7 LINIJSKI NOSAI

7.1 Pojam i vrste linijskih nosaa

Linijskim nosaima nazivaju se geometrijski neizmijenjeni sistemi

sastavljeni od jednog ili vie tapova/ploa, meusobno povezanih

vezama i privrenih za tlo ili drugu konstrukciju, a koji su sposobni da

prime i prenesu optereenje na oslonce.

Slika 7.1 Elementi linijskih nosaa

Linijski nosai su sastavljeni od elemenata koji se zovu tapovi.

Linijski nosai mogu biti ravni i prostorni.

tapovi su linijski elementi kod kojih je jedna dimenzija (duina L) dosta

vea od dimenzija poprenog presjeka bxh.

tapovi se prikazuju linijama (osama) koje prolaze teitem poprenog

presjeka tapa. Osa tapa se drugaije zove sistemska osa tapa.

Slika 7.2 tap

tapovi mogu biti konstantnog i promjenjivog poprenog presjeka.

tapovi koji ine linijske nosae se meusobno spajaju u takama koji

se nazivaju vorovi. U vorovima spoj tapa se ostvaruje vezama koje

mogu biti zglobne i krute veze kao na slici 7.1.

Linijski nosai prema karakteru uzajamnih veza i geometrije se dijele na

pune i reetkaste nosae.

Nosai mogu biti: statiki odreeni i statiki neodreeni.

Prosta greda Konzola

Greda s jednim ili dva prepusta Gerberov nosa

Luk na tri zgloba Ram

Slika 7.3 Puni i reetkasti nosai

7.2 Globalni i lokalni koordinatni sistem

Svi linijski nosai se analiziraju u Dekartovom desnom koordinatnom

sistemu. Koordinatni sistem moe biti globalni X,Y,Z koji je referentni a

u kome se posmatra kompletan nosa ,i lokalni x,y,z sistem koji je

vezan za jedan tap.

Slika 7.4 Globalni i lokalni koordinatni sistem

7.3 Optereenje nosaa

Vanjsko optereenje apova moe biti od prirodnih uticaja i uticaja ljudi i

ureaja. U Statici se nee voditi rauna o vrsti optereenja, ve o

geometrijskom obliku njegovog djelovanja.

Slika 7.5 Primjer moguih optereenja konstrukcije objekta

Optereenje koje djeluje na nosa moe da bude u vidu:

- Koncentrinih sila F [kN];

- Koncentrinih momenata M [kNm];

- Ravnomjerno raspodijeljenog optereenja q [kN/m];

- Neravnomjerno raspodijeljenog optereenja q(x) [kN/m].

Slika 7.6 Geometrijski oblik optereenja

Optereenje moe djelovati u razliitim pravcima i smjerovima.

Slika 7.7 Pravci djelovanja optereenja

Na nosa optereenje moe djelovati direktno ili se prenositi preko neke

sekundarne konstrukcije tj. djelovati indirektno.

Slika 7.8 Direktno i indirektno djelovanje optereenja

7.4 Oslonci (leita) linijskih nosaa

Elementi linijskih nosaa kojima se nosai oslanjaju na tlo ili neku drugu

krutu podlogu nazivaju se oslonci.

Oslonci se dijele prema tome po kojem pravcu spreavaju pomjeranja,

pa tako imamo:

- Pokretne oslonce;

- Nepokretne osloncu;

- Ukljetenja.

Kao rezultat spreavanja pomjeranja vora po nekom pravcu, u tom

pravcu u osloncu se usljed vanjskih sila javljaju reakcije oslonaca.

Reakcije ovise o vrsti oslonaca, i one predstavljaju vanjske sile zajedno

sa optereenjem.

Slika 7.9 Prikaz reakcije oslonca

- Pokretni oslonci

Pokretni oslonci omoguavaju okretanje oko ose okomite na ravan

nosaa i translatorno pomjeranje u ravni, u pravcu x, y ose ili pod nekim

uglom, dok spreavaju pomjeranje u pravcu okomito na pomjeranje.

Reakcije pokretnog oznaavaju se sa RA ili YA.

Slika 7.10 Pokretni oslonci

- Nepokretni oslonci

Nepokretni oslonci onemoguavaju translatorno pomjeranje po bilo kom

pravcu ukljuujui i x,y pravce, a dozvoljavaju samo okretanje oko ose

okomite na ravan nosaa.

Reakcije nepokretnog oznaavaju se sa RAy, RAx ili YA i XA.

Slika 7.11 Nepokretni oslonci

Slika 7.12 Privrenje krutog tijela i proste grede u ravni

- Ukljetenje

Ukljetenje onemoguavaju translatorno pomjeranje po bilo kom

pravcu ukljuujui i x,y pravce, i okretanje oko ose okomite na ravan

nosaa. Dakle ukljetenje ne doputa pomjeranje vora po bilo kom

pravcu.

Reakcije ukljetenja oznaavaju se sa RAy, Rax, MA ili YA, XA, MA.

Slika 7.13 Ukljetenje

7.5 Odreivanje reakcija oslonaca

Za odreivanje reakcija oslonaca u Statici se koriste dva postupka:

1) Analitiki;

2) Grafiki postupak.

1) Analitiki postupak

Reakcije oslonaca usljed vanjskog optereenja se odreuju iz uslova

ravnotee. Uslovi ravnotee su diferencijalne jednaine koje

predstavljaju veze izmeu unutranjih sila i vanjskog optereenja.

Uslovi ravnotee za odreivanje reakcija oslonaca mogu se predstaviti i

linearnim meusobno nezavisnim jednainama.

Za uspostavljanje ovih jednaina koriste se konturni (rubni) uslovi

oslanjanja elemenata nosaa (tapova) i njihovih meusobnih veza.

Veze mogu biti unutranje (izmeu tapova) i vanjske (veze nosaa sa

vanjskom sredinom) pomou oslonaca.

Slika 7.14 Optereenje i reakcije oslonaca

Prije uspostavljanja uslova ravnotee potrebno je na osnovu

simbolikih oznaka za oslonce pretpostaviti nepoznate reakcije

Oslonaca, kao na sikama 7.14 i 7.15.

Slika 7.15 Optereenje i reakcije oslonaca

Pored nepoznatih reakcija oslonaca mogu se kao nepoznate javiti i

reakcije veza koje nastaju kao rezultat veze izmeu dva ili vie tapova.

Da bi neki sistem bio rjeiv zbir nepoznatog broja reakcija oslonaca i

reakcija veza mora biti manji ili jednak broju uslova ravnotee koji se

mogu postaviti na nosau.

U sluaju proste grede na slici 7.14 nepoznati broj reakcija je 3 (tri), a

mogu broj uslova ravnotee 4(etiri), to se moe potvrditi preko

izraza (7.1):

(7.1)

n

ix

i 1

n

iy

i 1

n

Az

i 1

n

Bz

i 1

F 0 ...(1)

F 0 ...(2)

M 0 ...(3)

M 0 ...(4)

U sluaju rama na tri zgloba na slici 7.15 nepoznati broj reakcija

na lijevom odnosno desnom dijelu nosaa je 2, a veza 2, dok je mogu

broj uslova ravnotee 6, to se moe potvrditi preko izraza (7.2) i (7.3):

Za lijevi dio: Za desni dio:

(7.2) (7.3)

n

ix

i 1

n

iy

i 1

n

Az

i 1

nL

Cz

i 1

F 0 ...(1)

F 0 ...(2)

M 0 ...(3)

M 0 ...(4)

n

ix

i 1

n

iy

i 1

n

Bz

i 1

nD

Cz

i 1

F 0 ...(1)

F 0 ...(2)

M 0 ...(3)

M 0 ...(4)

Reakcije oslonaca se mogu odrediti za kompletan nosa, bez

rastavljanja na pojedine dijelove.

Reakcije veza se odreuju oslobaanjem veza, odnosno rastavljanjem

nosaa u vorovima gdje je potrebno odrediti reakciju veze.

Pri uspostavljanju uslova ravnotee treba voditi rauna o nainu

oslanjanja nosaa i rasporedu veza po nosau, kao i o optereenju.

Pri tome se moe broj uslova ravnotee znatno redukovati sa

postizanjem istih efekata.

Povoljno je koristiti sistem sueljenih sila.

Za linijske nosae u ravni postoji tri uslova ravnotee, a za nosae u

prostoru est uslova ravnotee.

(7.4) (7.5)

n n

ix xi 1 i 1

n n

iy yi 1 i 1

n n

iz zi 1 i 1

F 0 ...(1) M 0 ...(4)

F 0 ...(2) M 0 ...(5)

F 0 ...(3) M 0 ...(6)

n

ix

i 1

n

iy

i 1

n

zi 1

F 0 ...(1)

F 0 ...(2)

M 0 ...(3)

1) Grafiki postupak

Reakcije oslonaca i veza grafikim postupkom se odreuju

konstrukcijom poligona sila i verinog poligona sila koje djeluju na

nosa (aktivne i reaktivne sile).

Da bi bili ispunjeni grafiki uslovi ravnotee vektorski zbir svih sila mora

da bude jednak nuli, tj. poligon svih sila treba da bude zatvoren.

Slika 7.16 Primjer grafikog postupka odreivanja reakcija

Slika 7.17 Primjer grafikog postupka odreivanja reakcija

7.6 Presjene sile u tapovima linijskih nosaa

U Statici se realno tijelo analizira kao apsolutno kruto tijelo.

Pod apsolutno krutim tijelom podrazumijeva se da prilikom djelovanja

optereenja se tijelo ne deformie.

Kao rezultat otpora deformaciji u krutom tijelu se javljaju unutranje sile,

a s obzirom da se i nosai smatraju krutim to se u njihovim tapovima

javljaju unutranje (presjene sile).

Neka na tap djeluje prostorni sistem sila, aktivnih i reaktivnih koje se

nalaze u ravnotei .

(7.6)

Da bi se odredile unutranje sile u proizvoljnom presjeku tapa, isti

presjek treba presjei ravninom koja je okomita na osu tapa.

Za ostvarivanje ravnotee dva presjeena dijela tapa moraju se

dodati unutranje sile u tom presjeku.

1 2 nF ,F ,.. ...F 0

Slika 7.18 Optereenje i unutranje sile tapa

Da si dijelovi tapa bili u ravnotei unutranje sile moraju biti na istom

pravcu i istog intenziteta kao i vanjske sile, ali suprotnog smjera.

Vanjske i unutranje sile je pogodno redukovati na osu tapa.

(7.7)

(7.8)

Da bi bio ispunjen uslov ravnotee svih vanjskih sila treba napisati:

(7.9)

v v1 2 k r 1 r 1F ,F ,.. ...F F ,M

u u u u u1 2 j r 1 r 1F ,F ,.. ...F F ,M

v u

r 1 r 1

v u

r 1 r 1

F F 0

M M 0

gdje je:

-vektor sistema vanjskih sila koje djeluju na tap 1;

- vektor sistema unutranjih sila koje se javlaju u presjeku tapa 1;

-momenat vanjskih sila tapa 1 koje su redukovane na taku C presjeka;

- momenat unutranjih sila tapa 1 koji se javlja u presjeku C, a redukovane su na taku C presjeka;

u

r 1M

v

r 1M

u

r 1F

v

r 1F

Ako se vektori unutranjih sila i momenata proiciraju na x,y,z lokalne

koordinate tapa dobija se:

(7.10)

Za drugi dio tapa analogno se dobija:

(7.11)

uu u u

r 1 rx 1 ry 1 rz 1 x 1 y 1 z 1

uu u u

r 1 rx 1 ry 1 rz 1 x 1 y 1 z 1

F F F F N T T

M M M M M M M

u

r 2 x 2 y 2 z 2

u

r 2 x 2 y 2 z 2

F N T T

M M M M

Izrazi za unutranje sile se mogu napisati:

(7.12)

(7.13)

(7.14)

n

ix 1i k 1

k

ix 2i 1

N X

N X

n

iy 1i k 1

k

iy 2i 1

T Y

T Y

n

iz 1i k 1

k

iz 2i 1

T Z

T Z

n

iCxx 1i k 1

k

iCxx 2i 1

M M F

M M F

n

iCyy 1i k 1

k

iCyy 2i 1

M M F

M M F

n

iCzz 1i k 1

k

iCzz 2i 1

M M F

M M F

Na osnovu zakona akcijei reakcije vrijedi:

(7.15)

Za linijske nosae u prostoru sile Nx, Ty, Tz, Mx, My, Mz nazivaju se

unutranje (presjene sile).

Za nosa i optereenje u ravni imaju samo tri unutranje sile sile, a to

su: N,T,M.

Slika 7.19 Unutranje sile tapa

x 1 x 2 x 1 x 2

y 1 y 2 y 1 y 2

z 1 z 2 z 1 z 2

N N M M

T T M M

T T M M

7.7 Linijski nosai u ravni Kao to je ve raeno za nosa i optereenje u ravni javljaju se samo tri

presjene sile, a to su normalna (aksijalna ili uzduna) sila N,

Transverzalna (poprena) sila T i momenat savijanja M.

Normalna (aksijalna ili uzduna) sila u nekom presjeku brojano je

jednaka projekciji glavnog vektora na osu nosaa u posmatranom

presjeku svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) lijevo ili desno od toga

presjeka do istog tog presjeka u zavisnosti dali se sile sumiraju sa

desne ili sa lijeve strane presjeka.

Transverzalna (poprena) sila u nekom presjeku brojano je

jednaka projekciji glavnog vektora okomito na osu nosaa u

u posmatranom presjeku svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) lijevo ili

desno od toga presjeka do istog tog presjeka u zavisnosti dali se sile

sumiraju sa desne ili sa lijeve strane presjeka.

Momenat savijanja u proizvoljnom presjeku jednak je algebarskom

zbiru momenata svih sila to ga ine u odnosu na taj presjek, lijevo ili

desno od tog prejeka u zavisnosti sa koje strane se izraunava

momenat savijanja.

7.7.1 Konvencija o predznaku presjenih sila

Momenat savijanja u proizvoljnom presjeku je pozitivan ako

posmatrano sa lijeve strane presjeka ima smjer kazaljke na satu,

odnosno sa desne strane ima suprotan smjer kretanja kazaljke na satu.

Pozitivan momenat savijanja je onaj koji zatee donji dio nosaa.

Transverzalna sila je pozitivna onda kada tei da okrene dio tapa u

suprotnom smjeru kazaljke na satu.

Normalna sila je pozitivna ako zatee tap.

Slika 7.20 Pozitivne unutranje sile

7.7.2 Uslovi ravnotee elementa tapa

Ako se iz tapa izdvoji deferencijalni element tapa i na njemu

uspostave uslovi ravnotee, dobie se odnosi izmeu optereenja i

unutranjih sila.

Slika 7.21 tap i element tapa

(7.16)

y 0

T q x dx T dT 0

dTq x

dx

(7.17)

q T M (7.18)

Ako je optereenje k-tog reda, onda je transverzalna sila k+1-og reda, a

momenat savijanja k+2 reda.

C2

2

2

M 0

dxM T dx q x dx M dM 0

2

dxT dx q x dM 0

2

dx 0

T dx dM 0

dMT

dx

2

2

d M dTq x

dx dx

Na osnovu diferencijalnih veza izmeu optereenja i unutranjih sila

moe se zakljuiti:

- Transverzalna sila ima najveu vrijednost gdje je ordinata optereenja nula;

- Momenti savijanja imaju ekstremnu vrijednost gdje transverzalna sila

nula;

- Na dijelu nosaa gdje momenat savijanja raste transverzalna sila ima pozitivnu vrijednost, odnosno gdje funkcija momenta savijanja

opada transverzalna sila je negativna.

Integracijom izraza (7.18) dobija se:

(7.19)

Konstante C1 i C2 se odreuju iz graninih uslova, gdje je potrebno

poznavati transverzalnu silu i momenat savijanja u rubnom presjeku.

1

2

1 2

dT q x T x q x dx C

dM T dx M x Tdx C

q x dx dx C X C

7.7.3 Dijagrami unutranjih sila

Dijagrami presjenih sila se crtaju po itavoj konturi nosaa nanosei

ordinate unutranjih sila okomito na ose tapova.

Ordinate unutranjih sila mogu se odrediti na dva naina:

1) Po poljima analitiki koristei diferencijalne veze (7.18);

2) U karakteristinim takama nosaa.

Karakteristinim takama smatraju se presjeci u kojima se mijenja

zakonitost promjene funkcije optereenja i presjeci sa ekstremnim

vrijednostima unutranjih sila.

Pri crtanju dijagrama unutranjih sila vano je znati:

- Transverzalna sila je konstantna na dijelu gdje nema poprenog optereenja na osu tapa;

- Transverzalna sila u svom dijagramu ima skok na mjestu djelovanja

koncentrine sile;

- Momenat savijanja ima skok u svom dijagramu na mjestu djelovanja

koncentrinog momenta.

Slika 7.22 Crtanje dijagrama M,T,N

Slika 7.23 Neki karakteristini oblici dijagrama M,T,N

Slika 7.24 Neki karakteristini oblici dijagrama M,T,N