x
Slide 67 / 227
20 Parte A
Selecciona una transformación para cada grupo de opciones para hacer esta afirmación cierta.
La figura 1 puede ser transformada en la figura 2 mediante
A una reflexión transversal al eje de las x
B una rotación de 180° en sentido horario en torno al origen
C una traslación de 2 unidades hacia la izquierda
D una reflexión transversal al eje de las yE una rotación de 90° en sentido horario y en torno al origen
F una traslación de 3 unidades a la derecha
seguida por
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21 Parte B
La figura 3 puede ser formada transformando la figura 1 con una secuencia de dos pasos. Selecciona una transformación de cada conjunto de opciones para hacer esta afirmación cierta.
La figura 1 puede ser transformada en la figura 3 a partir de A una reflexión transversal al eje de las yB una rotación 90° en sentido horario en torno al origen
C una traslación 7 unidades a la derecha
D una reflexión transversal al eje xE una rotación 180° en sentido horario en torno al orgienF una traslación 3 unidades a la izquierda
seguida por
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Dilataciones
Volver a laTabla de Contenidos
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Una dilatación es una transformación en la que una figura se amplía o se reduce en torno a un punto central, utilizando un factor de escala = 0.El punto central no se altera..
Dilatación
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El factor de escala es la razón de los lados:
Cuando el factor de escala de una dilatación es mayor que 1, la dilatación es una ampliación.
Cuando el factor de escala de una dilatación es menor que 1, la dilatación es una reducción.
Cuando el factor de escala es | 1 |, la dilatación es una identidad.
Dilatación
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Ejemplo.
Si la pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea entera, ¿qué tipo de dilatación es esta? ¿Cuál es el factor de la escala de la dilatación?
Dilatación
Res
pues
ta
x
y
Slide 74 / 227
¿Qué pasó con las coordenadas con un factor de escala de 2?
A (0, 1) A' (0, 2)B (3, 2) B' (6, 4)C (4, 0) C' (8, 0)D (1, 0) D' (2, 0)
El centro para esta dilatación fue el origen (0,0) .
x
y
AA' B
B'
C C'DD'
Slide 75 / 227
22 ¿Cuál es el factor de escala de la imagen se muestra a continuación? La pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea llena.
A 2B 3C -3D 4
x
y
Slide 76 / 227
23 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto S (3, -2) despues de una dilatación con un factor de escala de 4 alrededor del origen?
A (12, -8)B (-12, -8)
C (-12, 8)D (-3/4, 1/2)
Slide 77 / 227
24 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto Y (-2, 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 2.5?
A (-0.8, 2)B (-5, 12.5)C (0.8, -2)
D (5, -12.5)
Slide 78 / 227
25 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto X (4,- 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 0.5?
A (-8, 16)B (8, -16)
C (-2, 4)D (2, -4)
Slide 79 / 227
26 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación: (-6, 3) (-2, 1)
¿Cuál es el factor de escala?
A 3B -3
C 1/3D -1/3
Slide 80 / 227
27 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación
(4, -9) (16, -36)
¿Cuál es el factor de escala?
A 4B -4
C 1/4D -1/4
Slide 81 / 227
28 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación:
(5, -2) (17.5, -7)
¿Cuál es el factor de escala?
A 3B -3.75
C -3.5D 3.5
Slide 82 / 22729 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una rotación?
(y no se podría haber logrado sólo mediante una reflexión)A Figura A B Figura B
C Figura C D Figura D
Slide 83 / 227
30 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión?A Figura A B Figura B
C Figura C D Figura D
Slide 84 / 227
31 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una dilatación?A Figura A B Figura B
C Figura C D Figura D
Slide 85 / 22732 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una traslación?
A Figura A B Figura B
C Figura C D Figura D
Slide 86 / 227
Simetría
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 87 / 227 Slide 88 / 227
SimetríaUn eje de simetría divide una figura en dos partes que coinciden exactamente entre sí cuando se pliegue a lo largo una línea de puntos. Dibuja los ejes de simetría de cada figura a continuación, si existen.
Slide 89 / 227
¿Cuáles de estas figuras tienen simetría?Dibuja los ejes de simetría.
Simetría
Slide 90 / 227
¿Tienen simetría estas imágenes ? ¿Dónde?
Simetría
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Will Smith con una cara simétrica.
Pensamos que nuestras caras son simétricas, pero la mayoría de las caras son asimétricas (no simétricas). Aquí hay algunas fotos de gente donde sus caras son simétricas.
Marilyn Monroe con una cara
simétrica
Simetría
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Click sobre la imagen de abajo para aprender como hacer tu cara simétrica.
Tina Fey
Slide 93 / 227
Ocurre Simetría Rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos que un giro de 360°.
Rota la figura de abajo para ver la cantidad de veces que la figura rota sobre sí misma.
Simetría
Slide 94 / 227
SimetríaPara determinar los grados de cada simetría rotacional: 1. Divide 360° pro el número de veces que la figura rotó sobre su misma.
2. Sigue sumando ese número hasta que alcances un número que sea mayor o igual que 360°. Nota: el número mayor que o igual a 360° no se toma en cuentaGrados de simetría = 60°, 120°, 180°, 240°, 300°
360 6
= 60°
Slide 95 / 227
Ocurre simetría rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos de 360º. Rota estas figuras. ¿Que grado de simetría rotacional tienen cada una?
SimetríaSlide 96 / 227
33 ¿Cuántos ejes de simetría tiene esta figura?
A 3B 6C 5D 4
Slide 97 / 227
34 ¿Cuál figura muestra una línea de simetría?
A B C D
Pull
Slide 98 / 227
35 ¿Cuál de los objetos no tiene simetría rotacional?
A
B
C
D
Se produce Simetría rotacional cuando una figura puede ser rotada alrededor de un punto sobre sí misma a
menos de 360º. Click para pista
Slide 99 / 227
36 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo
A 90°
B 120°
C 180°
D 270°
Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente.
Click para pista
Slide 100 / 227
37 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo. Escoge las opciones que apliquen.
A 60°
B 90°
C 120°
D 180°
E 240°
F 300°
Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente. Click para pista
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Congruencia ySemejanza
Volver a laTabla de Contenidos
Slide 102 / 227
Congruencia y SemejanzaLas figuras congruentes tienen la misma forma y tamaño.
2 figuras son congruentes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones y / o rotaciones.
Recuerda - traslaciones, reflexiones y rotaciones conservan el tamaño y la forma de la imagen .
Slide 103 / 227
Las figuras semejantes tienen la misma forma, ángulos congruentes y lados proporcionales .
2 figuras son semejantes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones, rotaciones y / o dilataciones.
Not
as d
el p
rofe
sor
Congruencia y Semejanza
Slide 104 / 227
Click para ir a la página web
Slide 105 / 227
j
Semejanza¿Cuál sería la medida del ángulo j tiene para que las siguientes figuras sean semejantes?
180 - 112 - 33 = 35
j = 35
Slide 106 / 227
Slide 107 / 227
38 ¿Qué par de figuras son semejantes pero no congruentes?
A
B
C
D
Slide 108 / 227
39 ¿Qué par de figuras son semejantes pero no congruentes?
A
B
C
D
Slide 109 / 227
40 ¿Cuál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras?
A congruentesB semejantesC ni congruentes ni semejantes
Slide 110 / 227
41 ¿Cuál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras?
A congruentesB semejantesC ni congruentes ni semejantes
Slide 111 / 227
42 ¿Cuál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras?
A congruentesB semejantesC ni congruentes ni semejantes
Slide 112 / 227
Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes.
Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena.
Slide 113 / 227
Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes.
Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena.
Slide 114 / 227
Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes.
Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena.
Click en la ubicación de la figura del medio, para que aparezca, si es necesario.
Slide 115 / 227
Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes.
Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena.
Click en la ubicación de la figura del medio, para que aparezca, si es necesario.
Slide 116 / 227
Pares Especiales de Ángulos
Volver a laTabla de Contenidos
Slide 117 / 227Recuerda:
· Ángulos Complementarios son dos ángulos cuya suma da 90 grados
Estos dos ángulos son complementarios porque su suma es 90.
Observa que forman un ángulo recto cuando se colocan juntos.
· Ángulos Suplementarios son dos ángulos cuya suma da 180 grados.
Estos dos ángulos son suplementarios porque su suma es 180.
Observa que forman un ángulo llano cuando se colocan juntos.
Slide 118 / 227
Los ángulos verticales o ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos que están opuestos entre sí cuando se cruzan dos rectas
En este ejemplo, los ángulos opuestos por el vértice son:
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Entonces:
12
34
∠1 y ∠3∠2 y ∠4
m∠1 = m∠3m∠2 = m∠4
Slide 119 / 227
Los ángulos opuestos por el vértice pueden explicarse además usando la transformación de la reflección.
Transformaciones
La recta x corta a los ángulos 1 y 3 a la mitad
Cuando el ángulo 2 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo 4.
Cuando el ángulo 4 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo 2.
x2
41 3
∠2 ≅ ∠4 ∠4 ≅ ∠2
Slide 120 / 227
y
12
43
La recta y corta a los ángulos 2 y 4 a la mitad.
Cuando el ángulo 1 se refleja sobre la recta y, se forma el ángulo 3.
Cuando se refleja el ángulo 3 sobre la recta y, se forma el ángulo 1.
Transformaciones
∠1 ≅ ∠3 ∠3 ≅ ∠1
Slide 121 / 227
Uando lo que sabes acerca de los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice, encuentra la medida de los ángulos que faltan.
Por medio de los opuestos por el vértice:
Por medio de los ángulos Suplementarios:
ClickClick
23
1
Slide 122 / 227
43 ¿Los ángulos 2 y 4 están opuestos por el vértice?
12
34
Si
No
Slide 123 / 227
44 ¿Los ángulos 2 y 3 están opuestos por el vértice?
12
34
Si
No
Slide 124 / 227
45 Si el ángulo 1 es de 60 grados , ¿cuál es la medida del ángulo 3? Debes ser capaz de explicar por qué
21 3
4
A 30 o
B 60 o
C 120 o
D 15 o
Slide 125 / 227
46 Si el ángulo 1 es de 60 grados , ¿cuál es la medida del ángulo 2? Debes ser capaz de explicar por qué
21
34
A 30 o
B 60 o
C 120 o
D 15 o
Slide 126 / 227
Los ángulos adyacentes son dos ángulos que están uno junto al otro y tienen una semirrecta común entre ellos. Esto significa que están en el mismo plano y que no comparten los puntos internos
A
B
C
D
es adyacente a
¿Cómo te das cuenta?· Tienen un lado común (semirrecta )· Tienen un vértice común (punto B)
Slide 127 / 227
¿Adyacente o No Adyacente? ¡Tu Decides!
ab a
b
a
b
Adyacente No Adyacente No Adyacenteclick para revelarclick para revelarclick para revelar
Slide 128 / 227
47 ¿Qué dos ángulos son adyacentes uno con el otro?
A 1 y 4
B 2 y 4
1
23
456
Slide 129 / 227
48 ¿Qué dos ángulos son adyacentes uno con el otro?
A 3 y 6
B 5 y 4
12
34 5
6
Slide 130 / 227
Actividad Interactiva -Click Aquí
A
PQ
RB
A
E
F
Una transversal es una recta que corta transversalmente dos o más (por lo general ) rectas paralelas.
Slide 131 / 227
Recuerda desde el 3º gradoFormas y Perímetros
Rectas Paralelas son un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan (tocan).
Slide 132 / 227
Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a cada intersección.
En este diagrama los ángulos correspondientes son:
1 28 3
7 4
6 5
Tran
sver
sal
Slide 133 / 227
49 ¿Cuáles son los pares de ángulos correspondientes?
A 2 y 6
B 3 y 7C 1 y 8
1 2
3 4
5 6
7 8
Slide 134 / 227
50 ¿Cuáles son pares de ángulos correspondientes?
A 2 y 6
B 3 y 1C 1 y 8
1
23
4
56
78
Slide 135 / 227
51 ¿Cuáles son pares de ángulos correspondientes?
A 1 y 5
B 2 y 8C 4 y 8
1 2
3 4
56
7 8
Slide 136 / 227
52 ¿Cuáles son pares de ángulos correspondientes?
1
2
3
45
6
7
8
A 2 y 4
B 6 y 5
C 7 y 8
D 1 y 3
Slide 137 / 227
Los ángulos alternos externos están en lados opuestos de la transversal y en el exterior de las rectas dadas.
En este diagrama los ángulos alternos externos son:
¿Qué recta es la transversal?
12
8 3
7 4
6 5
k
m
n
Slide 138 / 227
Los ángulos interiores alternos están en lados opuestos de la transversal y en el interior de las rectas dadas.
En este diagrama los ángulos alternos internos son:
12
8 3
7 4
6 5
k
m
n
Slide 139 / 227
Los ángulos interiores del mismo lado están en el mismo lado de la transversal y en el interior de las rectas dadas
En este diagrama los ángulos interiores del mismo lado son:
12
8 3
7 4
6 5
k
m
n
Slide 140 / 227
53 ¿Los ángulos 2 y 7 son alternos externos?
1 3
5 7
2 46 8
m
n
lSi
No
Slide 141 / 227
54 ¿Los ángulos 3 y 6 son alternos externos?
1 3
5 7
2 46 8
m
n
lSi
No
Slide 142 / 227
55 ¿Los ángulos 7 y 4 son alternos externos?
1 3
5 7
2 46 8
m
n
l
No
Si
Slide 143 / 227
56 ¿Qué ángulo es correspondiente al ángulo 5?
A
B
C
D1 3
5 7
2 46 8
m
n
l
Slide 144 / 227
57 ¿Qué par de ángulos tienen el mismo lado interior?
A
B
C
D1 3
5 7
2 46 8
m
n
l
Slide 145 / 227
58 ¿Qué tipo de ángulos son y ?
A Ángulos alternos internos B Ángulos alternos externos
C Ángulos correspondientes
D Opuestos por el vértice
1 3
5 7
2 46 8
m
n
l
E Mismo lado interior
Slide 146 / 227
59 ¿Qué tipo de ángulos son y ?
A Ángulos alternos internos B Ángulos alternos externos
C Ángulos correspondientes
D Ángulos opuestospor el vértice
1 3
5 7
2 46 8
m
n
l
E Mismo lado interior
Slide 147 / 227
60 ¿Qué tipo de ángulos son y ?
A Ángulos alternos internos B Ángulos alternos externos
C Ángulos correspondientes
D Ángulos opuestos por el vértice
1 3
5 7
2 46 8
m
n
l
E Mismo lado interior
Slide 148 / 227
61 ¿Los ángulos 5 y 2 son alternos internos?
1 3
5 7
2 46 8
m
n
lSi
No
Slide 149 / 227
62 ¿Los ángulos 5 y 7 son alternos internos?
1 3
5 7
2 46 8
m
n
lSi
No
Slide 150 / 227
63 ¿Los ángulos 7 y 2 son alternos internos?
Pull
1 3
5 7
2 46 8
m
n
lSi
No
Slide 151 / 227
64 ¿Los ángulos 3 y 6 son alternos externos?
1 3
5 7
2 46 8
m
n
lSi
No
Slide 152 / 227
1 35 7
2 46 8
l
m
n
Estos casos especiales aún se pueden explicar mediante las transformaciones de reflexión y traslación
Casos Especiales Si rectas paralelas son cortadas por una transversal entonces:· Los Ángulos Correspondientes son congruentes· Los Ángulos Alternos Internos son congruentes· Los Ángulos Alternos Externos son congruentes· Los Ángulos del Mismo lado Interior son suplementarios
Por lo tanto:
son suplementarios
son suplementarios
Slide 153 / 227 Slide 154 / 227
1 35 7
2 46 8
l
m
n
d
c
Reflexiones. Continuación
La recta d corta los ángulos 2 y 8 a la mitad.Cuando el ángulo 4 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 6.Cuando el ángulo 6 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 4.
La recta c corta los ángulos 1 y 7 a la mitad. Cuando el ángulo 3 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 5.Cuando el ángulo 5 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 3.
Slide 155 / 227
Traslaciones1 3
5 7
m
2 46 8
l
n
La recta m es paralela a la recta l.
Si la recta m se traslada y unidades hacia abajo, se solapará con la recta l.2 4
6 8
l
n
1 35 7
m
Slide 156 / 227
Traslaciones ContinuaciónSi la recta m se traslada entonces x unidades a la izquierda, todos los ángulos formados por las rectas m y n se superponen con los ángulos formados por las rectas l y n.2 4
6 8
l
n
1 35 7
m
Las traslaciones también funcionan si la recta l se traslada y unidades hacia arriba y x unidades a la derecha
1 35 7
m2 46 8
l
n
Slide 157 / 227
65 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Qué ángulos son congruentes con el ángulo dado?
4 56
2 71 8
l
m
n
A <4, <5, <6B <5, <7, <1
C <2D <5, <1
Slide 158 / 227
66 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Cuáles son las medidas de los ángulos 4, 6, 2 y 8?
4 56
2 71 8
l
m
n
A 50 o
B 40 o C 130 o
Slide 159 / 227
67 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Que ángulos son congruentes con el ángulo dado?
1 3
5 7
2 48
m
n
lA <4B <4, <5, <3 C <2D <8
Slide 160 / 227
68 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible.¿Cuáles son las medidas de los ángulos 2, 4 y 8 respectivamente?
1 3
5 7
2 48
m
n
l
A 55 o, 35 o, 55 0
B 35 o, 35 o, 35 o
C 145 o, 35 o, 145 o
Slide 161 / 227
69 Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación justifica por qué ?
A Sólo Reflexión B Sólo Traslación C Reflexión y TraslaciónD Los ángulos NO son Congruentes
13
57
24
68
b
a
t
Slide 162 / 22770 Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación
justifica por qué ?
A Sólo Reflexión B SóloTraslación C Reflexión y TraslaciónD Los ángulos NO son Congruentes
13
57
24
68
b
a
t
Slide 163 / 227
71 Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación justifica por qué ?
A Sólo Reflexión B Sólo Traslación C Reflexión y TraslaciónD Los ángulos NO son Congruentes
13
57
24
68
b
a
t
Slide 164 / 227
Aplicando lo que hemos aprendido para probar algunos hechos interesantes de
matemática
Slide 165 / 227
Podemos usar lo que hemos aprendido para establecer alguna información interesante sobre triángulos.
Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo = 180.
¡Vamos a ver por qué!
Dado
B
A C
Slide 166 / 227
A través de B vamos a dibujar una recta paralela a AC.Luego entonces tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal.Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 180°.
l
m
n p
B
A C2
1
Slide 167 / 227
l
mn
p
B
A C2
1
1. ∠C ≅ ∠1 si 2 dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos interiores alternos son congruentes.
Slide 168 / 227
l
mn
p
B
A C2
1
2. ∠2 = ∠B + ∠1 porque si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores alternos son congruentes.
Slide 169 / 227
l
mn
p
B
A C2
1
3. ∠A es suplementario con ∠2 porque si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios.
Slide 170 / 227
4. De manera que, ∠A + ∠2 = ∠A + ∠B + ∠1 = ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
l
mn
p
B
A C2
1
Slide 171 / 227
Vamos a mirarlo de esta otra manera...
1. ∠A ≅ ∠2 porque si 2 rectas parelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.
l
m
n
p
B
A C
12
Slide 172 / 227
l
p
B
A C
12
m
n
2. ∠C ≅ ∠1 porque si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.
Slide 173 / 227
l
m
n
p
B
A C
12
3. ∠2 + ∠B + ∠1 = 180°, ya que los tres ángulos forman una línea recta.
Slide 174 / 227
l
m
n
p
B
A C
12
4. De manera que, ∠2 + ∠B + ∠1 = ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Slide 175 / 227
Ángulos exteriores remotos
Volver a laTabla de Contenidos
Slide 176 / 227
Teorema del ángulo exterior - la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores remotos.
B
A C1
Ángulo exterior
Ángulos interiores remotos
Dados
Slide 177 / 227
Usaremos lo que hemos aprendido sobre ángulos especiales para ver "por qué" y "cómo" el Teorema del Ángulo Exterior Remoto funciona y luego vamos a practicar aplicando este Teorema.
Slide 178 / 227
Vamos a dibujar una recta que pase por B y que sea paralela a AC.Tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal.Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la medida de ∠1 = suma de las medidas de ∠B y ∠C.
l
m
n p
B
A C
2
1
Slide 179 / 227
l
m
n p
B
A C
2
1
1. ∠C ≅ ∠2 porque si 2 rectas paralelas están cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.
Slide 180 / 227
l
m
n p
B
A C
2
1
2. ∠1 = ∠B + ∠2 porque si tdos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores alternos son congruentes.
Slide 181 / 227
3. A sí que, ∠1 = ∠B + ∠2 = ∠B + ∠C.
l
m
n p
B
A C
2
1
Slide 182 / 227
Slide 183 / 227
Ejemplo¿Cuál es la medida del ángulo v en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala.
2
163° = m∠2 + 27°m∠2 = 136°
Slide 184 / 227
¿Cuál es la medida del ángulo q en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala.
3
125° = m∠3 + 95°m∠3 = 30°
Slide 185 / 227
Calcula el valor de x. El diagrama NO está a escala.
Slide 186 / 227
Slide 187 / 227
73 ¿Cuál es la medida del ángulo 5 en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
5
Slide 188 / 227
74 ¿Cuál es la medida del ángulo 6 en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
6
Slide 189 / 227
75 Calcula el valor de x en el diagrama de abajo. El diagrama NO está hecho a escala.
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
(x + 5)°
(10x - 34)°(x - 7)°
Slide 190 / 227
76 ¿Cuál es el valor de x en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
(2x - 3)°
(3x)°
172°
Slide 191 / 227
Ejemplo
p
r
g h
1 2 3456
7 8910
11 121314
Nombra los pares de ángulos cuya suma sea igual a m∠9.
Slide 192 / 227
77 Elige la expresión que hace que esta afirmación sea cierta:
p
r
g h
1 2 3456
7 8910
11 121314
A
B
C
D
m∠12 =
m∠1 + m∠6
m∠4 + m∠5
m∠5 + m∠6
m∠3 + m∠4
Slide 193 / 227 Slide 194 / 227
Ejemplo
p
r
g h
1 2 3456
7 8910
11 121314
¿Qué ángulos son congruentes al ángulo 9?
Slide 195 / 227
Glosario
Volver a laTabla de Contenidos
Slide 196 / 227
Volver
al tema
Ángulos adyacentes
Dos ángulos que están al lado uno de otro y tienen un segmento común.
ab a
ba b
Slide 197 / 227
Ángulos exteriores alternos
Cuando dos rectas se cruzan con otra recta, los pares de ángulos en los lados opuestos de la recta
transversal pero del lado de afuera de las dos rectas.
a b
c d a b c d
a
b c
d
Volver
al tema
Slide 198 / 227
Cuando dos rectas se cruzan por otra recta, son los pares de ángulos ubicados en los lados opuestos de
la transversal pero dentro de las dos rectas
a b
c d
a b c d
a b c
d
Volver
al tema
Ángulos interiores alternos
Slide 199 / 227
Asimétrico
Algo que no es simétrico.
Volver
al tema
Slide 200 / 227
Ángulos complementarios
Dos ángulos con una suma de 90 grados.
Volver
al tema
=
90o
+45o
45o
+ 60o
30o CForma derecordar:
Dibujando una línea extra w, a la"C",
formas un 9 para 90°
Slide 201 / 227
CongruenteAlgo que tiene igual
forma y tamaño. Dos cosas que
son equivalentes.
ángulos
formas
30o
30o
Volver
al tema
segmentos
Slide 202 / 227
Ángulos correspondientes
a
a
b
b c
c d
d a a b b c c d d
a
a b
b c
c d
d
Volver
al tema
Ángulos que están sobre el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a
cada intersección.
Slide 203 / 227
dilatación(aumento)
DilataciónUna transformación por la cual una figura se aumenta o reduce de tamaño alrededor de un punto central. Se
utiliza una escala de un factor distinto de cero.
Cada coordenada se multiplica por 2!
A:(0,1)
C:(3,0)B:(3,2)
A':(0,2)
C':(6,0)B':(6,4)
la forma queda igual!
Volver
al tema
Slide 204 / 227
Ampliación
Es una dilatación donde el factor de escala es más grande que uno.
> 1 la imagen es más grande que la
pre-imagen
{ {36
S. F. = 2 > 1
3= 2( 6 )
Volver
al tema
Slide 205 / 227
IdentidadUna dilatación donde el factor de escala es uno.
= 1 la imagen es igual a la
pre-imagen
S. F. = 1 = 1
{6
6= 1( 6 )
Volver
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Slide 206 / 227
después de
trasladardespués de
aumentar
después de
rotar
ImagenUna figura que se arma después de una
transformación de una pre-imagen.
Volver
al tema
Slide 207 / 227
Eje de simetría
La línea imaginaria donde se podría plegar la imagen y obtener dos mitades que coinciden
exactamente.
puede ser
más que uno!
Volver
al tema
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Rectas paralelas
Un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan, (no se tocan).
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Punto de rotación
Un punto sobre una figura o sobre otro punto que hace rotar a una figura a su
alrededor.
punto afuera de la figura punto en el medio de la figura
punto en el lado de la figura
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Pre-ImagenLa figura original antes de la transformación.
antes de la
traslaciónantes de la dilatación
antes de la
rotaciónVolver
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ReducciónUna dilatación donde el factor de escala es
menor que uno.
< 1la imagen es más pequeña que la
pre- imagen
S. F. = 1/2 < 1
{ {36
6= ( 3 )2
1
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ReflexiónUna vuelta sobre una línea que forma una imagen
espejo de la figura, donde cada punto en el imagen tiene la misma distancia desde la recta
que el punto original.
reflexión(movimiento)
{ 6 { 6igual distancia a t
{3 3{
6 6
{ {
Observa la línea de reflexión!
arriba recta ttt
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rotación
(movimiento)
RotaciónUn giro que mueve a una figura alrededor
de un punto.
A
La figura se rota 90° en
sentido antihorario
alrededor de un punto A.
etiquetado por:
y punto de rotación
direcciónA
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Simetría rotacional
Una transformación donde una figura puede ser rotada menos de 360° alrededor de un punto o de
sí misma.
90o
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Ángulos interiores del mismo lado
Cuando dos rectas son cruzadas por otra recta, los pares de ángulos sobre el mismo lado de la
transversal pero adentro de las dos rectas.
a b
c d
a b c d
a b c
d
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Factor de escala
La razón de los lados de una imagen y los lados de una pre- imagen.
= 0
{ {36
Factor de escala = 2
36 = 2)(
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SemejantesDos cosas que tienen la misma forma, ángulos
congruentes y lados proporcionales.
congruente
no semejante!
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Ángulos suplementarios
Son ángulos que suman 180 grados.
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+
+180o
180o
=
=90o 90o
80o
100o
SForma
de recordar
Dibujando la línea extraw/ a la "S", formas
un 8, para 180°
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TransformaciónMovimiento, aumento o disminución de una
forma mientras mantiene igual medida de sus ángulos y proporcionales las longitudes de
sus segmentos.
traslación
(movimiento)
rotación
(movimiento)
dilatación(aumento)
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traslación
(movimiento)
TraslaciónUna figura movida a una posición diferente
(izquierda, derecha, arriba, abajo) sin cambio en su tamaño o forma y sin girarla o darla vuelta.
mueve a la derecha 6 unidades
mueve arriba 4 unidades
establece la regla:
( x + 6, y + 4 ) ( x + a, y + b )
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Transversal Una recta que corta cruzando dos o más
rectas (usualmente paralelas).
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VérticePunto donde dos o más
líneas rectas/caras/aristas se encuentran.
Una esquina.
A
CBvértice
vérticevértice
Un triángulo
tiene 3 vértices.
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También se
encuentra en
los ángulos!
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Ángulos opuestos por el vértice (ángulo vertical)
Dos ángulos opuestos uno al otro cuando dos rectas se intersecan.
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70o
70o
110o110o
120o
120o
60oX
x = 60o
Forma de recordar
Los ángulos verticales forman 2 "V" yendo en direcciones opuestas
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