732g71 statistik b732g71/f7ht2017.pdf · exempel: kvadratisk trend om vi tror att kpi ökar gradvis...

732G71 Statistik BFöreläsning 7

Bertil Wegmann

IDA, Linköpings universitet

Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29

Detaljhandelns försäljning (fasta priser, kalenderkorrigerat)


Tidsserieregressionsanalys (kap. 6.1-6.4)

En tidsserie kan möjligen delas upp i följande komponenter:

Trend

Cykel

Säsongsvariation

Slumpvariation


Tidsserier med endast trend

Det enklaste fallet är en tidsserie som endast innehåller en trend- ochslumpkomponent.

Trendmodell:

yt = TRt + εt ,

där yt är värdet på y vid tidpunkt t, TRt är trenden vid tidpunkt t och εtär feltermen vid tidpunkt t.


Olika modeller för trenden

Beroende på hur trenden ser ut, kan den modelleras på olika sätt.

yt = TRt + εt

Ingen trend: TRt = β0

Linjär trend: TRt = β0 + β1t

Kvadratisk trend: TRt = β0 + β1t + β2t2

Regressionsantaganden: εt ∼ N (0, σ)


Exempel: KPI, månadsvis 2006:1 - 2015:10


Exempel: Ingen trend

Om vi först (felaktigt) antar att vi inte har någon trend skattar viföljande modell: yt = β0 + εt , där β0 skattas som medelvärdet avKPI: b0 = 108.85.

Ett 95 % prediktionsintervall för yt för denna modell ges av

y ± t[0.05/2],(n−1)s√1+ 1

n , där s är den vanliga skattningen av

standardavvikelsen för y , d.v.s. s =√

∑(yt−y )2n−1 .


Exempel: skattad KPI utan trend


Exempel: Linjär trend

Om vi tror att KPI ökar linjärt över tid kan vi skatta en linjärtrendmodell med tidsvariabeln t som förklaringsvariabel, därt = 1, 2, 3, . . . , 118:

yt = β0 + β1t + εt

De vanliga formlerna för en enkel linjär regressionsanalys kan användasför att anpassa modellen.



Regression Analysis: KPI versus t

Analysis of Variance

Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value

Regression 1 1383,3 1383,30 633,37 0,000

t 1 1383,3 1383,30 633,37 0,000

Error 116 253,3 2,18

Total 117 1636,7

Model Summary

S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred)

1,47785 84,52% 84,39% 83,89%

Coefficients

Term Coef SE Coef T-Value P-Value VIF

Constant 102,871 0,274 375,67 0,000

t 0,10052 0,00399 25,17 0,000 1,00

Regression Equation

KPI = 102,871 + 0,10052 t


Exempel: Kvadratisk trend

Om vi tror att KPI ökar gradvis kan vi skatta en kvadratisktrendmodell:

yt = β0 + β1t + β2t2 + εt

Den kvadratiska trendmodellen kan anpassas med vanlig multipel linjärregressionsanalys.



Regression Analysis: KPI versus t; tSquared



Regression 2 1553,42 776,708 1073,08 0,000

t 1 477,81 477,810 660,13 0,000

tSquared 1 170,11 170,111 235,02 0,000

Error 115 83,24 0,724

Total 117 1636,65

Model Summary


0,850769 94,91% 94,83% 94,72%

Coefficients


Constant 100,117 0,239 418,90 0,000

t 0,23821 0,00927 25,69 0,000 16,26

tSquared -0,001157 0,000075 -15,33 0,000 16,26

Regression Equation

KPI = 100,117 + 0,23821 t - 0,001157 tSquared


Autokorrelation

Ett av antagandena i linjär regressionsanalys är att feltermerna äroberoende av varandra. Detta antagande är ofta inte uppfyllt när manhar tidsserier.

Positiv autokorrelation:

En positiv felterm vid tidpunkt t tenderar att följas av en positiv

felterm vid tidpunkt t + 1.

En negativ felterm vid tidpunkt t tenderar att följas av en negativ


Negativ autokorrelation:

En positiv felterm vid tidpunkt t tenderar att följas av en negativ


En negativ felterm vid tidpunkt t tenderar att följas av en positiv



Exempel: autokorrelation för linjär trendmodell

Vi undersöker om vi har positiv/negativ autokorrelation i den fjärderesidualplotten. Vad verkar vara fallet?


Exempel: autokorrelation för kvadratisk trendmodell

Vi undersöker om vi har positiv/negativ autokorrelation i den fjärderesidualplotten. Vad verkar vara fallet?


Durbin-Watson test för positiv autokorrelation

H0 : Feltermerna är ej autokorreleradeHa : Feltermerna är positivt autokorrelerade

d =∑n

t=2 (et − et−1)2

∑nt=2 e

2t

,

där et är residualen (skattade feltermen) vid tidpunkt t.

Förkasta H0 om d < dL,α

Förkasta ej H0 om d > dU,α

Om dL,α ≤ d ≤ dU,α ger testet inget svar om hypoteserna.

Värden på dL,α och dU,α ges från tabeller på sidan 598 och 599.


Durbin-Watson test för negativ autokorrelation

H0 : Feltermerna är ej autokorreleradeHa : Feltermerna är negativt autokorrelerade

d =∑n

t=2 (et − et−1)2

∑nt=2 e

2t

,

där et är residualen (skattade feltermen) vid tidpunkt t.

Förkasta H0 om (4− d) < dL,α

Förkasta ej H0 om (4− d) > dU,α

Om dL,α ≤ (4− d) ≤ dU,α ger testet inget svar om hypoteserna.


Exempel: Durbin-Watson test för Linjär trendmodell

Regression Analysis: KPI versus t



Regression 1 1383,3 1383,30 633,37 0,000

t 1 1383,3 1383,30 633,37 0,000

Error 116 253,3 2,18

Total 117 1636,7

Model Summary


1,47785 84,52% 84,39% 83,89%

Coefficients


Constant 102,871 0,274 375,67 0,000

t 0,10052 0,00399 25,17 0,000 1,00

Regression Equation

KPI = 102,871 + 0,10052 t

Durbin-Watson Statistic = 0,102533


Exempel: Durbin-Watson test för Kvadratisk trendmodell

Regression Analysis: KPI versus t; tSquared



Regression 2 1553,42 776,708 1073,08 0,000

t 1 477,81 477,810 660,13 0,000

tSquared 1 170,11 170,111 235,02 0,000

Error 115 83,24 0,724

Total 117 1636,65

Model Summary


0,850769 94,91% 94,83% 94,72%

Coefficients


Constant 100,117 0,239 418,90 0,000

t 0,23821 0,00927 25,69 0,000 16,26

tSquared -0,001157 0,000075 -15,33 0,000 16,26

Regression Equation

KPI = 100,117 + 0,23821 t - 0,001157 tSquared



Säsongsvariation

Många tidsserier som är mätta månadsvis, kvartalsvis osv. uppvisarsäsongsvariation. Om säsongsvariationen inte beror på nivån är denkonstant. Är säsongsvariationen konstant för detaljhandelns försäljningper kvartal?


Ökande säsongsvariation

Om säsongsvariationen beror på nivån på tidsserien är den ökande ellerminskande.

Vid ökande säsongsvariation kan man transformera y för att fåkonstant säsongsvariation. Nedan följer tre vanliga transformationersom man kan pröva med om man har detta problem.

y∗ =√y = y0.5

y∗ = y0.25

y∗ = ln y


Ökande säsongsvariation för detaljhandelns försäljning


Dummyvariabler för att modellera säsongsvariation

Om en tidsserie har konstant säsongsvariation kan vi använda följandemodell:

yt = TRt + SNt + εt ,

där yt är värdet på y vid tidpunkt t, TRt är trenden vid tidpunkt t,SNt är säsongsfaktorn vid tidpunkt t och εt är feltermen vid tidpunktt.

Säsongsfaktorerna kan skattas om vi skapar dummyvariabler: om vihar L säsonger skapar vi L− 1 dummyvariabler.


Multipel linjär regressionsanalys med dummyvariabler

Modellen

ln yt = β0 + β1t + β2D1 + β3D2 + β4D3 + εt

skattas i Minitab som en vanlig linjär multipel regressionsmodell, därD1 = 1 om kvartal 1, 0 annars, D2 = 1 om kvartal 2, 0 annars,D3 = 1 om kvartal 3, 0 annars.


Skattad multipel linjär regressionsmodell

Regression Analysis: ln y versus t; D_1; D_2; D_3



Regression 4 6,68290 1,67073 429,84 0,000

t 1 6,25034 6,25034 1608,06 0,000

D_1 1 0,38878 0,38878 100,02 0,000

D_2 1 0,08288 0,08288 21,32 0,000

D_3 1 0,10065 0,10065 25,90 0,000

Error 94 0,36537 0,00389

Total 98 7,04827

Model Summary


0,0623449 94,82% 94,60% 94,19%

Coefficients


Constant 3,9674 0,0168 236,16 0,000

t 0,008795 0,000219 40,10 0,000 1,00

D_1 -0,1782 0,0178 -10,00 0,000 1,53

D_2 -0,0823 0,0178 -4,62 0,000 1,53

D_3 -0,0907 0,0178 -5,09 0,000 1,53

Regression Equation

ln y = 3,9674 + 0,008795 t - 0,1782 D_1 - 0,0823 D_2 - 0,0907 D_3



Signi�kanstest och modellutvärdering

Eftersom vi har skattat en vanlig multipel linjär regressionsmodell kanvi använda de vanliga signi�kanstesten.

F-test för hela modellen

Signi�kanstest för trend: t-test för förklaringsvariabel tSigni�kanstest för säsongsvariation: Partiellt F-test för

dummyvariablerna

Modellen utvärderas sedan på vanligt sätt, d.v.s. vi kan undersökaförklaringsgraden och s (eller MSE) samt undersöka residualplottaroch testa för autokorrelation.


Residualplottar


732g71 statistik b732g71/f7ht2017.pdf · exempel: kvadratisk trend om vi tror att kpi ökar gradvis...

Documents