FLEXIÓN

- FLEXIÓN EN VIGAS HOMOGENEAS ELÁSTICAS.- VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO: COMPORTAMIENTO BAJO CARGA.

POR: ING. CIVIL JONATHAN LAO

Flexión de vigas homogéneas

Las vigas de hormigón armado no son homogéneas, ya queestán compuestas de dos materiales completamente diferentes.Por ello, los métodos utilizados en su estudio soncompletamente distintos de los normales para el proyecto de lasvigas compuestas totalmente ya sea de acero, madera ocualquier otro material estructural. Sin embargo, los principiosfundamentales utilizados son los mismos que se emplean envigas homogéneas. En resumen estos principios son lossiguientes:En toda sección transversal existen fuerzas internas que puedendescomponerse en componentes normales y tangenciales. Lascomponentes normales a la sección son los esfuerzos a flexión(compresión de un lado del eje neutro y en tensión del otrolado), su función es resistir al momento flector en la sección (verfigura 1). Las componentes tangenciales se conocen comoesfuerzos cortantes y resisten a las fuerzas transversales o decortadura.

Fig.1 Distribución elástica e inelástica de tensiones envigas homogéneas.

Hipótesis Fundamentales

1. Una sección transversal que era plana antes de cargar elelemento, sigue siéndolo después. Esto significa que losalargamientos unitarios en una viga por encima y por debajo deleje neutro son proporcionales a la distancia del mismo.2. La tensión por flexión (f), en cualquier punto, depende delalargamiento en este punto, según el diagrama tensión -deformación del material. Si la viga se compone de un materialhomogéneo cuyo diagrama tensión - deformación en tracción ycompresión es el de la Fig.1, es válida la afirmación siguiente: siϵmáx<ϵp, (ϵp es el límite entre el comportamiento lineal elástico

y no lineal o inelástico) las tensiones de compresión y tracción aambos lados del eje son proporcionales a la distancia a este eje,como se muestra en la Fig.1(b). De lo contrario si ϵmáx>ϵp,

tensiones y deformaciones ya no son proporcionales. En estasregiones, la magnitud de la tensión en cualquier punto, como (f2)en la Fig.1(c), depende del alargamiento ϵ2 en este punto, en

otras palabras para una deformación dada de la viga, la tensiónen un punto es la indicada por el diagrama tensión-deformación.

3. La distribución de las tensiones cortantes (v) en elespesor de la sección depende de la forma de la seccióntrasversal y del diagrama tensión – deformación. Estastensiones de cortadura son máximas en el eje neutro y nulo enlas fibras exteriores (ver figura2). Las tensiones cortantes en losplanos horizontal y vertical que pasan en un punto cualesquierason iguales.

Fig.2 Esfuerzo cortante en una viga rectangularhomogénea.

Fig.2 Trayectorias de esfuerzos en vigasrectangulares homogéneas.

4. Debido a la acción conjunta de las tensiones cortantes y lastensiones de flexión, en cualquier punto de la viga haytensiones inclinadas de tracción y compresión, las mayoresde las cuales forman un ángulo de 90° entre sí. La tensiónmáxima o principal inclinada en cualquier punto viene dadapor la ecuación

𝒕 =𝑓

2±

𝑓2

4+ 𝑣2

Donde f = tensión normal en la fibra, v = tensión de cortaduratangencial. La tensión inclinada forma con la horizontal unángulo α, tal que tg 2 α = 2v/f.

5. Como las tensiones cortantes horizontal y vertical soniguales, y las tensiones de flexión son nulas en el plano neutro,las tensiones inclinadas de tracción y compresión en cualquierpunto de este plano forman un ángulo de 45° con la horizontal,siendo cada una de ellas igual a la tensión cortante unitaria enel punto.

6. Cuando fmáx<fp, la viga se comporta de forma elástica,como se indica en la Fig.1.2(b). en este caso se obtiene losiguiente:

a) El eje neutro pasa por el centro de gravedad de lasección transversal.b) La tensión en cualquier punto dado de la sección transversal

viene dada por la ecuación.

𝑓 =𝑀𝑦

𝐼

Donde f = tensión de flexión a una distancia y de la fibra neutra,M = momento flector externo en la sección, I = momento deinercia de la sección transversal respecto al eje neutro.La máxima tensión por flexión se produce en las fibrasexteriores y vale

𝑓𝑚á𝑥 =𝑀𝑐

𝐼=𝑀

𝑆

Donde c = distancia del eje neutro a la fibra exterior, S = I/c =módulo resistente de la sección transversal.

c) La tensión cortante (la longitudinal es igual a la transversal), v,en cualquier punto de la sección transversal viene dada por

𝒗 =𝑉.𝑄

𝐼. 𝑏𝐸𝑐 3.2 ; 𝑣𝑚𝑎𝑥 =

3𝑣

2𝑎𝑏

Donde V = esfuerzo cortante total en la sección, Q = momentoestático respecto al eje neutro de la parte de la seccióntransversal comprendida entre la línea que pasa por el punto encuestión y es paralela al eje neutro y a la cara más próxima(superior o inferior) de la viga, I = momento de inercia de lasección transversal respecto al eje neutro, b = anchura de laviga en un punto dado.

Vigas de Hormigón Armado: comportamiento bajo la carga.

Las vigas de hormigón son poco eficaces como elementos enflexión porque las resistencias a las tracciones por flexiónes esuna pequeña fracción de su resistencia a compresión. Porconsiguiente tales vigas se rompen por el lado de tracción paracarga pequeñas mucho antes de que se haya utilizado en sutotalidad la resistencia del hormigón en el lado de compresión.Por este motivo se colocan barras de armadura de acero en ellado de tracción, tan próximas a la fibra externa de traccióncomo sea compatible con una adecuada protección del acerocontra la corrosión y fuego.Por lo tanto en una viga de hormigón armado, la tracciónproducida por los momentos flectores es absorbida por laarmadura de acero, mientras que el hormigón es capaz deresistir por si solo las compresiones resultantes.

Para pequeñas cargas a las que está sometida el elemento, lastensiones máximas de tracción son inferiores al módulo de

rotura 2𝜆 𝑓´𝑐, la totalidad del hormigón resiste de forma eficaz a

la tensión de compresión de un lado y de tracción en el otro ladoeje neutro (ver fig. 1b). Además, la armadura deformándose enla misma proporción que el hormigón adyacente, está tambiénsometida a tensiones de tracción correspondientes. En estaetapa las tensiones y deformaciones en el hormigón sonproporcionales como se muestra en la Fig.2.2(c).Cuando la carga se aumenta aparecen grietas en el hormigóncomo se aprecia en la Fig.2.2(d), producto de que se haalcanzado la resistencia de tracción en el hormigón. Entonces,estas grietas se propagan rápidamente hacia arriba hasta llegaral nivel del plano neutro o cerca de él, mientras que este plano asu vez se desplaza hacia arriba con un agrietamiento progresivo.

Fig.3 Comportamiento de una viga dehormigón armado a carga creciente.

Evidentemente en una sección agrietada, esto es, en una seccióntransversal situada en una grieta como define la sección a-a de laFig.3(d), el hormigón no transmite tensiones por tracción, por lotanto es el acero el que debe resistir la totalidad de la tensión.Para cargas moderadas, si las tensiones del hormigón no superanaproximadamente el valor 0.5f’c, tensiones y deformacionescontinúan siendo casi proporcionales. Entonces, la distribución deesfuerzos y deformaciones en la sección agrietada queda definidacomo se muestra en la Fig.3(e). Cuando la carga se hace creceraún más, tensiones y deformaciones siguen creciendo y ya noson proporcionales, la Fig.3(f) muestra la distribución detensiones y deformaciones en un momento próximo a la rotura.Podemos decir que al utilizar cuantías moderadas de aceroen vigas para cierto valor de carga, el acero alcanzara supunto de fluencia, producto de esto se producirá elalargamiento de la armadura que de por si agrietara elhormigón hasta que este falle por aplastamiento bajo unacarga ligeramente mayor a la que produce la fluencia delacero, también la podemos llamar rotura por compresiónsecundaria.

Esta rotura por fluencia es gradual y está precedida por signosvisibles como el ensanchamiento y alargamiento de las grietas yel marcado aumento de la flecha.Por otro lado si se emplean grandes cuantías de armaduras,puede agotarse la resistencia del hormigón antes de que el aceroentre en fluencia. El hormigón se rompe por aplastamientocuando sus deformaciones se hacen tan grandes que destruyen laintegridad del hormigón. Aún no se conocen criterios exactospara determinar el principio de este fenómeno, pero se haobservado que la viga rectangular se rompe por compresióncuando la deformación del hormigón alcanza valoresaproximadamente 0.003 a 0.004 para hormigones con f’ccomprendidos entre 350 y 140 kg/cm2 respectivamente. Por estarazón, es buena práctica dimensionar las vigas de tal forma que,en caso de que sean sobrecargadas, la rotura se inicie porfluencia del acero más bien que por aplastamiento del hormigón.

Resumen- Para pequeñas cargas a las que está sometida el elemento, las

tensiones máximas de tracción son inferiores al módulo de

rotura 2𝜆 𝑓´𝑐. En esta etapa las tensiones y deformaciones en

el hormigón son proporcionales.- Cuando se aumenta la carga aparecen grietas como muestra

de que se esta alcanzando la resistencia a la tracción delhormigón (se produce un agrietamiento progresivo debido alemplazamiento del eje neutro).

- Cuando el hormigón se agrieta, este no transmite tensionespor tracción, por lo tanto es el acero el que debe resistir latotalidad de la tensión ver fig.3(d).

- Para tensiones del hormigón menores que 0.5f´c, tensiones ydeformaciones son proporcionales, cuando la craga se hacecrecer aun mas tensiones y deformaciones ya no sonproporcionales.

- El uso de cuantias modedaras conduce a que el refuerzo de laviga alcance su punto de fluencia y se produzca elagrietamiento del hormigón hasta su falla por aplatamiento.

Tensiones Elásticas: sección no agrietada.Mientras los esfuerzos de tensión en el hormigón sean inferior al

módulo de rotura (2𝜆 𝑓´𝑐), de forma que no aparezcan grietas en

el hormigón por tracción, la distribución de tensiones ydeformaciones indicadas en la Fig.3(c), es esencialmente lamisma que una viga elástica y homogénea. La única diferencia esla presencia del otro material (la armadura del acero).Para la solución de problemas se utilizará el método de la seccióntransformada, que consiste en sustituir la verdadera sección deacero y hormigón por una sección ficticia compuesta desolamente hormigón. En esta sección transformada la superficiereal de la armadura es equivalente a nAs, situada a nivel delacero.En la Fig.4 (a) se muestra la sección transformada de la viga dela Fig.3(b), reemplazando la superficie de acero por nAs. Sinembargo, en la Fig.4(b), se muestra en término del área neta Ag,llenando el área de acero por hormigón.

1. Sustituir la verdaderasección de acero y hormigón poruna sección ficticia compuesta desolamente hormigón. En estasección transformada lasuperficie real de la armadura esequivalente a (n- 1)As verFig.4(b).

Fig.4 Sección transformada nofisurada.

2. Determinar la distancia del eje neutro a la fibra exterior encompresión (y), utilizando los conceptos de la estática para unasuperficie compuesta.3. Determinar el momento de inercia de una sección compuestarespecto a un eje centroidal paralelo, utilizar el teorema de los ejesparalelos.4. Determinar el máximo esfuerzo a tensión fct y a compresión fccdel hormigón.5. Determinar la tensión en el acero fs.

Procedimiento De Análisis.

Problema de aplicación.

Las dimensiones de una viga rectangular son de b= 25 cm, h=63 cm, d = 58 cm, y está armado con tres barras de ϕ 28 mm.

La resistencia cilíndrica del hormigón es de 280 Kg/cm2 y laresistencia a tracción en flexión (módulo de rotura) es de 33.5kg/cm2. El límite de fluencia del acero es fy= 4200 kg/cm2.Determinar las tensiones producidas por el momento flector M= 6 t-m.

Tensiones Elásticas: sección agrietada.Al incrementarse la carga los esfuerzos de tensión hansobrepasado la resistencia de tensión en tracción del hormigón

(>2𝜆 𝑓´𝑐), es evidente que comienzan a desarrollarse grietas en

la parte inferior de la viga. El momento cuando comienzan aformarse las grietas, es decir, cuando los esfuerzos de tensión enla parte inferior de la viga son iguales al módulo de rotura sedenomina momento de agrietamiento, Mcr. Al aumentar la carga,estas grietas se extienden rápidamente hacia la vecindad del ejeneutro, el cual comienza a desplazarse hacia arriba. Las grietasse presentan en aquellos lugares a lo largo de la viga, donde elmomento real es mayor que el momento de agrietamiento.Para la viga de la Fig.5, las varillas de acero se han reemplazadopor un área de concreto ficticio (nAs), que supuestamente puederesistir tensión. También muestra un diagrama que indica lavariación de los esfuerzos de la viga. En el lado de tensión sepresenta una línea punteada porque el diagrama es discontinuo.

Para la viga de la Fig.5, las varillas de acero se han reemplazadopor un área de concreto ficticio (nAs), que supuestamente puederesistir tensión. También muestra un diagrama que indica lavariación de los esfuerzos de la viga. En el lado de tensión sepresenta una línea punteada porque el diagrama es discontinuo.En esa zona se supone que el concreto está agrietado y que no escapaz de resistir tensiones. El valor indicado al lado del acero es elesfuerzo ficticio en el concreto que se presentaría si el concretoestuviera bajo tensiones. Este valor se indica como fs/n porquedebe multiplicarse por n para dar el esfuerzo fs en el acero.

Fig.5 Sección transformada agrietada.

Procedimiento de análisis.

1. Localizar el eje neutro que se supone a una distancia x desdela superficie comprimida de la viga.2. El primer momento del área de compresión de la seccióntransversal de la viga respecto al eje neutro debe ser al primermomento del área de tensión respecto al eje neutro.3.Se resuelve la ecuación de segundo grado completando loscuadrados o utilizando la formula general.4. Después de localizar el eje neutro, se calcula el momento deinercia de la sección transformada (utilizando el teorema de losejes paralelos).5. Determinar los esfuerzos en el concreto y en el acero que secalculan con la fórmula de la flexión.