6. Exercices et corrigés

n°1 p.28 : Dans chacun des cas suivants, écrivez le trinôme f(x) sous sa forme canonique.

(a) f(x) = x2 + 6x

(b) f(x) = −3x2 + 6x− 2(c) f(x) = x2 + x− 1(d) f(x) = 2x(x− 3)

Corrigé du n°1 p.28 : Dans chacun des cas suivants, écrivons le trinôme f(x) sous sa forme canonique.(a)

f(x) = x2 + 6x

= x2 + 2× 3× x= x2 + 2× 3× x+ 32

︸ ︷︷ ︸−32

= (x+ 3)2 − 32= (x+ 3)2 − 9= (x− (−3))2 + (−9)

On reconnâıt la forme canonique a(x− α)2 + β, avec a = 1, α = −3 et β = −9.(b)

f(x) = −3x2 + 6x− 2

= −3(

x2 − 2x+ 23

)

= −3(

x2 − 2× 1× x+ 23

)

= −3(

x2 − 2× 1× x+ 12︸ ︷︷ ︸

−12 + 23

)

= −3(

(x− 1)2 − 1 + 23

)

= −3(

(x− 1)2 − 13

)

= −3(x− 1)2 − 3×(

−13

)

= −3(x− 1)2 + 1

On reconnâıt la forme canonique a(x− α)2 + β, avec a = −3, α = 1 et β = 1.(c)

f(x) = x2 + x− 1

= x2 + 2× 12× x− 1

=

(

x+1

2

)2

−(1

2

)2

− 1

=

(

x+1

2

)2

− 14− 1

=

(

x+1

2

)2

− 54

=

(

x−(

−12

))2

+

(

−54

)

On reconnâıt la forme canonique a(x− α)2 + β, avec a = 1, α = − 12 et β = − 54 .

9

(d)

f(x) = 2x(x− 3)= 2x2 − 6x= 2(x2 − 3x)

= 2

x2 − 2× 32× x+

(3

2

)2

︸ ︷︷ ︸

−(3

2

)2

= 2

(

x− 32

)2

− 2×(3

2

)2

= 2

(

x− 32

)2

− 92

On reconnâıt la forme canonique a(x− α)2 + β, avec a = 2, α = 32 et β = − 92 .

n°72 p.40 : Les deux cubes sont tels que la somme des mesures de leurs côtés est égale à dix centimètres.On note x la mesure du côté de l’un d’entre eux.

Déterminez la valeur de x pour laquelle la somme des volumes des deux cubes est minimale.

Corrigé du n°72 p.40 : Notons V1(x) le volume du cube vert (le plus grand sur la figure ci-dessus), et V2(x)le volume du cube bleu (le plus petit sur le figure ci-dessus).On a : V1(x) = x

3 et V2(x) = (10− x)3.Notons V (x) la somme de ces deux volumes. Il vient :

V (x) = V1(x) + V2(x)

= x3 + (10− x)3= x3 + (10− x)(10− x)2= x3 + (10− x)(100− 20x+ x2)= x

3 + 1000− 200x+ 10x2 − 100x+ 20x2 − x3= 30x2 − 300x+ 1000

On obtient un trinôme du second degré de la forme ax2 + bx+ c, dont la forme canonique est :

V (x) = 30x2 − 300x+ 1000

= 30

(

x2 − 10x+ 1003

)

= 30

(

(x− 5)2 − 25 + 1003

)

= 30

(

(x− 5)2 + 253

)

= 30(x− 5)2 + 250

Ce trinôme est donc minimal pour x = α = 5, et son minimum est Vmin = β = 250.Ainsi, le somme des volumes des deux cubes est minimale pour x = 5, et est dans ce cas égale à 250cm3.

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n°45 p.38 : On donne le trinôme : f(x) = (x2 − 9)− 2(x− 3)(x+ 2)1 (a) Développez et réduisez f(x).

(b) Quelle est sa forme canonique ?

2 (a) Factorisez f(x).

(b) Résolvez l’équation f(x) = 0.

3 En exploitant les résultats des questions précédentes, précisez quels sont les arguments qui vous permettentde conjecturer que la parabole ci-dessous est une représentation graphique de la fonction f .

Corrigé du n°45 p.38 :

1 (a) forme développée :

f(x) = (x2 − 9)− 2(x− 3)(x+ 2)= x2 − 9− 2(x2 + 2x− 3x− 6)= x2 − 9− 2x2 + 2x+ 12= −x2 + 2x+ 3

(b) forme canonique :

f(x) = −x2 + 2x+ 3= −1(x2 − 2x− 3)= −1

((x− 1)2 − 1− 3

)

= −1(x− 1)2 + 4

2 (a) forme factorisée :

f(x) = (x2 − 9)− 2(x− 3)(x+ 2)= (x− 3)(x+ 3)− 2(x− 3)(x+ 2)= (x− 3) [(x+ 3)− 2(x+ 2)]= (x− 3)(x+ 3− 2x− 4)= (x− 3)(−x− 1)= −(x− 3)(x+ 1)

Nous verrons plus tard dans ce chapitre une autre méthode pour obtenir la forme factorisée.

(b) On utilise la forme factorisée, qui fournit une équation-produit :f(x) = 0⇔ (x− 3 = 0 ou x+ 1 = 0)⇔ (x = 3 ou x = −1)S = {−1; 3}

3 La courbe coupe l’axe des abscisses en −1 et 3, qui sont bien les solutions de l’équation f(x) = 0. De plusf(1) = 4 (se calcule plus facilement avec la forme canonique) et l’allure de la courbe correspond au casa < 0.On voit ici que chaque forme (développée, canonique, factorisée) a un usage différent.

11

n°46 p.38 : L’objectif de cet exercice est de vous aider à prendre du recul par rapport à l’outil (certes trèsefficace) qu’est la méthode du discriminant : si l’on peut facilement factoriser l’expression pour la transformeren produit nul, on n’a pas besoin d’utiliser le discriminant...Résolvez les équations suivantes, SANS calculer le discriminant :a) x2 − 9 + 4(x+ 3) = 0c) (7− 2x)2 + 1 = 0

Corrigé du n°46 p.38 :a)

x2 − 9 + 4(x+ 3) = 0(x+ 3)(x− 3) + 4(x+ 3) = 0

(x+ 3) [(x− 3) + 4] = 0(x+ 3)(x+ 1) = 0

S = {−3;−1}c)

(7− 2x)2 + 1 = 0(7− 2x)2 = −1

S = ∅, car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif !Pour ceux d’entre vous qui auront traité les autres questions de l’exercice 46, les solutions sont :b) S =

{12 ; 1

}

d) S ={− 23 ; 43

}

e) S = 13

n°48 p.38 : Résolvez les équations suivantes, en calculant éventuellement le discriminant :

a) −3x2 + 7x+ 1 = 0b) 3x2 +

√12x+ 1 = 0

Corrigé du n°48 p.38 :

a) −3x2 + 7x+ 1 est un trinôme de la forme ax2 + bx+ c, avec a = −3, b = 7 et c = 1.On calcule le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 72 − 4× (−3)× 1 = 49 + 12 = 61.Comme ∆ > 0, le trinôme possède deux racines distinctes.

S ={−b−

√∆

2a ;−b+

√∆

2a

}

={−7−

√61

−6 ;−7+

√61

−6

}

={

7+√61

6 ;7−√61

6

}

.

b) 3x2 +√12x+ 1 est un trinôme de la forme ax2 + bx+ c, avec a = 3, b =

√12 et c = 1.

On calcule le discriminant ∆ = b2 − 4ac =(√

12)2 − 4× 3× 1 = 12− 12 = 0.

Comme ∆ = 0, le trinôme possède une seule racine, dite ”racine double”.

S ={−b2a

}=

{−√12

6

}

={

− 2√3

6

}

={

−√33

}

={

− 1√3

}

.

Pensez à ”simplifier” les racines carrées ! ! !

n°50 b) p.38 : Résolvez l’équation suivante :x(x+ 4) + 8 = 0

Corrigé du n°50 b) p.38 :

x(x+ 4) + 8 = 0⇔ x2 + 4x+ 8 = 0, on a un trinôme du second degré.Calculons le discriminant : ∆ = b2 − 4ac = 42 − 4× 1× 8 = 16− 32 = −16On a ∆ < 0, donc S = ∅.Solution de la question a) pour ceux qui l’ont traitée : S = {

√2; 2√2}.

n°52 a) p.38 : Résolvez l’équation suivante :

2(1− 3u) = u2 − 3(2u+ 1)

Corrigé du n°52 a) p.38 :

2(1− 3u) = u2 − 3(2u+ 1)⇔ 2− 6u = u2 − 6u− 3⇔ u2 = 5, on a un trinôme du second degré, mais...Inutile de calculer le discriminant, il s’agit d’une équation de la forme x2 = a, que vous avez étudiée dès latroisième. On a donc S = {−

√5;√5}.

12

Solution de la question b) pour ceux qui l’ont traitée : ∆ = 162, d’où S = { 4√7−166 ;

4√7+166 } = { 2

√7−83 ;

2√7+83 }

n°53 b) p.38 : Écrivez le trinôme suivant sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré :

B(x) = −3x2 + 4x+ 4

Corrigé du n°53 b) p.38 :B(x) = −3x2 + 4x+ 4, on a un trinôme du second degré, que nous allonsfactoriser en trouvant ses racines grâce au calcul du discriminant.∆ = 42 − 4× (−3)× 4 = 16 + 48 = 64On a ∆ > 0, il y a dons deux racines distinctes :

x1 =−4−

√64

−6 =−4−8−6 =

126 = 2

x2 =−4+

√64

−6 =−4+8−6 =

+46 = − 23

Donc la forme factorisée du trinôme est :B(x) = a(x− x1)(x− x2) = −3(x− 2)(x− −23 ) = −3(x− 2)(x+ 23 ) = (2− x)(3x+ 2)Solution des questions a)et c) pour ceux qui les ont traitées :a) A(x) = 12(x+ 23 )(x− 14 ) = (3x+ 2)(4x− 1)c) C(x) = (2x− 5)2

n°68 p.40 :

f et g sont deux fonctions trinômes définies sur R. Lediscriminant de f(x) est positif et celui de g(x) estnul. On a tracé ci-contre les courbes représentativesde f et g.

1) Attribuez sa courbe à chaque fonction.2.a) Pourquoi f(x) est-elle de la forme ax(x− 4) ?2.b) A l’aide des renseignements portés sur la figure, trouvez la valeur de a.3.a) Pourquoi g(x) est-elle de la forme a(x− 1)2 ?3.b) Calculez a.

Corrigé du n°68 p.40 : 1) La courbe de f est la courbe bleue, et la courbe de g la rouge.2a) Cf coupe l’axe des abscisses en 0 et en 4, donc ce sont ses racines.Ainsi, la forme factorisée de f(x) est du type ax(x− 4).2b) f(2) = −4, donc a× 2(2− 4) = −4, donc a = −42(2−4) = −42×(−2) = 1.3a) Cg coupe (Ox) en 1 seulement, donc 1 est racine double, et la forme factorisée de g(x) est du type :a(x− 1)2 (attention, ce n’est pas le même ”a” qu’à la question précédente).3b) On a g(0) = −2, donc a(−1)2 = −2. Par suite a = −2

n°81 p.41Chacune des courbes ci-dessous représente une fonction trinôme.Dans chaque cas, résolvez l’inéquation proposée.

13

Corrigé du n°81 p.41Attention, les résolutions graphiques ne donnent que des solutions approchées ! ! !a) f(x) ≥ 0 b) f(x) > 0 c) f(x) ≤ 0 d) f(x) > 0S = ∅ S =]− 1; 3[ S = [0; 3] S = R− {2}

n°74 a) p.41

Étudiez le signe du trinôme ci-dessous, suivant les valeurs de x.A(x) = (x2 − 4)− 3(x+ 2)(x− 1)

Corrigé du n°74 a) p.41”Proverbe” à retenir : Qui dit signe dit factorisation ! ! ! !

A(x) = (x2 − 4)− 3(x+ 2)(x− 1)= (x+ 2)(x− 2)− 3(x+ 2)(x− 1)= (x+ 2)[(x− 2)− 3(x− 1)]= (x+ 2)(x− 2− 3x+ 3)= (x+ 2)(−2x+ 1)

Pour étudier le signe de ce produit, on construit un tableau dont chaque ligne représente l’un des facteurs. On pourraainsi y inscrire le signe de chacun des facteurs, et en déduire le signe de l’expression globale.

x −∞ −2 12

+∞(x+ 2) - 0 + +

(−2x+ 1) + + 0 -A(x) - 0 + 0 -

Solution des questions b)et c) pour ceux qui les ont traitées :b)B(x) = (x− 1)(x− 9)

x −∞ 1 9 +∞B(x) + 0 - 0 +

c)C(x) = (8x− 5)(−4x+ 13)x −∞ 5

8

13

4+∞

C(x) - 0 + 0 -

n°76 a) et b) p.41

Étudiez le signe des trinôme ci-dessous, suivant les valeurs de x.

a) f(x) = − 12x2 + 6x+ 16

b) g(x) = x2 − x+ 1

Corrigé du n°76 a) et b) p.41Il s’agit de trinômes du second degré. On peut les factoriser comme à l’exercice précédent, ou bien, comme dans letableau récapitulatif du cours, arguer que ”le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines (pour le cas où il y adeux racines distinctes).a) On a un trinôme du second degré.∆ = 68 ; x1 = 6− 2

√17 ; x2 = 6 + 2

√17, avec a = − 1

2

Donc f(x) est ”du signe de a à l’extérieur des racines”, c’est-à-dire :

14

x −∞ 6− 2√17 6 + 2

√17 +∞

f(x) - 0 + 0 -

b) On a un trinôme du second degré.∆ = 1− 4 = −3 < 0 ; donc pour tout x, g(x) > 0.Solution de la question c) pour ceux qui l’ont traitée :∆ = −2 < 0, donc pour tout x , h(x) < 0.

n°78 b) p.41Résolvez l’équation ci-dessous :

−3t2 − 92t+ 3 ≤ 0

Corrigé du n°78 b) p.41Cette inéquation est en réalité une étude de signe. Or il s’agit d’un trinôme du second degré.Calculons-en le discriminant : ∆ = 225

4> 0.

√∆ = 15

2. Ce trinôme a donc deux racines distinctes x1 = −2 et x2 = 12 . Le

trinôme étant ”du signe de a à l’extérieur des racines”, il vientS =]−∞;−2] ∪ [ 1

2; +∞[.

Solution des questions a), c) et d) pour ceux qui les ont traitées :a) S = {− 5

3}

c) ∆ = 642, x1 = − 12 , x2 = 78 , d’où S =]−∞; 18 [∪] 78 ; +∞[d) S =]−∞;− 3

2[∪]− 3

2; +∞[

n°106 p.44 : Le poids de l’astronaute.Le poids diminue avec l’altitude. Ainsi, si la masse d’un astronaute est 60kg, son poids (en N) à l’altitude x (en km) estdonné par :

P = 60× 9, 8×(

6400

6400 + x

)2

A quelle altitude le poids de l’astronaute sera-t-il inférieur à 25N ?

Corrigé du n°106 p.44 : Dire que le poids de l’astronaute est inférieur à 25N équivaut à :

x ≥ 0et

60× 9, 8×(

6400

6400+x

)2

≤ 25La seconde inéquation est équivalente à :588× 64002 ≤ 25× (6400 + x)2,c’est-à-dire : x2 + 12800x− 922419200 ≥ 0.Il s’agit donc d’étudier le signe d’un trinôme du second degré, et nous pouvons appliquer les méthodes vuesprécédemment.Puisque x ≥ 0, le poids de l’astronaute sera inférieur à 25N à partir de 24 639 km d’altitude, à 1km près (l’autre racinedu trinôme est -37438¡0).Remarques : l’altitude de l’ISS (station spatiale internationale) est d’environ 330 km, et l’altitude de l’orbitegéostationnaire est 36 000 km.

15