7 -diseño con covarianzas en spss

Diseño con covariables

Marcelo Rodríguez G.Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística

Universidad Católica del Maule

Facultad de Ciencias Básicas

Ingeniería en Agronomía

Diseño Experimental

22 de mayo de 2011

[email protected] (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 1 / 20

Análisis de Covarianza

De�nición (Análisis de Covarianza)

Este procedimiento es la combinación de las técnicas de análisis deregresión y el análisis de varianza. Consiste en estudiar los efectos de unfactor (variable cualitativa) y una covariable (variable cuantitativa), sobrela variable dependiente.

(El modelo matemático unifactorial con una covariable)

yij = µ+ τi + β(xij − x) + eij .

i = 1, . . . , t y j = 1, . . . , r

τi : Efecto producido por el tratamiento i-ésimo.

β : Pendiente de la recta de regresión.

xij : Valor de la covariable, correspondiente a yij .

x : Media de la covariable.


Arreglo de los datos y sumatorias

Tratamiento

1 2 ... t

x y x y . . . x y

x11 y11 x21 y21 . . . xt1 yt1x12 y12 x22 y22 . . . xt2 yt2...

......

......

......

x1r y1r x2r y2r . . . xtr ytr

x1� y1� x2� y2� . . . x t� y t�


Arreglo de los datos y sumatorias

Txx =t∑

i=1

r∑j=1

x2ij − nx2 Tyy =t∑

i=1

r∑j=1

y2ij − ny2 Txy =t∑

i=1

r∑j=1

xijyij − nxy

Axx =t∑

i=1

r∑j=1

x2i � − nx2 Ayy =t∑

i=1

r∑j=1

y2i � − ny2 Axy =t∑

i=1

r∑j=1

x i �y i � − nxy

Sixx =r∑

j=1

x2ij − rx2i � Siyy =r∑

j=1

y2ij − ry2i � Sixy =r∑

j=1

xijyij − rx i �y i �

Exx =t∑

i=1

Sixx Eyy =t∑

i=1

Siyy Exy =t∑

i=1

Sixy

Txx = Axx + Exx Tyy = Ayy + Eyy Txy = Axy + Exy

Tyy (aj) = Tyy −T 2

xy

TxxEyy (aj) = Eyy −

E 2xy

ExxAyy (aj) = Tyy (aj)− Eyy (aj)


Ejemplo

Para este estudio se uti-lizaron tres nutrientes; i) sinagregar fertilizante, ii) confertilizante completo y iii)con nitrógeno.

Nutrientes

Sin fertilizante Con fertilizante Con nitrógeno

x y x y x y

13 23 7 30 10 26

12 21 5 32 9 27

7 28 6 32 6 28

9 25 7 31 6 28

8 25 9 28 5 31

x1� = 9, 8 y1� = 24, 4 x2� = 6, 8 y2� = 30, 6 x3� = 7, 2 y3� = 28, 0

Los tratamientos de nutrientes se agregaron como soluciones al suelo,mezclado y colocado en macetas de plástico en el invernadero. Secultivaron las plantas en las macetas durante siete semanas, momento enque las plantas se cosecharon, secaron y pesaron. Una plaga de hoja afectóel crecimiento de las plantas a medio experimento. Se supuso que la plagaafectaría el crecimiento y al �nal del experimento se midió el porcentaje delárea de la hoja afectada. El peso (en gramos) total en seco de las plantas(x) y el porcentaje del área de la hoja afectada con la plaga (y) semuestran en la tabla.


Regresión lineal simple

(Ecuación de regresión lineal para cada tratamiento.)

yi = β0i + β1ixi ,

Intercepto (β0i ): punto en el que la recta corta al eje yi , cuandoxi = 0.

Pendiente (β1i ): magnitud de incremento (o decremento) de yi porcada unidad de incremento en xi .

(Estimaciones de la pendiente e intercepto)

β1i =Sixy

Sixx

; β0i = y i � − β1i · x i �


Prueba de hipótesis

(Tabla de ANOVA)

Modelo Suma de Grados de Media F

cuadrados libertad cuadrática

Regresión SCR =E 2

xy

Exx1 MCR=SCR Fr =

MCR

MCE

Tratamiento (aj) SCTR= Ayy (aj) t − 1 MCTR=SCTR/(t-1) Ft =MCTR

MCEError (aj) SCE = Eyy (aj) n − t − 1 MCE=SCE/(n-t-1)Total SCT = Tyy n − 1

(Hipótesis)

H0 : β11 = β12 = · · · = β1t = 0 v/s H1 : β1i 6= 0, para algún i

(Reglas para el rechazo de H0)

Fijar α y Rechace H0 si Fr > F1−α(1, n − t − 1)

Rechace H0 si valor-p < 0, 05, donde valor-p= P(F > Fr ).


Prueba de hipótesis

(Hipótesis)

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µt v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j

(Reglas para el rechazo de H0)

Fijar α y Rechace H0 si Ft > F1−α(t − 1, n − t − 1)

Rechace H0 si valor-p < 0, 05, donde valor-p= P(F > Ft).


Ejemplo

Encuentre las sumatorias planteadas anteriormente.Encuentre las ecuaciones de regresión, para cada tratamiento.Pruebe la hipótesis de que el peso está relacionado con el porcentajede daño.pruebe la hipótesis de que existe un efecto atribuible a los nutrientes.

Solución:x = 7,93y = 27,67

Txx =3∑

i=1

5∑j=1

x2ij − n · x2 = 132 + 122 + ...+ 52 − 15 · 7, 932 = 80, 93

Tyy =3∑

i=1

5∑j=1

y2ij − n · y2 = 232 + 212 + ...+ 312 − 15 · 27, 672 = 149, 3

Txy =3∑

i=1

5∑j=1

xijyij − nxy = 13 · 23+ 12 · 21+ ...+ 5 · 31− 15 · 7, 93 · 27, 67 = −95, 3

S1xx =5∑

j=1

x21j − 5x21� = 132 + 122 + ...+ 82 − 5 · 9, 802 = 26, 8

S1yy =5∑

j=1

y21j − 5y21� = 232 + 212 + ...+ 252 − 5 · 24, 42 = 27, 2


Ejemplo

S1xy =5∑

j=1

x1jy1j − 5x1�y1� = 13 · 23+ ...+ 8 · 25− 5 · 9, 8 · 24, 4 = −23, 6

S2xx = 8,8S2yy = 11,2S2xy = -9,4S3xx = 18,8S3yy = 14,0S3xy = -14,0

Exx =3∑

i=1

Sixx = 26, 8+ 8, 8+ 18, 8 = 54, 4

Eyy =3∑

i=1

Siyy = 27, 2+ 11, 2+ 14, 0 = 52, 4

Exy =3∑

i=1

Sixy = −23, 6− 9, 4− 14, 0 = −47, 0

Axx = 80, 93− 54, 4 = 26, 53Ayy = 149, 3− 52, 4 = 96, 93Axy = −95, 3− (−47, 0) = −48, 3


Ejemplo

Tyy (aj) = Tyy −T 2

xy

Txx= 37, 038

Eyy (aj) = Eyy −E 2

xy

Exx= 11, 793

Ayy (aj) = Tyy (aj)− Eyy (aj) = 25, 245

Las ecuaciones de regresión para cada tratamiento serían:

y1 = 33, 030− 0, 881 · x1

y2 = 37, 864− 1, 068 · x2

y3 = 33, 362− 0, 745 · x3


Ejemplo

Modelo Suma de Grados de Media F

cuadrados libertad cuadrática

Regresión 40,607 1 40,607 Fr= 37,875Tratamiento (aj) 25,245 2 12,622 Ft= 11,773

Error (aj) 11,793 11 1,072Total 149,333 14

(Hipótesis)

H0 : β11 = β12 = β13 = 0 v/s H1 : β1i 6= 0, para algún i

Se rechaza H0, pues Fr = 37, 875 > F0,95(1; 11) = 4, 84. Es decir, existeuna relación entre el peso y el daño.

(Hipótesis)

H0 : µ1 = µ2 = µ3 v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j

Se rechaza H0, pues Ft = 11, 773 > F0,95(2; 11) = 3, 98. Es decir, el efectode los nutrientes no es el mismo.


Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS

(Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS)

En SPSS, Analizar -> Modelo lineal general -> Univariante.

1 Seleccionar la variable dependiente y trasladarla al cuadro Variable

dependiente.

2 Seleccionar tanto las variables-factores y trasladarlas a la listaFactores �jos.

3 Seleccionar la covariable y trasladarla al cuadro Covariables

4 Luego, Aceptar.



Este parte no es necesaria, pero la utilizaremos para mostrar el dañopromedio por tratamiento y la veri�cación de la homogeneidad.



Grá�cos -> Cuadros de diálogos antiguos-> Dispersión/Puntos.1 Seleccionar Dispersión simple, luego De�nir.2 Seleccionar la variable dependiente (Eje Y), y la covariable (Eje X).3 La variable Factor (tratamientos) trasládelo a Establecer marcas por.4 Luego, Aceptar.

Peso

141210864

Dañ

o

32

30

28

26

24

22

20

Con nitrógenoCon fertilizanteSin fertilizanteCon nitrógenoCon fertilizanteSin fertilizante

Nutrientes

Sin fertilizante: R2 Lineal = 0,764

Con fertilizante: R2 Lineal = 0,897

Con nitrógeno: R2 Lineal = 0,745

Página 1

Este grá�co, permite visualizar la relación entre el daño y peso. Además sedetecta la diferencia entre los tres tratamientos.


7 -diseño con covarianzas en spss

Documents