621.039.623 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОД spider. …vant.iterru.ru/vant_2014_1/11.pdf ·...

А.А. Иванов, А.А. Мартынов, С.Ю. Медведев, Ю.Ю. Пошехонов, С.В. Коновалов, Р.Р. Хайрутдинов

80 ВАНТ. Сер. Термоядерный синтез, 2014, т. 37, вып. 1

УДК 621.039.623

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОД SPIDER. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ И ЭВОЛЮЦИИ

ПЛАЗМЫ ТОКАМАКА

А.А. Иванов1, А.А. Мартынов1, С.Ю. Медведев1, Ю.Ю. Пошехонов1, С.В. Коновалов2, Р.Р. Хайрутдинов2 1Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия 2НИЦ «Курчатовский институт», Москва, Россия

Эффективный расчёт условий равновесия осесимметричной плазмы произвольной формы и с произвольным распределением давления и плотности тока по радиусу является одной из первоочередных задач теоретических исследований в проблеме УТС. Данная статья посвящена описанию многомодульного вычислительного кода SPIDER, предназначенного для численного моде-лирования равновесия и эволюции плазмы токамака в различных вариантах постановки соответствующих задач. Разработанные методы решения прямой и обратной задачи равновесия плазмы со свободной границей позволяют точно определять положение плазмы и токи в катушках полоидального поля в токамаках. Численный расчёт квазиравновесной эволюции плазмы с учётом диффузии магнитного поля и вихревых токов в проводящих структурах может быть использован для моделирования управле-ния положением плазмы и расчёта её динамики во время срыва тока и развития периферийных локализованных неустойчиво-стей (ELM). Код может быть также применён для моделирования влияния анизотропии давления и вращения на равновесие плазмы.

Ключевые слова: токамак, плазма, МГД-равновесие, эволюция.

THE SPIDER CODE. MATHEMATICAL MODELING OF TOKAMAK PLASMA EQUILIBRIUM AND

EVOLUTION

A.A. Ivanov1, A.A. Martynov1, S.Yu. Medvedev1, Yu.Yu. Poshekhonov1, S.V. Konovalov2, R.R. Khayrutdinov2 1Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russia 2NRC «Kurchatov Institute», Moscow, Russia

The reliable computation of equilibrium conditions for axisymmetric plasma of arbitrary shape and with arbitrary distribution of pressure and current density along the radius is one of the first priority tasks among the theoretical problems on the way to controlled thermonu-clear fusion. This paper describes the multi-module SPIDER code as an axisymmetric multipurpose solver for various formulations of the tokamak plasma equilibrium and evolution problems. The developed solution techniques for direct and inverse problems of free boundary plasma equilibrium make it possible to accurately determine plasma position and currents in the tokamak poloidal field coils. The numerical simulation of quasi equilibrium tokamak plasma evolution, taking into account the magnetic field diffusion in resistive plasma and eddy currents in poloidal field coils and passive conductors, can be used for plasma position control modeling and estimation of plasma dynamics under current disruptions and development of edge-localized modes (ELM). The code can be also used for modeling of pressure anisotropy and rotation effects on the equilibrium.

Key words: tokamak, plasma, MHD equilibrium, evolution.

ВВЕДЕНИЕ

К настоящему времени наиболее значимые результаты в решении проблемы управляемого термо-ядерного синтеза (УТС) достигнуты на установках с магнитным удержанием плазмы типа токамак. Во Франции (Кадараш) ведутся работы по реализации международного проекта термоядерной эксперимен-тальной установки ИТЭР для решения научных и технологических проблем на пути к коммерческому использованию токамаков в качестве реакторов.

Общепризнано, что моделирование, включающее построение адекватных математических моделей, разработку эффективных численных методов и комплексов программ, необходимо при разработке про-ектов, для оптимизации параметров разряда и достижения максимальных параметров плазмы. Разрабо-танные к настоящему времени математические модели плазмы и обширная база экспериментальных данных позволяют проводить вычислительные эксперименты уже на стадии проектирования.

С точки зрения реакторных перспектив основными проблемами являются получение и удержание тороидального плазменного шнура оптимальной формы и с оптимальным распределением плазменных параметров. Эффективный расчёт условий равновесия осесимметричной плазмы произвольной формы и с произвольным распределением по радиусу давления и плотности тока является одной из первоочеред-ных задач теоретических исследований в проблеме УТС [1—8].

Вычислительный код SPIDER. Математическое моделирование равновесия и эволюции плазмы токамака

ВАНТ. Сер. Термоядерный синтез, 2014, т. 37, вып. 1 81

Множество постановок задачи расчёта равновесия плазмы токамака [9] делится на два неравнознач-ных класса: задачи внутри заданной фиксированной границы плазмы и более приближенные к потреб-ностям эксперимента задачи равновесия в неограниченной области с неизвестной свободной границей плазмы во внешних тороидальных токах. Данная статья посвящена описанию многомодульного вычис-лительного кода SPIDER, предназначенного для численного моделирования равновесия и эволюции плазмы токамака в различных вариантах постановки соответствующих задач.

Первая часть статьи посвящена описанию модуля [10], предназначенного для нахождения осесим-метричного равновесия плазмы с заданной фиксированной границей методом адаптивных к искомым магнитным поверхностям сеток [11—14]. Предполагается, что плазма ограничена заданной крайней магнитной поверхностью и обладает вложенными магнитными поверхностями с единственной магнит-ной осью. Равновесие плазмы в этой области описывается известным двумерным нелинейным уравне-нием Грэда—Шафранова [1, 2], дополненным соответствующими краевыми условиями. В качестве входных параметров задачи могут быть заданы любые две из традиционно задаваемых потоковых функ-ций, определяющих явно или опосредованно распределение плотности тороидального тока. Широкая область применения, высокая скорость и точность этого модуля делают его ключевым инструментом для решения сложных задач расчёта равновесия тороидальной плазмы. Среди них равновесие с высоки-ми значениями β, с большой вытянутостью границы плазмы, с малым аспектным отношением, с боль-шим смещением магнитной оси, при задании границы плазмы с Х-точкой (диверторной плазмы), для профилей плотности тороидального тока с обращённым широм, в случае ненулевого тороидального компонента плотности тока на границе плазмы и другие.

Вторая часть статьи представляет модуль [15] для решения прямой задачи осесимметричного равно-весия плазмы с неизвестной свободной границей в предписанных внешних тороидальных токах. В этом случае равновесие плазмы также описывается уравнением Грэда—Шафранова, но в неограниченной об-ласти с априори неизвестными положением и границей плазмы [9]. При этом в уравнение добавлены члены, отвечающие за вклад в формирование равновесия внешних удерживающих токов в катушках по-лоидального поля. Положение и форма катушек, а также величины токов в них, являются входными па-раметрами задачи. В коде SPIDER эта задача может быть решена как на традиционной фиксированной прямоугольной сетке, так и на априори неизвестной адаптивной к магнитным поверхностям (линиям уровня решения) потоковой сетке, что позволяет в ряде случаев решать задачи, которые практически неразрешимы на фиксированных прямоугольных сетках. Некоторые коды, в которых в качестве необхо-димой составной части решается прямая задача равновесия плазмы со свободной границей: DINA [16], TSC [17], CORSICA [18], JETTO [19], SCED [20] и MAXFEA [21].

Третья часть статьи посвящена формулировке и методу решения (реализованным в соответствую-щем модуле кода SPIDER [15]) обратной задачи равновесия плазмы со свободной границей как задачи восстановления удерживающих токов в предписанных катушках полоидального поля по заданному в определённом формате равновесию. Этот формат может включать в себя положение Х-точек и усов се-паратрисы. В частности, посредством соответствующего модуля может быть решена обратная задача восстановления токов для случая равновесия с Х-точкой второго порядка — так называемого равновесия «snowflake» [22]. Некоторые обратные задачи равновесия решаются в кодах EFIT [23], LIUQE [24], CLISTE [25].

Описание модуля [26], предназначенного для решения задачи квазиравновесной эволюции плазмы токамака с учётом диффузии магнитного поля и наведённых вихревых токов в катушках полоидального поля и окружающих плазму пассивных проводящих структурах, содержится в четвертой части статьи. Квазиравновесные эволюционные коды устроены таким образом, что на каждом временном шаге реша-ется двумерная задача равновесия совместно с одномерными транспортными уравнениями, уравнением диффузии магнитного поля и уравнением цепей для наведённых вихревых токов. Исторически первые коды такого рода использовали модули равновесия с предписанной границей плазмы. Однако для само-согласованного (учитывающего изменение формы плазмы) расчёта эволюции на каждом временном ша-ге необходимо решать задачу равновесия плазмы с неизвестной свободной границей во внешних маг-нитных полях, изменяющихся за счёт эволюции токов и напряжений в обмотках управляющих катушек полоидального поля, в вакуумной камере и проводниках пассивной стабилизации. Эволюционные коды



DINA [16], PET [27], CORSICA [18], TSC [17], к числу которых относится и соответствующий модуль кода SPIDER, в настоящее время широко используются для моделирования сценариев плазмы в существующих и проектируемых токамаках. При решении ряда задач эволюции плазмы токамака, например, когда ло-кальная величина плотности тока превышает на порядки его среднее значение или при сильном изменении размера плазмы, код SPIDER за счёт применения адаптивных к магнитным поверхностям сеток может иметь решающее преимущество по скорости и точности расчёта перед упомянутыми кодами, основанны-ми на традиционном методе решения задачи равновесия на фиксированной прямоугольной сетке.

Каждая часть статьи иллюстрирована примерами расчётов, характерными с точки зрения демонст-рации возможностей кода.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ

ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПЛАЗМЫ С ЗАДАННОЙ ГРАНИЦЕЙ

Общая задача МГД-равновесия плазмы представлена стандартной системой векторных уравнений магнитостатики

0

;;

0,

p∇ = ×μ = ∇×∇ ⋅ =

j Bj BB

где p — газокинетическое изотропное давление плазмы; B — вектор магнитного поля; j — вектор плот-ности тока плазмы; μ

0 — магнитная проницаемость вакуума. В случае осесимметричной равновесной

конфигурации эта система может быть сведена к скалярному квазилинейному двумерному дифференци-альному уравнению Грэда—Шафранова [1, 2] относительно функции полоидального магнитного потока ψ

Δ*ψ(r, z) = –rμ0 jϕ(r, ψ), (r, z)∈Ωp, (1)

где оператор Δ* определяется следующим образом:

( )*

22

2 2

1 1.r

r r rr zr

∂ ψ∂ ∂ψΔ ψ = ∇ ∇ψ = +

∂ ∂ ∂

Модуль вычислительного кода SPIDER, предназначенный для численного решения задачи равнове-сия с заданной фиксированной границей ∂Ωp, решает в области Ωp

это уравнение, дополненное приво-димыми далее краевыми условиями. Здесь (r, φ, z) — цилиндрическая система координат, связанная с осью симметрии плазменной конфигурации; Ωp — область плазмы в плоскости (r, z); ψ(r, z) — полои-

дальный магнитный поток, разделённый на 2π; jφ(r, z) — плотность тороидального тока плазмы;

0 0 ;1dp df

r fd r d

jϕμ = μ +ψ ψ (2)

B = ∇ψ × ∇ϕ + f ∇ϕ;

j = 1

0μ∇f × ∇ϕ + rj

φ∇ϕ;

ψ = rAϕ = Ψ/2π; f = rBϕ = μ0 Jpol/2π,

где p(ψ) — профиль давления плазмы; Aφ — тороидальный компонент векторного потенциала магнитного поля; Bφ — тороидальный компонент магнитного поля; Ψ — полоидальный магнитный поток, измеряемый от оси симметрии r = 0; Jpol — полоидальный ток плазмы, измеряемый от оси симметрии r = 0;

( ) ( )pol pol

pol( , , ; ( , ) ,) ,S S

r z dS r z dSJ= =Ψ B n j n

где Spol — полоидальная поверхность, ограниченная проходящей в тороидальном направлении через точку (r, z) круговой линией.



Предполагая существование в плазме вложенных магнитных поверхностей с единственной магнит-

ной осью, мы можем определить тороидальный поток магнитного поля Ф(ψ) и тороидальный ток плаз-

мы внутри магнитной поверхности Jtor(ψ):

Ф(ψ) = ( )( )

( )( )tor tor

, ;S S

drdzdS f

rψ ψ= ψ nB

( )( )

( )( )tor tor

tor ( ) , , ,S S

dS j r drdzJ ϕψ ψψ = = ψ j n

где Stor(ψ) — поперечное сечение плоскостью φ = const тороидальных магнитных поверхностей

ψ(r, z) = const. В случае граничной магнитной поверхности Stor(ψ) ≡ Ωp. В дальнейшем под термином

«поток» понимается поток магнитного поля.

В коде SPIDER используется следующее краевое условие на границе плазмы:

ψ(r, z) = ψbound; (r, z)∈∂Ωp, (3)

причём в случае фиксированной границы можно полагать ψbound = 0.

Предполагается, что граница плазмы ∂Ωp задана. В коде имеются две возможности задания этой

границы:

— посредством аналитических формул

rb = r0 + 0rA

cos(θ + δsinθ); zb = z0 + 0rA

ksinθ, (4)

где r0, z

0 — координаты геометрического центра границы плазмы; θ — полоидальный угол в плоскости

(r, z); A — аспектное отношение границы плазмы; k — вытянутость; δ — треугольность границы:

δ = 0,5[δu + δ1 + (δu – δ1)sinθ], (5)

k = 0,5[ku + k1 + (ku – k1)sinθ],

где ku, kl — верхняя и нижняя вытянутость границы соответственно; δu, δl — верхняя и нижняя тре-

угольность границы плазмы. Для задания границы возможно использование и других аналитических

формул;

— посредством заданных массивов координат точек, аппроксимирующих границу: rb(i), z

b(i),

i = 1, …, Nb.

В коде SPIDER реализованы следующие постановки задачи осесимметричного равновесия плазмы с

заданной границей.

I. Постановка с заданной плотностью тороидального тока плазмы jφ(r, z) — правой частью (2) уравне-

ния Грэда—Шафранова (1) и значением полного тороидального тока плазмы, т.е. с заданными профилями

( ), ( )p ffψ ψ′ ′ψ ψ (где штрих обозначает производную по ψ) в виде функций нормированного полоидального

магнитного потока ψ = (ψ – ψaxis)/(ψbound – ψaxis)∈[0, 1] и значением полного тороидального тока плазмы

ppl .J drdzj

Ω ϕ= (6)

Реализованы две возможности задания профилей ( ), ( ):p ffψ ψ′ ′ψ ψ

— посредством аналитических формул, например:

1 20 (1 ) ;p α α

ψ′ = α −ψ 1 20(1 ) ;ff β β

ψ′ = β −ψ (7)

— посредством заданных массивов: pf, ( ), ( ), 1, ..., .i i ip ff i Nψ ψ′ ′ψ ψ ψ =

II. Постановка с заданными профилями давления ( )pψ′ ψ и фактора запаса устойчивости

( )q d dψ = − Φ Ψ в виде функций нормированного полоидального потока ,ψ с предписанным значением

перепада полоидального потока в плазме (ψaxis

– ψbound

). Внутри плазмы функция полоидального тока

f(ψ) связана с фактором запаса устойчивости q(ψ) соотношением



const

,( ) 2 ( ) /dl

f qrψ=

ψ = π ψ∇ψ

где интеграл берётся вдоль линии пересечения тороидальной магнитной поверхности ψ(r, z) = const и координатной плоскости φ = const, определяющей поперечное сечение плазменного шнура.

III. Постановка с заданными профилями давления ( )pψ′ ψ и усреднённой плотности тороидального

тока ( )V

jϕ ψ в виде функций нормированного полоидального потока .ψ Здесь усреднение определя-

ется как ( )

,V

V

ddV

dV ψ

⋅ = где V(ψ) — объём внутри магнитной поверхности ψ = const. Профили q и

Vjϕ

в этих постановках обычно задаются таблично.

Во всех рассмотренных постановках задачи равновесия за счёт соответствующей нормировки за-

данного профиля ( )pψ′ ψ можно задать в качестве входного параметра значение полоидального бета:

p

2

p 0 pl8 .pdS J

Ωβ = π μ

Приведём результаты трёх расчётов, демонстрирующие диапазон возможностей кода SPIDER по расчёту равновесных конфигураций плазмы с заданной границей. Успех расчётов во многом обеспечен применением метода адаптивных сеток, который в данном случае состоит в построении сетки, кольце-вые координатные линии которой в точности совпадают с линиями уровня искомого решения ψ(r, z). На всех представленных двумерных рисунках цвет соответствует линиям уровня функции ψ(r, z), изменяю-щейся от минимального (темно-синий) до максимального значения (темно-красный) на магнитной оси.

Первый расчёт соответствует большому значению полоидального бета βp ≈ 4 для круговой границы плазмы. Найденная равновесная конфигурация показана на рис. 1. Видно, как сильно смещается магнит-ная ось плазмы от геометрического центра и как деформируются магнитные поверхности в её окрестно-сти. Во втором случае рассчитана равновесная конфигурация с очень большой вытянутостью границы плазмы, k = 6. Этот случай демонстрирует возможности кода по расчёту весьма экзотических конфигу-раций. Соответствующее решение представлено на рис. 2. В качестве третьего примера выбрана граница

Рис. 1. Адаптивная к магнитным поверхностям ψ(r, z) = const сетка.Полоидальное βp ≈ 4. Цвет соответствует линиям уровня функцииψ(r, z)

Рис. 2. Адаптивная к магнитным поверхностямсетка. Вытянутость плазмы k = 6. Цвет соответст-вует линиям уровня функции ψ(r, z)

r, м 8 106 4 2 4,5 5,5 6,5 7,55 6 7 8

r, м

1,5

0,5

–0,5

–1

0

1

2

–10

–5

0z, м

10

5

z, м



плазмы с Х-точкой. Этот пример показывает, что код может быть использован для моделирования реаль-ных экспериментов в токамаке с диверторной плазмой. Результаты этого расчёта представлены на рис. 3, 4.

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПЛАЗМЫ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Осесимметричное равновесие плазмы со свободной границей в цилиндрических координатах (r, φ, z) описывается уравнением равновесия Грэда—Шафранова (1) с дополнительным членом в правой части

Δ*ψ(r, z) = –rμ0jϕ(r, ψ) – rμ0 ( ),k k k

k

J r r z zδ − − (8)

в неограниченной области на плоскости (r, z). При этом граница ∂Ωp области Ωp, занимаемой плазмой, и значение ψ = ψ

bound на этой границе неизвестны. Тороидальный компонент плотности тока плазмы

jφ(r, ψ) внутри ∂Ωp определяется согласно (2), а вне ∂Ωp полагается равным нулю. Задаются также про-

фили ( ), ( )p ffψ ψ′ ′ψ ψ как функции нормированного полоидального потока ψ и значение полного торои-

дального тока плазмы Jpl (6). Геометрия тороидального сечения катушек с токами, формирующими полоидальное магнитное

поле, и пассивных проводящих структур, окружающих плазму, также полагается заданной. Она ап-проксимируется конечным набором тонких кольцевых проводников — филаментов. Известные коор-динаты последних (r

k, z

k) и токи J

k в каждом из них входят в правую часть (8), где δ(r, z) — дельта-

функция Дирака. Уравнение (8) дополняется также следующими краевыми условиями:

2 2p0 bound0; 0; const,

r r z→ + →∞ ∂Ωψ = ψ = ψ = ψ = (9)

где ψbound

(значение на неизвестной границе плазмы) определяется через ψaxis

(значение на неизвестной

магнитной оси плазмы) и ψsepar

(значение на неизвестной сепаратрисе плазмы) из условия

( ]bound axis

separ axis

const, 0, 1 ,ψ − ψα = = α ∈ψ − ψ

(10)

где α — входной параметр задачи, определяющий близость границы плазмы к сепаратрисе. Случай α = 1 соответствует совпадению границы плазмы с сепаратрисой. Как альтернатива, значение ψ

bound мо-

жет определяться значением решения в некоторой предписанной точке области Ωp — так называемой

лимитерной точке. Значение ψaxis

определяется из условия |∇ψ| = 0 внутри Ωp.

Предполагается, что область плазмы обладает единственной магнитной осью и стягивающимися к ней вложенными магнитными поверхностями.

Рис. 3. Диверторная плазма: адаптивная к магнитным поверхностям ψ(r, z) = const сет-ка (а); зависимость q и f, соответствующих равновесной конфигурации (б), и немоно-тонных профилей тороидального компонента плотности тока плазмы fdf /dψ и dp/dψ (в)от нормированного полоидального магнитного потока

Рис. 4. Трёхмерный график плотноститороидального тока j

φ(r, z) дивертор-

ной плазмы на рис. 3, а. Цвет соответ-ствует линиям уровня функции j

φ(r, z)

5

r, м

z, м

–3z, м

3

3

1

–1

–2

0

2

4

–3

–45 4 3 6 7 8 9

Fdf⁄dψ

15

10

5

0

–5

q

0,5 1

0,5 10

0

0,5

0,5 1

0,5 1ψ

35

34

33

32

f

6

4

2

0

dp⁄dψ

0,05

0,15

0,1

0,2

0

1,51

21

0

–2–1

r, м

67

8

а б

вψ

ψ ψ

jφ(r, z)

0



Неограниченность области, в которой решается поставленная нелинейная эллиптическая задача равновесия со свободной границей, создаёт дополнительные трудности с точки зрения численной реали-зации. Для их преодоления применяется предложенная в [28] процедура Лакнера — алгоритм сведения задачи в неограниченной области к нескольким задачам в ограниченной области. Подробное описание этого метода применительно к решению эллиптических краевых задач с неизвестной свободной грани-цей на плоскости можно найти в [29—31]. Приведём здесь общую схему процедуры Лакнера:

— фундаментальное решение (функция Грина) G(r, r0) для оператора ∆* определяется как решение уравнения

Δ*G = –rμ0δ(r – r0) (11)

в неограниченной области, δ(r, z) — дельта-функция Дирака; — уравнение равновесия со свободной границей (8) можно разбить на два уравнения:

Δ*ψp = –rμ0jϕ; (12a)

Δ*ψext = –rμ0 ( )kkk

J δ − r r , (12б)

при этом по определению и свойствам функции Грина получаем:

( ) ( ) ( )0 0

p

p ;,j G dSΩ

ψ = r r r r (13а)

( ) ( )0 0ext ;,k kk

G Jψ =r r r (13б)

— для любых двух функций u, v справедливо следующее интегральное соотношение:

( )* * .1

S S

v u u vu v v u dS dl dlr r n r n∂

∂ ∂Δ − Δ = −∂ ∂ (14)

Окружим область Ωp, занимаемую плазмой, внешней по отношению к ней замкнутой кривой ∂S дос-таточной степени гладкости. Рассмотрим в области S задачу

* ; 0Sg rj gϕ ∂Δ = − = (15)

и положим в (14) ν ≡ G(r, r0), u ≡ g. Тогда

( )* * ;1

S S

G g g Gg G G g dS dl dlr r n r n∂

∂ ∂Δ − Δ = −∂ ∂

( ) ( )00 0λ , ,SS

G gg G dS d

r nlj

∂

ϕ∂

μ∂

=− r r r где

0

0

0

1, ,1 , ,20, .

S

S

S

∈λ = ∈∂

∉

r

r

r (16)

Положим в (16) r0 ∈ ∂S. Тогда ( )0 ,,S S

G gj G dS dlr nϕ

∂

∂− =∂ r r где согласно (13а) ( ) ( )0 0p,

S

j G dSϕ = ψ r r r , и

мы получаем краевое условие для ψ = ψp + ψext

на границе ∂S:

( ) ( ) ( )ext 0 00p ; , .k kk

S

G gdl G J

r n∂

∂ψ ψ =

∂= − r r r r (17)

Здесь g — решение краевой задачи (15). Таким образом, решение исходной задачи в неограниченной области сводится к решению задачи (15)

с однородным граничным условием и задачи (12а) с краевым условием (17) в ограниченной области. В коде SPIDER прямая задача равновесия со свободной границей может решаться как на фиксиро-

ванной прямоугольной сетке, так и на радиально-кольцевой потоковой сетке, адаптивной внутри плазмы к магнитным поверхностям.



При расчёте равновесия со свободной границей на прямоугольной сетке задача решается в прямо-угольнике, размеры которого выбираются так, что плазма заведомо находится внутри него. На рис. 5, а представлен пример расчёта равновесной конфигурации токамака ИТЭР, определяемой следующими входными параметрами задачи:

— профилями тороидального компонента плотности тока плазмы fdf /dψ и dp/dψ в виде функций нормированного полоидального потока (см. рис. 5, в);

— значением полного тороидального тока плазмы Jpl = 15 МА; — параметром α = 0,995, задающим близость границы плазмы к сепаратрисе; — заданными токами в катушках полоидального поля, расположение которых показано на рис. 5, а.

При расчёте равновесия со свободной границей на сетке, адаптивной к магнитным поверхностям,

в качестве расчётной области выбирается область, охватывающую плазму и геометрически подобная области, занимаемой плазмой. В расчётной области строится сетка, топологически эквивалентная ради-ально-кольцевой сетке в круге. В области, занимаемой плазмой, сетка в процессе расчёта адаптируется к магнитным поверхностям на каждом итерационном шаге. Конечным ито-гом данного итерационного процесса является построение радиально-кольцевой сетки, кольцевые коорди-натные линии которой совпадают с линиями уровня искомого решения. На рис. 6 представлен пример расчё-та на адаптивной сетке той же рав-новесной конфигурации токамака ИТЭР, что и на рис. 5, а.

Катушки полои-дального поля

6

4

2

0

–2

–4

–6

Рис. 5. Равновесие плазмы со свободной границей на прямоугольной сетке: конфигурация токамака ИТЭР (а); зависимость q и f,соответствующих равновесной конфигурации (б), и профилей тороидального компонента плотности тока плазмы fdf/dψ и dp/dψ (в)от нормированного полоидального магнитного потока

0,5 1ψ

f d

p⁄dψ

0,05

0,15

0,1

0,2

0

0,25

fdf/

dψ

10

5

0

–5

r, м

z, м

q

Вакуумная камера

Первая стенка

Граница плазмы

Катушки полоидального

поля

2 4 6 8 10 12

4

3

2

1

0

34,5

33,5

32,5

33

34

0,5 1ψ

0

0,5 1ψ

0 0,5 1ψ

б

в

а

Рис. 6. Равновесие плаз-мы со свободной грани-цей на адаптивной к маг-нитным поверхностямψ(r, z) = const сетке.Конфигурация токама-ка ИТЭР, аналогичнаярис. 5, а. Цветом пока-заны линии уровняфункции ψ(r, z)

Расчётная область

X-точка сепаратрисы


r, м

z, м

4 6 8

3

2

1

0

–1

–2

–3

4

5

–4

–5



РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ

ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПЛАЗМЫ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Обратная задача равновесия осесимметричной плазмы со свободной границей — нахождения токов в обмотках катушек полоидального поля, формирующих требуемое равновесие плазмы, формулируется следующим образом.

1. Положение и форма требуемой границы равновесной плазмы аппроксимируются конечным набо-ром точек на плоскости (r, z). Их координаты (rl, zl) полагаются заданными. Это так называемые «фит-тинговые» точки, к которым определяемая в процессе итераций граница равновесной плазмы будет под-страиваться наилучшим образом в смысле минимизации приводимого далее функционала.

2. Задаются координаты нескольких «контрольных» точек (rm, zm), через которые граница плазмы должна пройти точно.

3. Задаются опорные значения (приближения) токов Jk

ref в катушках полоидального поля, от кото-

рых, по возможности, не должны сильно отличаться искомые токи. 4. Задаются координаты (rx, zx) седловой точки, где |∇ψ| = 0. С ними должны совпадать координаты

Х-точки найденного равновесия со свободной границей. 5. Задаются определяющие равновесие профили в плазме, как функции ψ , а также нормировочные

константы: — ( ), ( )ffpψ ψ′ψ ψ′ и значение полного тороидального тока плазмы Jpl, значение вакуумного торои-

дального магнитного поля B0 для заданного значения координаты r = r0, либо

— ( ),pψ′ ψ ( )q ψ , и либо значение полного тороидального тока плазмы Jpl, либо значение полоидаль-

ного потока, захваченного плазмой (ψaxis – ψbound). 6. Для искомого равновесия плазмы со свободной границей задаётся значение параметра α (10). Требуется найти значения токов в заданных катушках полоидального магнитного поля, которые фор-

мируют равновесную конфигурацию плазмы со свободной границей, удовлетворяющую перечисленным условиям.

Задача определения токов Jk в катушках полоидального магнитного поля, необходимых для форми-

рования равновесной конфигурации плазмы с границей, проходящей близко к фиттинговым точкам (r

l, z

l), может быть сформулирована как задача минимизации функционала

bound,,min

kJW

ψ где

( ) ( ) ( )bound

2

2refp

11 1; , ,, ,

K K

l

L

l l l k l k k k k kkl k

W r z J G r z r z d J J== =

= ω ψ − ψ + σ

+ − (18)

по отношению к вариациям величин токов Jk и величины полоидального потока ψ = ψ

bound на границе

плазмы. Значение величины σ > 0 обеспечивает регуляризацию решения задачи. Коэффициенты ωl и

dk задаются и служат для корректировки значений потоков в каждой конкретной фиттинговой точке

и отклонения равновесных токов в катушках полоидального поля от предписанных опорных значе-ний. Через ψ

p(r

l, z

l) обозначено значение полоидального потока, создаваемого током плазмы в фит-

тинговой точке (rl, z

l).

Кроме приближенных граничных точек (rl, z

l), могут также задаваться «контрольные» гранич-

ные точки (rm, zm), через которые граница плазмы должна проходить точно. Это делается с использо-ванием Лагранжевых множителей λm и приведением функционала к виду

bound, ,min ( )

mkJW W

ψ λ+ ′ , где

( ) ( )p bound1 1

, , ; , .KM

m m m k m m k km k

W r z J G r z r z= =

′ λ ψ + ψ

= − (19)



За счёт дополнительных слагаемых с множителями Лагранжа λRx

, λZx

, λx точно выполняются условия

пунктов 4, 6 при использовании функционала ( )bound , , , ,

min ,J m xRx Zxk ,

W W Wψ λ λ λ λ

′ ′′+ + где

( ) ( ) ( ) ( )p pseparaxis bound axis

, ,.x k x k

Rx k Zx kk kx xx x

x

G GW J J

r r z z

∂ψ ∂ψ∂ ∂ ′′= λ + + λ + + λ ψ − ψ − α ψ − ψ ∂ ∂ ∂ ∂

r r r r (20)

Минимизацией функционала ( )bound, , , , , , ,

minm xRx Zx Rz ZzkJ

W W W Wψ λ λ λ λ λ λ

′ ′′ ′′′+ + + с дополнительным членом

( ) ( )2 22p

2 21

2p

1

, ,K Kx xk k

Zzk kkk

Rz

xx

G GJ

r z z zW J

r z ==

∂ ∂∂ ψ + λ + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ψ= λ +′′′

∂ ∂ r rr r

(21)

решается обратная задача в случае равновесия с Х-точкой второго порядка — так называемого равнове-сия «snowflake» [22], где обычные условия для Х-точки дополнены требованием равенства нулю всех вторых производных от решения ψ:

2 2 2

2 20.

r z r z

∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ= = =∂ ∂ ∂ ∂

(22)

На рис. 7, а представлен пример равновесной конфигурации токамака ИТЭР, определяемой рекон-струированными в результате решения соответствующей обратной задачи токами. Входными парамет-рами обратной задачи, помимо заданных координат «фиттинговых» и «контрольных» точек, являлись:

— профили тороидального компонента плотности тока плазмы dp/dψ и fdf/dψ, как функции ψ ,

представленные на рис. 7, в;

6

4

2

0

–2

–4

–6

0,5 1

f dp⁄dψ

0,1

0,3

0,2

0,4

0

fdf⁄

dψ

10

5

0

–5

z, м

q


r, м

2 4 6 8 10 12

4

3

2

1

0

33,5

32,5

33

34

0,5 10

0,5 10 0,5 1

б

в

Рис. 7. Равновесие плазмы со свободной границей на прямоугольной сетке в реконструированных токах (конфигурация токама-

ка ИТЭР): «контрольные» точки () — три на границе плазмы, две на усах сепаратрисы (а); зависимость q и f, соответствующих

равновесной конфигурации (б), и профилей тороидального компонента плотности тока плазмы fdf/dψ и dp/dψ (в) от нормирован-

ного полоидального магнитного потока

Усы сепаратрисыX-точка

а

ψ ψ

ψ ψ



— полный тороидальный ток плазмы Jpl = 15 МА;

— параметр, задающий близость границы плазмы к сепаратрисе, α = 0,995; — значение вакуумного тороидального магнитного поля B0 = 5,3 Тл на радиусе r0 = 6,2 м. На рис. 8, а представлен пример равновесной конфигурации с Х-точкой второго порядка — «snow-

flake» токамака TCV, определяемой реконструированными в результате решения обратной задачи тока-ми в катушках полоидального поля. Входными параметрами обратной задачи, помимо заданных значе-ний координат «фиттинговых» и «контрольных» точек, являлись:

— профили тороидального компонента плотности тока плазмы dp/dψ и fdf/dψ, как функции ψ ,

представленные на рис. 8, в; — полный тороидальный ток плазмы Jpl = 0,378 МА;

— параметр, задающий близость границы плазмы к сепаратрисе, α = 0,995; — значение вакуумного тороидального магнитного поля B0 = 1,44 Тл на радиусе r0 = 0,88 м.

РАСЧЁТ КВАЗИРАВНОВЕСНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ПЛАЗМЫ ТОКАМАКА

С УЧЁТОМ ДИФФУЗИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Квазиравновесная эволюция плазмы токамака с учётом диффузии магнитного поля в резистивной

плазме и токов, наведённых в окружающих плазму пассивных проводниках и катушках полоидального магнитного поля, описывается двумерной задачей равновесия со свободной границей совместно с одно-мерной задачей для диффузии магнитного поля и уравнениями цепей для определения наведённых то-ков. Эта система дифференциальных уравнений аппроксимируется конечно-разностной схемой и реша-ется при помощи итерационных методов при заданных начальных и граничных условиях.

В предположении вложенности магнитных поверхностей изменяющееся во времени равновесие плаз-мы может быть описано с помощью следующего набора потоковых функций: Ψ(a, t), Φ(a, t), Jpol(a, t),

1

0,5

0

–0,5

–1

0,5 1

fdf⁄

dψ

r, м

z, м

q

0,6 0,8 1 1,2

3

2,5

2

1,5

0,5

f

1,35

1,25

1,3

1,4

0,5 10

0,5 10

dp⁄dψ

0,5

1,5

1

2

00,5 1

б

Рис. 8. Равновесие плазмы со свободной границей на прямоугольной сетке в реконструированных токах (случай конфигурациимагнитного поля с дивертором «snowflake» (Х-точка второго порядка) в токамаке TCV.) (а); зависимость q и f, соответствующихравновесной конфигурации (б), и профилей тороидального компонента плотности тока плазмы fdf/dψ и dp/dψ (в) от нормирован-ного полоидального магнитного потока

Х-точка второго порядка

а

0

6

4

2

0

–2

вψ

ψ ψ

ψ

1



Jtor(a, t), где Ψ — полоидальный поток магнитного поля; Φ — тороидальный поток; Jpol — полоидальный ток; Jtor — тороидальный ток; t — время; 0 ≤ a(r, z) ≤ 1 — метка магнитной поверхности — неизвестная функция цилиндрических координат (r, z). Обычно в качестве таковой в коде SPIDER выбирается корень

квадратный из нормированного тороидального потока плазмы .a = Φ Катушки полоидального поля и окружающие плазму пассивные проводящие структуры аппроксимируются конечными наборами фила-ментов. Предполагается, что в процессе эволюции в каждый момент времени выполняется уравнение равновесия плазмы со свободной границей (8), дополненное краевыми условиями (9), (10).

Предполагается также, что входящие в правую часть уравнения равновесия токи Jk в филаментах

удовлетворяют уравнению цепей

( ) ( ) ( ) ( )p2 ,d td t

R t L tdt dt

+ + π =ΨJ

J U (23)

где J = Jk — вектор неизвестных токов в филаментах; R — матрица их сопротивлений (диагональная в

нашем случае); L — матрица их взаимных индуктивностей; Ψp — вектор значений полоидального пото-ка, создаваемого плазмой в точках филаментов; U — вектор напряжений на активных катушках, управ-ляющих положением, формой и другими параметрами плазмы.

Ключевым моментом моделирования квазиравновесной эволюции с учётом диффузии магнитного по-ля является точное решение уравнения диффузии магнитного поля при фиксированной границе плазмы.

Напишем проекцию закона Ома на направление равновесного магнитного поля B:

σ(E, B) = (j, B) – (jB, B),

где jB — плотность неиндуктивного тока в плазме (например, бутстреп-тока); σ

|| — проводимость плаз-

мы в направлении магнитного поля. Это уравнение, будучи усреднённым по магнитным поверхностям, с учётом уравнения индукции

t

∂∇ × = −

∂B

E

приводит к одномерному уравнению взаимной диффузии полоидального и тороидального потоков маг-нитного поля [32]

0 ||

2( ) ( ) ( , ) ( , ) ,B BV V

IfI If V f V

f

′′ ′ ′ ′ ′ ′μ σ ψΦ − Φψ = − − + ≡ − +

j B j B (24)

где ;2

Ψψ =

π f = μ0

pol ;2

J

π I = μ0Jtor; ( , )B V

Bj — усреднение по объёму между соседними магнитными по-

верхностями; V — объём внутри магнитной поверхности; штрих и точка обозначают частные производ-ные по потоковой переменной a и по времени t соответственно. При заданной фиксированной границе плазмы уравнение равновесия Грэда—Шафранова

*0 0

1 1( , )

dp dfj r r f

r d r dϕ− Δ ψ = μ ψ = μ +

ψ ψ (25)

должно быть решено совместно с уравнением диффузии (24). Уравнение равновесия (25), усреднённое по магнитным поверхностям, приводит к одномерному уравнению Крускала—Калсруда

0 .I = f p V′ ′ ′ ′ ′ ′ψ Φ + μ (26)

Для осесимметричной плазмы токамака выполнены следующие соотношения между токами и пото-ками:

2 2

22

123322 33; ; | | / ; 1/ /

V VI f a r V r V ;

−′ ′ ′ ′= α ψ = α Φ α = ∇ α =/ (27)



где коэффициенты α22

(a), α33

(a) определяются только геометрией магнитных поверхностей и выбором

метки магнитных поверхностей a. Соотношения (27), (24) и (26) приводят к следующей системе двух нелинейных уравнений для потоков ψ и Φ:

( )0 33 22 22 33|| ||

1 1[ ( ) ( ) ] ( , ;)B V

V′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′μ ψΦ − Φψ = − α Φ α ψ − α ψ α Φ +σ σ

j B (28)

22 33 0( )( ) p V .′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ψ α ψ = α Φ Φ + μ′ (29)

Условия для системы (28)—(29) на магнитной оси

330 22

||

1; ,0; 0 ( ) ( )m m m B V

||

VIα ′ ′μ ψ = − α ψ +

′σ σ Φ= Φ = ′ j B (30)

следуют из определения тороидального потока и тороидального тока, отсчитываемых от магнитной оси. На границе плазмы естественное граничное условие связывает тороидальный компонент магнитного поля f (27) с его известным значением в вакууме

33 vac .f′α Φ = (31)

Величина fvac

, как и полоидальный поток Ψext

, определяется внешними проводниками и не зависит от

плазмы. В силу соотношения на границе плазмы

( ) ( )p

0

0p 0

,1 Gdl

r n∂Ω

∂ψψ = −

μ ∂r r

r

и с учётом соотношения ψ = ψp + ψ

ext имеем

( ) ( )p

0ext

00

,1,

Gdl

r n∂Ω

∂ψψ + ψ

μ ∂=

r rr (32)

где G(r0, r) — функция Грина для оператора Грэда—Шафранова (1), где r

0 ∈ ∂Ωp, r ∈ ∂Ωp. Усреднение

уравнения (32) по границе плазмы даёт дополнительное граничное условие для системы уравнений (28)—(29). Каждый шаг итерационного процесса включает решение одномерных уравнений (28)—(29)

при фиксированной геометрии магнитных поверхностей, что позволяет вычислить ffψ′ (a). Затем реше-

ние уравнения Грэда—Шафранова с полученным профилем ffψ′ (a) даёт новое приближение магнитных

поверхностей. Рассмотрим конкретный пример расчёта варианта VDE (vertical displacement event) квазиравновес-

ной эволюции плазмы токамака-реактора ИТЭР с касанием лимитера и последующим обрезанием плаз-мы по лимитеру.

В качестве исходной равновесной плазменной конфигурации (t = 0) с неизвестной свободной границей

плазмы и вложенными магнитными поверхностями в коде SPIDER рассчитывается бессиловое ( pψ′ = 0)

равновесие со следующими входными параметрами:

— профили потоковых функций pψ′ = 0 и ffψ′ — линейная функция потоковой переменной ;ψ

— полный тороидальный ток плазмы Jpl = 15 МА, тороидальное вакуумное магнитное поле Btor = 5,3 Тл на радиусе r = 6,5 м;

— «геометрия» катушек полоидального поля токамака-реактора ИТЭР с предписанными значения-ми протекающих в них токов.

В ходе последующей квазиравновесной эволюции полагаются заданными и фиксированными во

времени профили давления pψ′ = 0 и температуры T = Tb + (Tax – Tb)(1 – a2), где a = Φ — потоковая пе-

ременная; Tax = 3∙103 эВ, Tb = 102 эВ — предписанные значения температуры на магнитной оси и границе плазмы соответственно; проводимость плазмы — спитцеровская, σ

||~T3/2.



На рис. 9, а, б показаны исходная равновесная конфигурация ИТЭР с покрывающей всю расчётную область расчётной сеткой и отдельно равновесие в плазме соответственно. В области, занимаемой плаз-мой, сетка адаптирована к искомым магнитным поверхностям. На рисунках показаны положение кату-шек полоидального магнитного поля, окружающих плазму пассивных проводящих структур, и граница плазмы, а также отмечено положение лимитерных точек, ограничивающих положение плазмы. На рис. 9, а, б показаны соответствующие исходному равновесию профили основных потоковых функций. Рис. 9, в, г демонстрируют соответствующее исходному равновесию распределение плотности торои-дального тока плазмы j

φ(r, z) на плоскости (r, z).

На каждом временном шаге квазиравновесной эволюции самосогласованно решается задача, описы-ваемая следующей нелинейной системой уравнений:

— уравнение равновесия осесимметричной плазмы со свободной границей (8); — система уравнений для расчёта токов Фуко (23), наведённых в окружающих плазму проводящих

структурах; — уравнение диффузии магнитного поля (24), дополненное соответствующими начальными и крае-

выми условиями.

0,5 1

Φ

⟨j ϕ⟩ V

z, м

q

0,5 10

0,5 1

б

Рис. 9. Исходное равновесие: а — расчётная сетка, адаптивная к магнитным поверхностям в плазме; б — исходное равновесиеплазмы; в — профили q, f, ⟨jϕ⟩V, fdf⁄dψ, соответствующие исходному равновесию плазмы; г — трёхмерный график плотноститороидального тока в единицах 0,4π МА/м2, соответствующий исходной равновесной конфигурации

а в

6

4

2

0

–2

–4

–6

Вакуумная камера

Первая стенка


Катушки полоидального

поля

4

3

2

1

0

f fd

f⁄dψ

15

10

5

0

–4 z, м

40

1

2

0

–2

r, м

68

г

35

34

33

36

37

0,5

1,5

1

2

0

2,5

0,5 1

6

4

2

0

–2

–4

–6

z, м

r, м 4 6 8 10

Лимитерные точки

2

4

r, м 2 4 6 8 10 12

ψ

ψ Φ

j ϕ(r,

z)



В ходе VDE-эво-люции неустойчивая при отсутствии стабилизации обратными связями плаз-ма движется по преиму-ществу в вертикальном направлении по экспо-ненциальной временной траектории. На рис. 10 показаны соответст-

вующие траектории для координат магнитной оси zax(t), rax(t) и полного тороидального тока плазмы Jpl(t). В результате этого движения в некоторый момент времени граница плазмы касается одного из ли-

митеров. В ходе дальнейшего движения срезается приграничный слой плазмы снаружи от магнитной поверхности, касающейся данного лимитера, с соответствующей частью полоидального тока F. Среза-ние части полоидального тока влечёт за собой уменьшение в плазме тороидального магнитного поля и, как следствие, тороидального потока Ф. На рассматриваемом отрезке времени плазма реагирует на тако-го рода возмущения как идеальный проводник, следствием чего является возникновение в пригранич-ном слое равновесного тока, компенсирующего эти возмущения для сохранения тороидального магнит-ного потока внутри каждой магнитной поверхности, движущейся вместе с плазмой. В случае идеально-проводящей плазмы возникающий приграничный ток был бы поверхностным, что соответствовало бы разрыву тороидального магнитного поля на границе плазмы.

Рис. 11 (финальное равновесие) аналогичен рис. 9 для исходного равновесия.

Рис. 10. Эволюция координат магнитной оси и полного тороидального тока плазмы

1

0,5

0

–0,5

z ax,

м

0,5 1 t, с

0 10,50 t, с

r ax,

м

6,28

6,26

6,24

6,22

6,2

6,3

J pl, МА

14,95

14,9

14,85

14,8

15

10,50t, с

14,75

б

Рис. 11. Расчётная сетка, адаптивная к магнитным поверхностям в плазме, на момент времени t = 0,478 с (а); равновесие плазмына финальный момент времени t = 0,478 с; профили q, f, ⟨ jϕ⟩V, fdf ⁄dψ, соответствующие этому равновесию плазмы (в); трёхмер-ный график плотности тороидального тока в единицах 0,4π МА/м2, соответствующий этой равновесной конфигурации (г)

а в

fdf/

dψ

г

q

1,8

1,6

1,4

1,2

1

0,80,5 10 0,5 10

f 35

34

33

36

37

14

12

10

8

6

40,5 10

⟨j ϕ⟩ V

0,5

1,5

1

2

2,5

0,5 10

ψ

ψ

1

–4 z, м 4

012

0

–2

r, м

6 8

2

3

75

–1

–3

j ϕ(r,

z)

Φ

Φ



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Многомодульный вычислительный код SPIDER для численного моделирования равновесия и эволю-ции плазмы токамака успешно применяется для решения различных задач. Эффективные методы реше-ния прямой и обратной задачи равновесия плазмы со свободной границей на фиксированной прямо-угольной и адаптивной к магнитным поверхностям расчётных сетках позволяют точно определять поло-жение плазмы и токи в катушках полоидального магнитного поля для существующих токамаков и проек-та ИТЭР, включая случай диверторной конфигурации с нулем второго порядка для полоидального поля. Численное решение задачи квазиравновесной эволюции плазмы с учётом диффузии магнитного поля и вихревых токов в проводящих структурах может быть использовано для моделирования управления плазмой и расчёта её динамики во время срыва и развития периферийной локализованной неустойчиво-сти. Функциональные возможности кода расширяются, в частности, для моделирования эффектов анизо-тропии давления и вращения плазмы [33]. Модульная структура кода SPIDER облегчает его применение в сочетании с кодами для расчёта переноса энергии и частиц, нагрева и генерации тока в плазме токамака.

Авторы благодарны своим коллегам В.В. Дроздову и С.А. Галкину за многолетнее сотрудничество при разработке методов расчёта равновесия и динамики плазмы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shafranov V.D. — Reviews of Plasma Physics (Consultants Bureau, New York), 1966, vol. 2, p. 103. 2. Grad H., Hogan J. — Phys. Rev. Lett., 1970, vol. 24, p. 1337. 3. Grad H., Hu P.N., Stevens D.C. — Proc. Natl. Acad. Sci. (USA), 1975, vol. 72, р. 3789. 4. Zakharov L.E., Shafranov V.D. — Reviews of Plasma Physics (Consultants Bureau, New York), 1981, vol. 11, p. 153. 5. Khairutdinov R.R., Lukash V.E. — J. Comput. Phys., 1993, vol. 109, p. 193. 6. Degtyarev L., Martynov A., Medvedev S., Troyon F., Villard L., Gruber R. — Comput. Phys. Commun., 1997, vol. 103, p. 10. 7. Galkin S.A., Drozdov V.V., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu. General Atomic Report GA-A23045, 1999. 8. Galkin S.A., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu. — Nucl. Fusion, 1997, vol. 37, 10, p. 1455. 9. Дегтярев Л.М., Дроздов В.В., Медведев С.Ю. Численное моделирование равновесия и устойчивости тороидальной плаз-

мы. Монография Института прикладной математики им. М.В. Келдыша. — М. 1989. 10. Ivanov A.A., Khayrutdinov R.R., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu. The SPIDER Code-Axisymmetric Fixed Boundary

Plasma Equilibrium Solver: KIAM Preprint 2006, 7. URL: http://www.keldysh.ru/papers/2006/source/prep2006_07.doc. 11. DeLucia J., Jardin S.C., Todd A.M. — J. Comput. Phys., 1980, vol. 37, p. 183. 12. Huysmans G.T.A., Goedbloed J.P., Kerner W. — In: Proc. CP90 Conf. on Computational Physics Proceedings. Word Scientific.

Singapore, 1991, p. 371. 13. Degtyarev L.M., Drozdov V.V. — Intern. J. Mod. Phys., 1991, vol. 2, p. 30. 14. Medvedev S.Yu., Villard L., Degtyarev L.M., Martynov A.A., Gruber R., Troyon F. — In: 20th EPS Conf. on Controlled Fu-

sion and Plasma Phys. Lisbon, Proc. Contrib. Papers, 1993, vol. 17C, part IV, p. 1279. 15. Ivanov A.A., Khayrutdinov R.R., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu. — The SPIDER code — Solution of Direct and In-

verse Problems for Free Boundary Tokamak Plasma Equilibrium: KIAM Preprint 39. 2009. URL: http://www.keldysh.ru/papers /2009/prep39/prep2009_39.pdf.

16. Khayrutdinov R.R., Lukash V.E. Studies of plasma equilibrium and transport in a tokamak fusion device with the inverse variable technique. — J. Comput. Physics, 1993, vol. 109, p. 193—201.

17. Jardin S.C., Pomphrey N., DeLucia J. Dynamic modeling of transport and positional control of tokamaks. — J. Comput. Physics, 1986, vol. 66, p. 481.

18. Croatinger J.A. et al. 1997 CORSICA: a Comprehensive Simulation of Toroidal Magnetic Fusion Devices. Report UCRL-ID-126284, Lawrence Livermore National Laboratory, CA.

19. Cenacchi G., Tarini A. JETTO: A Free-Boundary Plasma Transport Code (basic version). JET-IR (88) 03. 20. Blum J., LeFoll J. The self-consistent equilibrium and diffusion SCED. — Comput. Phys. Commun., 1981, vol. 24, p. 235. 21. Barabaschi P. — In: The MAXFEA Code. Plasma Control Technical Meeting. Naka, Japan, April 1993. 22. Ryutov D.D., Cohen R.H., Rognlien T.D., Umansky M.V. — Physics of Plasmas, 2008, vol. 15, р. 092501. 23. Lao L.L., Jensen T.N. et al. Magnetohydrodynamic equilibria of attached plasmas after loss of vertical stability in elongated

tokamaks. — Nucl. Fusion, 1991, vol. 31, p. 1909. 24. Hofmann F., Tonetti G. Tokamak equilibrium reconstruction using Faraday rotation measurements. — Nucl. Fusion, 1988,

vol. 37, p. 1871. 25. Schneider W., McCarthy P.J., Lackner K., Gruber O., Behler K., Martin P., Merkel R. ASDEX upgrade MHD equilibria re-

construction on distributed workstations. — Fusion Engineering and Design, 2000, vol. 48, Issues 1—2, p. 127—134.



26. Иванов А.А., Хайрутдинов Р.Р., Медведев С.Ю., Пошехонов Ю.Ю., Гарина С.М. Вычислительный код SPIDER — расчет квазиравновесной эволюции плазмы токамака с учетом диффузии магнитного поля: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша 52, 2008. URL: http://www.keldysh.ru/papers/2008/prep52/prep2008_52.pdf.

27. Galkin S.A., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu. — Nucl. Fusion, 1997, vol. 37, p. 1455. 28. Lackner K. — Comput. Phys. Commun., 1976, vol. 12, p. 33. 29. Galkin S.A., Drozdov V.V. — Sov. J. Differential Equations, 1988, 24, p. 1171. 30. Galkin S.A., Drozdov V.V., Semenov V.N. — Sov. J. Plasma Physics, 1989, vol. 15, 3, p. 288. 31. Galkin S.A., Denissov A.A., Drozdov V.V., Drozdova O.M. — Astron. Astrophys., 1993, vol. 269, p. 255. 32. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах. — В сб.: Вопросы теории плазмы. —

М.: Энергоиздат, 1982, вып. 11, с. 118. 33. Иванов А.А., Мартынов А.А., Медведев С.Ю., Пошехонов Ю.Ю. Вычислительный код SPIDER. Решение задачи равно-

весия плазмы с анизотропным давлением и вращением в токамаке: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша 24, 2013. URL: http://www.keldysh.ru/papers/2013/prep2013_24.pdf.

Андрей Александрович Ива-нов, с.н.с.; Институт при-кладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 125047, Москва, Миусская пл., д. 4, Россия [email protected]

Александр Александрович Мартынов, с.н.с., к.ф.-м.н.; Институт прикладной мате-матики им. М.В. Келдыша РАН, 125047, Москва, Ми-усская пл., д. 4, Россия [email protected]

Сергей Юрьевич Медве-дев, заведующий секто-ром, к.ф.-м.н.; Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 125047, Москва, Миусская пл., д. 4, Россия [email protected]

Юрий Юрьевич Пошехонов, с.н.с., к.ф.-м.н.; Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 125047, Москва, Миусская пл., д. 4, Россия [email protected]

Сергей Владимирович Коновалов, нач. лаборато-рии, к.ф.-м.н.; НИЦ «Кур-чатовский институт», 123182, Москва, пл. Ака-демика Курчатова, д. 1, Россия [email protected]

Рустам Рашитович Хай-рутдинов, в.н.с., д.ф.-м.н., лауреат премии им. И.В. Курчатова; НИЦ «Курчатовский институт», 123182, Москва, пл. Акаде-мика Курчатова, д. 1, Рос-сия [email protected]

Статья поступила в редакцию 29 ноября 2013 г. Вопросы атомной науки и техники.

Сер. Термоядерный синтез, 2014, т. 37, вып. 1, с. 80—96.

621.039.623 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОД spider. …vant.iterru.ru/vant_2014_1/11.pdf ·...

Documents