6 wave mechanics in one dimension

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

6Wave Mechanics in One Dimension เนอหา 6.1 Wave Function และ Position Eigenstate 6.2 Generator of Translation 6.3 Momentum Operator 6.4 Free Particles และ Gaussian Wave Packets 6.5 Heisenberg Uncertainty Principle 6.6 Schrödinger Equation 6.7 Square Well Potential 6.8 Scattering in One Dimension 6.9 Ehrenfest Theorem 6.10 บทสรป 6.11 ปญหาทายบท

6.1 Wave Function และ Position Eigenstate

ระบบตางๆทเราไดกลาวถงในบททผานมา ลวนแตเปนระบบทม basis states เปนสถานะทไม

ตอเนอง ยกตวอยางเชน spin ของอเลกตรอนทมคาไดเพยง 2

+ หรอ 2

− และจากกลไกของ

quantum mechanics อาท matrix mechanics, expectation value, หรอ time evolution operator ทาใหเราสามารถวเคราะหระบบทไมตอเนองเหลานไดในหลายแงมมทงในแงของพลงงาน หรอ แมกระทงการเปลยนแปลงไปตามเวลาของระบบทเรากาลงพจารณา อยางไรกตาม มระบบในทางฟสกสอยจานวนมากทม basis state เปนสถานะทตอเนอง ยกตวอยางเชนอเลกตรอนทถกขงอยในบอพลงงานศกยดงทไดเกรนมาแลวใน Section 1.5

ให Ψ แทนสถานะของอเลกตรอนในระบบ ________________ สมการ (6.1)



และในเมออเลกตรอนดงกลาวสามารถทจะอย ณ ตาแหนงใดๆกไดภายในกลอง เราจงให basis state เปนเซตของตาแหนงตางๆ ซงเขยนไดโดยสญลกษณ

ให x แทนสถานะของอเลกตรอนทอย ณ ตาแหนง x ใดๆ ___________ สมการ (6.2) จะเหนวา เซตของ basis state ขางตนเปนคาทตอเนอง และมจานวนสมาชกของเซตเปน infinity ดวยเหตนเอง เมอเราเขยนสถานะ Ψ ของระบบ ใหอยในรปของ linear superposition ของ basis state x จงมความจาเปนจะตองเขยนอยในลกษณะของ integral ดงตอไปน

( )dx x xψΨ = ∫ ____________________ สมการ (6.3)

โดยนยยะสาคญแลว สมการขางตนมไดตางจากสมการ (2.22) หากแต summation 1

N

i=∑ ไดถก

เปลยนใหอยในรปของ integral dx∫ ในขณะเดยวกน เซตของสมประสทธ ic ทปรากฏในสมการ

(2.22) ซงเปนคาเฉพาะทผกตดอยกบ basis state iφ นนๆ กไดถกเปลยนใหเปนฟงชนก ( )xψ

ซงเปนฟงชนกของ x เพราะเปนสมประสทธทผกตดกบ basis state x นนเอง และในทานองเดยวกนทเราสามารถตความไดวา ic กคอ probability amplitude ทระบบจะอยในสถานะ iφ ในระบบทมความตอเนองเชนน กสามารถเขยนไดวา

( )x xψ = Ψ ___________________________ สมการ (6.4)

สมการ (6.4) นเองคอคานยามของ wave function ทนกศกษาไดคนเคยมาเปนอยางดในเนอหาของ quantum mechanics เบองตน โดยทความหมายของ wave function ดงกลาวนน เกยวของกบความนาจะเปนทจะพบอนภาค

2( )x dxψ = ความนาจะเปนทจะพบอนภาคอยภายในบรเวณ x x dx→ + นอกจากนในบทท 2 เรายงไดกลาวถงการทเขยน operator ใหอยในรปของ ket-bra ซงปรากฏในสมการ 2.23 ดงตอไปน



1 1

ˆN N

ij i ji j

O o φ φ= =

=∑∑ เมอ { }iφ คอ basis set _____________ สมการ (2.23)

และในทานองเดยวกนกบสมการ (6.3) เราสามารถเขยน operator ใหอยในรป

ˆ ( , )O dxdx o x x x x′ ′ ′= ∫∫ ____________________ สมการ (6.5)

จากสมการขางตนจะพบวา double summation ไดถกเปลยนใหเปน double integral และ สมประสทธ ijo ไดถกเปลยนใหเปนฟงชนก ( , )o x x′ และจากแบบฝกหด 2.5 เราสามารถเขยน

( , )o x x′ ซงเปนฟงชนกของ x และ x′ ไดวา

ˆ( , )o x x x O x′ ′= ____________________ สมการ (6.6) แบบฝกหด 6.1 จงใช identity operator ในบทท 2 เพอแสดงใหเหนวา

1 dx x x= ∫ ____________________ สมการ (6.7)

แบบฝกหด 6.2 กาหนดให 1Ψ Ψ = จงใช identity operator ในสมการ (6.7) และ คานยามของ wave function ในสมการ (6.3) เพอพสจนวา

21 ( ) ( ) ( )dx x x dx xψ ψ ψ∗= =∫ ∫ ____________________ สมการ (6.8)

คณสมบตทางคณตศาสตรทสาคญอกอนหนง ทเกยวของกบการใช { }x เปนเซตของ basis state คอ

( )x x x xδ′ ′= − ____________________ สมการ (6.9)

เมอ คอ ( )x xδ ′ − Dirac delta function โดยทสมการ (6.9) ขางตนสามารถพสจนไดโดยงายโดยการพจารณา สถานะ bra Ψ

( )dx x xψ ∗′ ′ ′Ψ = ∫ ____________________ สมการ (6.10)

ใหสงเกตการเปลยนรปของฟงชนก ( )xψ ในสมการ (6.3) มาเปน complex conjugate ของตวมนเองในสมการ (6.10) นอกจากนเราทราบวา 1Ψ Ψ = เพราะฉะนนแลว



1 ( ) ( )dx dx x x x xψ ψ∗′ ′ ′Ψ Ψ = = ∫∫

ในสมการขางตน ถาเราสมมตให ( )x x x xδ′ ′= − แลวจะไดวา

( )1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

dx dx x x x x

dx x dx x x x

dx x x

ψ ψ δ

ψ ψ δ

ψ ψ

∗

∗

∗

′ ′ ′= −

′ ′ ′= −

=

∫∫∫ ∫∫

ซงกถกตองเมอเปรยบเทยบกบสมการ (6.8) ทาใหเราทราบวาสมมตฐานทวา ( )x x x xδ′ ′= − นน สอดคลองกบความเปนจรง แบบฝกหด 6.3 พจารณาสถานะของระบบ 2 สถานะดวยกนคอ Ψ และ Φ ทงนเมอเราให เซตของ basis state เปน { }x จะสามารถเขยนไดวา

( )dx x xψΨ = ∫ และ ( )dx x xϕΦ = ∫

โดยท ( )xψ และ ( )xϕ เปนฟงชนกใดๆ จงใช identity matrix ในสมการ (6.7) และคานยามของ wave function ในสมการ (6.4) เพอพสจนวา

( ) ( )dx x xϕ ψ∗Φ Ψ = ∫ ____________________ สมการ (6.11)

นอกจากน โดยทวไปแลว expectation value ของ operator O ใดๆ จะเขยนอยในรป

ˆ ˆO O= Ψ Ψ

ทงนเมอเราแทรก identity operator 1 dx x x= ∫ เขาไปในสมการขางตน ยอมกระทาได เพราะ

identity operator ไมทาใหเกดการเปลยนแปลงในทางคณตศาสตร

ˆ ˆ

ˆ ˆ1ˆ

O O

O

dx x x O

= Ψ Ψ

= Ψ Ψ

= Ψ Ψ∫



โดยใชเอกลกษณ ( )x x xψ∗ ∗Ψ = Ψ = และเขยน Ψ ใหอยในรป linear superposition ของ basis state ( )dx x xψ′ ′ ′Ψ = ∫ จะไดวาสมการขางตนแปรสภาพเปน

ˆ ˆ( ) ( )O dxdx x x x O xψ ψ∗′ ′ ′= ∫∫ ____________________ สมการ (6.12)

สมการ (6.12) มความสาคญมากในการคานวณ expectation value ของระบบทม basis state เปนปรมาณทตอเนองอาทเชน { }x ดงจะไดยกตวอยางการนามาใชงานในแบบฝกหด 6.4

แบบฝกหด 6.4 พจารณา operator ทใชวดตาแหนงของอนภาค และใชสญลกษณวา x ดวยเหตนเมอ operator ดงกลาวกระทากบสถานะ x กยอมตองดงเอา eigenvalue ซงแสดงถงตาแหนงในขณะนน กลาวอกนยหนงคอ

x x x x= ____________________ สมการ (6.13) จงใชคานยามของ operator ขางตนผนวกกบ 1) การคานวณ expectation value ในสมการ (6.9) และ 2) เอกลกษณทางคณตศาสตรในสมการ (6.12) เพอพสจนวา expectation value

ˆ ( ) ( )x dx x x xψ ψ∗= ∫ ____________________ สมการ (6.14)

เมอนกศกษาลองมองยอนไปถงเนอหาของ quantum mechanics เบองตน ในประเดนทเกยวของกบการคานวณ expectation value ของ operator ใดๆ จะพบวา รปแบบของสมการทเขยนจะมความคลายคลงกบทแสดงในสมการ (6.14) มากกวาทแสดงในสมการ (6.12) ทงนกเพราะวา quantum mechanics เบองตนเนนการใช wave function เปนหลกในการคานวณ หากแตเนอหาทเรากาลงวเคราะหอยน มตนตอมาจาก matrix mechanics ซงมขอบเขตของการประยกตใชงานกวางขวางกวา wave mechanics อยมากทเดยว ขอเสยของ matrix mechanics กคอ รปแบบของสมการทนกศกษาจาเปนตองทาความเขาใจ คอนขางจะซบซอนกวา ดงจะเหนไดจากวธการคานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เปนตน

6.2 Generator of Translation

ในแบบฝกหด 6.4 เราไดเหนตวอยางของ operator x ซงทาหนาทในการวดตาแหนงของอนภาค และมคณสมบตในทางคณตศาสตรคอ x x x x= ม Section 6.2 เราจะมาทาความรจก operator อกชนดหนงซงทาหนาทในการเลอนตาแหนงของอนภาคเปนระยะทาง a ดวยคณสมบตของ operator ดงกลาวทเราตองการน สามารถเขยนใหอยในรปของสมการทางคณตศาสตรไดวา



translation operator ˆ( )T a x x a= + ____________________ สมการ (6.15)

ในสมการ (6.15) เราเรยก operator ˆ( )T a วา translation operator ซงมผลให basis state x เปลยนไปเปนสถานะ x a+ หรออกนยหนง เลอนไปขางหนาตามแกน x เปนระยะทางเทากบ a นนเอง โดยทวไปแลว อนภาคหรอระบบทเราตองการศกษา มไดมตาแหนงทแนนอนอย ณ ทใดทหนง หากแตเปน linear superposition ของตาแหนงตางๆทเปนไปได โดยมฟงชนก ( )xψ เปน probability amplitude ทอนภาคจะอย ณ ตาแหนงตางๆเหลานน หรออกนยหนง ( )dx x xψΨ = ∫ และก

เปนทนาสนใจวา translation operator ˆ( )T a จะมผลอยางไรกบระบบทอยในสถานะดงกลาว ทงนเมอพจารณา

( )ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ( ) ( )

ˆ( ) ( )

T a T a dx x x

dx x T a x

T a dx x x a

ψ

ψ

ψ

Ψ =

=

Ψ = +

∫∫∫

และเมอเราทาการเปลยนตวแปรของการ integrate โดยนยามให x x a′ ≡ + จะทาให integral ในสมการขางตนเปลยนรปดงตอไปน

ˆ( ) ( )T a dx x a xψ′ ′ ′Ψ = −∫

อยางไรกตาม ตวแปร x′ เปนเพยงตวแปรของการ integrate ทเราจะใชสญลกษณตวอนแทนไดโดยไมผดกตกาแตอยางใด เพราะฉะนนเราอาจจะเขยนไดวา

ˆ( ) ( )T a dx x a xψΨ = −∫ เมอ ( )dx x xψΨ = ∫ __________ สมการ (6.16)

ทงสมการ (6.16) และภาพ 6.1 แสดงใหเหนถงผลของ translation operator ตอสถานะของระบบ ถาเราบงบอกสถานะของระบบดวย probability amplitude ทอนภาคจะอย ณ ตาแหนงตางๆ ซงแทนดวยฟงชนก ( )xψ จะพบวา ผลของ operator ˆ( )T a กคอการทาใหฟงชนกดงกลาวเลอนไปขางหนาตามแนวแกน x เปนระยะทางเทากบ a



2− 0 2 4

1−

0.5−

0.5

1

( )dx x xψΨ = ∫

ˆ( ) ( )T a dx x a xψΨ = −∫

2− 0 2 4

1−

0.5−

0.5

1

( )dx x xψΨ = ∫

ˆ( ) ( )T a dx x a xψΨ = −∫

ภาพ 6.1 แสดงผลของ translation operator ตอสถานะของระบบ ถาเราบงบอกสถานะของระบบดวย probability amplitude ทอนภาคจะอย ณ ตาแหนงตางๆ ซงแทนดวยฟงชนก ( )xψ จะพบวา ผลของ operator ˆ( )T a กคอการทาใหฟงชนกดงกลาวเลอนไปขางหนาตามแนวแกน x เปนระยะทางเทากบ a

แบบฝกหด 6.5 จงใชสมบตของ translation operator ในสมการ (6.15) และเอกลกษณของ Dirac delta function เพอพสจนวา

ˆ( ) ( )x T a x aψΨ = − __________ สมการ (6.17) แบบฝกหด 6.6 จงใชสมบตการ normalization ของสถานะ ( )dx x xψΨ = ∫ ในการพสจนวา

translation operator มสมบตเปน unitary operator กลาวคอ †ˆ ˆ( ) ( ) 1T a T a = ________________ สมการ (6.18)

อยางไรกตาม แทนทเราจะสนใจ translation operator ทสามารถเลอนสถานะของระบบเปนระยะทาง a เราอาจจะพจารณาเฉพาะการเลอนอนภาคเปนระยะทางสนๆ xΔ หรอทเรยกวา infinitesimal translation และในทานองเดยวกนกบ infinitesimal rotation operator ในบทท 2 หรอ infinitesimal time evolution operator ในบทท 4 เราสามารถเขยน infinitesimal translation ใหอยในรปของ

ˆ ˆ( ) 1 xiT x p xΔ = − Δ เมอ ˆ xp คอ generator of translation __________ สมการ (6.19)

สาเหตทเรยก operator ˆ xp นวาเปน generator of translation กเพราะวามนทาหนาทในการกาหนดคณลกษณะการเปลยนแปลงไปของสถานะท operator ˆ( )T xΔ กาลงกระทาอย นอกจากน ดวยเอกลกษณทางคณตศาสตรทไดกลาวถงแลวในบทท 2 เราสามารถเขยน



ˆˆ( )i p ax

T a e−

= ________________ สมการ (6.20) generator of translation operator ˆ xp มสมบตทางคณตศาสตรทสาคญอย 3 ขอทสาคญ ซงจะไดกลาวถงโดยละเอยดในลาดบตอไปน 1. ˆ xp เปน Hermitian operator สมบตขอนพสจนไดจากคานยามของ infinitesimal translation

operator ˆ ˆ( ) 1 xiT x p xΔ = − Δ จากคณสมบตในสมการ (6.18) ทวา

†

†

†

ˆ ˆ1 ( ) ( )

ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ1 1

x x

x x

T x T x

i ip x p x

i ip x p x

= Δ Δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − Δ − Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= + Δ − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

และเมอกระจายเทอมทางขวามอของสมการจะได

( )2† †1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 x x x xi ip x p x p p x= − Δ + Δ + Δ

เนองจากเรากาลงพจารณา infinitesimal operator ซงกหมายถงวา 0xΔ → ทาใหสามารถตดเทอมท 4 ทางขวามอของสมการออกได เพราะมคาเลกมากเมอเทยบกบเทอมอนๆ ดงนนแลว

†ˆ ˆx xp p= _____________________ สมการ (6.21) ซงสมการ กมความหมายวา ˆ xp เปน Hermitian operator นนเอง 2. [ ]ˆ ˆ, xx p i= คณสมบตทางคณตศาสตรขอนมทมาจากการพจารณา commutation ระหวาง

infinitesimal translation operator ˆ ˆ( ) 1 xiT x p xΔ = − Δ ในสมการ (6.19) และ position operator

x ในสมการ (6.13) กลาวคอ



ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) 1 1

ˆ

x xi ix T x x p x p x x

x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤Δ = − Δ − − Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ˆˆ ˆxi xp x x− Δ −

( )

ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ

x

x x

i p x x

i x xp p x

+ Δ

= − Δ −

สมการขางตนสามารถลดรปลงไปไดอก ถาเราเขยน ˆˆ ˆ ˆx xxp p x− ใหอยในรป [ ]ˆ ˆ, xx p ดงนน

[ ]ˆˆ ˆ ˆ, ( ) , xix T x x x p⎡ ⎤Δ = − Δ⎣ ⎦ _____________________ สมการ (6.22)

นอกจากน ถาเราพจารณาผลของ operator ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ( ) ( ) ( )x T x xT x T x x⎡ ⎤Δ = Δ − Δ⎣ ⎦ ทกระทากบสถานะ

( )dx x xψΨ = ∫ ใดๆ จะไดวา

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x T x xT x T x x dx x x

xT x dx x x T x x dx x x

ψ

ψ ψ

⎡ ⎤Δ Ψ = Δ − Δ⎣ ⎦

= Δ − Δ

∫∫ ∫

และเมอใชสมบตของ ˆ( )T dx ในสมการ (6.16) และ สมบตของ x ในสมการ (6.13) เทอมขางตนแปรสภาพเปน

ˆ ˆˆ ˆ, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

x T x x dx x x x T x dx x x x

dx x x x x dx x x x x x

x dx x x x

ψ ψ

ψ ψ

ψ

⎡ ⎤Δ Ψ = −Δ − Δ⎣ ⎦

= −Δ − −Δ −Δ

= Δ −Δ

∫ ∫∫ ∫∫

ฟงชนก ( )x xψ −Δ ทปรากฏเปน integrand ในสมการขางตน สามารถกระจายใหอยในรปของ

Taylor expansion ( )22

21 1( ) ( )1! 2!

x x x x xx xψ ψψ ψ ∂ ∂

−Δ = −Δ + Δ −∂ ∂

แตเนองจาก 0xΔ →

เราจงสามารถประมาณ ( ) ( )x x xψ ψ−Δ ≅ โดยมไดม error มากมายนก เพราะฉะนนแลว สมการขางตนลดรปเหลอเพยง

ˆˆ, ( ) ( )x T x x dx x x xψ⎡ ⎤Δ Ψ = Δ = Δ Ψ⎣ ⎦ ∫



เนองจากสถานะ Ψ ทเรานามาพจารณาเปนสถานะทวๆไป และไมเฉพาะเจาะจงวาเปนกรณใดเปนพเศษ สมการขางตนจงเปนจรงในทกๆกรณ และสรปไดวา

ˆˆ, ( )x T x x⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ _____________________ สมการ (6.23)

ในทายทสด เมอเปรยบเทยบสมการ (6.23) และสมการ (6.22) จะไดความสมพนธ

[ ]ˆ ˆ, xx p i= _____________________ สมการ (6.24)

3. ˆ ( )xx p xi x

ψ∂Ψ =∂

ในแบบฝกหด 6.5 เราไดคนเคยกบสมบตทางคณตศาสตรของ

operator ˆ( )T a ในลกษณะเดยวกนนมาแลว ในคราวนเรามาวเคราะหในกรณของ generator of translation operator ˆ xp กนบาง พจารณา

ˆ( ) ( )T x dx x x xψ′ ′ ′Δ Ψ = −Δ∫

จะเหนวาเราสามารถกระจายฟงชนกใหอยในรปของอนกรม Taylor

( ) ( ) ( )x x x x xx

ψ ψ ψ∂′ ′ ′− Δ ≅ −Δ′∂

เพราะฉะนนแลว สมการขางตนแปรสภาพเปน

ˆ( ) ( ) ( )T x dx x x x dx x x

xψ ψ∂′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Ψ = −Δ

′∂∫ ∫

และเมอนาสถานะ bra x เขามาประกบทงสองขางของสมการ จะไดวา

ˆ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x T x dx x x x x dx x x xx

dx x x x x dx x x xx

ψ ψ

ψ δ ψ δ

∂′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Ψ = −Δ′∂

∂′ ′ ′ ′ ′ ′= − − Δ −′∂

∫ ∫

∫ ∫

ใหสงเกตการณใช Dirac delta function ซงเปนเอกลกษณทางคณตศาสตรในสมการ (6.9) และอาศยคณสมบตของ Dirac delta function ทวา ( ) ( )x x x xδ δ′ ′− = − ทาให

ˆ( ) ( ) ( )x T x x x xx

ψ ψ∂Δ Ψ = −Δ∂

_____________________ สมการ (6.25)



นอกจากน เรายงสามารถวเคราะหเทอม ˆ( )x T xΔ Ψ โดยการเขยน ˆ( )T xΔ ใหอยในรปของ

ˆ ˆ( ) 1 xiT x p xΔ = − Δ ซงจะไดวา

ˆ ˆ( ) 1

ˆ

x

x

ix T x x p x

ix x x p

Δ Ψ = − Δ Ψ

= Ψ − Δ Ψ

เพราะฉะนนแลว ˆ ˆ( ) ( ) x

ix T x x x x pψΔ Ψ = − Δ Ψ ________________ สมการ (6.26)

ทงนเมอพจารณาทางขวามอของสมการ (6.25) และสมการ (6.26) แลวพบวา

ˆ ( )xi x x p x x

xψ∂Δ Ψ = Δ

∂ หรออกนยหนง

ˆ ( )xx p xi x

ψ∂Ψ =∂

________________ สมการ (6.27)

นอกจากน สมการขางตน ยงสามารถเขยนใหอยในรป

ˆ ( )xp dx x xi x

ψ∂Ψ =∂∫ เมอ ( )dx x xψΨ = ∫ ___________ สมการ (6.28)

แบบฝกหด 6.7 สมมตใหระบบทางฟสกสอยในสถานะ ( )dx x xψ′ ′ ′Ψ = ∫ จงพสจนวา

expectation value ของ generator of translation operator ˆ xp มคาเทากบ

ˆ ( ) ( )xp dx x xi x

ψ ψ∗ ∂Ψ Ψ =

∂∫ ________________ สมการ (6.29)

6.3 Momentum Operator

คณสมบตทางคณตศาสตรทง 3 ขอทเราไดกลาวมาขางตนนน มความสาคญตอการตความหมายของ operator ˆ xp ในทางฟสกสเปนอยางยง ประการแรกกคอ คานยามในสมการ (6.19) บงคบให

operator ˆ xp มหนวยเปน Joule secm⋅ ซงเปนหนวยของ momentum



ประการทสอง ˆ xp เปน Hermitian operator ดงทไดอธบายในบทท 3 Section 3.6 ซงมความหมายวา ˆ xp จะตองม eigenvalue เปนจานวนจรง และสามารถทจะเปน operator ทใชวด observable ในทางฟสกสได และประการทสาม ˆ xp มคณสมบตดงในสมการ (6.27) ซงนกศกษาคงสามารถจดจารปแบบทางคณตศาสตรของ momentum operator ในเนอหาของ quantum mechanics เบองตนไดวา มความคลายคลงกบสมการ (6.27) ดวยเหตผลทง 3 ประการนเองเราสรปไดวา นอกจาก ˆ xp จะมหนาทเปน generator of translation operator ทเปนตวควบคมใหอนภาคเลอนไปขางหนาตามแนวแกน x แลว operator ˆ xp ยงเปนทรจกกนดในเชอทวา momentum operator อกดวย ในเนอหาของ quantum mechanics เบองตนทใช Schrödinger equation เปนหลก นกศกษามกจะ

คนเคยกบ wave function ( )xψ และ momentum operator ทเขยนอยในรป ˆ xpi x∂

≡∂

อยางไรก

ตาม รปแบบของ momentum operator ดงกลาวเมออยภายใตบรบทของเนอหา matrix mechanics ทเรากาลงศกษาอยน เปนเพยงรปแบบของ momentum operator ทแสดงออกมาภายใต basis set { }x

นกศกษาตองไมลมวา operator ตางๆนน จะแสดงออกมาวามรปแบบทางคณตศาสตรอยางไร ลวนแลวแตผกตดอยกบ basis state ทกาลงใชอย ไมวาจะเปน operator ในสมการ (2.23) หรอ matrix ในสมการ (2.63) หรอ แมกระทง momentum operator ในสมการ (6.27) เพราะฉะนน แทนทเราจะใชตาแหนงของอนภาค { }x เปน basis state เราอาจจะพจารณาระบบท

กาลงสนใจ ในแงของ momentum ทมนมอย หรอกลาวอกนยหนง พจารณาระบบโดยใช momentum ตามแนวแกน x เปน basis state ซงในทน เราจะใชสญลกษณ { }p แทนเซตของ basis

state ดงกลาว และเมอเราใช momentum operator ˆ xp เขามากระทากบกบสถานะ p กจะมผลเทากบการวด momentum ของสถานะนนๆ และดงเอาคา eigenvalue ดงกลาวออกมา ซงกคอ



ˆ xp p p p= _____________________ สมการ (6.30) นอกจากน เรายงสามารถทจะเขยนสถานะของระบบ Ψ ใหอยในรป linear superposition ของ basis state { }p เหลานไดวา

( )dp p pϕΨ = ∫ ____________________ สมการ (6.31)

โดยทวไปแลว สถานะ Ψ ดงในสมการ (6.31) นน เราเรยกเซตของ momentum basis state

{ }p วา "momentum space" ในขณะทสมการ (6.3) เปนการเขยน Ψ ใหอยในรปของ "position

space" จะสงเกตวาในสมการ (6.31) ขางตนนน เราใชฟงชนก ( )pϕ แทน probability amplitude ทจะพบอนภาคหรอระบบทเรากาลงสนใจ อยในสภาวะทม momentum ตางๆกน หรอในรปของ bra-ket กคอ

( )p pϕ = Ψ ____________________ สมการ (6.32) และจาก probability amplitude ดงกลาว โดยคานยามของความนาจะเปนแลว

2( )dp pϕ คอ probability ทอนภาคจะม momentum อยในชวง ( )p p dp→ +

แบบฝกหด 6.8 ในทานองเดยวกนกบสมการ (6.9) จงพสจนวา

( )p p p pδ′ ′= − ____________________ สมการ (6.33) คณสมบตของ momentum basis state ในสมการ (6.33) และการเขยน Ψ ในสมการ (6.31) จะทาใหเราสามารถเขยนรปแบบทางคณตศาสตรของ momentum operator ดงทปรากฏภายใต momentum space กลาวคอ

( )( )

( )

ˆ ˆ( )

( )

( )

x xp p p dp p p p

p dp p p p

dp p p p

ϕ

ϕ

ϕ δ

′ ′ ′Ψ =

′ ′ ′ ′=

′ ′ ′= −

∫∫

∫



และเมอเราใชเอกลกษณทางคณตศาสตรของ Dirac delta function ทวา ( ) ( )p p p pδ δ′ ′− = − และ ( ) ( )0 0( )dx f x x x f xδ − =∫ จะไดวา

ˆ ( )xp p pϕΨ = ____________________ สมการ (6.34)

มาถงขนน นกศกษาตองสงเกตใหเหนความแตกตางอยางชดเจนระหวางสมการ (6.27) ซงดเหมอนวา momentum operator ˆ xp เมออยภายใต position space อยมรปแบบทางคณตศาสตรเปน differential

operator i x∂∂

ซงกระทาอยกบฟงชนก ( )xψ

ในขณะทสมการ (6.34) บงบอกวา momentum operator ˆ xp เมออยในบรบทของ momentum space แลว จะมรปแบบทางคณตศาสตรเปนเพยง identity operator (ตวเลข 1) ซงคณอยกบฟงชนก ( )pϕ ความแตกตางดงกลาว เปนหลกฐานชนสาคญซงจะทาใหเราตระหนกวา operator ตางๆทไดเคยศกษามาใน quantum mechanics เบองตนซงใช Schrödinger equation เปนหลกนน แทจรงแลวเปนการเขยน operator ทแสดงออกมาภายใตกรอบของ position space เทานนเอง ในคราวนเราจะมากลาวถงเอกลกษณทางคณตศาสตรสาคญอกอนหนง ซงจะถกนามาประยกตใชงานในอนาคต นนกคอ เราจะพสจนวา

12

ipxx p eπ

= ____________________ สมการ (6.35)

พจารณา ˆ xx p p p x p= นอกจากน ถาพจารณาสมการ (6.27) และกาหนดให pΨ =

จะไดวา ˆ xx p p x pi x∂

=∂

เพราะฉะนนแลว

p x p x pi x∂

=∂

____________________ สมการ (6.36)

เนองจาก x p มสถานะภาพเปนฟงชนก ทาใหสมการ (6.36) กมสถานะภาพเปน differential equation ธรรมดา ซงมผลเฉลยของสมการคอ

ipxx p Ne= เมอ N คอคาคงท ____________________ สมการ (6.37)



โดยทเราสามารถคานวณคาคงท N ไดจากการพจารณาสถานะ p ซงกไมตางจากสถานะทวๆไป ทเราสามารถเขยนอยในรปของ linear superposition ใน position space

( )p dx x p x= ∫ เมอ คอ x p probability amplitude

และเมอนา bra p′ เขามาประกบทงสองขางของสมการ จะไดวา p p dx x p p x′ ′= ∫

แตจากสมการ (6.33) ( )p p p pδ′ ′= − เพราะฉะนน

( )2

( )

i p p x

p p dx x p p x

dx x p x p

N dxe

δ

∗

′−

′ ′− =

′=

=

∫∫

∫

Dirac delta function ทปรากฏอยทางซายมอของสมการขางตน มรปแบบทางคณตศาสตรทเปนไปได

อยหลายรปแบบ ยกตวอยางเชน 1( )2

ikxx dk eδπ

+∞+

−∞

= ∫ และเมอใชคานยามของ Dirac delta

function ดงกลาวน

( ) ( )212

i p p x i p p xxd e N dxeπ

′ ′− −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

ดวยเหตนเอง ทาให 12

Nπ

= และเมอผนวกกบสมการ (6.37) กจะไดความสมพนธ x p

ดงแสดงในสมการ (6.35) การนาเอกลกษณทางคณตศาสตรในสมการ (6.35) มาประยกตใชงานนน กไดแกการเปลยนจาก probability amplitude ซงแตเดมอยใน position space ( )xψ ใหกลายมาเปน momentum space

( )pϕ โดยสมมตวาเราทราบขอมลของอนภาค และ probability amplitude ทมนจะอย ณ ตาแหนงตางๆกนคอ

( )dx x xψΨ = ∫



เมอนาสถานะ bra p เขามาประกบทงสองขางของสมการจะไดวา ( )p dx x p xψΨ = ∫

ทงนโดยคานยามแลว ทางซายมอของสมการกคอ ( )p pϕ = Ψ ในขณะททางขวามอของสมการก

คอ 1 ( )2

ipxdx x eψπ

−∫ เพราะฉะนนแลว

1( ) ( )

2ipxp dx x eϕ ψ

π−= ∫ ____________________ สมการ (6.38)

และในทานองเดยวกน เราสามารถพสจนไดวา

1( ) ( )2

ipxx dp p eψ ϕπ

+= ∫ ____________________ สมการ (6.39)

แบบฝกหด 6.9 พจารณาระบบทอเลกตรอนถกขงอยในบอพลงงานศกยสงเปนอนนตดงในภาพ (1.2) ของบทท 1 สมมตวา probability amplitude ทจะพบอเลกตรอน ณ ตาแหนงตางๆภายในกลอง

คอ 530( ) ( )x x d xd

ψ = − เมอ 0 x d≤ ≤

a) จงหา probability amplitude ( )pϕ และ plot graph b) เมอวเคราะหอเลกตรอนทอยในสถานะดงกลาว มความนาจะเปนเทาใดทจะพบวามนม momentum อยในชวง ( )p p dp→ + พรอมทง plot graph

เฉลย 2 2 2 2 26 5

15( ) 8 2 ( 4)2cos( ) 8 sin( )p k d k d kd dk kdk d

ϕπ

⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦ เมอนยาม pk ≡

นอกจากน เนองจากความสมพนธทางคณตศาสตรระหวาง ( )xψ และ ( )pϕ ดงในสมการ (6.38) และ (6.39) ทมลกษณะของเหมอนกนกบ Fourier transform เราเรยกฟงชนก ( )xψ และ ( )pϕ วาเปน Fourier transform pair (ฟงชนกทเปน Fourier transform ของกนและกน) ระหวาง position space และ momentum space

6.4 Free Particles และ Gaussian Wave Packet

เพอมใหเนอหาทเกยวของกบ momentum operator และกลไกทางคณตศาสตรทไดกลาวมาขางตน เปนเพยงนามธรรมทเลอนลอยจนเกนไป เรามาศกษาตวอยางทเปนรปธรรม ซงกคอ อนภาคทเคลอนทอยางอสระตามแนวแกน x หรอทเรยกวา free particles



0x =

อนภาควางอย ณ จดกาเนด

ระบบจรงทกาลงศกษา model ของ quantum mechanics

( )dx x xψΨ = ∫

2 22( ) x ax Neψ −=0x =

อนภาควางอย ณ จดกาเนด

ระบบจรงทกาลงศกษา model ของ quantum mechanics

( )dx x xψΨ = ∫

2 22( ) x ax Neψ −=

ภาพ 6.2 แสดงถง model อกแบบหนงของ quantum mechanics ทใชแทนอนภาคทวางอย ณ จดกาเนด คาวา "วาง ณ จด x=0" นน ในความเปนจรงแลว เปนไปไมไดทอนภาคจะมตาแหนงทแนนอน 100% อย ณ จดใดจดหนง พจารณาอนภาคทวางอย ณ จดกาเนดดงในภาพ 6.2 ในมมมองของ quantum mechanics คาวา "วาง ณ จด x=0" นน ในความเปนจรงแลว เปนไปไมไดทอนภาคจะมตาแหนงทแนนอน 100% อย ณ จดใดจดหนง เพราะฉะนน เราใหสถานะ Ψ ของอนภาคเปน linear superposition ของตาแหนงตางๆทเปนไปได ( )dx x xψΨ = ∫ โดยมฟงชนก ( )xψ แสดงถง probability amplitude ทจะ

พบอนภาค ณ ตาแหนงนนๆ model อนหนงทเปนไปไดกคอ การกาหนดให

2 22( ) x ax Neψ −= ____________________ สมการ (6.40) เมอ N และ a คอคาคงท ซงเราจะทาการคานวณและตความในลาดบตอไป รปแบบของฟงชนกในสมการ (6.40) จดอยในกลมของฟงชนกทเรยกวา Gaussian function ดงแสดงในภาพ 6.2 ขอควรระวง probability amplitude ในสมการ (6.40) มไดเปนขอกาหนดตายตวท quantum mechanics ใชในการอธบายอนภาคอสระ ขนอยกบความเหมาะสมกบระบบทางฟสกสทกาลงพจารณา ยกตวอยางเชน บางครงเรา model อนภาคอสระทกาลงเคลอนทดวยความเรวสงโดยใช probability amplitude ( ) ikxx eψ ∼ เราสามารถคานวณคาคงท N ไดจากเงอนไข normalization ทวา



( )22

1 ( ) ( )

x a

dx x x

dx N e

ψ ψ∗

+∞−

−∞

=

=

∫

∫

อาศยสมบตของ Gaussian function 2xdxe π

+∞−

−∞

=∫ ผนวกกบสมการขางตน จะไดวา

1N

aπ=

เพราะฉะนนแลว probability amplitude ของอนภาคอสระซงอยในรปของ Gaussian function กคอ

2 221( ) x ax ea

ψπ

−= ____________________ สมการ (6.41)

และเพอทจะเขาใจความหมายของคาคงท a เราลองคานวณ uncertainty ในการวดตาแหนงของอนภาคดงกลาว จาก Section 2.4 ในบทท 2 uncertainty ของ operator x คานวณไดจาก

22ˆ ˆx x xΔ = − ____________________ สมการ (6.42)

เราเรมขนตอนในการคานวณดวยการวเคราะห expectation value x ซงจากสมการ (6.12) เราบอกไดวา

ˆ ˆ( ) ( )

( ) ( )

x dxdx x x x x x

dxdx x x x x x

ψ ψ

ψ ψ

∗

∗

′ ′ ′=

′ ′ ′ ′=

∫∫∫∫

จากนน ใชสมการ (6.9) เพอชวยในการ integrate ทาใหในทายทสด



ˆ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x dxdx x x x x x

dx x x x

ψ ψ δ

ψ ψ

∗

+∞∗

−∞

′ ′ ′ ′= −

=

∫∫

∫

และเมอนาเอาคานยามของ probability amplitude ในสมการ (6.41) เขามา integrate

2 21ˆ 0x ax dx xeaπ

+∞−

−∞

= =∫ ________________ สมการ (6.43)

ผลลพธของ integration เปนศนยกเพราะวา 2 2x ae− เปนฟงชนกค ในขณะท x เปนฟงชนกค

และเมอทาการ integrate ตลอดชวง ( ),−∞ +∞ จงไดผลลพธเปนศนยโดยอตโนมต แบบฝกหด 6.10 จงใชกลไกของการคานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เพอพสจนวา

2 2ˆ ( ) ( )x dx x x xψ ψ+∞

∗

−∞

= ∫ ________________ สมการ (6.44)

ขนตอนตอไปคอการคานวณ 2x ซงจากสมการ (6.44) จะไดวา

22 22 21ˆ

2x a ax dx x e

aπ

+∞−

−∞

= =∫ ________________ สมการ (6.45)

เทคนคของการ integrate ในสมการขางตน มไดมอะไรซบซอนไปกวาการเปดตาราง integration แบบตางๆ ทปรากฏอยในหนงสอ mathematical physics ซงมอยโดยทวไป ในทายทสด เราสามารถคานวณ uncertainty ของตาแหนงของอนภาคไดจาก สมการ (6.45) และ สมการ (6.43) ซงกคอ

22ˆ ˆ2

ax x xΔ = − = ________________ สมการ (6.46)

นอกจากเราจะมองสถานะของอนภาคดงกลาวใน position space เรายงสามารถเปลยน probability amplitude ( )xψ ใหอยในรปของ ( )pϕ ใน momentum space ซงทาไดโดยอาศยสมการ (6.38)



2 221 1( )

2x a ipxp dx e e

aϕ

π π

+∞− −

−∞

= ∫

integral ขางตนสามารถคานวณไดโดยการเปลยนตวแปร นยามให 2 2x ipaa

η ≡ + ซงจะทาให

integral แปรรปเปน

2 2 2 221 1( ) 22

p ap ae d ea

η

π

ϕ ηπ π

+∞− −

−∞

= ∫

และจะไดวา

2 2 22( ) p aap eϕπ

−= ________________ สมการ (6.47)

ฟงชนก ( )pϕ ขางตน แสดงถง probability amplitude ทอนภาคจะม momentum ตางๆกน และนนกหมายถง เมอเราตองการทจะอธบายสถานะของระบบใหอยในรปแบบของ momentum basis state จะทาไดโดย

2 2 22p aadp e pπ

−⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ________________ สมการ (6.48)

สถานะทแสดงดงในสมการ (6.48) มความสะดวกในการคานวณ expectation value ของ momentum ซงแทนดวยสญลกษณ p และ การคานวณ uncertainty ในการวด momentum ซงแทนดวยสญลกษณ pΔ expectation value p สามารถคานวณไดโดยใชสมการ (6.12) ซงถงแมตวสมการจะเขยนอยในรปของ operator ทใช position basis state { }x เปนหลก รปแบบของสมการนนเปนจรงในทกๆ

basis state รวมไปถง momentum basis state { }p ดวย



2 2 2

ˆ ˆ( ) ( )

p a

p dpdp p p p p p

adp pe

ϕ ϕ

π

∗

+∞−

−∞

′ ′ ′=

=

∫∫

∫

และเมอใชเหตผลทเกยวของกบฟงชนกคและฟงชนกคของ integrand ขางตน เราสรปไดวา

2 2 2ˆ 0p aap dp pe

π

+∞−

−∞

= =∫ ________________ สมการ (6.49)

แบบฝกหด 6.11 จงคานวณ expectation value 2p ในทานองเดยวกบทเราไดวเคราะห 2x

เพยงแตวาในกรณนเปน operator 2p และ momentum basis state { }p และพสจนวา 22 2 22 22

ˆ2

p aap dp p eaπ

+∞−

−∞

= =∫ ________________ สมการ (6.50)

แบบฝกหด 6.12 จงหา expectation value p โดยเรมจากการเขยนสถานะของระบบอยในรปของ

position basis 2 221 x adx e x

aπ−Ψ = ∫ แทนทจะเปน momentum basis ดงในสมการ

(6.48) นกศกษาอาจจะตองใชสมการ (6.119) เขาชวยในการวเคราะห

จากสมการ (6.49) และ (6.50) ซงบอก expectation value p และ 2p ตามลาดบ เราบอกไดวา

uncertainty ของการวด momentum ของอนภาคทเราใช model ของ Gaussian wave packet คอ

22ˆ ˆ2

p p pa

Δ = − = ________________ สมการ (6.51)

คณสมบตตางๆของ Gaussian wave packet ดงกลาว ไดสรปอยในภาพ 6.3 ซงแสดง model ของอนภาคอสระทอธบายดวย quantum mechanics และแสดงในสองลกษณะคอ 1) position space

( )xψ และ 2) momentum space ( )pϕ ซงทงสองมมมองสามารถเปลยนแปลงไปมาไดโดยใช transformation equation ทมลกษณะคลายกนกบ Fourier transform



2 2 22p aadp e pπ

−⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

2 221 x adx e xaπ

−⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

position space momentum space

x p

( )xψ ( )pϕ

aπ

1aπ

2axΔ =

2p

aΔ =

1 ( ) ( )2

ipxdx x e pψ ϕπ

− =∫

1( ) ( )2

ipxx dp p eψ ϕπ

+= ∫

2 2 22p aadp e pπ

−⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

2 221 x adx e xaπ

−⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

position space momentum space

x p

( )xψ ( )pϕ

aπ

1aπ

2axΔ =

2p

aΔ =

1 ( ) ( )2

ipxdx x e pψ ϕπ

− =∫

1( ) ( )2

ipxx dp p eψ ϕπ

+= ∫

ภาพ 6.3 แสดง model ของอนภาคอสระทอธบายดวย quantum mechanics และแสดงในสองลกษณะคอ 1) position space ( )xψ และ 2) momentum space ( )pϕ 1) ใน position space อนภาคม expectation value ของตาแหนง ˆ 0x = ซงหมายถงวาโดยเฉลย

แลวมนอย ณ ตาแหนง x = 0 ในขณะทความไมแนนอนของตาแหนงดงกลาว 2

axΔ = ซงแปร

ผนตรงกบคาคงท a 2) ใน momentum space อนภาคม expectation value ของ momentum operator ˆ 0p = ซงหมายถงวาโดยเฉลยแลวมนหยดนง และจะสงเกตวาความไมแนนอนของ momentum ดงกลาว

2p

aΔ = ซงแปรผกผนกบคาคงท a นนหมายถงถาเราบอกตาแหนงของอนภาคไดแมนยา จะ

สงผลใหความคลาดเคลอนของการวด momentum มคาสงขน ในกรณของตวอยางทเรากาลงวเคราะหอยน ความสมพนธของ uncertainty ทงสองคอ

2x pΔ Δ = ในกรณของ Gaussian wave packet ________________ สมการ (6.52)

Time Evolution of Gaussian Wave Packet model ของ quantum mechanics ทใชในการอธบายพฤตกรรมของอนภาค ดงทไดสรปในภาพ 6.3 นน อาจจะมการเปลยนแปลงไดเมอเวลาผานไป ในคราวน เราจะมาศกษาพฤตกรรมของอนภาคใน



แงมมตางๆกน ไมวาจะเปนตาแหนง, ความไมแนนอนของการวด position และ วด momentum, และ สถานะของอนภาค เมอเวลาเปลยนแปลงไป กลไกทสาคญในการวเคราะหหาสถานะของระบบเมอเวลา t ใดๆนน กคอ time evolution operator ดงทไดกลาวมาแลวในบทท 4 ซงอยในรปของ

ˆˆ ( )

iHt

U t e−

= ___________________________ สมการ (6.53) โดยท H คอ Hamiltonian operator และในระบบของอนภาคอสระทเรากาลงศกษาอยน พลงงานรวมของระบบมาจากพลงงานจลนของการเคลอนท ซงกคอ

2ˆˆ2pHm

= _____________________________ สมการ (6.54)

ทงน เนองจาก Hamiltonian ของระบบเปนฟงชนกของ momentum operator จงเปนการเหมาะสมทเราจะเรมดวยการเขยนสถานะของอนภาค Ψ ใหอยในรปของ momentum space เพราะฉะนนแลว สถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ กคอ

ˆ

ˆ2 2 22

2ˆ2 2 22 2

(t) (t 0)

(t)

iHt

iHtp a

ip tp a m

e

ae dp e p

adp e e p

π

π

−

− −

−−

Ψ = Ψ =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫

การทจะวเคราะหสมการขางตน เราจะตองทาการลดรปเทอม 2ˆ

2ip t

me p−

ใหไดเสยกอน ซงขนตอนกไมตางจากทเราเคยไดฝกใน Section 2.5.2 ของบทท 2 โดยเรมการการ expand operator

2ˆexp( )

2ip t

m− ใหอยในรปของอนกรม Taylor จากนนนาพจนตางๆเขามากระทากบสถานะ p



ซงจะไดวา 2 2ˆ

2 2ip t ip t

m me p e p− −

= ทงนใหสงเกตวาทางซายมอของสมการปรากฏเปน operator p ในขณะททางขวามอของสมการปรากฏเปน eigenvalue p ดงนน

2 2 2 22 2(t) p a ip t madp e pπ

− −⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ________________ สมการ (6.55)

สมการ (6.55) แสดงใหเหนวา probability amplitude ของอนภาคใน momentum space เปนฟงชนกของทง momentum p และ ของเวลา t ซงกคอ

2 2 2 22 2( , ) p a ip t map t eϕπ

− −= ________________ สมการ (6.56)

และจากขอมลในสมการ (6.55) และ สมการ (6.56) เราสามารถคานวณปรมาณตางๆทเกยวของอาท momentum เฉลย และ ความไมแนนอนของการวด momentum วาเปลยนแปลงกบเวลาอยางไร ซงจะไดวา

0p = ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.57)

2p

aΔ = ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.58)

เปนทนาสงเกตวา สมบตตางๆของระบบทเกยวของกบ momentum space มไดเปลยนแปลงไปกบเวลาแตอยางใด และในกรณของ position space เราสามารถใช Fourier transform ดงในสมการ (6.39) เพอทจะหา probability amplitude ( , )x tψ

2 2 2 22 21( , )2

p a ip t m ipxax t dp eψπ π

− − += ∫

และเมอทาการเปลยนตวแปร 2

2 2

2

222

22

a it ixpm a it

m

η ≡ + −

+

ทาใหเราสรปไดวา



( ) ( )2

2 21 1( , ) exp

2 1

xx ta i t maa i t ma

ψπ

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟++ ⎜ ⎟⎝ ⎠

________ สมการ (6.59)

และสงผลให

ˆ 0x = ณ เวลาใดๆ ___________________ สมการ (6.60) 2 2

2 412

a txm a

Δ = + ___________________ สมการ (6.61)

แบบฝกหด 6.13 จงพสจนสมการ (6.59) , (6.60) , และ (6.61) สมการ (6.59) และ สมการ (6.61) แสดงใหเหนวา เมอเวลาผานไป ถงแมวาโดยเฉลยแลวตาแหนงของอนภาคจะหยดนงอยทจดกาเนด แตความไมแนนอนของตาแหนงดงกลาว กลบเพมขนกบเวลา และเมอรอจนกระทวเวลาลวงเลยไปมากพอสมควร เราแทบจะบอกไมไดเลยวา อนภาคอยทใด

แบบฝกหด 6.14 a) จง plot graph ของ probability density 2( , )x tψ ณ เวลาตางๆกน b) เวลา t ผานไปเทาใด ระบบจงจะม uncertainty ของตาแหนง xΔ เพมขนเปน สองเทาของ xΔ ในเวลาเรมตน

เฉลย 23maT = ___________________ สมการ (6.62)

แตทวาในความเปนจรงทเราเหนในธรรมชาต ยกตวอยางเชนเมอเรามองไปทมะมวงลกงามทอยบนตน กลบมาพรงนเชามะมวงกยงคงอยทตนเดมไมหนไปไหน ความเปนจรงทสงเกตเหนไดน ขดกนอยางสนเชงหรอไม กบสมการ (6.61) ทบอกวา ความไมแนนอนของตาแหนงจะเพมขนเมอเวลาผานไป ในกรณของมะมวง สมมตใหมมวล 30m g= และมความแมนยาในการบอกตาแหนงอยในชวง

0.1cma = จากแบบฝกหด 6.14 เราจะตองรอถง 2

193 10maT = ∼ ป จนกวาเราจะเหนลก

มะมวงม uncertainty ของตาแหนงเพมขนเปนสองเทา



ปจจยสาคญในการกาหนดคณสมบตการเพมขนของ 2 2

2 412

a txm a

Δ = + น ขนอยกบมวลและ

ขนาดของอนภาคเปนสาคญ ยกตวอยางเชน พจารณาอะตอมของ hydrogen ซงมมวลประมาณ 271.67 10 kgm −≅ × และจนตนาการวาเราสามารถเหนมนดวยกลอง electron microscope ซง

บอกตาแหนงดวยระยะความคลาดเคลอนท 1Aa = ในกรณเชนน 2

133 10maT −= ∼ วนาท

ซงจะเหนวาอนภาคอสระซงมขนาดเลกมากๆ มความคลาดเคลอนของการวดตาแหนงอยมากทเดยว ขอควรระวง สมการ (6.61) เปนการวเคราะหทจากดอยแตเพยงอนภาคอสระทไมไดตกอยภายใตแรงยดเหนยวใดๆ ในกรณของอะตอมทถกยดใหตดอยกบวตถดวยพนธะเคม จะมพฤตกรรมทแตกตางกนออกไป

6.5 Heisenberg Uncertainty Principle

จากการวเคราะหกรณตวอยางของอนภาคอสระ ทใช Gaussian wave packet เปน model นน เราไดสงเกตเหนความสมพนธของ xΔ และ pΔ ดงในสมการ (6.52) ซงแสดงใหเหนถงขอจากดในมมมองของ quantum mechanics ทไมอาจจะวด position และ momentum ของอนภาคใหแมนยาพรอมๆกนได และใน Section 6.5 น เราจะมาศกษากฎเกณฑของ quantum mechanics ทมขอบเขตการประยกตใชงานกวางมากขน ซงมไดจากดอยแตเพยง operator x และ p ดงในตวอยางของ Gaussian wave packet พจารณาการวดปรมาณทางฟสกสทแทนดวย operator A และ B จะไดวา ความสมพนธระหวาง uncertainty ในการวดของปรมาณทงสองกคอ

ˆ ˆ,

2

A BA B

⎡ ⎤⎣ ⎦

Δ Δ ≥ ___________________ สมการ (6.63)

โดยท ˆ ˆ,A B⎡ ⎤

⎣ ⎦ มความหมายวา expectation value ของ operator ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,A B AB BA⎡ ⎤ ≡ −⎣ ⎦ และ

เครองหมาย ทปรากฏอยทางขวามอของสมการ (6.63) กคอ absolute value นนเอง



กอนทเราจะทาการพสจนทมาของสมการ (6.63) เรามาฝกการนาสมการดงกลาวมาใชงานเสยกอน สมมตวาเรากาลงพจารณาระบบทเรากาลงจะวด 1) ตาแหนง ซงแทนดวย operator x และ 2) momentum ซงแทนดวย operator p จากสมการ (6.24) เราทราบวา [ ]ˆ ˆ,x p i= เราฉะนน expectation value ของ [ ]ˆ ˆ,x p กคอ

[ ]

[ ]

ˆ ˆ,

ˆ ˆ,

x p i

i

x p i

= Ψ Ψ

= Ψ Ψ

=

ซง absolute value ของ complex number i กมคาเทากบ นนเอง เพราะฉะนน จากสมการ (6.63) จะไดวา

2x pΔ Δ ≥ ___________________ สมการ (6.64)

ความสมพนธในสมการขางตน เปนจรงในทกๆกรณ รวมไปถงกรณของอนภาคอสระ นอกจากนสมการ (6.64) ยงมชอทเรยกกนทวไปวา Heisenberg uncertainty principle แบบฝกหด 6.15 จงใหสมการ (6.63) เพอหาความสมพนธระหวาง uncertainty ของการวด angular momentum ตามแนวแกน x และ ตามแนวแกน y และเปรยบเทยบกบแบบฝกหด 3.15

เฉลย ˆ2x y zJ J JΔ Δ ≥

สาหรบขนตอนในการพสจนสมการ (6.63) นน สรปโดยสงเขปไดวา 1. เรมดวย Schwarz inequality ดงทไดเคยวเคราะหในแบบฝกหด 3.17 ทวา

2α α β β α β≥ ___________________ สมการ (6.65)

2. พจารณา operator A และ B ใดๆทใชในการวดปรมาณทางฟสกส จะไดวา operator ทงสองตองเปน Hermitian operator



3. ถาเรากาหนดให ( )ˆ Â Aα = − Ψ และ ( )ˆ ˆB Bβ = − Ψ จะไดวา

( ) ( )2 2ˆ Â A Aα α = Ψ − Ψ = Δ ___________________ สมการ (6.66)

( ) ( )2 2ˆ ˆB B Bβ β = Ψ − Ψ = Δ ___________________ สมการ (6.67)

เพราะฉะนน ทางซายมอของ Schwarz inequality มคาเทากบ ( )2A BΔ Δ ในขณะททางขวามออยในรปของ

( )( )ˆ ˆ ˆ Â A B Bα β = Ψ − − Ψ ___________________ สมการ (6.68)

ซงจาเปนจะตองจดรปเสยใหม 4. พจารณา operator O ใดๆ เราสามารถพลกแพลงไดวา

† †ˆ ˆ ˆ ˆˆ2 2

O O O OO + −= + ___________________ สมการ (6.69)

ทงนถากาหนดให ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆ Ô A A B B= − − แลวจะมผลให

†ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,O O AB BA A B⎡ ⎤− = − = ⎣ ⎦ ______________ สมการ (6.70) †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2O O AB BA A B A B A B+ = + − − + ______________ สมการ (6.71)

5. ดงนนสมการ (6.68) แปรรปเปน

( )

† †

†

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ,2 2

O

O O O O

O O A B

α β = Ψ Ψ

+ −= Ψ + Ψ

⎡ ⎤= Ψ + Ψ + Ψ Ψ⎣ ⎦

______________ สมการ (6.72)



แบบฝกหด 6.16 จงพสจนวา a) operator †ˆ Ô O+ ในสมการ (6.71) เปน Hermitian operator

เพราะฉะนนแลว expectation value †ˆ Ô O+ เปนจานวนจรงเสมอ b) operator †ˆ Ô O− ใน

สมการ (6.70) ม expectation value เปนจานวนจนตภาพเสมอ

6. เพราะวา †ˆ Ô O+ เปนจานวนจรง และ †ˆ Ô O− เปนจานวนจนตภาพ จากสมการ (6.72) เรา

บอกไดวา

( ) 2 22 †1 1ˆ ˆ ˆ ˆ,4 4

O O A Bα β ⎡ ⎤= Ψ + Ψ + Ψ Ψ⎣ ⎦

และเปนธรรมดาท ( ) 2 2 2†1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,4 4 4

O O A B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ + Ψ + Ψ Ψ ≥ Ψ Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

เพราะวาทงสองเทอมในทางซายมอของอสมการลวนเปนบวกทงค เพราะฉะนนแลว

22 1 ˆ ˆ,4

A Bα β ⎡ ⎤≥ Ψ Ψ⎣ ⎦ ______________ สมการ (6.73)

7. เมอรวมสมการ (6.73), สมการ (6.66), สมการ (6.67) ,และ อสมการ (6.65) เขาดวยกน จะไดวา

( )222 1 ˆ ˆ,

4A B A Bα β ⎡ ⎤Δ Δ ≥ ≥ Ψ Ψ⎣ ⎦

หรออกนยหนง ( )22 1 ˆ ˆ,

4A B A B⎡ ⎤Δ Δ ≥ Ψ Ψ⎣ ⎦ ซงลดรปใหงายลงไดในทายทสดกคอ

1 ˆ ˆ,2

A B A B⎡ ⎤Δ Δ ≥ ⎣ ⎦

เพยงสนๆ 7 ขนตอน เรากสามารถพสจนสมการ (6.63) ไดสาเรจ

6.6 Schrödinger Equation



การศกษา quantum mechanics คงจะขาดความสมบรณ ถาเราไมไดกลาวถง Schrödinger equation ถงแมวาจะกระทงบดน เราพยายามทหลกเลยงการให wave function เขามาวเคราะหปรากฏการณทางฟสกสกตาม ใน Section 4.1.2 ของบทท 4 เราไดกลาวถงสมการ Schrödinger ไปบางแลว ซงสมการดงกลาวเขยนอยในรปแบบของสถานะ ket ไดวา

ˆ( ) ( )i t H tt∂

Ψ = Ψ∂

______________ สมการ (6.74)

และเพอแสดงใหเหนวา matrix mechanics ดงในสมการ (6.74) นนมขอบเขตการประยกตกวางขวางกวา Schrödinger equation ทศกษาคนเคยใน quantum mechanics เบองตน เราจะมาศกษา Schrödinger equation ทสามารถเขยนออกมาใน 2 รปแบบดวยกน คอ 1) position space และ 2) momentum space

Schrödinger Equation in Position Space ใน position space เราสามารถนยาม พลงงานรวมของระบบ หรอ Hamiltonian operator ทปรากฏในทางขวาของสมการ (6.74) ใหอยในรปของ

2ˆˆ ˆ( )2pH V xm

= + ______________ สมการ (6.75)

ทงนเพอความสะดวกในการอธบายความ เราจากดการวเคราะหแตเฉพาะใน 1 มต ตามแกน x จาก

สมการ (6.75) จะเหนวา 2ˆ

2pm

กคอ kinetic energy operator หรอ operator ทใชวดพลงงานจลนของ

ระบบ และ ˆ( )V x กคอ potential energy operator ซงเปนตวแทนของพลงงานศกยทระบบอยภายใตอทธพล ยกตวอยางเชน ในกรณของอนภาคอสระทเราศกษาใน Section ทผานมา ˆ( ) 0V x = หรอในกรณทอะตอมโดนยดตดอยกบอะตอมอนๆดวยพนธะเคม เราอาจจะ model พลงงานศกยนไดวา

21ˆ ˆ( )2

V x kx= โดยท k เปนตวเลขทแสดงถงความแขงแรงของพนธะเคมดงกลาว

ใน position space เราเขยนสถานะของระบบ ( )tΨ ใหอยในรปของ



( ) ( , )t dx x t xψΨ = ∫ ______________ สมการ (6.76)

จะเหนวา probability amplitude ( , )x tψ ในสมการ (6.76) นน เปนฟงชนกของทงตาแหนง และ เวลา ทเปนเชนนกเพราะ Schrödinger equation ทปรากฏในสมการ (6.74) นนมสวนทเปลยนแปลงไปกบเวลาดวย ดวยสถานะดงสมการ (6.76) ทาใหสมการ (6.74) เปลยนรปเปน

ˆ( , ) ( , )dx i x t x dx x t H xtψ ψ∂

=∂∫ ∫ ______________ สมการ (6.77)

และเมอนาสถานะ bra x′ เขามาประกบทงสองขางของสมการขางตน จะไดวา

2

2

ˆ( , ) ( , )

ˆ ˆ( , ) ( ) ( , ) ( )2ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( )2

dx i x t x x dx x t x H xt

pdx i x t x x dx x t x V x xt m

pi x t dx x t x x dx x t x V x xt m

ψ ψ

ψ δ ψ

ψ ψ ψ

∂ ′ ′=∂

∂ ′ ′− = +∂

∂ ′ ′ ′= +∂

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

______________ สมการ (6.78) ในการคานวณขางตน ทางซายมอของสมการ เราใชคณสมบตของ Dirac delta function ในขณะททางขวาประกอบดวยสองเทอมดวยกน เทอมแรก จากสมการ (6.28) เราพสจนโดยงายวา

2 2 2

2ˆ

( )2 2px x x xm m x

δ∂′ ′= − −∂

และเทอมทสอง จากสมการ (6.9) เราบอกไดทนทวา

ˆ( ) ( ) ( )x V x x V x x xδ′ ′= − และเมอผนวกกนเอกลกษณทางคณตศาสตรทเกยวของกบการ integrate Dirac delta function แลว จะทาใหสมการ (6.78) ลดรปไดเปน

2

2 2

2

ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( )2

( , ) ( , ) ( ) ( , )2

pi x t dx x t x x dx x t x V x xt m

i x t x t V x x tt m x

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

∂ ′ ′ ′= +∂

∂ ∂′ ′ ′ ′= − +∂ ′∂

∫ ∫

และในทายทสด เพอความสะดวก เราสามารถทจะเปลยนตวแปรจากเดม x′ ใหเปน x ซงกจะได

2 2

2( , ) ( , ) ( ) ( , )2

i x t x t V x x tt m xψ ψ ψ∂ ∂

= − +∂ ∂

______________ สมการ (6.79)



สมการ (6.79) กคอ Schrödinger equation ใน position space ซงเปนตนกาเนดสาคญของ quantum mechanics เบองตนทนกศกษาคนเคยเปนอยางด และโดยปรกตแลว การทจะไดมาซงผลเฉลย

( , )x tψ กทาไดโดยการแกสมการอนพนธอนดบสองของสมการดงกลาว นอกจากน ( , )x tψ ยงอาจจะหาไดโดยการใชความสมพนธ

( )iE tn

n nn

t c e ε−

Ψ =∑

ดงทปรากฏใน Section 4.6 ของบทท 4 ซงถาเราใชคานยาม ( ) ( , )t dx x t xψΨ = ∫ และนา

สถานะ bra x′ เขาประกบทงสองขางของสมการขางตน จะพสจนไดวา

( , ) ( )iE tn

n nn

x t c e xψ ψ−

=∑ ______________ สมการ (6.80)

เมอ ( )n xψ เปน eigen function ของสมการ

2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )2 n n n nx V x x E xm x

ψ ψ ψ∂− + =

∂ ______________ สมการ (6.81)

ในบางครงเราเรยกสมการ (6.81) นวา time independent Schrödinger equation ดวยเหตทวาเปนสมการอนพนธทไมขนกบเวลา และสาหรบการคานวณหา wave function ( , )x tψ ของระบบกจะกระทาเปนขนตอนโดยสงเขปคอ 1. กาหนดพฤตกรรมของระบบโดยการนยาม ( )V x 2. กาหนดสถานะเรมตน ณ เวลา t=0 ของระบบ ซงแทนดวย probability amplitude ( , 0)x tψ = 3. แกสมการ time independent Schrödinger equation เพอหาเซตของ eigen function { }( )n xψ และ eigen energy { }nE

4. คานวณสมประสทธ ( ) ( , 0)n nc dx x x tψ ψ∗= =∫

5. ( , ) ( )iE tn

n nn

x t c e xψ ψ−

=∑



Schrödinger Equation in Momentum Space ในการสรางสมการ Schrödinger ใน momentum space เราจาเปนตองเรมดวยการศกษาเอกลกษณทางคณตศาสตร ˆp x Ψ กนเสยกอน พจารณา

ˆˆ ˆ1

ˆ

( )

p x p x

dx p x x x

dx p x x xψ

Ψ = Ψ

= Ψ

=

∫∫

______________ สมการ (6.82)

ในสมการขางตน เราใช identity operator ทเขยนอยในรปของ 1 dx x x= ∫ ใหเปนประโยชน

นอกจากน เทอม p x x ยงสามารถเขยนใหอยในรปของ 12

ipxx eπ

− โดยใชสมการ

(6.35) เปนตวอางอง แต

1 12 2

ipx ipxx e i epπ π

− −∂=

∂ ______________ สมการ (6.83)

และเมอแทนสมการ (6.83) เขาไปในสมการ (6.82) จะไดวา

( )

1ˆ ( )2

1 ( )2

ipx

ipx

p

p x dx i e xp

i dxe xp

ϕ

ψπ

ψπ

−

−

∂Ψ =

∂∂

=∂

∫

∫

เพราะฉะนนแลว

ˆ ( )p x i ppϕ∂

Ψ =∂

______________ สมการ (6.84)

สมการ (6.84) แทบจะเรยกไดวามความสมพนธควบคไปกบสมการ (6.27) เลยทเดยว และในขณะนเรากพรอมทจะ derive สมการ Schrödinger ใน momentum space



เรมดวย Schrödinger equation ในสมการ (6.74) ถาเรานาสถานะ bra p เขาประกบทงสองขางของสมการจะไดวา

2

ˆ( ) ( )

ˆ ˆ( , ) ( ) ( ) ( )2

i p t p H tt

pi p t p t p V x tt mϕ

∂Ψ = Ψ

∂

∂= Ψ + Ψ

∂

______________ สมการ (6.85)

ทางขวามอของสมการขางตนนนมอยสองเทอมทจะตองขยายความ เทอมแรกนน เนองจาก p เปน

Hermitian operator ทาให †2 2ˆ ˆ

2 2p pm m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ เพราะฉะนน

†2 2

2

2 2

ˆ ˆ( ) ( )

2 2

( )2

ˆ( ) ( )

2 2

p pp t p tm m

p p tm

p pp t pm m

ϕ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪Ψ = Ψ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

= Ψ

Ψ =

______________ สมการ (6.86)

สวนเทอมทสองในสมการ (6.85) นนมความซบซอนมากขน ประการแรกกคอ operator ˆ( )V x

สามารถเขยนใหอยในรปของ Taylor series ˆ ˆ( ) nn

nV x a x=∑ ดงนน

ˆ ˆ( ) ( ) ( )n

nn

p V x t a p x tΨ = Ψ∑

และจากสมการ (6.84) จะไดวา

ˆ( ) ( ) ( , )n

nn

p V x t a i p tp

ϕ⎛ ⎞∂

Ψ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ ______________ สมการ (6.87)



โดยท n

ip

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

มความหมายวา อนพนธอนดบ n ถงแมรปแบบของ ˆ( ) ( )p V x tΨ ดงสมการ

(6.87) นนจะตความในเชงคณตศาสตรไดชดเจน บางครนเรานยมเขยนยอๆวา

( , ) ( ) ( , )n

nn

a i p t V i p tp p

ϕ ϕ⎛ ⎞∂ ∂

=⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∑ เพราะฉะนนแลว

ˆ( ) ( ) ( ) ( , )p V x t V i p tpϕ∂

Ψ =∂

______________ สมการ (6.88)

และในทายทสด เมอรวบรวมเทอมในสมการ (6.86) และ สมการ (6.88) จะทาให

2( , ) ( , ) ( ) ( , )

2pi p t p t V i p t

t m pϕ ϕ ϕ∂ ∂

= +∂ ∂

______________ สมการ (6.89)

สมการขางตนเปน Schrödinger equation ใน momentum space

Operator in Position Space and Expectation Value ทผานมาเราพยายามทเขยน eigenstate ใหอยในรปของ ket และเขยน operator ใหอยในรปของ ket-bra โดยพยายามหลกเลยงทจะใชรปแบบสญลกษณของ wave function ถาไมจาเปน ทงนกเพอประโยชนทตองการฝกใหนกศกษาไดคนเคยกบระเบยบวธทาง quantum mechanics ทใช ket และ matrix เปนหลก และไมยดตดกบ Schrödinger wave function จนเกนไป มาถงขนน เมอเรามความเชยวชาญเกยวกบ ket และ matrix เปนทนาพอใจแลว กถงเวลาทเราจะสละทงรปแบบเปลอกนอกของสญลกษณทาง quantum mechanics ไมวาจะเปน a) wave function หรอเปน b) สถานะ ket ทงสอง ยอมมความหมายเหมอนกน และเปนเพยงเปลอกทหมไวดวยสาระของ quantum mechanics อนเดยวกน ผเชยวชาญยอมสามารถเลอกใชเครองมอทงสอง ไดอยางคลองแคลว และสลบสบเปลยนระหวางสองยทธวธตามความเหมาะสม operator ทเราคนเคย ซงเขยนอยในรปแบบภาษาของ wave function กคอ operator ทเขยนอยในรป

ของ position space อาทเชน momentum operator ตามแนวแกน x คอ ˆ xpi x∂

≡∂

หรอ

Hamiltonian operator 2

2ˆ ( )2

H V rm

= − ∇ +



operator ในลกษณะดงกลาวน จะสามารถกระทาไดแตเฉพาะกบ wave function ใน position space เพยงเทานน อาทเชน

momentum operator ˆ ( ) ( )xp x xi x

ψ ψ∂=∂

Hamiltonian operator 2

2ˆ ( ) ( ) ( ) ( )2

H r r V r rm

ψ ψ ψ= − ∇ +

เมอเปนเชนนกหลกเลยงไมไดทบางครงจะเกดความสบสนในการใชสญลกษณ วา operator O ทเรากาลงกลาวถงนน เปน operator ใน position space หรอ เปน operator ทเขยนขนในรปทวไปอยางในสมการ (6.5) กนแน จงตองอาศยประสบการณของนกศกษาเอง ทจะสามารถแยกแยะทง 2 กรณออกจากกน โดยอาศยบรบทของเนอหาแวดลอม เปนตวตดสน อนง การเขยน operator ใน position space นนคอนขางงายตอการคานวณ expectation value หรอ คานวณ probability amplitude กาหนดให ( )rψ คอ wave function ทใชแทนสถานะของระบบ จะไดวา expectation value ของ operator O กคอ

expectation value 3ˆ ˆd r ( ) ( )O r O rψ ψ= ∫ in position space ______ สมการ (6.90)

หรอ ในกรณของ matrix element ระหวางสถานะ ( )rφ และ ( )rψ กสามารถคานวณไดอยางตรงไปตรงมาใน position space กลาวคอ

3d r ( ) ( )r rφ ψ φ ψ∗≡ ∫ in position space ______ สมการ (6.91)

นกศกษาจะเหนวา สมการ (6.90) นนคอนจะงายกวาสมการ (6.12) อยมากทเดยว ทงๆทมความหมายเดยวกน ทแตกตางกนกเพราะวา operator O ในสมการ (6.90) นนมขอจากดกคอจะตองเขยนขนใน position space เพยงเทานน ขอจากดดงกลาวนไมกอใหเกดปญหามากนก เพราะสถานการณตางๆโดยทวไปในทาง quantum mechanics นน จะใช position space เปนหลก



แบบฝกหด 6.17 สมมตวาอนภาคมวล m ใน 1 มตอยในสถานะทอธบายดวย wave function 1 4 2 2( ) m xmx e ωωψ

π−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

a) จงคานวณหา expectation value ของ พลงงานจลน 2 2

22m x∂

−∂

b) จงคานวณหา expectation value ของ operator 21 ˆ2

m xω

c) จงแสดงใหเหนวา 1ψ ψ =

d) จงแสดงใหเหนวา 0φ ψ = เมอ 1 43 2 24( ) m xmx xe ωωφ

π−

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

6.7 Square Well Potential

เมอเราไดศกษาการเขยนสมการ Schrödinger ทงสองรปแบบคอ in position space ในสมการ (6.79) และ in momentum space ในสมการ (6.89) มาแลว กมความจาเปนทเราจะตองยกตวอยางการนามาใชงาน ซงกคอการศกษา quantum well ของสารประกอบ GaAs และ GaAlAs

GaAlAs GaAs

โครงสรางของ quantum well model ในการศกษา

x x

( )V x

บอพลงงานศกย2a

2aGaAlAs GaAs

โครงสรางของ quantum well model ในการศกษา

x x

( )V x

บอพลงงานศกย2a

2a ภาพ 6.4 แสดงชนของสาร GaAs ซงโดยประกบอยระหวาง GaAlAs โครงสรางของ quantum well อกแบบหนงกคอการนาสารกงตวนามาประกอบกนเปนชนๆ ยกตวอยางเชนในภาพ 6.4 แสดงชนของสาร GaAs ซงโดยประกบอยระหวาง GaAlAs ในการศกษาหรอทานายคณสมบตของกระแสอเลกตรอนทเคลอนทผานโครงสรางลกษณะดงกลาวน เราสามารถใช model ทาง quantum mechanics อยางงาย เพอวเคราะหสมบตพนฐานอยางหยาบๆ ดวยการมองวาอเลกตรอนนน ตกอยภายใตอทธพลของบอพลงงานศกยคาหนง ซงมความกวางของบอเทากบความหนาของชน GaAs



บอพลงงานศกยดงกลาว เรยกกนทวไปวา Finite Square Well ในขนแรกน Finite Square Well เปนบอพลงงานศกย ซงมความสงเทากบ 0V และความกวาง 2a ดงจะเหนในภาพท 6.5 โดยทขอบบอทงสองขาง ไดถกวางไวใหมความสมมาตร ในทงดานขวาและดานซายของแกน x ทงนกเพอใหงายตอการวเคราะหในเชงคณตศาสตรในลาดบตอไป

x+x−a+a−

(x)Iϕ (x)IIϕ (x)IIIϕ

0V

x+x−a+a−

(x)Iϕ (x)IIϕ (x)IIIϕ

0V

ภาพ 6.5 Finite Square Well ซงเปนลกษณะของบอพลงงานศกยทมความสง 0V และความกวางของบอ 2a จากภาพท 6.5 เราสามารถทแบง Finite Square Well ตามแนวแกน x ออกเปน 3 สวนดวยกน จากนน เขยนสมการ Schrödinger ในแตละสวนตามลาดบไดดงตอไปน

+∞<<+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∇−

+<<−=∇−

−<<∞−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∇−

xaxx

axaxx

axxx

;)(E)(V21

;)(E)(21

;)(E)(V21

IIIIII02

IIII2

II02

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

___________ สมการ (6.92)

ซงถาเรามงทจะวเคราะห แตเฉพาะในกรณทอเลกตรอนถกจากดอยแตภายในบอ กลาวคอ พลงงานของอเลกตรอน 0VE < จะได wave function ในทง 3 สวนดงน

I

II

III

( ) A( ) B cos(k )

( ) A

Q x

Q x

x ex x

x e

φφ

φ

⋅+

+− ⋅

+

== ⋅

=

I

II

III

( ) A( ) B sin(k )

( ) A

Q x

Q x

x ex x

x e

φφ

φ

⋅−

−− ⋅

−

== ⋅

= −

___________ สมการ (6.93)



022 V2Qk =+ และ

2kE

2

= ___________ สมการ (6.94)

แบบฝกหด 6.18 จงพสจนหาความสมพนธระหวาง k และ Q ในสมการ (6.94) รปแบบของ wave function ในสมการ (6.93) นน ลวนแลวแตเปนคาตอบของ Schrödinger Equation ในสมการ (6.92) โดยสามารถจาแนกออกเปนสองประเภทคอ ฟงชนกค และฟงชนกค ตามทเหนไดจากเทอม cos( )kx และ เทอม sin( )kx ในสมการท (6.93) นนเอง จะสงเกตวาสมการในขางตนนน มตวแปรหรอคาคงท ซงยงไมทราบคาอยจานวนหนง คอ ±A , ±B , k และQ การทเราจะทราบคาทแทจรงของตวแปรเหลาน จาเปนเปนตองอาศยคณลกษณะอนๆของ wave function เขามาพจารณารวมกนดวย กลาวคอ ถาเราพจารณาตาแหนง x a= − และ x a= + ซงตาแหนงทงสองนเปนรอยตอของ

)(I xϕ , )(II xϕ ,และ )(III xϕ จะไดวา คาของฟงชนก และ 1st derivative ของฟงชนก จะตองเทากน ดวยเหตท wave function มความตอเนอง ไมขาดตอนในบรเวณรอยตอเหลาน

aa dxxd

dxxd

aa)()(

)()(

IIIII

IIIII

ϕϕϕϕ

=

= ___________________ สมการ (6.95)

ถาเรานาขอจากดในขางตนมาพจารณากบ wave function ในสมการ (6.93) โดยแยกพจารณาสาหรบฟงชนกคและฟงชนกคเปนกรณๆไป จะไดวา

B cos(ka) A

-kB sin(ka) A

Q a

Q a

e

Q e

− ⋅+ +

− ⋅+ +

=

= −

B sin(ka) A

kB cos(ka) A

Q a

Q a

e

Q e

− ⋅− −

− ⋅− −

= −

= ________ สมการ (6.96)

Even solution Odd solution

จาก สมการ (6.96) และ สมการ (6.94) เราสามารถสรปความสมพนธระหวาง k และ Q ดงตอไปน

022 V2Qk

Q)ktan(k=+

=a

022 V2Qk

Q)kcot(k-=+

=a ________ สมการ (6.97)




จะมเซตของคา { },k Q เพยงจานวนหนงเทานน ทจะทาใหสมการ (6.97) เปนจรง โดยทเราสามารถหาคาตอบไดโดยการวเคราะหกราฟ ดงแสดงในภาพ (6.6) ยกตวอยางเชน ในกรณของฟงชนกค จดตดของวงกลม 0

22 V2Qk =+ ซงมรศม 0V2 กบกราฟ )ktan(kQ a= เปนจดของ { },k Q ททาให สมการ (6.97) เปนจรง แบบฝกหด 6.19 จงพสจนวา ในกรณ ของ Finite Square Well ซงมความกวาง 2a และความสง 0V

จะมจานวน bound state ( 0VE < ) ซงเปนฟงชนกคเทากบ )V2

(floor1 0

πa

+ และเปนฟงชนกค

เทากบ )21V2

(floor1 0 −+π

a

หมายเหต ฟงชนก )(floor x คอจานวนเตมทมากทสด ซงนอยกวาจานวนจรง x

k

Q

022 V2Qk =+

k tan(ka)Q =

cot(ka)k Q −=

k

Q

022 V2Qk =+

k tan(ka)Q =

cot(ka)k Q −=

ภาพ 6.6 แสดงการวเคราะหกราฟเพอทจะหา เซต { },k Q ททาใหสมการ (6.97) เปนจรง ยกตวอยางเชน ในกรณของฟงชนกค จดตดของวงกลมสแดง 0

22 V2Qk =+ และ กราฟสนาเงน )ktan(kQ a=

มาถงจดน เราสามารถทจะคานวณคา { },k Q ทเปนไปไดของระบบ โดยเฉพาะอยางยง คา k นน มความสมพนธกบระดบพลงงานตามสมการ (6.94) นอกเหนอจากน คาของ ±B ยงสามารถเขยนใหอยในรปของ ±A , k, Q, และ a โดยใชสมการ (6.96)

B Acos(ka)

Q ae− ⋅

+ += B Asin(ka)

Q ae− ⋅

− −= − ________ สมการ (6.98)


ซงถานา ±B ทไดในขางตน เขาไปแทนคาในสมการ (6.93) กจะได wave function ดงน



I-Q a

II

III

( ) A

e( ) A cos(k )cos(k )

( ) A

Q x

Q x

x e

x xa

x e

φ

φ

φ

⋅+

⋅

+

− ⋅+

=

= ⋅

=

I

II

III

( ) A

( ) A sin(k )sin(k )

( ) A

Q x

Q a

Q x

x e

ex xa

x e

φ

φ

φ

⋅−− ⋅

−

− ⋅−

=

= − ⋅

= −

______ สมการ (6.99)


การทเราจะได wave function ทครบถวนสมบรณนน จาเปนตองหาคาของ ±A ในสมการ (6.99) เสยกอน ซงคาของ ±A นน ไดมาจาก Normalization condition กลาวคอ ความเปนไปไดทจะพบอเลกตรอน ณ ตาแหนงใดๆ ควรจะมผลรวมเปน 1 เสมอ หรออกนยหนง

2 2 2I II III

- -( ) ( ) ( ) 1

a a

a ax dx x dx x dxφ φ φ

− + +∞

∞ +

+ + =∫ ∫ ∫ ________________ สมการ (6.100)

การทผลบวกของ Integral ทง 3 เทอม มคาเปน 1 จะทาใหสามารถหาคาของ ±A ไดดงน

Q2 2

0

Q2 2

0

QA k cos(k )2V cos (k ) k Q

QA k sin(k )2V sin (k ) k Q

a

a

a ea a

a ea a

⋅+

⋅−

=+

=+

________________ สมการ (6.101)

แบบฝกหด 6.20 จงพสจนหาคา ±A ในสมการ (6.101) ในทสด เรากได wave function ทครบถวนสมบรณ ดงจะเหนใน สมการ (6.99) และ สมการ (6.101) ยกตวอยางเชน ถาเรากาหนดให a = 2 Bohr และ Vo = 1 Hartrees จากการวเคราะหกราฟทมลกษณะคลายๆกบ ภาพ 6.6 เราจะมคาตอบทเปน bound state อยสองคาตอบ ซงมพลงงาน E=0.166 Hartrees และ E=0.623 Hartrees ดงทเหนในภาพ 6.7



5− 0 51−

0

1

2

x-axis (Bohr)

Ground State ฟงชนสค

Excited State ฟงชนสค

k = 0.576 Q = 1.292A+ = 3.237E = 0.166 Hartrees

k = 1.116 Q = 0.869A- = 2.526E = 0.623 Hartrees

5− 0 51−

0

1

2

x-axis (Bohr)

Ground State ฟงชนสค

Excited State ฟงชนสค

k = 0.576 Q = 1.292A+ = 3.237E = 0.166 Hartrees

k = 1.116 Q = 0.869A- = 2.526E = 0.623 Hartrees

ภาพ 6.7 แสดง wave function ของบอพลงงานศกยทมความกวาง 2 Bohr และความสง Vo= 1 Hartrees คา {k,Q} ไดมาจากเทคนคการวเคราะหกราฟดงทอธบายในภาพ 6.6 เราสามารถทจะตรวจสอบความถกตองของ wave function ในสมการ (6.99) และ สมการ (6.101) ไดโดยสมมตให ∞→0V ซงจะเปนระบบแบบ Infinite Square Well ดงทไดกลาวไวแลว ในกรณนจะไดวา จดตดของกราฟ ดงในภาพท 6.6 จะอยท

2

22

221

,2,1,0;21k

Q

anE

nna

π

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→

…

2

22

2

,2,1;kQ

anE

nnaπ

π

=

==∞→

…


ทาให wave function ในสมการท (6.99) ลดรปลงมาเหลอเพยง

0)(

)kcos(1)(

0)(

III

II

I

=

⋅=

=

x

xa

x

x

ϕ

ϕ

ϕ

0)(

)ksin(1)(

0)(

III

II

I

=

⋅=

=

x

xa

x

x

ϕ

ϕ

ϕ


ซงกเปน wave function ของระบบ infinite square well นนเอง

6.8 Scattering in One Dimension



Section ทผานมา เราไดศกษาระดบพลงงานและ wave function ของระบบทถกขงอยในบอพลงงานศกย ซงเปน model ทเราใชในการศกษาพฤตกรรมของอเลกตรอนทอยภายในชนของ quantum well ในคราวนเราจะมาศกษาระบบทพลงงานศกยมลกษณะเปนเหมอนกาแพง เรยกวา "potential barrier" หรอ กาแพงศกย ซงกาแพงดงกลาวเปน model ในการศกษาการทดลองทเรยกวา scattering experiment

incident beam

reflected beam transmitted beam

incident beam

reflected beam transmitted beam

ภาพ 6.8 ในเมอเราจากดการกระเจงใหอยแตเพยง 1 มต ทศทางในการ scattered จงมไดเพยง 2 ทศคอ 1) ยอนกลบ หรอทเรยกวา reflected beam และ 2) ทะลผาน หรอทเรยกวา transmitted beam ใน scattering experiment อนภาคทมพลงงานสงจะถกยงเขาสเปาหมาย เมอเขาใกลกจะม interaction กบสงทกาลงกดขวาง และอนภาคกจะเกดการ "กระเจง" หรอ "scattered" ไปในทศทางตางๆกน เพอใหงายตอการศกษา เรามาวเคราะหการทดลองดงกลาวโดยใช model แบบงายๆใน 1 มต และในเมอเราจากดการกระเจงใหอยแตเพยง 1 มต ทศทางในการ scattered จงมไดเพยง 2 ทศคอ 1) ยอนกลบ หรอทเรยกวา reflected beam และ 2) ทะลผาน หรอทเรยกวา transmitted beam ขอควรระวง นกศกษาตองไมลมวาภาพ 6.8 เปนกราฟทแสดงความนาจะเปนทจะพบอนภาค ซงแททจรงแลว เมออนภาคพงเขามาม interaction กบกาแพงศกยแลว จะปรากฏวามนทะลผานหรอสะทอนกลบนน เปนเรองของความนาจะเปน ภาพ 6.8 มไดหมายความวาอนภาคพงชนกาแพงแลวแตกออกเปนสองเสยง ซงสวนหนงทะลผานและอกสวนทเหลอสะทอนกลบ

Plain-Wave Model of Particle Beam แตทวา ใน scattering experiment ทวๆไปแลว เรามไดใชอนภาคเพยงอนภาคเดยวในการทดลอง แตเปนลกษณะของ particle beam หรอ ลาของอนภาคจานวนมากทพงเขาสเปาหมาย ยกตวอยาง



เชนในกรณของ particle beam พงผานพนทวางซงไมมกาแพงศกยกนอย หรอ ( ) 0V r = เราสามารถเขยนสมการ Time-Independent Schrödinger ไดวา

22 ( ) ( )

2r E r

mψ ψ− ∇ =

ในสมการขางตน เราเขยนใหอยในรปของ 3 มต ซงมคาตอบของสมการคอ

1( ) ik rr eV

ψ ⋅= และ 2

2

kE

m= ________________ สมการ (6.102)

จะเหนวา normalization constant ของ probability amplitude ขางตน กคอ 1 V ซงหมายถง "หนงสวน square root ของปรมาตรของระบบทเรากาลงพจารณา" เทคนคการเขยนฟงชนกในลกษณะนมประโยชนทาใหฟงชนก ( )rψ มสมบตการ normalization เปนหนง กลาวคอ

3 3

3

3

1 1( ) ( )

1

( ) ( ) 1

ik r ik rd r r r d r e eV V

d rV

d r r r

ψ ψ

ψ ψ

∗ − ⋅ + ⋅

∗

=

=

=

∫ ∫

∫

∫

สวน vector k ในสมการ (6.102) นนเรยกวา wave vector และมความสมพนธกบ momentum ของ particle beam ทเรากาลงกลาวถง ซงกคอ

p k= ________________ สมการ (6.103) แบบฝกหด 6.21 จงแสดงใหเหนวา probability amplitude ในสมการ (6.102) เปน eigenstate ของ momentum operator ใน 3 มต

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )x y zx p r y p r z p ri x i y i z

ψ ψ ψ∂ ∂ ∂Ψ = Ψ = Ψ =

∂ ∂ ∂

และพสจนใหเหนวา eigenvalue ของ momentum operator ดงกลาวกคอ k นนเอง



นกศกษาจะเขาใจวารปแบบทางคณตศาสตรของ probability amplitude (หรอ wave function) ในสมการ (6.102) นน มสมบตทเหมาะสมทจะใชเปน model ของ particle beam ไดเปนอยางด ดวยการพจารณา time evolution ของฟงชนก ( )rψ ดงกลาวน ซงในทานองเดยวกนกบสมการ (6.80) จะไดวา

( )ωt1( , )i k r

r t eV

ψ⋅ −

= เมอ 2

ω=2km

________________ สมการ (6.104)

เมอ plot graph ของ ( , )r tψ ใน 1 มต จะเหนวามลกษณะเปนคลนทกาลงเคลอนทดงภาพ 6.9 โดยท k เปนตวกาหนดทศทางการเคลอนทดงกลาว

( )( , ) expx t ikx i tψ ω−∼

x

2( , )x tψ =

x

คาคงท

probability amplitude probability

( )( , ) expx t ikx i tψ ω−∼

x

2( , )x tψ =

x

คาคงท

probability amplitude probability

ภาพ 6.9 แสดง model ทใชแทนระบบของ particle beam จะสงเกตวา probability amplitude เคลอนทจากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณท k เปนบวก) ในทางตรงกนขาม ความนาจะเปนทจะพบอนภาคทประกอบกนขนเปน particle beam มคาคงทตลอดแนวแกน x ภาพ 6.9 แสดง model ทใชแทนระบบของ particle beam จะสงเกตวา 1) probability amplitude เคลอนทจากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณท k เปนบวก) ซงลกษณะทางคณตศาสตรเชนนกเหมอนกบการเคลอนทของอนภาคทประกอบกนขนเปน particle beam 2) ในทางตรงกนขาม ความนาจะเปนทจะพบอนภาคเหลาน มคาคงทตลอดแนวแกน x ซงเปนลกษณะของ particle beam ทโดยเฉลยแลว พอจะอนโลมไดวามลกษะเปนเนอเดยวกนโดยตลอดทง beam เพราะฉะนน ความนาจะเปนทจะพบอนภาคจงเปนคาคงทตลอดแนวแกน x



อยางไรกตาม สถานะของระบบดงในสมการ (6.104) เปนเพยงอกสถานะหนงทเปนไปได ในความเปนจรงแลว particle beam อาจจะประกอบดวยอนภาคทม momentum คาตางๆกน หรอมทศทางการเคลอนทของอนภาคแตกตางกน ยกตวอยางเชนแสงทสองจากดวงอาทตยมความถตางๆกน ซงหมายถงม momentum แตกตางกน หรอแสงทปรากฏอยภายในหองมทมาจากหนาตางหลายๆบาน ซงหมายถงมวามนมทศทางตางๆกน นนกหมายถงในเมอเราพจารณา particle beam ทซบซอนเหมอนจรงมากขน สถานะของระบบอาจจะอยในรปของ linear superposition ของสถานะพนฐานดงในสมการ (6.102) ดงจะไดยกตวอยางการคานวณในทาง quantum mechanics ทเกยวของกนการ scattering

Scattering from Potential Barrier

incident + reflected transmitted or tunneled

ikx ikxAe Be+ −+ ikxCe+

incident + reflected transmitted or tunneled

ikx ikxAe Be+ −+ ikxCe+

ภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มตของ interaction ระหวางอนภาคทถกเรงใหมความเรวสงกบ target ภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มตของ interaction ระหวางอนภาคทถกเรงใหมความเรวสงกบ target ซงเราแทน interaction ดงกลาวดวย potential barrier ทมความสงเทากบ 0V และเขยนใหอยในรปของฟงชนกไดวา

0

0V(x)= V

0

x dd x dx d

< −⎧⎪ − < <⎨⎪ >⎩

________________ สมการ (6.105)



และสมมตใหอนภาคมพลงงาน 0E<V เพราะฉะนนจากการวเคราะห Schrödinger equation เราบอกไดวาผลเฉลยของสมการอยในรปของ

( )=

ikx ikx

qx qx

ikx

Ae Be x d

x Fe Ge d x d

Ce x d

ψ

−

−

⎧ + < −⎪⎪ + − < <⎨⎪

> +⎪⎩

________________ สมการ (6.106)

โดยท k และ q มความสมพนธกบพลงงานกคอ

22mEk = และ ( )0

22 Vm E

q−

= ________________ สมการ (6.107)

ดงสมการ (6.106) ในกรณของ x d< − จะสงเกตเหนวาสถานะของระบบเปน linear superposition ของ probability amplitude ในทานองเดยวกนกบสมการ (6.102) ซงกคอ ikxAe+ และ ikxBe− ขอแตกตางของสถานะพนฐานทงสองนกคอเครองหมายของ wave vector k เครองหมายทแตกตางกนนแสดงใหเหนถงทศทางการเคลอนทของ beam ทงสอง หรอกลาวอกนยหนง

ikxAe+ เปนตวแทนของ incident beam หรอ ลาของอนภาคทยงออกมาจากแหลงกาเนด ในขณะท ikxBe− เปนตวแทนของ reflected beam หรอ ลาของอนภาคทสะทอนกบภายหลงจากกระทบกบ

กาแพงศกยนนเอง สาเหตทในบรเวณ x d> + เรามไดนาเทอมทอยในรปของ ikxe−∼ เขามารวมพจารณาในสมการ

(6.106) ดวยนน กเพราะวาเทอม ikxe− มลกษณะเปนคลนทพงยอนกลบจาก x = +∞ เขาส 0x = ซงขดกบขอกาหนดในทางฟสกส เพราะเปนไปไมไดทเมออนภาคไดทะลผานกาแพงศกยออกไปแลว จะสามารถยอนกลบเขามาอกได เซตของสมประสทธ { }, , , ,A B F G C ทปรากฏอยในสมการ (6.106) นนสามารถคานวณไดโดยใชเงอนไปของความตอเนอง (continuity condition) ณ บรเวณรอยตอ ซงจะนาไปสสมการทงสน 4 สมการกคอ



ikd ikd qd qd

ikd ikd qd qd

qd qd ikd

qd qd ikd

Ae Be Fe Ge

ikAe ikBe qFe qGe

Fe Ge Ce

qFe qGe ikCe

− + − +

− + − +

−

−

+ = +

− = −

+ =

− =

และเพอใหจานวนตวแปรลดลง เราหารทกๆสมการดวย A และจดรปเสยใหมจะไดวา

0

0

ikd qd qd ikd

ikd qd qd ikd

ikd qd qd

ikd qd qd

be fe ge e

ikbe qfe qge ike

ce fe ge

ikce qfe qge

+ − + −

+ − + −

−

−

− − = −

− − + = −

− + + =

− + − =

ทงนเรานยาม , , ,B C F Gb c f gA A A A

≡ ≡ ≡ ≡ เพอความกระชบในการเขยนสมการ และสมการ

ขางตนมคาตอบผลเฉลยคอ

2

2

2 2 2 24

( ) ( )

( )2

( )2

ikd qd ikd qd ikd

ikd

qd qd

ikd qd

ikd qd

b fe ge e

ikqecq ik e q ik e

q ik ef cq

q ik eg cq

− − − + −

−

+ −

−

+

= + −

−=

− − +

+=

−=

________________ สมการ (6.108)

ซงเมอนาผลเฉลยดงกลาวแทนเขาไปใน probability amplitude ในสมการ (6.106) จะไดลกษณะดงภาพ 6.10 จะสงเกตเหนวา ถงแมพลงงานของระบบ จะมคานอยกวา potential barrier กตาม อนภาคยงมความนาจะเปนทจะทะลผานกาแพงศกยออกไปได ปรากฏการณเชนนเรยกวา "tunneling" tunneling เปนหนงในปรากฏการณทเกดขนจรง แตขดแยงกบ classical mechanics โดยสนเชง นกศกษาคงเคยปนจกรยานใหเรวทสด จากนนปลอยใหมนวงขนเนนดวยอาศยพลงงานจลนของตวจกรยานเอง แนนอนวาถาพลงงานจลนทเราใสเขาไปในจกรยานดวยการปนนน มคานอยกวาพลงงานศกยทเกดจากความสงของเนน เรายอมขามเนนไปไมได กลาวคอ ความนาจะเปนทจะพบจกรยาน ณ อกฟากหนงของเนนเปนศนย



แตในระบบขนาดเลกๆเชน atom หรอ molecule ปรากฏการณ tunneling เกดขนไดทวไป และยงเปนทมาของสงประดษฐทเรยกวา "Scanning Tunneling Microscope" หรอ STM อกดวย จากการวเคราะหปรากฏการณ tunneling ดงกลาว เราสามารถนยาม transmission coefficient วาเปนอตราสวนของ particle beam ททะลออกไป ตอ incident beam ไดวา

transmission coefficient 2CT

A= ________________ สมการ (6.109)

และในทานองเดยวกน reflection coefficient กเปนอตราสวนท particle beam จะสะทอนกลบภายหลงจากม interaction กบ potential barrier แลว

reflection coefficient 2BR

A= ________________ สมการ (6.110)

ขอควรระวง อยางไรกตาม transmission coefficient และ reflection coefficient ดงในสมการขางตน มความหมายแคบๆทมขอบเขตการใชงานจากดอยแตเฉพาะในการวเคราะห potential barrier เทานน คานยามของ coefficient ทงสองซงใชเปนมาตรฐานสากลจาเปนจะตองนาความรเรอง probability current เขามารวมอธบาย ซงเราจะกลาวถงโดยละเอยดอกครงในเนอหาของบท Scattering ดงตวอยางของ potential barrier ขางตน เมอรวมรวมเอาสมการ (6.109) , (6.108) , และ (6.107) เขาดวยกน เราบอกไดวา

220

0

1

1 sinh (2 )4 ( )

TV qd

E V E

=

+−

เมอ ( )02

2 Vm Eq

−= __________ สมการ (6.111)

แบบฝกหด 6.22 จงพสจนสมการ (6.111)

บอกใบ : [ ]2 2 22 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( )sinh(2 ) 4qd qdq ik e q ik e q k qd qk+ − ⎡ ⎤− − + = + +⎣ ⎦



แบบฝกหด 6.23 จงวเคราะหหา probability amplitude ในทานองเดยวกนกบสมการ (6.108) แตเปนในกรณท 0E V> และพสจนใหเหนวา ในกรณดงกลาวน

220

0

1

1 sin (2 )4 ( )

TV qd

E E V

=

+−

เมอ ( )02

2 E-Vmq = __________ สมการ (6.112)

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

0E V

transmission coefficient as a function of beam energy

d+

0V

d− d+

0V

d−

2200

20 0

1

sinh (2 )1

4 sin (2 )

Tqd E VV

E E V qd E V

=⎧ <⎪+ ⎨− ≥⎪⎩

02

2 E-Vmq =

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1T

0E V

transmission coefficient as a function of beam energy

d+

0V

d− d+

0V

d−

2200

20 0

1

sinh (2 )1

4 sin (2 )

Tqd E VV

E E V qd E V

=⎧ <⎪+ ⎨− ≥⎪⎩

02

2 E-Vmq =

ภาพ 6.11 แสดง transmission coefficient ซงเปลยนแปลงตามระดบพลงงานของ particle beam ทกาลงพงเขามา (incident beam) ภาพ 6.11 แสดง transmission coefficient ซงเปลยนแปลงตามระดบพลงงานของ particle beam ทกาลงพงเขามา (incident beam) จากกราฟเมอพลงงานมคาตา โอกาสทอนภาคจะทะลกาลงแพงศกยจงมคานอย และความนาจะเปนอนน กจะเพมขนเรอยๆ เมอพลงงานของอนภาคมคามากขน อยางไรกตาม มไดหมายความวา พลงงานยงสง transmission coefficient จะยงมากเปนเงาตามตว

เสมอไป จากภาพจะสงเกตบรเวณทเปนเงาสเหลยมสฟา จะเปนชวงท ( )ETV

มคาลดลง ทงๆท EV

มคาเพมขน ปรากฏการเชนน อธบายไมไดโดยใชแนวคดพนฐานของ classical mechanics แบบฝกหด 6.24 จงหาเงอนไขททาให 1T =

6.9 Ehrenfest Theorem

tunneling เปนตวอยางหนงทแสดงถงศกยภาพของ quantum mechanics ซงมขอบเขตในการอธบายปรากฏการณตางๆ ในขณะท classical mechanics เขาไปไดไมถง



และเมอกลาวถง classical mechanics หรอ Newtonian mechanics แลวนน หวใจสาคญของทฤษฏดงกลาวตงอยบนพนฐานของกฎขอทสองของ Newton ซงกลาววา

dpF madt

= = ใน Newtonian mechanics __________ สมการ (6.113)

ในมมมองของ Newtonian mechanics กฎดงกลาวเปน axiom ทกาหนดขนโดยไมมตรรกะรองรบ แตดวยอาศยผลการทดลองจานวนมหาศาลทพสจนเปนประจกพยานแลววา กฎดงกลาวถกตอง และใน Section 6.9 นเราจะมากลาวถงศกยภาพอกอนหนงของ quantum mechanics ทสามารถ "derive" กฎขอสองของ Newton กอนอนเรามาพจารณา Hermitian operator A ใดๆ และมาวเคราะหวา เมอนา operator ดงกลาวมาตรวจวดสถานะของระบบ expectation value ทไดจะเปลยนแปลงกบเวลาอยางไรบาง

ˆ ˆ( ) ( )d dA t A tdt dt

= Ψ Ψ

และเมออาศยกฎลกโซจะไดวา

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d dA t A t t A t t A tdt dt dt t

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Ψ Ψ + Ψ Ψ + Ψ Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

เมอนา Schrödinger equation ดงในสมการ (6.74) เขามาเปลยนรปพจนทอยในวงเลบ จะทาให

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

d i iA t H A t t A H t t A tdt t

i it HA t t AH t t A tt

d iA t HA AH t t A tdt t

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Ψ Ψ − Ψ Ψ + Ψ Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂

= Ψ Ψ − Ψ Ψ + Ψ Ψ∂

∂= Ψ − Ψ + Ψ Ψ

∂

เราสามารถลดรปสมการขางตนใหกระชบขนอกโดยใชคานยามของ commutator

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,HA AH H A⎡ ⎤− = ⎣ ⎦ เพราะฉะนนแลว



ˆ ˆ ˆˆ( ) , ( ) ( ) ( )d iA t H A t t A tdt t

∂⎡ ⎤= Ψ Ψ + Ψ Ψ⎣ ⎦ ∂ __________ สมการ (6.114)

สมการขางตนอธบายความเปลยนแปลงตามเวลาของ expectation value ของ operator ใดๆ ซงมประโยชนมากในการวเคราะหวาระบบทเรากาลงพจารณาอยนน ม ตาแหนง, momentum, หรอ ปรมาณทางฟสกสอนๆ เปนฟงชนกอยางไรกบเวลาทผานไป ยกตวอยางเชน พจารณา momentum operator ˆ xp จากสมการ (6.114) จะไดวา

0

ˆˆ ˆ ˆ( ) , ( ) ( ) ( )x x xd ip t H p t t p tdt t

=

∂⎡ ⎤= Ψ Ψ + Ψ Ψ⎣ ⎦ ∂ __________ สมการ (6.115)

เนองจาก momentum operator ˆ xp ไมสวนทขนกบเวลา ดงนนเทอมทสองจงเปนศนย นอกจากน

Hamiltonian ใน 1 มตคอ 2ˆˆ ˆ( )

2pH V xm

= + เพราะฉะนนแลว

2ˆˆ ˆ ˆ, ,

2x xpH p pm

⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]ˆ ˆ( ),

ˆ ˆ,

ˆ ˆ,

x

nn x

nn

n xn

V x p

a x p

a x p

+

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

∑

∑

โดยทในสมการขางตน เราเขยน operator ของพลงงานศกย ( )V x ใหอยในรปของ Taylor expansion

2ˆ ˆ( ) nn

V x a x=∑ นอกจากน จากแบบฝกหด 6.23 เราบอกไดวา

1ˆ ˆ ˆ,

ˆ

ˆ ˆ ˆ, ( )

nx n

n

nn

n

x

H p i a nx

i a xx

H p i V xx

−⎡ ⎤ =⎣ ⎦

∂=

∂

∂⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∂

∑

∑



แบบฝกหด 6.25 จงหาพสจนวา 1ˆ ˆ ˆ,n nxx p i nx −⎡ ⎤ =⎣ ⎦ โดยเรมจากสมการ (6.24)

ดวยเหตนเอง สมการ (6.115) จงลดรปเหลอเพยง

ˆ xd dVpdt dx

= − __________ สมการ (6.116)

นอกจากน อกตวอยางหนงของการนาเอาสมการ (6.114) มาใชวเคราะหกคอ expectation value ของตาแหนงของอนภาค หรอ

0

ˆˆ ˆ ˆ( ) , ( ) ( ) ( )d ix t H x t t x tdt t

=

∂⎡ ⎤= Ψ Ψ + Ψ Ψ⎣ ⎦ ∂

แบบฝกหด 6.26 จงหาพสจนวา

ˆ ˆ ˆ, xiH x pm

⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ __________ สมการ (6.117)

ซงจากการสมการ (6.117) ทาให

ˆˆ xpd x

dt m= __________ สมการ (6.118)

สมการ (6.116) และสมการ (6.118) ดผวเผนคงเปนเพยงเอกลกษณทางคณตศาสตรอกอนหนงทไมมประโยชนใชงานทเปนรปธรรมมากนก แทจรงแลว ทงสองสมการมความสาคญและยงมชอเฉพาะวา Ehrenfest Theorem เราจะเหนความสาคญของ Ehrenfest Theorem ดวยการวเคราะหตอยอดจากสมการทางคณตศาสตร

ทงสองอกสกนด ถาเรานยามความเรงวา ˆd da xdt dt⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟⎝ ⎠

แลวจากสมการ (6.118) จะได

1 ˆ

ˆ

x

x

da pm dtdma pdt

=

=



และจากสมการ (6.116) ถาเรานยามแรงทกระทากบอนภาควา ˆ( )dF V xdx

≡ − จะนาไปส

ความสมพนธทเปนรากฐานของความรทางกลศาสตรของมนษยในยคกอนป 1926 นนกคอ

F ma=

6.10 บทสรป

ในบทท 6 เราใชกลไกของ matrix mechanics เพอศกษาระบบทม basis state เปนสถานะทตอเนอง อาทเชน position และ momentum ซงเรมดวยการใช position เปน basis state

( )dx x xψΨ = ∫

ในลกษณะเชนน bra-ket ของสองสถานะใดๆ สามารถเขยนใหอยในรปของ integral ไดวา

( ) ( )dx x xϕ ψ∗Φ Ψ = ∫

จากนนเรากไดทาความรจกกบ operator ทเกยวของ นนกคอ translation operator ˆ( )T a ซงมผลให basis state x เปลยนไปเปนสถานะ x a+ และแทนทจะเลอนสถานะตามแนวแกน x เปนระยะทาง a เราสามารถทจะพจารณาการเลอนเปนระยะ infinitesimal translation xΔ โดยท

ˆ ˆ( ) 1 xiT x p xΔ = − Δ เมอ ˆ xp คอ generator of translation

ทงน นอกจาก ˆ xp จะเปน generator of translation มนกยงเปน momentum operator ซงมคณสมบตทางคณตศาสตรทสาคญคอ

[ ]ˆ ˆ, xx p i= และ

ˆ ( )xx p xi x

ψ∂Ψ =∂



นอกจากการใช position เปน basis state แลวนน ยงสามารถใช momentum เปน basis state กลาวคอ

( )dp p pϕΨ = ∫

ในกรณดงกลาว เราเรยก ( )p pϕ = Ψ วาเปน probability amplitude ใน momentum space ซงแตกตางจากเดม ( )x xψ = Ψ ซงเปน probability amplitude ใน position space โดยท basis state ในทงสอง space มความสมพนธกนกคอ

12

ipxx p eπ

=

ซงเมอเขยนอยในรปของ probability amplitude ( )xψ และ ( )pϕ จะมความเกยวโยงทางคณตศาสตรคอ

1( ) ( )2

ipxp dx x eϕ ψπ

−= ∫ และ 1( ) ( )2

ipxx dp p eψ ϕπ

+= ∫

ทงนเราไดยกตวอยางของการใช quantum mechanics มาวเคราะหอนภาคอสระ ซงเราใช Gaussian wave packet เปน model ในการศกษา และดวยการพจารณาความไมแนนอนของการบอกตาแหนงและ momentum ของอนภาคในอดมคตนเอง นาไปสความสมพนธทเรยกวา Heisenberg Uncertainty Principle ทวา

2x pΔ Δ ≥

หากแตกฎดงกลาวมไดจากดอยแตเพยง position และ momentum เทานน สาหรบ operator ใดๆทสามารถใชในการวดปรมาณทางฟสกส จะไดวา

ˆ ˆ,

2

A BA B

⎡ ⎤⎣ ⎦

Δ Δ ≥



และเมอมเครองมอทางคณตศาสตรทพรอม เรากไดกลาวถง Schrödinger equation ซงจรงๆแลวสามารถเขยนใหอยในรปของ position space

2 2

2( , ) ( , ) ( ) ( , )2

i x t x t V x x tt m xψ ψ ψ∂ ∂

= − +∂ ∂

และ ของ momentum space

2( , ) ( , ) ( ) ( , )

2pi p t p t V i p t

t m pϕ ϕ ϕ∂ ∂

= +∂ ∂

เพอยกตวอยางการนา Schrödinger equation มาใชงาน เราวเคราะหระบบทเรยกวา square well potential และ scattering ใน 1 มต ซงปรากฏการณทสาคญของการศกษาในครงน กคอ tunneling ทหมายถงการท particle beam สามารถทะลผานกาแพงศกยออกมาได ถงแมวาพลงงานจลนของมนจะมคานอยกวากาแพงศกยกตาม และในทายทสด เรากลาวถง Ehrenfest theorem ทเปนทฤษฏทแสดงใหเหนวา Newtonian mechanics แททจรงแลว เปน subset ของ quantum mechanics เทานนเอง

6.11 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 6.27 จงคานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณของกาแพงศกยทนยามดวย

0

0 0( )

0x

V xV x

<⎧= ⎨ ≥⎩

เฉลย ถา 0E V< แลว 1 0R T= = ถา 0E V> ( )2

4

1T ε

ε=

+ เมอ 01 V

Eε ≡ −

แบบฝกหด 6.28 จงพสจนสมการ (6.39) แบบฝกหด 6.29 จงพสจนวา

ˆ ( )xx p x x xi x

δ∂′ ′= −∂

________________ สมการ (6.119)



แบบฝกหด 6.30 จงพสจนสมการ (6.57) และ สมการ (6.58) แบบฝกหด 6.31 เรมจาก probability amplitude ใน momentum space ของ Gaussian wave packet

2 2 22( ) p aap eϕπ

−= จงพสจนวา Fourier transform ในสมการ (6.39) ทาใหเกดเปน

ฟงชนก 2 221( ) x ax e

aψ

π−= จรง

แบบฝกหด 6.32 จงคานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณของ"บอศกย"ทนยามดวย

0

0( )

0

x dV x V d x d

x d

< −⎧⎪= − − ≤ ≤⎨⎪ > +⎩

เฉลย ถา 0E V> 220

0

1

1 sin (2 )4 ( )

TV qd

E E V

=

++

เมอ ( )02

2 E+ Vmq =



This page is intentionally left blank

6 wave mechanics in one dimension

Documents