6. teoria filtracji – cz ęść ii - strzelecki.net.pl 6.pdf · 6.1.3 siatka hydrodynamiczna...

GEOTECHNIKA KIERUNEK GEODEZJA I KARTOGRAFIA

1

6. Teoria Filtracji – Cz ęść II Tomasz Strzelecki

6.1 Model 2D dla przypadku przepływu cieczy nie ściśliwej przez pory nieodkształcalnego szkieletu z wykorzystaniem przek ształce ń konforemnych. 6.1.1 Funkcja potencjału pr ędkości. Rozwiązanie konkretnego zagadnienia przepływu filtracyjnego powinno być traktowane jako zadanie trójwymiarowe. Jednak rozwiązanie szeregu zagadnień metodami analitycznymi nastręcza duże trudności, a w przypadku metod numerycznych jesteśmy ograniczeni wielkością pamięci maszyn matematycznych. Szczegółowe omówienia metod rozwiązywania zagadnień 2D czytedlnik znajdzie w monografii [Strzelecki i inni, 2008]. Dlatego rozpatrujemy często przepływ w określonym przekroju zakładając, że w pobliżu tego przekroju własności ośrodka, geometria układu warstw, a więc i parametry przepływu są w przybliżeniu takie same. Wówczas składowa prędkość normalna do przekroju jest równa zero. Jeżeli w zasięgu rozpatrywanego obszaru zmienia się układ warstw lub własności ośrodka, wówczas można rozwiązać zagadnienie w kilku przekrojach, przyjmując jednakże do obliczeń zawsze schemat dwuwymiarowy. W przypadku płaskiego przepływu filtracji równanie przepływu cieczy nieściśliwej przez ośrodek jednorodny izotropowy można zapisać w postaci:

2 2

2 20

x y∂ Φ ∂ Φ+ =∂ ∂

(6.1)

lub

2 0∇ Φ = . (6.2) Równanie jest ważne w przypadku, gdy rozpatrujemy przepływ przez ośrodek jednorodny i izotropowy.

Rozwiązaniem równania (6.2) jest funkcja potencjału prędkości ( ),x yΦ . Przyrównując funkcję Φ do

stałej C, takiej, że

2 1kH C kH≤ ≤ , (6.3)

gdzie H1 i H2 są to ekstremalne wysokości hydrauliczne na brzegach obszaru filtracji wywołujące przepływ wody w rozpatrywanym obszarze, to dla:

( ),x y C constΦ = = (6.4)

dostajemy równanie linii jednakowego potencjału C, który będziemy nazywać powierzchnią ekwipotencjalną. 6.1.2. Funkcja pr ądu. Przepływ filtracyjny odbywa się wzdłuż linii normalnych do powierzchni ekwipotencjalnych. Wykażemy, że jest tak w rzeczywistości. W przypadku przeciwnym, gdyby linia prądu nie była normalna


2

do linii ekwipotencjalnych, można by określić składową prędkości przepływu styczną do powierzchni ekwipotencjalnej.

Rys. 6.1 Zwi ązek dla linii pr ądu.

J Jak wynika z (6.4) gradient hydrauliczny wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej jest równy zeru,

więc zerowemu gradientowi hydraulicznemu odpowiedałaby skończona wartość prędkości filtracji, co sprzeczne jest z prawem Darcy. Rozpatrzymy dla przykładu pewien odcinek linii prądu, (linia poprowadzona w polu prędkości filtracji w ten sposób, że styczne do niej w każdym punkcie wskazują kierunek wektora prędkości) na rys. 6.1. Weźmy dwa punkty [A(x, y) i B(x, y)] znajdujące się na linii prądu i oddalone od siebie o nieskończenie mały odcinek ds.

Z punktu A przeprowadzimy styczną do linii prądu i wzdłuż niej określimy obraz graficzny wektora prędkości vr w punkcie A(x, y). Rzutując wektor na kierunek poziomy i pionowy, dostaniemy

współrzędne wektora xvr i yvr . Wektor vr wraz ze współrzędnymi xvr i yvr tworzy trójkąt prostokątny

ADE. Ponieważ punkt B znajduje się nieskończenie blisko punktu A, można przyjąć z dokładnością do małych wyższego rzędu, że styczna AE pokrywa się z sieczną AB, więc ABCADE ∆≈∆ . Stąd mamy:

x

y

v dxv dy

= . (6.5)

Równanie (6.5) można zapisać inaczej: 0x yv dy v dx− + = , (6.6)

ale które powinno być spełnione w dowolnym punkcie linii prądu.

Załóżmy, że istnieje funkcja ( ),x yΨ określona w obszarze filtracji, taka że różniczka zupełna

tej funkcji wynosi: y xd v dx v dyΨ = − . (6.7)

Jak wiemy, warunkiem koniecznym i wystarczającym na istnienie różniczki zupełnej w postaci:


3

1 2dF Fdx Fdy= + (6.8)

jest warunek:

1 2F Fy x

∂ ∂=∂ ∂

. (6.9)

W naszym przypadku: 1 2,y xF v F v= = − , (6.10)

więc, aby istniała różniczka zupełna w postaci (6.8), powinien być spełniony warunek:

y xv vy x

∂ ∂= −∂ ∂

, (6.11)

co możemy zapisać inaczej w postaci:

0y xv vy x

∂ ∂+ =∂ ∂

. (6.12)

Równanie (6.12) jest równaniem ciągłości przepływu dla przypadku przepływu płaskiego

( zv = 0). Wykazaliśmy więc, że istnieje różniczka zupełna funkcji w postaci (6.8). Wyraźmy pochodne

cząstkowe funkcji Ψ przy pomocy składowych wektorów prędkości. Ponieważ różniczkę zupełną funkcji Ψ można zapisać w postaci:

d dx dyx y

∂Ψ ∂ΨΨ = +∂ ∂

, (6.13)

dostajemy:

xv y∂Ψ= −∂

yv x∂Ψ=∂

. (6.14)

Z równania (6.6) wynika, że dla każdej linii prądu: 0dΨ = , (6.15) więc linię prądu określa równanie:

( ),x y constΨ = , (6.16)

dlatego funkcję Ψ będziemy nazywali funkcj ą prądu .

Zbadajmy relację funkcji prądu Ψ i funkcji potencjału Φ . W tym celu skorzystamy ze związków:


4

xv y∂Ψ= −∂

i xv x∂Φ=∂

,

yv y∂Ψ=∂

i yv y∂Φ=∂

,

stąd dostaniemy:

x y

∂Φ ∂Ψ= −∂ ∂

, (6.17)

i

y x∂Φ ∂Ψ=∂ ∂

. (6.18)

Związki (6.17) i (6.18) są związkami Cauchy - Riemanna , więc zgodnie z pracą [Trajdosa-Wróbla, 1965] rodziny krzywych: const i constΦ = Ψ = (6.19)

są wzajemnie ortogonalne. Układ tych linii w przypadku zagadnień filtracji nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu. Różniczkując związek (6.17) po y∂ i związek (6.18) po x∂ dostajemy:

2 2

2x y y∂ Φ ∂ Ψ= −

∂ ∂ ∂,

(6.20)

2 2

2x y x∂ Φ ∂ Ψ=

∂ ∂ ∂.

Ponieważ w powyższych związkach (6.20) lewe strony są identyczne, możemy zapisać:

2 2

2 20

x y∂ Ψ ∂ Ψ+ =∂ ∂

. (6.21)

Funkcja prądu Ψ spełnia więc równanie Laplace’a, co możemy zapisać w postaci:

2 0∇ Ψ = . (6.22) Rozwiązanie konkretnego zagadnienia sprowadza się do rozwiązania równań różniczkowych:

2 0∇ Φ = , (6.23)

2 0∇ Ψ = .


5

W wyniku rozwiązania powyższych równań różniczkowych możemy określić siatkę hydrodynamiczną przepływu. Sposoby rozwiązania płaskich zagadnień filtracji zostaną przedstawione w podrozdziale VIII. ...

Rys: 6.2 Obliczenie wydatku przepływaj ącego pomi ędzy dwoma liniami pr ądu.

Rozważmy niewielki obszar siatki hydrodynamicznej przepływu przedstawiony na rys. 7.2.

Obliczymy wydatek przepływający pomiędzy dowolną linią prądu Ψ a linią oddaloną o nieskończenie mały odcinek dΨ + Ψ . Ponieważ wydatek cieczy przepływającej przez powierzchnię ds*1m wynosi:

dQ vds= , (6.24) wydatek przepływający przez powierzchnię ekwipotencjalną reprezentowaną linią A i B wynosi:

A B

Q vds∩

= ∫ . (6.25)

Całkę krzywoliniową we wzorze (6.25) można zastąpić całką iterowaną:

( )B

y xA B A

vds v dx v dy∩

= −∫ ∫

. (6.26)

Na podstawie wzoru (6.7) wiemy, że y xd v dx v dyΨ = − , (6.27)

stąd:

2

1

2 1Q dΨ

Ψ

= Ψ = Ψ − Ψ = ∆Ψ∫ . (6.28)

Znając więc wartości funkcji prądu odpowiadających dwóm liniom prądu (przechodzące przez punkty A i B na rys. 4.12), można określić wydatek przepływający pomiędzy tymi liniami prądu, którym odpowiadają odpowiednie wartości funkcji prądu 1 2, .Ψ Ψ

6.1.3 Siatka hydrodynamiczna przepływu. Większość praktycznych zadań teorii filtracji można traktować jako zadanie płaskie lub osiowo – symetryczne (opływ budowli wodnej, przepływ przez grodzę ziemne, dopływ do rowu lub studni).


6

Rozwiązanie konkretnego zadania będzie polegało na określeniu w obszarze filtracji potencjału prędkości Φ i funkcji prądu Ψ . Graficznym przedstawieniem rozwiązania zagadnienia będzie układ liniiΦ =const i Ψ =const tworzących siatkę hydrodynamiczną przepływu. W podrozdziałach 7.1 i 7.2 wyprowadzono równania różniczkowe, jakie spełniają funkcję Φ i Ψ , a mianowicie:

- dla zagadnień płaskich:

2 0∇ Φ = i 2 0∇ Ψ = , (6.29)

- dla zagadnień osiowych symetrycznych:

2 0r∇ Φ = i 2 0r∇ Ψ = , (6.30) gdzie:

2 2

222

1ry r rr

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂∂

. (6.31)

Funkcje Φ i Ψ muszą spełniać również warunki brzegowe. Dla przypadku płaskiego

zagadnienia przepływu siatkę hydrodynamiczną przedstawiono przykładowo na rys. 6.3.

Rys. 6.3 Przykład siatki hydrodynamicznej przepływu . 6.1.4 Warunki brzegowe i pocz ątkowe. W konkretnych zadaniach ograniczymy się do kilku rodzajów warunków brzegowych na granicach obszaru filtracji:

a) na granicach nieprzepuszczalnych, b) na granicach przepuszczalnych, c) wzdłuż linii wyznaczonej przez powierzchnię swobodnych wód gruntowych, d) wzdłuż linii wypływu wody ponad zwierciadłem wody swobodnej, e) na granicy dwóch ośrodków przepuszczalnych o różnych współczynnikach filtracji.


7

Rys7.4 Rodzaje granic obszaru.

Rodzaje granic obszaru dla przykładowo przyjętego obszaru filtracji przedstawiono na rys. 7.4. Nieprzepuszczalne granice obszaru filtracji wyznaczają:

- ścianki szczelne (linia JN), - założone granice obszaru filtracji (linia ALMH), - linie kontaktu obszaru filtracji z warstwami nieprzepuszczalnymi, - kontury zapór (linia łamana DCBPOGFE).

Granice nieprzepuszczalne są liniami prądu (patrz definicja linii prądu) i dlatego funkcja prądu wzdłuż tych linii ma wartość stałą: constΨ = . (6.32) Ponieważ składowa normalna do granicy nieprzepuszczalnej prędkości filtracji jest równa zeru, warunek brzegowy na funkcję potencjału prędkości ma postać

0n

∂Φ =∂

, (6.33)

gdzie: n –normalna do granicy nieprzepuszczalnej. Zazwyczaj granice nieprzepuszczalne złożone są z odcinków prostych. Przyjmijmy, że równane takiego odcinka ma postać: ( )y f x= . (6.34)

Równania (6.32) lub (6.33) można rozpatrywać jako warunki, które winny być spełnione wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej opisanej równaniem (6.34). Granice przepuszczalne. Przy dużych rozmiarach zbiornika wodnego można założyć, że rozkład ciśnienia p wzdłuż granic przepuszczalnych jest zgodny z prawami hydrostatyki.


8

Rys. 7.5 Warunki brzegowe na granicach przepuszcza lnych.

Dlatego w dowolnym punkcie M znajdującym się na granicy AB (rys.7.5) między gruntem a

zbiornikiem wodnym, wartość ciśnienia wynosi:

1( )a wp p H y γ= + − , (6.35)

gdzie: ap – ciśnienie atmosferyczne,

wγ - ciężar własny wody,

1H - wysokość hydrodynamiczna w punkcie M w układzie osi ( ),x y

y – wysokość położenia w układzie osi ( ),x y

Ponieważ funkcja potencjału prędkości wyraża się wzorem:

( )w

Pk y cγ

Φ = − + + . (6.36)

Wartość funkcji Φ w dowolnym punkcie M wynosi:

1( )aM

w

Pk H cγ

Φ = − + + . (6.37)

Z tego wynika, że dla dowolnego punktu M, znajdującego się na granicy przepuszczalnej w kontakcie z wodą, funkcja potencjału: constΦ = . (6.38) Innymi słowy, granica przepuszczalna jest granicą stałego potencjału prędkości. Wzdłuż granicy przepuszczalnej, składowe styczne wektora prędkości są równe zeru. Z tego wynika warunek brzegowy na funkcję prądu:

0n

∂Ψ =∂

, (6.39)

gdzie n to normalna do granicy przepuszczalnej. W przypadku, gdy granica przepuszczalna stanowi krzywą wyrażoną równaniem:


9

( )y f x= . (6.40)

Będziemy traktować związki (6.38) lub (6.39) jako warunki, które muszą być spełnione wzdłuż tej granicy opisanej równaniem (6.40). Powierzchnia swobodna wód gruntowych Powierzchnia swobodna wód gruntowych stanowi linię rozgraniczającą obszar wód grawitacyjnych od gruntu suchego lub od strefy wód kapilarnych, gdy uwzględnimy własności kapilarne gruntu.

Rys.6.6 Warunki brzegowe na linii swobodnej powier zchni wód gruntowych.

W pierwszym przypadku zakładamy, że ciśnienie na kontakcie gruntu nawodnionego i suchego

jest równe ciśnieniu atmosferycznemu. Korzystając ze wzoru (6.36) na linii swobodnej powierzchni zwanej także krzywą depresji, uzyskujemy warunek: ky constΦ + = . (6.41)

Gdy oś ”y” jest skierowana w dół, warunek (6.41) zastępujemy warunkiem: ky constΦ − = . (6.42) Uwzględniając strefę kapilarną wód gruntowych przyjmujemy, że na powierzchni swobodnej ciśnienie posiada wartość stałą, mniejszą od cisnienia atmosferycznego o wielkość odpowiadającą wysokości wzniesienia kapilarnego wody w gruncie: a w kp p hγ= − , (6.43)

gdzie:

kh - wysokość wzniosu kapilarnego.

Obserwacje wykazują, że przy ruchu wód gruntowych należy przyjmować hk mniejsze od uzyskanego podczas badania wzniosu kapilarnego w rurce z gruntem (praca [Wieczysty, 1982, Jeske i innych, 1966]). Podstawiając wartość p do wzoru (6.30) otrzymamy znów warunek (6.41) lub (6.42) lecz z inną wartością stałej. Krzywa depresji jest jednocześnie skrajną linią prądu dla danego obszaru filtracji. Musi więc być spełniony warunek: constΨ = (6.44)

Warunki ((6.41); (6.44)) lub ((6.42); (6.44)) są warunkami brzegowymi na linii powierzchni swobodnej wód gruntowych. Występowanie na jednym brzegu jednocześnie dwóch warunków brzegowych wskazywałoby teoretycznie na naddeterminację warunków brzegowych na tym brzegu. Musimy sobie jednak zdawać sprawę z faktu, że linia reprezentująca powierzchnię swobodną jest a


10

priori nieznana. Mamy więc w tym przypadku do rozwiązania zagadnienie z nieznanym brzegiem. Istnieje więc konieczność występowania dwóch warunków brzegowych, a zagadnienie nie posiada nieuzasadnionej nadwyżki jednego warunku brzegowego. Swobodna powierzchnia wód gruntowych może być zasilana przez opady, tajanie śniegu itp. W tym wypadku mówi się, że istnieje infiltracja z powierzchni terenu do swobodnej powierzchni wód gruntowych. Zgodnie z pracami [Wieczystego,1982],[Rembezy, 1998] przyjmuje się w takim przypadku następującą zasadę określania dopływu do swobodnej powierzchni: ”Wydatek wody przez dowolną część swobodnej powierzchni jest proporcjonalny do rzutu poziomego łuku tej powierzchni lub inaczej, jest proporcjonalny do różnicy odciętych końców tego łuku”.

Zgodnie z cytowaną wyżej zasadą, uzyskujemy warunek na powierzchni swobodnej w postaci:

0 0x xεΨ − Ψ = − , (6.45)

gdzie:

Ψ i 0Ψ , są to wartości funkcji prądu w punktach powierzchni swobodnej o odciętych

x i 0x ,

ε ilość wody dopływającej podczas jednostki czasu na jednostkę długości poziomego rzutu łuku krzywej depresji (intensywność filtracji). Dla rozpatrzonego przypadku intensywność infiltracji wynosiε >0. Uwzględniając parowanie ze swobodnej powierzchni wody, mamy do czynienia z tzw. infiltracją ujemną. Warunek brzegowy przyjmie postać (6.45) z tą różnicą, że będzie posiadał wartość ujemną. Ogólnie można powiedzieć, że warunki: (6.41) lub (6.42) i (6.45) są najbardziej ogólnymi warunkami dla krzywej depresji, przy czym ε może być dodatnie (infiltracja), ujemne (parowanie) lub równe zeru. Linia wysi ęgu. Linię wypływu wody ponad zwierciadłem wody swobodnej, będziemy nazywali linią wysięgu. Obszary wysięgu mogą istnieć po stronie odpowietrznej grodzy ziemnej na ściankach studni, rowów drenażowych itp. Wzdłuż linii wysięgu ciśnienie winno być równe ciśnieniu atmosferycznemu, a więc musi być spełniony warunek (6.41) lub (6.42). Wzdłuż linii wysięgu warunek brzegowy wyrażony poprzez funkcję prądu ma postać:

consty

∂Ψ =∂

. (6.46)

Warunki na granicy wyst ępowania dwóch gruntów o ró żnych współczynnikach filtracji. Warunki na granicy występowania dwóch gruntów o różnych współczynnikach filtracji musimy określić, gdy mamy do czynienia z ośrodkiem uwarstwowionym.


11

Rys. 6.6 Granica dwóch o środków o ró żnych współczynnikach filtracji.

Załóżmy, że woda gruntowa przepływa przez dwa grunty z różnymi współczynnikami filtracji 1k

i 2k , graniczącymi z sobą wzdłuż linii L M (rys 7.6 ). Dla każdej z warstw wzdłuż linii kontaktu LM

funkcja potencjału prędkości ma postać:

11 1 1( )

w

pk y cγ

Φ = − + + , (6.47)

22 2 2( )

w

pk y cγ

Φ = − + + , (6.48)

przy czym: 1p i 2p – odpowiednie ciśnienie na linii kontaktu w pierwszej i drugiej warstwie.

Ponieważ przy przejściu wody przez granicę dwóch ośrodków, ciśnienie winno się zmieniać w sposób ciągły, mamy: 1 2p p= .

(6.49)

Korzystając z warunku (6.49) i wyrażeń (6.47) i (6.48) otrzymujemy warunek brzegowy na funkcję potencjału prędkości w postaci:

1 2

1 2

ck kΦ Φ= + (6.50)

lub gdy dowolną stałą przyjąć równą zeru:

1 2

1 2k kΦ Φ= . (6.51)


12

Drugi warunek otrzymamy wiedząc, że składowa normalna wektora prędkości jest identyczna w jednym i drugim ośrodku (z prawa ciągłości przepływu). Oznaczając przez 1nv i 2nv normalne

składowe wektora prędkości wzdłuż linii kontaktu ośrodków, L M mamy:

1 2n nv v= . (6.52)

Oznaczając następnie dla każdego z ośrodków funkcje prądu 1Ψ i 2Ψ i korzystając ze wzoru

(6.16), warunek (6.52) można zapisać w postaci:

1 2

s s∂Ψ ∂Ψ=∂ ∂

, (6.53)

gdzie: s – styczna wzdłuż linii kontaktu. Obierając stałą całkowania równą zeru, otrzymamy na linii granicznej warunek (6.53) w postaci: 1 2Ψ = Ψ . (6.54)

Równania (6.51) lub (6.52) stanowią warunki brzegowe, jakie winny być spełnione wzdłuż linii kontaktu dwóch ośrodków o różnych współczynnikach filtracji. Zróżniczkujemy teraz (6.51) po zmiennej stycznej do łuku linii kontaktu warstw o różnych współczynnikach:

1 2

1 2

1 1

k s k s∂Φ ∂Φ=∂ ∂

. (6.55)

Wprowadzając składowe styczne wektora prędkości 1sv i 2sv otrzymamy:

1 2

1 2

s sv vk k

= . (6.56)

Na podstawie rys. 4.17 można zapisać:

11

1

s

n

v tgv

α= i 22

2 αtgv

v

n

s = , (6.57)

gdzie 1α i 2α oznaczają kąty między normalną do linii granicznej i wektorami prędkości.

Uwzględniając zależności między składowymi stycznymi i normalnymi wektorów prędkości w obydwu ośrodkach ((6.51); (6.56) i (6.57)), dostajemy:

2

2

1

1

k

tg

k

tg αα= . (6.58)

Równanie (6.58) okre śla prawo załamania strumienia filtracji na kontakci e dwóch warstw o różnych współczynnikach filtracji.


13

6.2 Metody rozwiązywania równań hydrodynamiki wód podziemnych płaskich zagadnień filtracji metodami analitycznymi.

6.2.1 Funkcja potencjału zespolonego. Rozważania przedstawione w tym podrozdziale oparte są na wynikach prac badawczych [Połubarinovej-Kocziny, 1977] oraz teorii funkcji analitycznych omówionej w monografii [Trajdosa-Wróbla, 1965] oraz pracach [Rembezy, 1984,1992, 1998], [Castany’ego, 1967], [Filcakova, 1960], [Wieczystego, 1982]. Wprowadźmy do naszych rozważań dowolną funkcję analityczną ( )zΩ=Ω . Każdą funkcję analityczną można przedstawić w postaci kombinacji liniowej dwóch funkcji zmiennych rzeczywistych ( )yx,Φ i ( )yx,Ψ w postaci: ( ) ( ) ( )yxiyxiyx ,, Ψ+Φ=+Ω=Ω . (6.59) Wykażemy teraz, że funkcje Φ i Ψ spełniają równania wprowadzone w rozdziale IV. Na wstępie rozważmy własności funkcji analitycznej Ω . W tym celu przypomnijmy, że zmienną zespoloną z wyrażamy wzorem:

z x iy= + , (6.60)

gdzie 1−=i . Pierwsze i drugie pochodne zmiennej zespolonej po x i y∂ ∂ są równe:

1=∂∂x

z , 0

2

2

=∂∂x

z,

iy

z =∂∂

, 02

2

=∂∂y

z.

Różniczkę zupełną funkcji z obliczamy ze wzoru:

dyy

zdx

x

zz

∂∂+

∂∂= ,

stąd: idydzdz += .

Obliczmy następnie pierwsze pochodne funkcji Ω po yix ∂∂ . Dostaniemy:

x

z

zx ∂∂

∂Ω∂=

∂Ω∂

skąd dostajemy, że zx ∂Ω∂=

∂Ω∂

,

a następnie

y

z

zy ∂∂

∂Ω∂=

∂Ω∂

z czego wynika, że z

iy ∂

Ω∂=∂Ω∂

.


14

Powyższe zależności pozwalają zapisać:

y

ix ∂

Ω∂=∂Ω∂

. (6.61)

Wiedząc, że:

x

ixx ∂

Ψ∂+∂Φ∂=

∂Ω∂

(6.62)

i

y

iyy ∂

Ψ∂+∂Φ∂=

∂Ω∂

(6.63)

oraz wstawiając związki (7.158) i (7.159) do równania (7.157) dostajemy:

0=

∂Ψ∂+

∂Φ∂−

∂Ψ∂−

∂Φ∂

xyyxi .

Równanie powyższe jest spełnione, gdy część rzeczywista i urojona jest równa zero. Otrzymujemy stąd związki:

yx ∂Ψ∂=

∂Φ∂

i xy ∂Ψ∂−=

∂Φ∂

. (6.64)

Związki (6.64) są związkami Cauchy – Riemanna [Trajdos-Wróbel, 1965]. Jak wiemy z geometrii analitycznej, funkcje constyxiconstyx =Ψ=Φ ),(),( są wzajemnie ortogonalne i spełniają warunek prostopadłości krzywych płaskich:

0=∂Ψ∂

∂Φ∂+

∂Ψ∂

∂Φ∂

yyxx (6.65)

Obliczmy następnie drugie pochodne funkcji Ω po yix ∂∂ :

2

2

2

2

zzzxzzxxxx ∂Ω∂=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

,

2

2

2

2

zzi

zi

yzi

zi

xyyy ∂Ω∂−=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

∂∂=

∂Ω∂

.

Sumując stronami powyższe związki dostajemy:

02 =Ω∇ . (6.66) Ponieważ


15

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

ix x x

iy y y

∂ Ω ∂ Φ ∂ Ψ= +∂ ∂ ∂∂ Ω ∂ Φ ∂ Ψ= +∂ ∂ ∂

(6.67)

dostaniemy: 2 2 2i∇ Ω = ∇ Φ + ∇ Ψ . (6.68) Biorąc pod uwagę związek (6.68) i równanie (6.66) otrzymujemy następujące dwa równania:

02 =Φ∇ i 02 =Ψ∇ . (6.69)

Możemy więc stwierdzić, że funkcje Φ i Ψ spełniają równania (6.69) i związki (6.64). Są więc, zgodnie z rozważaniami przedstawionymi w podrozdziale IV.2, odpowiednio: funkcją prądu Ψ i funkcją potencjału prędkości Φ .

Funkcję Ω będziemy nazywali dalej funkcją potencjału zespolonego i wyrazimy ją przy pomocy funkcji Φ i Ψ w postaci: Ψ+Φ=Ω i . (6.70) Spróbujemy następnie wyznaczyć prędkość filtracji w dowolnym punkcie obszaru filtracji przy pomocy funkcji potencjału zespolonego. Ze wzorów (6.64) wiemy, że:

yx

vx ∂Ψ∂=

∂Φ∂= ;

xyv y ∂

Ψ∂−=∂Φ∂= . (6.71)

Obliczymy pochodną funkcji Ω po zmiennej zespolonej z:

( ) ( )dz

zdz

Ω=Ω' . (6.72)

Różniczka zupełna funkcji Ω wyraża się wzorem:

( ) dyy

idxx

zd∂Ω∂+

∂Ω∂=Ω .

Wyrażając funkcję Ω w postaci (6.70) i uwzględniając (6.71) dostajemy:

( ) dyy

iy

idxy

ix

zd

∂Φ∂−

∂Ψ∂+

∂Ψ∂+

∂Φ∂=Ω .

Korzystając następnie ze związków (6.71) możemy zapisać:

( ) ( )( )idydxivvzd yx +−=Ω ,

stąd


16

( ) wivvz yx =−=Ω' . (6.73)

Rys. 6.7 Schemat do wizualizacji zespolonej pr ędkości filtracji.

Funkcję ( )w z będziemy nazywali prędkością zespoloną filtracji. Znając funkcję w,

można określić funkcję w sprzężoną z funkcją w (rys.6.7) : yx ivvw += . (6.74)

Długość wektora filtracji v

r

można wyrazić wzorem:

wwv ⋅=r . (6.75)

Znając funkcję potencjału zespolonego można określić funkcję prędkości zespolonej filtracji, a, co za tym idzie, określić składowe wektora filtracji x yv i v .

6.2.2 Sposób rozwi ązywania płaskich zagadnie ń przepływu metod ą przekształce ń konforemnych.

Sposób rozwiązywania płaskich zagadnień teorii filtracji przy wykorzystaniu funkcji analitycznej przedstawiono w wielu monografiach i podręcznikach akademickich. Pierwsze prace wraz z licznymi przykładami zostały wykonane przez Połubarinovą-Koczinę w latach 40-tych XX wieku [Połubarinova-Koczina, 1977]. Wiele późniejszych autorów publikacji (np. [Castany, 1967] korzystało z metodyki rozwiązywania płaskich zagadnień teorii filtracji opracowanej przez tę uczoną. W niniejszej pracy omówimy metodykę postępowania pozwalającą na znalezienie rozwiązań w postaci zamkniętej dla najbardziej istotnych zadań z zakresu budownictwa wodnego. Przedstawimy ponadto przykłady liczbowe dla niektórych zagadnień brzegowych, aby zorientować czytelnika o przydatności przedstawionego sposobu uzyskiwania rozwiązań praktycznych problemów inżynierskich.

Określmy na brzegach obszaru filtracji warunki brzegowe. Następnie poszukujmy takiej funkcji analitycznej, która spełnia warunki brzegowe zadania. Jeżeli istnieje trudność w określeniu bezpośrednio funkcji potencjału zespolonego, możemy poszukiwać funkcji prędkości zespolonej, spełniającej warunki brzegowe zadania, a następnie określić poprzez


17

całkowanie funkcję potencjału zespolonego. Następnie należy rozdzielić funkcję Ω na część rzeczywistą i urojoną uzyskując tą drogą funkcje Φ i Ψ . Pozwala to na wyznaczenie linii

constΦ = i constΨ = , tworzących w obszarze filtracji siatkę hydrodynamiczną przepływu. Korzystając z własności funkcji prądu Ψ , możemy określić wydatek pomiędzy dowolnie wybranymi z obszaru filtracji linii prądu.

Sposób rozwiązania zobrazujemy na przykładach konkretnych zagadnień brzegowych. Przedstawiona metoda jest łatwym sposobem wykorzystania odwzorowań konforemnych. Dla bliższego wyjaśnienia, czym są rozwiązania oparte na odwzorowaniach konforemnych, weźmy pod rozwagę funkcję analityczną:

( )Z f z= , (6.76) którą można wyrazić `przy pomocy dwóch funkcji X i Y wzorem: Z X iY= + (6.77) i która jest funkcją zmiennej zespolonej z x iy= + . Jeżeli funkcja ( )f z jest ciągła i spełnia

równania Cauchy – Riemanna, czyli jeżeli:

,X Y X Y

orazx y y x

∂ ∂ ∂ ∂= = −∂ ∂ ∂ ∂

,

wówczas funkcja ( )f z jest holomorficzna w całej płaszczyźnie zmiennej zespolonej z. Jeżeli

dodatkowo założymy, że funkcje X i Y mają ciągłe pierwsze i drugie pochodne cząstkowe, to można wykazać, że są to funkcje harmoniczne czyli, że:

2 20 0X oraz Y∇ = ∇ = . W pracy [Trajdosa – Wróbla, 1965] przedstawiono dowody dwóch twierdzeń: Twierdzenie I Jeżeli w funkcji harmonicznej ( , )u X Y wprowadzimy nowe zmienne x,y, względem których zmienne są harmonicznymi sprzężonymi, to funkcja

( ) ( ) ( ), , , ,u X x y Y x y u X Y=

będzie harmoniczna względem nowych zmiennych.

Twierdzenie II

Jeśli ( ),X x y i ( ),Y x y są funkcjami harmonicznymi sprzężonymi i w pewnym obszarze ich

jakobian ( )( )

,

,

X Y

x y

∂∂

jest różny od zera, to w tym obszarze funkcje odwrotne ( ),x X Y i

( ),y X Y są funkcjami harmonicznymi sprzężonymi.


18

Załóżmy, że funkcja ( )Z f z= jest holomorficzna i posiada pierwszą pochodną różną od zera.

Jeżeli jakobian odwzorowania jest różny od zera:

0

X X

x yJ

Y Y

x y

∂ ∂∂ ∂

= ≠∂ ∂∂ ∂

(6.78)

z tego wynika, że ( )22

2' 0

X YJ f z

x y

∂ ∂ = + = ≠ ∂ ∂ , zgodnie z przyjętym założeniem.

W takim przypadku obrazem linii jest linia, a obrazem obszaru – obszar. Niech przez ustalony punkt 0z przechodzi zadana gładka liniaC . Wówczas przez obraz 0Z tego punktu przechodzi

gładki obraz 'C tej linii. Wybierzmy na linii C punkt z bliski 0z . Obrazem punktu z będzie oczywiście punkt

Z na krzywej 'C bliski 0Z . Poprowadźmy przez 0z i z sieczną linii C oraz przez punkt 0Z i

Z (niebędącą na ogół obrazem siecznej liniiC ) sieczną linii 'C [rys. 41].

Rys. 6.8 Odwzorowanie funkcji holomorficznej (wg. [ Trajdosa – Wróbla, 1967]). Wiemy z przyjętego założenia, że

( )0

00

0

' lim 0z z

Z Zf z

z z→

−= ≠−

. (6.79)

Obliczając argument pochodnej dostajemy:

( )

( ) ( )0

0 0

00

0

0 0

' lim

lim lim 2 ,θ π

→

→ →

−= = −

= − − − = Θ − +

z z

z z z z

Z ZArg f z Arg

z z

Arg Z Z Arg z z k

(6.80)


19

gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Z tego wynika, że każda krzywa wychodząca z punktu

0z doznaje obrotu, przy odwzorowaniu za pomocą funkcji holomorficznej, o kąt równy

( )0'Arg f z . W pracy udowodniono twierdzenie o kącie względnym pomiędzy dwoma liniami

o treści: Twierdzenie III Kąt względny pomiędzy dwoma liniami w danym punkcie nie ulega zmianie przy odwzorowaniu za pomocą funkcji holomorficznej o pochodnej w tym punkcie różnej od zera.

Rozpatrzmy dwie krzywe 1C i 2C na płaszczyźnie z oraz odpowiadające im obrazy '

1C i '2C

przedstawione na rys. 42 Zgodnie z oznaczeniami na rys. 42 i uwzględniając poprzednie rozważania – wzór (6.80) możemy zapisać: 1 1 2 2ω θ θ= Θ − = Θ − . (6.81)

Powyższa równość zachodzi z dokładnością do wielokrotności kąta 2π . Odwzorowanie zachowujące względne kąty nazywamy odwzorowaniem konforemnym . Każda funkcja holomorficzna o pochodnej różnej od zera określa przekształcenie konforemne. Jeżeli w przekształceniu konforemnym kąty nie ulegają zmianie, a długości zmieniają się proporcjonalnie do modułu pochodnej, to pola zmieniają się proporcjonalnie do kwadratu modułu pochodnej, co wynika bezpośrednio z definicji jakobianu(6.78) przekształcenia konforemnego.

Rys. 6.9 Idea odwzorowa ń konforemnych (wg. [Trajdosa – Wróbla, 1967]). Dwa podstawowe zagadnienia teorii odwzorowań konforemnych to:

znalezienie obrazu danego zbioru (linii, obszaru) przy zadanym odwzorowaniu konforemnym,

znalezienie odwzorowania konforemnego, które danemu obszarowi przypisuje określony obraz, będący również obszarem.

Drugie z zagadnień jest bardziej skomplikowane i nie zawsze potrafimy je rozwiązać. O jego rozwiązalności świadczy jednakże twierdzenie Riemanna, będące jednym z podstawowych twierdzeń teorii odwzorowań konforemnych.


20

Twierdzenie Riemanna. Każde dwa jednospójne obszary, których brzegi składają się więcej niż z jednego punktu, można na siebie odwzorować konforemnie.

Twierdzenie Reimanna, jak to pokazał [Trajdos Wróbel, 1967], zawiera jednakże jedno istotne założenie o jednospójności obu obszarów, wynikające z tego, że odwzorowanie konforemne jest rodzajem odwzorowania topologicznego, przy którym zachowuje się rodzaj spójności obszaru. Jeśli każdej wartości zmiennej zespolonej z przyporządkujemy jedną wartość funkcji Ω :

),(),( yxiyx Ψ+Φ=Ω oraz założymy, że istnieje taka funkcja ( )f z , posiadająca pierwszą pochodną po z , taką, że: ( )f zΩ = , (6.82)

to możemy stwierdzić,że Ω jest funkcją zmiennej zespolonej z , co można zapisać w postaci wzoru (6.82). Można więc stwierdzić, że funkcja ta przyporządkowuje punktom płaszczyzny z x iy= + punkty płaszczyzny Ψ+Φ=Ω i (rys. 7.33). Możemy, więc wysnuć wniosek, że

funkcja ( )f z odwzorowuje płaszczyznę zmiennej z na płaszczyznę zmiennej Ω i jest funkcją

holomorficzną. Przyjmijmy dla przykładu: 2 2 2x y oraz xyΦ = − Ψ = . (6.83) Podobnie jak w przypadku płaszczyzny zmiennej zespolonej z na płaszczyźnie Ω , proste

1CiC =Ψ=Φ przecinają się pod kątem prostym. Wynika stąd bezpośrednio, że odwzorowanie f(z) zachowuje kąty. A właśnie takie odwzorowanie, które zachowuje kąty, co pokazaliśmy powyżej, nazywamy odwzorowaniem konforemnym.

„a”

„b”

Rys. 6.10 Siatka hydrodynamiczna przepływu na płasz czyźnie z=x+iy („a”) i na

płaszczy źnie Z X iY= + („b”) .


21

Krzywe ( ), ) iZ x y C= oraz ( ) /, iY x y C= (rys. 7.10) na płaszczyźnie z x iy= + będziemy

nazywać poziomicami odwzorowania konforemnego. W przypadku zagadnień bardziej złożonych płaskiego przepływu teorii filtracji wód podziemnych mamy do czynienia z sytuacją, gdy znany jest obszar filtracji oraz wartości funkcji

ΨΦ i na jego brzegu, natomiast nie znamy funkcji realizującej odwzorowania konforemne wewnątrz obszaru, mamy wiec do czynienia z zagadnieniem trudniejszym. Tego typu problem pozwala nam rozwiązać teoria przekształceń konforemnych oparta na wzorze Christoffela – Schwarza. Wzór ten pozwala wg. [Połubarinovej-Kocziny, 1977] określić funkcje realizujące przekształcenie konforemne na obszary wielokątne, jeżeli przyjmiemy, że na płaszczyźnie z=x+iy jest określony wielokąt o wierzchołkach Mi (M1,M2,.....Mn) (rys. 7.11). Kąty odpowiadające poszczególnym wierzchołkom tego wielokąta oznaczmy iα , a przez iabędziemy oznaczać współrzędne rzeczywiste tych wierzchołków. Jeżeli, przez t określimy zmienną całkowania (zmienna zespolona), to wzór Christoffela – Schwarza realizujący odwzorowanie konforemne można przedstawić w postaci:

( ) ( ) ( )1 21 1 1

01 2 ...

n

t

n

dtz M Nt a t a t a

α α απ π π

− − −= +

− − −∫ . (6.84)

Rys. 6.11 Schemat do wzoru Christoffela – Schwarza.

Kąty iα odpowiadające określonym punktom iA we wzorze (6.84) odczytujemy z

wielokąta na rys. 44 . Wielkości stałych odpowiadające części rzeczywistej zmiennej t – ia są

stałymi rzeczywistymi. Wartość tych stałych po uwzględnieniu stałej całkowania N odpowiadają długości boków wielokąta o wierzchołkach iA i. Stałe M i N są stałymi wyrażonymi

przez liczby zespolone. Stosując wzór (6.84) należy mieć na uwadze zgodnie z pracą [Rembezy, 1998] kilka jego właściwości:

1. człon we wzorze Christoffela – Schwarza, który zawiera stałą ∞=ka , jest w nim

pomijany, 2. trzy stałe ia mogą mieć wartość dowolną. Wynika to z twierdzenia Riemanna o

jednoznaczności odwzorowań konforemnych. Zazwyczaj przyjmuje się wartość tych stałych równą 0,1, ∞ .


22

Praktyczne wykorzystanie wzoru Christoffela - Schwarza znaleźć można w pracach [Połubarinovej-Kocziny, 1977], [Aravina i innych, 1953], [Castany’ego, 1967], [Rembezy, 1998] i wielu innych. Bardzo istotnym elementem budowania rozwiązań brzegowych jest stosowanie metody superpozycji rozwiązań zagadnień prostszych przy analizowaniu zagadnień bardziej skomplikowanych. Generalnie można stwierdzić, że jeżeli 1 2, , nΩ Ω ΩK są potencjałami

zespolonymi określającymi przepływy proste, to potencjał Ω będący sumą tych potencjałów przepływów prostych jest, zgodnie z pracą [Rembezy, 1998], potencjałem odpowiadającym przepływowi złożonemu w postaci:

1 1 2 2 3 3 n nc c c cΩ = Ω + Ω + Ω + ΩK , (6.85)

przy czym 1 2 3, , , nc c c cK są stałymi.

6.2.3 Wykorzystanie funkcji potencjału zespolonego filtracji do rozwi ązywania zagadnie ń dwuwymiarowych przepływu filtracyjnego.

Rozwiązywanie płaskich zagadnień metodą analityczną było w czasach, gdy komputery nie miały powszechnego zasięgu, a ich zdolności obliczeniowe były ograniczone, jedyną metodą uzyskania rozwiązań zagadnień filtracji pozwalających na wykonywanie obliczeń inżynierskich w konkretnych zagadnieniach budownictwa wodnego, ochrony środowiska i hydrogeologii inżynierskiej. Obecnie istnieją przyjazne dla użytkownika programy komputerowe, które pozwalają na nawet „domowym” sprzęcie komputerowym rozwiązywać złożone zagadnienia brzegowe. Metodyka rozwiązań przedstawionych w tym podrozdziale nic nie straciła jednakże na swojej wartości. Uzyskane przedstawionymi poniżej metodami rozwiązania pozwalają dobrze zrozumieć sens fizyczny otrzymanych w rozwiązaniu funkcji oraz przeprowadzić pełną analizę uzyskanych rozwiązań, co jest możliwe tylko w ograniczonym zakresie w przypadku rozwiązań metodami numerycznymi. Wiele prezentowanych poniżej rozwiązań, stanowiących istotną część podręczników akademickich i publikacji oraz monografii poświęconych teorii filtracji, zawdzięczamy [Połubarinovej-Koczinie, 1977], i szkole rosyjskiej w tym także uczonym: [Aravinowowi i innych, 1953], [Filczakovowi, 1960] oraz w Polsce [Rembezie, 1984, 1992, 1998]. Uzyskane tą metodą rozwiązania służą między innymi do testowania programów obliczeń płaskich zagadnień przepływu metodami numerycznymi.

Zajmiemy się przykładami zastosowań powyższej metody do zagadnień istotnych z punktu widzenia budownictwa wodnego. Przedstawimy na początku rozwiązania zagadnień ze zwierciadłem swobodnym mające swoje zastosowanie przede wszystkim w analizie przepływów przez przepuszczalne grodze ziemne, wały przeciwpowodziowe. Następnie omówimy sposób znajdowania funkcji potencjału zespolonego Ω dla przypadku opływu fundamentu budowli piętrzących, ścianek szczelnych, oraz opływu budowli piętrzącej ze współdziałającą ścianką szczelną i drenażem. W rozwiązaniach tych, uzyskanych przez innych autorów, przedstawimy poszerzoną analizę uzyskanych wyników oraz dodatkowo przedstawimy obliczenia potencjału sił masowych filtracji oraz przewidywanej strefy upłynnienia gruntu po przekroczeniu warunku granicznego stateczności filtracyjnej. 6.2.3.1 Rozwi ązania zagadnie ń brzegowych ze zwierciadłem swobodnym. 6.2.3.1.1 Szczelina drena żowa w warstwie nieprzepuszczalnej (Parabola Limasset’a).


23

. Rozważmy półprzestrzeń wypełnioną ośrodkiem porowatym o współczynniku filtracji k, która jest ograniczona od dołu granicą nieprzepuszczalną (rys.6.12)

Rys. 6.12 Schemat zadania dotycz ącego dopływu do szczeliny drena żowej.

Wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej na odcinku o długości równej d pracuje dren poziomy wykształcony w formie wąskiej szczeliny drenażowej. Wskutek działania drenu w obszarze półprzestrzeni wytwarza się strefa wód gruntowych oddzielona od strefy aeracji powierzchnią swobodną. Poszukujemy takiej funkcji Ω , aby zostały spełnione warunki brzegowe wzdłuż drenu, wzdłuż warstwy nieprzepuszczalnej oraz wzdłuż linii powierzchni swobodnej wód gruntowych. Na powierzchni swobodnej, gdy pomijamy ciśnienie powietrza i nie uwzględniamy występowanie wód kapilarnych, muszą być spełnione następujące warunki brzegowe: 0kyΦ + = , (6.86)

I 0Ψ = Ψ , (6.87)

gdzie 0Ψ – stała odpowiadająca wartości funkcji prądu dla powierzchni swobodnej.

Wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej [ 0; 0y x= ≤ ] (patrz rys. 7.12), musi być spełniony warunek: 0Ψ = . (6.88) Wzdłuż granicy przepuszczalnej [ 0; 0y x= ≥ ] (patrz rys. 7.12), warunek brzegowy ma postać: 0Φ = . (6.89) Wybieramy kolejne funkcje ( )z f= Ω , poczynając od funkcji liniowej. Funkcja liniowa, jak

łatwo sprawdzić, nie spełnia warunków brzegowych. Rozpatrzmy następnie funkcję kwadratową. Ponieważ w tym przypadku dla dowolnego punktu obszaru filtracji: 2z A= Ω . (6.90)


24

sprawdzimy, czy funkcja ta może mieć powierzchnię swobodną, spełniającą warunki brzegowe. Dla powierzchni swobodnej mamy warunki brzegowe (6.86) i (6.87), a więc wstawiając je do równania (6.90) otrzymujemy:

( )20Ψ+−=+ ikyAiyx . (6.91)

Po wykonaniu prostych przekształceń możemy zapisać:

( ) 02 020

22 =Ψ++Ψ+− yAkyiAyAkx ,

stąd dostajemy:

( )20

22 Ψ−= ykAx (6.92)

oraz yAky 02 Ψ−= . (6.93)

Z równania (6.93) otrzymujemy bezpośrednio wartość stałej A:

02

1

Ψ−=

kA (6.94)

Podstawiając wartość stałej A z (6.94) do równania (6.92) otrzymujemy funkcję opisującą kształt linii zwierciadła swobodnego spełniającą nałożone na tę linię warunki brzegowe:

k

yk

x22

02

0

Ψ+

Ψ−= . (6.95)

Krzywa określona powyższym równaniem jest nazywana w niektórych anglosaskich podręcznikach akademickich (np. Castany’ego []) parabolą Limasseta. Oznaczając wierzchołek paraboli przez d , z

równania (6.95) możemy określić relację pomiędzy wydatkiem dopływającym do drenu 0Q = Ψ a

odciętą d: 2Q kd= . (6.96) Przykład liczbowy. Przyjmując różne wartości d otrzymujemy krzywe zwierciadła swobodnego. Przyjmując 0,01 /k m s=

i oznaczając przez 100L m= przyjęty przez nas „zasięg leja depresji” mierzony od początku układu współrzędnych, oznaczmy przebieg krzywej zwierciadła swobodnego dla kilku przyjętych wartości d:


25

2

2

2

0,10 0,001 0.002 ,

1,00 0,01 0.02 ,

2,0 0,02 0.04 .

= → = → =

= → = → =

= → = → =

d md m Q

L s

d md m Q

L s

d md m Q

L s

Na rys. 7.13 przedstawiono kształt krzywej depresji dla podanych wyżej danych w bezwymiarowym układzie współrzędnych:

2

2 2

2y Q x Q

L kL L k L = − +

. (6.97)

Rys. 6.13 Krzywa zwierciadła swobodnego w zale żności od odci ętej d [d= 0,1m , 0,5m, 1m, 2m];(obliczenia – program Maple8).

Znając stałą A, funkcję potencjału zespolonego Ω można zapisać w postaci:

2

02

1 ΩΨ

−=k

z . (6.98)

Kładąc: Ψ+Φ=Ω i , mamy:


26

( )2

02

1 Ψ+ΦΨ

−=+ ik

iyx .

Po prostych przekształceniach dostajemy:

( )22

02

1 Ψ−ΦΨ

−=k

x , (6.99)

0Ψ

ΦΨ−=k

y . (6.100)

Sprawdzimy obecnie, czy są spełnione założone warunki brzegowe na pozostałych brzegach. Wiemy, że wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej (ujemna półoś x) powinien być spełniony warunek 0=Ψ . Wstawiamy 0=Ψ do wyrażeń (6.99) i (6.100). Otrzymamy:

0

2

2 ΨΦ−=k

x ; 0y = . (6.101)

Ponieważ dla dowolnej 0xΦ → < , równania (6.101) są równaniami ujemnej półosi x. Wzdłuż granicy przepuszczalnej (szczeliny drenażowej) winien być spełniony warunek 0=Φ . Podstawiając 0=Φ do wyrażeń (6.99) i (6.100) otrzymamy:

0

2

2 ΨΨ=k

x ; 0y = , (6.102)

ponieważ dla dowolnego 0xΨ → > równania (6.102) są równaniami opisującymi dodatnią półoś x

na odcinku k

x2

0 0Ψ<< . Można, więc stwierdzić, że przyjęta funkcja potencjału zespolonego Ω

spełnia wszystkie założone warunki brzegowe zadania. Aby wyznaczyć linię prądu dla const=Ψ przekształcimy, wyrażenia (6.99) i (6.100). Z wyrażenia (6.100) wyznaczmy Φ :

yk

ΨΨ

−=Φ 0 . (6.103)

i podstawiając do wyrażenia (6.99) dostajemy:

0

22

20

22 ΨΨ+

ΨΨ

−=k

yk

x . (6.104)


27

Rys 6.13 Linie pr ądu w zadaniu ze szczelin ą drena żową. Podstawiając pod Ψ kolejne wartości z przedziału ( )0,0 Ψ otrzymamy kolejne linie prądu (rys.

7.13). Jak to wynika ze wzoru (6.104), wszystkie linie prądu opisują równania parabol, których

wierzchołki znajdują się na dodatniej półosi x na odcinku k

x2

0 0Ψ≤< (rys. 7.13).

Równania powierzchni ekwipotencjalnych otrzymamy obliczając z równania (6.100) Ψ:

yk

ΦΨ

=Ψ 0 (6.105)

i podstawiając (6.105) do równania (6.99) dostajemy równania linii ekwipotencjalnych w postaci:

2

202

02 2

kx y

k

Ψ Φ= −Φ Ψ

, (6.106)

które stanowią dla przyjętych wartości stałych Φ rodzinę parabol o wierzchołkach na ujemnej półosi x. Siatkę hydrodynamiczną dla rozpatrywanego przypadku przedstawiono na rys. 48. Wiedząc, że ∆Ψ=Q możemy obliczyć wydatek dla całego obszaru filtracji: 0Ψ=Q . (6.107)

6.2.3.1.2 Szczelina drena żowa w warstwie przepuszczalnej .


28

Rys. 6.14 Schemat zadania szczeliny drena żowej w warstwie przepuszczalnej. Przypadek ten różni się od poprzedniego tym, że zamiast warstwy nieprzepuszczalnej mamy ”przyłączoną” do obszaru przepływu półprzestrzeń przepuszczalną (rys.7.14). Nie będziemy szczegółowo analizowali tego przypadku, gdyż sposób postępowania jest identyczny jak w poprzednim podrozdziale.

Rys. 6.15 Siatka hydrodynamiczna przepływu dla przy padku szczelny drena żowej w warstwie przepuszczalnej.

Wszystkie linie prądu są współogniskowymi parabolami o równaniach uzyskanych w podrozdziale 7.2.3.1.1 z tą różnicą, że dla Ψ należy jednak przyjmować wartości od 0Ψ do

∞− . Siatkę hydrodynamiczną przepływu dla tego przypadku przedstawiono na rys. 7.15. Zajmiemy się za to konstrukcją izobar (linii jednakowego ciśnienia), izotach (linii jednakowej prędkości), izoklin (linii, wzdłuż których wektor prędkości posiada jednakowy kierunek).

Konstrukcja Izobar. W celu określenia rodziny krzywych izobarycznych przypominamy zależności między potencjałem prędkości, a ciśnieniem:


29

+−=Φ y

Pk

wγ.

Zależność tę można napisać w postaci:

yk

P

w

+Φ=−γ

.

Stąd widać, że mając określoną siatkę hydrodynamiczną przepływu można znaleźć izobary metodą graficznego dodawania (rys. 51).

Rys. 6.16. Siatka izobar uzyskana metod ą graficznego dodawania. Przyjmujemy dla przykładu, że w obszarze filtracji mamy określone linie jednakowej wysokości hydraulicznej

1;2;3;4HkΦ= − = K . (rys.6.16).

Wykreślamy linię poziomą o równaniach: 1, 2, 3,y y y y N= = = =K .

W przecięciu linii y = 1 z linią H = +1 dostajemy 011 =−=w

p

γ, z linią H = +2 112 =−=

w

p

γ

itd. Określamy w ten sposób w

p

γwe wszystkich punktach tak uzyskanej krzywoliniowej siatki.

Łączymy punkty, w których w

p

γma taką samą wartość i dostajemy izobary dla

w

p

γ=1,

w

p

γ=2

itd.. Dla rozpatrywanego zagadnienia nietrudno znaleźć równanie izobar. W tym celu wystarczy wyłączyć Ψ z równania (6.100) i po podstawieniu do (6.99) rozwiązać to równanie względem Φ . Otrzymamy równanie czwartego stopnia:


30

022

1 2024

0

=Ψ

−Φ+ΦΨ

yk

xk

. (6.108)

Przyrównując ky+Φ do stałej C otrzymamy dla izobar równanie czwartego stopnia:

( ) ( )[ ]xkkyCkyCyk 02222

02 2 Ψ+−−=Ψ . (6.109)

Rodzina izotach i izoklin. Określenie siatki izotach i izoklin jest ważne wtedy, gdy istnieje niebezpieczeństwo sufozji rozrzedzania gruntu itp., na przykład pod zaporami wodnymi. Izotachy i izokliny znakomicie ułatwiają nam analizę „stateczności filtracyjnej” gruntu w obszarze budowli wodnych. Wykonajmy operację obliczenia logarytmu prędkości zespolonej filtracji i rozdzielmy część rzeczywistą i urojoną: wiww arglnln += . (6.110)

Stąd dostajemy: ϑivw += lnln , (6.111) gdzie: v– wartość bezwzględna wektora prędkości ϑ - kąt między wektorem a osią odciętych. Ponieważ lnw jest funkcją analityczną, więc linie lnv const= i constϑ = tworzą rodziny krzywych wzajemnie ortogonalnych. W rozpatrywanym przez nas przypadku szczeliny drenażowej w warstwie przepuszczalnej, możemy więc uzyskać równanie izotach i izoklin w postaci zamkniętej. Istotnie na podstawie (6.98) mamy:

02k zΩ = − Ψ . (6.112)

Stąd:

z

k

dz

dw

0Ψ=Ω= . (6.113)

Logarytm prędkości zespolonej równy jest:

0 1

ln ln ln arg2

k yw z i tgz xΨ = − = − +

. (6.114)


31

Rys.7.17 Rodzina izotach i izoklin. Widać stąd, że izotachy stanowią koncentryczne koła o promieniu r = const i środku w

ognisku parabol (0,0), natomiast izokliny są to promienie, wychodzące z ogniska (rys. 7.17). Wielkość prędkości równa jest współczynnikowi filtracji k wzdłuż okręgu, który jest styczny do swobodnej powierzchni (w miejscu styku tej powierzchni ze szczelina drenażową).

II

Rys. 7.18 Wykresy składowej yv w zależności od poziomu iy :

a) / 0.01y L = , b) / 0.1y L = , c) / 0.5y L = , d) / 1.0y L = , e) / 2.0y L = .


32

Znając funkcje potencjału prędkości Φ możemy określić funkcję potencjału ℜ reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepływu filtracyjnego z polem sił ciężkości cząstek gruntu dla dodatniej półosi x (dla ujemnej półosi nie znamy oddziaływania od ciężaru naziomu):

g

yk

ρ ∗ℜ = Φ − ∆ (6.115)

otrzymujemy dla rozpatrywanego przypadku:

( )2 20g x x y yk

ρ ∗Ψℜ = ± − + + − ∆ , (6.116)

gdzie ( )1 )os fρ∗∆ = − określa ciężar objętościowy gruntu z uwzględnieniem wyporu. Różniczkując

potencjał sił masowych ℜ po zmiennych x i y dostajemy składowe sił masowych działających na

szkielet ośrodka porowatego Sr

:

2 2

2 22x

x x y

L L LdS g

x L x y

L L

ρ

− + + ∂ℜ = =∂ +

(6.117)

i

2 2

2 22y

x x y

L L LdS g

L x y

L L

ρ ∗

− + + = − ∆

+

. (6.118)

Przykładowo przedstawimy wpływ filtracji na wielkość sił masowych oddziałujących na szkielet ośrodka (rys. 6.19 i 6.20). Na pierwszym z rysunków przedstawiono pole wektorowe sił

masowych Sr

dla przypadku, gdy mamy do czynienia z niewielkim wydatkiem 2

0,002mQ s=

, co odpowiada skrajnej odciętej linii zwierciadła swobodnego 0,1d m= przy przyjęciu zasięgu

leja depresji 100,0L m=


33

Rys. 6.19. Pole sił masowych dla 2

0,002mQ s= .

Dla porównania pokazano pole sił masowych, gdy mamy do czynienia z dziesięciokrotnie większym wydatkiem, co odpowiada odciętej 1,0d m= .

Rys. 6.20. Pole sił masowych dla 2

0,02mQ s= .

Z porównania obydwu rysunków wynika, jak znaczny wpływ mają siły unoszenia filtracji na wielkość wypadkowych sił masowych oddziaływujących na szkielet ośrodka. Na rys. 7.20 daje się zauważyć wektory skierowane w przeciwnym kierunku do sił ciężkości, co może powodować lokalne upłynnienie gruntu. Szczególnie niebezpieczne dla stateczności filtracyjnej są w tym przypadku składowe poziome sił masowych w okolice drenu. Korzystając ze wzoru (6.117) i upraszczając nieco nasze zagadnienie, obliczmy zasięg strefy granicznej uwzględniając jedynie składową poziomą filtracji xS .

Warunek stanu granicznego filtracji dla rozpatrywanego przypadku ma postać:


34

( )

2 2

2 22

x x y

L L Ldtg

L gx y

L L

ϕρ

∗

− + + ∆ ≥ +

, (6.119)

gdzie ϕ kat tarcia wewnętrznego ośrodka. Powyższy warunek prowadzi do określenia krzywej granicznej obejmującej obszar, w którym spełniony jest warunek (6.119) czyli składowe poziome prędkości przekraczają wartości dopuszczalne, aby nie nastąpiło upłynnienie ośrodka porowatego. Oczywiście zgodnie z przyjętymi założeniami, zakładamy, że ośrodek nie posiada spójności, czyli 0,0c Pa= . Wzór na krzywą graniczną ma w tym przypadku postać:

2

2 2

1 1 11 4

2 2

y x x xA

L L A L A A L = − − + + −

, (6.120)

przy czym ( )( )

2 2

2

tgA

dg

L

ϕ

ρ

∗∆=

. Krzywe graniczne dla kilku wartości d

L (zakładając, że 022ϕ = ,

31650os

KGg

mρ = oraz 3

1000KG

gm

ρ = ) przedstawiono na rys. 7.21.

Rys. 6.21. Zasi ęg krzywych granicznych dla ró żnych warto ści d=2m, 1m, 0.5m, 0,1m. Powyższe zależności zostały otrzymane bez uwzględnienia sił tarcia wynikających z obciążenia ciężarem ośrodka znajdującego się w strefie filtracji, mają więc jedynie znaczenie poglądowe. Uwzględnienie tych sił jest w tym przypadku niemożliwe, gdyż nie zakładaliśmy określonej wysokości nadkładu. Oczywiście znając tę wartość, bez trudu możemy określić rzeczywisty przebieg krzywych granicznych dla każdego z rozważanych przypadków. 6.2.3.1.3 Przepływ przez grodz ę ziemną posadowion ą na podło żu o nieograniczonej mi ąższości.


35

Rozważmy przepływ przez grodzę ziemną przepuszczalną dla wody, przedstawioną schematycznie w przekroju na rys. 6.22. Rozwiązanie tego zagadnienia zostało szczegółowo omówione w pracy [Remebezy, 1998], i w innym ujęciu w pracy [Strzeleckiego, Kosteckiego, 2006a]. Powtarzając za Rembezą tok postępowania, przeprowadzimy następnie szczegółową analizę uzyskanego rozwiązania.

Rys. 6.22. Schemat zagadnienia brzegowego. W przypadku zagadnień ze swobodnym zwierciadłem wody nie znamy kształtu zwierciadła swobodnego. Jest to więc zadanie z nieznanym brzegiem i nie możemy bezpośrednio wykorzystać wzoru Christoffela-Schwarza. Aby można było jednakże rozwiązać ten problem, została opracowana metoda dodatkowego odwzorowania poprzez funkcję potencjału Żukowskiego [Połubarinova-Koczina, 1977]. Potencjał Żukowskiego wyraża się przy pomocy zespolonego potencjału Ω wzorem:

1 2

iz i

kθ θ θ= − Ω = + . (6.121)

Stosuje się także inne postaci potencjału Żukowskiego, np. /z i kθ = + Ω lub ikzθ = Ω − . Podstawiając pod z x iy= + , dostajemy część rzeczywistą i urojoną potencjału Żukowskiego:

1 2x oraz yk k

θ θΨ Φ= + = − . (6.122)

Dla przyjętego układu odniesienia jak na rys. 58 możemy przedstawić schemat obliczeniowy naszego zagadnienia na płaszczyźnie potencjału zespolonego i na płaszczyźnie potencjału Żukowskiego rys. 7.23. Na płaszczyźnie potencjału zespolonego Ω znamy wartości potencjału w punktach:


36

0

0 0,

,

,

,

θθ

ψθ

θ

→ Ω = =→ Ω = =

→ Ω = + Ψ = +

→ Ω = + ∞ = ∞

m

cm c

m

A oraz

B kH oraz L

C kH i oraz Lk

D kH i oraz

(6.123)

gdzie mH oznacza różnicę wysokości hydraulicznej przed i za grodzą ziemną.

Rys. 6.23. Schemat obliczeniowy zagadnienia brzegow ego grodzy ziemnej. Analiza wzoru Christoffela-Schwarza i schematu obliczeniowego na rys. 6.23 pokazuje, że do uwzględnienia we wzorze:

( ) ( ) ( )1 21 1 1

01 2 ...

α α απ π π

− − −= +

− − −∫ n

t

n

dtz M Nt a t a t a

są dwa punkty oraz podstawienie:

1 1

2 2

0; ;2

; ;2,

,

πα

πα

θ

→ = =

→ = =

Ω

A a

B a L

z zastapimy przez

t zastapimy przez

, (6.124)

co pozwala zapisać wzór Christoffela-Schwarza dla naszego zagadnienia w postaci:

( )1 1

0 2 2

dM N

L

θ θ

θ θΩ = +

−∫ . (6.125)

Po pocałkowaniu dostajemy:


37

2

arcsinL

iM NL

θ− Ω = +

. (6.126)

Znając wartości potencjału zespolonego w punktach A i B, możemy wyznaczyć stałe M i N z układu równań:

0,

2

.2

π

π

+ =

− + = m

i M N

i M N kH

(6.127)

Dostajemy: mkHM i

π= oraz

2mkH

N = .

Ostatecznie zależność pomiędzy potencjałem zespolonym Ω oraz potencjałem Żukowskiego ma postać:

2

arccoskH L

L

θπ

− Ω =

. (6.128)

Po prostych przekształceniach wzór (6.128) można zapisać w postaci:

1 cos2 m

Lz i

k kH

π Ω Ω+ = −

. (6.129)

Uwzględniając, że z x iy= + oraz iΩ = Φ + Ψ , dostaniemy po wykonaniu przekształceń algebraicznych:

( ) ( )1 cos cosh2

mH Lx

πΨ = − + − Φ Ψ

%

%% (6.130)

oraz

( ) ( )sin sinh2

mH Ly

πΦ= + Φ Ψ%

%% , (6.131)

gdzie mkH

πΦ = Φ% i mkH

πΨ = Ψ% .

Określmy linię zwierciadła swobodnego podstawiając we wzorach (6.130) i (6.131):

0m

yoraz

HπΨ = Φ =% % . (6.132)

Ostatecznie dostajemy równanie zwierciadła swobodnego:


38

1

arcsinmHy x

L L Lπ= . (6.133)

Przyjmując 0,5;1;1,5mH

L= , krzywą zwierciadła swobodnego przedstawiono na rys. 7.24.

Rys. 6.24 Kształt zwierciadła swobodnego w zale żności od mH L dla zmiennych

bezwymiarowych u x L= oraz =by y L . Obliczmy następnie wartość funkcji prądu dla cieczy dopływającej do punktu C. Korzystając ze wzoru (6.130) oraz z warunku, jaki powinien być spełniony w punkcie C (warunek ekstremum funkcji):

0dz

d=

Ω, (6.134)

dostajemy:

2

arcsinm mC

kH Hh

Lπ π Ψ =

. (6.135)

Korzystając ze wzorów (6.131) i (6.132), możemy obliczyć równania linii prądu dla constΨ =% w postaci:


39

2

12

2arccos

cosh

14

211 ,

2 cosh

ππ

π

Ψ − + − = +

Ψ

Ψ + − + − Ψ

Ψ

m

m

m

HxHy L L

L L

Hx

L Lsh

%

%

%

%

%

(6.136)

gdzie 0 ≤ Ψ ≤ ∞% oraz powierzchni ekwipotencjalnych dla constΦ =% :

2

arcsin 2sin

11 cos 1 2 ,

2 sin

ππ

π

Φ− = − +

Φ

Φ − + − Φ + Φ

m

m

m

HyHx L Lh

L L

HyL L

%

%

%

%

%

(6.137)

gdzie 0 π≤ Φ ≤% . Obliczając linie prądu i powierzchnie ekwipotencjalne dla rozpatrywanego zagadnienie, na podstawie wzorów (6.136) i (6.137) dostajemy siatkę hydrodynamiczną przepływu, którą prezentujemy na rys. 7.51, przyjmując dla Φ% wartości: 0, 0.25*π /2, 0.5*π /2, 0.75*π /2, 1.0*π /2, 1.25*π /2, 1.5*π /2.


40

Rys. 6.25. Siatka hydrodynamiczna przepływu przy fi ltracji przez grodz ę ziemną posadowion ą na nieograniczonej warstwie przepuszczalnej dla 1.0mH L = .

Często dla celów praktycznych istotna jest długość „czynna” drenażu poziomego, czyli odległość 0L L− , gdzie, zgodnie ze schematem przedstawionym na rys. 6.25, 0L określa

odciętą punktu C. Znając wartość funkcji prądu dla linii prądu przechodzącej przez punkt C – wzór (6.135) możemy obliczyć odciętą 0L na podstawie wzoru (6.130):

( )0 1 cos2

Cm m C

m

i LL iH kH i i

k kH

ππ Ψ+ = + Ψ + − +

. (6.138)

Z równania (6.138) obliczymy wartość odciętej 0L :

0

2 21 cosh arcsin arcsin

2m m mH H HL

L h hL Lπ π π

= + −

. (6.139)

Wartość odległości BC oznaczymy przez d i na podstawie wzoru (6.139) obliczymy:

0

2 21 cosh arcsin arcsin

2m m mH H HL

d L L hL Lπ π π

= − = − +

. (6.140)

Przykładowo obliczymy względną wartość długości odcinka CB /d L w zależności od mH L

dla wartości 0 2mH

L≤ ≤ , co przedstawiono na rys. 6.26

Rys. 6.26. „Długo ść czynna” drenu w zale żności od mh H L= .

Obliczmy następnie wydatek dopływający do drenu na odcinku BCB, który uwzględniając dopływ od góry i od dołu wyniesie:

0

22 2 arcsinm mH H

Q kL hL Lπ

= Ψ =

. (6.141)


41

Zakładając, że 310k m s−= oraz 100,0L m= wartość wydatku dopływające na długości d do

drenu wynosi w zależności od mH L , dla wartości 0 2mH

L≤ ≤ co przedstawiono na rys. 6.27.

Oczywiście jest to wydatek na jednostkę długości grodzy (przyjmiemy w naszym przypadku na 1mb grodzy).

Rys. 6.27. Funkcja wydatku 3 /Q m s dopływaj ącego do drenu w zale żności od

mh H L= . Przejdźmy następnie do obliczenia pola wektorowego prędkości v

r

. Wychodząc z równania (7.229):

1 cos2 m

Lz i

k kH

π Ω Ω+ = −

,

zróżniczkujemy je po dz . Otrzymamy związek pomiędzy prędkością przepływu i funkcją potencjału zespolonego Ω w postaci:

sin2 m m

kw

Li

H kHπ π

= Ω+

, (6.142)

gdzie w - oznacza prędkość zespoloną filtracji. Po odpowiednich przekształceniach dostajemy następującą postać składowych prędkości filtracji xv i yv :


42

( )

2 2

2

2 2

sin cosh,

21 cos sinh sin cosh

2 2

1 cos sinh2

.

cos sinh 1 sin cosh2 2

ππ π

π

π π

Φ Ψ=

+ Φ Ψ + Φ Ψ

+ Φ Ψ=

Φ Ψ + + Φ Ψ

xm

m m

my

m m

Lv k

H L L

H H

L

Hv k

L LH H

%%

% %% %

%%

% %% %

(6.143)

Jak widać, powyższe wzory nie pozwalają na bezpośrednie obliczenie wartości składowych prędkości w obszarze filtracji, gdyż nie mamy możliwości bezpośredniego określenia wartości Φ% i Ψ% jako funkcji x i y, gdyż równania (6.136) i (6.137) są równaniami uwikłanymi. W pośredni sposób możemy jednakże określić wartości składowych, obliczając dla określonych wartości Φ% i Ψ% współrzędne punktów, w których te wartości występują, a następnie obliczyć składowe prędkości filtracji v

r

. Dla przykładu możemy policzyć składowe prędkości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego filtracji. Wiemy, że w tym przypadku:

0m

yi

H

πΨ = Φ =% % . (6.144)

Uwzględniając, że równanie krzywej zwierciadła swobodnego ma postać:

1arcsinmHy x

L L Lπ= ,

obliczmy składowe prędkości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego:

2

2

2

2

sin arcsin

,2

1 sin arcsin2

1.

1 sin arcsin2

ππ

π π

π π

=

+

=

+

m

xm

m m

y

m m

L x

H LLv k

H L L x

H H L

v kL L x

H H L

(6.145)

Dla zobrazowania tych wzorów wykonamy obliczenia przyjmując / 2mL H = i obliczmy

wielkości /xv k oraz /yv k , odnosząc te wielkości względem zwierciadła swobodnego

wyrażonego krzywą (6.133). Odpowiednie wykresy przedstawiono na rys. 6.28.


43

Rys. 6.28 Wykresy xv

k i yv

k wzdłu ż linii zwierciadła swobodnego.

Korzystając ze wzorów (6.143), możemy określić wielkość składowych prędkości

filtracji wzdłuż brzegu BCE. Wstawiając do powyższych wzorów wartości πΦ =% dostajemy:

0

1

1 sinh2

x

y

m m

v

v kL

H kH

π π

=

= Ψ+

. (6.146)

Rozważmy warunek stateczności filtracyjnej wzdłuż linii CE. Wektor prędkości filtracji ma kierunek przeciwny do sił ciężkości. Jeżeli składowa sił masowych yS spełnia warunek:

0yy

vS g

kρ ∗= + ∆ ≤ , (6.147)

to dla obszaru, w którym ten warunek jest spełniony, następuje proces upłynnienia gruntu. Interesować nas będzie obszar (określony zmienną x ) znajdujący się poza zasięgiem grodzy ziemnej. W obszarze grodzy należałoby uwzględnić dodatkowo rozkład sił masowych pochodzących od ciężaru grodzy. Uwzględniając drugi ze wzorów (6.146) w warunku (6.147) możemy obliczyć graniczną wartość, powyżej której zachodzi upłynnienie gruntu:

2

arcsin mgr

H gh

L

ρπ

∗

∗

∆ +Ψ = ∆ % . (6.148)

Aby znaleźć zakres odciętej x, dla której występuje proces upłynnienia gruntu, należy poszukać, dla jakiej wartości odciętej odpowiada wartość grΨ% . W tym celu wykorzystamy

równanie (6.136), przyjmując 0y = i dostajemy równanie:


44

( )

2

2 0,5arccos

cosh

4 0,5

0,5sinh 1 0.cosh

ππ

π

Ψ − + − +

Ψ

Ψ+ − + Ψ − = Ψ

kr m

m

kr

kr m

krkr

HxH L L

L

Hx

L L

%

%

%

%

%

(6.149)

Określenie bezpośrednie odciętej x jest trudne, gdyż powyższe równanie jest równaniem uwikłanym. Jedną z metod może być metoda polegająca na poszukiwaniu przecięcia się dwóch funkcji uzyskanych z przeniesienia jednego z członów równania na drugą stronę równania i określeniu każdej ze stron jako oddzielnej funkcji od x . Przyjmując, że funkcje te mają postać:

( )

( ) ( )

2 0,51

cosh

4 0,52 cos sinh 1 .

2 cosh

π

π π

Ψ − + − =

Ψ

+ Ψ − = Ψ − Ψ

kr m

kr

mkr

krm kr

Hx

L LF x

HxL L L

F xH

%

%

%

%

%

(6.150)

Poniżej przedstawiono dwa rozwiązania równania tą metodą dla mH L równego 1,5 i 2,5:

a) b) Rys. 6.29 Rozwi ązanie równania uwikłanego a) dla mH L =1,5; b) dla mH L =2,5.

Jak widać z rys. 7.29, dla mH L =1,5 nie zachodzi zjawisko upłynnienia, natomiast dla mH L=2,5 punkt graniczny ma w przybliżeniu wartość 1,25, więc w obszarze wypływu wody po stronie odpowietrznej może nastąpić zjawisko upłynnienia gruntu i jego wyporu.

W pracy Rembezy [Rembeza, 1998] przedstawił rozwiązanie dla przypadku grodzy posadowionej na gruncie o ograniczonej miąższości. Zadanie to ma jednak postać znacznie bardziej skomplikowaną niż przedstawione wyżej.


45

6.2.3.2 Zagadnienia przepływu wody pod ci śnieniem. 6.2.3.2.1 Płaski fundament zapory wodnej na warstwi e o niesko ńczonej miąższości . Na przepuszczalnej warstwie o współczynniku filtracji k, ograniczonej linią AD spoczywa fundament zapory wodnej na odcinku BC.

Rys. 6.30. Schemat zagadnienia przepływu pod fundam entem zapory wodnej. Po lewej stronie (patrz rys.6.30) zapory znajduje się zbiornik wody, w którym poziom

wody ponad terenem wynosi H1. Po prawej stronie mamy koryto rzeki, przy czym poziom wody ponad teren w przekroju (rys. 7.30) wynosi H2. Wzdłuż półprostych AB i CD mamy do czynienia z brzegiem przepuszczalnym, więc składowa styczna prędkości do tych brzegów jest równa zeru: 0; 0x yv v= ≠ . (6.151)

Natomiast dla brzegu BC mamy do czynienia z brzegiem nieprzepuszczalnym, więc

składowa normalna do tego brzegu jest równa zeru: 0; 0y xv v= ≠ . (6.152)

Wiemy ponadto, że dla ±∞→x lub ±∞→y obydwie składowe prędkości →v winny

dążyć do zera, więc prędkość zespolona w:

x yw v iv= − (6.153)

powinna również dążyć do zera, czyli:

0lim =±∞→

wz

. (6.154)


46

Warunki brzegowe zadania dają się przedstawić w prostej postaci przy pomocy składowych prędkości (6.151), (6.152), więc będziemy poszukiwali funkcji potencjału zespolonego w sposób pośredni, poprzez określenie najpierw funkcji prędkości zespolonej w. Przyjmując układ współrzędnych, jak na rys. 7.53, widzimy zgodnie z (6.151) i (6.152), że: - dla bx < w ma wartość rzeczywistą,

- dla bx > w ma wartość urojoną.

Przyjmijmy wstępnie, że funkcja prędkości zespolonej wyraża się wzorem:

zbw −= . (6.155) Funkcja w ma wartości rzeczywiste dla z x b= < i wartości urojone dla z x b= >. Funkcja ta spełnia warunki brzegowe dla dodatniej półosi x, natomiast nie spełnia ich dla półosi ujemnej x. Przyjmijmy następnie, że funkcja w równa się:

zbw += (6.156) i ma wartości rzeczywiste dla z x b= > i urojona dla z x b= < , spełnia więc warunki dla ujemnej półosi x, natomiast nie spełnia warunku brzegowego dla dodatniej półosi x. Łatwo sprawdzić, że funkcja powstała z iloczynu funkcji (6.155) i (6.156):

22 zbw −= (6.157) przyjmuje wartości rzeczywiste dla bx < oraz wartości urojone dla bx > , spełnia więc dwa

pierwsze warunki brzegowe (6.151) i (6.152). Nie spełnia natomiast warunku trzeciego (6.154), który zakłada, że prędkość zespolona „w” powinna być równa zero dla z ∞→ . Powyższy warunek i warunki brzegowe (6.151) i (6.152) spełnia natomiast funkcja:

22 zb

Mw

−= , (6.158)

gdzie: M - to wielkość zespolona stała. Funkcja (6.158) nie jest jedyną spełniającą warunki (6.151), (6.152), (6.154), jednakże, jak to wykażemy później, jest jedyną, która odpowiada warunkom określonym przez nasze zadanie. Gdy przemnożymy funkcję (6.158) przez funkcję wymierną z rzeczywistymi współczynnikami c i a, której stopień licznika nie przewyższa stopnia mianownika w postaci:

( )( )m

n

az

cz

−−

,

gdzie n m≤ orazn i m to liczby naturalne rzeczywiste otrzymamy funkcję prędkości zespolonej w postaci:


47

( )

( ) 22 zbaz

czMw

m

n

−−

−= . (6.159)

Funkcja ta spełnia warunki brzegowe (6.151), (6.152), (6.154). Posiada ona jednak dodatkowe własności w punktach , 0x c y= = i , 0x a y= = . Przyjmijmy również na przykład, że a b=. Przechodząc do granicy w punktach x= b± , y=0 z lewej i prawej strony wektor prędkości

powinien obrócić się o kąt 2

π. W rozpatrywanym przypadku obraca się o kąt

1

2mπ π+ .

Zakładając ba < otrzymamy w punkcie , 0x a y= = dodatkowy punkt osobliwy pod

fundamentem zapory wodnej. Można wykazać, że przy n=0 i m=1 jest to wtedy punktowe źródło wody lub dren. Funkcja ta jest wykorzystana w zadaniach z rurą drenażową, usytuowaną pod fundamentem budowli piętrzącej. Funkcja (6.159) może stanowić podstawę do budowy rozwiązań zagadnień brzegowych bardziej złożonych od rozpatrywanego w tym podrozdziale. Wyznaczymy obecnie funkcje potencjału zespolonego Ω . Korzystając z zależności:

dz

dw

Ω=

i ze wzoru (7.169) dostajemy:

∫ +=Ψ+Φ=Ω Nwdzi .

Po scałkowaniu funkcji prędkości zespolonej określonej wzorem (6.158) otrzymujemy funkcję potencjału zespolonego Ω w postaci:

Nb

zM +=Ω arcsin . (6.160)

Sprawdźmy obecnie, czy stosując wzór Christoffela – Schwarza, czyli metodę odwzorowań konforemnych uzyskamy dla rozpatrywanego przypadku taką samą funkcję potencjału zespolonego Ω . W tym celu musimy określić obszar filtracji na płaszczyźnie zespolonej Ω dzięki znajomości warunków brzegowych zagadnienia. Jak widać to na rys. 7.31, obszar ten jest ograniczony prostymi 0Ψ = oraz półprostymi określonymi równaniami 0Φ = i kHΦ = −. Punkty charakterystyczne pokazane na rysunku 7.54 A, B, C, D oraz punkt określający początek układu odniesienia 0 mają swoje miejsce na płaszczyźnie Ω .


48

Rys. 6.31. Odwzorowanie obszaru filtracji na płaszc zyźnie potencjału zespolonego Ω . Punkty charakterystyczne A, B, C, D i punkt 0 znajdują się zarówno na płaszczyźnie Ω , jak również na płaszczyźnie z, można więc skorzystać ze wzoru Christoffela – Schwarza i wyznaczyć równanie potencjału zespolonego Ω . Dla ułatwienia rozważań przepiszmy ten wzór poniżej:

( ) ( ) ( )1 21 1 1

01 2 ...

n

t

n

dtz M Nt a t a t a

α α απ π π

− − −= +

− − −∫ .

Zauważymy na wstępie, że rozpatrywany przez nas obszar na płaszczyźnie Ω ma postać wielokąta, w którym występują dwa kąty 1α i 2α przy wierzchołkach B i C. Na płaszczyźnie

zmiennej zespolonej z mamy natomiast do czynienia z półpłaszczyzną. Kąty przy wierzchołkach A i D, pomija się gdyż na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z odpowiada im odcięta ±∞ zgodnie z właściwością całki Christoffela – Schwarza. Odpowiednie wartości w powyższym wzorze będą następujące:

1 2 1 2, , , , ,2 2

a b a b z t zπ πα α= − = = = = Ω = . (6.161)

Po uwzględnieniu tych wartości we wzorze Christoffela – Schwarza przedstawimy go w postaci:

( ) ( )1 1

0 2 2

z dzM N

z b z bΩ = +

+ −∫ , (6.162)

co prowadzi do następującej postaci funkcji potencjału zespolonego Ω :

arcsinz

iM Nb

Ω = − + . (6.163)


49

Otrzymaliśmy więc postać funkcji potencjału zespolonego w postaci nieco różniącej się od uzyskanej drogą „intuicyjną” (6.160). Pokażemy, że obydwie postacie tego rozwiązania są ekwiwalentne i prowadzą do identycznej siatki hydrodynamicznej przepływu. Aby określić funkcję potencjału zespolonego Ω , należy wyznaczyć stałe M i N dla obydwu postaci rozwiązania. Wiemy, że funkcja potencjału prędkości równa się:

CyP

kw

+

+−=Φ

γ,

gdzie: C – dowolna stała zależna od przyjęcia przez nas poziomu powierzchni odniesienia potencjału prędkości Φ . Przyjmijmy stałą C w taki sposób, aby wzdłuż poziomu wody w rzece (wzdłuż brzegu CD) funkcja potencjału Φ była równa zero. Założywszy przy tym, że ciśnienie atmosferyczne

0ap = , obliczamy:

2 0kH C− + = .

Stąd: 2C kH=

Możemy ostatecznie stwierdzić, że funkcja Φ wyraża się wzorem:

( )

−+−=Φ 2Hy

Pk

wγ. (6.164)

Obliczamy Φ wzdłuż brzegu AB. ( )21 HHkAB −−=Φ . Określając różnicę 1 2H H− przez mH dostajemy:

AB mkHΦ = − . (6.165)

Funkcja prądu wzdłuż fundamentu BC równa się dowolnej stałej, przyjmując jednakże, że stała ta jest równa zeru mamy: 0=ΨBC . (6.166)

Na podstawie przeprowadzonych wyżej rozważań, możemy stwierdzić, że w punkcie B o współrzędnych , 0x b y= − = 0=Ψ i mkHΦ = − , (6.167)

natomiast w punkcie C o współrzędnych , 0x b y= = :


50

0=Ψ i 0=Φ . (6.168) Podstawiając związki (6.167) i (6.168) do wzoru (6.160) dostajemy układ równań:

0,

23

.2

π

π

+ =

+ = − m

M N

M N kH

(6.169)

Po rozwiązaniu tego układu równań algebraicznych dostajemy:

,

.2

m

m

kHM

kHN

π= −

= (6.170)

Podstawiając stałe M i N do wzoru (6.160) otrzymujemy:

arcsin2

m mkH kHz

bπ Ω = −

(6.171)

lub po wykorzystaniu własności funkcji trygonometrycznych możemy funkcję potencjału zespolonego zapisać inaczej:

arccosmkH z

bπΩ = . (6.172)

Analogicznie, korzystając z tych samych warunków (6.167) i (6.168), możemy obliczyć stałe dla rozwiązania w postaci wzoru (6.163). Dostajemy dla tego przypadku układ równań:

0,

20,

π + =

− + =

iM N

iM N

(6.173)

z którego otrzymujemy stałe:

,2

m mkH kHiM N

π= − = − . (6.174)

Po podstawieniu tych stałych do wzoru (6.163) dostajemy dokładnie taką samą postać funkcji potencjału zespolonego Ω jak we wzorze (6.126):


51

arcsin2

m mkH kHz

bπ Ω = −

.

Pokazaliśmy więc, że obydwie drogi rozumowania prowadzą do jednakowego wyniku. Przekształcając wzór (6.172) mamy:

cosm

z bkH

πΩ= . (6.175)

Wstawiając Ψ+Φ=Ω i oraz iyxz += możemy stwierdzić, że zależność (6.175) ma postać:

cosm m

x iy b ikH kH

π π Φ Ψ+ = +

. (6.176)

Oznaczając:

mkH

πΦ = Φ% oraz mkH

πΨ = Ψ% , (6.177)

mamy:

( )Ψ+Φ=+ ~~cos ibiyx . (6.178)

Wiedząc na podstawie tablic matematycznych [Rizik, Gradstein, 1964] lub programów matematycznych, że:

( )cos cos cos sin sini h i hΦ + Ψ = Φ Ψ + Φ Ψ% % %% % % ,

równanie (6.178) można zapisać w postaci: cos sin sinx iy b cosh ib h+ = Φ Ψ + Φ Ψ% %% % , (6.179) a stąd po przeniesieniu wszystkich członów równania na jedną stronę równania i korzystając z faktu, że równanie (6.179) jest wówczas spełnione, gdy część rzeczywista i urojona jest równa zeru, dostajemy dwa związki: cos cosx b h= Φ Ψ%% , (6.180) sin siny b h= Φ Ψ%% . (6.181)

Obliczając ze związku (6.181) Φ~sin :


52

sinsin

y

b hΦ =

Ψ%

%

oraz ze związku (6.180) cos Φ~ :

coscos

x

b hΦ =

Ψ%

%

,

a także kładąc:

1~

cos~

sin 22 =Φ+Φ , dostajemy równanie:

2 2

2 2 21

cos sin

x y

b h b h+ =

Ψ Ψ% %

. (6.182)

Dla różnych wartości const=Ψ~ równanie (6.182) reprezentuje linie prądu przepływającej

cieczy w ośrodku gruntowym. Są to elipsy o ogniskach w punktach ( )1 cos= Ψx b h % i

( )2 sin= Ψx b h % .

Wyznaczając następnie ze związków (6.180) i (6.181) funkcje coshΨ% i sinhΨ% i korzystając z równania dla funkcji hiperbolicznych:

2 2sin cos 1h hΨ − Ψ = −% % (6.183) dostajemy równanie:

1~sin

~cos 22

2

22

2

=Φ

−Φ b

y

b

x (6.184)


53

Rys. 6.32. Izolinie funkcji constΦ = i constΨ = reprezentuj ące siatk ę hydrodynamiczn ą przepływu.

Dla kolejnych, gdy 0π− ≤ Φ ≤% , równanie (6.184) opisują izolinie reprezentujące w przestrzeni powierzchnie ekwipotencjalne. Są nimi hiperbole. Układ linii prądu opisanych równaniami (7.281) dla 0 ≤ Ψ ≤ ∞ i izolinii reprezentujących powierzchnie ekwipotencjalne opisanych równaniami (6.184) tworzą siatkę hydrodynamiczną przepływu, którą dla rozpatrywanego przypadku przedstawiono na rys. 6.32. Określmy następnie składowe prędkości v

r

w obszarze filtracji. Prędkość zespolona wyraża się wzorem:

2 2

mkHw

b zπ=

−, (6.185)

więc:

2 2

mx y

kHv iv

b zπ− =

−. (6.186)

Rozdzielając prawą stronę równania na części rzeczywistą i urojoną, a następnie przenosząc wszystkie wyrażenia na jedną stronę, dostaniemy równanie, z którego możemy bezpośrednio wyznaczyć składowe xv i yv prędkości filtracji. Dostajemy:

( )

( )

22 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

4

2 4π

± − + + + − +=

− + +m

x

b x y x y b x ykHvb x y x y

, (6.187)

( )

( )

22 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

4

2 4π

− + + − + −=

− + +m

my

b x y x y b x ykHvb x y x y

, (6.188)

przy czym znak – bierzemy dla 0x> , a znak + bierzemy dla 0x< .


54

Dla przykładu na rys. 6.33 i 6.34 przedstawiono wykresy prędkości xv i yv na kilku poziomach

0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 ,y b y b y b y b y b= = = = = , zakładając, że 50=mH m , 410 /k m s−=

oraz 100b m= .

Rys. 6.33. Rozkład składowej 2 2 xvkπ

prędkości filtracji pod fundamentem budowli

piętrzącej a) dla 0,2y b= ,b) 0,4y b= ,c) 0,6y b= ,d) 0,8y b= ,e) y b= ; (obliczenia i wykres – Mathematica 5).

Rys. 7.34. Rozkład składowej 2 2 yvkπ

prędkości filtracji pod fundamentem budowli

piętrzącej .a) dla 0,2y b= , b) dla 0,4y b= , c) dla 0,6y b= , d) dla 0,8y b= , e) dla y b= ; (obliczenia i wykres – Mathematica 5).

Korzystając z wyrażeń (7.286) i (7.287) możemy wyznaczyć wektorowe pole prędkości, które dla ograniczonego wycinka przedstawiono na rys. 6.35


55

Rys.6.35 Pole pr ędkości filtracji pod fundamentem budowli pi ętrzącej;

(obliczenia i wykres – Mathematica 5). Równanie izotach otrzymamy obliczając: constvvv yx =+= 22r

, (6.189)

a równanie izoklin:

consttgv

v

x

y == ϕ . (6.190)

Interesujący jest rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD. Wzory na składowe xv i yv możemy

uzyskać bezpośrednio ze wzorów (6.187) i ((6.188), podstawiając w nich 0y = . Wzdłuż fundamentu prędkość filtracji równa jest składowej poziomej prędkości i wynosi:

2 2

mx

kHv

b xπ=

−. (6.191)

Wzdłuż powierzchni przepuszczalnych prędkość filtracji równa jest składowej pionowej yv i

wynosi:

2 2

( )*π

=−m

ykHv Signum xb x

. (6.192)


56

Rys. 6.36. Rozkład pr ędkości przepływu wzdłu ż brzegu AD. Rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD przedstawiono na rysunku 6.36. Jak widać z rysunku, w pobliżu punktów bx ±= wartość prędkości dąży do ±∞ . Wynik ten jest rezultatem stosowania liniowego prawa przepływu Darcy’ego. W rzeczywistości po przekroczeniu pewnej wartości spadku hydraulicznego przepływu prawo filtracji jest nieliniowe. Przedstawiona powyżej metodologia rozwiązania problemu nie pozwala jednakże na uwzględnienie nieliniowego prawa przepływu. Do obliczeń stateczności zapór wodnych istotny jest rozkład ciśnień pod fundamentem budowli, wywołany przepływem filtracyjnym. Przepiszmy wzór (6.180):

cos cosm m

x b hkH kH

π πΦ Ψ= .

Ponieważ wzdłuż fundamentu: 0, 0y = Ψ = , dostajemy:

cosm

x bkH

πΦ= . (6.193)

Oznaczając przez ”h” wysokość hydrauliczną w dolnym punkcie obszaru filtracji, mamy: kh=Φ . (6.194) Podstawiając (6.194) do (6.193), dostajemy:

arccosmH xh

bπ= .


57

Ponieważ wzdłuż fundamentu budowli piętrzącej 0y = , ciśnienie p równa się:

arccosw mw

H xp h

b

γγπ

= = . (6.195)

Rozkład ci śnień wzdłu ż fundamentu zapory przedstawiono na rys. 6.37.

Rys. 6.37. Rozkład ci śnienia pod fundamentem budowli pi ętrzącej. Uzyskany rozkład ciśnienia pozwala na obliczenie wypadkowej siły parcia na fundament budowli piętrzącej. Można wykazać, że wielkość ta jest równa wielkości parcia, gdy przyjmiemy rozkład ciśnienia w postaci trójkąta. Istotną różnicą jest miejsce położenia wypadkowej. Znajduje się ono w większej odległości od prawego brzegu fundamentu budowli piętrzącej, więc moment wywracający wynikający z działania tej siły jest większy niż w przypadku przyjęcia rozkładu trójkątnego ciśnienia cieczy na fundament. Dla pełnego obrazu omawianego klasycznego rozwiązania opływu fundamentu budowli piętrzącej przedstawimy sposób obliczenia wydatku przepływającego pod jej fundamentem. Oczywiście całkowity wydatek jest nieskończony, ponieważ warstwa ma nieskończoną miąższość. Obliczymy więc wydatek przepływający pod fundamentem budowli piętrzącej pomiędzy liniami prądu mającymi swój początek w punktach x b= − i 0x x= .

Wiedząc, że wydatek Q przepływający pomiędzy dwoma liniami prądu, równa się różnicy wartości funkcji prądu: ∆Ψ=Q oraz że wartość funkcji prądu dla pierwszej linii prądu, biegnącej wzdłuż fundamentu, wynosi:

0=Ψ możemy stwierdzić, że poszukiwany wydatek równa się wartości funkcji prądu przechodzącej przez rozpatrywany punkt 0x x= , czyli:


58

0Ψ=Q . (6.196)

Wstawiając do (6.180) 0xx = dostajemy:

2 2

0 00arccos lnm mx x bkH x kH

Q hb bπ π

+ −= = . (6.197)

Przyjmując wartości 410k −= , H=50m, przedstawiono krzywą wydatku w zależności od 0x

b na

rys. 7.38.

Rys. 6.38. Zale żność wydatku od współrz ędnej wypływu linii pr ądu 0xu

b= ;

(obliczenia i wykres – Mathematica 5). 6.2.3.2.2 Ścianka szczelna w gruncie przepuszczalnym o niesko ńczonej głęboko ści. Dla zmniejszenia prędkości wylotowych filtracji pod fundamentem budowli wodnych lub ochrony wykopów ziemnych konstruuje się w gruncie ścianki szczelne (rys. 7.39) często z metalowych płyt profilowych.

Rys. 6.62. Schemat ścianki szczelnej .


59

Budowa siatki hydrodynamicznej dla przypadku siatki szczelnej jest istotna, w

przypadku rozwiązywania praktycznych zadań opływania fundamentu budowli ziemnych. Sposób poszukiwania rozwiązania dla tego przypadku wynika bezpośrednio ze znalezionego rozwiązania dla przypadku zagadnienia płaskiego opływania budowli piętrzącej.

Rys. 6.39 Opływanie ścianki szczelnej.

Gdyby w poprzednio omówionym zadaniu zamienić współrzędne x, y lub inaczej obrócić schemat zadania przedstawiony na rys. 6.30 o 900, to otrzymamy przepływ zamieszczony na rys. 6.39. Rysunek ten przedstawia pionową ściankę szczelną o długości L, opływaną przez wodę gruntową pod wpływem różnicy wysokości hydraulicznej mH .

Uwzględniając powyższe rozumowanie, funkcję potencjału zespolonego można przedstawić w postaci:

arcsinz

MN

Ω =

(6.198) gdzie M, N nieznane stałe stałe. Przyjmując warunki brzegowe jak na rys. 7.39 w punkcie B i C:

w punkcie 0 , 0mB z mamy kH ψ→ = Φ = − = ,

w punkcie , 02

mkHC z il mamy ψ→ = − Φ = − = .

W powyższych warunkach założyliśmy, że wzdłuż ścianki przepływa pierwsza linia prądu,

dla której przyjęliśmy wartość równą zero. Podstawiając powyższe warunki brzegowe do równania (6.153) dostajemy:

1. dla punktu B:


60

sin 0mkH

M

− =

, (6.199)

z czego dostajemy:

mkHn

Mπ= .

Kładąc 1n = mamy:

mkHM

π= ; (6.200)

2. dla punktu C:

2sin

m

m

kHiL

kH Nπ

− = −

, (6.201)

dostajemy więc wartość stałej N równą: N iL= . (6.202) Możemy więc wzór (6.198) przedstawić w postaci:

sinm

z

iL kH

πΩ= . (6.203)

Podstawiając do wzoru (6.203) z x iy= + oraz iΩ = Φ + Ψ dostajemy równanie:

( )cos sin sin cos 0x L h i y L h+ Φ Ψ + − Φ Ψ =% %% % , (6.204)

gdzie mkH

πΦΦ =% oraz mkH

πΨΨ =% .

Korzystając ze wzoru:

( )sin sin cosh cos sinhi iΦ + Ψ = Φ Ψ + Φ Ψ% % %% % %

i przyrównując część rzeczywistą i urojoną w równaniu (6.204) do zera dostajemy:


61

cos sin ,

sin cos .

ψ= − Φ= Φ Ψ

x L h

y L h

%%

%%

(6.205)

Korzystając następnie ze „wzoru jedynkowego” dla funkcji trygonometrycznych, mamy:

2 2

2 2 2 21

sinh cosh

x y

L L+ =

Ψ Ψ% %

. (6.206)

Uzyskane równanie (6.206) jest równaniem linii prądu, jakie stanowią elipsy o półosiach

sinhL Ψ i coshL Ψ% . Wykorzystując następnie „wzór jedynkowy” dla funkcji hiperbolicznych, otrzymujemy:

2 2

2 2 2 21

sin cos

y x

l l− =

Φ Φ% %

. (6.207)

Powyższe równanie (6.207) jest równaniem linii ekwipotencjalnych dla wartości 0π− ≤ Φ ≤% ,

które stanowi rodzina hiperbol o półosiach sinL Φ% i cosL Φ% . Linię prądu stanowią połówki elips (rys 7.40), natomiast linie ekwipotencjalne są hiperbolami

Rys. 6.40. Siatka hydrodynamiczna przepływu w przyp adku ścianki szczelnej. .

Na podstawie związku:

d

wdz

Ω=

możemy obliczyć zespoloną prędkość przepływu, która ma w tym przypadku postać:

2 2

1mx y

kH iw v iv

L zπ= − = − ⋅

+. (6.208)


62

Postępując podobnie jak w przypadku przepływu pod fundamentem budowli piętrzącej możemy znaleźć składowe prędkości xv i yv :

( )( )

( )( )

22 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

4,

2 4

4( ) .

2 4

π

π

− + + − + −=

− + +

− + + + − += −

− + +

mx

my

x y L x y x y LkHv

x y L x y

x y L x y x y LkHv Signum x

x y L x y

(6.209)

Rozkład składowych prędkości xv i yv przedstawiono na rys. 7.65 i 7.66. Na pierwszym z

nich przedstawiono wykresy funkcji ( )xv x dla 0, 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 , 0.98 , 2y l l l l l l= , przy czym

rzędna na wykresie obliczana jest dla wartości 2 x

m

Lv

kH

π .

Rys. 6.41. Rozkład pr ędkości 2

x

lv

kH

π na poziomach:

a) 0y = , b) 0,2y L= , c) 0,6y L= , d) 0,8y L= , e) 0,98y L= , f) 2y L= ; (obliczenia i wykres – Mapple 8).

Na drugim z nich (rys.7.42) przedstawiono wykresy wartości funkcji 2

ym

vkH

dla wartości

0, 0,4 , 0,8 , 2y L L L=


63

Rys. 6.42. Rozkład pr ędkości 2

ym

vkH

dla:

a) 0y = , b) 0.4y L= , c) 0.8y L= , d) 0,98y L= ,f) 2y L= ; (obliczenia i wykres – Mapple 8).

Obliczmy następnie wartość ciśnienia p w obszarze filtracji przy założeniu, że wartość ciśnienia atmosferycznego wynosi 0ap = . Aby uzyskać funkcję ciśnienia, należy określić na

początku funkcję potencjału zespolonego Φ% , korzystając ze wzorów (6.205). Z drugiego z nich

wyznaczmy funkcję sinΦ% :

sincosh

y

LΦ =

Φ%

%

. (6.210)

Korzystając ze związku:

2 2cosh sinh 1Ψ − Ψ =% % , (6.211) możemy po podniesieniu do kwadratu związku (6.210) napisać:

( )2

2

2 2sin

1 sinh

y

LΦ =

+ Ψ%

%

. (6.212)

Podstawiając następnie związek (6.212) do równania (7.310) :

2sinh

cos

x

LΨ =

Φ%

%

otrzymamy równanie:


64

2 2 2

4 2sin 1 sin 0x y y

L L L

Φ − + + Φ + =

% % . (6.213)

Rozwiązanie tego równania ma postać:

22 2 2 2 21

arcsin 1 1 42

x y x y y

L L L L L

Φ = + + − + + −

% (6.214)

Korzystając ze wzoru: , Dostajemy ostatecznie:

( )22 2 2 2 2

1arcsin 1 1 4

2mH x y x y y

p g y sign xL L L L L

ρπ

= − + + + + + + −

.(6.215)

Przykładowo rozkład ciśnienia przy przyjęciu stałych 31000

kGg

mρ = , wartość H = 50m

przedstawiono na rys. 7.68 .

Rys. 6.43. Rozkład ci śnienia na ró żnych gł ęboko ściach: a) y/l=0,b) y/l=0,5, c) h/l=1,0, d) y/l=1,5;

b) (obliczenia i wykres – Mapple 8). Znając funkcje potencjału prędkości Φ , możemy określić funkcję potencjału ℜ

reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepływu filtracyjnego z polem sił ciężkości cząstek gruntu:

g

yk

ρ ∗ℜ = Φ − ∆ , (6.216)


65

gdzie ( )1 osf gρ∗∆ = − , osρ oznacza ciężar objętościowy gruntu z uwzględnieniem wyporu,

ρ oznacza gęstość cieczy.

Korzystając ze wzoru (6.214) oraz wzoru (6.216), potencjał ℜ , zwany potencjałem pola sił masowych filtracji, można wyrazić wzorem:

22 2 2 2 2

m0arcsin 1 1 4

gH x y x y yy

L L L L L

ρπ

∗

ℜ = + + − + + − − ∆ + ℜ

. (6.217)

Na podstawie związków pomiędzy potencjałem pola sił masowych filtracji oraz siłami masowymi oddziaływującymi na ośrodek porowaty możemy określić składowe pola wektorowego sił masowych (siły unoszenia i ciężkości gruntu z uwzględnieniem wyporu) wzorami:

,

.

ρ

ρ ∗

∂ℜ ∂Φ= = −∂ ∂∂ℜ ∂Φ= = − − ∆∂ ∂

x

y

gS

x k xg

Sy k y

Obliczając odpowiednio pochodne cząstkowe potencjału pola sił masowych filtracji dostajemy:

3 2

2 2

2 2

1 *8

1

mx

x x y xgH x x yL L L L

S uL L L Lu

x yu

L L

ρπ

+ + = − − + + −

− − + +

(6.218)

oraz

3 2

2 2

2 2

1 *8

* 1 ,

ρπ

∗

+ − = − − + + −

− − + + − ∆

my

y y x ygH y x yL L L L

S uL L L Lu

x yu

L L

(6.219)

gdzie 4 2 2 2 4 2

2 2 2 1x x y x y y

uL L L L L L

= + + + − −

.

Korzystając z powyższych wzorów możemy uzyskać przestrzenny obraz zmienności składowych sił masowych filtracji, co przedstawiono na rys. 6.44.


66

Rys. 6.44. Wizualizacja warto ści funkcji składowych sił masowych filtracji ;

(obliczenia i wykres – Mapple 8). Szczególnie istotne dla badania procesu stateczności filtracyjnej są składowe yS sił

masowych filtracji. Zmiana ich kierunku określa obszar, w którym następuje upłynnienie gruntu, a w rezultacie wypór mieszaniny wodno-gruntowej. Jak to szczegółowo omówiliśmy w rozdziale IV, możemy określić, przy jakiej wielkości różnicy wysokości hydraulicznej następuje powstanie stanu granicznego powodującego upłynnienie ośrodka.

Dla przykładu przyjmując następujące wartości stałych: ( ) 31 1.320os

Tf

mρ∗∆ = − = ,

31.000

Tg

mρ = , możemy obliczyć zmienność funkcji yS na kilku głębokościach y L .

Przyjmując wartości 1 10m mH Horaz

L L= = i 100mH

L= możemy przedstawić rozkład tej

składowej wzdłuż osi x ( rys. 7.70).

a) b) c) Rys. 6.45. Wykresy składowej yS dla:

a) 10mH

L= , b), 50mH

L= c) 100mH

L= ;

(obliczenia i wykres – Mapple 8).


67

Na podstawie wykresów 7.46 możemy określić strefę upłynnienia gruntu, co

przedstawiono na rys. 7.71dla 50mH

L= oraz dla 100mH

L= .

Rys. 6.46. Strefy upłynnienia dla 50mH

L= oraz 100mH

L= .

6.3 Literatura ARAVIN V.I., NUMEROW S. N. (1953)

Teoria dvirzenia rzidkostej i gazov v niedoformiruemoj poristoj srede, Goizdat, Moskwa,,(język rosyjski ),

CASTANY G. (1967) Traite pratique des eaux souterraines, Dunod, Paris,

FILCZAKOV P.F. (1960) Teoria filtracii pod gidrotechniceskimi soorurzeniami, Izd. Akademii Nauk Ukrainskoj SSR, Kiev,(język rosyjski),

POŁUBARINOVA-KOCZINA P. J. (1977) Teoria dvirzenja gruntowych vod, Nauka, Moskwa, 1977

PORADNIK HYDROGEOLOGA (1971)

Praca zbiorowa, Warszawa

REMBEZA L. (1984) Przybliżone określenie całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju w zastosowaniu do obliczeń filtracji, Rocz. Nauk Roln., Ser. F,81,1,

REMBEZA L. (1992) Earth dam drainage dimensioning In consideration of maximum exit gradients, Arch. Hydrotech., Nr 1-2,

REMBEZA L. (1998) Przepływy wody i zanieczyszczeń w gruncie, Wyd. Akad. Roln. Im. Augusta Cieszkowskiego w Poznaniu, Poznań,

STRZELECKI T., K KOSTECKI S.W. (2006)

Analiza rozwiązania analitycznego przepływu przez groblę ziemną., Sympozjum Hydrotechnika VIII’2005, Wydawnictwo: Ślaska Rada Naczelnej organizacji Technicznej FSNT

STRZELECKI T., ŻAK S., KOSTECKI S,(2008)

Modelowanie przepływów przez ośrodki porowate, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław

WIECZYSTY A. (1982) Hydrogeologia inżynierska PWN, Warszawa

Programy komputerowe


68

MATHEMATICA 5 (2003) Version 5.0.0.0, Wolfram research Inc., http://www.wolfram.com MAPPLE 8 (2003) Version 8,0, Waterloo maple, Inc., http://www.maplesoft.com

6. teoria filtracji – cz ęść ii - strzelecki.net.pl 6.pdf · 6.1.3 siatka hydrodynamiczna...

Documents