,6(57$&,21 - api.fshn.edu.al
TRANSCRIPT
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PROGRAMI I STUDIMIT: Analizë dhe Algjebër
DISERTACION
TEORIA E GAMA-GJYSMËGRUPEVE SI RAST I VEҪANTË I
ASAJ TË GJYSMËGRUPEVE
Doktoranti: Udhëheqës Shkencor:
Fabiana MUHARREMI Prof. Asoc. Elton PASKU
Tiranë, 2021
2
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
DISERTACION
i paraqitur nga
Msc. Fabiana MUHARREMI
Udhëhequr nga
Prof. Asoc. Elton PASKU
Për marrjen e gradës shkencore
DOKTOR
DISERTACION
Teoria e Gama-Gjysmëgrupeve si rast i veҫantë i asaj të Gjysmëgrupeve
Mbrohet me datë..../..../2021 para jurisë
1. Prof. …..………………………………..……………Kryetar
2. Prof. …..……………………………………………...…….Anëtar (Oponent)
3. Prof. …..……………………………………………………Anëtar (Oponent)
4. Prof. …...……………………………………………..Anëtar
5. Prof. ….……………………………………………………..Anëtar
Pasqyra e Lendes
1 Njohuri hyrese 11.1 Gjysmegrupet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Γ-Gjysmegrupet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Gjysmegrupet e renditur dhe Γ-gjysmegrupet e renditur . . . . . . . . 171.4 Gjysmegrupet e lire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Produkti i lire i gjysmegrupeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Sistemet abstrakte te reduktimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Kuazi-idealet dhe bi-idealet ne Γ-gjysmegrupet 272.1 Mbi kuazi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupet . . . . . . . . . . . . . 272.2 Mbi bi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupet . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Mbi disa lloje rregullsish ne Γ-gjysmegrupet 363.1 Disa karakterizime te rregullsise dhe intra-
rregullsise te Γ-gjysmegrupeve me ane te kuazi-idealeve . . . . . . . . 363.2 Disa rezultate mbi Γ-gjysmegrupet e rregullt majtas . . . . . . . . . . 47
4 Mbi ekuivalencen ndermjet Γ-gjysmegupeve te renditur te rregulltdhe gjysmegrupeve te renditur te rregullt 544.1 Renditja ne Ωγ0 dhe disa rezultate paraprake . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Rregullsia ne Γ-gjysmegrupet e renditur si rrjedhim i rregullsise ne
gjysmegrupet e renditur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Disa verejtje mbi Γ-gjysmegrupet inversive 725.1 Disa njohuri paraprake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Dy teoremat e mosekzistences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Γ-gjysmegrupet jane konkrete 796.1 Monoidi mbeshtjelles i nje Γ-gjysmegrupi . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Γ-gjysmegrupet jane konkrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Literatura 84
i
Deklarate
Kapitulli i pare permban njohuri hyrese nga Teoria e Gjysmegrupeve, ajo e Γ-gjysmegrupevesi dhe nga Teoria e Sistemeve te Reduktimit. Materiali teorik i perdorur dhe cituar nekete kapitull gjendet tek [2], [10], [17], [18], [25], [27], [28], [29]. Rezultatet origjinalete autores ndodhen tek kapitujt 2,3,4,5 dhe 6. Nje pjese prej ketyre rezultateve janepublikuar ne [12], [13] dhe [14].
ii
Falenderime
Perfundimi i kesaj teze doktorature ishte nje rrugetim i gjate dhe i mundimshem. Dote doja te shprehja falenderimet e mia te sinqerta per te gjithe ata qe me ndihmuandhe me mbeshteten gjate realizimit te ketij punimi.
Ne menyre te vecante deshiroj ti shpreh mirenjohjen dhe falenderimet e miaudheheqesit tim shkencor Prof.Asoc.Dr. Elton Pasku per ndihmen e pakursyer, sug-jerimet, verejtjet, keshillat dhe nxitjen per te kerkuar gjithmone me te miren nendertimin e ketij punimi shkencor.
Gjithashtu, shpreh mirenjohjen time te thelle per te gjithe profesoret e mi te nderu-ar, qe kane ndihmuar ne formimin tim. Ne vecanti, te ndjerin Prof.Asoc.Dr. EdmondPisha i cili me mundesoi nisjen e ketij rrugetimi por qe fatkeqesisht nuk mundem taperfundonim bashke.
Po ashtu deshiroj te falenderoj miqte dhe koleget e mi per mbeshtetjen e dhenegjate gjithe kesaj periudhe. Vecanerisht mikeshen time Dr. Anjeza Krakullin per in-kurajimin dhe ndihmen e pakursyer qe me ka dhene gjate kesaj kohe.
Se fundmi falenderimet e mia te perzemerta i takojne bashkeshortit e djalit tim,prinderve dhe gjithe familjareve te mi qe me durim e perkushtim me kane kuptuar,nxitur, ndihmuar dhe me kane ndenjur prane gjate gjithe ketij rrugetimi.
iii
Abstrakt: Ne kapitullin e dyte ne provojme se nje numer vetish te kuazi dhe bi-idealeve mini-male tek Γ-gjysmegrupet jane ekuivalente me analoget e tyre tek gjysmegrupet. Ne kapitullin etrete shoqeruar cdo Γ-gjysmegrupi S ne ndertojme ne analogji me [23] nje gjysmegrup Ωγ0
dhe mendihmen e tij japim nje karakterizim te ri te rregullsise se Γ-gjysmegrupeve me anen e kuazi-idealeve.Ne kapitullin e katert, pasi pajisim me nje renditje te pjesshme Ωγ0 , ne tregojme se karakterizimete dhena tek [1] dhe [19] per rregullsine e Γ-gjysmegrupeve te renditur jane ekuivalente me analogete tyre ne teorine e gjysmegrupeve te renditur. Ne kapitullin e peste tregojme se dy nenklasa teklasave te Γ-gjysmegrupeve inversive te llojit te pare dhe te dyte nuk ekzistojne. Ne kapitullin egjashte tregojme se cdo Γ-gjysmegrup mund te realizohet si nje Γ-nengjysmegrup i Γ-gjysmegrupitte njeshave te nje monoidi te caktuar.Fjale kyce: Γ-gjysmegrup, gjysmegrup, kuazi-ideal, bi-ideal, i rregullt majtas, Γ-gjysmegrup i rre-gullt, gjysmegrup i rregullt, Γ-gjysmegrup inversiv, Γ-gjysmegrup i renditur, gjysmegrup i renditur,monoid.Abstract: In the second chapter we prove that a number of properties of quasi and bi-ideals of Γ-semigroups are equivalent with their analogues in semigroup theory. In the third chapter, associatedwith any Γ-semigroup S, we define, in analogy with [23], a semigroup Ωγ0 which we use to give anew characterization of the regularity of Γ-semigroups by means of quasi-ideals. In the fourth chap-ter, after we endow Ωγ0
with a partial order, we prove that the characterizations of the regularityof ordered Γ-semigroups given in [1] and [19] are equivalent with their analogues in the theory ofordered semigroups. In the fifth chapter we prove that two sub classes of two well known classes ofΓ-inverse semigroups do not exist at all. In the sixth chapter we prove that every Γ-semigroup canbe realized as a Γ-subsemigroup of the Γ-semigroup of units of a certain monoid.Keywords: Γ-semigroup, semigroup, quasi-ideal, bi-ideal, left regular, regular Γ-semigroup, regularsemigroup, inverse Γ-semigroup, ordered Γ-semigroup, ordered semigroup, monoid.
iv
Hyrje
Teoria e Γ-gjysmegrupeve ekziston prej me shume se tre dekadash dhe numeron qin-dra artikuj kerkimore dhe shume teza doktoratash. Se bashku me Γ-gjysmegrupet,ne vitet e fundit jane studiuar edhe struktura te tjera si Γ-gjysmegrupet e rendi-tur, Γ-gjysmegrupet fuzzy, etj. Shumica e rezultateve te provuara deri me tani janeΓ-analoge te rezultateve te njohura te gjysmegrupeve te zakonshem per te cilat au-toret e tyre pretendojne te jene pergjithesime te mirfillta te analogeve te tyre neteorine e gjysmegrupeve. Duhet vene ne dukje se ka nje ngjashmeri te habitshmemidis vertetimeve te teoremave origjinale te gjysmegrupeve dhe analogeve te tyretek Γ-gjysmegrupet. Eshte kjo ngjashmeri qe ka nxitur dyshimin midis Γ-skeptikeveqe shume prej rezultateve ne teorine e Γ-gjysmegrupeve jane logjikisht ekuivalenteme analoget e tyre ne gjysmegrupet e zakonshme, dhe rrjedhimisht shumecka eshtearritur deri me tani, eshte thjesht nje perseritje e se njohures ne nje forme te re. Porderi kohet e fundit nuk kishte pasur prova qe keto dyshime te ishin te bazuara ma-tematikisht. Per here te pare ishte E. Pasku i cili ne artikullin e tij [23] zhvilloi njemekanizem me anen e te cilit cdo Γ-gjysmegrupi (S,Γ) i shoqerohet nje gjysmegrupΣγ0 tek i cili duket se jane te koduara vetite themelore te S-se. Perfitimi i perdorimitte Σγ0 u vu re menjehere kur me anen e saj u tregua se versioni i teoremes se Grinitper Γ-semigrupet i vertetuar tek [24] eshte logjikisht ekuivalent me vete teoremen eGrinit. Tek [23] u hodh edhe nje hap me shume kur rezultati i Sen dhe Saha tek [27]per Γ-grupet, u pergjithesua per rastin e Γ-gjysmegrupeve plotesisht te thjeshte. Kyeshte nje rezultat qe nuk ka analog ne teorine standarte te gjysmegrupeve dhe tregonse mekanizmi i ofruar tek [23] mund te sherbeje si platforme per pergjithesime te reja.
Ne kete teze doktorate ne do ta perdorim mekanizmin e [23] per te treguar se disarezultate te spikatura te Γ-gjysmegrupeve jane, ashtu sikurse pritet, ekuivalente meanaloget e tyre te gjysmegrupeve te zakonshem. Kapitulli i dyte i tezes i kushtohetteresisht ketij qellimi. Ne te konsiderohen mes te tjerash, bi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupet dhe tregohet se karakterizimi i minimalitetit te nje bi-ideali tek njeΓ-gjysmegrup me anen e Γ-grupeve, dhene tek [7] eshte ekuivalent me analogun etij tek gjysmegrupet tek [29]. Gjithashtu provohen nje sere rezultatesh per kuazi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupet te cilat kane analoge te mirenjohura ne teorinee gjysmegrupeve dhe kjo behet jo duke imituar vertetimet e rezultateve origjinale,por duke i perftuar keto analoge si rrjedhim te origjinaleve te tyre duke perdorurmekanizmin e ofruar tek [23].
Ne perpjekje per ta shtrire perdorimin e mekanizmit te [23] per te vertetuar ekui-valencen e pohimeve te tjera qe lidhen kryesisht me rregullsine e Γ-gjysmegrupeve, u
v
pa e nevojshme percaktimi i nje tjeter gjysmegrupi te ngjashem me Σγ0 e Paskut icili te ishte edhe i rregullt ne qofte se Γ-gjysmegrupi S kishte qene i tille. Pikerisht,ne kapitullin e trete te tezes ne kemi percaktuar nje gjysmegrup te tille te cilin equajme Ωγ0 dhe e perdorim per te treguar se ka vend tek Γ-gjysmegrupet nje ana-loge e teoremes 9.3 te [29] e cila karakterizon rregullsine e nje gjysmegrupi me anene rregullsise se gjysmegrupit te kuazi-idealeve te veta. Tek Teorema 3.1.10 e tezespercaktohet nje strukture Γ-gjysmegrupi tek bashkesia Q(S) e kuazi-idealeve te njeΓ-gjysmegrupi te dhene S, dhe tregohet se S eshte i rregullt vetem kur Q(S) gezonnje lloj rregullsie te ngjashme me ate te von Neumann-it. Ky eshte nje rezultat i rine teorine e Γ-gjysmegrupeve. Theksojme se nje perpjekje per te pergjithesuar teo-remen 9.3 te [29] eshte bere nga Braja tek [6] por aty Q(S) nuk konsiderohet si njeΓ-gjysmegrup dhe kjo ben qe rezultati te mos jete analogu qe pritet i teoremes 9.3te [29]. Kapitulli mbyllet me vertetimin se disa karakterizime te rregullsise majtas teΓ-gjysmegrupeve te dhena tek [19] jane ekuaivalente me analoget e tyre nga teoria egjysmegrupeve. Per tja aritur kesaj serisht perdoret mekanizmi i [23].
Kapitulli i katert i tezes i kushtohet teresisht vertetimit se nje karakterizim irregullsise se Γ-gjysmegrupeve te renditur me e anen kuazi-idealeve dhene tek [21],apo nje tjeter i njejte me te parin tek [30], jane logjikisht ekuivalent me analogun evet dhene tek Teorema 9.4 e [29]. Per te bere te mundur vertetimin eshte dashur qeΩγ0 e percaktuar me heret te pajiset me nje renditje te pjesshme te induktuar ngarenditja e Γ-gjysmegrupit.
Kapitulli i peste i kushtohet dy llojeve te vecanta te Γ-gjysmegrupeve inversive,atyre qe ne kete teze perkufizohen si Γ-gjysmegrupe inversive te llojit te pare tepalidhur, dhe te llojit te dyte te forte. Keto jane nenklasa te Γ-gjysmegrupe inversivete lloit te pare dhe te dyte perkatesisht te cilat jane studiuar ne menyre te vecantenga O. Beqiri ne tezen e tij te doktorates [3]. Ne tregojme se te tille Γ-gjysmegrupeinversive nuk ekzistojne. Vertetimi i mosekzistences per Γ-gjysmegrupet inversive tellojit te dyte bazohen tek fakti qe gjysmegrupi Ωγ0 qe i shoqerohet Γ-gjysmegrupit,ndonese eshte i rregullt, deshton te jete inversiv. Kurse vertetimi per mosekzistencen ellojit tjeter perdor nje teknike reduktimi te bashkesise se operatoreve Γ ne nje menyresecifike qe bazohet tek palidhshmeria. Mosekzistenca e Γ-gjysmegrupeve inversive neketo raste tregon se sa me risk eshte konsiderimi ne teorine e Γ-gjysmegrupeve isistemeve aksiomatike analoge me ato te teorise se gjysmegrupeve te cilat percaktojnetek kjo e fundit gjysmegrupet inversive.
Ne kapitullin e fundit fillimisht tregohet se per cdo monoid M me grup te njeshaveΓ, mund te percaktohet i ashtequajturi Γ-gjysmegrup (M,Γ) i njeshave i M -se meΓ-shumezim te dhene nga barazimi x ·γ ·y = xγy. Me tej, per cdo Γ-gjysmegrup (S,Γ)ndertohet nje monoid Ω1(S,Γ) i cili ka si grup njeshash pikerisht Γ-en, dhe pastajtregohet se (S,Γ) zhytet izomorfikisht tek Γ-gjysmegrupi i njeshave (Ω1(S,Γ),Γ). Kjotregon natyren konkrete te cdo Γ-gjysmegrupi si edhe afersine tejet te madhe qe kacdo i tille me gjysmegrupet, gje qe eshte evidentuar mjaft here pergjate kesaj teze siedhe tek [23].
vi
Konkluzione
Duke u nisur nga ngjashmeria qe vihet re midis disa rezultateve te teorise se Γ-gjysmegrupeve me analoget e tyre te gjysmegrupeve te zakonshem, E. Pasku ne njeartikull te tij [8] ka zhvilluar nje mekanizem me ane te te cilit cdo Γ-gjysmegrupi(S,Γ) i shoqerohet nje gjysmegrup i emertuar Σγ0 , i cili ka vetite themelore te S-se.Ne kete teze doktorate fillimisht perdorim kete mekanizem per te provuar se disarezultate per kuazi-idealet minimale dhe bi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupe dhedisa pohime per Γ-gjysmegrupet e rregullt majtas, te cilat kane analoget e tyre neteorine e gjysmegrupeve, jane ekuivalente.
Ndertojme me tej nje gjysmegrup te ri Ωγ0 , te ngjashem me te parin, por i cili nalejon qe te bejme perkthimin e rregullsise se nje Γ-gjysmegrupi (S,Γ), ne rregullsinevon Neuman te gjysmegrupeve te zakonshem. Me ane te ketij mekanizmi te ri ne pa-raqesim nje rezultat te ri te teorise se Γ-gjysmegrupeve, icili karakterizon rregullsinee nje Γ-gjysmegrupi me anen e rregullsise se Γ-gjysmegrupit te kuazi-idealeve te veta.Duke perdorur Ωγ0 , provojme gjithashtu se tek Γ-gjysmegrupet e rregullt bi-idealetjane kuazi-ideale, dhe konsiderojme intra-rregullsine duke provuar se Γ- gjysmegrupete tille karakterizohen si ato Γ- gjysmegrupe kuazi idealet e te cileve jane idemporente.Gjithashtu konsiderojme nje Γ-gjysmegrup te renditur (S,Γ,≤S), dhe gjysmegrupinΩγ0 e pajisim me nje relacion renditjeje ≤Ωγ0
qe induktohet nga renditja ne (S,Γ,≤S),dhe tregojme se S eshte i rregullt atehere dhe vetem atehere kur Ωγ0 eshte i rregullt.
Per Γ-gjysmegrupet inversiv tregojme se, dy lloj Γ-gjysmegrupesh inversive, perkufizuartek d3e, ne rrethana te caktuara, nuk ekzistojne. Vertetimi i mosekzistences per Γ-gjysmegrupet inversive te llojit te dyte bazohen tek fakti qe gjysmegrupi Ωγ0 qe ishoqerohet Γ-gjysmegrupit, ndonese eshte i rregullt, deshton te jete inversiv. Kursevertetimi per mosekzistencen e llojit tjeter perdor nje teknike reduktimi te bashkesisese operatoreve Γ ne nje menyre me secifike qe bazohet tek palidhshmeria.
Se fundmi provojme se per cdo monoid M me grup te njeshave Γ, mund tepercaktohet i quajturi Γ-gjysmegrupi (M,Γ) i njeshave i M -se me Γ-shumezim tedhene nga barazimi x · γ · y = xγy. Me tej, per cdo Γ-gjysmegrup (S,Γ) ndertohetnje monoid Ω1(S,Γ) i cili ka si grup njeshash pikerisht Γ-en, dhe pastaj tregohet se(S,Γ) zhytet izomorfisht tek Γ-gjysmegrupi i njeshave (Ω1(S,Γ), ). Me kete tregojmenatyren konkrete te cdo Γ-gjysmegrupi si edhe afersine tejet te madhe qe ka cdo itille me gjysmegrupet.
vii
Kapitulli 1
Njohuri hyrese
1.1 Gjysmegrupet
Perkufizim 1.1.1 Nje grupoid (S, ∗) eshte nje bashkesi jo boshe S mbi te cilen eshtepercaktuar nje veprim binar ∗ me te cilin nenkuptojme nje pasqyrim ∗ : S×S −→ S.
Perkufizim 1.1.2 Cifti i renditur (S, ∗) quhet gjysmegrup ne qofte se veprimi ∗eshte shoqerimtar, domethene, ne qofte se per cdo x, y dhe z ne S,
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (1.1)
Me poshte, si veprim binar ∗ do te perdorim shumezimin, ku ne vend te x ∗ y do teshenojme x · y ose thjesht xy, dhe formula (1.1) mer formen e thjeshte
(xy)z = x(yz)
dhe do te shkruajme thjesht S ne vend te (S, ·).
Perkufizim 1.1.3 Ne qofte se nje gjysmegrup S ka vetine qe,
∀x, y ∈ S, xy = yx
do te themi se S eshte gjysmegrup nderrimtar.
Perkufizim 1.1.4 Nje element e i nje gjysmegrupi S quhet element identik (njesh)i majte (i djathte) i S-se ne qofte se
∀x ∈ S, ex = x (xe = x).
Nje element e i S-se quhet identik i S-se ne qofte se eshte i vertete barazimi:
∀x ∈ S, xe = ex = x.
Gjysmegrupi qe ka element identik quhet monoid. Zakonisht elementin identik neqofte se ekziston, e shenojme me simbolin 1, domethene
∀x ∈ S, x1 = 1x = x
1
themi se 1 eshte element identik (ose njeshi) i S.Nje gjysmegrup S ka te shumten nje element identik. Ne qofte se gjysmegrupi S nukka element identik atehere bashkesise S i shtojme nje simbol 1 dhe caktojme njeveprim te ri ne S ∪ 1 te tille
1s = s1 = s per cdo s ∈ S, dhe 1 · 1 = 1.
Verifikohet lehte se S ∪ 1 eshte monoid.Shenojme
S1 =
S nese S ka element identik,
S ∪ 1 perndryshe
dhe e quajme gjysmegrup me njesh i perftuar nga gjysmegrupi S duke i shtuar ele-mentin identik.
Perkufizim 1.1.5 Nje element f ∈ S i nje gjysmegrupi S quhet zero e S-se ne qoftese eshte i vertete pohimi:
∀a ∈ S, fa = af = f.
Ne qofte se nje gjysmegrup S, me te pakten dy elemente, ka nje element me simbolin0 te tille qe:
∀x ∈ S, 0x = x0 = 0;
atehere 0 e quajme element zero te S, dhe keshtu S eshte nje gjysmegrup me zero. Neqofte se nje gjysmegrup S nuk ka element zero atehere duke i shtuar vete nje elementme simbolin 0 dhe duke percaktuar veprimin ”zgjerim” si me poshte
0s = s0 = 0 per cdo s ∈ S,
perftojme nje gjysmegrup me zero.Shenojme
S0 =
S nese S ka zero dhe | S |> 1,
S ∪ 0 nese nuk ka zero
Ne qofte se A dhe B jane nenbashkesi te nje gjysmegrupi S, atehere shenojme bas-hkesine
AB = ab : a ∈ A, b ∈ B.
Shenojme per lehtesi bA ne vend te bA, dhe Ab ne vend te Ab. Ne qofte se a eshtenje element i nje gjysmegrupi S pa njesh, atehere Sa nuk e permban ate. Shenimet emeposhtme jane standarde:
S1a = Sa ∪ aaS1 = aS ∪ a
S1aS1 = SaS ∪ Sa ∪ aS ∪ a
Shihet se S1a, aS1 dhe S1aS1 jane nenbashkesi te S.
2
Perkufizim 1.1.6 Nje element a i nje gjysmegrupi S pa zero quhet i thjeshtueshemmajtas (djathtas) ne qofte se:
∀(x, y) ∈ S2, ax = ay [xa = ya]⇒ x = y
Gjysmegrupi S pa zero quhet i thjeshtueshem majtas (djathtas) nese cdo element itij eshte i thjeshtueshem majtas (djathtas). Ne qofte se gjysmegrupi S eshte i thjes-htueshem majtas dhe djathtas atehere ai quhet i thjeshtueshem.Ne qofte se gjysmegrupi S eshte me zero kemi perkufizimin.
Perkufizim 1.1.7 Nje element a 6= 0 i nje gjysmegrupi S me zero quhet i thjeshtu-eshem majtas (djathtas) ne qofte se:
∀(x, y) ∈ S2, ax = ay [xa = ya]⇒ x = y
Perkufizim 1.1.8 Nje nenbashkesi jo bosheA e nje gjysmegrupi S quhet nengjysmegrupne qofte se A eshte i mbyllur ne lidhje me veprimin e percaktuar ne S, domethene
∀x, y ∈ A, xy ∈ A ose (A2 ⊆ A).
Perkufizim 1.1.9 Gjysmegrupi S quhet grup (pergjithesisht shenohet G) ne qoftese ka element identik dhe per cdo x ∈ S,∃y ∈ S, xy = yx = e.
Ne qofte se G eshte grup atehere G0 = G ∪ 0 quhet grup me zero.
Perkufizim 1.1.10 Nje nenbashkesi T e gjysmegrupit S eshte nengrup i S vetemne qofte se
aT = Ta = T per cdo a ∈ T.
Perkufizim 1.1.11 Nje element e i nje gjysmegrupi S quhet idempotent ne qofte see2 = e.
Perkufizim 1.1.12 Nje idempotent e jo zero i nje gjysmegrupi S quhet primitiv neqofte se per cdo idempotent f jo zero te S barazimi
ef = fe = f implikon e = f.
Perkufizim 1.1.13 Nje nenbashkesi jo boshe A e gjysmegrupit S quhet semiprimne qofte se
∀a ∈ S, a2 ∈ A, kemi a ∈ A.
Prerja e nengjysmegupeve te nje gjysmegrupi S eshte nengjysmegrup i S-se ose bas-hkesi boshe.Ne qofte se A eshte nje nenbashkesi joboshe e nje gjysmegrupi S, atehere prerja e tegjithe nengjysmegrupeve te S-se qe permbajne bashkesine A quhet nengjysmegrup iS-se i gjeneruar nga A.Le te jene (S1, ·) dhe (S2, ·) dy gjysmegrupe.
3
Perkufizim 1.1.14 Pasqyrimi ϕ : S1 → S2, i tille qe
∀a, b ∈ S, ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b)
quhet homomorfizem i S1 ne S2.
Pergjithesisht veprimet e dy gjysmegrupeve jane te ndryshem, per lehtesi i shenuamnjelloj.Ne qofte se pasqyrimi ϕ eshte injektiv, homomorfizmi quhet monomorfizem.Ne qofte se pasqyrimi ϕ eshte syrjektiv, atehere homomorfizmi quhet epiomorfizem.Ne qofte se pasqyrimi ϕ eshte bijektiv, atehere homomorfizmi quhet izomorfizem.
Perkufizim 1.1.15 Nenbashkesia jo boshe A e nje gjysmegrupi S quhet ideal i majte(L) i S ne qofte se
SA ⊆ A(SL ⊆ L).
Nenbashkesia jo boshe A e gjysmegrupit S quhet ideal i djathte (R) i S ne qofte se
AS ⊆ A(RS ⊆ R).
Nenbashkesia jo boshe A e gjysmegrupit S quhet nje ideal (i dyanshem) nese eshteideal i majte dhe i djathte.
Cdo ideal eshte nje nengjysmegrup por e anasjella nuk eshte e vertete.Bashkesia S gjithashtu eshte nje ideal i majte, i djathte, dhe i dyanshem.Ne qofte se nje ideal A eshte i tille qe A ⊂ S atehere A quhet ideal i mirefillte.Prerja e idealeve te majte (djathte) te nje gjysmegrupi S pa zero eshte bashkesi bosheose ideal i majte (djathte) i S-se.Ne qofte se S eshte gjysmegrup me zero atehere prerja e idealeve te majte (djathte)eshte ideal i majte (djathte).Nenbashkesia joboshe A quhet ideal i majte (djathte) i S-se i perftuar nga bashkesia Ane qofte se ajo eshte prerja e te gjithe idealeve te majte (djathte) te S-se qe permbajnebashkesine A. Madje eshte e vertete se
(A)l = A ∪ SA,(A)r = A ∪ AS.
Ne menyre te ngjashme percaktohet (A) = A∪SA∪AS∪SAS , ideali i S-se perftuarnga bashkesia A.
Perkufizim 1.1.16 Nje ideal i nje gjysmegrupi S quhet ideal minimal ne qofte senuk permban ndonje ideal te mirefillte te S.
Ideali minimal i majte, i cili permban elementin a eshte
S1a = Sa ∪ a,
ideali minimal i djathte qe permban a eshte
aS1 = aS ∪ a
4
dhe ideali minimal qe permban a eshte
S1aS1 = aS ∪ Sa ∪ SaS ∪ a.
Keto ideale quhen ideale kryesore te nje gjysmegrupi S te gjeneruar nga a dheshenohen me (a)l, (a)r dhe (a). Pra
(a)l = Sa ∪ a,(a)r = aS ∪ a(a) = SaS ∪ Sa ∪ aS ∪ a.
Pohim 1.1.17 [29] Le te jene L nje ideal i majte dhe R nje ideali i djathte te njegjysmegrupi S dhe X nje nenbashksi jo-boshe e gjysmegrupit S. Ather LX eshte ideali majte, XR eshte ideal i djathte dhe RL eshte ideal i S. Madje,
RL ⊆ R ∩ L.
Perkufizim 1.1.18 Nje nenbashkesi joboshe Q e nje gjysmegrupi S quhet kuazi-ideali S ne qofte se
QS ∩ SQ ⊆ Q.
Nga perkufizimi i mesiperm eshte e qarte se cdo ideal i njeanshem i nje gjysmegrupiS eshte kuazi-ideal i S-se. Pra kuazi idealet mund te shihen edhe si pergjithesime teidealeve.
Pohim 1.1.19 [29] Prerja e nje bashkesie cfaredo kuazi-idealesh te nje gjysmegrupiS eshte bashkesi boshe ose nje kuazi-ideal i S.
Pohim 1.1.20 [29] Prerja e nje ideali te majte dhe nje ideali te djathte te njegjysmegrupi S eshte nje kuazi-ideal i S-se.
Pohim 1.1.21 [29] Nje nenbashkesi jo-boshe e nje gjysmegrupi S eshte kuazi-ideali S-se atehere dhe vetem atehere kur ajo eshte prerje e nje ideali te majte dhe njeideali te djathte.
Ne qofte se Q eshte kuazi-ideal i gjysmegrupit S atehere, si ideal te majte dhe idealte djathte tek pohimi 1.1.21 mund te marrim perkatesisht bashkesite Q ∪ SQ dheQ ∪QS, dhe kemi:
(Q ∪ SQ) ∩ (Q ∪QS) = Q.
Koncepti i kuazi-idealeve pergjithesohet nga ai i bi-idealeve.
Perkufizim 1.1.22 [18] Nenbashkesia jo-boshe B e nje gjysmegrupi S quhet bi-idealne qofte se B eshte nengjysmegrup i gjysmegrupit S i tille qe
BSB ⊆ B.
5
Per cdo nenbashkesi X te nje gjysmegrupi S, kuazi-ideal (bi-ideal) i S-se perftuarnga bashkesia X eshte prerja e te gjithe kuazi-idealeve (bi-idealeve) qe permbajnebashksin X. Dhe kemi
(X)q = (X)l ∩ (X)r,
(X)q = (X ∪ SX) ∩ (X ∪XS)
Ne qofte se bashkesia X perbehet vetem nga nje element x atehere (x)q, (x)b quhenperkatesisht kuazi-ideali dhe bi-ideali kryesor i S-se gjeneruar nga elementi x, te cilatshenohen:
(x)q = x ∪ (xS ∩ Sx),
(x)b = x ∪ x2 ∪ xSx.
Perkufizim 1.1.23 Relacionet e Green-it ne gjysmegrupin e zakonshem S jane percaktuarsi me poshte:
∀(a, b) ∈ S2, aLb⇔ (a)l = (b)l
∀(a, b) ∈ S2, aRb⇔ (a)r = (b)r
∀(a, b) ∈ S2, aHb⇔ ((a)l = (b)l dhe (a)r = (b)r
ku (a)l, (b)l jane ideale kryesore te majte dhe (a)r, (b)r ideale kryesore te djathte teperftuar nga a, b ∈ S.
Eshte e qarte qe keto relacione jane relacione ekuivalence.R eshte kongruence e dja-thte dhe L eshte kongruence e majte. Prerja e relacioneve ekuivalente L dhe R negjysmegrupin S eshte nje relacion ekuivalence ne te L∩R = H. Klasat e ekuivalencessipas relacioneve te Green-it L,R dhe H qe permbajne elementin a ∈ S shenohenperkatsisht La, Ra dhe Ha.Relacionet L,R dhe H u studiuan per here te pare nga J.A. Green (1951).Ne 1959 B. Kolibiarov perkufizoi relacionin Q ne S si me poshte;
∀(a, b) ∈ S2, aQb⇔ (a)q = (b)q.
Dhe vertetoi pohimin:
Pohim 1.1.24 [29] Relacionet Q dhe H perputhen ne nje gjysmegrup S.
Leme 1.1.25 [29] Ne qofte se elementet a, as(sa) te nje gjysmegrupi S per s ∈ S iperkasin te dyja te njejtes H-klase H te S atehere Hs = H (sH = H).
Teoreme 1.1.26 (J.A. Green (1951)) [29] Ne qofte se elementet a, b dhe ab te njegjysmegrupi S i perkasin te njejtes H-klase H te S, atehere H eshte nje nengrup iS. Ne vecanti, cdo H-klase qe permban nje element idempotent eshte nengrup i S.
6
Vertetim. Ne qofte se elementet a, b dhe ab te nje gjysmegrupi S i perkasin te njejtesH-klase H te S, atehere nga Lema 1.1.25 Hb = H. Le te jene x dhe y dy elementearbitrare te H atehere b dhe xb (∈ xH = H) i perkasin te dyja H. Gjithashtu ngalema rrjedh qe xH = H. Atehere x dhe xy i perkasin te dyja H, keshtu nga lema1.1.25 Hy = H. Meqenese xH = Hy = H per elementet arbitrare x dhe y te H kemiqe H eshte nengrup i S.
Pohim 1.1.27 [29] Le te jete A nje ideal i dyanshem i nje gjysmegrupi S dhe Q njekuazi ideal i A, atehere Q eshte nje bi-ideal i S.
Pohim 1.1.28 [29] Prerja e nje bashkesie cfaredo bi-idealesh te nje gjysmegrupi Seshte bashkesi boshe ose nje bi-ideal i S.
Pohim 1.1.29 [29] Prodhimi i dy kuazi-idealeve Q1, Q2 te nje gjysmegrupi S eshtenje bi-ideal i S.
Teoreme 1.1.30 [29] Nje bi-ideal B i nje gjysmegrupi S pa zero, eshte minimalvetem ne qofte se B eshte nengrup i S.
Pohim 1.1.31 [29] Nje kuazi-ideal Q i nje gjysmegrupi S pa zero eshte minimal neqofte se dhe vetem ne qofte se Q eshte nengrup i S. Per me teper cdo kuazi-idealminimal Q i S mund te shkruhet ne trajten
Q = eS ∩ Se = eSe = eS · Se,
ku e eshte elementi identik i Q, Se dhe eS jane perkatesisht idealet minimale te majtedhe te djathte te S.
Teoreme 1.1.32 [29] Prodhimi i dy kuazi-idealeve minimale Q1, Q2 te nje gjysmegrupiS pa zero eshte serisht nje kuazi ideal minimal i S.
Perkufizim 1.1.33 Nje gjysmegrup S eshte i thjeshte majtas (djathtas) ne qofte se
∀a ∈ S, Sa = S(aS = S).
Perkufizim 1.1.34 Nje gjysmegrup S pa zero quhet i thjeshte nese nuk ka ideale temirefilla. Nje gjysmegrup S me zero quhet 0-i thjeshte ne qofte se
(i) 0 dhe S jane idealet e tij te vetem;
(ii) S2 6= 0.
Perkufizim 1.1.35 (1) Nje gjysmegrup S pa zero quhet plotesisht i thjeshte neqofte se ai eshte i thjeshte dhe ka te pakten nje idempotent primitiv.
(2) Nje gjysmegrup S quhet 0-plotesisht i thjeshte nese ai eshte 0-i thjeshte dhe kate pakten nje idempotent primitiv.
7
Perkufizim 1.1.36 Nje element a i nje gjysmegrupi S quhet i rregullt ne qofte sea ∈ aSa, domethene ne qofte se
∃x ∈ S i tille qe axa = a.
Gjysmegrupi S quhet i rregullt ne qofte se cdo element i S eshte i rregullt.
Koncepti i rregullsise u prezantua per here te pare nga J.von.Neumann ne 1936.
Perkufizim 1.1.37 Nje gjysmegrup S quhet i rregullt majtas (djathtas) ne qofte se
∀a ∈ S, a ∈ Sa2 (a ∈ a2S).
Perkufizim 1.1.38 Nje element a i nje gjysmegrup S quhet intra-i rregullt ne qoftese
∃x, y ∈ S te tille qe a = xa2y.
Gjysmegrupi S quhet intra-i rregullt ne qofte se cdo element i S eshte intra-i rregullt.
Leme 1.1.39 [10] Nje gjysmegrup S eshte majtas (djathtas, intra-)i rregullt ne qoftese dhe vetem ne qofte se cdo ideal i majte ( i djathte, i dyaneshem) i S eshte semiprim.
Teoreme 1.1.40 [10] Ne nje gjysmegrup S, konditat e meposhtme jane ekuivalente.
(A) S eshte i rregullt majtas.
(B) Cdo ideal i majte i S eshte semiprim.
(C) Cdo L-klase e S eshte nengjysmegrup i thjeshte majtas i S.
(D) Cdo L-klase e S eshte nengjysmegrup i S.
(E) S eshte bashkim i ndare nengjysmegrupesh te thjeshte majtas.
(F) S eshte bashkim nengjysmegrupesh te thjeshte majtas.
Vertetim. Ekuivalenca e (A) dhe (B) rrjedh direkt nga lema 1.1.39.Duke supozuar (A) te vertete kemi
aLa2 per cdo a ∈ S.
Marim aLb, meqenese L eshte kongruence e djathte kemi a2Lba. Por kjo implikonbaLa, keshtu L-klasa La qe permban a eshte nje nengjysmegrup i S.Per te provuar qe La eshte i thjeshte majtas, marrim b ∈ La. Provojme qe ca = b perc ∈ La. Pra sic u provua ba ∈ La, keshtu
b = xba per x ∈ S1.
Le te jete c = xb. Po tregojme qe c ∈ La. Meqenese S eshte i rregullt majtas, mundte zgjidhim x = yx2 per y ∈ S. Atehere
b = xba = yx2ba = (yx)(xba) = yxb = yc.
8
Nga b = yc dhe c = xb rrjedh cLb, domethene c ∈ Lb = La. Kjo provon qe (A)implikon (C).(C) implikon (D) direkt.Nese tani supozojme se kemi (D) te vertete, atehere
a2 ∈ La per cdo a ∈ S,
duke qene se La eshte nengjysmegrup i S, kemi a2La, dhe S eshte i rregullt majtas.Qe ketej (D) implikon (A), dhe treguam ekuivalencen e (A),(B),(C) dhe (D).Ne menyre ekuivalente (C) implikon (E), dhe (E) implikon (F ) direkt.Se fundmi tregojme se (F ) implikon (A). Per kete, le te jete a ∈ S. Nga (F ) kemi qea i takon ndonje nengjysmegrupi T te thjeshte majtas te S. Pra a2 ∈ T , dhe xa2 = aeshte i zgjidhshem per x ∈ T .
Bashkesia e gjithe kuazi-idealeve te nje gjysmegrupi S shenohet Q(S).
Teoreme 1.1.41 [29] Ne gjysmegrupin S pohimet e meposhtme jane ekuivalente:
(I) S eshte i rregullt.
(II) Per cdo ideal te djathte R dhe ideal te majte L te S
RL = R ∩ L.
(III) Per cdo ideal te djathte R dhe ideal te majte L te S
(a) R2 = R,
(b) L2 = L,
(c) RL eshte nje kuazi-ideal i S.
(IV) Bashkesia e gjithe kuazi-idealeve te S eshte gjysmegrup i rregullt.
(V) Cdo kuazi-ideal Q i S ka trajten QSQ = Q.
Vertetim. (I) ⇒ (II) Ne qofte se R eshte ideal i djathte dhe L ideal i majte i S,atehere ka vend perfshirja
RL ⊆ R ∩ L
Nga supozimi se S eshte gjysmegrup i rregullt, provohet perfshirja e anasjelle. Perkete marrim a ∈ R∩L. Meqenese S eshte i rregullt ekziston x ∈ S i tille qe a = axa,ku a ∈ R, xa ∈ L keshtu a = axa ∈ RL. Pra
R ∩ L ⊆ RL.
(II) ⇒ (III) Meqenese S eshte gjysmegrup, ideali i dyanshem i tij i gjeneruar ngaR eshte R ∪ SR. Atehere nga (II)
R = R ∩ (R ∪ SR) = R(R ∪ SR) = R2 ∪RSR = R2 ∪ (RS)R = R2.
9
Ne menyre te ngjashme tregohet dhe pika b). Nga (II) dhe pohimi 1.1.20 kemi qeprerja e nje ideali te djathte R me nje ideal te majte L te S eshte kuazi-ideal. Vertet,
(R ∩ L)S ∩ S(R ∩ L) ⊆ RS ∩ SL ⊆ R ∩ L
domethene R ∩ L eshte kuazi-ideal, pra RL eshte kuazi ideal.(III)⇒ (IV ) Kemi gjysmegrupin S me vetine (III). Ne qofte se Q eshte nje kuazi-ideal i S atehere Q ∪ SQ eshte ideali majte i S gjeneruar nga Q. Nga (III, b) kemi
Q ⊆ Q ∪ SQ = (Q ∪ SQ)2
= Q2 ∪Q(SQ) ∪ SQ2 ∪ (SQ)2
⊆ SQ
Njesoj shihet qe Q ⊆ QS. Nga keto relacione dhe nga perkufizimi i Q kemi
Q ⊆ SQ ∩QS ⊆ Q
dometheneQ = SQ ∩QS. (1.2)
Duke u bazuar tek (III, c) ku kemi qe RL eshte kuazi-ideal dhe tek 1.2 marim
RL = SRL ∩RLS, (1.3)
per cdo ideal te djathte R dhe cdo ideal te majte L te S.Tani provohet qe produkti Q1Q2 i dy kuazi-idealeve te cfaredoshme Q1, Q2 te S eshtenje kuazi ideal i S. Nga vetia (III)a) dhe b) kemi:
SQ1Q2 = (SQ1Q2)(S ∪ SQ1Q2)
dheQ1Q2S = (Q1Q2S ∪ S)(Q1Q2S)
Nga 1.3 kemi:
(Q1Q2)S ∩ S(Q1Q2) = (Q1Q2S)(SQ1Q2)S ∩ S(Q1Q2S)(SQ1Q2)
= (Q1Q2S)(SQ1Q2)
⊆ Q1(Q2SQ2)
⊆ Q1Q2,
cka provon qe Q1Q2 eshte kuazi-ideal i S. Meqenese shumezimi percaktuar ne bas-hkesine e gjithe kuazi idealeveQ(S) eshte shoqerimtare, del seQ(S) eshte gjysmegrup.Se fundmi provohet qe Q(S) eshte gjysmegrup i rregullt. Nese Q eshte kuazi-ideal iS, atehere vetia (III)a) dhe b) implikon qe ;
Q = QS ∩ SQ= (QSSQ)S ∩ S(QSSQ)
= QSSQ
= QSQ
⊆ Q
10
Pra Q = QSQ. Kjo provon qe Q(S) eshte gjysmegrup i rregullt.(IV )⇒ (V ) Nese kemi Q nje kuazi ideal te S, atehere, nga (IV ), ekziston nje kuaziideal X i S i tille qe Q = QXQ. Qe ketej
Q = QXQ
⊆ QSQ
⊆ QS ∩ SQ⊆ Q
pra Q = QSQ.(V ) ⇒ (I) Nga pohimi 1.1.20 prerja (a)r ∩ (a)l e idealit kryesor te djathte (a)r meidealin kryesor te majte (a)l te S gjeneruar nga a ∈ S eshte kuazi-ideal i S. Nga (V )rrjedh qe
(a)r ∩ (a)l = ((a)r ∩ (a)l)S((a)r ∩ (a)l)
= (a)rS(a)l
Nisur nga ky rezultat dhe nga fakti qe kemi ideale kryesore dhe qe a ∈ (a)r ∩ (a)lrrjedh qe
a ∈ (a)rS(a)l = aS(a)l = aSa
kjo tregon se cdo element a ∈ S eshte i rregullt, pra S eshte i rregullt.
Teoreme 1.1.42 [29] Pohimet e meposhtme ne lidhje me nje element a te njegjysmegrupi S jane ekuivalente:
(I) a eshte i rregullt.
(II) Per idealin kryesor te djathte (a)r dhe idealin kryesore te majte (a)l te S kemi
(a)r(a)l = (a)r ∩ (a)l.
(III) (a) ideali kryesor i djathte (a)r eshte idempotent;
(b) ideali kryesor i majte (a)l eshte idempotent;
(c) produkti (a)r(a)l eshte nje kuazi-ideal i S.
(IV) Kuazi-ideali kryesor (a)q i S ka trajten (a)q = (a)qS(a)q
Rrjedhim 1.1.43 [29] Le te jete S nje gjysmegrup i rregullt. Atehere pohimet emeposhtme jane te verteta:
(I) Cdo kuazi-ideal Q i S mund te shkruhet ne trajten
RL = R ∩ L
ku R(L) eshte ideal i djathte (i majte) i S i perftuar nga Q.
(II) Ne qofte se Q eshte nje kuazi-ideal i S atehere Q2 = Q3.
11
(III) Cdo bi-ideal i S eshte kuazi-ideal i S.
(IV) Cdo bi-ideal i ndonje ideali te dyanshem te S eshte kuazi-ideal i S
Teoreme 1.1.44 [18] Le te jete S nje gjysmegrup i rregullt dhe B nje nenbashkesijo boshe e S. Nenbashkesia B e S eshte bi-ideal i S atehere dhe vetem atehere kur
B = RL,
ku R (L) eshte ideal i djathte (i majte) i S.
Rrjedhim 1.1.45 [29] Nje gjysmegrup S eshte i rregullt dhe inta-i rregullt ateheredhe vetem atehere kur cdo kuazi-ideal i S eshte idempotent.
Perkufizim 1.1.46 [10] Dy elemente a dhe b te nje gjysmegrupi S quhen inversivete njeri-tjetrit ne qofte se a = aba dhe b = bab.
Ne qofte se nje element a i nje gjysmegrupi S ka nje invers ne S, atehere a eshte irregullt.
Nje element i nje gjysmegrupi S mund te kete me shume se nje invers.
Perkufizim 1.1.47 [10] Gjysmegrupi S quhet inversiv ne qofte se per do elementa ∈ S, ekziston vetem nje element a−1 ∈ S, i tille qe:
a = aa−1a dhe a−1 = a−1aa−1.
Perkufizim 1.1.48 [10] Le te jete S gjysmegrupi ne te cilin eshte perkufizuar ve-primi x → x−1. Ne qofte se S ploteson kushtin qe
∀x ∈ S, xx−1x = x,
atehere S quhet gjysmegrup i rregullt.
1.2 Γ-Gjysmegrupet
Le te jene S dhe Γ dy bashkesi jo boshe. Nje pasqyrim cfaredo nga S × Γ × S ne Sdo te quhet Γ-shumezim ne S dhe shenohet me (·)Γ. Rezultati i ketij shumezimi pera, b ∈ S dhe γ ∈ Γ shenohet me aγb.Sipas Sen dhe Saha [27], nje Γ-gjysmegrup S eshte nje cift i renditur (S, (·)Γ) ku Sdhe Γ jane bashkesi jo boshe dhe (·)Γ eshte nje Γ-shumezim mbi S qe kenaq vetine emeposhtme:
∀(a, b, c, α, β) ∈ S3 × Γ2, (aαb)βc = aα(bβc).
Le te jete S nje Γ-gjysmegrup dhe A,B nenbashkesi te S. Percaktojme bashkesine
AΓB = aγb|a ∈ A, b ∈ B dhe γ ∈ Γ.
12
Per thjeshtesi shkruajme aΓB ne vend te aΓB dhe ne menyre te ngjashme shruajmeAΓb, dhe AγB ne vend te AγB.
Perkufizim 1.2.1 [25] Le te jete S nje Γ-gjysmegrup. Nje nenbashkesi jo boshe S1
e S thuhet se eshte Γ- nengjysmegrup i S ne qofte se S1ΓS1 ⊆ S1.
Perkufizim 1.2.2 Ne qofte se nje Γ-gjysmegrup S ka vetine qe,
∀x, y ∈ S, γ ∈ Γ, xγy = yγx,
do te themi se S eshte Γ-gjysmegrup nderrimtar.
Perkufizim 1.2.3 Le te jene (S1, (·)Γ) nje Γ-gjysmegrup dhe (S2, (·)Γ′) nje Γ′-gjysmegrup.Nje cift pasqyrimesh ϕ1, ϕ2 , ku ϕ1 : S1 → S2 dhe ϕ2 : Γ→ Γ′, quhet homomorfizemi (S1,Γ), ne (S2,Γ
′), ne qofte se
ϕ1(aγb) = ϕ1(a)ϕ2(γ)ϕ1(b)
per cdo a, b ∈ S, γ ∈ Γ.
Perkufizim 1.2.4 [27] Nje nenbashkesi jo boshe A e Γ-gjysmegrupit S eshte ideali majte (i djathte) i S ne qofte se
SΓA ⊆ A, (AΓS ⊆ A),
dhe eshte ideal i S nese eshte ideal i majte dhe i gjathte i S.
Ne menyre analoge me gjysmegrupet e zakonshme, jepet koncepti i idealit te majte,idealit te djathte dhe idealit te dyanshem, te S te perftuar nga A dhe shenohen;
(A)l = A ∪ SΓA
(A)r = A ∪ AΓS
(A) = A ∪ SΓA ∪ AΓS ∪ SΓAΓS
Ne rastin e vecante kur bashkesia A ka vetem nje element a, atehere ideali i ma-jte, ideali i djathte dhe ideali dyanshem te perftuar nga bashkesia a quhen idealekryesore te Γ-gjysmegrupit S te perftuar nga elementi a dhe shenohen si me poshte;
(a)l = SΓa ∪ a(a)r = aΓS ∪ a(a) = SΓaΓS ∪ SΓa ∪ aΓS ∪ a
Perkufizim 1.2.5 [8] Nje bashkesi jo boshe Q e Γ-gjysmegrupit S quhet kuazi-ideali S ne qofte se QΓS ∩ SΓQ ⊆ Q.
13
Perkufizim 1.2.6 [8] Nje bi-ideal i nje Γ-gjysmegrupi S eshte nje Γ-nengjysmegrupB i S i tille qe;
BΓB ∪BΓSΓB ⊆ B.
Ne menyre analoge me gjysmegrupet e zakonshme, jepet koncepti i kuazi-idealit dhebi-idealit, te S te perftuar nga A dhe ne vecanti jepet koncepti i kuazi-idealit dhebi-idealit kryesore te Γ-gjysmegrupit S te perftuar nga elementi a te cilat shenohensi me poshte:
(a)q = (aΓS ∩ SΓa) ∪ a(a)b = aΓSΓa ∪ aΓa ∪ a
Per cdo element a te nje Γ-gjysmegrupi S, ideali i majte, ideali i djathte dhe kuazi-ideali kryesor (a)l, (a)r, (a)q te perftuar nga elementi a, jane prerje e te gjithe idealeveperkatesisht te majte, te djathte dhe kuazi-idealeve te S qe permbajne elementin a.Saha tek [25] ka perkufizuar relacionet e Green-it L,R,H ne Γ-gjysmegrupin S si meposhte:
∀(a, b) ∈ S2, aLb⇔ (a)l = (b)l
∀(a, b) ∈ S2, aRb⇔ (a)r = (b)r
∀(a, b) ∈ S2, aHb⇔ (a)l = (b)l dhe (a)r = (b)r
Mund te provohet lehte qe keto relacione jane relacione ekuivalence. Klasat e ekuiva-lences te elementit a ∈ S, shenohen perkatesisht La, Ra, Ha
Gjithashtu, tek [7] jane perkufizuar edhe relacioni Q,B, si me poshte:
Perkufizim 1.2.7 Relacioni Q ne nje Γ-gjysmegrup S, perkufizohet si
∀(x, y) ∈ S2, aQy ⇔ (x)Γq = (y)Γ
q ,
ku (x)Γq dhe (y)Γ
q jane kuazi-idealet kryesore te perftuara nga x dhe y te S, domethene:
xQy ⇔ x ∪ (xΓS ∩ SΓx) = y ∪ (yΓS ∩ SΓy).
Perkufizim 1.2.8 Relacioni B ne nje Γ-gjysmegrup S, perkufizohet si
∀(x, y) ∈ S2, aBy ⇔ (x)Γb = (y)Γ
b ,
ku (x)Γb dhe (y)Γ
b jane bi-idealet kryesore te perftuara nga x dhe y te S, domethene:
xBy ⇔ x ∪ xΓx ∪ xΓSΓx = y ∪ yΓy ∪ yΓSΓy.
Perkufizim 1.2.9 [19] Nje ideal i Γ-gjysmegrupit S quhet minimal ne qofte se nukpermban ideal te mirefille te S.
14
Perkufizim 1.2.10 [25] Nje Γ-gjysmegrup (S,Γ) quhet Γ-grup ne qofte se Sγ eshtegrup per ndonje (rrjedhimisht per cdo) γ ∈ Γ.
Teoreme 1.2.11 [24] Le te jete (S,Γ) nje Γ-gjysmegrup pa zero dhe γ nje elementi fiksuar i Γ. Atehere Sγ eshte grup ne qofte se dhe vetem ne qofte se ai nuk kakuazi-ideale te mirefilla.
Nga kjo teoreme merret rrjedhimi i meposhtem:
Rrjedhim 1.2.12 Le te jete (S,Γ) nje Γ-gjysmegrup pa zero. Ne qofte se Sγ eshtegrup per ndonje γ ∈ Γ atehere ai eshte grup per cdo γ ∈ Γ.
Leme 1.2.13 [24] Relacionet e ekuivalences Q dheH perputhen ne nje Γ-gjysmegrup
Tek [24] eshte vertetuar dhe Teorema e Green-it per Γ-gjysmegrupet, ne analogji meTeoremen e Green-it per gjysmegrupet e zakonshme:
Teoreme 1.2.14 Ne qofte se elementet a, b dhe aγb te nje Γ-gjysmegrupi S i perkasinte njejtes H-klase H te S, atehere H eshte nengrup i Sγ. Per me teper, per cdo dyelemente h1, h2 ∈ H, elementi h1γh2 i perket H.
Perkufizim 1.2.15 [19] Nje Γ-gjysmegrup S eshte i thjeshte majtas (djathtas) neqofte se
∀a ∈ S, SΓa = S (aΓS = S)
Perkufizim 1.2.16 [19] Nje Γ-gjysmegrup S eshte i thjeshte nese nuk ka ideal temirefille.
Perkufizim 1.2.17 [19] Nje nenbashkesi jo boshe A e Γ-gjysmegrupit S quhet se-miprim ne qofte se per cdo a ∈ S dhe cdo γ ∈ Γ te tilla qe aγa ∈ A, kemi a ∈ A.
Perkufizim 1.2.18 [19] Nje Γ-gjysmegrup S eshte i rregullt majtas, ne qofte se percdo element a ∈ S dhe γ ∈ Γ, a ∈ SΓaγa.
Pohim 1.2.19 [19] Nje Γ-gjysmegrup S eshte i rregullt majtas ne qofte se dhe vetemne qofte se idealet e majte te S jane semiprim.
Teoreme 1.2.20 [19] Nje Γ-gjysmegrup S eshte i rregullt majtas, ne qofte se dhevetem ne qofte se gjendet nje familje Sα | α ∈ I nengjysmegrupesh te thjeshtemajtas te S e tille qe
S =⋃α∈I
Sα
Perkufizim 1.2.21 [25] Nje element a i nje Γ-gjysmegrupi (S,Γ) quhet i rregulltne qofte se gjenden α, β ∈ Γ dhe b ∈ S te tilla qe
aαbβa = a.
Elementi b quhet inversi i a ne lidhje me α dhe β. Ne qofte se cdo element i (S,Γ)eshte i rregullt, atehere (S,Γ) quhet Γ-gjysmegrup i rregullt.
15
Verejme ketu se elementi bβaαb kenaq dy ekuacionet
a = aα(bβaαb)βa
dhebβaαb = (bβaαb)βaα(bβaαb)
Verejme se ne qofte se nje element eshte i rregullt, atehere ai ka nje invers terregullt.
Teoreme 1.2.22 [6] Ne Γ-gjysmegrupin S pohimet e meposhtme jane ekuivalente:
(I) S eshte i rregullt.
(II) Per cdo ideal te djathte R dhe ideal te majte L te S
RΓL = R ∩ L.
(III) Per cdo ideal te djathte R dhe ideal te majte L te S.
(a) RΓR = R,
(b) LΓL = L,
(c) RΓL eshte nje kuazi-ideal i S.
(IV) Cdo kuazi-ideal Q i Γ-gjysmegrupit S ka trajten QΓSΓQ = Q.
Rrjedhim 1.2.23 [6] Le te jete S nje Γ-gjysmegrup i rregullt. Pohimet e meposhtmejane te verteta :
(1) Cdo kuazi-ideal Q i Γ-gjysmegrupit S mund te paraqitet ne trajten
Q = R ∩ L = RΓL
ku R (L) jane idealet e djathte (te majte) te Γ-gjysmegrupit S perftuar nga Q.
(2) Ne qofte se Q eshte kuazi-ideal i Γ-gjysmegrupit S atehere
Q = QΓQ.
(3) Cdo bi-ideal i Γ-gjysmegrupit S eshte nje kuazi-ideal i S.
(4) Cdo bi-ideal i nje ideali te dyanshem te Γ-gjysme grupit S eshte nje kuazi-ideali S.
Pohim 1.2.24 Ne qofte se S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt, atehere cdo bi-ideal i Seshte kuazi-ideal.
Perkufizim 1.2.25 [19] Nje Γ-gjysmegrup S eshte intra-i-rregullt ne qofte se percdo a ∈ S, gjenden x, y ∈ S dhe γ, γ1, γ2 ∈ Γ te tilla qe
a = xγ1aγaγ2y (ose per cdo a ∈ S, a ∈ SΓaΓaΓS).
16
Perkufizim 1.2.26 [26] Le te jete (S,Γ) nje Γ-gjysmegrup, a nje element i tij dheα, β ∈ Γ× Γ. Elementi b i Γ-gjysmegrupit S quhet (α, β)-invers i a-se ne qofte se
a = aαbβa dhe b = bβaαb.
Bashkesia e elementeve te Γ-gjysmegrupit S qe jane (α, β)-inverse te elementit a ∈ S,shenohet V β
α (a).
Perkufizim 1.2.27 [26] Γ-gjysmegrupi (S,Γ) i rregullt i tille qe
∀a ∈ S, |V βα (a)| = 1,
kur ka nje (α, β)- invers te a, quhet inversiv
Domethene, cdo element i nje Γ-gjysmegrupi inversiv ka nje (α, β)-invers unik perndonje cift (α, β) ∈ Γ × Γ. Ne doktoraten e O. Beqirit [3], keto Γ-gjysmegruperiemertohen si Γ-gjysmegrupe te llojit te pare.Nje tjeter lloj i Γ-gjysmegrupeve inversive te percaktuar tek [3] jane Γ-gjysmegrupetinversive te llojit te dyte te cilet perkufizohen si me poshte.
Perkufizim 1.2.28 Γ-gjysmegrupe inversive te llojit te dyte quhen ato Γ-gjysmegrupe(S,Γ) qe kenaqin vetine qe per cdo a ∈ S ekziston vetem nje (α, β) ∈ Γ× Γ i tille qegjendet vetem nje b ∈ V β
α (a).
Kuptohet qe kur b eshte (α, β)-inversiv i a-se, V βα (a) 6= φ dhe elementi a eshte
(β, α)-inversiv i b-se.
1.3 Gjysmegrupet e renditur dhe Γ-gjysmegrupet
e renditur
Nocionet e meposhtme jane trajtuar tek [17], [30], [20], [28], [21], [22].
Nje relacion binar w ne nje bashkesi X quhet nje renditje e pjesshme nese:
1) (x, x) ∈ w,∀x ∈ X, domethene w eshte refleksiv.
2) (∀x, y ∈ X)(x, y) ∈ w, dhe (y, x) ∈ w ⇒ x = y, domethene w eshte antisime-trike
3) (∀x, y, z ∈ X)(x, y) ∈ w, dhe (y, z) ∈ w ⇒ (x, z) ∈ w, domethene w eshtekalimtar.
Ne vend te shenimit (x, y) ∈ w shkruajme x ≤ y.
Perkufizim 1.3.1 Nje gjysmegrup i renditur (S, ·,≤) eshte nje poset (bashkesi sebashku me nje renditje te pjesshme) (S,≤) dhe njekohesisht nje gjysmegrup (S, ·) itill qe:
∀(a, b, x) ∈ S3, a ≤ b sjell qe xa ≤ xb dhe ax ≤ bx.
17
Le te jete T nje nengjysmegrup i S dhe H nje nenbashkesi jo boshe e T , shenojme
(H]T = x ∈ T | x ≤ h, per ndonje h ∈ H.
Ne qofte se T = S, atehere (H]T e shenojme thjesht
(H] = x ∈ S | x ≤ h, per ndonje h ∈ H.
Eshte e qarte qe S = (S], dhe per A,B nenbashksi te S kemi;
1) A ⊆ (A];
2) Ne qofte se A ⊆ B atehere (A] ⊆ (B];
3) ((A]] = (A];
4) (A](B] ⊆ (AB];
Perkufizim 1.3.2 Nje nenbashkesi jo boshe A e S quhet ideal i majte (i djathte) iS ne qofte se:
(1) SA ⊆ A(AS ⊆ A) dhe
(2) nese a ∈ A dhe S 3 b ≤ a, atehere b ∈ A, domethene, nese (A] = A.
A eshte ideal i S ne qofte se A eshte ideal i majte dhe i djathte i S.
Perkufizim 1.3.3 [20] Ne qofte se X eshte nje nenbashkesi e S atehere idealin emajte, idealin e djathte dhe idealin me te vogel te S qe permban X i shenojme
L(X) = (X ∪ SX];
R(X) = (X ∪XS];
I(X) = (X ∪XS ∪ SX ∪ SXS]
Ne qofte se X = a, a ∈ S shenojme idealin kryesor te majte, idealin kryesor tedjathte dhe idealin kryesor te S te perftuar nga a, per a ∈ S perkatesisht si meposhte:
L(a) = t ∈ S|t ≤ a ose t ≤ ya per ndonje y ∈ S, L(a) = (a ∪ Sa]
R(a) = t ∈ S|t ≤ a ose t ≤ ax per ndonje x ∈ S, R(a) = (a ∪ aS]
dhe
I(a) = t ∈ S|t ≤ a ose t ≤ ya per ndonje y ∈ Sose t ≤ ax per ndonje x ∈ Sose t ≤ xay per ndonje x, y ∈ S
I(a) = (a ∪ aS ∪ Sa ∪ SaS].
18
Perkufizim 1.3.4 Nje nenbashksi jo boshe Q e nje gjysmegrupi te renditur S quhetkuazi-ideal i S nese:
(1) (QS] ∩ (SQ] ⊆ Q dhe
(2) Nese a ∈ Q dhe S 3 b ≤ a, atehere b ∈ Q, domethene (Q] = Q
Perkufizim 1.3.5 Nje nengjysmegrup B i nje gjysmegrupi te renditur S quhet bi-ideal i S nese
(1) BSB ⊆ B dhe
(2) (B] = B.
Pohim 1.3.6 Cdo kuazi-ideal i nje gjysmegrupi te renditur S eshte gjithashtu njebi-ideal i S.
Perkufizim 1.3.7 Nje gjysmegrup i renditur S quhet i thjeshte majtas (djathtas)ne qofte se S eshte i vetmi ideal i majte (i djathte) i S, domethene, ne qofte se Aeshte ideal i majte (i djathte) i S, atehere A = S.
Perkufizim 1.3.8 Nje nenbashksi A e nje gjysmegrupi te renditur S quhet idempo-tent ne qofte se A = (A2].
Perkufizim 1.3.9 Nje gjysmegrup i renditur S quhet i rregullt ne qofte se per cdoa ∈ S ekziston x ∈ S i tille qe a ≤ axa.Ne menyre ekuivalente, ne qofte se a ∈ (aSa] per cdo a ∈ S ose nese A ⊆ (ASA] perndonje A ⊆ S.
Perkufizim 1.3.10 Nje gjysmegrup i renditur S quhet i rregullt majtas (djathtas)ne qofte se per cdo a ∈ S ekziston x ∈ S i tille qe
a ≤ xa2 (a ≤ a2x).
Ne menyre ekuivalente, nese a ∈ (Sa2] (a ∈ (a2S]) per cdo a ∈ S.
Perkufizim 1.3.11 Nje gjysmegrup i renditur S eshte i thjeshte majtas (djathtas)atehere dhe vetem atehere kur per cdo a ∈ S, kemi
(Sa] = S, ((aS] = S).
Nje gjysmegrup i renditur S eshte i thjeshte majtas dhe i thjeshte djathtas ateheredhe vetem atehere kur nuk permban bi-ideale te mirefille.
Leme 1.3.12 (Lema 2.2 [30]) Per cdo ideal te djathte A dhe ideal te majte B te njegjysmegrupi te renditur S, A ∩B eshte nje kuazi-ideal i S.
19
Pohim 1.3.13 [30] Nje gjysmegrup i renditur S eshte i rregullt atehere dhe vetematehere kur per cdo ideal te djathte A dhe cdo ideal te majte B te S,
A ∩B ⊆ (AB],
ne menyre ekuivalente,A ∩B = (AB].
Teoreme 1.3.14 (Teorema 3.2 [30]) Ne gjysmegrupin e renditur S pohimet e meposhtmejane ekuivalente:
(i) S eshte i rregullt;
(ii) per cdo ideal te djathte R dhe cdo ideal te majte L te S, kemi:
(RL] = R ∩ L;
(ii) per cdo ideal te djathte R dhe cdo ideal te majte L te S, kemi:
(a) (R2] = R,
(b) (L2] = L,
(c) (RL]eshte kuazi ideal i S;
(iv) (LS, ) dhe (RS, ) jane banda (gjysmegrupe idempotente) dhe (QS, ) eshtenengjysmegrup i (PS, ) perftuar nga (LS, ) dhe (RS, );
(v) (QS, ) eshte nengjysmegrup i rregullt i gjysmegrupit (PS, );
(vi) Cdo kuazi-ideal Q i S ka trajten Q = (QSQ];
(vii) (QS, ,⊆) eshte nengjysmegrup i rregullt i gjysmegrupit te renditur (PS, ,⊆).
Vertetim. Ne vertetimin e kesaj teoreme jemi te interesuar per ekuivalencen e trepohimeve te para.(i)⇒ (ii) Ne qofte se R eshte ideal i djathte dhe L ideal i majte i S, atehere ka vendperfshirja
(RL] ⊆ R ∩ L.
Nen supozimin se S eshte i rregullt, provohet perfshirja e anasjelle. Per kete marrima ∈ R ∩ L. Meqenese S eshte i rregullt ekziston x ∈ S i tille qe a ≤ axa, kua ∈ R, xa ∈ L keshtu axa ∈ RL. Pra a ∈ (RL], rrjedhimisht
R ∩ L ⊆ (RL].
(ii)⇒ (iii) Supozimi (ii) dhe lema 1.3.12 tregojne se (RL] eshte nje kuazi-ideal i S.Meqenese ideali i dyanshem i S i perftuar nga R eshte (R ∪ SR] nga pika (ii) kemi:
R = R ∩ (R ∪ SR] = (R(R ∪ SR]],
20
pra(R2 ⊆ (R(R ∪ SR]] = R.
Anasjellas, marrim x ∈ (R(R ∪ SR]]. Atehere x ≤ r1z per r1 ∈ R, z ∈ (R ∪ SR]. Perz ∈ (R ∪ SR] kemi z ≤ w, ku w = r2 ∈ R ose w = sr3 per ndonje s ∈ S,dhe r3 ∈ R.Qe ketej
x ≤ r1w = r1r2 ∈ R2
osex ≤ r1w = r1(sr3) = (r1s)r3 ∈ R2
pra x ∈ (R2].Si rrjedhim R ⊆ (R2], domethene R = (R2]. Ne menyre ekuivalenteprovohet qe R = (R2], domethene jane idempotente. Me tej tek [30] eshte provuardhe ekuivalenva e pikave te tjera.
Teoreme 1.3.15 (Rrjedhimi 3.4 [30]) Ne gjysmegrupin e renditur te rregullt S po-himet e meposhtme jane te verteta:
(i) Cdo kuazi-ideal Q i S mund te shkruhet si
Q = R ∩ L = (RL],
ku R(L) eshte ideal i djathte (majte) i S gjeneruar nga Q;
(ii) ne qofte se Q eshte kuazi-ideal i S, atehere (Q2] = (Q3]
(iii) cdo bi-ideal i S eshte kuazi-ideal i S;
(iv) cdo bi-ideal i ndonje ideali te dyanshem te S eshte kuazi-ideal i S;
(v) per cdo L1, L2 ∈ LS dhe R1, R2 ∈ RS kemi:
L1 ∩ L2 ⊆ (L1L2] dhe R1 ∩R2 ⊆ (R1R2]
Perkufizim 1.3.16 Nje Γ-gjysmegrup i renditur S, (shkurtimisht po−Γ-gjysmegrup)perkufizuar nga Sen dhe Seth [28], eshte nje Γ-gjysmegrup se bashku me nje relacionrenditjeje ≤ te tille qe
a ≤ b sjell aγc ≤ bγc dhe cγa ≤ cγb,
per cdo c ∈ S dhe γ ∈ Γ.
Per H ⊆ S, shenohet (H] = t ∈ S | t ≤ a per ndonj a ∈ H.
Perkufizim 1.3.17 Nje nenbashksi jo boshe A e nje Γ-gjysmegrupi te renditur Squhet ideal i majte (i djathte) i S ne qofte se
(1) AΓS ⊆ A(SΓA ⊆ A) dhe
(2) ne qofte se a ∈ A dhe S 3 b ≤ a, atehere b ∈ A.
21
Nje ideal i majte (i djathte) i S, mund te shkruhet si (A] = A. Nenbashkesia A quhetideal i Γ-gjysmegrupit te renditur S ne qofte se eshte dhe ideal i majte dhe ideal idjathte i S.
Perkufizim 1.3.18 Ne qofte se X eshte nje nenbashkesi e Γ-gjysmegrupit S atehereidealin e majte (e djathte) me te vogel te S qe permban X, e shenojme
L(X) = (X ∪ SΓX]
(R(X) = (X ∪XΓS]).
Ne qofte se X = a, a ∈ S, shenojme idealin kryesor te majte, idealin kryesor tedjathte te Γ-gjysmegrupit S te perftuar nga a, perkatesisht si me poshte:
L(a) = t ∈ S|t ≤ a ose t ≤ yγa per ndonje y ∈ S, γ ∈ Γ, ose L(a) = (a ∪ SΓa],
R(a) = t ∈ S|t ≤ a ose t ≤ aγx per ndonje x ∈ S, γ ∈ Γ, ose R(a) = (a ∪ aΓS].
Perkufizim 1.3.19 Nje nenbashksi A e nje Γ-gjysmegrupi te renditur S quhet idem-potente ne qofte se A = (AΓA].
Perkufizim 1.3.20 Nje nenbashkesi jo boshe Q e nje Γ-gjysmegrupi te renditur Squhet kuazi-ideal i S ne qofte se
(1) (QΓS] ∩ (SΓQ] ⊆ Q dhe
(2) ne qofte se a ∈ Q dhe S 3 b ≤ a, atehere b ∈ Q.
Perkufizim 1.3.21 Nje nengjysmegrup B i nje Γ-gjysmegrupi te renditur S quhetbi-ideal i S ne qofte se
(1) BΓSΓB ⊆ B dhe
(2) ne qofte se a ∈ B dhe S 3 b ≤ a, atehere b ∈ B, domethene (B] = B.
Perkufizim 1.3.22 Nje Γ-gjysmegrup i renditur S quhet i rregullt nese per cdo a ∈ Sekziston x ∈ S dhe γ1, γ2 ∈ Γ te tille qe
a ≤ γ1xγ2a.
Perkufizim 1.3.23 Nje Γ-gjysmegrup i renditur S quhet i rregullt majtas (djathtas)ne qofte se
a ∈ (SΓaΓa](a ∈ (aΓaΓS]),
per cdo a ∈ S.
Ne Γ-gjysmegrupin e renditur te rregullt koncepti i bi-idealit dhe kuazi-idealitperputhen.
22
Pohim 1.3.24 [21] Nje Γ-gjysmegrup i renditur S eshte i rregullt ne qofte se dhevetem ne qofte se
a ∈ (aΓSΓa],
per cdo a ∈ S.Ne menyre ekuivalente, ne qofte se
A ⊆ (AΓSΓA],
per cdo A ⊆ S.
Pohim 1.3.25 [21] Nje Γ-gjysmegrup i renditur S eshte i rregullt ne qofte se dhevetem ne qofte se per cdo ideal te djathte A dhe cdo ideal te majte B te S, kemiA ∩B ⊆ (AΓB],ne menyre equivalente,A ∩B = (AΓB].
Teoreme 1.3.26 [21] Nje Γ-gjysmegrup i renditur S eshte i rregullt atehere dhevetem atehere kur idealet e njeanshem jane idempotente dhe per cdo ideal te djathteA dhe cdo ideal te majte B te S, kemi (AΓB],eshte kuazi-ideal i S.
1.4 Gjysmegrupet e lire
Materiali ne kete paragraf eshte mare nga [17].Le te jete A nje bashkesi jo boshe. Le te jete A+ bashkesia e te gjithe fjaleve te
fundme, jo boshe a1, a2, ..., am ne ”alfabetin” A.Nje veprim binar percaktohet ne A+ sipas paraqitjes
(a1a2...am)(b1b2...bn) = a1a2...amb1b2...bn.
Ne lidhje me kete veprim, A+ eshte nje gjysmegrup, i quajtur gjysmegrup i lire neA. Bashkesia A eshte nje bashkesi perftuese e vetme minimale per A+. Domethene, neidentifikojme cdo element a nga A me fjalen nje shkronjore a nga A+. Ose ndryshe,i referohemi pasqyrimit
α : A→ A+
qe lidh cdo a nga Ame fjalen nje shkronjore korresponduese ne A+ si zhytjen standartete A ne A+. Ne qofte se shtojme nje identik 1 ne A+, fitojme monoidin e lire ne Adhe e mendojme 1 si fjalen boshe (qe nuk permban asnje shkronje).Ne qofte se |A| > 1 atehere A+ nuk eshte nderrimtar.Nje perkufizim abstrakt i nje gjysmegrupi te lire ne A jepet si me poshte:
Perkufizim 1.4.1 F eshte gjysmegrup i lire ne A ne qofte se:
(F1) Ekziston nje pasqyrim α : A→ F ;
(F2) per cdo gjysmegrup S dhe cdo pasqyrim φ : A→ S ekziston vetem nje morfizemψ : F → S i tille qe diagrami
A α //
φ
F
ψ
S
23
eshte nderrimtar (komutativ).
Verifikohet lehte qe ψ eshte nje morfizem dhe se αψ = φ.Ne qofte se S eshte nje gjysmegrup dhe A eshte nje bashkesi perfuese e S ateherevetia (F2) percakton nje morfizem ψ te A+ ne S.Keshtu S ∼= A+/kerψ, dhe meqenese gjithmone mund te gjejme nje bashkesi perftueseper S, themi se cdo gjysmegrup mund te shprehet si nje izomorfizem i heresit te njegjysmegrupi te lire ndaj nje kongruence.
1.5 Produkti i lire i gjysmegrupeve
Materiali ne kete paragraf eshte mare nga [17].Per nje familje te indeksuar
Si : i ∈ I
gjysmegrupesh cifte-cifte te ndare, ne tregojme se si te formojme nje gjysmegrupF = Π∗Si : i ∈ I, produktin te lire te familjes Si : i ∈ I. Na ndihmon fillimishtte prezantojme shenimet e meposhtme. Ne qofte se a ∈ ∪Si : i ∈ I atehere gjendetvetem nje k ∈ I e tille qe a ∈ Sk, ku k eshte nje indeks i a dhe shkruajm k = σ(a).Le te jete F e perbere nga te gjitha vargjet e fundme
(a1, a2, ..., am),
ku m(≥ 1) eshte numer i plote, ku ar ∈ ∪Si : i ∈ I per r = 1, 2,m dhe kuσ(ar) 6= σ(ar+1) per r = 1, 2,m−1. Le te jene a = (a1, a2, ..., am) dhe b = (b1, b2, ..., bn)elemente te F . Percaktojme produktin e a dhe b ne F si me poshte;
ab =
(a1, a2, ..., am, b1, b2, ..., bn) nese σ(am) 6= σ(b1)(a1, a2, ..., amb1, b2, ..., bn) nese σ(am) = σ(b1)
Provohet lehte se ne qofte se a, b, c ∈ F atehere (ab)c = a(bc). Por ne qofte segjysmegrupet Si jane grupe, gjysmegrupi F qe ne percaktuam nuk eshte produktii lire i grupeve sic jepet normalisht tek teoria e grupeve. Kjo sepse tek produkti ilire i grupeve gjithe elementeve identik te grupeve individual jane te identifikueshem,ndersa tek produkti i lire i gjysmegrueve ato mbeten te vecante. Per te njejten arsyethemi se F nuk eshte monoid edhe nese gjithe gjysmegrupet Si jane monoide. Porne mund ta perftojme produktin e lire monoid te marre nga F . Keshtu meqenese Feshte nje gjysmegrup, midis elementeve te F ka vargje (si) me gjatesi nje, ku si ∈ Si.Ne fakt F perftohet nga vargje me gjatesi nje, duke qene se
(a1, a2, ..., am) = (a1)(a2)...(am)
per cdo (a1, a2, ..., am) nga F . Zakonisht vargjet me gjatesi nje shenohen pa kllapa, dheF konsiderohet si e perbere nga fjale te fundme jo boshe ne alfabetin ∪Si : i ∈ I.
24
Shumezimi i fjaleve (a1, a2, ..., am) dhe (b1, b2, ..., bn) atehere eshte thjesht nje ceshtjekombinimi, ne qofte se σ(am) 6= σ(b1):
(a1a2...am)(b1b2...bn) = a1a2...amb1b2...bn
ndersa kur σ(am) = σ(b1) :
(a1a2...am)(b1b2...bn) = a1a2...am−1cb2...bn
ku c eshte produkti ne Si i am dhe b1.Per lehtesi mund te shkruajme Π∗Si ne vend te Π∗Si : i ∈ I dhe ne qofte seI = 1, 2, , n eshte e fundme mund te shkruajme S1∗S2∗∗Sn ne vend te Π∗Si : i ∈ I.
Pohim 1.5.1 Le te jete F = Π∗Si : i ∈ I produkti i lire i nje familje Si : i ∈ Igjysmegrupesh cifte-cifte te ndare. Atehere per cdo i ∈ I gjendet nje monomorfizemθi : Si → F dhene nga
siθi = (si), (si ∈ Si)
duke shoqeruar elementin si ∈ Si me nje fjale nje shkronjeshe (si). Ne qofte se Teshte nje gjysmegrup per te cilin gjendet nje morfizem ψi : Si → T per cdo i, ateheregjendet nje morfizem i vetem γ : F → T me vetine qe diagrami
Siθi //
ψi
F
γ
T
eshte nderrimtar per cdo i ∈ I.
1.6 Sistemet abstrakte te reduktimit
Materiali ne kete paragraf eshte mare nga [2].Nje sistem ne te cilin fjalet (shprehjet) e nje gjuhe mund te shnderrohen sipas nje
bashkesie te fundme rregullash te rishkruara quhet sistem reduktimi.Sistemet e reduktimit njihen gjithashtu si sisteme te rishkrimit te vargjeve ose sistemete rishkrimit te termave, termi ”sistem i reduktimit” eshte me i pergjithshem.Nje sistem i reduktimit abstrakt eshte nje cift (A,→), ku reduktimi → eshte nje re-lacion binar ne bashkesine A, domethene →∈ A × A . Shkruajme a → b ne vend te(a, b) ∈→.
Ne vijim shenojme me+−→ mbylljen kalimtare te →, me
∗−→ mbylljen kalimtare reflek-tive te →, dhe me ↔ ∗ relacionin e ekuivalencess se perftuar nga →.Do te quajme a ∈ A te reduktueshem vetem ne qofte se ekziston b ∈ A e tille qe
a+−→ b, ne te kundert do ta quajme te pareduktueshem ose ne forme normale.
E quajme b nje forme normale te a vetem ne qofte se a∗−→ b dhe b eshte i pa reduk-
tueshem. Nese ndodh qe b eshte i vetem, atehere shenojme b me a ↓.
25
Do te quajme a dhe b te bashkueshem vetem ne qofte se ekziston c e tille qe a∗←− c
∗−→ b,ne kete rast shkruajme a ↓ b.Themi se b quhet pasardhes i drejteperdrejte i a vetem ne qofte se a → b dhe themise b quhet pasardhes i a vetem ne qofte se a
∗−→ b.
Perkufizim 1.6.1 Nje reduktim → quhet:
• Konfluent ne qofte se dhe vetem ne qofte se
a∗←− c
∗−→ b⇒ a ↓ b.
• Gjysme-konfluent ne qoftese dhe vetem ne qofte se
a← c∗−→ b⇒ a ↓ b.
• Lokalisht-konfluent ne qofte se dhe vetem ne qofte se
a← c→ b⇒ a ↓ b.
• Perfundues(ose Noetherian) ne qofte se dhe vetem ne qofte se nuk ka vargjete pafundme monoton zbritese
a0 → a1 → ...
• Normalizues ne qofte se dhe vetem ne qofte se do element ka nje forme nor-male.
• Konvergjent ne qofte se dhe vetem ne qofte se eshte konfluent dhe perfundues.
Leme 1.6.2 Nje sistem Noetherian eshte konfluent nese eshte lokalisht konfluent.
Nje nocion i rendesishem eshte ai i nje sistemi te reduktimit te plote.Nje sistem reduktimi (A,→) quhet i plote ne qofte se dhe vetem ne qofte se cdoelement ka nje forme normale te vetme.Karakterizimi i meposhtem i sistemeve te plota, sipas Newman, eshte i rendesishemsepse perkthen plotesine ne aspektin e konfluences dhe perfundueshmerise.
Leme 1.6.3 Nje sistem reduktimi eshte i plote ne qofte se dhe vetem ne qofte se aieshte Noetherian.
Arsyeja pse ndonjehere sistemet e plota quhen konvergjente eshte kjo leme. Nga kom-binimi i dy lemave te mesiperme perftohet lema e meposhtme.
Leme 1.6.4 Nje sistem reduktimi eshte i plote ne qofte se dhe vetem ne qofte se aieshte Noetherian dhe lokalisht-konfluent.
26
Kapitulli 2
Kuazi-idealet dhe bi-idealet neΓ-gjysmegrupet
2.1 Mbi kuazi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupet
Ne [23], Pasku percaktoi nje mekanizem me ane te te cilit cdo Γ-gjysmegrupi S ishoqerohet nje gjysmegrup i zakonshem Σ ne nje menyre te tille qe kuazi-idealet eS jane ne korrespondence injektive me ato te Σ. Ky mekanizem mund te perdoretper te vertetuar cdo pohim qe perfshin kuazi-idealet i cili eshte formuluar per Γ-gjysmegrupet dhe dihet se ka nje analog per gjysmegrupet e zakonshem duke e marreate si nje implikim te pohimit te fundit duke perdorur teknika te mirenjohura te teo-rise se gjysmegrupeve. Ne do te provojme ne kete paragraf qe cdo kuazi-ideal minimali nje Γ-gjysmegrupi mund te shprehet si prerje e nje ideali minimal te djathte me njeideal minimal te majte. Gjithashtu do te tregojme qe produkti i dy kuazi-idealeve mi-nimale ne nje Γ-gjysmegrup eshte perseri kuazi-ideal minimal. Te dy pohimet dihetse jane te verteta per gjysmegrupet e zakonshme dhe jane provuar nga disa autoreper Γ-gjysmegrupet duke imituar vertetimet korresponduese per gjysmegrupet. Nenuk bejme te njejten gje ketu por tregojme se si perdoret mekanizmi i ofruar ne ar-tikullin e Paskut per t’i marre ato si rrjedhime te menjehershme. Per kete fillimishtprezantojme mekanizmin e paraqitur tek [23]:
Le te jete F nje gjysmegrup i lire mbi S ∪ Γ. Elementet e tij jane vargje tefundem (x1, ..., xn) ku cdo xi ∈ S ∪ Γ. Percaktohet Σγ0 si gjysmegrupi faktor i F ngakongruenca e perftuar nga bashkesia e relacioneve
((γ1, γ2), γ1), ((x, γ, y), xγy), ((x, y), xγ0y)
per cdo γ, γ1, γ2 ∈ Γ dhe x, y ∈ S dhe me γ0 nje element te fiksuar.Dhe gjithashtu tek [23] eshte provuar lema e meposhtme:
Leme 2.1.1 Cdo element i Σγ0 mund te perfaqesohet nga nje fjale e pareduktueshmee cila ka trajten (γ, x, γ′), (γ, x), (x, γ), γ ose x ku , x ∈ S dhe γ, γ′ ∈ Γ .
27
Duke u bazuar keshtu tek ky mekanizem dhe tek [23], tregojme se disa rezultatete spikatura te Γ-gjysmegrupeve jane logjikisht ekuivalente me analoget e tyre tekgjysmegrupet e zakonshem.
Pohim 2.1.2 Ne qofte se Q eshte nje kuazi-ideal minimal ne nje Γ-gjysmegrup (S,Γ),atehere Q mund te shprehet si prerje e nje ideali minimal te majte me nje idealminimal te djathte te (S,Γ).
Vertetim. Ne qofte se Q eshte minimal ne (S,Γ) atehere nga pohimi 2.7 i [23] percdo x ∈ Q mund te shkruajme,
Q = (x)Γq = (x)
Σγ0q . (2.1)
Tregojme tani qe (x)Σγ0q eshte minimal mbi Σγ0 qe eshte e njejta gje si te thuash qe
per cdo x′ ∈ (x)Σγ0q , (x′)
Σγ0q = (x)
Σγ0q . Vertet,
(x′)Σγ0q = (x′)Γ
q nga [23]
= Q sepse (x′)Γq ⊆ Q dhe Q minimal,
atehere(x′)Σγ0
q = Q = (x)Γq = (x)Σγ0
q .
Meqenese (x)Σγ0q eshte nje kuazi-ideal minimal ne gjysmegrupin e zakonshem Σγ0,
atehere pohimi 5.3 i [29] implikon se
(x)Σγ0q = e · Σγ0 ∩ Σγ0 · e
ku e eshte njeshi i (x)Σγ0q ne Σγ0 .
I njejti rezultat i [29] tregon se e · Σγ0 eshte ideal minimal i djathte i Σγ0 dhe Σγ0 · eeshte ideal minimal i majte i Σγ0 . Atehere nga lema 2.6 e [23] shkruajme
e · Σγ0 = (e)Σγ0r = (e)Γ
r ∪ (e)Γr · Γ
Σγ0 · e = (e)Σγ0l = (e)Γ
l ∪ Γ · (e)Γl .
Me pas tregojme se (e)Γr eshte nje ideal minimal i djathte dhe qe (e)Γ
l eshte idealminimal i majte. Vertet, ne qofte se (e)Γ
r nuk eshte minimal, atehere gjendet njey ∈ (e)Γ
r i tille qe (y)Γr ( (e)Γ
r , atehere
(y)Σγ0r = (y)Γ
r ∪ (y)Γr · Γ ( (e)Γ
r ∪ (e)Γr · Γ = e · Σγ0 ,
qe tregon se e · Σγ0 permban nje ideal te djathte te mirefille, domethene (y)Σγ0r . Por
kjo bie ne kontradite me supozimin tone mbi e · Σγ0 . Keshtu mbetet qe (e)Γr eshte
minimal. Ne menyre te ngjashme provohet se (e)Γl eshte ideal minimal i majte.
Se fundmi,
Q = (e)Γq = (e)
Σγ0q nga (2.1)
= ((e)Γr ∪ (e)Γ
r · Γ) ∩ ((e)Γl ∪ Γ · (e)Γ
l )
= (e)Γr ∩ (e)Γ
l nga [23],
28
dhe nga me siper te dy (e)Γr dhe (e)Γ
l jane ideale minimale te njeanshem te (S,Γ). Kjoperfundon vertetimin.
Pohim 2.1.3 Produkti i dy kuazi-idealeve minimale ne nje Γ-gjysmegrup (S,Γ) eshteperseri kuazi-ideal minimal i (S,Γ).
Vertetim. Le te jene Q1 dhe Q2 dy kuazi-ideale minimale te (S,Γ). Nga pohimi2.1.2, gjenden idempotentet e1 dhe e2 te Σγ0 te tille qe
Q1 = (e1)Γq = (e1)
Σγ0q = e1Σγ0 ∩ Σγ0e1,
dheQ2 = (e2)Γ
q = (e2)Σγ0q = e2Σγ0 ∩ Σγ0e2.
Nga ana tjeter, nga pohimi 5.11 i [29] kemi qe
Q1Q2 = e1Σγ0 ∩ Σγ0e2
eshte kuazi-ideal minimal i Σγ0 . Por
e1Σγ0 = (e1)Σγ0r = (e1)Γ
r ∪ (e1)ΓrΓ
dheΣγ0e2 = (e2)
Σγ0l = (e2)Γ
l ∪ Γ(e2)Γl ,
keshtu qe produkti Q1Q2 tani rishkruhet si
Q1Q2 = (e1)Γr ∩ (e2)Γ
l ,
pra ai eshte prerja e nje ideali te djathte me nje ideal te majte dhe per rrjedhoje aieshte nje kuazi-ideal i (S,Γ).Tregojme tani qe Q1Q2 eshte minimal. Vertet, ne qofte se Q ⊆ Q1Q2 eshte nje kuazi-ideal i (S,Γ), atehete ai eshte kuazi-ideal i Σγ0 meqenese
QΣγ0 ∩ Σγ0Q = QΓS ∩ SΓQ ⊆ Q,
dhe keshtu minimaliteti i Q1Q2 ne Σγ0 implikon se Q = Q1Q2.
2.2 Mbi bi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupet
Qellimi i ketij paragrafi eshte te rivertetoje disa rezultate te njohura mbi bi-idealet neΓ-gjysmegrupet duke perdorur disa teknika te dhena nga E. Pasku ne [23]. Se pari netregojme qe korrespondenca e e vendosur tek artikulli [23] mund te zgjerohet edhe nebi-idealet, dhe me pas si nje zbatim i kesaj ne sigurojme kushte sipas te cilave klasaB e nje Γ-gjysmegrupi S eshte nengrup i S.Nje kondite e tille eshte qe klasa B kenaq konditen e Green, dhe nje tjeter eshteminimaliteti i klases B lidhur me perfshirjen.Ndryshe nga autoret e tjere, ne i perftojme keto rezultate si rrjedhime te homologevete tyre te njohur ne teorine e gjysmegrupeve thjesht duke perdorur korrespondencen,e percaktuar tashme, mbi bi-idealet.
Lema e meposhtme dhe pohimi pas saj percaktojne nje korrespondence nje pernje ndermjet bi-idealeve kryesore te S dhe homologeve te tyre te Σγ0 .
29
Leme 2.2.1 Le te jete x ∈ S nje element i cfaredoshem. Bi-ideali kryesor ne Σγ0 iperftuar nga x eshte bashkesia
(x)Σγ0b = (x)Γ
b
ku (x)Γb eshte bi-ideali kryesor i perftuar nga x ne Γ-gjysmegrupin S.
Vertetim. Provojme fillimisht se
(x)Σγ0b ⊆ (x)Γ
b .
Vertet,
(x)Σγ0b = x ∪ x2 ∪ xΣγ0x
= x ∪ xγ0x ∪ x(S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ ∪ Γ)x
= x ∪ xγ0x ∪ xSx ∪ xΓSx ∪ xSΓx ∪ xΓSΓx ∪ xΓx,
dhe
xSx = xsx/s ∈ S = xγ0sγ0x/s ∈ S ⊂ xΓSΓx
xΓSx = xγsx/s ∈ S, γ ∈ Γ = xγsγ0x/s ∈ S, γ ∈ Γ ⊂ xΓSΓx
xSΓx = xsγx/s ∈ S, γ ∈ Γ = xγ0sγx/s ∈ S, γ ∈ Γ ⊂ xΓSΓx
xΓSΓx = xγsγ′x/s ∈ S, γ, γ′ ∈ Γ ⊂ xΓSΓx
xΓx = xγx/γ ∈ Γ ⊂ xΓx
x2 = xγ0x, γ0 ∈ Γ ⊂ xΓx, x ∈ S.
Rrjedhimisht (x)Σγ0b ⊆ (x)Γ
b . Per te treguar perfshirjen e anasjelle marrim y ∈ (x)Γb .
Ne kete rast y mund te jete
y = x ose y ∈ xΓx ose y ∈ xΓSΓx.
Ne qofte se y = x ∈ S, atehere y ∈ (x)Σγ0b .
Ne qofte se y ∈ xΓx ateherey = xγx ∈ xΣγ0x.
Ne qofte se y ∈ xΓSΓx atehere
y = xγsγ′x ∈ xΣγ0x
meqenese γsγ′ ∈ Σγ0 . Kjo provon se
(x)Γb ⊆ (x)Σγ0
b
dhe ne kete menyre kemi vertetuar barazimin.Kujtojme perkufizimin e relacionit B ne nje gjysmegrup S dhe ne nje Γ-gjysmegrupS.
30
Perkufizim 2.2.2 Relacion B ne nje gjysmegrup S, ku S ⊂ Σ, percaktohet si
xBy ⇔ (x)Σb = (y)Σ
b ,
ku (x)Σb dhe (y)Σ
b jane bi-ideale kryesore te perftuar nga x dhe y te S, domethene
xBy ⇔ x ∪ x2 ∪ xΣx = y ∪ y2 ∪ yΣy.
Perkufizim 2.2.3 Relacioni B ne nje Γ-gjysmegrup S, percaktohet si
xBy ⇔ (x)Γb = (y)Γ
b ,
ku (x)Γb dhe (y)Γ
b jane bi-ideale kryesore te perftuar nga x dhe y te S, domethene
xBy ⇔ x ∪ xΓx ∪ xΓSΓx = y ∪ yΓy ∪ yΓSΓy.
Pohim 2.2.4 Per cdo x ∈ S,
BΣγ0x = BΓ
x .
Vertetim. Fillimisht provojme
BΣγ0x ⊆ BΓ
x .
Ne qofte se y ∈ BΓx , kjo do te thote se
(y)Γb = (x)Γ
b .
Nga lema 2.2.1
(x)Σγ0b = (x)Γ
b
keshtu y ∈ BΣγ0x .
Anasjellas, ne qofte se y ∈ S,
y ∈ BΣγ0x
kemi(y)
Σγ0b = (x)
Σγ0b
dhe nga lema 2.2.1
(x)Σγ0b = (x)Γ
b
atehere y ∈ BΓx . Me tej ne do te provojme qe BΣγ0
x , nuk ka elemente te kater formavete meposhtme
ΓS, SΓ,ΓSΓ,Γ.
Vertet, ne qofte se y ∈ ΓSΓ atehere
y = γsγ′, s ∈ S, γ, γ′ ∈ Γ.
Kjo nenkupton qe
γsγ′ ∈ BΣγ0x
31
keshtu(γsγ′)
Σγ0b = (x)
Σγ0b .
Por
(γsγ′)Σγ0b = (γsγ′) ∪ (γsγ′)2 ∪ (γsγ′)Σγ0(γsγ′) = x ∪ x2 ∪ xΣγ0x = (x)
Σγ0b ⊆ S
dhe kjo nuk eshte e mundur meqenese γsγ′ /∈ S. Ne qofte se y ∈ SΓ atehere
y = sγ, s ∈ S, γ ∈ Γ.
Kjo nenkupton qe
sγ ∈ BΣγ0x
keshtu(sγ)
Σγ0b = (x)
Σγ0b .
Por
(sγ)Σγ0b = (sγ) ∪ (sγ)2 ∪ (sγ)Σγ0(sγ) = x ∪ x2 ∪ xΣγ0x = (x)
Σγ0b ⊆ S
dhe kjo nuk eshte e mundur meqenese sγ /∈ S. Njesoj provohet dhe rasti kur y ∈ ΓS.Se fundmi ne qofte se y ∈ Γ atehere
y = γ.
Kjo nenkupton qe
γ ∈ BΣγ0x
keshtu(γ)
Σγ0b = (x)
Σγ0b
dhe kjo nuk eshte e mundur meqenese γ /∈ S. Provuam keshtu ate qe pohuam nefillim.
Lema e meposhtme mund te jete e njohur por ne nuk e kemi hasur ne literaturedhe per shkak te perdorimit te saj te metejshem po e paraqesim ketu te vertetuar.
Leme 2.2.5 Le te jete (S, ·) nje gjysmegrup i cfardoshem, dhe le te jete H nje H-klase e Grinit qe H ∩H2 6= ∅. Atehere, per cdo x ∈ H, Bx = H.
Vertetim. Nga Teorema e Green per gjysmegrupet kemi qe H eshte nengrup i S,atehere ai permban nje element identik e dhe inversin e cdo elementi x. Kemi
x = exe dhe e = xx−1x−1x per x ∈ H.
Do te tregojme me tej se per cdo x ∈ H, (e)b = (x)b.
(x)b = x ∪ x2 ∪ xSx= exe ∪ exeexe ∪ exeSexe⊆ eSe
⊆ e ∪ e2 ∪ eSe= (e)b
32
dhe
(e)b = xx−1x−1x ∪ xx−1x−1xxx−1x−1x ∪ xx−1x−1xSxx−1x−1x
= xSx
⊆ (x)b.
rrjedhimisht Be = Bx. Kjo do te thote se te gjithe B-klasat qe perfshihen ne Hperputhen me njera-tjetren pasi perputhen me Be. Per pasoje Be = H.
Teorema e meposhtme eshte vertetuar ne [23].
Teoreme 2.2.6 (Teorema Green) Supozojme se x, y dhe xγ0y per ndonje γ0 ∈ Γ, iperkasin se njejtes klase HΓ
x . Atehere HΓx eshte nengrup i gjysmegrupit Sγ0.
Do te tregojme tani se kjo teoreme eshte e vertete edhe per bi-idealet.
Teoreme 2.2.7 (Teorema Green) Supozojme se x, y dhe xγ0y per ndonje γ0 ∈ Γ, iperkasin se njejtes klase BΓ
x . Atehere BΓx eshte nengrup i gjysmegrupit Sγ0.
Vertetim. Per γ0 e vecante te cituar ne teoreme, ndertojme gjysmegrupin Σγ0 perte cilin dime se
BΣγ0x = BΓ
x .
Meqenese x, y, xγ0y ∈ BΓx , kemi qe
x, y, xγ0y ∈ BΣγ0x .
Por xγ0y = xy ne Σγ0 , per rrjedhoje x, y, xy jane ne te njejten B -klase dhe atehererrjedh se
x, y, xy ∈ HΣγ0x
meqenese tek gjysmegrupet kemi te vertete perfshirjen B ⊆ H. Ne kete menyre, kemi
qe HΣγ0x kenaq konditen e Green-it dhe per rrjedhim ai eshte nje nengrup i Sγ0 . Nga
Lema 2.2.5 kemi qe BΣγ0x eshte nengrup i Sγ0 meqenese BΣγ0
x = BΓx .
Nga teoria e gjysmegrupeve kemi teoremen e meposhtme, te vertetuar ne [29]:
Teoreme 2.2.8 Nje bi-ideal B i nje gjysmegrupi S pa zero, eshte minimal ne qoftese dhe vetem ne qofte se B eshte nengrup i S.
Ne teorine e Γ-gjysmegrupeve kemi teoremen e meposhtme te vertetuar ne [7]:
Teoreme 2.2.9 Nje bi-ideal B i nje Γ-gjysmegrupi S pa zero, eshte minimal ne qoftese dhe vetem ne qofte se B eshte Γ-nengrup i S.
Qellimi i metejshem eshte vertetimi i teoremes se meposhtme:
Teoreme 2.2.10 Nje bi-ideal B i nje Γ-gjysmegrupi S pa zero, eshte minimal neqofte se dhe vetem ne qofte se B eshte nengrup i Sγ0 per cdo γ0 ∈ Γ.
33
Vertetim. Provojme fillimisht se nje bi-ideal B ne nje Γ-gjysmegrup S eshte bi-idealedhe per Σγ0 . Meqenese B eshte bi-ideal ne nje Γ-gjysmegrup S, kjo nenkupton se
BΓB ∪BΓSΓB ⊆ B.
Per te provuar qe B eshte bi-ideal per gjysmegrupin Σγ0 , duhet te tregojme se
BΣγ0B ⊆ B.
Vertet,
BΣγ0B = B(Γ ∪ S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ)B
= BΓB ∪BSB ∪BΓSB ∪BSΓB ∪BΓSΓB.
Meqenese perfshirjet e meposhte jane te verteta
BΓB ⊆ B,
BSB = b1xb2|x ∈ S, b1, b2 ∈ B= b1γ0xγ0b2|x ∈ S, b1, b2 ∈ B, γ0 ∈ Γ⊆ BΓSΓB ⊆ B
dhe
BΓSB = b1γxb2|, x ∈ S, b1, b2 ∈ B, γ ∈ Γ= b1γxγ0b2|x ∈ S, b1, b2 ∈ B, γ, γ0 ∈ Γ⊆ BΓSΓB ⊆ B
dhe ne menyre te ngjashme tregohet se BSΓB ⊆ B.Tani, ne qofte se B eshte bi-ideal minimal ne Γ-gjysmegrupin S, ne do te tregojmese B eshte minimal edhe ne Σγ0 , qe do te thote se
∀x ∈ B, (x)Σγ0b = B.
Nga Lema 2.2.1
(x)Σγ0b = (x)Γ
b ,
por(x)Γ
b = B
per cdo x ∈ B sepse B eshte bi-ideal minimal ne Γ-gjysmegrupin S, keshtu per tegjitha x ∈ B,
(x)Σγ0b = B,
gje e cila tregon minimalitetin e B ne Σγ0 . Nga Teorema 2.2.8 rrjedh se B eshtenengrup i Σγ0 , atehere B eshte nengrup i (S, γ0).
Anasjellas, B eshte nengrup i (S, γ0) dhe ne duam te tregojme se B eshte bi-idealminimal i (S,Γ). Meqenese B eshte nengrup i (S, γ0), atehere B eshte nengrup i Σγ0 .
34
Perseri, Teorema 2.2.8 implikon qe B eshte bi-ideal minimal i Σγ0 . Duhet te tregojmese per cdo x ∈ B,
(x)Γb = B.
Nga Lema 2.2.1,
(x)Σγ0b = (x)Γ
b
dhe minimaliteti i B ne Σγ0 implikon se
(x)Σγ0b = B.
Nga keto qe thame, del se(x)Γ
b = B
gje qe con ne perfundimin e vertetimit.
35
Kapitulli 3
Mbi disa lloje rregullsish neΓ-gjysmegrupet
3.1 Disa karakterizime te rregullsise dhe intra-
rregullsise te Γ-gjysmegrupeve me ane te kuazi-
idealeve
Koncepti i rregullsise se Γ-gjysmegrupeve nuk eshte edhe aq i lehte per t’u trajtu-ar edhe pse ai ndan disa analogji me analoget e tyre ne teorine e gjysmegrupeve.Ne kete paragraf do te ndertojme nje mekanizem i cili perkthen rregullsine ne njeΓ-gjysmegrup (S,Γ) si rregullsine e zakonshme te von Neumann ne Ωγ0 , te cilin endertojme ne terma te (S,Γ). Kjo na mundeson te karakterizojme rregullsine ne Γ-gjysmegrupe me ane te kuazi-idealeve. Nje karakterizim i ngjashem eshte treguar perato Γ-gjysmegrupe te cilat jane te rregullta dhe intra-te rregullta.
Qellimi i ketij paragrafi eshte te paraqese nje menyre alternative nga ajo e paraqi-tur ne [23] per te projektuar nje Γ-gjysmegrup te caktuar i cili trashegon disa veti teΓ-gjysmegrupit. Aryeja qe na shtyu te kerkonim rruge alternative ishte se Σγ0 e Pas-kut nuk duket edhe aq e dobishme kur behet fjale per rregullsine ose intra-rregullsinee Γ-gjsmegrupeve, sepse koncepte te tilla ndryshojne ndjeshem nga homologet e tyreper gjysmegrupet e zakonshem. Per kete arsye na u desh te konsideronim nje versiontjeter te Σγ0 , te cilen e quajme ketu Ωγ0 , dhe eshte nje faktor i nje produkti te lire,bashkesia mbajtese e te cilit eshte Γ, me gjysmegrupin e lire mbi S. Ky gjysmegrupi ri na mundeson te lidhim rregullsine e nje Γ-gjysmegrupi S me bashkesine Q(S)e te gjithe kuazi-idealeve te (S,Γ), e cila rezulton te jete nje Γ-gjysmegrup dhe qekodifikon plotesisht rregullsine e (S,Γ).Eshte bere nje perpjekje ne [6] qe te beje nje lidhje te tille, por autori nuk e konside-ron atje bashkesine Q(S) si nje Γ-gjysmegrup, dhe per kete arsye humbet rendesia eQ(S) dhe analogjia qe ekziston me teorine e gjysmegrupeve te zakonshem.Gjithashtu ne konsiderojme intra-rregullsine dhe ne vecanti ato te Γ-gjysmegrupeve tecilet jane njekohesisht te rregullt dhe intra-te rregullt. Ne tregojme se Γ-gjysmegrupete tille mund te karakterizohen si ato Γ-gjysmegrupe kuazi-idealet e te cileve jane idem-
36
potente. Kete karakterizim, ne e perftojme si implikim te analogut te tij te mirenjohurper gjysmegrupet e zakonshem.
Per te percaktuar Ωγ0 do te pedorim faktin qe gjithmone mund te percaktojmenje shumezim • mbi ndonje bashkesi joboshe Γ ne nje menyre te tille qe (Γ, •) behetgrup. Kjo ne fakt eshte ekuivalente me aksiomen e zgjedhjes (shih [15]).Gjithashtu mund te perdorim konceptin e produktit te lire te dy gjysmegrupeve.Materiale qe lidhen me kete koncept mund te gjenden tek [17] (fq 23-24, kap.1).Me tej, le te jete (F, ·) gjysmegrupi i lire mbi S. Elementet e tij jane vargje te fundem(x1, ..., xn) ku cdo xi ∈ S dhe produkti · eshte bashkimi i fjaleve. Percaktojme taniΩγ0 si gjysmegrupin faktor te produktit te lire F ∗Γ te (F, ·) me (Γ, •) nga kongruencae perftuar nga bashkesia e relacioneve
((x, y), xγ0y), ((x, γ, y), xγy)
per te gjithe x, y ∈ S, γ ∈ Γ dhe me γ0 ∈ Γ nje element te fiksuar. Gjithashtu mundte konsiderojme grupin (Γ, •) si te dhene nga nje paraqitje me perftues elementet eΓ, dhe relacione qe lindin nga tabela e shumezimit te grupit.Pra, nje paraqitje e Ωγ0 ka tani nje bashkesi perftuese S ∪ Γ, dhe relacione ato tepermendura me siper se bashku me ato qe lindin nga tabela e shumezimit te (Γ, •).Keshtu, diferenca midis gjysmegrupit Σγ0 dhe Ωγ0 qendron ne faktin se produkti i dyfjaleve γ1, γ2 ∈ Γ jepet si γ1γ2 = γ1 tek Σγ0 ndersa tek Ωγ0 jepet si γ1γ2 = γ1 • γ2
meqenese (Γ, •) e kemi konsideruar grup. Dallimi kryesor gjithashtu midis tyre eshteqe Ωγ0 eshte i rregullt ne qofte se S ka qene i rregullt, dhe kjo mund te mos vleje perΣγ0 .
Leme 3.1.1 Cdo element i Ωγ0 mund te perfaqesohet nga nje fjale e pareduktueshmee cila ka trajten
(γ, x, γ′), (γ, x), (x, γ), γ ose x
ku x ∈ S dhe γ, γ′ ∈ Γ.
Vertetim. Se pari duhet te tregojme qe sistemi i reduktimit qe lind nga paraqitjae dhene eshte Neterian dhe konfluent, dhe per rrjedhoje cdo element i Ωγ0 jepet ngafjale e vetme e pareduktueshme nga S ∪ Γ.Se dyti, duhet te tregojme qe fjalet e pareduktueshme kane nje nga keto pese trajta.Keshtu, ne qofte se ω eshte nje fjale e formes
ω = (u, x, γ, y, v)
per γ ∈ Γ, x, y ∈ S dhe u, v mundesisht fjale boshe, atehere ω reduktohet ne
ω′ = (u, xγy, v).
Dhe ne qofte seω = (u, x, y, v),
atehere ajo reduktohet neω′ = (u, xγ0y, v).
37
Ne kete menyre ne perftojme nje sistem reduktimi i cili eshte me gjatesi te reduktu-eshme dhe per rrjedhoje eshte Neterian. Per te treguar qe ky sistem eshte konfluent,nga lema 1.6.2, mjafton te tregojme qe ai eshte lokalisht konfluent. Per kete na duhetvetem te shohim ciftet qe mbivendosen.
1. (x, y, z) → (xγ0y, z) dhe (x, y, z) → (x, yγ0z) te cilat te dyja reduktohen ne(xγ0yγ0z).
2. (x, γ, y, z) → (xγy, z) dhe (x, γ, y, z) → (x, γ, yγ0z) te cilat te dyja reduktohenne (xγyγ0z).
3. (x, y, γ, z) → (xγ0y, γ, z) dhe (x, y, γ, z) → (x, yγz) te cilat te dyja reduktohenne (xγ0yγz).
4. (x, γ, y, γ′, z) → (xγy, γ′, z) dhe (x, γ, y, γ′, z) → (x, γ, yγ′z) te cilat te dyjareduktohen ne (xγyγ′z).
5. (γ1, γ2, γ3) → (γ1 • γ2, γ3) dhe (γ1, γ2, γ3) → (γ1, γ2 • γ3) te cilat te dyja reduk-tohen ne (γ1 • γ2 • γ3).
Per te perfunduar vertetimin na duhet te tregojme se fjala e pareduktueshme qeperfaqeson elementin e Ωγ0 ka nje nga pese trajtat e cituara me lart.Ne qofte se fjala nuk ka as prefiks as sufiks te perbere teresisht nga shkronjat nga Γ,atehere ajo reduktohet ne nje element te S duke kryer reduktimet e duhura.Ne qofte se fjala ka trajten
(α, ω, α′), (α, ω) ose (ω, α′),
ku ω eshte nje fjale e cila nuk ka as prefiks as sufiks te perbere teresisht nga shkronjanga Γ, dhe α, α′ kane shkronja vetem nga Γ, atehere ajo reduktohet ne nje elementte nje prej tre trajtave te para.
Pohim 3.1.2 Ne qofte se S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt, atehere Ωγ0 eshte gjysmegrupvon Neumann i rregullt dhe anasjellas.
Vertetim. Meqenese S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt, kjo do te thote se
∀a ∈ S,∃x ∈ S, γ1, γ2 ∈ Γ te tilla qe a = aγ1xγ2a.
Nje rrjedhim i menjehershem i kesaj eshte qe a ka nje invers ne Ωγ0 i cili eshte (γ1xγ2).Ne tregojme se e njejta gje ndodh me te gjithe tipet e mbetura te elementeve te Ωγ0 .Le te jete α1aα2 nje element tjeter i Ωγ0 . Si invers te tij marrim
α−12 γ1xγ2α
−11 ∈ Ωγ0 ,
sepse(α1aα2)(α−1
2 γ1xγ2α−11 )(α1aα2) = α1aγ1xγ2aα2 = α1aα2.
Gjithashtu αa ∈ Ωγ0 eshte i rregullt dhe si invers te tij marrim
γ1xγ2α−1 ∈ Ωγ0 ,
38
sepse(αa)(γ1xγ2α
−1)(αa) = αaγ1xγ2a = αa.
E njejta gje gje eshte e vertete per aα ∈ Ωγ0 i cili perseri eshte i rregullt me invers
α−1γ1xγ2 ∈ Ωγ0 ,
sepse(aα)(α−1γ1xγ2)(aα) = aγ1xγ2aα = aα.
Dhe se fundmi, cdo α ∈ Γ ka invers α−1, inversi i tij ne (Γ, •). Anasjellas, ne qofte seΩγ0 eshte i rregullt, atehere cdo a ∈ S ka nje invers ne Ωγ0 .Do te tregojme se cdo a ∈ S ka nje invers ne (S,Γ). Per kete do te dallojme midispese rasteve te meposhtme:Se pari, ne qofte se inversi i a ne Ωγ0 eshte i formes αxβ ku x ∈ S, atehere
aαxβa = a
qe do te thote se a eshte i rregullt ne (S,Γ).Se dyti, ne qofte se αx eshte inversi i a ne Ωγ0 , atehere
a(αx)a = a,
e cila mund te shkruhet siaαxγ0a = a
duke provuar keshtu rregullsine e a ne (S,Γ).Se treti, inversi i a eshte i rregullt ne (S,Γ) dhe eshte ndonje xα. Ky rast trajtohetne menyre te ngjashme me rastin e dyte.Se katerti, inversi i a eshte i rregullt ne (S,Γ) dhe eshte ndonje x ∈ S. Atehere,
axa = a,
ose njesoj,aγ0xγ0a = a,
e cila perseri implikon se a eshte i rregullt ne (S,Γ).Se fundmi, inversi i a eshte i rregullt ne (S,Γ) dhe eshte ndonje α ∈ Γ. Ne kete rast,
aαa = a,
atehereaαaαa = a
dhe a eshte i rregullt ne (S,Γ).
Verejtje 3.1.3 Ne qofte se ka ndonje γ0 ∈ Γ e tille qe (Sγ0 , ) eshte von Neumanni rregullt, atehere (S,Γ) eshte i rregullt. Vertet, ne qofte se a ∈ S, atehere a ∈ Sγ0 ecila eshte von Neumann e rregullt, keshtu gjendet x ∈ Sγ0 = S i tille qe
aγ0xγ0a = a,
pra a eshte i rregullt. Theksojme ketu qe Ωγ0 i percaktuar per kete γ0 te vecante eshtevon Neumann i rregullt.
39
Leme 3.1.4 Ne qofte se Q eshte kuazi-ideal i Γ-gjysmegrupit S, atehere Q eshtekuazi-ideal i Ωγ0.
Vertetim. Le te jete p nje element nga prerja QΩγ0∩Ωγ0Q. Jane te mundshme rastete meposhtme:Se pari, p = qx = yq′ ku q, q′ ∈ Q dhe x, y ∈ S. Keshtu,
p = qγ0x = yγ0q′ ∈ QΓS ∩ SΓQ ⊆ Q.
Se dyti, p = q(αx) = q′y ku x, y ∈ S dhe α ∈ Γ. Serish,
p = qαx = q′γ0y ∈ QΓS ∩ SΓQ ⊆ Q.
Dy rastet e mbetura jane, p = qx = (yβ)q′ ku x, y ∈ S dhe β ∈ Γ, ku
p = qγ0x = yβq′ ∈ QΓS ∩ SΓQ ⊆ Q
dhe ne fund, p = q(αx) = (yβ)q′ ku x, y ∈ S,dhe α, β ∈ Γ ku
p = qαx = yβq′ ∈ QΓS ∩ SΓQ ⊆ Q.
Vlen edhe e anasjella e pohimit te mesiperm por pjeserisht sic tregohet me poshte.
Leme 3.1.5 Ne qofte se Q eshte kuazi-ideal i Ωγ0 i cili perbehet vetem nga elementete S, atehere Q eshte kuazi-ideal i Γ-gjysmegrupit S.
Vertetim. Le te jetep = qαx = yβq′ ∈ QΓS ∩ SΓQ
ku x, y ∈ S dhe α, β ∈ Γ, atehere
p = q(αx) = (yβ)q′ ∈ QΩγ0 ∩ Ωγ0Q ⊆ Q.
Keshtu Q eshte kuazi-ideal i (S,Γ).
Leme 3.1.6 Le te jete Q nje kuazi-ideal i (S,Γ) dhe α ∈ Γ, atehere αQ eshte kuazi-ideal i Ωγ0.
Vertetim. Le te jete
p = (αq)w = w′(αq′) ∈ (αQ)Ωγ0 ∩ Ωγ0(αQ),
atehere domosdoshmerisht w eshte e barabarte me ndonje x ∈ S ose ka formen βxku β ∈ Γ dhe x ∈ S, dhe w′ ka formen w′ = αy ose w′ = αyγ ku y ∈ S dhe γ ∈ Γ.Shohim rastin kur w = βx dhe w′ = αyγ, kemi
p = αqβx = αy(γα)q′ ∈ αQΓS ∩ αSΓQ = α(QΓS ∩ SΓQ) ⊆ αQ.
Kur w = βx dhe w′ = αy, kemi
p = αqβx = αyαq′ ∈ αQΓS ∩ αSΓQ = α(QΓS ∩ SΓQ) ⊆ αQ.
40
Kur w = x dhe w′ = αy, kemi
p = αqx = αqγ0x = αyαq′ ∈ αQΓS ∩ αSΓQ = α(QΓS ∩ SΓQ) ⊆ αQ.
Dhe se fundmi, kur w = x dhe w′ = αyγ, kemi
p = αqx = αqγ0x = αy(γα)q′ ∈ αQΓS ∩ αSΓQ = α(QΓS ∩ SΓQ) ⊆ αQ.
Provuam keshtu qe αQ eshte nje kuazi-ideal i Ωγ0 .
Ka vend nje pohim analog i pohimit 2.7 te [23]. Ai lidh kuazi-idealin (a)Ωγ0q ne Ωγ0 te
perftuar nga ndonje a ∈ S, me kuazi-idealin (a)Γq ne S te perftuar nga a. Fillimisht
do te na nevojitet lema e meposhtme.
Leme 3.1.7 Le te jete x ∈ S nje element arbitrar. Pohimet e meposhtme jane teverteta.
(i) Ideali kryesor i majte i Ωγ0 gjeneruar nga elementi x eshte bashkesia
(x)Ωγ0l = (x)Γ
l ∪ Γ(x)Γl
ku (x)Γl = x ∪ SΓx eshte ideali i majte i S gjeneruar nga x dhe
Γ(x)Γl = γy|γ ∈ Γ, y ∈ (x)Γ
l .
(ii) Ideali kryesor i djathte i Ωγ0 gjeneruar nga elementi x eshte bashkesia
(x)Ωγ0r = (x)Γ
r ∪ (x)ΓrΓ
ku (x)Γr = x ∪ xΓS eshte ideali i djathte i S gjeneruar nga x dhe
(x)ΓrΓ = yγ|γ ∈ Γ, y ∈ (x)Γ
r .
Vertetim. Shohim vertetimin e pikes (i) meqenese vertetimi i (ii) eshe i ngjashem
me (i). Domethene ne duam te provojme qe w ∈ (x)Ωγ0l atehere dhe vetem atehere
kur w ∈ (x)Γl ∪ Γ(x)Γ
l . Per kete, nese w ∈ (x)Ωγ0l = x ∪ Ωγ0x, atehere w = x ose
w ∈ Ωγ0x. Nese w = x, atehere w ∈ (x)Γl . Nese w ∈ Ωγ0x atehere ajo ka keto trajta
te mundshme:1)w = (sγ)x = sγx ∈ SΓx ∈ (x)Γ
l .2)w = (γs)x = γ(sγ0x) ∈ Γ(x)Γ
l .3)w = (γsγ′)x = γ(sγ′x) ∈ Γ(x)Γ
l .4)w = sx = sγ0x ∈ (x)Γ
l .5)w = γx ∈ Γ(x)Γ
l .Treguam keshtu qe w ∈ (x)Γ
l ∪Γ(x)Γl . Anasjellas, supozojme se w ∈ (x)Γ
l ∪Γ(x)Γl . Nese
w ∈ (x)Γl = SΓx ∪ x, atehere po qe se w = sγx = (sγ)x ∈ Ωγ0x, del se w ∈ (x)
Ωγ0l .
Nese w = x, del se w ∈ (x)Ωγ0l dhe nese w ∈ Γ(x)Γ
l atehere w = αy per y ∈ (x)Γl
domethene1)w = αy = α(sγx) = (αsγ)x ∈ Ωγ0x.2)w = αy = αx ∈ Ωγ0x.
Pra gjithmone w ∈ (x)Ωγ0l qe provon barazimin e kerkuar.
41
Pohim 3.1.8 Per cdo x ∈ S, QΩγ0x = QΓ
x.
Vertetim. Nga lema 3.1.7 per x ∈ S fillimisht shohim qe kuazi-ideali kryesore ne
Ωγ0 gjeneruar nga x eshte bashkesia (x)Ωγ0q = (x)Γ
q ku (x)Γq eshte kuazi-ideali kryesor
i gjeneruar nga x ne Γ-gjysmegrupin S. Vertet.
(x)Ωγ0q = x ∪ (xΩγ0 ∩ Ωγ0x)
= (x ∪ xΩγ0) ∩ (x ∪ Ωγ0x)
= (x)Ωγ0r ∩ (x)
Ωγ0l
= [(x)Γr ∪ (x)Γ
rΓ] ∩ [(x)Γl ∪ Γ(x)Γ
l ] (nga lema 3.1.7)
= (x)Γr ∩ (x)Γ
l
= (x)Γq .
Te provojme tani barazimin e kerkuar. Per y ∈ QΩγ0x kemi (x)
Ωγ0q = (y)
Ωγ0q . Nga ba-
razimi qe sapo treguam mesiper kjo eshte ekuivalente me (x)Γq = (y)Γ
q qe do te thote
y ∈ QΓx . Kuptohet qe nese provojme se QΩγ0
x ka vetem elemente te S, atehere kemi
barazimin e deshiruar. Le te tregojme qe QΩγ0x nuk permban elemente te trajtave
αyβ, αy, yβ ose α, ku α, β ∈ Γ dhe y ∈ S. Marim rastin e pare, dmth αyβ ∈ QΩγ0x
atehere (αyβ)Ωγ0q = (x)
Ωγ0q . Ky barazim eshte i pamundur pasi ana e djthte permban
vetem elemente te S. Ne te njejten menyre provohen dhe rastet e tjera. Keshtu tre-
guam se QΩγ0x = QΓ
x .
Leme 3.1.9 Le te jene α, β ∈ Γ dhe a ∈ S, atehere
(αaβ)Ωγ0q = α(a)
Ωγ0q β,
(αa)Ωγ0q = α(a)
Ωγ0q
dhe(aβ)
Ωγ0q = (a)
Ωγ0q β.
Vertetim. Bejme vertetimin e rastit te pare αaβ. Ne vijim, perdorim faktin se neΩγ0 , per cdo α, β ∈ Γ, kemi βΓ = Γ = Γα.
(αaβ)Ωγ0q = αaβ ∪ ((αaβ)Ωγ0 ∩ Ωγ0(αaβ))
= αaβ ∪ ((αaβ)(Γ ∪ S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ) ∩ (Γ ∪ S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ)(αaβ))
= αaβ ∪ ((αaΓ ∪ αaβΓS ∪ αaΓSΓ) ∩ (Γaβ ∪ SΓaβ ∪ ΓSΓaβ))
= αaβ ∪ ((αaΓ ∪ αaΓSΓ) ∩ (Γaβ ∪ ΓSΓaβ))
= αaβ ∪ (αaΓ ∩ Γaβ) ∪ (αaΓ ∩ ΓSΓaβ) ∪ (αaΓSΓ ∩ Γaβ) ∪ (αaΓSΓ ∩ ΓSΓaβ)
= αaβ ∪ αaβ ∪ (αaβ ∩ αSΓaβ) ∪ (αaΓSβ ∩ αaβ) ∪ (αaΓSβ ∩ αSΓaβ)
= αaβ ∪ (αaΓSβ ∩ αSΓaβ) = α(a ∪ (aΓS ∩ SΓa))β
= α(a)Γq β = α(a)
Ωγ0q β,
42
pra,
(αaβ)Ωγ0q = α(a)
Ωγ0q β.
Per rastin e dyte kemi
(αa)Ωγ0q = αa ∪ ((αa)Ωγ0 ∩ Ωγ0(αa))
= αa ∪ ((αa)(Γ ∪ S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ) ∩ (Γ ∪ S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ)(αa))
= αa ∪ ((αaΓ ∪ αaΓS ∪ αaΓSΓ) ∩ (Γa ∪ SΓa ∪ ΓSΓa))
= αa ∪ ((αaΓ ∪ αaΓSΓ) ∩ (Γa ∪ ΓSΓa))
= αa ∪ (αaΓ ∩ Γa) ∪ (αaΓ ∩ ΓSΓa) ∪ (αaΓSΓ ∩ Γa) ∪ (αaΓSΓ ∩ ΓSΓa)
= αa ∪ αa ∪ (αaΓ ∩ αSΓa) ∪ (αaΓS ∩ αa) ∪ (αaΓS ∩ αSΓa)
= αa ∪ (αaΓS ∩ αSΓa) = α(a ∪ (aΓS ∩ SΓa))
= α(a)Γq = α(a)
Ωγ0q .
Ne menyre te njejte provohet dhe rasti i trete.
Teoreme 3.1.10 Nje Γ-gjysmegrup (S,Γ) eshte i rregullt ne qofte se dhe vetemne qofte se bashkesia Q(S) e kuazi-idealeve te S formon nje Γ-gjysmegrup ku Γ-shumezimi jepet nga
Q1γQ2 = q1γq2|q1 ∈ Q1, q2 ∈ Q2,
dhe ka vetine qe per cdo kuazi-ideal Q ∈ Q(S) gjendet nje familje ciftesh (αi, βi) ∈Γ× Γ se bashku me nje familje kuazi-idealesh Qi ∈ Q(S) te tilla qe
Q = ∪i∈IQαiQiβiQ.
Vertetim. Fillimisht percaktojme strukturen e Γ-gjysmegrupit mbi bashkesine Q(S)e te gjithe kuazi-idealeve te (S,Γ).Le te jene Q1, Q2 ∈ Q(S) dhe α ∈ Γ.Percaktojme
Q1αQ2 = q1αq2|q1 ∈ Q1, q2 ∈ Q2.
Per te treguar qe Q1αQ2 ∈ Q(S) kujtojme nga lema 3.1.6 qe αQ2 ∈ Q(Ωγ0), kuQ(Ωγ0) eshte bashkesia e kuazi-idealeve te Ωγ0 . Por (S,Γ) eshte i rregullt dhe po ashtui rregullt eshte Ωγ0 (pohimi 3.1.2), prandaj teorema 9.3 e [29] tregon se produkti
Q1(αQ2) ∈ Q(Ωγ0).
Por cdo kuazi-ideal i Ωγ0 me elemente qe shtrihen teresisht ne S eshte kuazi-ideal i(S,Γ) (lema 3.1.5) prandaj
Q1αQ2 ∈ Q(S).
Tani, fakti qe (S,Γ) eshte Γ-gjysmegrup implikon lehte se
Q1α(Q2βQ3) = (Q1αQ2)βQ3
43
per ndonje α, β ∈ Γ dhe Q1, Q2, Q3 ∈ Q(S) duke provuar keshtu qe (Q(S),Γ) eshteΓ-gjysmegrup.Le te jete tani Q ∈ Q(S), atehere Q ∈ Q(Ωγ0) dhe meqenese Ωγ0 eshte von Neumanni rregullt, atehere nga teorema 9.3 e [29], ekziston Q′ ∈ Q(Ωγ0) e tille qe
Q = QQ′Q.
Mund te shprehim Q′ si bashkim kuazi-idealesh kryesore
(a)Ωγ0q , (αa)
Ωγ0q , (aβ)
Ωγ0q ose (αaβ)
Ωγ0q
per cdo a ∈ S,αa ∈ ΓS, aβ ∈ SΓ ose αaβ ∈ ΓSΓ
qe mund te jete nje element i Q′. Nga lema 3.1.9 rrjedh se Q′ eshte bashkim kuazi-idealesh
(a)Ωγ0q , α(a)
Ωγ0q , (a)
Ωγ0q β ose α(a)
Ωγ0q β,
dhe atehere Q eshte bashkim kuazi-idealesh.
Q(a)Ωγ0q Q = Qγ0(a)
Ωγ0q γ0Q,
Qα(a)Ωγ0q Q = Qα(a)
Ωγ0q γ0Q,
Q(a)Ωγ0q βQ = Qγ0(a)
Ωγ0q βQ
oseQα(a)
Ωγ0q βQ.
Qe ketej del rezultati i kerkuar. Anasjellas, le te jete a ∈ S dhe le te jete (a)Γq kuazi-
ideali i (S,Γ) i perftuar nga a i cili eshte i formes
(a)Γq = a ∪ (aΓS ∩ SΓa).
Meqenese Q(S) ka vetine e dhene, atehere (a)Γq shprehet si
(a)Γq = ∪i∈I(a)Γ
qαiQiβi(a)Γq ,
e cila implikon ne vecanti se gjendet i ∈ I e tille qe
a ∈ (a)ΓqαiQiβi(a)Γ
q .
Rrjedh se gjenden y, z ∈ (a)Γq dhe q ∈ Qi te tilla qe
a = yαiqβiz.
Por secili nga elementet y, z ose mund te jete a ose eshte i formes
aγ1s = tγ2a
44
ne qofte se ai ndodhet ne prerjen
aΓS ∩ SΓa,
ku γ1, γ2 ∈ Γ dhe s, t ∈ S.Ne secilin rast rrjedh se gjenden δ1, δ2 ∈ Γ dhe u ∈ S te tilla qe
a = aδ1uδ2a
e cila tregon se (S,Γ) eshte i rregullt.
Me poshte ne tregojme se per Γ-gjysmegrupet e rregullt, bi-idealet jane kuazi-ideale. Kjo eshte e vertete per gjysmegrupet e zakonshem ku rregullsia eshte rregullsiae zakonshme e von Neumann. Rezultatin e mesiperm do ta nxjerrim si rrjedhim teRrjedhimit 9.6 te [29] per gjysmegrupet e zakonshem duke shfrytezuar Ωγ0 .
Leme 3.1.11 Ne qofte se B eshte bi-ideal i nje Γ-gjysmegrupi S, atehere B eshtebi-ideal i Ωγ0.
Vertetim. Per cdo b1, b2 ∈ B, shohim se
b1b2 = b1γ0b2 ∈ BΓB ⊆ B.
Gjithashtu, per cdo b1, b2 ∈ B, α, β ∈ Γ dhe x ∈ S, kemi
b1 · αx · b2 = b1αxγ0b2 ∈ BΓSΓB ⊆ B,
b1 · xβ · b2 = b1γ0xβb2 ∈ BΓSΓB ⊆ B,
b1 · αxβ · b2 = b1αxβb2 ∈ BΓSΓB ⊆ B,
b1 · x · b2 = b1γ0xγ0b2 ∈ BΓSΓB ⊆ B,
b1αb2 ∈ BΓB ⊆ B,
e cila provon se B eshte bi-ideal i (Ωγ0 , ·).Gjithashtu, duke kaluar permes kesaj, verejme se edhe e anasjella e lemes se mesipermeeshte e vertete.Me saktesisht, ne qofte se B eshte bi-ideal i Ωγ0 qe perbehet vetem nga elementet eS, atehere B eshte bi-ideal i (S,Γ). Vertet, meqenese
BΩγ0B ⊆ B,
atehere per cdo b1, b2 ∈ B dhe cdo α ∈ Γ,
b1αb2 ∈ BΩγ0B ⊆ B,
e cila tregon seBΓB ⊆ B.
Per te treguar seBΓSΓB ⊆ B
45
duhet te tregojme se per cdo b1, b2 ∈ B, α, β ∈ Γ dhe x ∈ S,
b1αxβb2 ∈ B.
Vertet,b1αxβb2 = b1 · (αxβ) · b2 ∈ BΩγ0B ⊆ B,
e cila tregon ate qe pretendonim.
Pohim 3.1.12 Ne qofte se S eshte nje Γ-gjysmegrup i rregullt, atehere cdo bi-ideali S eshte gjithashtu kuazi-ideal.
Vertetim. Le te jete S nje Γ-gjysmegrup i rregullt dhe le te jete B nje bi-ideal i (S,Γ)i cili eshte gjithashtu nje bi-ideal i Ωγ0 (Lema 3.1.11). Nga Pohimi 3.1.2 kemi se Ωγ0
eshte von Neumann i rregullt, prandaj nga Rrjedhimi 9.6 i [29], B eshte kuazi-ideal iΩγ0 . Tani Lema 3.1.5 implikon se B eshte kuazi-ideal i (S,Γ).
Leme 3.1.13 Ne qofte se (S,Γ) eshte intra-i rregullt, atehere per cdo γ0, gjysmegrupiΩγ0 eshte gjysmegrup intra-i rregullt.
Vertetim. Intra-rregullsia e elementeve te S rrjedh nga perkufizimi. Le te kontrol-lojme tani rastet e mbetura. Ne qofte se αa eshte nje element i Ωγ0 ku α ∈ Γ, a ∈ Sdhe a = xγ1aγaγ2y, atehere
αa = αxγ1α−1αaγα−1αaγ2y.
Nje vertetim i ngjashem eshte kur elementi eshte i formes aβ me a ∈ S dhe β ∈ Γ.Per rastin kur elementi eshte αaβ me α, β ∈ Γ dhe a ∈ S, po te supozojme sea = xγ1aγaγ2y, atehere
αaβ = αxγ1α−1αaββ−1γα−1αaββ−1γ2yβ.
Rasti i fundit, kur elementi eshte ndonje γ ∈ Γ, rrjedh nga fakti qe (Γ, •) eshte grup.
Teoreme 3.1.14 Nje Γ-gjysmegrup (S,Γ) eshte i rregullt dhe intra-i rregullt ateheredhe vetem atehere kur per cdo Q ∈ Q(S), dhe cdo γ ∈ Γ,
QγQ = Q.
Vertetim. Supozojme se (S,Γ) eshte i rregullt dhe intra-i rregullt, dhe le te jeteγ0 ∈ Γ nje element i fiksuar. Gjysmegrupi rezultant Ωγ0 eshte von Neumann i rregulltdhe intra-i rregullt gjithashtu, per rrjedhoje nga rrjedhimi 9.10 i [29], cdo kuazi-idealeshte idempotent. Tani, ne qofte se Q ∈ Q(S), atehere nga lema 3.1.4, mund t’akonsiderojme Q si nje element i Q(Ωγ0), prandaj ne Ωγ0 kemi
QQ = Q,
ose me fjale te tjeraQγ0Q = Q.
46
Meqenese γ0 u zgjodh arbitrarisht, atehere rrjedh pohimi. Anasjellas, supozojme seper cdo γ ∈ Γ cdo Q ∈ Q(S) kemi
QγQ = Q.
Ne vecanti kemi sea ∈ (a)Γ
q γ(a)Γq
e cila mund te shkruhet si
a ∈ (a ∪ (aΓS ∩ SΓa))γ(a ∪ (aΓS ∩ SΓa)).
Dallojme rastet e meposhtme:Se pari a = aγa, rast ne te cilin kemi se a eshte i rregullt dhe intra-i rregullt.Se dyti, a = aγ(aαx) ku
aαx = yβa ∈ aΓS ∩ SΓa.
Rregullsia e a eshte e qarte ne qofte se zevendesojme ne barazimin e dhene aαxme yβa. Per te treguar intra-rregullsine, zevendesojme a e mesit me aγ(aαx), dheperftojme
a = aγ(aγa)αxαx
e cila provon intra-rregullsine.Se treti, a = (aαx)γa ku
aαx = yβa ∈ aΓS ∩ SΓa.
Vertetimi ne kete rast eshte dual me ate te rastit te dyte.Rasti i fundit eshte kur a = (aαx)γ(aµx′) ku
aαx = yβa ∈ aΓS ∩ SΓa,
dheaµx′ = y′νa ∈ aΓS ∩ SΓa.
Duke zevendesuar aµx′ me y′νa ne barazimin e dhene perftojme rregullsine, dhe dukezevendesuar aαx me yβa perftojme intra-rregullsine.
3.2 Disa rezultate mbi Γ-gjysmegrupet e rregullt
majtas
Ne kete paragraf do te rivertetoje disa rezultate te njohura per Γ-gjysmegrupet erregullt nga e majta duke perdorur disa teknika te dhena tek [23]. Se pari ne pro-vojme qe korrespondenca e perdorur tek [23] mund te shtrihet si per idealet e majteedhe per relacionin L te Green-it, dhe me pas si nje zbatim i kesaj ne sigurojmese nje Γ-gjysmegrup S eshte i rregullt majtas vetem ne qofte se ai dekompozohet sinje bashkim nengjysmegrupe te thjeshte majtas. Ndryshe nga autore te tjere, ne iperftojme keto rezultate si rrjedhime te homologeve te tyre te mirenjohura ne teorinee gjysmegrupeve.
47
Leme 3.2.1 Ne qofte se L eshte ideal i majte ne nje Γ-gjysmegrup S, atehere LΓeshte ideal i majte ne SΓ. Anasjellas, ne qofte se
L = `iγi|`i ∈ S dhe γi ∈ Γ, i ∈ I
eshte ideal i majte i SΓ, atehere bashkesia
L = `i|i ∈ I
eshte ideal i majte i S.
Vertetim. Ne qofte se L eshte ideal i majte ne Γ-gjysmegrupin S atehere per cdos ∈ S, l ∈ L dhe γ ∈ Γ kemi
sγl ∈ L.
Duhet te tregojme se LΓ eshte ideal i majte ne SΓ, ku SΓ eshte nengjysmegrupi iΣγ0 i perbere nga elementet sγ ku s ∈ S dhe γ ∈ Γ.Ne qofte se marrim sα ∈ SΓ dhe lβ ∈ LΓ per s, l ∈ S, dhe α, β ∈ Γ atehere
(sα)(lβ) = (sαl)β ∈ Lβ ⊆ LΓ,
e cila tregon se LΓ eshte ideal i majte ne SΓ. Anasjellas, le te jene x ∈ S, `i ∈ L dheβ ∈ Γ. Duam te tregojme se
xβ`i ∈ L.
Konsiderojme produktin(xβ`i)γi ∈ SΓ,
ku γi ∈ Γ eshte e tille qe`iγi ∈ L.
Per kete element, kemi
(xβ`i)γi = (xβ)(`iγi)
= `jγj ∈ L sepse L eshte ideal i majte i SΓ,
atehere ne vecanti duhet te kemi patjeter
xβ`i = `j,
keshtuxβ`i ∈ L
e cila tregon se L eshte ideal i majte i S.
Ne artikullin [19] eshte vertetuar pohimi i meposhtem.
Pohim 3.2.2 Nje Γ-gjysmegrup S eshte i rregullt majtas atehere dhe vetem ateherekur idealet e majte te S jane semiprim.
Nga teoria standarte e gjysmegrupeve [10] kemi pohimin analog me te mesipermin.
48
Pohim 3.2.3 Gjysmegrupi S eshte i rregullt majtas atehere dhe vetem atehere kuridealet e majte te gjysmegrupit S jane semiprim.
Do tregojme qe pohimi i vertetuar tek [19] eshte nje rrjedhim i drejtperdrejte i pohimittek [10] duke perdorur Σγ0 .
Pohim 3.2.4 Γ-gjysmegrupi S eshte i rregullt majtas atehere dhe vetem atehere kuridealet e majte te S jane semiprim.
Vertetim. Per implikimin e drejtperdrejte supozojme se S eshte nje Γ-gjysmegrup irregullt majtas dhe duam te tregojme se cdo ideal i majte L i S eshte semiprim. Sihap te ndermjetem tregojme se SΓ eshte i rregullt majtas ne Σγ0 . Per kete, duhet tetregojme se
∀aγ ∈ SΓ, aγ ∈ SΓ(aγ)2.
Meqenese Γ-gjysmegrupi S eshte i rregullt majtas, kemi qe
a ∈ SΓaγa, ∀a ∈ S, γ ∈ Γ.
Kjo do te thote se
∃s ∈ S dhe β ∈ Γ, a = sβaγa,
atehere
aγ = sβaγaγ = sβ(aγ)2 ∈ SΓ(aγ)2.
Ne qofte se aplikojme rregullsine majtas te SΓ tek LΓ, e cila nga Lema 3.2.1 eshteideal i majte ne SΓ, atehere nga Pohimi 3.2.3 ai do te jete semiprim. Do te tregojmetani se L eshte semiprim ne S. Per kete duhet te tregojme se per cdo a ∈ S dhe γ ∈ Γ,
aγa ∈ L⇒ a ∈ L.
Meqenese aγa ∈ L, atehere
aγaγ = (aγa)γ ∈ Lγ ⊆ LΓ
pra (aγ)2 ∈ LΓ, dhe meqenese LΓ eshte semiprim atehere aγ ∈ LΓ, prandaj a ∈ Lqe provon se L eshte semiprim.
Anasjellas, supozojme se idealet e majte te Γ-gjysmegrupit S jane semiprim dheduam te tregojme se S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt majtas. Fillimisht do te tregojmese per cdo γ ∈ Γ te fiksuar, gjysmegrupi Sγ eshte gjysmegrup i rregullt majtas qenenkupton se cdo ideal i majte L i Sγ eshte semiprim. Ne qofte se
L = `iγ|`i ∈ S per i ∈ I,
atehere nga Lema 3.2.1 bashkesia
L = `i|i ∈ I
49
eshte ideal i majte i S. Le te jete xγ ∈ Sγ i tille qe (xγ)2 ∈ L, atehere (xγx)γ ∈ L,pra gjendet nje indeks i ∈ I i tille qe
xγx = `i ∈ L.
Tani, meqenese L eshte ideal i majte i S ai duhet te jete semiprim, per rrjedhojex = `j ∈ L per ndonje j ∈ I. Keshtu kemi
xγ = `jγ ∈ L.
Se fundi, duhet te tregojme se S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt majtas, qe do te thotese
a ∈ SΓaγa, ∀a ∈ S dhe γ ∈ Γ.
Per operatorin e fiksuar γ dime nga me siper se Sγ eshte gjysmegrup i rregullt majtas,prandaj nga me siper per a ∈ S, kemi qe
aγ ∈ Sγ(aγ)2.
Kjo do te thote se ∃s ∈ S e tille qe
aγ = sγ(aγ)2 = (sγaγa)γ,
pas thjeshtimit me γ marrim
a = sγaγa ∈ SΓaγa.
Kjo tregon se S eshte Γ gjysmegrup i rregullt majtas.Kujtojme se nga [19] kemi te vertete teoremen:
Teoreme 3.2.5 Nje Γ-gjysmegrup S eshte i rregullt majtas ne qofte se dhe vetem neqofte ekziston nje familje
Sα | α ∈ I
nengjysmegrupesh te thjeshte majtas te S e tille qe
S = ∪α∈ISα.
Ndersa ne [10] eshte treguar teorema e meposhtme
Teoreme 3.2.6 Ne nje gjysmegrup S, konditat e meposhtme jane ekuivalente.
(A) S eshte i rregullt majtas.
(B) Cdo ideal i majte i S eshte semiprim.
(C) Cdo L-klase e S eshte nengjysmegrup i thjeshte majtas i S.
(D) Cdo L-klase e S eshte nengjysmegrup i S.
(E) S eshte bashkim i ndare nengjysmegrupesh te thjeshte majtas.
50
(F) S eshte bashkim nengjysmegrupesh te thjeshte majtas.
Ne vazhdim ne do tregojme qe Teorema 3.2.5 del si rrjedhim i drejtperdrejte i Teo-remes 3.2.6 duke perdorur Σγ0 . Fillimisht na nevojitet lema e meposhtme.
Leme 3.2.7 Le te jete LS relacioni L i Green-it ne Γ-gjysmegrupin (S,Γ), dhe LSΓ
relacioni L i Green-it ne gjysmegrupin SΓ, atehere per cdo a, b ∈ S dhe cdo γ ∈ Γ,
aLSb⇔ (aγ)LSΓ(bγ).
Vertetim. Ne qofte se kemi aLSb per cdo a, b ∈ S nga perkufizimi i relacionit teGreen-it ne Γ-gjysmegrupin (S,Γ), ekzistojne x, y ∈ S, α, β ∈ Γ te tille qe
a = xαb dhe b = yβa.
Meqenese L eshte kongruence e djathte, atehere kemi
aγaLSbγa,
qe do te thote seaγa = xαbγa dhe bγa = yβaγa.
Duke thjeshtuar me a marrim
aγ = xαbγ dhe bγ = yβaγ,
per cdo a, b, x, y ∈ S, dhe α, β, γ ∈ Γ, keshtu kemi
(aγ)LSΓ(bγ).
Anasjellas, ne qoftese kemi(aγ)LSΓ(bγ)
per cdo a, b ∈ S dhe cdo γ ∈ Γ, nga perkufizimi i L ne gjysmegrupin SΓ te Σγ0
gjenden xα, yβ ∈ SΓ te tille qe
xαaγ = bγdhe yβbγ = aγ.
Duke thjeshtuar me γ marrim
xαa = b dhe yβb = a
per cdo a, b, x, y ∈ S, α, β ∈ Γ e cila do te thote se
aLSb.
Kjo permbyll vertetimin e lemes.
Teoreme 3.2.8 Nje Γ-gjysmegrup S eshte i rregullt majtas ne qofte se dhe vetem neqofte gjendet nje familje Sα | α ∈ I Γ-nengjysmegrupesh te thjeshte majtas te S etille qe
S = ∪α∈ISα.
51
Vertetim. Supozojme se Γ-gjysmegrupi S eshte i rregullt majtas. Nga vertetimii Pohimit 3.2.4 dime qe SΓ eshte i rregullt majtas i pare si nengjysmegrup i Σγ0 .Teorema 3.2.6 e aplikuar te SΓ tregon se cdo L-klase e SΓ eshte nengjysmegrup ithjeshte majtas i SΓ dhe qe SΓ eshte bashkim nengjysmegrupesh te thjeshte majtas.Do te tregojme tani se supozimi qe cdo L-klase e SΓ eshte nengjysmegrup i thjeshtemajtas, implikon se cdo L-klase e Γ-gjysmegrupit S eshte Γ-gjysmegrup i thjeshtemajtas i (S,Γ).
Se pari, provojme se per cdo a ∈ S, La eshte Γ-nengjysmegrup (S,Γ) e cila eshtee njejta gje si te thuash se per cdo γ ∈ Γ,
aγa ∈ La.
Per γ e vecante, nga me siper, dime se Laγ eshte nengjysmegrup i SΓ e cila implikonse
(aγaγ)L(aγ)
ne Σγ0 . Kjo tregon se gjendet bβ ∈ SΓ e tille qe
(bβ)(aγaγ) = aγ.
Duke thjeshtuar γ perftojmebβ(aγa) = a
e cila provon se(aγa)La ne (S,Γ).
Keshtu La eshte nengjysmegrup i (S,Γ).Se dyti, kemi per te treguar se La eshte Γ-nengjysmegrup i thjeshte majtas i (S,Γ).
Kjo do te thote se per cdo b ∈ La, duhet te kemi
LaΓb = La.
Kujtojme seLaΓb = xγb : x ∈ La dhe γ ∈ Γ.
Duke perdorur thjeshtesine majtas te Laγ ne SΓ do te tregojme se
∀γ ∈ Γ, Laγb = La
gje e cila do te ishte e mjaftueshme per te treguar barazimin LaΓb = La. Per elementetb dhe γ te dhena si me lart, fakti qe b ∈ La implikon se
bγ ∈ Laγ ne Σγ0 .
Thjeshtesia majtas e Laγ implikon tani se
Laγ(bγ) = Laγ.
Le te jete x ∈ La dhe duam te tregojme se
xγb ∈ La.
52
Nga Lema 3.2.7 dime se xγ ∈ Laγ, dhe meqe Laγ(bγ) = Laγ, marrim se (xγ)(bγ) ∈ Laγ.Keshtu
(xγbγ)LSΓ(aγ)
dhe me pas Lema 3.2.7 implikon(xγb)LSa,
prandajxγb ∈ La.
Anasjellas, le te jete x ∈ La, atehere
xγ ∈ Laγ = Laγ(bγ).
Keshtu,xγ = y(bγ) me yLSΓ(aγ),
prandaj y = a′γ ku a′LSa nga Lema 3.2.7. Tani rrjedh se
xγ = a′γbγ
dhe pas thjeshtimit te γ, kemi qe
x = a′γb ∈ Laγb
sic deshironim. E gjitha sa thame tregon se S zberthehet si bashkim i ndare Γ-nengjysmegrupesh te rregullt majtas te S qe jane pikerisht L-klasat e (S,Γ).
Anasjellas, po supozojme se L-klasat e (S,Γ) jane Γ-nengjysmegrupe te rregulltmajtas. Per te treguar se (S,Γ) eshte i rregullt majtas duhet te tregojme sipas Pohimit3.2.4 se cdo ideal i majte L i S eshte semiprim. Le te jete a ∈ S dhe γ ∈ Γ i tille qeaγa ∈ L. Atehere ekziston nje x ∈ S qe aγa ∈ Lx ⊆ L. Nga fakti qe klasa Lx eshtesemiprim (si e rregullt majtas) marrim qe a ∈ Lx, e rrjedhimisht qe a ∈ L.
53
Kapitulli 4
Mbi ekuivalencen ndermjetΓ-gjysmegupeve te renditur terregullt dhe gjysmegrupeve terenditur te rregullt
Ne kete kapitull do te zhvillojme nje teknike, qellimi i se ciles eshte te demonstrojeekuivalencen per nje cift rezultatesh analoge nga dy teorite. Kjo teknike eshte njeperpunim i asaj te zhvilluar ne [23] dhe ka avantazhin se ajo funksionon per Γ-gjysmegrupet e rregullta te pajisura me nje renditje te pjesshme.
Me specifikisht, per nje Γ-gjysmegrup te renditur (S,Γ,≤S), ne ndertojme njegjysmegrup te renditur (Ωγ0 , ·,≤Ωγ0
) dhe tregojme se S eshte i rregullt atehere dhevetem atehere kur Ωγ0 eshte i rregullt. Kjo tregon se rregullsia ne teorine e Γ-gjysmegrupeve mund te interpretohet si rregullsia e zakonshme e gjysmegrupeve.Ne vazhdojme me tej per te provuar se dy karakterizime te rregullsise, njera perΓ-gjysmegrupet e renditura, dhe tjetra per gjysmegrupet e renditura jane logjikishtekuivalente. Karakterizimi i rregullsise se Γ-gjysmegrupeve te renditura eshte Teore-ma 8 (iii) e [1] dhe gjithashtu Teorema 3 e [19], e cila pohon se nje Γ-gjysmegrup irenditur (S,Γ,≤S) eshte i rregullt atehere dhe vetem atehere kur idealet e njeanshemte (S,Γ,≤S) jane idempotente, dhe per cdo ideal te djathte R dhe cdo ideal te majteL nga (S,Γ,≤S), (RΓL] eshte kuazi-ideal i (S,Γ,≤S). Nga ana tjeter, karakterizimi irregullsise i gjysmegrupeve te rregullt eshte teorema 3.1 (iii) e [30] e cila pohon se njegjysmegrup i renditur (S, ·,≤S) eshte i rregullt atehere dhe vetem atehere kur idealete njeanshem te (S, ·,≤S) jane idempotente, dhe per cdo ideal te djathte R dhe cdoideal te majte L nga (S,Γ,≤S), (RΓL] eshte kuazi-ideal i (S, ·,≤S). Vertetimi qe teo-remat e mesiperme analoge jan ekuivalente, i jep pike idese se prodhimi i Γ-analogevete rezultateve te njohura nga teoria e gjysmegrupeve nuk sjell asgje te re ne teori sicpretendohej, por thjesht i replikon ato rezultate ne nje mjedis te ri.
54
4.1 Renditja ne Ωγ0 dhe disa rezultate paraprake
Po supozojme se (S,Γ,≤S) eshte nje Γ-gjysmegrup i renditur. Ne kapitullin e meparshemne treguam se (S,Γ)-es i shoqerohet nje gjysmegrup Ωγ0 . Tani pikerisht kete gjysmegrupdo ta pajisim me nje relacion renditjeje qe induktohet nga renditja ne (S,Γ,≤S).
Perkufizim 4.1.1 Percaktojme nje relacion renditje ≤Ωγ0ne terma te ≤S si me
poshte:
(1) Per cdo x, y ∈ S, shenojme x ≤Ωγ0y ⇔ x ≤S y,
(2) Per cdo x, y ∈ S, dhe γ ∈ Γ shenojme γx ≤Ωγ0γy ⇔ x ≤S y,
(3) Per cdo x, y ∈ S, dhe γ ∈ Γ shenojme xγ ≤Ωγ0yγ ⇔ x ≤S y,
(4) Per cdo x, y ∈ S, dhe γ ∈ Γ shenojme, γxγ′ ≤Ωγ0γyγ′ ⇔ x ≤S y,
(5) Ngushtimi i relacionit ne Γ merret barazimi.
Po te perdorim faktin qe ≤S eshte relacion renditje ne Γ-gjysmegrupin S, ne mundte tregojme se ≤Ωγ0
eshte nje relacion renditje ne gjysmegrupin Ωγ0 . Eshte e qarte se≤Ωγ0
eshte reflektiv, dhe shume lehte shihet se ai eshte edhe antisimetrik.Kontrollojmekalimtarine
(1) Ne qofte se x, y, z ∈ S jane te tilla qe
x ≤Ωγ0y dhe y ≤Ωγ0
z,
atehere nga perkufizimi,x ≤S y dhe y ≤S z,
prax ≤S z
sepse ≤S eshte kalimtar, dhe atehere
x ≤Ωγ0z.
(2) Ne qofte se x, y, z ∈ S, dhe γ ∈ Γ jane te tilla qe
γx ≤Ωγ0γy dhe γy ≤Ωγ0
γz,
ateherex ≤S y dhe y ≤S z,
prax ≤S z
dhe si rezultatγx ≤Ωγ0
γz.
55
(3) Ne qofte se x, y, z ∈ S, dhe γ ∈ Γ jane te tilla qe
xγ ≤Ωγ0yγ dhe yγ ≤Ωγ0
zγ,
atehere ngjashmerisht si me siper
x ≤S y dhe y ≤S z,
prax ≤S z,
rrjedhimishtxγ ≤Ωγ0
zγ.
(4) Ne qofte se x, y, z ∈ S, dhe γ, γ′ ∈ Γ jane te tilla qe
γxγ′ ≤Ωγ0γyγ′ dhe γyγ′ ≤Ωγ0
γzγ′,
ateherex ≤S y dhe y ≤S z,
prax ≤S z,
rrjedhimishtγxγ′ ≤Ωγ0
γzγ′.
(5) Ne qofte se α, β, γ ∈ Γ jane te tilla qe
α ≤Ωγ0β dhe β ≤Ωγ0
γ,
atehereα = β = γ.
Me tej ne tregojme se perputhshmeria e ≤S ne S implikon ate te ≤Ωγ0ne Ωγ0 .
Vertetimin do t’a bejme vetem per relacionet e tipit (4) te perkufizimit 4.1.1 meqenesevertetimet per tipet e tjera jane analoge.Keshtu, le te jete
γxγ′ ≤Ωγ0γyγ′,
dhe ne duam te tregojme se mosbarazimi ruhet pasi shumezojme dy anet e mosbara-zimit te mesiperm nga e majta (nga e djathta) me nje nga elementet e meposhtem:
α ∈ Γ, z ∈ S, αz ∈ ΓS, zβ ∈ SΓ, αzβ ∈ ΓSΓ.
Meqenese vertetimet per perputhshmerine nga e djathta jane simetrike me ato nga emajta, ne do t’i bejme vetem per shumezimin majtas.
56
(1)
α(γxγ′) ≤Ωγ0α(γyγ′)
⇔ (α • γ)xγ′ ≤Ωγ0(α • γ)xγ′
⇔ x ≤S y⇔ γxγ′ ≤Ωγ0
γyγ′.
(2)
z(γxγ′) ≤Ωγ0z(γyγ′)
⇔ (zγx)γ′ ≤Ωγ0(zγy)γ′
⇔ zγx ≤S zγy
ku kjo e fundit eshte e vertete meqenese x ≤S y.
(3)
(αz)(γxγ′) ≤Ωγ0(αz)(γyγ′)
⇔ α(zγx)γ′ ≤Ωγ0α(zγy)γ′
⇔ zγx ≤Ωγ0zγy
ku kjo e fundit eshte e vertete meqenese x ≤S y.
(4)
(zβ)(γxγ′) ≤Ωγ0(zβ)(γyγ′)
⇔ z(β • γ)xγ′ ≤Ωγ0z(β • γ)yγ′
⇔ z(β • γ)x ≤Ωγ0z(β • γ)y
ku mosbarazimi i fundit eshte i vertete meqenese x ≤S y.
(5)
(αzβ)(γxγ′) ≤Ωγ0(αzβ)(γyγ′)
⇔ α(z(β • γ)x)γ′ ≤Ωγ0α(z(β • γ)y)γ′
⇔ z(β • γ)x ≤Ωγ0z(β • γ)y
ku mosbarazimi i fundit eshte i vertete meqenese x ≤S y.
Per rrjedhoje ≤Ωγ0eshte i perputhshem me shumezimin e Ωγ0 .
Ne menyre te permbledhur, kemi pohimin e meposhtem.
Pohim 4.1.2 Treshja (Ωγ0 , ·,≤Ωγ0) eshte gjysmegrup i renditur.
57
Meqenese ne paragrafin pasardhes do te merremi me idealet e renditura ne tedyja strukturat, (S,Γ,≤S), dhe (Ωγ0 , ·,≤Ωγ0
), atehere nuk do te perdorim sheniminstandard (X] per idealet e renditur, por do te prezantojme nje shenim te ri si neperkufizimin e meposhtem
Perkufizim 4.1.3 Per C ⊆ S percaktojme
LS(C) = x ∈ S : ∃c ∈ C e tille qe x ≤S c,
dhe per cdo D ⊆ Ωγ0 ,
LΩγ0(D) = w ∈ Ωγ0 : ∃d ∈ D e tille qe w ≤Ωγ0
d.
Verejme se
Leme 4.1.4 LΩγ0(C) = LS(C) per C ⊆ S.
Vertetim. Se pari provojme se LS(C) ⊆ LΩγ0(C).
Ne qofte se y ∈ LS(C) atehere
y ≤S c per c ∈ C.
Meqenese y, c ∈ S atehere y ≤S c nga 4.1.1 eshte ekuivalente me y ≤Ωγ0c, pra
y ∈ LΩγ0(C).
Anasjellas, ne qofte se ω ∈ LΩγ0(C) atehere
w ≤Ωγ0c per c ∈ C
dhe nga 4.1.1 duhet te kemi qe w ∈ S, dhe qe ω ≤S c, qe provon se
ω ∈ LS.
Lema e meposhtme na jep nje lidhje ndermjet idealit kryesor te renditur ne S iperftuar nga ndonje x ∈ S, dhe idealit kryesor te renditur ne Ωγ0 i perftuar nga injejti element x.
Leme 4.1.5 Le te jete x ∈ S nje element cfaredo. Jane te verteta pohimet e meposhtme.
(i) Ideali kryesor i renditur i majte i Ωγ0 i perftuar nga x eshte bashkesia
(x)≤Ωγ0l = (x)≤Sl ∪ Γ(x)≤Sl
ku(x)≤Sl = LS(x ∪ SΓx)
eshte ideali i renditur i majte i S i perftuar nga x dhe
Γ(x)≤Sl = γy|γ ∈ Γ, y ∈ LS(SΓx ∪ x).
58
(ii) Ideali kryesor i renditur i djathte i Ωγ0 i perftuar nga x eshte bashkesia
(x)≤Ωγ0r = (x)≤Sr ∪ (x)≤Sr Γ
ku(x)≤Sr = LS(xΓS ∪ x)
eshte ideali i renditur i djathte i S i perftuar nga x dhe
(x)≤Sr Γ = yγ|γ ∈ Γ, y ∈ LS(xΓS ∪ x).
Vertetim. Do ta bejme vertetimin per (i) meqenese vertetimi per (ii) eshte dual meate te (i).
Pra kemi per te treguar se A ∈ (x)≤Ωγ0l atehere dhe vetem atehere kur A ∈ (x)≤Sl ∪
Γ(x)≤Sl . Vertet, ne qofte se A ∈ (x)≤Ωγ0l , atehere A ≤Ωγ0
B ku B ∈ LΩγ0(Ωγ0x ∪ x).
Ne qofte se B = x, kemi A ≤γ0 x dhe nga perkufizimi 4.1.1 A ≤S x, keshtu A ∈ (x)≤Sl .Ne qofte se B ∈ Ωγ0x atehere B mund te kete keto trajta:
(1)B = (αyβ)x = α(yβx).
Ne kete rast,A ≤Ωγ0
α(yβx)
e cila jepA = αz,
ku z ≤S yβx, prandajz ∈ (x)≤Sl
dhe atehere A ∈ Γ(x)≤Sl .
(2)B = (αy)x = α(yγ0x).
Ne kete rast,A ≤Ωγ0
α(yγ0x).
Mund t’a shohim ne te njejten menyre si me siper,
A ∈ Γ(x)≤Sl .
(3)B = (yα)x = yαx.
Ne kete rast,A ≤Ωγ0
yαx
dhe nga perkufizimi 4.1.1 kemi qe
A ≤S yαx,
per rrjedhoje A ∈ (x)≤Sl .
59
(4)B = (α)x = αx.
Ne kete rast,A ≤Ωγ0
αx,
atehereA = αz
ku z ≤S x, prandajz ∈ (x)≤Sl
dhe atehere A ∈ Γ(x)≤Sl .
Anasjellas, ne qofte seA ∈ (x)≤Sl ∪ Γ(x)≤Sl ,
atehere oseA ≤S B
ku B ∈ (x)≤Sl , oseA ≤Ωγ0
B
ku B = αC me α ∈ Γ dhe C ∈ (x)≤Sl .Ne rastin e pare rrjedh menjehere qe
A ∈ (x)≤Ωγ0l .
Ne rastin e dyte kur B = αC dhe C ∈ (x)≤Sl , mosbarazimi
A ≤Ωγ0αC
implikon seA = αA′
ku A′ ≤S C, dhe si rrjedhojeA′ ∈ (x)≤Sl .
Keshtu, A ∈ Γ(x)≤Sl .
4.2 Rregullsia ne Γ-gjysmegrupet e renditur si rr-
jedhim i rregullsise ne gjysmegrupet e renditur
Pohimi i meposhtem tregon se rregullsia e nje Γ-gjysmegrupi te renditur mund tekarakterizohet plotesisht si rregullsia e nje gjysmegrupi te renditur.
Pohim 4.2.1 S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt dhe i renditur ne qofte se dhe vetemne qofte se Ωγ0 eshte gjysmegrup i rregullt dhe i renditur.
60
Vertetim. Ne qofte se S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt dhe i renditur, atehere percdo a ∈ S,∃x ∈ S dhe γ1, γ2 ∈ Γ, te tilla qe
a ≤S aγ1xγ2a.
Per te treguar qe Ωγ0 eshte gjysmegrup i rregullt dhe i renditur, ne duhet te tregojmeqe cdo element i Ωγ0 ka nje invers te renditur ne Ωγ0 .Nga lema 3.1.1 kemi qe elementet e Ωγ0 mund te perfaqesohen nga nje fjale e pare-duktueshme e cila ka vetem pese trajta. Do te vertetojme rregullsine per elementet eseciles prej ketyre pese trajtave.Keshtu le te jete fillimisht
α1aα2 ∈ Ωγ0 .
Per te gjetur inversin e tij te renditur marrim a ≤S aγ1xγ2a dhe nga perkufizimi 4.1.1kemi
α1aα2 ≤Ωγ0α1(aγ1xγ2a)α2 = (α1aα2)(α−1
2 γ1xγ2α−11 )(α1aα2)
e cila na tregon se α1aα2 eshte i rregullt ne Ωγ0 dhe
α−12 γ1xγ2α
−11 ∈ Ωγ0
eshte inversi i renditur i tij.Se dyti, per te treguar qe αa ∈ Ωγ0 eshte i rregullt, marrim
a ≤S aγ1xγ2a
dhe nga perkufizimi 4.1.1 mund te shkruajme
αa ≤Ωγ0α(aγ1xγ2a) = (αa)(γ1xγ2α
−1)(αa).
Kjo na tregon se αa eshte i rregullt ne Ωγ0 dhe si invers te tij mund te marrimγ1xγ2α
−1 ∈ Ωγ0 .Ne te njejten menyre provohet se aα ∈ Ωγ0 eshte i rregullt me invers α−1γ1xγ2 ∈ Ωγ0 .Me tej tregojme se a ∈ Ωγ0 eshte i rregullt me invers γ1xγ2 ∈ Ωγ0 , meqenese ngaperkufizimi 4.1.1,
a ≤S aγ1xγ2a
dhe prandaja ≤Ωγ0
aγ1xγ2a.
Dhe se fundmi, γ ∈ Ωγ0 eshte i rregullt meqenese
γ ≤Ωγ0γγ−1γ.
Pra treguam se Ωγ0 eshte gjysmegrup i rregullt dhe i renditur.Anasjellas, ne qofte se Ωγ0 eshte gjysmegrup i rregullt dhe i renditur, atehere cdoa ∈ S ka nje invers ne Ωγ0 . Per te treguar se S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt dhei renditur, ne do te tregojme se cdo a ∈ S ka invers ne S. Per kete dallojme pese
61
trajtat e meposhtme.Se pari, ne qofte se inversi i a ne Ωγ0 ka trajten αxβ ∈ Ωγ0 , per x ∈ S atehere
a ≤Ωγ0aαxβa
nga perkufizimi 4.1.1 implikon se
a ≤S aαxβa,
duke treguar keshtu se a eshte i rregullt ne S.Se dyti,ne qofte se inversi i a ne Ωγ0 ka trajten αx atehere
a ≤Ωγ0a(αx)a = aαxγ0a
dhe perkufizimi 4.1.1 implikon se
a ≤S aαxγ0a,
qe do te thote qe a eshte i rregullt ne S.Se treti,ne qofte se inversi i a ne Ωγ0 ka trajten xα, ky rast eshte i ngjashem me rastine dyte.Se katerti, inversi i a ne S eshte x, atehere
a ≤Ωγ0axa = aγ0xγ0a
dhe nga perkufizimi 4.1.1a ≤S aγ0xγ0a,
qe do te thote se a eshte i rregullt ne S.Se fundmi, ne qofte se inversi ka trajten γ ∈ Γ atehere
a ≤Ωγ0aγa ≤Ωγ0
aγaγa
dhe nga perkufizimi 4.1.1 kemi se
a ≤S aγaγa
dhe a eshte i rregullt ne Γ-gjysmegrupin e renditur S.
Perpara se te vertetojme teoremen tone kryesore ne kemi nevoje per kete lemeteknike e cila eshte analogia e implikimit (iii)⇒ (ii) te Teoremes 9.4 te [29].
Leme 4.2.2 Ne qofte se (S,Γ,≤S) eshte Γ-gjysmegrup i renditur i tille qe idealete njeanshem te (S,Γ,≤S) jane idempotente, dhe per cdo ideal te djathte R dhe cdoideal te majte L te (S,Γ,≤S), LS(RΓL) eshte kuazi-ideal i (S,Γ,≤S), atehere per cdoa ∈ S,
(a)≤Sr ∩ (a)≤Sl = LS((a)≤Sr Γ(a)≤Sl ).
62
Vertetim. Fillimisht verejme se
(a)≤Sr = LS(a ∪ aΓS)
= LS(a ∪ aΓS)ΓLS(a ∪ aΓS)
⊆ LS(aΓS)
⊆ (a)≤Sr ,
nga e cila nxjerrim se(a)≤Sr = LS(aΓS).
Ne menyre te ngjashme nxjerrim se
(a)≤Sl = LS(SΓa).
Me tej, meqenese
LS((a)≤Sr Γ(a)≤Sl ) = LS(LS(aΓS)ΓLS(SΓa))
eshte kuazi-ideal, atehere kemi
LS(LS(LS(aΓS)ΓLS(SΓa))ΓS) ∩ LS(SΓLS(LS(aΓS)ΓLS(SΓa))) ⊆ LS(LS(aΓS)ΓLS(SΓa)).
Nga kjo dhe nga supozimi i bere me pare perftojme
(a)≤Sr ∩ (a)≤Sl = LS(aΓS) ∩ LS(SΓa)
= (LS(aΓS)ΓLS(aΓS)ΓLS(aΓS)) ∩ (LS(SΓa)ΓLS(SΓa)ΓLS(SΓa))
⊆ LS(LS(LS(aΓS)ΓLS(SΓa))ΓS) ∩ LS(SΓLS(LS(aΓS)ΓLS(SΓa)))
⊆ LS(LS(aΓS)ΓLS(SΓa))
= LS((a)≤Sr Γ(a)≤Sl ),
duke provuar keshtu perfshirjen
(a)≤Sr ∩ (a)≤Sl ⊆ LS((a)≤Sr Γ(a)≤Sl ),
e cila permbyll vertetimin.
Teoreme 4.2.3 Pohimet e meposhtme jane logjikisht ekuivalente.
(i) Nje Γ-gjysmegrup i renditur (S,Γ,≤S) eshte i rregullt atehere dhe vetem ateherekur idealet e njeanshem te (S,Γ,≤S) jane idempotente, dhe per cdo ideal tedjathte R dhe cdo ideal te majte L te (S,Γ,≤S), LS(RΓL) eshte kuazi-ideal i(S,Γ,≤S).
(ii) Nje gjysmegrup i renditur (S, ·,≤S) eshe i rregullt atehere dhe vetem atehere kuridealet e njeanshem te (S, ·,≤S) jane idempotente, dhe per cdo ideal te djathteR dhe cdo ideal te majte L te (S, ·,≤S), LΩγ0
(RL) eshte kuazi-ideal i (S, ·,≤S).
63
Vertetim. (i)⇒ (ii) eshte triviale meqenese cdo gjysmegrup i rregullt dhe i renditurmund te konsiderohet si nje Γ-gjysmegrup i rregullt dhe i renditur, ku Γ ka njeoperator te vetem. Gjithashtu idealet e njeanshem dhe kuazi-idealet ne gjysmegrupete renditur jane te njejta me ato ne Γ-gjysmegrupet e renditur kur Γ ka nje operatorte vetem.(ii)⇒ (i). Supozojme fillimisht se Γ-gjysmegrupi i renditur S eshte i rregullt. Ateherenga pohimi 4.2.1, Ωγ0 eshte gjysmegrup i renditur. Teorema 3.2 e [30] implikon se percdo ideal te djathte R dhe cdo ideal te majte L te Ωγ0 ,
R ∩ L = LΩγ0(RL),
LΩγ0(RL) eshte kuazi-ideal i Ωγ0 , dhe gjithashtu cdo ideal i djathte dhe i majte i
gjysmegrupit Ωγ0 eshte idempotent.Le te jete tani A nje ideal i djathte i renditur i S dhe konsiderojme nenbashkesine
R = LΩγ0(A ∪ AΓ)
te Ωγ0 . Do te tregojme seR = LΩγ0
(A ∪ AΓ)
eshte ideal i djathte i gjysmegrupit te renditur Ωγ0 . Per kete qellim ne duhet teprovojme se ai ploteson dy kushtet e idealeve te djathte:
(1) LΩγ0(A ∪ AΓ)Ωγ0 ⊆ LΩγ0
(A ∪ AΓ),
(2) ne qofte se a ∈ LΩγ0(A ∪ AΓ) dhe b ≤Ωγ0
a, atehere b ∈ LΩγ0(A ∪ AΓ).
Per te treguar kushtin e pare, ne duhet te provojme se per cdo b ∈ LΩγ0(A∪AΓ) dhe
cdo C ∈ Ωγ0 ,bC ∈ LΩγ0
(A ∪ AΓ).
Meqeneseb ∈ LΩγ0
(A ∪ AΓ),
atehere oseb ≤S a
ku a ∈ A, oseb ≤Ωγ0
aγ,
rast ne te cilinb = a′γ dhe a′ ≤S a.
Ne rastin e pare kur a, b ∈ S and b ≤S a, rrjedh menjehere se
bC ≤Ωγ0aC
sido qe te jete vlera e C, meqenese ≤Ωγ0eshte relacion i perputhshem. Por ende kemi
per te treguar seaC ∈ LΩγ0
(A ∪ AΓ)
64
dhe kjo do te varet nga vlera e C. Meqenese
C ∈ S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ ∪ Γ,
atehere
aC ∈ aS ∪ aΓS ∪ aSΓ ∪ aΓSΓ ∪ aΓ
⊆ aΓS ∪ aΓSΓ ∪ aΓ
⊆ LΩγ0(A ∪ AΓ)
ku perfshirja e fundit rrjedh nga fakti qe A eshte ideal i djathte i renditur i (S,Γ,≤S).Mbetet te tregojme se e njejta gje eshte e vertete ne rastin e dyte kur
b = a′γ
mea′ ∈ S dhe a′ ≤S a,
dhe γ ∈ Γ.Ne varesi te vleres se C ne duhet te tregojme se
aγC ∈ LΩγ0(A ∪ AΓ).
Vertet,
aγC ∈ (aγ)S ∪ (aγ)ΓS ∪ (aγ)SΓ ∪ (aγ)ΓSΓ ∪ (aγ)Γ
⊆ aΓS ∪ aΓSΓ ∪ aΓ
⊆ LΩγ0(A ∪ AΓ).
Te gjitha verifikimet e mesiperme provojne kushtin e pare, ndersa kushti i dyte eshtei qarte. Keshtu
R = LΩγ0(A ∪ AΓ)
eshte ideal i djathte i gjysmegrupit te renditur Ωγ0 dhe nga [30] rrjedh se
R = LΩγ0(A ∪ AΓ)
eshte idempotent.Kalojme tani nga gjysmegrupi i renditur Ωγ0 tek Γ-gjysmegrupi i renditur S, ne dote tregojme qe ne qofte se cdo ideal i djathte i gjysmegrupit te renditur Ωγ0 eshteidempotent, atehere i tille eshte edhe cdo ideal i djathte i Γ-gjysmegrupit te renditurS. Le te jete A nje ideal i djathte i Γ-gjysmegrupit te renditur S, duhet te tregojmese A eshte idempotent ne S, domethene
LS(AΓA) = A.
Meqenese A eshte ideal i djathte, atehere
LS(AΓA) ⊆ LS(AΓS) ⊆ A.
65
Per te treguar te anasjellen, do te perdorim faktin qe
LΩγ0(A ∪ AΓ)
eshte idempotent ne Ωγ0 , keshtu
A ⊆ LΩγ0(A ∪ AΓ)
= (LΩγ0(A ∪ AΓ))2
⊆ LΩγ0(AA ∪ AAΓ ∪ AΓA ∪ AΓAΓ)
⊆ LΩγ0(AΓA ∪ AΓ).
Kjo implikon se cdo a ∈ A eshte me poshte lidhur me renditjen ≤Ωγ0se ndonje element
i A ose ndonje element i AΓ.Rasti i dyte eshte i pamundur nga menyra se si e kemi percaktuar ≤Ωγ0
, keshtu mbetetqe ka ndonje γ ∈ Γ, dhe a′, a′′ ∈ A te tilla qe
a ≤Ωγ0a′γa′′.
Por kjo eshte njesoj si te thuash se
a ≤S a′γa′′,
pra a ∈ LS(AΓA), dhe si rrjedhoje
A ⊆ LS(AΓA).
Tregohet qe edhe idealet e majte te S jane idempotente gjithashtu por me pareprovohet ne menyre te ngjashme si me larte se per cdo ideal te majte B te S, bashkesia
LΩγ0(B ∪ ΓB)
eshte ideal i majte i Ωγ0 .Se fundmi, ne qofte se A eshte nje ideal i djathte dhe B nje ideal i majte i Γ-gjysmegrupit te renditur S, kemi per te treguar se LS(AΓB) eshte kuazi-ideal i(S,Γ,≤S), qe do te thote se:
LS (LS(AΓB)ΓS ∩ SΓLS(AΓB)) ⊆ LS(AΓB), (4.1)
dheLS(LS(AΓB)) = LS(AΓB). (4.2)
Nga [30] kemi se per idealin e djathte LΩγ0(A∪AΓ) dhe per idealin e majte LΩγ0
(B ∪ΓB) te Ωγ0 , bashkesia
LΩγ0(LΩγ0
(A ∪ AΓ) · LΩγ0(B ∪ ΓB)) = LΩγ0
((A ∪ AΓ) · (B ∪ ΓB))
66
eshte kuazi-ideal i Ωγ0 . Per te treguar kushtin e pare ( 4.1) shohim se
LS (LS(AΓB)ΓS ∩ SΓLS(AΓB))
⊆ LΩγ0((LΩγ0
(A ∪ AΓ) · LΩγ0(B ∪ ΓB)) · Ωγ0 ∩ Ωγ0 · LΩγ0
(LΩγ0(A ∪ AΓ) · LΩγ0
(B ∪ ΓB))
⊆ LΩγ0((LΩγ0
(A ∪ AΓ) · LΩγ0(B ∪ ΓB))
= LΩγ0((A ∪ AΓ) · (B ∪ ΓB))
= LΩγ0(AΓB)
= LS(AΓB),
ku barazimi i fundit rrjedh nga lema 4.1.4. Kushti i dyte (4.2) eshte qartesisht i vertetemeqenese LS(AΓB) eshte ideal i renditur.
Anasjellas, supozojme se cdo ideal i djathte dhe i majte i S eshte idempotent, dheper cdo ideal te djathte A te S, dhe cdo ideal te majte B te S, bashkesia
LS(AΓB)
eshte kuazi-ideal i S, dhe ne duam te provojme se S eshte i rregullt. Strategjia eshtete provojme se ne kushtet e dhena, Ωγ0 eshte gjysmegrup i rregullt dhe i renditur, dheme pas nga pohimi 4.2.1 perftojme menjehere qe S eshte Γ-gjysmegrup i rregullt dhei renditur. Per te treguar rregullsine e Ωγ0 mjafton te tregojme se te gjithe idealet edjathte R dhe te gjithe idealet e majte L te Ωγ0 , jane idempotent, dhe
LΩγ0(R · L)
eshte kuazi-ideal i Ωγ0 .Le te jete R ideal i djathte i Ωγ0 dhe duam te tregojme se
RR = R.
PerfshirjaRR ⊆ R
eshte triviale. Per te treguar perfshirjen e anasjelle
R ⊆ RR
do te na duhet te tregojme se cdo x ∈ R eshte i trajtes
x = x1x2
ku x1, x2 ∈ R. Ka disa mundesi per x ∈ R.
(i) x ∈ S. Atehere nga lema 4.1.5 kemi qe
(x)≤Ωγ0r = (x)≤Sr ∪ (x)≤Sr Γ.
Duke ditur qe (x)≤Sr eshte idempotent nga supozimi, kemi
(x)≤Sr = (x)≤Sr Γ(x)≤Sr ,
67
prandajx = x1γx2
ku x1, x2 ∈ (x)≤Sr dhe γ ∈ Γ.Tani x1γ ∈ (x)≤Sr Γ dhe x2 ∈ (x)≤Sr , rrjedhimisht
x = (x1γ) · x2 ∈ (x)≤Ωγ0r · (x)
≤Ωγ0r ⊆ R ·R.
(ii) Le te jete elementi i R i trajtes xα ku x ∈ S dhe α ∈ Γ. Meqenese R eshte ideali djathte i Ωγ0 , atehere
xΓ = x(α • Γ)
= (xα)Γ
⊆ (xα)Ωγ0
⊆ RΩγ0
⊆ R,
dhe perftojme gjithashtu se
xΓS = xΓΓS
⊆ RΓS
⊆ RΩγ0
⊆ R.
Tani do te provojme se elementi i mesiperm x eshte domosdoshmerisht ne R. Perkete perdorim perseri faktin qe (x)≤Sr eshte idempotent. Nga supozimi rrjedh se
x = x′γx′′
ku osex′ ≤S x,
osex′ ≤S xβs dhe s ∈ S.
Ne rastin e pare,
x = x′γx′′
≤S xγx′′ ∈ xΓS
⊆ R,
nga e cila rrjedh se x ∈ R. Ngjashmerisht, ne rastin e dyte shohim se
x = x′γx′′
≤S xβsγx′′ ∈ xΓS
⊆ R,
68
dhe atehere x ∈ R. Nga vertetimi i (i) me siper kemi qe
x = (x1γ) · x2
ku x1γ ∈ R dhe x2 ∈ R. Atehere
xα = (x1γ) · (x2α)
ku perseri x1γ ∈ R dhe x2α ∈ R. Keshtu provuam se xα shprehet si produkt idy elementeve te R sic deshironim.
(iii) Elementi i R eshte i trajtes αx ku α ∈ Γ dhe x ∈ S. Ne kete rast, se pari kemiper te treguar barazimin
(αx)≤Ωγ0r = α(x)
≤Ωγ0r .
Vertet,
ξ ∈ (αx)≤Ωγ0r ⇔ ξ ∈ LΩγ0
(αx ∪ αxΩγ0)
⇔ ξ = αx′ ku x′ ∈ LΩγ0(x ∪ xΩγ0)
⇔ ξ ∈ α(x)≤Ωγ0r ,
e cila tregon se
(αx)≤Ωγ0r = α(x)
≤Ωγ0r .
Nga lema 4.1.5 nxjerrim se
(αx)≤Ωγ0r = α((x)≤Sr ∪ (x)≤Sr Γ).
Tani ideali i djathte (x)≤Sr eshte idempotent gje qe do te thote se
(x)≤Sr = (x)≤Sr Γ(x)≤Sr ,
prandaj
(αx)≤Ωγ0r = α((x)≤Sr Γ(x)≤Sr ∪ (x)≤Sr Γ). (4.3)
Nga (4.3) rrjedh seαx = αx1γx2
ku x1, x2 ∈ (x)≤Sr . Tani ne qofte se ne e rishkruajme kete term si
αx = (αx1)(γα−1)(αx2),
shohim se
αx = (αx1)(γα−1)(αx2)
∈ α((x)≤Sr ∪ (x)≤Sr Γ)α((x)≤Sr ∪ (x)≤Sr Γ)
= (αx)≤Ωγ0r · (αx)
≤Ωγ0r ,
e cila tregon ate qe pretendonim te vertetonim.
69
(iv) Elementi i R eshte i trajtes αxβ. Fillimisht verejme se
(αxβ)≤Ωγ0r = LΩγ0
(αxβ ∪ αxβ(Γ ∪ S ∪ ΓS ∪ SΓ ∪ ΓSΓ))
= LΩγ0(αxΓ ∪ αxΓS ∪ αxΓSΓ).
Meqenese (x)≤Sr eshte idempotent, atehere
x = x1γx2
ku x1, x2 ∈ (x)≤Sr . Rrjedh se
αx1γα−1 ∈ LΩγ0
(αxΓ ∪ αxΓS ∪ αxΓSΓ)
dhe ngjashmerisht,
αx2β ∈ LΩγ0(αxΓ ∪ αxΓS ∪ αxΓSΓ),
atehere
αxβ = (αx1γα−1)(αx2β)
∈ (LΩγ0(αxΓ ∪ αxΓS ∪ αxΓSΓ))2
= ((αxβ)≤Ωγ0r )2
⊆ R2.
Kjo tregon se αxβ shprehet si produkt i dy elementeve ne R.
(v) Rasti i fundit eshte kur elementi i R eshte ndonje γ ∈ Γ. Verejme se
Γ = γΓ ⊆ RΩγ0 ⊆ R.
Tani duke shenuar me 1 elementin e njesishem te (Γ, •) kemi qe
γ = γ · 1 ∈ RR,
dhe perseri, γ ∈ R shprehet si produkt i dy elementeve ne R, domethene γ dhe1.
Po ta permbledhim, kemi treguar se cdo ideal i djathe R i Ωγ0 eshte idempotent. Nemenyre te ngjashme, tregohet se cdo ideal i majte L eshte idempotent ne Ωγ0 .Tani ne qofte R eshte ideal i djathte dhe L ideal i majte i gjysmegrupit te renditurΩγ0 , duhet te tregojme se
LΩγ0(RL)
eshte kuazi-ideal i Ωγ0 . Kjo do te rridhte menjehere ne qofte se ne tregojme qe
R ∩ L ⊆ LΩγ0(RL),
70
meqenese nga njera ane, R ∩ L eshte kuazi-ideal, dhe nga ana tjeter,
LΩγ0(RL) ⊆ R ∩ L.
Le te jete αxβ ∈ R ∩ L ku α, β ∈ Γ jane operatore nga Γ, dhe x ∈ S te tille qe
αxβ ≤Ωγ0αaβ
ku αaβ ∈ R ∩ L dhe a ∈ S. Nga perkufizimi 4.1.1 kemi qe x ≤S a. Rrjedhimisht,
x ∈ (a)≤Sr ∩ (a)≤Sl = LS((a)≤Sr Γ(a)≤Sl ),
ku barazimi rrjedh nga lema 4.2.2. Atehere gjenden ξ1, ξ2, ξ3 ∈ Γ dhe s, t ∈ S te tilleqe
x ≤S aξ1sξ2tξ3a.
Me tej kemi se
αxβ ≤Ωγ0(αaβ)(β−1ξ1)((sξ2t)(ξ3α
−1)(αaβ)) ∈ LΩγ0(RL)
meqenese(β−1ξ1)((sξ2t)(ξ3α
−1)(αaβ)) ∈ L.
Rastet e mbetura per nje element nga R∩L perfshijne elemente te trajtes αx, xβ osethjesht x, ku α, β ∈ Γ dhe x ∈ S. Keto raste trajtohen ne menyre te ngjashme si mesiper.
Rrjedhimi i meposhtem eshte i menjehershem.
Rrjedhim 4.2.4 Secili nga karakterizimet e rregullsise te nje Γ-gjysmegrupi te ren-ditur te dhena ne Teoremen 8 te [1] eshte logjikisht ekuivalent me karakterizimin kor-respondues te tij te rregullsise te nje gjysmegrupi te renditur te dhene ne Teoremen3.1 te [30].
71
Kapitulli 5
Disa verejtje mbi Γ-gjysmegrupetinversive
5.1 Disa njohuri paraprake
Vitet e fundit jane percaktuar disa lloje te Γ-gjysmegrupeve inversive, disa nga te cilatrezultojne te kene veti te ngjashme me ato te gjysmegrupeve inversive, ndersa tipevete tjere u mungojne ato lloj rezultatesh qe do te justifikonin studimin e tyre. Qellimii ketij kapitulli eshte te provoje mosekzistencen e disa prej tipeve te Γ-gjysmegrupeveinversive duke i lidhur ato me nje gjysmegrup i cili mund t’i shoqerhet gjithmone njeΓ-gjysmegrupi cfaredo.
Po ti kthehemi edhe njehere perkufizimit te elementeve te rregullt, verejme se neqofte se nje element eshte i rregullt, atehere ai ka invers te rregullt. Ne ngjashmeri megjysmegrupet e rregullta pritet qe nje element te kete disa inverse. Kjo situate eshtepak e ngaterruar vecanerisht me Γ-gjysmegrupet. Per kete arsye, ne [26] Saha dheSeth percaktuan Γ-gjysmegrupet inversive si ato Γ-gjysmegrupe te rregullt (S, (·)Γ)me vetine qe
∀a ∈ S, |V βα (a)| = 1
sa here qe ka nje (α, β)-invers te a. Me fjale te tjera, cdo element i nje Γ-gjysmegrupiinversiv ka nje (α, β)-invers unik per ndonje cift (α, β) ∈ Γ×Γ. Γ-gjysmegrupet e tilleriemertohen si Γ-gjysmegrupe inversive te llojit te pare ne tezen e doktorates se O.Beqiri ne [3] (shih gjithashtu [4] dhe [5]). Nje tjeter lloj i Γ-gjysmegrupeve inversivete percaktuar ne [3] jane ata qe quhen aty Γ-gjysmegrupe inversive te llojit te dytete cilet me perkufizim jane ato Γ-gjysmegrupe qe kenaqin vetine qe per cdo a ∈ Sekziston nje (α, β) ∈ Γ × Γ i vetem dhe nje b ∈ V β
α (a) e vetme. Eshte tunduese pert’u shqyrtuar ato Γ-gjysmegrupe inversive te llojit te dyte me vetine qe i vetmi cift iΓ × Γ per te cilin a ka invers eshte cifti (α, β). Γ-gjysmegrupet e tille do t’i quajmeΓ-gjysmegrupe inversive te llojit te dyte te forte.
Ne pamje te pare duket se Γ-gjysmegrupet inversive te llojit te dyte te forte janeme afer me gjysmegrupet inversive se sa me lloje te tjera dhe per rrjedhoje me prem-tuese per studime te metejshme. Ne fakt kjo pershtypje rezulton e gabuar. Indikacionii pare per kete u dha ne [3] ku studimi i klases me te gjere te Γ-gjysmegrupeve inver-
72
sive te llojit te dyte u shmang me argumentin se nuk ka shembuj te disponueshem jotriviale te Γ-gjysmegrupeve te tille qe do te motivonte studimin e tyre.
Sic e permendem me heret, ne do te provojme se Γ-gjysmegrupet inversive tellojit te dyte te forte nuk mund te ekzistojne kurre dhe per te arritur kete ne do tilidhim cdo Γ-gjysmegrupi te dhene (S, (·)Γ) nje gjysmegrup te caktuar Ωγ0 per te cilinne tregojme se ai eshte gjysmegrup inversiv sa here qe (S, (·)Γ) eshte Γ-gjysmegrupinversiv i llojit te dyte i forte. Por mund te provohet shume lehte se Ωγ0 nuk mund tejete kurre gjysmegrup inversiv, keshtu ne kembim marrim se Γ-gjysmegrupet inversivete llojit te dyte te forte ne te vertete nuk ekzistojne . Gjithashtu ne provojme qe asΓ-gjysmegrupi inversiv i llojit te pare nuk ekziston ne rastin kur Γ-gjysmegrupi kenaqnje kondite palidhshmerie te caktuar qe thote afersisht se elemente te ndryshem te Skane bashkesi te ndara te operatorevee nga Γ per te cilat ata kane inverse.Keto dy rezultate jane indikacione se sa e rrezikshme eshte shqyrtimi ne teorine eΓ-gjysmegrupeve i sistemeve aksiomatike analoge me ato te teorise se gjysmegrupevete cilat percaktojne gjysmegrupet inversive atje.
5.2 Dy teoremat e mosekzistences
Gjysmegrupi qe do te perdorim per synimin tone eshte ai pikerisht ai Ωγ0 . Pohimi imeposhtem eshte hapi i pare drejt arritjes se ketij synimi.
Pohim 5.2.1 (S, (·)Γ) eshte nje Γ-gjysmegrup inversiv i llojit te dyte i forte ateheredhe vetem atehere kur Ωγ0 eshte gjysmegrup inversiv.
Vertetim. Supozojme se S eshte nje Γ-gjysmegrup inversiv i llojit te dyte i forte. Kjodo te thote se per cdo a ∈ S ka nje, (γ1, γ2) ∈ Γ×Γ te vetme per te cilen ekziston njeinvers x ∈ S dhe qe ky invers eshte i vetem. Del menjehere se a ka nje (γ1, γ2)-inversne (S, (·)Γ) i cili eshte
xγ2aγ1x,
dhe meqenese (S, (·)Γ) eshte Γ-gjysmegrup inversiv i llojit i dyte i forte, kemi se
xγ2aγ1x = x.
Verejme tani se ne Ωγ0 elementi a ka nje invers i cili eshte γ1xγ2. Kjo eshte e vertetemeqenese
a = aγ1xγ2a
dhe(γ1xγ2)a(γ1xγ2) = γ1xγ2.
Ky invers ne fakt eshte i vetem, sepse ne qofte se α1yα2 ∈ Ωγ0 do te ishte nje tjeterinvers, ku α1 ose α2 mund te jene operatore bosh, atehere
a = aα1yα2a
dhe(α1yα2)a(α1yα2) = α1yα2.
73
Barazimi i dyte implikon sey = yα2aα1y,
dhe i pari implikon seyα2aα1y
eshte nje (α1, α2)-invers i a ne S, atehere nga supozimi per S kemi qe
α1 = γ1, α2 = γ2 dhe yα2aα1y = x.
Ky barazim i fundit implikon se x = y, dhe si rrjedhim kemi se
α1yα2 = γ1xγ2.
Ne tregojme se e njejta gje ndodh me te gjithe trajtat e tjera qe mbeten te elementevete Ωγ0 . Le te jete α1aα2 nje tjeter trajte e elementit te Ωγ0 . Nje invers ne Ωγ0 eshteelementi
α−12 γ1xγ2α
−11 ∈ Ωγ0 ,
meqenese
(α1aα2)(α−12 γ1xγ2α
−11 )(α1aα2) = α1aγ1xγ2aα2
= α1aα2,
dhe
(α−12 γ1xγ2α
−11 )(α1aα2)(α−1
2 γ1xγ2α−11 ) = α−1
2 γ1(xγ2aγ1x)γ2α−11
= α−12 γ1xγ2α
−11 .
Ky invers eshte i vetem sepse ne qofte se β1yβ2 do te ishte nje tjeter invers, ateherene Ωγ0 do te kishim
α1aα2 = (α1aα2)(β1yβ2)(α1aα2)
= α1(a(α2β1)y(β2α1)a)α2,
e cila implikon sea = a(α2β1)y(β2α1)a.
Por do te kishim gjithashtu qe
(β1yβ2)(α1aα2)(β1yβ2) = β1yβ2,
e cila implikon sey(β2α1)a(α2β1)y = y.
Supozimi mbi S implikon se
y = x, dhe α2β1 = γ1, β2α1 = γ2,
ose njesoj,β1 = α−1
2 γ1 dhe β2 = γ2α−11 .
74
Si rezultat kemi qeβ1yβ2 = α−1
2 γ1xγ2α−11
e cila provon unicitetin. Me tej shohim gjithashtu se αa ∈ Ωγ0 ka nje invers i cili eshteγ1xγ2α
−1 ∈ Ωγ0 , sepse
(αa)(γ1xγ2α−1)(αa) = αaγ1xγ2a
= αa,
dhe
(γ1xγ2α−1)(αa)(γ1xγ2α
−1) = γ1(xγ2aγ1x)γ2α−1
= γ1xγ2α−1.
Ky invers eshte i vetem sepse ne qofte se β1yβ2 do te ishte nje tjeter invers, ateherene Ωγ0 nga njera ane do te kishim qe
αa = (αa)(β1yβ2)(αa)
= α(aβ1y(β2α)a),
e cila implikon sea = aβ1y(β2α)a,
dhe nga ana tjeter qe(β1yβ2)(αa)(β1yβ2) = β1yβ2,
e cila implikon sey = y(β2α)aβ1y.
Supozimi mbi S, implikon se
β1 = γ1, β2 = γ2α−1 dhe y = x,
pra unicitetin.Nje vertetim i ngjashem behet per elementet e trajtes aα ∈ Ωγ0 prandaj e kemianashkaluar.
Se fundmi, cdo α ∈ Γ ka invers te vetem α−1, i cili eshte inversi i tij ne (Γ, •). Kjomund te shihet lehte duke hequr dore nga lista e mundshme e inverseve te S ∪ ΓS ∪SΓ ∪ ΓSΓ.
Anasjellas, ne qofte se Ωγ0 eshte gjysmegrup inversiv, atehere cdo a ∈ S ka njeinvers ne Ωγ0 . Do te tregojme qe cdo a ∈ (S, (·)Γ) ka invers te vetem ne (S, (·)Γ). Perkete dallojme kater rastet e meposhtme. Se pari, ne qofte se inversi i a ne Ωγ0 eshte itrajtes αxβ ku x ∈ S, atehere
aαxβa = a dhe αxβ = (αxβ)a(αxβ),
prandajx = xβaαx.
75
Te dy barazimet nenkuptojne se x eshte nje (α, β)-invers i a ne (S, (·)Γ). Ky eshte ivetem, sepse ne te kundert, ne qofte se do te ishin γ, δ ∈ Γ dhe y ∈ S te tilla qe
a = aγyδa dhe y = yδaγy,
atehere ne Ωγ0 ,(γyδ)a(γyδ)
eshte invers i a. Por Ωγ0 eshte gjysmegrup inversiv, keshtu
αxβ = (γyδ)a(γyδ)
= γ(yδaγy)δ
= γyδ,
dhe atehereγ = α, y = x dhe δ = β.
Se dyti, ne qofte se αx eshte nje invers i a ne Ωγ0 , atehere
a(αx)a = a dhe αxaαx = αx.
Mund t’a rishkruajme kete si
aαxγ0a = a dhe αxγ0aαx = αx.
Ekuacioni i dyte eshte ekuivalent me
xγ0aαx = x.
Ne terma te (S, (·)Γ) keto barazime nenkuptojne se x eshte nje (α, γ0)-invers i a.Ngjashmerisht me rastin e pare, ne qofte se gjenden γ, δ ∈ Γ dhe y ∈ S te tilla qe
a = aγyδa dhe y = yδaγy,
atehereγyδ = αxγ0
dhe atehereγ = α, y = x dhe δ = γ0.
Se treti, inversi i a ne Ωγ0 eshte ndonje xα. Ky rast trajtohet ngjashmerisht me rastine dyte.Se katerti, inversi i a ne Ωγ0 eshte ndonje x ∈ S. Atehere,
axa = a dhe x = xax,
ose ne menyre ekuivalente,
aγ0xγ0a = a dhe x = xγ0aγ0x,
76
e cila implikon se x eshte nje (γ0, γ0)-invers i a ne (S, (·)Γ).Per te treguar unicitetin, supozojme se gjenden γ, δ ∈ Γ dhe y ∈ S te tilla qe
a = aγyδa dhe y = yδaγy.
Atehere, njesoj si me pare, kemi
γyδ = γ0xγ0 dhe γ = γ0 = δ, y = x.
Me tej do te tregojme mos-ekzistencen e Γ-gjysmegrupeve inversive te llojit te dytete forte.
Teoreme 5.2.2 Nuk ka Γ-gjysmegrupe inversive te llojit te dyte te forte.
Vertetim. Supozojme se (S, (·)Γ) eshte Γ-gjysmegrup inversiv i llojit te dyte, ateherenga Pohimi 5.2.1 gjysmegrupi Ωγ0 eshte gjysmegrup inversiv. Le te jene a, b ∈ Selemente cfaredo, dhe le te jete x ∈ S nje (γ1, γ2)-invers i a ne (S, (·)Γ), gjithashtule te jete y ∈ S nje (β1, β2)-invers i b ne (S, (·)Γ). Rrjedh qe γ1xγ2 eshte inversi i ane Ωγ0 , dhe β1xβ2 eshte inversi i b ne Ωγ0 . Meqenese Ωγ0 eshte gjysmegrup inversiv,atehere idempotentet
aγ1xγ2 dhe β1yβ2b
nderrojne ne Ωγ0 . Per rrjedhoje
aγ1x(γ2β1)yβ2b = (aγ1xγ2)(β1yβ2b)
= (β1yβ1b)(aγ1xγ2)
= β1yβ1(bγ0a)γ1xγ2.
Keshtu kemi qeaγ1x(γ2β1)yβ2b = β1yβ1(bγ0a)γ1xγ2
i cili eshte nje barazim i pamundur ne Ωγ0 . Kjo kontradite provon mos-ekzistencen egjysmegrupit inversiv (S, (·)Γ) te llojit te dyte te forte.
Persa i perket Γ-gjysmegrupeve te llojit te pare, ne do te tregojme se ne rrethanate caktuara te cilat do t’i pershkruajme me poshte, as ata nuk ekzistojne.Le te jete (S, (·)Γ) nje Γ-gjysmegrup inversiv i llojit te pare. Supozojme se Γ eshtecopetuar si bashkim i ndare jotrivial i nenbashkesive
Γ = ta∈SΓa
ku secila Γa ka vetine qe per cdo cift (α, β) ∈ Γ × Γ per te cilin ekziston nje (α, β)-invers i a, atehere ky invers eshte i vetem, dhe te dyja α, β ∈ Γa. Ky copetim jotriviali Γ nuk do te ishte i mundur per Γ-gjysmegrupet inversive te llojit te dyte meqenesene ate rast ka vetem nje Γa, domethene Γ.Do te quajme Γ-gjysmegrupe inversive te palidhur te llojit te pare cdo Γ-gjysmegrupinvesiv te llojit te pare i cili kenaq kushtin e mesiperm. Ne fakt pohimi i meposhtemtregon se te tille Γ-gjysmegrupe ne te vertete nuk ekzistojne.
77
Teoreme 5.2.3 Nuk ka Γ-gjysmegrupe inversive te palidhur te llojit te pare.
Vertetim. Supozojme se (S, (·)Γ) eshte nje Γ-gjysmegrup inversiv i palidhur i llojitte pare. Do te percaktojme nje Γ′-gjysmegrup te ri (S, (·)Γ′) ku Γ′ ⊆ Γ dhe qe (S, (·)Γ′)eshte Γ′-gjysmegrup inversiv i llojit te dyte i forte. Kjo kontradite do te tregoje mos-ekzistencen ne rastin tone. Per te percaktuar Γ′ do te veprojme si me poshte. Per cdoa ∈ S ne zgjedhim ndonje (α, β) ∈ Γ×Γ per te cilin ekziston nje (α, β)-invers i a. Neqofte se ndodh qe a nuk ka (β, α)-invers ne S, atehere percaktojme
Γ′a = α, β.
Perndryshe, ne qofte se ka nje (β, α)-invers te a, atehere ne provojme se pari se kagjithashtu nje (α, α)-invers te a ne S. Vertet, ne qofte se x, y ∈ S jane perkatesisht(α, β) dhe (β, α)-inverse te a, atehere
a = aαxβa dhe a = aβyαa,
nga e cila marrim sea = aα(xβaβy)αa
dhe
(xβaβy)αaα(xβaβy) = xβ(aβyαa)α(xβaβy)
= xβaα(xβaβy)
= xβ(aαxβa)βy
= xβaβy,
qe tregon se a ka nje (α, α)-invers, sic kerkohej. Ne kete rast percaktojme
Γ′a = α.
E bejme kete per cdo a ∈ S per te perftuar nje nenbashkesi Γ′a te Γa dhe pastajpercaktojme
Γ′ = ta∈SΓ′a.
Tani qartesisht ka nje Γ′-gjysmegrup (S, (·)Γ′) ku Γ′-shumezimi (·)Γ′ eshte ai i induk-tuar nga ngushtimi ne Γ′.
Se fundmi, ne (S, (·)Γ′) kemi se per cdo element a ∈ S, gjendet nje (α, β) ∈ Γ′×Γ′
i vetem per te cilin ekziston nje x ∈ S i vetem i tille qe x eshte nje (α, β)-invers i a.Uniciteti i x rrjedh nga fakti qe (S, (·)Γ) eshte nje Γ-gjysmegrup inversiv i palidhuri llojit te pare, dhe uniciteti i (α, β) rrjedh nga palidhshmeria e (S, (·)Γ) se bashkume faktin qe Γ′a eshte i vetmi komponent i copetimit te Γ′ i cili permban nje α tevetem dhe nje β te vetem te tille qe x eshte nje (α, β)-invers i a. Po t’i permbledhimketo, (S, (·)Γ′) eshte Γ′-gjysmegrup inversiv i llojit te dyte i forte dhe kemi perfunduarkeshtu vertetimin.
78
Kapitulli 6
Γ-gjysmegrupet jane konkrete
Per nje monoid te dhene M me grupin e njeshave Γ, mund te percaktojme nje Γ-gjysmegrup evident (M,Γ) ku per cdo γ ∈ Γ dhe s, t ∈M , γ-shumezimi i s me t eshteprodukti sγt ∈M . Do t’a quajme (M,Γ), Γ-gjysmegrupi i njeshave te M .
Qellimi i ketij kapitulli eshte te tregoje qe cdo Γ-gjysmegrup zhytet ne Γ-gjysmegrupine njeshave te ndonje monoidi M , grupi i njeshave te te cilit ka si bashkesi mbajteseΓ. Ky fakt tregon natyren konkrete te Γ-gjysmegrupeve dhe marredhenien e ngushteqe ata kane me monoidet. Po te kemi parasysh qe shumica e shembujve te njohurte Γ-gjysmegrupeve jane artificiale ne natyre, atehere do te vleresohej se teprermigjetja e shembujve te tjere qe do te beheshin te dobishem ne dege te tjera te mate-matikes dhe te motivonin studimin e Γ-gjysmegrupeve. Nje dege e tille e mundshmee matematikes eshte teoria algjebrike e gjysmegrupeve.
Ne kete kapitull te fundit ne perpiqemi te lidhim Γ-gjysmegrupet me gjysmegrupetne nje menyre te ndryshme nga pjesa tjeter e tezes, duke ndertuar per cdo Γ-gjysmegrupnje monoid me grup njeshash i cili ka si bashkesi mbajtese Γ, dhe me pas percaktojmenje strukture Γ-gjysmegrupi mbi kete. Ne tregojme qe Γ-gjysmegrupi i fundit perfshinate te meparshmin. Kjo tregon se ne gjithmone mund t’i perftojme Γ-gjysmegrupetsi te lindur nga ndonje monoid dhe grupi i tij i njeshave.
6.1 Monoidi mbeshtjelles i nje Γ-gjysmegrupi
Per nje Γ-gjysmegrup te dhene S do te percaktojme nje monoid Ωγ0(S,Γ) ku γ0
eshte nje element i fiksuar i Γ. Ndertimi eshte shume i ngjashem me ate te [12] meperjashtim te faktit se ketu ne kemi nje element njesi.
Sic kemi theksuar edhe me pare, ne mund te percaktojme gjithmone nje shumezim•mbi nje bashkesi joboshe cfaredo Γ ne menyre te tille qe (Γ, •) behet grup. Elementinnjesi te (Γ, •) ketj e tutje do ta shenojme me γ0. Per te percaktuar Ωγ0(S,Γ), le tejete se pari (F, ·) gjysmegrupi i lire mbi S. Elementet e tij jane vargje te fundme
(x1, ..., xn)
ku cdo xi ∈ S dhe produkti · eshte bashkengjitja e fjaleve. Percaktojme tani Ωγ0(S,Γ)si gjysmegrupin faktor te produktit te lire F ∗Γ te dy gjysmegrupeve (F, ·) me (Γ, •)
79
sipas kongruences se perftuar nga bashkesia e relacioneve
((x, y), xγ0y), ((x, γ, y), xγy), (γ0x, x), (xγ0, x),
per cdo x, y ∈ S, γ ∈ Γ dhe γ0 ∈ Γ elementi njesi i (Γ, •). Gjithashtu, mund takonsiderojme grupin (Γ, •) si te dhene nga nje paraqitje me perftues elementet e Γ,dhe relacione qe lindin nga tabela e shumezimit te grupit. Keshtu nje paraqitje eΩγ0(S,Γ) ka tani si bashkesi perftuese S ∪ Γ, dhe relacione ato qe permendem mesiper se bashku me ato qe lindin nga tabela e shumezimit te (Γ, •). Eshte e qarte seΩγ0(S,Γ) behet keshtu nje monoid me element njesi klasen e γ0 modulo relacionet epercaktuara.
Leme 6.1.1 Cdo element i Ωγ0(S,Γ) mund te perfaqesohet nga nje fjale e pareduk-tueshme qe ka trajten
(α, x, β), (α, x), (x, β), γ ose x
ku x ∈ S dhe α, β ∈ Γ \ γ0 dhe γ ∈ Γ.
Vertetim. Se pari duhet te tregojme se sistemi i reduktimit qe lind nga paraqitja edhene eshte Neterian dhe konfluent, dhe per kete arsye cdo element i Ωγ0(S,Γ) jepetnga nje fjale e vetme e pareduktueshme me shkronja nga S ∪ Γ.Se dyti, kemi per te treguar qe fjalet e pareduktueshme jane te nje prej ketyre pesetrajtave.Keshtu, ne qofte se ω eshte nje fjale e trajtes
ω = (u, x, γ, y, v)
per γ ∈ Γ, x, y ∈ S dhe u, v mundesisht fjale boshe, atehere ω reduktohet ne
ω′ = (u, xγy, v).
Dhe ne qofte seω = (u, x, y, v),
atehere ajo reduktohet neω′ = (u, xγ0y, v).
Ne kete menyre ne perftojme nje sistem reduktimi i cili eshte me gjatesi te reduktu-eshme per rrjedhoje eshte Neterian.Per te treguar qe ky sistem eshte konfluent, nga Lema 1.6.2, mjafton te tregojme qe aieshte lokalisht konfluent. Per kete na nevojitet vetem te shohim ciftet qe mbivendosen.
1. (x, y, z) → (xγ0y, z) dhe (x, y, z) → (x, yγ0z) te cilat te dyja reduktohen ne(xγ0yγ0z).
2. (x, γ, y, z) → (xγy, z) dhe (x, γ, y, z) → (x, γ, yγ0z) te cilat te dyja reduktohenne (xγyγ0z).
3. (x, y, γ, z) → (xγ0y, γ, z) dhe (x, y, γ, z) → (x, yγz) te cilat te dyja reduktohenne (xγ0yγz).
80
4. (x, γ, y, γ′, z) → (xγy, γ′, z) dhe (x, γ, y, γ′, z) → (x, γ, yγ′z) te cilat te dyjareduktohen ne (xγyγ′z).
5. (x, γ, y, γ0)→ (xγy, γ0) dhe (x, γ, y, γ0)→ (xγy) te cilat te dyja reduktohen ne(xγy).
6. (γ0, x, γ, y) → (x, γ, y) dhe (γ0, x, γ, y) → (γ0, xγy) te cilat te dyja reduktohenne (xγy).
7. (γ1, γ2, γ3) → (γ1 • γ2, γ3) dhe (γ1, γ2, γ3) → (γ1, γ2 • γ3) te cilat te dyja reduk-tohen ne γ1 • γ2 • γ3.
Per te kompletuar vertetimin do te na duhet te tregojme qe fjala e pareduktueshmeqe perfaqeson elementin e Ωγ0 eshte e nje prej pese trajtave te dhena.Ne qofte se fjala nuk ka as prefiks as sufiks te perbere teresisht nga shkronjat prej Γ,atehere ajo reduktohet ne nje element te S duke kryer reduktimet e duhura.Ne qofte se fjala ka trajten
(α, ω, α′), (α, ω) ose (ω, α′),
ku ω eshte nje fjale qe nuk ka as prefiks as sufiks te perbere teresisht nga shkronjat eΓ, dhe α, α′ ka vetem shkronja nga Γ \ γ0, atehere ai reduktohet ne nje element tenje prej tre trajtave te para. Kur α ose α′ eshte γ0, atehere ajo hiqet nga fjala.
Verejme se ka nje pasqyrim
ι : S −→ Ωγ0(S,Γ)x 7→ cls(x)
ku cls(x) eshte klasa e x ∈ F modulo relacionet e percaktuara te Ωγ0(S,Γ).Ky pasqyrim eshte injektiv nga Lema 6.1.1 dhe kjo na lejon ta konsiderojme S sinje nenbashkesi te Ωγ0(S,Γ). Per me teper, imazhi ι(xγy) i produktit xγy te dyelementeve x, y ∈ S me ane te nje veprimi arbitrar γ ∈ Γ, i perket Ωγ0(S,Γ). Kjo namotivon t’a quajme Ωγ0(S,Γ) monoidin mbeshtjelles te (S,Γ) lidhur me grupin (Γ, •).Se fundmi verejme ketu qe ka nje monomorfizem monoidesh
j : Γ −→ Ωγ0(S,Γ)γ 7→ cls(γ)
.
Vertet, pasqyrimi j eshte qartesisht homomorfizem, dhe Lema 6.1.1 siguron qe j eshteedhe injektiv. Keshtu ne mund t’a konsiderojme tani grupin (Γ, •) si nje nenmonoidte Ωγ0(S,Γ) sipas j.
6.2 Γ-gjysmegrupet jane konkrete
Konsiderojme fillimisht situaten e pergjithshme te meposhtme.Le te jene (M, ·) nje monoid me njesh 1 dhe grupi i njeshave (Γ, ·). Ne mund te
81
formojme nje Γ-gjysmegrup duke vendosur
· : M × Γ×M −→ Mx · γ · y 7→ xγy
,
ku produkti ne anen e djathte eshte produkti i x, γ dhe y ne (M, ·). Eshte evidenteqe kemi nje Γ-gjysmegrup (M,Γ). E quajme (M,Γ) Γ-gjysmegrupin e njeshave te M .Rezultati i ”produktit” te dy elementeve x, y ∈ M me ndonje γ ∈ Γ eshte xγy i cilieshte nje element i M qe ka si faktor nje element qe ka element te anasjelle. Per tathene ne nje menyre tjeter, laminatori Sγ jep gjithe menyrat e mundshme qe njeshiγ mbeshtillet ne M .
E zbatojme kete situate te pergjithshme ne rastin e vecante kur (M, ·) eshte mo-noidi mbeshtjelles Ωγ0(S,Γ) i nje Γ-gjysmegrupi cfaredo S. Me specifikisht, ne qoftese S eshte ndonje Γ-gjysmegrup, (Γ, •) eshte nje grup mbi Γ me njesh 1 ∈ Γ, ateherene tashme kemi percaktuar Ω1(S,Γ) monoidin mbeshtjelles te (S,Γ) lidhur me grupin(Γ, ·). Fillimisht verejme se ka vend lema e meposhtme.
Leme 6.2.1 Grupi i njeshave te Ω1(S,Γ) eshte saktesisht grupi (Γ, ·) i konsideruarsi nje nengrup i Ω1(S,Γ) me afersine e j.
Vertetim. Eshte e ditur qe grupi i njeshave te nje monoidi eshte H-klasa e elementit1. Keshtu, ne qofte se w ∈ Ω1(S,Γ) eshte njesh (pjestues i njeshit), atehere kuazi-ideali
(w)q = Ω1(S,Γ) · w ∩ w · Ω1(S,Γ)
i Ω1(S,Γ) i perftuar nga w do te permbaje 1, per rrjedhoje gjenden R,L ∈ Ω1(S,Γ)te tilla qe
1 = wR = Lw.
Eshte e qarte perse w nuk mund te permbaje si faktor nje element te S. Mbetet qe weshte element i Γ.
Sic e permendem edhe me siper, per monoidin Ω1(S,Γ) dhe grupin e tij te njeshave Γ (ireferohemi lemes 6.2.1), mund t’a konsiderojme Γ-gjysmegrupin e njeshave (Ω1(S,Γ),Γ)te Ω1(S,Γ) lidhur me (Γ, ·). Teorema e meposhtme lidh (S,Γ) me (Ω1(S,Γ),Γ).
Teoreme 6.2.2 (S,Γ) zhytet ne (Ω1(S,Γ),Γ).
Vertetim. Percaktojme
ψ : (S,Γ) −→ (Ω1(S,Γ),Γ)s 7→ ι(s) = cls(s)
.
Ky pasqyrim eshte injektiv meqenese ι eshte i tille. Te provojme se ψ eshte homo-morfizem Γ-gjysmegrupesh. Vertet, ne qofte se s, t ∈ S dhe γ ∈ Γ, atehere
ψ(sγt) = cls(sγt)
= cls(s)cls(γ)cls(t)
= ψ(s)j(γ)ψ(t)
= ψ(s)γψ(t),
meqenese j(γ) identifikohet me γ.
82
Konkluzione
Duke u nisur nga ngjashmeria qe vihet re midis disa rezultateve te teorise se Γ-gjysmegrupeve me analoget e tyre te gjysmegrupeve te zakonshem, E. Pasku ne njeartikull te tij [8] ka zhvilluar nje mekanizem me ane te te cilit cdo Γ-gjysmegrupi(S,Γ) i shoqerohet nje gjysmegrup i emertuar Σγ0 , i cili ka vetite themelore te S-se.Ne kete teze doktorate fillimisht perdorim kete mekanizem per te provuar se disarezultate per kuazi-idealet minimale dhe bi-idealet minimale ne Γ-gjysmegrupe dhedisa pohime per Γ-gjysmegrupet e rregullt majtas, te cilat kane analoget e tyre neteorine e gjysmegrupeve, jane ekuivalente.
Ndertojme me tej nje gjysmegrup te ri Ωγ0 , te ngjashem me te parin, por i cili nalejon qe te bejme perkthimin e rregullsise se nje Γ-gjysmegrupi (S,Γ), ne rregullsinevon Neuman te gjysmegrupeve te zakonshem. Me ane te ketij mekanizmi te ri ne pa-raqesim nje rezultat te ri te teorise se Γ-gjysmegrupeve, icili karakterizon rregullsinee nje Γ-gjysmegrupi me anen e rregullsise se Γ-gjysmegrupit te kuazi-idealeve te veta.Duke perdorur Ωγ0 , provojme gjithashtu se tek Γ-gjysmegrupet e rregullt bi-idealetjane kuazi-ideale, dhe konsiderojme intra-rregullsine duke provuar se Γ- gjysmegrupete tille karakterizohen si ato Γ- gjysmegrupe kuazi idealet e te cileve jane idemporente.Gjithashtu konsiderojme nje Γ-gjysmegrup te renditur (S,Γ,≤S), dhe gjysmegrupinΩγ0 e pajisim me nje relacion renditjeje ≤Ωγ0
qe induktohet nga renditja ne (S,Γ,≤S),dhe tregojme se S eshte i rregullt atehere dhe vetem atehere kur Ωγ0 eshte i rregullt.
Per Γ-gjysmegrupet inversiv tregojme se, dy lloj Γ-gjysmegrupesh inversive, perkufizuartek d3e, ne rrethana te caktuara, nuk ekzistojne. Vertetimi i mosekzistences per Γ-gjysmegrupet inversive te llojit te dyte bazohen tek fakti qe gjysmegrupi Ωγ0 qe ishoqerohet Γ-gjysmegrupit, ndonese eshte i rregullt, deshton te jete inversiv. Kursevertetimi per mosekzistencen e llojit tjeter perdor nje teknike reduktimi te bashkesisese operatoreve Γ ne nje menyre me secifike qe bazohet tek palidhshmeria.
Se fundmi provojme se per cdo monoid M me grup te njeshave Γ, mund tepercaktohet i quajturi Γ-gjysmegrupi (M,Γ) i njeshave i M -se me Γ-shumezim tedhene nga barazimi x · γ · y = xγy. Me tej, per cdo Γ-gjysmegrup (S,Γ) ndertohetnje monoid Ω1(S,Γ) i cili ka si grup njeshash pikerisht Γ-en, dhe pastaj tregohet se(S,Γ) zhytet izomorfisht tek Γ-gjysmegrupi i njeshave (Ω1(S,Γ), ). Me kete tregojmenatyren konkrete te cdo Γ-gjysmegrupi si edhe afersine tejet te madhe qe ka cdo itille me gjysmegrupet.
83
Literatura
[1] M. Y. Abbasi, A. Basar, On Ordered Quasi-Gamma-Ideals of Regular OrderedGamma-Semigroups, Hindawi Publishing Corporation, Algebra, 2013, ArticleID 565848, https://doi.org/10.1155/2013/565848
[2] F. Baader, T. Nipkow, Term Rewriting and All That, Cambridge UniversityPress, 1998
[3] Beqiri, O., Γ-gjysmegrupet inversive dhe Γ-unazat inversive, Teze doktorature,Universiteti i Tiranes, 2017
[4] Beqiri, O., Petro, P., Weak completely inverse Γ-semigroups. Bull. CalcuttaMath. Soc. 107 (2015), no. 5, 421428.
[5] Beqiri, O., Petro, P., On completely inverse Γ-semigroups. Bull. Calcutta Math.Soc. 107 (2015), no. 2, 117124
[6] Braja, I., Characterizations of Regular Gamma Semigroups Using Quasi-Ideals,Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 3, 2009, no. 36, 1789-1794.
[7] Braja I.,Petro P., The relation B and Minimal bi-ideals in Γ-semigroups, Eur.J.Pure Appl. Math, 7(2014), 77-85,
[8] Braja I., Relation Q and Bi-Ideals Γ-Semigroups, International MathematicalForum, 4, 2009, no. 1, 33 - 38
[9] Changphas, Th., On Intra-Regular Γ-Semigroups, Int. J. Contemp. Math.Sciences, Vol. 7, 2012, no. 6, 273-277.
[10] Clifford A.H., Preston G.B., The algebraic theory of Semigroups, Amer. Math.Soc. Math. Surveys 7, Providence, Rhode Island,(1964)
[11] Chutiporn, J., Rattanaporn, S., and Ronnason, Ch., Minimal Quasi-Ideals inΓ-Semigroups, Int. Math. Forum, 4, 2009, no. 1, 7-11
[12] F. Cullhaj, A. Krakulli, A., Some characterizations of regularity and intra-regularity of Γ-semigroups by means of quasi-ideals, Accepted for publicationin Novi Sad J. Math. https://doi.org/10.30755/NSJOM.10795
84
[13] F. Cullhaj, A. Krakulli, A., On an equivalence between regular ordered Gamma-semigroups and regular ordered semigroups, Open Math., De Gruyter, 2020,https://doi.org/10.1515/math-2020-0107
[14] F. Cullhaj, A. Krakulli, A., Remarks on Inverse Γ-Semigroups, JNTS, No.50/2020, (XXV)
[15] Hajnal, A., Kertsz, A., Some new algebraic equivalents of the axiom of choice,Publ. Math. Debrecen 19 (1972), pp. 339-340.
[16] Hansda, K., Minimal bi-ideals in regular and completely regular ordered semi-groups arXiv:1701.07192v1 [math.RA] 25 Jan 2017
[17] Howie, J. M., Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press Oxford,(1995)
[18] Lajos., S., On the Bi-ideals in Semigroups Proc. Japan Acad., vol.45 (1969) 710-712
[19] Kehayopulu N., On left regular Γ-semigroups, Internacional Journal of Algebra,Vol. 8, (2014),no. 8, 389 - 394
[20] Kehayopulu N., Ideals and Greens Relations in Ordered Semigroups,HindawiPublishing Corporation, International Journal of Mathematics and Ma-thematical Sciences, Volume 2006, Article ID 61286, 18 https://DOI10.1155/IJMMS/2006/61286
[21] N. Kehayopulu, On Ordered Γ-semigroups, Sci. Math. Jpn. 71, (2010), No. 2,179185
[22] Kittisak Tinpun, Ronnason Chinram Bi-ideals of Ordered Γ-semigroups 14thAnnual Meeting in Mathematics 2009, 5-6 March 2009
[23] Pasku E., The adjoint semigroup of a Γ semigroup, Novi Sad J. Math. Vol. 47,No.2, (2017) 31-39
[24] Petro P., Xhillari T., Green’s Theorem and Minimal Quasi-Ideals in Γ-Semigroups, International Journal of Algebra, Vol. 5, no. 10, (2011), 461 - 470
[25] Saha N. K., On Γ- semigroup, Bull. Cal. Math. Soc. 79 (1987), 331-335
[26] Saha, N.K. and Seth, A., Inverse Γ-semigroup, Journal of Pure Math. Vol. 6,0-8, 1987-1988.
[27] Sen M. K., Saha N. K., On Γ- semigroup I, Bull. Cal. Math. Soc. 78 (1986),180-186
[28] M. K. Sen, A. Seth, On po-Γ-semigroups, Bull. Calcutta Math. Soc. 85, (1993),No. 5, 445-450.
85
[29] Steinfeld O., Quasi-ideals in semigroups and rings, Akademia Kiado, Budapest(1978).
[30] C. Yonglin, Characterizations of Regular Ordered Semigroups by Quasi-Ideals,Vietnam J. Math. 30, (2002), No. 3, 239250
86