Paulo FerreiraGraça Carvalho

.2012/13

Licenciatura em Engenharia Química e Química Industrial

Fenómenos de Transferência IDinâmica de Fluidos

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Aula 11

(Equação de Bernoulli)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Daniel Bernoulli 1700–1782

Invíscido – Sem viscosidade, i.e., sem forças de corte

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Dedução da Equação de Bernoulli:

Elemento de fluido escoando em Regime Estacionário

Forças que actuam:• Força da gravidade (peso)• Forças que resultam da pressão

sobre a superfície de contorno do elemento

Desprezam-se forças devidas a:• Viscosidade*• Efeitos eléctricos• Efeitos magnéticos• Reacções químicas• Reacções nucleares

* - A viscosidade de facto só se faz sentir, na maioria dos casos, junto aos contornos sólidos do escoamento

Balanço de forças a um elemento de fluido em escoamento na mangueira

P1 > P2

Segmento de comprimento ds

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Dedução da Equação de Bernoulli:

Escoamento em regimeEstacionário

Balanço de forças a um elemento de fluido em escoamento na mangueira

P1 > P2

Segmento de comprimento ds

Na direcção do escoamento a força da gravidade pode ser expressa por:

As forças de pressão podem ser expressas por:

Aplicando um balanço de forças ao fluido em escoame nto num segmento de comprimento ds, tendo em conta as Forças de Pressão e a Força da Gravidade resulta:

6Em estado estacionário a aceleração total reduz-se ao termo convectivo

EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Dedução da Equação de Bernoulli:

+ Fp

+ Fg

Balanço de forças a um elemento de fluido em escoamento na mangueira

P1 > P2

Segmento de comprimento ds

Tendo em conta que:

A 2ª lei de Newton pode escrever-se:

(1)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Dedução da Equação de Bernoulli:

Combinando as expressões anteriores:

Pelas regras da diferenciação:

Substituindo em (2) resulta:

(2)

Integrando ao longo de ds(assumindo fluido incompressível):

Dividindo por g:

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Hteconsg

Pz

gu ==++ tan

.2

2

ρEq. de Bernoulli

(em termos de altura)

u2 /(2.g) – Altura Cinética (m)z – Altura geométrica, Cota

(em relação a um plano horizontal de referência) (m)P/(ρ.g) – Altura de Pressão, Altura Estática (m)H – Altura total (m)

Multiplicando pelo peso do elemento de fluido (m.g), e sabendo que a sua massa m é tal que m= ρ.V, resulta:

teconsPVzgmum

tan...2

. 2

=++Eq. de Bernoulli

(em termos de energia)

m.u2 /2 – Energia cinética (J)m.g.Z – Energia potencial (J)V.P – Trabalho (ou energia de escoamento) (J)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Hteconsg

Pz

gu ==++ tan

.2

2

ρ

teconsPVzgmum

tan...2

. 2

=++

Altura (ou energia por unidade de peso) (m)

Energia (J)

• A energia mecânica total transportada por um elemento de fluido ao longo de uma linha de corrente é constante

• A energia fornecida para o escoamento mais a energia potencial (trabalho resultante das forças exteriores, pressão P e gravidade g ) éigual à energia cinética

Multiplicando (1) pelo peso do elemento de fluido (m.g), e sabendo que a massa m é tal que m= ρ.V, resulta:

(1)

(2)

Comoz + P/(ρ.g) = Cota + Altura de Pressão = Altura piezométrica

EntãoH – Altura total = Altura piezométrica + Altura Cinética (u2/2g))

(4)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

Energia por unidade de massa (J/kg) (m 2/s2)

teconsP

zgu

tan.2

2

=++ρ

Multiplicando (1) por g ou dividindo (2) por m resulta:

TotalPteconsPzgu ==++ tan..2

. 2

ρρ

Pressão (Pa)Multiplicando (3) por ρ resulta:

(3)

ρ.u2 /2 – Pressão Cinética (Pa)ρ.g.z – Pressão Hidrostática (Pa)P – Pressão Estática (m)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

dsdu

udtdu

a .+=

Pressupostos de validade da Equação de Bernoulli :

• Fluido invíscido (não há tensões tangenciais)

• Escoamento em regime estacionárioSenão, na Equação (1):

não se teria:

Mas sim:

adsdz

gdsdP =−− ..

1

ρ

dsdu

ua .=

• Fluido incompressível

• Escoamento ao longo de uma linha de corrente• (pode aplicar-se a 2 pontos ao longo de uma mesma linha de corrente

e não a 2 pontos em linhas de corrente diferentes)

• Não há troca de calor entre o fluido e o exterior

• Não há sistemas mecânicos a trocar energia mecânica com o fluido

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI - APLICAÇÕES

Aviões:

A asa de um avião é mais curva na parte de cima. Isto faz com que o ar passe mais rápido na parte de cima do que na de baixo. De acordo com a equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa será menor do que na parte de baixo, criando uma força que sustenta o avião no ar.

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI - APLICAÇÕES

Vaporizadores:

Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado paralelamente aoextremo de um tubo que está imerso em um líquido . A pressão nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra o fluido para cimaO ar rápido também divide o fluido em pequenas gotas, que são

empurradas para frente.

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI - APLICAÇÕES

Chaminé:

O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a criar uma diferença de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da chaminé.