EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS E GRADIENTE

1 – Determinar as derivadas parciais de 2a ordem das funções abaixo:

a) f(x,y) = x + y + xy b) f(x,y) = sen(xy)

c) f(x,y) = ln(x + y) d) f(x,y) = xy2 + x2y3 + x3y4

2 – Calcular o valor de ∂ z∂ x

no ponto (1, 1, 1) sabendo que a equação: xy + z3x – 2yz = 0 define z como função das

variáveis independentes x e y.

3 – Define-se uma função harmônica como a função que satisfaz a equação de Laplace:

Equação de Laplace tridimensional: ∂2f∂ x2 + ∂

2 f∂ y2 + ∂

2 f∂ z2 =0

Equação de Laplace bidimensional: ∂2f∂ x2 + ∂

2 f∂ y2 =0

A equação de Laplace é importante no estudo das distribuições de temperatura no estado estacionário, e também, no

estudo dos estados estacionários de campos gravitacionais e eletrostáticos.

Verificar se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace:

a) f(x, y) = e-2y.cos(2x)

b) f(x, y, z) = e3x+4y.cos(5z)

4 – Para cada função abaixo calcular dw/dt para o valor de t dado:

a) w = x2 + y2 , x = cost , y = sent , t =

b) w = x/z + y/z , x = cos2t , y = sen2t , z = 1/t , t = 3

c) w = z – sen(xy) , x = t , y = lnt , z = et-1 , t = 1

5 – Calcular as derivadas parciais ∂w∂u

e ∂w∂v

no ponto dado, para as funções abaixo:

a) w = 4exlny , x = ln(u.cosv) , y = u.senv , (u, v) = (2, /4)

b) w = xy + yz + xz , x = u + v , y = u – v , z = uv , (u, v) = (1/2. 1)

6 – Determinar o gradiente de cada função abaixo no ponto dado:

a) f(x, y) = y – x , (2,1)

b) f(x, y) = y – x2 , (-1,0)

c) f(x, y, z) = x2 + y2 – 2z2 + zlnx , (1,1,1)

d) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)-1/2 + ln(xyz) , (-1,2,-2)

7 – Para cada função abaixo determinar a derivada dirigida no ponto Po e na direção do vetor v:

a) f(x, y) = 2xy – 3y2 , Po = (5,5) , v = 4i + 3j

b) f(x, y) = x – (y2/x) , Po = (-1,1) , v = 12i + 5j

c) f(x, y, z) = xy + yz + zx , Po (1,-1,2) , v = 3i + 6j – 2k

d) f(x, y, z) = 3ex.cos(yz) , Po (0,0,0) , v = 2i + j – 2k

8 – Determinar as direções em que as funções abaixo crescem e decrescem mais rapidamente em P o. Encontrar as

derivadas dessas funções nessas direções.

a) f(x, y) = x2 + xy + y2 , Po = (-1,1)

b) f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz) , Po (1,1,1)

9 – Para cada equação determinar o plano tangente e a reta normal no ponto Po na superfície dada.

a) x2 + y2 + z2 = 3 , Po (1,1,1)

b) 2z – x2 = 0 , Po (2,0,2)

Respostas:

1 – a) fxx = 0; fyy = 0 e fxy = fyx = 1

b) fxx = -y2sen(xy); fyy = -x2sen(xy) e fxy = fyx - -xysen(xy)

c) fxx = -1/(x + y)2; fyy = -1/(x + y)2 e fxy = fyx = -1/(x + y)2

d) fxx = 2y3 + 6xy4; fyy = 2x + 6x2y + 12x3y2 e fxy = fyx = 2y + 6xy2 + 12x2y3

2 - -2

4 – a) 0 b) 0 c) 1

5 – a) ∂w∂u

=√2 (ln 2+2 ) e ∂w∂v

=−2√2 ( ln 2−2 ) b) ∂w∂u

=3 e ∂w∂u

=−32

6 – a) –i + j b) 2i + j

c) 3i + 2j - 4k d) (-26/27)i + (23/54)j – (23/54)k

7 – a) -4 b) 31/13 c) 3 d) 2

8 – a) ∇ f=−1

√2i+ 1

√2j e dfds

=√2 e −∇ f= 1

√2i− 1

√2j e dfds

=−√2

b) ∇ f=1

√3(i+ j+k ) e

dfds

=2√3 ) e −∇ f=−1

√3(i+ j+k ) e

dfds

=−2√3

9 – a) plano tangente: x + y + z = 3 reta normal: x = 1 + 2t, y = 1 + 2t e z = 1 + 2t

b) plano tangente: 2x – z – 2 = 0 reta normal: x = 2 – 4t, y = 0 e z = 2 + 2t