1

7.4장 행렬의 계수, 1차 독립, 벡터공간

Gauss소거법: 선형연립방정식의 해를 구하는 중요한 방법

연립방정식은

1) 해를 갖지 않는 경우

2) 하나의 해를 가지거나

3) 그 이상의 해(그리고 무한히 많은 해)를 갖는 경우

해의 존재성과 유일성 문제에 대한 일반적인 설명이 가능한가?

행렬의 계수(rank)개념이 필요하다.

2

주어진 m개의 벡터 의 집합(같은 수의

성분을 가짐)에 대하여 이들 벡터의 1차 결합(linear combination)은

의 형태로 표현된다. 여기서 은 임의의 스칼라이다.

모든 값을 0으로 선택하면 성립한다. 왜냐하면 이 경우

0=0 이기 때문이다.

7.4장 벡터의 1차 독립과 종속성

)()3()2()1( ,,, maaaa LL

)()2(2)1(1 mm acacac +++ LL

)(21 ,, mccc LL

0)()2(2)1(1 =+++ mm acacac LL

jc

(1)

3

만약 이것이 식 (1)을 만족하는 유일한 m개의 스칼라이라면 벡터

은 1차 독립 집합을 형성한다.

혹은 간단하게 1차 독립 (linearly independent)이라고 한다.

반면에 모두는 0이 아닌 스칼라에 대하여 식 (1)이 성립하면 이

벡터들을 1차 종속 (linearly dependant)이라고 한다.

왜냐하면 이때는 벡터 중의 하나 (최소한)를 다른 벡터들의 1차

결합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 만일 이면

식 (1)을 에 대하여 풀 수 있다. 즉

)()3()2()1( ,,, maaaa LL

01 ≠c

)1(a

7.4장 벡터의 1차 독립과 종속성

4

여기서

(여기서 어떤 는 0이 될 수 있으며, 만약 이면

모든 는 0이 될 수 있다. )

)()3(3)2(2)1( mm akakaka +++= LL

1/ cck jj −=

jk 0)1( =a

jk

7.4장 벡터의 1차 독립과 종속성

5

세개의 벡터

은 1차 종속이다. 왜냐하면

예제1. 1차 독립과 1차 종속

[ ][ ][ ]1502121

5424426

2203

)3(

)2(

)1(

−−=

−=

=

a

a

a

0216 )3()2()1( =−− aaa

세 벡터 중 처음 두 벡터는 c1a(1)+c2a(2)=0에서 c2=0(두 번째 성분에

서) 그리고 c1=0(다른 성분의 짝에서)이기 때문에 1차 독립이다.

6

1차 독립과 1차 종속

행렬의 계수

행렬 A=[ajk]의 1차 독립인 행 벡터의 최대수를 A의 계수(rank)

라고 하며 rank(A)로 나타낸다.

1차 독립과 1차 종속은 2장 선형미분방정식에서 해의 기저에 관

한 정의에서 사용되었다.

1차 독립과 1차 종속의 요지는 무엇인가?

1차 종속인 집합에서 다른 벡터들의 1차 결합으로 표현되는 벡터

들을 소거하면 최종적으로 각 벡터들이 나머지 다른 원소의 1차

결합으로 표현되지 않는 1차 독립인 부분 집합을 얻을 수 있다.

7

예제1. 계수

행렬

(2)⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

150122154244262203

A

계수 2인 행렬이다.

처음 두 행벡터는 1차 독립인 반면, 세 행벡터는 1차 종속이 되기때문이다. (예제1 참고)

rank A=0이기 위한 필요 충분조건은 A=0(영행렬)이다.

8

※ 정리1. [행동치인 행렬]

행동치인 행렬들은 같은 계수를 갖는다.

행렬 의 계수를 결정하려면 Gauss 소거법을 사용하여 를

사다리꼴(7.3절)로 바꾸는 것이다.

행렬 에 Gauss 소거법을 적용하여도 정리3에 의해서 그 계수는

불변이다.

예제3. 계수의 결정

예제2의 행렬에 대해 차례대로

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

291421058284202203

150212154244262203

A

A

A

A

9

사다리꼴이다. 행벡터와 정리3으로

곧 계수 임을 알 수 있고, 처

음 두 열벡터는 1차 독립이므로 정

리1에 의해 계수 A=2이다.⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000058284202203

2≤A

※ 정리2. [1차 종속성과 1차 독립성]

각각 개의 성분으로 이루어진 행벡터 를 갖는

행렬의 계수가 이면 개의 벡터 는 1차 독립이다.

만일 계수가 보다 작으면 이들은 1차 종속이다.

n )()1( ,........ pXX

)()1( ,........ pXXP PP

10

※ 정리 3 [열벡터에 의한 계수]

행렬 A의 계수는 A의 1차 독립인 열벡터의 최대수와 같다.

그러므로 A와 AT는 같은 계수를 갖는다.

이들 P개의 벡터는 각각 개의 성분을 가지므로, 이들로 형성

되는 행렬, 그것을 라고 하면 는 P행과 열을 갖는다.

또 만일 이면, 정리1에 의해 계수 가 되고, 정리4에서다음과 같은 결론을 얻는다.

nA A n

Pn < PnA <≤

11

<증 명> A=[ajk]를 mXn 행렬이라고 하고 계수 A=r이라고 하자.

그러면 정의에 의해서 A는 1차 독립인 r개의 행벡터의 집합 V(1), ··· , V(r)을 갖고 A의 모든 행벡터의 a(1), ··· , a(r)은 그러한 독립 벡터들의 1차 결합으로 표시된다.

)()2(2)1(1)(

)(2)2(22)2(21)2(

)(1)2(12)1(11)1(

rmrmmm

rr

rr

VcVcVca

VcVcVca

VcVcVca

+⋅⋅⋅++=

+⋅⋅⋅++=

+⋅⋅⋅++=

MMMM

이것은 벡터 방정식이다. 이들 각각의 방정식은 대응하는 성분에대한n개의 방정식에 해당한다.

12

이것을 알아보기 위하여 V(1)의 성분을 v11, ···, v1n으로, V(2)의 성분을 v21, ···, v2n등으로 나타내고, 좌변의 벡터도 같은 방법으로 나타내면 k=1, ···, n에 대하여 아래와 같이 된다.

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

k k k r rk

k k k r rk

mk m k m k mr rk

a c v c v c va c v c v c v

a c v c v c v

= + + ⋅⋅⋅ +

= + + ⋅⋅⋅+

= + + ⋅⋅⋅ +M M M M

이것은 k=1, ···, n 에 대해 아래와 같이 쓸 수 있다.

위의 좌변의 벡터는 A의 k번째 열벡터이다. 따라서 이 방정식은 A의 각열벡터가 r개의 벡터의 1차 결합이다. 그러므로 A의 1차 독립인 열벡터의 최대수는 r를 초과할 수 없다.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅⋅⋅+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mr

r

r

rk

m

k

m

k

mk

k

k

c

cc

v

c

cc

v

c

cc

v

a

aa

MMMM2

1

2

22

12

2

1

21

11

12

1

13

행렬 의 전치행렬 에도 같은 결론이 적용된다.

의 행 벡터는 의 열벡터이고 의 열벡터는 의행벡터이다.

(결론)

의 1차 독립인 행벡터는 행벡터의 최대수( 이다.)는 의 1차독립인

열벡터의 최대수를 초과 할 수 없음을 의미한다.

따라서 그 수는 이다.

TA

A A

A TA A

A r A

r

14

예제 4. 정리 3의 설명

이 정리가 앞의 행렬(2)에 대하여 어떤 뜻을 갖는가?

위에서 이므로 열 벡터 중 두 개는 1차 독립이어야 한다.

다른 2개는 이들의 1차 결합이 되어야 한다.

실제로 처음 두 열벡터는 1차 독립이며, 다른 두 개는 이들의

1차 결합이 되어야 한다.

실제로 처음 두 열 벡터는

그리고

검증은 쉬우나 알아내기는 쉽지 않다.

2=rankA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

21420

32

216

3

32

0242

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 21420

2129

216

3

32

15542

15

• 행렬이 매우 간단하지 않으면 정의를 직접 적용하여 계수를

결정하는 것은 적절한 방법이 아니다.

계수를 바꾸지 않고 그 행렬을 단순화(변환)할 수 있는지에 대한

의문을 갖는다.

가능하다.

※ 정리4. 개의 성분을 갖는 개의 벡터는 항상 1차종속이다.

예를 들어 평면상에서 세개 또는 그 이상의 벡터는 1차종속이고

공간에서 네개 또는 그 이상의 벡터는 역시 1차 종속이다.

)( Pn < n

16

벡터공간, 차원, 기저

공집합이 아닌 집합 의 임의의 두 원소 에 대하여 이들의 모든

1차 결합 ( 는 임의의 실수) 또는 의 원소이며,

7.1절의 식(3)와 (4)의 법칙을 만족하면 는 벡터공간(vector-

space)이라고 한다.

을 얻고 스칼라 곱에 대하여

V ba,

ba βα + βα , V

V

0)()(0)(

)()()()()(

=−+=+

++++=+++=+

AAdAAc

WVUWVUWVUbABBAa

(3) 로 나타냄

17

AAdckAAckkAcc

kAcAAkcbcBcABAca

==

+=++=+

1)()()()()(

)()()()(

(4)

로 나타냄

의 원소를 벡터(vector)이라고 한다(고딕체 소문자 a, b, u 로 나타냄)

벡터공간 내의 1차 독립인 벡터들의 최대수를 의 차원 (dimension)

이라고 하고 로 나타낸다.

내의 최대로 가능한 수의 1차 독립인 벡터로 구성되는 부분 집합을

의 기저(basis)이라고 한다.

의 기저의 벡터의 수는 와 같다.

V

VVdim

V

V

V

Vdim

V

18

성분의 수가 같은 주어진 벡터들 에 관하여 이들의

1차 결합으로 표현되는 모든 벡터들의 집합을 이들 벡터들의

생성공간(span)이라고 한다.

생성공간은 벡터공간이다.

벡터공간 의 부분집합으로 그 자체가 벡터공간 일 때,

즉 벡터공간 에서 정의된 두 대수적 연산, 벡터합과 스칼라곱

(7.1절의 식(3)와 (4)의 법칙 참조)에 닫혀 있을 때, 이를 의

부분공간(subspace)이라고 한다.

)()2()1( , paaa LL

V

V

V

19

예제 5. 벡터공간, 차원, 기저

예제1의 세 행벡터들의 생성공간은 차원이 2인 벡터공간이며

또는 등은 이 벡터공간의 기저이다.

행렬 의 행벡터들이 생성공간을 행 공간 (row space)이라 하며,

열 벡터들의 생성공간을 의 열공간 (column space)이라고 한다.

정리 3에 의해서 1차 독립인 행 벡터 수 만큼 열벡터 내에 1차

독립인 열 벡터들이 존재한다.

)2()1( ,aa )3()1( ,aa

A

A

※ 정리5. 개의 성분을 갖는 모든 벡터로 구성된 벡터공간은 차원을 갖는다.

nnR

20

※ 정리6. [ 행공간과 열공간 ]

행렬 의 행공간과 열공간은 차원이 같고 의 계수와 동일하다.

기본 행 연산에 의한 계수의 불변

행렬 의 계수 는 1차 독립인 행벡터의 최대수와 같으며 이 수는

기본 행연산 즉 두 행의 교환, 한 행이 0이 아닌 상수 c를 곱하는 것,

또는 한 행의 상수배를 다른 행과 더 함으로써 얻는 1차 결합 등에

대해서 변하지 않는다.

A A

A A

21

연습문제 7.4

다음 주어진 문제들이 1차 독립인가? 1차 종속인가?

[ ] [ ]48882456 , 61137 .2 −−=−−= vu

풀이) v=-8u가 성립한다. 따라서 a=8, b=1이면 au+bv=0을

만족하므로 주어진 두 벡터는 일차 종속(linearly dependant)이다.

[ ] [ ] [ ] [ ]010 ,111 ,111 , 111 .4 =−=−=−= pwvu

풀이) v+w=2p이다. 따라서 a=0, b=1, c=1, d=-2이면

au+bv+cw+dp=0을 만족하므로 주어진 네 벡터는 일차 종속

이다.

22

9.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

361248

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

000048

답) 계수(rank)는 1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01110111012.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

011110101

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1-10110101

2행을 기준으로 하고

-1배해서 3행에 더해라⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2-00110101

답:계수는 3

23

응용문제 1

열과 행벡터

다음과 같은 일반적인 행렬에서

각 행들은 아래와 같이 표시된다.

nm×

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaa

A

LL

MMMMM

MMMMM

LL

LL

21

22221

11211

( ) ( )nn aaauaaau 222212112111 , LL ==

( )mnmmm aaau LL 21, =

24

각 열들은

각각 의 행벡터 그리고 의 열벡터라고 한다.

벡터 들의 집합은 독립이거나 종속적이다.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mn

n

n

n

mm a

aa

V

a

aa

V

a

aa

VMMM2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,

A A

muuu LL., 21

25

행렬의 계수 : 행렬 의 계수는 라고 쓰고 내의

일차독립인 행벡터의 최대 개수이다. (정리1 참고)

행렬에 대해 생각해 보자

에서

이다.

는 1차 종속

는 서로 각각의 상수배가 아니다.

nm× A A)(Arank

43 ×

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

875386223111

A

( ) ( ) ( )8753,8622,3111 321 −=−=−= uuu

0)21(4 321 =+− uuu

321 ,, uuu→

21 , uu

26

는 1차 독립,

(1)에서 행벡터 는 벡터공간(Vector space) 의 벡터

집합이다.

• 는 의 부분집합이므로 가 행렬 의

행공간이라고 한다.

• 는 1차 독립이고 를 생성한다.

• 는 의 기저이다.

• 행공간 의 차원(기저에서 벡터의 수)은 2이다.

2)( =Arank21 , uu

21 , uu

21 , uu

A

4R

4R AR

AR

AR

AR

321 ,, uuu

),,( 321 uuuspanR A =

)(Arank⇒

27

다음조건을 만족하는 벡터 으로 된 집합을

1차 독립이라고 한다.

방정식을 만족하는 유일한 상수들은

이다.

벡터들의 집합이 일차독립이 아니면 일차종속이다.

( ) ( ) ( )maaa ,, 21 LL

( ) ( ) 0)(2211 =+++ mmacacac L

021 ==== mccc L

위의 내용을 참고로 하여 u1, u2, u3는 일차 종속이라는 결론을 얻

는다. 즉 u1과 u2는 서로 각각의 상수배가 아니기 때문에 행벡터

u1과 u2는 일차독립이다.

그러므로 rank(A)=2이다.

28

응용문제 2. 행 축소를 통한 계수 확인!

Gauss소거법을 이용해 연립방정식을 풀 때 선형 연립방정식의 첨

가 행렬을 사다리꼴(echelon form)로 바꾼다.

그러므로 행렬 A 사다리꼴 B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

875386223111=A 1행X(-2배)+2행

1행X(-3배)+3행

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

142028403111

2행X( 배)+3행

2행X(- 배)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

0000210

3111

21

21

41

두 개의 0이 아닌 행렬이므로

rank(A)=2

29

7.5장 선형방정식의 해 : 존재성, 유일성,일반형식

• 앞절에서 정의된 행렬의 계수의 개념을 이용하여 선형연립방정

식의 해의 존재성과 유일성에 대한 필요충분조건을 줄 수 있다.

• 정리1에서 이러한 조건의 일반형태를 나타낼 수 있다.

구체적인 예(7.3절 참조)

• 행렬 A의 부분행렬(submatrix) : 행렬 A에서 몇 개의 행이나 열

(또는 행과 열)을 제거해서 얻어지는 행렬이다. 부분행렬에는

행렬 A 자신도 (아무런 행이나 열도 제거하지 않은 행렬)도 포함

된다.

30

계수의 개념은 대수 방정식들이 선형계의 해의 존재 가능성과 관련

지을 수 있다.

는 선형 연립방정식이고 는 연립방정식의 첨가행렬

이라고 하자.

연립방정식이 해가 없음은 첨가행렬 의 행축소에서 행사다리

꼴의 마지막 행이 0이 아니라는 사실에서 알 수 있다.

선형 연립방정식의 계수(rank)

BAX = BA

BA

83264

1

21

21

21

=−−=−

=+

xxxx

xx

31

이러한 축소(reduction)는 이다.

반면에

의 해의 존재

의 선형 연립방정식의 계수행렬A의 계수가 첨가행렬 의

계수와 같다.(선형방정식이 해를 가질 필요충분조건)

1 1 1 1 0 1 1 0 04 1 6 0 1 2 0 1 02 3 8 0 0 16 0 0 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⇒ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

BAX =BAX = BA

2)(

001001

3214

11

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

Arank

3=BArank

32

m개의 방정식과 n개의 미지수를 갖는 선형 연립방정식 가

해를 갖는다고 가정하자.

계수행렬A가 계수r를 갖는다면 그 연립방정식 해는 n-r개의 매개변

수들을 갖는다.

BAX =

19752534

723

321

321

321

=+−=++−=−+

xxxxxxxxx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

00003110

2101

1975253147231

행연산

33

행렬의 계수 개념과 선형 연립방정식의 해

AX=0

항상 해를 갖는다

유일한 해 : X=0rank(A)=n

무한해rank(A)<n

n-r 임의의 해에서의매개 변수들

34

AX=B, B=0

해를 가짐rank(A)=rank(A B)

무한해rank(A)<n

n-r 임의의 해에서의매개 변수들

해가 없음rank(A)<rank(A B)

유일해rank(A)=n

35

(a) 존재성 (existence) :

n개의 미지수 에 관한 선형연립방정식은 다음과 같다

(1)

이 해를 갖기 위한 필요충분조건은 그 계수행렬 A와 첨가행렬 , 즉

과

~A

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++

2211

22222121

11212111

nxxx ,,, 21 ⋅⋅⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

mmnm

n

mnm

n

baa

baa

A

aa

aa

A

1

1111

~

1

111

이 같은 계수 r을 갖는다.

36

(b) 유일성(uniqueness) :

선형 연립 방정식(1)이 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은

A 와 가 같은 계수 r=n을 갖는 것이다.

(c) 무수히 많은 해 : 만약 r<n이면 무수히 많은 해가 존재하고,

이들 모든 해는 r 개의 적당한 미지수 (이들의 계수로 된

부분행렬은 계수가 r이어야 한다)를 결정해야 얻을 수 있다.

~A

37

나머지 n-r개의 미지수에 임의의 값을 대입한 후 r개의 미지수를

이것들로 표현하여 가정한다.(7.3절 예제3참조)

(d) Gauss 소거법(Gauss elimination, 7.3절) : 만일해가 존재하면

그들은 가우스 소거법에 의해 모두 구해진다. (이 소거법은 A와

의 계수를 먼저 구하지 않아도 된다 자동적으로 7.3절에서

알 수 있다.

~A

38

<증명>

(a) 연립방정식 (1)을

와 같은 형태로 쓸 수 있다.

혹은 의 열 벡터 으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

행렬 는 행렬 에 열 벡터 를 첨가 시켜 얻은 것이다.

7.4절의 정리 3에 의하여 는 또는

와 같이 된다.

bAx =)1(

A )()1( , nCC LL

bxCxCxC nn =++ )(2)2(1)1()2( LL

A~ A b

Arank ~Arank 1+Arank

39

지금 연립방정식(1)이 해 를 갖는다면, (2)를 볼 때 가

행렬 의 열 벡터의 1차 결합이다.

따라서 는 보다 클 수 없고 결과적으로

이다.

역으로, 만일 이면, 는 의 열 벡터의

1차 결합이어야 한다.

즉

와 같이 표현되어야 한다.

x bA

Arank ~ rank AArankArank =

~

ArankArank =~

b A

)(11

*)2( nnccb αα LL+=

40

만약 그렇지 않다면 이기 때문이다.

이것은 식 와 를 비교해 보면, 연립방정식(1)이 해

을 갖는다는 것을 의미한다.

(a) 만일 이면, 이때 집합 은

7.4절의 정리3에 의해서 1차 독립이다.

또 를 나타내는 식(2)의 표현이 유일하지 않다면,

와 같이 되는데 이는

1~+= ArankArank

*)2( )2(

nnxx αα == LL,11

nrArank ==~ { })()1( nccc LL=

b

nnnn xcxcxcxcxcxc ~~~)(2)2(1)1()(2)2(1)1( LLLL ++=++

41

을 뜻하고 1차 독립성에 의해 이

되기 때문에 결국 를 나타내는 관계식(2)는 유일하게 된다.

따라서 스칼라 은 유일하게 결정된다.

즉 연립방정식(1)의 해는 유일하다.

0~,011 =−=− nn xxxx LL

nxx ,,1 LL

0)~()~( )()1(11 =−+− nnn cxxcxx LL

b

42

(C) 만일에 이면 7.4절의 정리1에

의하여 의 1차 독립인 개의 열 벡터의 집합 가 존재하여

의 나머지 개의 열 벡터는 이들 벡터의 1차 결합으로

표시된다.

열과 미지수에 새로 번호를 붙이고 이것을 기호 (^) 로 표시하여

이 1차 독립인 집합 가 되도록 하자

그러면 관계식(2)는

nrArankrankA <==~

{ })()1(ˆ,ˆ

rCC LL

bxcxc nn =++ )()(11 ˆˆˆˆ LL

A r K

A rn −

K

43

가 되고 는 속에 있는 열 벡터의

1차 결합이며, 벡터 도 마찬가지이다.

위의 연립방정식은

로 쓸 수 있다.

여기서 이고 는 로부터

얻으며 이다.

{ })()1(ˆ,,ˆ

nr CC LL+ K

{ })()1()1( ˆ,,ˆ nnrr cxcx LL++

bycyc rr =++ )()(1)1( ˆˆ)3( LL

jjj xy β+= ˆjβ nnrr xcxc ˆˆ,,ˆˆ )()1()1( LL++

rj ,,1 LL=

44

그런데 주어진 연립방정식은 해를 가지므로, 방정식 (3)을 만족하는

이 존재한다.

따라서 을 선택하면 와 이에 대응하는

가 확정된다.

nr xx ˆ,,ˆ 1 LL+ jβ

jjj yx β−=ˆ

ryy LL,1

45

(d) 이는 7.3절에서 증명되었다.

예제 2에서 이므로 유일한 해가

존재한다.

예제 3에서 이고 와 는

임의대로 택할 수 있다.

예제 4에서 이므로 해가

존재하지 않는다.

3ˆ === nArankrankA

3ˆ2 =<= ArankrankA

42ˆ =<== nArankrankA 3x 4x

46

문제 1.

1 2 3

2 3

3 22 4

x x xx x+ + = −+ =

일반해를 구하여라

(단계1) [ ] 1 1 3 2:

0 1 2 4A B

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

M

M

[ ] 1 0 1 6:

0 1 2 4RA B

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

M

M

1 0 10 1 2RA

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

64

C⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Pipot 축자→

[ ]RA CM 의 형태이다.

47

(단계2) [ ]( ) 2rank A rank A C= = M 이므로

해가 존재한다.

(단계3)1 2

3

, .

RA x xx부터 는 종속이고

는 독립이다

[ ]1 3

2 3

1 3

2 3

6 2 4

6 4 2

RA B

x xx xx xx x

− =

+ =

= +

= −

M 로 부터

따라서

48

(단계4) 다음과 같이 쓴다.

1 3

2 3

3 3

64 20

x xx xx x

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(단계5) 단계 4의 결과를 다음과 같이 쓴다.

3

6 14 20 1

x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

49

의 일반해는 α가 임의의 수 일 때AX B=

6 14 2 .0 1

α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

이다

이것은 다음의 합인 것을 주목하라!

64 6

0

AX B

AXα

⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

의한 특수해

1

2 의일반해

-1

♦ α에 대해 주어진 연립방정식을 만족시티는 것을 알아보자.

1

2

3

64 2

xxx

αα

α

= += −=

50

일차독립/종속

(해)

• 주어진 벡터들의 행으로 하는 행렬 A를 구성한다.

• A를 계수 3인 행 사다리꼴로 축소한다.

If rank (A) < 3 →벡터의 집합은 일차종속이다.

( ) ( ) ( )1 2 3

3

2 1 1 , 0 3 0 , 3 1 2

R .

u u u= = =벡터 의

집합이 에서 일차독립인지, 종속인지 결정하라

2 1 1 1 0 00 3 0 0 1 03 1 2 0 0 1

A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

행렬 A의 행공간의 기저

행사다리꼴

51

• 그래서 rank (A) =3이고 벡터 는 1차 독립이다

행공간의 기저 는 기본기저 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

1 2 3, ,u u u

3R

52

해가 없는 방정식

• 다음 연립방정식을 풀어라.

1 2

1 2

1 2

14 62 3 8

x xx xx x

+ =− = −− =

Gauss 소거법에 의해서

1 1 1 1 0 14 1 6 0 1 22 3 8 0 0 16

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⇒⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A의 rank 수=2

rank (A/B) = 3

53

• 마지막 행렬의 세번째 행은 을 의미한다.

어떠한 과 도 이방정식을 만족하지 않으므로 이 연립방정식의 해는 없다.

1 20 0 16x x+ =

1x 2x

, 0AX B B= ≠

( ) ( / )rank A rank A B<

해가 없음

54

제차 연립 방정식

만일 연립방정식 (1)에서 모든 가 0이면 이 연립방정식을

(homogeneous)라고 한다.

그렇지 않을 때 비제차 ( nonhomogeneous)라고 한다. (7.3절 참조)

정리 2 [제차 연립방정식]

제차연립방정식

(4)

0

00

2211

2222121

1212111

=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

jb

55

은 항상 자명한 해(trivial solution) 을 갖는다.

그리고 자명하지 않는 해가 존재할 필요충분조건은 이다.

만일 이면 그 해는 과 함께 해공간(solution-

space)이라 불리는 차원(7.4절 참조)의 벡터 공간이다.

특히 과 가 제차연립방정식(4)의 해 벡터이면,

(단 는 임의의 상수) 또한

제차연립 방정식(4)의 해벡터이다

(비제차 연립방정식에서는 성립하지않는다.)

0,,01 == nxx LL

nrankA <

nrrankA <= 0=x

rn −

)1(x )2(x

)2(2)1(1 xcxcx += 21,CC

56

<증명>

처음 명제는 분명하며 이것은 비제차 연립방정식에서 그 계수행렬과

첨가행렬은 같은 계수를 갖는다는 사실과도 일치한다.

만약 과 가 임의의 해 벡터이면 이고

이것은 (단, 는 임의의 상수)이면서

이므로 해벡터는 벡터공간을

이룬다.

)1(x

0)( )1()1( == cAxcxA C

0,0 )2()1( == AxAx

0)( )2()1()2()1( =+=+ AxAxxxA

)2(x

57

만일 이면 기본정리에 의하여 임의의 개의

적당한 미지수 을 임의로 택할 수 있고,

모든 해는 이러한 방법으로 얻어진다.

따라서 해의 기저(basis of solution)는 이다.

여기서 해벡터 는 로 택하고 나머지 은

0으로 택하여 얻는다. 이때 이에 대응하는 이 결정된다.

이로써 해공간은 차원이고, 따라서 이 정리의 증명이 끝난다.

nrrankA <= rn −{ }nr xx ,,)1( LL+

)()1( rnyy −++ LL

jy 1=+ jrx nr xx ,,1 LL+

rxx ,,1 LL

rn −

58

제차방정식 (4)의 해공간을 계수행렬 의 영공간(null space)이라고 한다.

왜냐하면 이 영공간에 있는 임의의 에 대해 이기 때문이다.

그 차원 수를 의 퇴화차수 (nullity)라고 한다.

이 개념에 따르면 정리2는 다음과 같다.

(5) 의 계수 + 의 퇴화차수 =

여기서 은 미지수 개수 ( 의 열의 수)

정의에 의하여 식(4)에서 이 되며, 따라서

인 경우에는 이다.

A

X 0=AX

A

A A n

n A

mrrankA ≤=

nm < nr <

59

정리2에 의하여 실용적인 면에서 중요한 다음의 정리를 얻는다.

*정리3 [ 미지수보다 방정식의 수가 적은 제차 선형연립방정식 ]

방정식의 수가 미지수의 수보다 적은 제차연립방정식은 항상 자명하지

않은 해를 갖는다.

비제차 연립방정식

비제차 연립방정식이 해를 가지면 모든 해는 다음과 같이 나타난다.

60

*정리4 [ 비제차연립방정식 ]

만약 식(1)과 같은 형태의 비제차 연립방정식이 해를 갖는다면

이들 모든 해는

와 같은 형태가 된다. 여기서 는 식(1)의 임의의 고정된 해이고

는 대응하는 제차연립방정식(4)의 모든 해를 대표한다.

<증명>벡터 를 식(1)의 임의의 주어진 해라고 하고 를 임의의 택한

식(1)의 해라고 하면 이고 따라서

이다.

hxxx += 0

0X

hx

x0x

bAxbAx == 0,

0)( 00 =−=− AxAxxxA

61

이것은 식(1)의 임의의 해 와 식(1)의 임의의 고정된 해 의 차,

가 식(4)의 한 해 임을 뜻한다.

그러므로 식(1)의 모든 해는 가 제차연립방정식(4)의 모든 해를

대표하게 되면 증명은 끝난다.

x 0x

0xx− hx

hx

62

행렬의 계수 : 행렬 의 계수는 라고 쓰고 내의

일차독립인 행벡터의 최대 개수이다. (정리1 참고)

행렬에 대해 생각해 보자

에서

이다.

는 1차 종속

는 서로 각각의 상수배가 아니다.

nm× A A)(Arank

43 ×

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

875386223111

A

( ) ( ) ( )8753,8622,3111 321 −=−=−= uuu

0)21(4 321 =+− uuu

321 ,, uuu→

21 , uu

응용문제 1.

63

는 1차 독립,

(1)에서 행벡터 는 벡터공간(Vector space) 의 벡터

집합이다.

• 는 의 부분집합이므로 가 행렬 의

행공간이라고 한다.

• 는 1차 독립이고 를 생성한다.

• 는 의 기저이다.

• 행공간 의 차원(기저에서 벡터의 수)은 2이다.

2)( =Arank21 , uu

21 , uu

21 , uu

A

4R

4R AR

AR

AR

AR

321 ,, uuu

),,( 321 uuuspanR A =

)(Arank⇒

64

다음조건을 만족하는 벡터 으로 된 집합을

1차 독립이라고 한다.

방정식을 만족하는 유일한 상수들은

이다.

벡터들의 집합이 일차독립이 아니면 일차종속이다.

( ) ( ) ( )maaa ,, 21 LL

( ) ( ) 0)(2211 =+++ mmacacac L

021 ==== mccc L

위의 내용을 참고로 하여 u1, u2, u3는 일차 종속이라는 결론을 얻

는다. 즉 u1과 u2는 서로 각각의 상수배가 아니기 때문에 행벡터

u1과 u2는 일차독립이다.

그러므로 rank(A)=2이다.

65

응용문제 2. 행 축소를 통한 계수 확인!

Gauss소거법을 이용해 연립방정식을 풀 때 선형 연립방정식의

첨가 행렬을 사다리꼴(echelon form)로 바꾼다.

그러므로 행렬 A 사다리꼴 B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

875386223111=A 1행X(-2배)+2행

1행X(-3배)+3행

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

142028403111

2행X( 배)+3행

2행X(- 배)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

0000210

3111

21

21

41

두 개의 0이 아닌 행렬이므로

rank(A)=2

66

7.6 행렬식, Cramer의 법칙(2,3차)

행렬식 : 선형연립방정식을 풀기위해 소개되었음.

계산에서는 비 실용적이지만 고유값 문제(8.1절), 미분방정식(2,3장),

벡터 대수학(9.3절)등에서 공학적 응용에 중요하게 사용된다.

차 행렬식은 정방행렬 와 관련된 표현식인데

우선 인 경우부터 설명한다.

n

2=n

nn× [ ]jkaA=

67

2차 행렬식

2차 행렬식(determinant of second order)는

행렬 : 대괄호로 표시

행렬식 : 두 개의 직선(bar)을 사용하여 나타낸다.

211222112221

1211det aaaaaaaa

AD −===

68

예.

예. 2개 방정식의 선형시스템에서의 Cramer의 법칙 다음

연립방정식의 해의 공식을 유도하라.

<풀이> 식 (a)에 를 곱하고 식(b)에 를 곱한 후 두 식을

더하여 를 소거하면

1423541234

=⋅−⋅=

2222121

1212111

)()(

bxaxabbxaxaa

=+=+

2x

212221121122211 )( baabxaaaa −=−

22a 12a−

69

가 되고 식 (a)에 을 곱하고 식 (b)에 을 곱한 후

두 식을 더하여 을 소거하면

이 된다.

이라고 가정하고

위의 두식을 D로 나누자.

위의 두 식의 우변을 행렬식으로 쓸 수 있다.

021122211 ≠−= aaaaD

211211221122211 )( abbaxaaaa −=−

21a− 11a

1x

70

그러면 n=2 일 때의 방정식에 대한 Cramer의 법칙을 얻는다.

예로 만약

이면

Dabba

Dbaba

xD

baabD

abab

x 211211221

111

2212221222

121

1−

===−

== ,

8521234

21

21

−=+=+

xxxx

41456

523482

124

,61484

523458312

21 −=−

=−

===−

= xx

가 된다.

71

만일 연립방정식 가 제차 이고 이라면 자명한 해

만을 가지며 D=0 이면 자명하지 않은( 즉, 모두가 0 이 아닌)

해도 갖는다.

3차 행렬식

3차 행렬식(determinant of third order)는

)0( 21 == bb

021 == xx

2322

131231

3332

131221

3332

232211

333231

232221

131211

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

D +−==

0≠D

72

으로 정의한다. 우변의 부호가 +-+이다. 우변의 3개의 항 각각은

D의 첫번째 열의 원소에 해당 소 행렬 식(minor)을 곱한 것이다.

소행렬식: 해당원소의 행과 열을 D에서 제거하여 얻어진 2차 행렬식

에 대해서는 첫번째 행과 열을 제거하고, 나머지도 마찬가지로

행한다.

만약 소행렬식을 풀어 쓰면

11a

221331231231331221

321321322311332211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaD

−+−+−=

73

예제3. 3개 방정식의 선형시스템에서의 Cramer 법칙

미지수가 3개인 3개의 선형연립방정식 에서의

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

=++=++=++

Cramer법칙은

) 0 ( , , 33

22

11 ≠=== D

DDx

DDx

DDx

74

로 되는데 여기서 D는 식(4)에 의해 주어지는 연립방정식의

행렬식이고

33231

223221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1 baabaabaa

Dabaabaaba

Daabaabaab

D ===,,

예제 2의 소거법에 의해 유도될 수 있다.

대신에 n차 선형 연립방정식에 대한 Cramer법칙에서 얻을 수 있다.

75

7.7 행렬식, Cramer의 법칙

행렬식 : 선형연립방정식을 풀기위해 소개되었음.

계산에서는 비 실용적이지만 고유값 문제(8.1절), 미분방정식(2,3장),

벡터 대수학(9.3절)등에서 공학적 응용에 중요하게 사용된다.

.

76

n차 행렬식

n차 행렬식(determinant of order n)은 nxn 정방행렬식 A=[ajk]와 연관된 스칼라이고

이를

(1)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

AD

L

MLMM

L

L

21

22221

11211

det

과 같이 표기한다. n=1에 대해서는

(2) 11aD =

으로 정의 되고 2≥n 에 대해서는

77

(3a) jnjnjjjj CaCaCaD +++= K2211

(4b) nknkkkkk CaCaCaD +++= K2211

또는

와 같이 정의된다. 여기서

( j=1,2, … , 또는 n )

(k=1,2, … , 또는 n)

Mjk는 n-1차의 행렬식, 즉 A로부터 원소 ajk를 포함하는 행과 열을

(j번째 행과 k번째 열), 소거하여 얻는 A의 부분행렬의 행렬식이다.

D는 차수가 n-1인 n개의 행렬식에 의해 정의되고, 이 각각은

차례대로 차수 n-2인 n-1개의 행렬식에 의해 정의 되므로 이를 계속하

여 2차의 행렬식에 이르게 된다.

78

D에서 n2개의 원소 ajk를 가지고, n개의 행과 열이 있고 a11, …, ann

이 주대각선에 있다.

2차 행렬식에서는 그 부분 행렬들이 식(8)에 의해 원소 자체가

행렬식으로 정의 되는 단일원소로 이루어진다.

정의로부터 임의의 행이나 열에 의해서 D를 전개할 수 있다.

즉 식(3)에서 임의의 행이나 열에 있는 원소들을 선택할 수 있다.

식(3)의 Cjk를 전개할 때도 마찬가지이다.

이 정의는 전개하려고 택하는 열이나 행에 관계없이 D의 값은

같다.

79

Mjk를 ajk의 소행렬식(minor)이라고 부르고 Cjk를 ajk의 여인수

(cofactor)라 부른다.

다음에 사용할 수 있도록 식(3)를

∑=

+−=n

kjkjk

kj MaDa1

14 )( )( ) , 2, ,1 ( nj L= 또는

∑=

+−=n

jjkjk

kj MaDb1

14 )( )( ) , 2, ,1 ( n k L= 또는

소행렬식으로 나타낼 수 있다.

80

예제 . 3차 행렬식의 소행렬식과 여인수

식 (4)에서 D의 첫 번째 행 원소들의 소행렬식과 여인수는 바로

알 수 있다.

3231

121123

3331

131122

3332

131221 , ,

aaaa

Maaaa

Maaaa

M ===

여인수 C21=-M21, C22=+M22, C23=-M23 이다.

두 번째 해의 원소들에 대해 소행렬식은 다음과 같다.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

D =

81

세 번째 행도 같은 식으로 표현된다.

그리고 Cjk의 부호는

+−+−+−+−+

82

예제2. 3차 행렬식의 전개

첫 번째 행에 의한 전개

0162

02142

3- 2046

1 201462031

−+

−=

−=D

다른 4가지 전개도 –12가 된다.

예제3. 삼각행렬식의 행렬식

605435204

3 521046003

−=⋅⋅−=−=−

−

83

행렬식의 일반적인 성질

※ 정리1 [기본행 연산하에서 n차 행렬식의 상태]

(a) 두 행을 바꾸는 것은 행렬식의 값에 –1을 곱하는 것이다.

(b)한 행의 상수배를 다른 행에 더하는 것은 행렬식의 값에 변화를

주지 않는다.

(c) 한 행에 c를 곱하는 것은 행렬식의 값에 c를 곱하는 것이다.

증명 (a) 수학적 귀납법을 써서 증명하자 n=2인 경우는

bcaddcba

−= 그러나 adbcbadc

−=

84

예제4. 삼각형화에 의한 행렬식의 계산

정리1에 의해 Gauss소거법에서처럼 삼각형 형태로 줄여서 행렬

식을 구할 수 있다.

103801620

129506402

1983162001546402

−−

−

=

−

−

=D

2행-2X1행

4행+1.5X1행

85

3행 –0.4X2행

25.470008.34.200

129506402

2.294.11008.34.200

129506402

−−

=

−

−−

=

4행 –1.6X2행

4행+4.75X3행

113425.474.252 =×××=

86

※ 정리2 [추가적인 n차 행렬식의 성질]

정리 1의 (a)-(c)는 열에 대해서도 성립한다.

(d) 전치(transposition)는 행렬식의 값에 변화를 주지않는다.

(e) 0행 또는 0렬은 행렬식의 값을 0으로 만든다.

(f) 같은 비의 행 또는 열은 행렬식의 값을 0으로 만든다. 특히 같

은 두 행이나 두 열을 가진 행렬식의 값은 0이다.

증명. (a)-(e)는 행렬식이 임의의 행이나 열로 전개될 수 있다는 사

실에서 바로 성립한다. (d)는 행렬의 전치는 j번째 행이 전치된

행렬에서는 j번째 열이 되어 알 수 있다.

87

(f) 만약 j번째 열이 i번째 행의 c배이면 여기서 D1은 j번째 행과 i번

째 행이 같다. 바꾸면 정의 1(a)에 의해 행렬식이 –D1이 된다.

그러므로 D1=0이고 cD1=0이다. 같은 방법으로 열의 경우도 성립

한다.

행렬식에 의한 계수

행렬 A의 계수(1차 독립인 행 또는 열벡터의 최대수. 7.4절 참조)

행렬식에 의해 구할 수 있다. (계수를 정의하는데 사용)

여기서 rank A > 0 이라고 가정한다.

rank A = 0 일 충분조건은 A=0이다.

88

문제(7.7절)

행렬식에 의한 계수

계수를 구하고 행연산을 검증하여라

모든 2X2 부분 행렬의

행렬식은 0이다.

1X1 부분행렬의 하나

인[4]의 행렬식이 0이

아니므로 원래 행렬의

계수는 1이다.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−1216

6834 0

0034

6834

==−−

00034

121634

==

00068

121668

=−−

=−−

1행을 (-1)배 해서 2행에 더해라.

1행을 2배 해서 2행에 더해라.

89

23

×

5.750320

502

053320

502

053502320

−−=−

−−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

0 60 1500

320502

≠−=−−=

즉 원래 행렬의 계수는 3이다.

1행 배 해서 3행을 더한다.

2행을 배 해서3행에 더해라)25(−

90

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

23714833145211461317321

0 5451121817417321

71483352114617321

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

부분행렬을 ①이라고 하자

②

①에서 1행X(-2)+2행 2행에 쓸 것

②의 2행과 3행은 상수 배이므로 값이 0이다.

91

새로운 부분행렬 ①에서 1행X(-2배)+2행

②의 2행에 쓸 것.

2행과 3행은 상수 배이므로 값이 0이다.

0 36511212174

13321

23483314114613321

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

②

새로운 부분행렬 ①

92

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

185343066120113173

237148

14521113173

또 다른 부분행렬 ① ②

부분행렬①의 1행×16배+3행

→ 3행에 쓴다.

부분행렬①의 1행×4배+2행

→ 2행에 쓴다.

②에서 2행×(-3배)+1행

→ 1행에 쓴다.

0 18534306612011853430

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

93

즉 모든 3×3부분행렬의 행렬식은 0이고 2×2부분 행렬의

하나가 행렬식이 0이 아니므로 원래 행렬의 계수는 2이다.

03691146

321≠=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

304310369030431036901317321

23714833

145211461317321

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

00003043103690317321

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⇒

94

7.8 역행렬, Gauss-Jordan 소거법

정방행렬에 대해서만 고찰한다.

nxn행렬 A=[ajk]의 역행렬(inverse matrix)은 A-1로 표기하고

IAAAA == −− 11(1)

를 만족하는 nxn행렬로 정의한다.

여기서 I는 nxn단위행렬이다. (7.2절 참조)

만약 A가 역행렬을 가지면 A를 정칙행렬(nonsingular matrix)라고 한다.

A가 역행렬을 갖지 않으면 A를 특이행렬(singular matrix)라고 한다.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

I인 주대각선 원소가 모두 1인 스칼라 행렬을단위 행렬이라고 한다.

Unit matrix or identity matrixAI=IA=A

95

만약 A가 역행렬을 가지면 그 역행렬은 유일하다.

실제 B와 C를 A의 역행렬이라 하면 AB=I, CA=ICCIABCBCAIBB ===== )()(

A가 역행렬이 될(정칙이 될) 필요충분조건 : A가 최대가능한 계수 n

을 갖는다.

만약 이 존재하면 이 증명에서 는

를 의미한다.

1−A bAX = bAX 1−=

유일성을 갖는다.

→선형연립방정식에 대한 관계, 역행렬을 정의 하게 된 동기

2700321000

21

21

=+=+xx

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

27001000

3211

2

1 bxx

XA

→미지수가 많은 복잡한 연립 방정식: 역행렬 이용

96

※정리1. [역행렬의 존재성]

A가 행렬일 때 역행렬 이 존재할 필요충분조건은

이고 따라서 이다. (6.6절 정리3에 의해)

따라서 이면 A는 정칙행렬이고(6.3절 예제 4)

이면 특이 행렬이다.(6.3절 예제 3)

nn× 1−AnrankA = 0det ≠A

nrankA =

nrankA <

<증명>

계수행렬 A를 갖는 선형연립방정식을 생각하자.

bAX = (2)

97

만약 역행렬이 존재한다면, 윗 식의 양변의 왼쪽에 곱을 하면 식

(1)에 의해 아래와 같이 된다.

bAXAXA 11 −− ==

n

→식(2)가 유일한 해를 가짐을 보여준다.

→A는76.5절의 기본정리에 의해 계수 을 갖는다.

98

역으로 rank A=n 이라고 하자.

그러면 같은 정리에 의해 식(2)는 임의의 에 대한 유일한 해

를 갖는다.

X

jX

BbX =

b

( ) ( )AX A Bb AB b Cb b= = = =

그리고 Gauss 소거법에 의해 후치환(7.3절)에 의해 성분 는

b의 성분의 1차결합이 되므로 아래와 같이 표현된다.

(3)

이것을 식(2)에 대입하면 임의의 b에 대하여

그러므로 , 즉 단위행렬이다.IABC ==

99

식(2)를 (3)에 대입하면 임의의 X (그리고 b=Ax)에 대해

XBAAXBBbX )()( ===

따라서, 이다. 두가지 사실에서 이 존재한다.IBA = 1−= AB

100

행렬 의 역행렬 을 실제로 결정하기 위해서는

Gauss 소거법(7.3절), 실제로 그것의 변형인 Gauss-Jordan 소거

법을 사용할 수 있다.

nn × A 1−A

역행렬의 결정

를 사용하여 n개의 연립방정식 을

만든다.

여기서 는 n×n 단위행렬 의 번째 열이다.

)()()1()1( , , nn eAxeAx == KA

I j

이제 n×n 행렬 와 을 도입하여

n개의 연립방정식을 행렬 방정식 에 결합시킨다.

)( je][ )()1( nxxX ⋅⋅⋅⋅= ][ )()1( neeI ⋅⋅⋅⋅=

IAx =

101

n개의 첨가 행렬 을 단일 첨가행렬

에 결합시킨다.

여기서 AX=I는 X=A-1I=A-1를 의미하고 X에 대해 AX=I를 풀

기 위해서는 에 Gauss 소거법을 적용하여 [U,H] 를

얻는다.

][,],[ )()1( nAeAe ⋅⋅⋅⋅ ][~ AIA =

] [~ IAA =

102

U : 위 삼각행렬( Gauss 소거법은 연립방정식을 삼각화 시킨다.)

Gauss-Jordan 소거법에 의해, 주 대각선 위에 있는 U의 원소를

제거하고 모든 원소를 1로 만들어서 대각형식, 즉 단위행렬 I 로 만든다.

(아래 예제 참조)

이 방법을 전체에 작용하면 H를 어떤 행렬 K로 변환시킨다.

그러므로 전체 를 로 변환시킨다.

이것은 의 첨가행렬이다.

그러므로 을 얻게 되고 를 에서 읽어낼 수 있다.

Q

[ ]HU

[ ]HU [ ]KI

KIX =

1−= AK 1−A [ ]KI

103

예제1. 역행렬, Gauss-Jordan 소거법

다음 행렬 A의 역행렬 을 구해라.

<풀이> Gauss소거법 (7.3절 참조)을 적용하면

1−A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

431113211

A

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

100010001

431113211

IA

104

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

101013001

220720211

2행+3x1행

3행-1행

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

114013001

500720211

3행-2행

이 된다. 이것은 Gauss소거법에 이한 것으로 이고,

이제 Gauss-Jordan의 단계에 따라 U를 I로 변형한다.

[ ]HU

105

즉 주대각선의 원소가 1이 되는 대각행렬로 변형한다.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

2.02.08.005.15.1001

1005.310

211

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

2.02.08.07.02.03.14.04.06.0

100010011

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

2.02.08.07.02.03.13.02.07.0

100010001

-1행

0.5x2행

-0.2x3행

1행+2x3행

3행-3.5x3행

1행+2행

왼쪽을 단위행렬로만든다.

(-1)배

106

마지막 3열은 를 만든다. 검증해 보면

이 된다. 따라서 이다.

같은 방법으로 이다.

1−A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

100010001

2.02.08.07.02.03.13.02.07.0

431113211

IAA =− 1

IAA =− 1

107

역 행렬에 관한 유용한 공식

*정리2 [역 행렬]

정칙인 행렬 의 역행렬은

으로 주어진다. 여기서 는 에서 의 여인수이다.

(7.7절 참조)

에서 여인수 는 에서 ( 가 아니라)가 있는 자리에

위치한다.

nn×

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅==−

nnnn

n

n

jk

AAA

AAAAAA

AA

AA

L

L

L

L

21

22212

12111

1

det1

det1)4(

jkA Adet jka

jkA1−A A jkakja

][ jkaA =

T

108

특히

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211*)4(aaaa

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

1121

12221

det1

aaaa

AA

의 역행렬은

이다

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10241

A 의 역행렬을 구하라.

2810det =−=A 이므로

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

21

1

125

12410

21A

109

예제2. 행렬의 역행렬

예제3. 정리2의 예시

식(4)를 이용하여 역행렬을 구하라

22×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

3.02.01.04.0

3214

101,

4213 1AA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

431113211

A

110

<풀이>

31121

,24321

,74311

312111 =−

==−=−=−

= AAA

71321

,24121

,134113

322212 =−

−=−=−−

−=−=−

= AAA

213

11,2

3111

,83113

332313 −=−

−==

−−

−==−

−= AAA

111

이 된다. 예제 1과 일치한다.

대각행렬 A=[ajk], j ≠ k 이면 ajk=0의 역행렬이 존재할 필요충분조건은

모든 ajj ≠ 0이다.

그러면 A-1은 1/a11, ….1/ann이 대각원소인 행렬이다.

식 (4)에 의해

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=−

2.02.08.07.02.03.13.02.07.0

2287213327

1011A

112

<증명>

(4)에서 대각행렬

112211

2211 1aaaa

aaDA

nn

nn ==LL

LL

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−= −

100025.00002

, 100040005.0

1AA

예제 4. 대각행렬의 역행렬

113

두 행렬의 곱 AC의 역행렬은 각 인자행렬의 역행렬의 역행렬을

구하여 그 결과를 역순으로 곱하면 얻어진다. 즉

이다. 따라서 세 개 이상의 행렬의 곱에 대하여

을 얻는다.

111)()7( −−− = ACAC

11111)()8( −−−−− ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ACPQPQAC

114

을 얻고, 또 다시 을 이 식의 왼쪽에 곱하면 식(7)을 얻는다.

식(8)은 (7)로부터 수학적 귀납법에 의해 얻어진다.

또한 역행렬의 역행렬은

1−C

AA =−− 11)()9(

<증명>

식(1)

에서 A대신 AC를 대입하면

이다. 을 이식의 왼쪽에 곱하고 을 이용하면

IACAC =−1)(1−A IAA =−1

111)( −−− == AIAACC

IAAAA == −− 11

115

행렬의 곱이 사라짐·약분법

행렬의 곱셈은 숫자의 곱셈과는 다르다

[1]교환법칙은 성립하지 않는다. 즉 일반적으로

이다.

[2]AB=0은 일반적으로 A=0또는 B=0을 의미하지 않는다.

(또는 BA=0) 예를 들면

[3]AC=AD는 C=D를 의미하지 않는다.(심지어 일 때에도)

BAAB ≠

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

1111

2211

0≠A

116

※정리3 [약분법칙]

A,B,C를 행렬이라고 하자. 그러면

(a) rank A=n 이고 AB=AC 이면 B=C이다.

(b) rank A=n 이면 AB=0 은 B=0를 의미한다. 그러므로 AB=0이면서

이고, 동시에 이면 이고

이다.

(c) A가 특이행렬이면 AB와 BA도 또한 특이 행렬이다.

nn×

0≠A 0≠B nArank <

nBrank <

117

<증명>

(a) 양변에 을 앞에 곱하면 정리1에 의해 증명된다.

(b) 양변에 앞에 곱하라.

(c1)정리1에 의해 이다. 그러므로 은 6.5절의

정리2에 의해 자명하지 않는 해를 갖는다.

곱에 의해 이 되므로 이 해들은 또한 을

만족한다. 결국 7.5절의 정리2에 의해 이고,

정리1 에 의해 는 특이행렬이다.

ACAB = 1−A

0=AB 1−A

nrankA < 0=Ax

0=BAx

nBArank <)(

BA

0=BAx

118

(c2) 7.7절의 정리2(d)에 의해 는 특이행렬이다.

그러므로(c1)에 의해 도 특이행렬이다.

그러나 이다.[7.2절 식(5) 참조], 그러므로

는 7.7절의 정리2(d)에 의해 특이행렬이 된다.

TATT AB

TTT ABAB )(=

AB

119

행렬의 곱의 행렬식

행렬의 곱의 행렬식은 각 행렬의 행렬식의 곱으로 표시할 수 있다.

Gauss-Jordan 대각화(예제1 참조)와 정리3으로부터 얻는다.

※ 정리4 [행렬의 곱의 행렬식]

임의의 행렬 A 와 B에 대해 다음이 성립한다.

BABAAB detdet)det()det( )10( ==

nn×