6_ENTROPÍA

6.1 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS

6.2 ENTROPÍA

6.3 PRINCIPIO DE INCREMENTO DE LA ENTROPÍA

6.4 FLUJO DE ENTROPÍA

6.5 DIAGRAMAS T-s y h-s

6.6 ENTROPÍA DE LOS GASES IDEALES

6.7 ENTROPÍA DE LÍQUIDOS Y SÓLIDOS

6.8 DISPOSITIVOS DE FLUJO PERMANENTE

6.1 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS

1

0

1

0

TT

QQ

=−Máquina Térmica reversibleProceso irreversible

Q0

-Q1

WR1Q1

Ws1

T1

T0

CiclosR WWWQ =+= 110

1

100 T

QTQ −=

!!!0≤

Q01

-Q1

WR1Q1

Ws1

T1

T0 Q02

-Q2

WR2Q2

Ws2

T2

01

≤∑=

N

i i

i

TQ

0≤∫ TdQ

T del foco, dQ del sistema, ciclo

01

1 ≥TQ 0

1

,1 ≤T

Q sist

02

,2

1

,1 ≤+T

QT

Q sistsist

01

,1 ≤=∫ TQ

TdQ sist

02

,2

1

,1 ≤+=∫ TQ

TQ

TdQ sistsist

0≤∫ TdQ

CONCLUSIÓN: DESIGUALDAD DE CLAUSIUS

=0 PARA PROCESOS REVERSIBLES INTERNAMENTE

<0 PARA EL RESTO

del baño, y la del sistema en el caso de proceso reversible

sistema

Sistema: ciclo

1

0

1

0

TT

QQ

=−Máquina reversible

Máquina reversible

Q0

-Q1

WR1Q1

Ws1

T1

T0

CiclosR WWWQ =+= 110

1

100 T

QTQ −=

!!!0≤ 01

,1 ≤T

Q sist

01

,1 =T

Q sist

CiclosR WWWQ =+= 110 !!!0≥ 01

,1 ≥T

Q sist

0=∫ TdQ

Incluye las posibles IRREV del trabajo y espontáneas

6.2 ENTROPÍA

∫∫ ==∆ABA T

dQT

dQS41

S → ENTROPÍA

≡−=∆ )()( ASBSSAB ∫B

A TdQ

PROCESOS INTERNAMENTE REVERSIBLES (AL MENOS INTERNAMENTE)(T temperatura del sistema)

B

A

12

3

∫=∆BA

AB TdQS

1

S ES FUNCIÓN DE ESTADO

4

TdQdS =

PROCESOS “PEQUEÑOS” INTERNAMENTE REVERSIBLES

TdSdQ =⇒ pdVTdSdWdQdU −=−=⇒

1a LEY

Al menos Internamente Reversible

∫=BA T

dQ

3∫=

BA TdQ

2∫−=

BA TdQ

4

∫∫∫∫ +===ABBAABA T

dQTdQ

TdQ

TdQ

4141

0

∫∫ −==∆ABBA

AB TdQ

TdQS

41 BAS∆−=

0=CLAUSIUS

CONSECUENCIA DE LA DESIGUALDAD DE CLAUSIUS Y DE LA DEFINICIÓN DE ENTROPÍA EN PROCESOS AL MENOS REVERSIBLES INTERNAMENTE:

0≤∫ TdQ

)()()( reversibleSASBST

dQB

A

∆=−=∫

∫∫ −<A

vB

B

IrrevA TdQ

TdQ

Re,,

B

A

Irrev.

Rev.

)()(Re,,

ASBSTdQ

TdQ B

vA

B

IrreA

−=< ∫∫Principio de incremento de entropía

∫∫∫ <=+ 0Re,, T

dQT

dQTdQ A

vB

B

IrrevA

6.3 PRINCIPIO DE INCREMENTO DE LA ENTROPÍA

TdQdS ≥

La entropía es una variable extensiva universodelrestosistemasistemaTOTAL SSSS __11 ...+++=⇒

∫=B

vA TdQ

Re,

)()( ASBS −=

Incluye las posibles IRREV del trabajo y espontáneas

)(? leirreversibT

dQB

A∫ =

∫−= TdQSgen

0=−−=⇒L

L

H

Hgen T

QTQSSi la máquina es reversible:

)()(Re,,

ASBSTdQ

TdQ B

vA

B

IrreA

−=< ∫∫ sistemagen

B

IrreA

STdQASBS ,

,

)()( +=− ∫

0≥−≡⇒ ∫ TdQSgen

Entropía generada

GENERACIÓN DE ENTROPÍA:

cicloelensistemagenST

dQASAS ___,)()( +=− ∫

0=

Ciclo:

0≤∫ TdQ

dST

dQ≤

L

L

H

H

TQ

TQ

−−=

L

H

L

H

TT

QQ

=−L

L

H

H

TQ

TQ

−=⇒

0=∆=∆ revIrr SSsistemagen

IrrIrr S

TdQS ,+

=∆ ∫

sistemagenrev

rev ST

dQS ,+

=∆ ∫

IrrIrr TdQ

TdQ

−+

= ∫∫

0)( ++=L

L

H

H

TQ

TQ

Ejemplo 18:

Generación de Entropía en una máquina térmica:

0=

0=

De acuerdo con

Incluye las posibles IRREV del trabajo y espontáneas

SIGNIFICADO DETALLADO DEL PRINCIPIO DE INCREMENTO DE ENTROPÍAT

dQdS ≥

SISTEMA

BAÑO T

dQ

SISTEMA

1S

SISTEMA

dSSS += 12 TdQdS />

Proceso con dQ ≠ 0

SISTEMA

BAÑO T

dQ

SISTEMA

1S

SISTEMA

dSSS += 12 TdQdS /=

Situación de equilibrio

prácticamente

Situación de desequilibrio

12

12

Procesos aislados térmicamente (dQ=0)

Procesos aislados totalmente (dW=dQ=0)

EQUILIBRIO

INTERNOEl sistema no evoluciona termodinámicamente0=dS

DESEQUILIBRIO

INTERNO

EQUILIBRIO

INTERNO0>dS

•••

•••

••••

•

••

0>dS1?

2 2 y 3

•

•

•

• ••

••

•

••

••

0=dS

•

•

•

• ••

•

• •

••

• •

TdQdS ≥ ?0¿ ≥dS0=dQ

Procesos aislados térmicamente (dQ=0) ?0¿ ≥dS

Procesos aislados sólo térmicamente (dQ=0)

0=dS

0>dS

.............

dW

Proceso lento, sistema siempre en equilibrio prácticamente: proceso cuasiestático, reversible.

12

12

CONCLUSIÓN

TdQ

TdQdS =++≥ 00

DEBIDO A LAS IRREVERSIBILIDADES INTERNAS

DEBIDO AL TRABAJO IRREVERSIBLE

espontáneoprocesomecánicoprocesotérmicoproceso dSdSdSdS ___ ++=

TdQ

≥ 0≥ 0≥

RESUMEN

DESIGUALDAD DE CLAUSIUS

del baño

sistema

0≤∫ TdQ

ciclo

≡∆ ABS ∫

B

A vTdQ

Re

ENTROPÍA

AB

B

vA

B

IrreA

STdQ

TdQ

∆=< ∫∫Re,,

TdQdS ≥

CONSECUENCIAS PRÁCTICAS

2ª LEY

DEFINICIÓN

consecuencias

AB

B

vAg

B

IrreA

ST

dQSTdQ

∆==+ ∫∫Re,,

0≥∆ aisladoS

No olvidar que la IRREV puede venir no sólo de diferencias de T sino que también del trabajo y procesos espontáneos

Ejemplo 19

100kPa 5kg

AIRE

15ºC → 40ºC

¿ Proceso Reversible o Irreversible ?

T=15ºC ……..T=15’0001ºC T=40ºC

•

•

p

vA

BA B

∫

=∆

B

A vTdQS

Re∫

=

B

A

T

T vTdQ

Re

dTmcdQ v=∫∫ =

=∆

B

A

B

A

T

T

vT

T v TdTmc

TdQS

Re

KkJTTLnmc

A

Bv /30.0... ===

Reversible

Irreversible•

•

p

vA

B

5 kg de aire se calientan con una resistencia de 15ºC a 40ºC.El volumen se mantiene constante.¿Cuál es el cambio de entropía del aire?

¿ Cómo podemos ir de A a B por un proceso reversible que mantenga el volumen para evaluar el cambio de entropía? (Hay infinitas alternativas)

Ojo: suponemos cv constante

Ejemplo 19 (continuación)

100kPa 5kg

AIRE

15ºC → 40ºC

•

•

p

vA

B

KkJT

dQSB

A

T

T v

/30.0Re

=

=∆ ∫

Reversible

?=

∫

B

A IrrTdQ

∫∫∫ ==

B

Asistencia

B

A sistencia

B

A Irr

dQTT

dQTdQ

ReRe

1sistencia

v

TTmc

Re

∆=

sistencia

v

TTmc

Re

∆=

Supongamos 600K

KkJ /14.0=

AB

B

vA

B

IrreA

STdQ

TdQ

∆=< ∫∫Re,,

AB

B

vAg

B

IrreA

ST

dQSTdQ

∆==+ ∫∫Re,,

•

•

p

vA

BIrreversible

KkJKkJSg /26.0/)14.030.0( =−=

Ejemplo 19 (continuación)

100kPa 5kg

AIRE

15ºC → 40ºC

•

•

p

vA

B

KkJT

dQSB

A

T

T v

/30.0Re

=

=∆ ∫

Reversible

KkJT

dQB

A Irr

/14.0=

∫

•

•

p

vA

BIrreversible

KkJSg /26.0=

Resto del universo

0=∆S

Estado estacionario

0/30.0 >=∆+∆=∆ KkJSSS aresistenciairetotal

0=∆SSupuesto

En realidad ∆S>>>0: centrales hidráulicas, centrales térmicas, …

0≥∆ aisladoS

Ejemplo 20 El agua se enfría lentamente al comprimir su volumen a p constante manteniéndose la temperatura y produciéndose condensación

¿Reversible o Irreversible ?

600kJ

T(aire)=25ºC

Agua

T=100ºC

∫

=∆

B

A vTdQaguaS

Re

)( ∫=B

A

dQaguaT )(1 KkJ

aguaTaguaQ /611́

)()(

−==

∫

=∆

B

A vTdQaireS

Re

)(

Reversible internamente para el agua

¡¡¡¡ Pero el proceso ES Irreversible !!!!

Reversible internamente para el aire

0)( >∆⇒ totalS

∫=B

A

dQaireT )(1

CT º100≅

CT º25≅Aire

KkJaireTaireQ /012́

)()(

+==

0/40.0)( >=∆⇒ KkJtotalS 0≥∆ aisladoS

Cálculo de los cambios de entropía con ayuda de procesos reversibles pero que nos lleven desde los estados inicial real al estado final real de cada parte:

Ejemplo 20 (continuación)

600kJ

T(aire)=25ºC

Agua

T=100ºC

∫

=∆

B

A vTdQaguaS

Re

)(

∫

B

A aguaIrrTdQ

,

KkJaguaTaguaQ /611́

)()(

−==

∫

=∆

B

A vTdQaireS

Re

)( KkJaireTaireQ /012́

)()(

+==

0/40.0)( >=∆⇒ KkJtotalS

agua

aireB

Aaire

agua TQdQ

T== ∫

1

∫=B

A aireTaguadQ

)()(

aire

aguaB

Aagua

aire TQ

dQT

== ∫1

∫=B

A aguaTairedQ

)()(

∫

B

A aireIrrTdQ

,

KkJKkJ /01.2

298600

−=−

=

KkJKkJ /61.1

373600

+=+

=

KkJ /61.1−<

AB

B

vA

B

IrreA

STdQ

TdQ

∆=< ∫∫Re,,

KkJ /01.2+<

KkJKkJaguaSg /40.0/))01.2(61.1()( =−−−=

KkJKkJaireSg /40.0/)61.101.2()( =−=KkJtotalSg /80.0)( =

0≥∆ aisladoS

Cálculo de las integrales reales: y ∫

B

A aguaIrrTdQ

,∫

B

A aireIrrTdQ

,

6.4 FLUJO DE ENTROPÍA

sistemagen

B

IrreA

ST

dQASBS ,,

)()( +=− ∫ sgdST

dQdS ,+=

Sistema abierto:

∑∑∑•••

••

−++=Salidas

jjEntradas

iisgk k

kVC smsmS

TQS ,

sgk k

k dST

dQdS ,+=∑

Caso abierto y externamente reversible (no hay Sg en el exterior):

∑∑∑•••

••

−++=Salidas

jjEntradas

iisgk k

kVC smsmS

TQS ,

En el exterior: ∑•

•

=k k

kext T

QS 'kk QQ '−=

∑∑∑ −++=∆Salidas

jjEntradas

iisgk k

kVC smsmS

TQS ,

Θ−Θ+−=∆ ∑∑

salidasj

entradasiWQE

En el VC:

Incluye las posibles IRREV del trabajo y espontáneas

Incluye las posibles IRREV del trabajo y espontáneas ADEMÁS de las generadas por las entradas y salidas

6.5 DIAGRAMAS T-s y h-s

Diagramas T-s TdSdQ = ∫=2

1

TdSQ 1

2

Q

T

S

374.14ºC

0.01ºC

4.4298 9.156Referencia para s

22.09 MPa

0.6113 kP

kgmv /14.206 3=kgmv /003155.0 3=kgmv /001.0 3=

•

••

isocoras

isotermash kJ/kg

s kj/kgK

0 4.4298 9.156 s kj/kgK

≈2800

2501.4

2099.3

Diagramas h-s (Mollier)

Zona de “Gas ideal”

isobaras

Punto Crítico

Ejemplo 21

turbina

2

1

p1=30 bar T1=400ºC vel2=160m/s

T2=100ºC vapor sat. vel2=100m/s

kgkJw /540=

0≈∆ pE Flujo permanente

?)/( =kgkJsg ?_ =TSDiagrama

T=350K

Conservación de la masa:•••

== mmm 21

Ley de incremento de la entropía: ∑∑∑•••

••

−++=Salidas

jjEntradas

iisgk k

kVC smsmS

TQS ,

210 smsmSTQ

g

••••

−++= )( 12 ssmTQSg −+−=

••

•

)( 12 ssmT

Q

m

Ss g

g −+−== •

•

•

•

tablas

agua

T=350K

Ejemplo 21 continuación

turbina

2

1

p1=30 bar T1=400ºC vel2=160m/s

T2=100ºC vapor sat. vel2=100m/s

kgkJw /540=

0≈∆ pE Flujo permanente

?=gs ?_ =TSDiagrama

T=350K

)()(0 1,11,1 ccVC ehmehmWQE +−++−==•••••

)( 12 ssmT

Q

m

Ss g

g −+−== •

•

•

•

tablas

agua

T=350K

)( 1,2,12 cc eehhm

W

m

Q−+−+= •

•

•

•

tablasdatos

kgkJ /6.22... −=

kgKkJsg /4983.0= kgkJw /540=

Ejemplo 22

5 kg

T1=20ºC

p=140→100kPa

Refrig. 1220ºC p=140kPa

s1=0.8035kJ/kgK

v1=0.1397m3/kg

p2=100kPa v2=v1

873.0/0007./1600./0007./1397.

33

332 =

−−

=−

−=

kgmkgmkgmkgm

vvvv

xfg

f

kgKkJssxss fgf /6307.0...)(2 ==−+=

kgKkJssmS /864.0...)( 12 −==−=∆

v

T

“isocora”

S

T

“isocora”

?=∆Stablas

mezcla de calidad xtablas

Ejemplo 23

vapor de aguaturbina

2

1

p1=5 MPa T1=450ºC

p2=1.4MPa s2=s1

?)/( =kgkJw

)(0 pc eehwq ∆+∆+∆−−=12 hhhw −=∆=

p1=5 MPaT1=450ºC

h1=3316.2 kJ/kg

s1=6.8182 kJ/kgK

p2=1.4 MPas2=s1

h2=2966.6kJ/kg

kgkJhhw /6.34912 =−=⇒

S

T 1

2

tablas

tablas

Proceso reversible adiabático: proceso isoentrópico

00==→→=→→≥

TdSadiabático

TdQdSreversible

TdQdS

1a Ley y diagramas T-s y h-s, relaciones útiles

pdVTdSdWdQdU −=−=

∫∫ −=−=∆2

1

2

1

pdVTdSWQU

∫=2

1

TdSQ

1

2T

S

1

2p

V

∫=2

1

pdVW

pdvTdsdu −=

pvuh += pdvvdpdupvddudh ++=+= )(

Tvdp

Tdhds −=

Tpdv

Tduds +=

vdpTdsdh +=

General

6.6 ENTROPÍA DE LOS GASES IDEALES

Tpdv

Tduds +=

Gas ideal: RTpv = )(),( TCTC pV RfTCRfTC pV )12

()(,2

)( +→→

Tvdp

Tdhds −=

Tpdv

TdTTcV +=

)(

Tvdp

TdTTcp −=

)(

∫∫ +=∆2

1

2

1

)(T

pdvT

dTTcs V

∫∫ −=∆2

1

2

1

)(T

vdpT

dTTcs p

∫∫ +=2

1

2

1

)(v

RdvT

dTTcV

∫∫ −=2

1

2

1

)(p

RdpT

dTTcp

1

22

1

ln)(vvR

TdTTcs V +=∆ ∫

1

22

1

ln)(

ppR

TdTTc

s p −=∆ ∫

1

2

1

2 lnlnvvR

TTcs V +≈∆

1

2

1

2 lnlnppR

TTcs p −≈∆

1

2

1

2 lnlnvvR

TTcs V +=∆

1

2

1

2 lnlnppR

TTcs p −=∆

Si C es

constante

Exacto (dentro de la aproximación C(T))

Intervalos de T pequeños

T grandes

General

Tratamiento exacto con ayuda de tablas ∫2

1

/)( TdTTcpSólo depende de T

Definición: ∫≡T

o

po

TdTTc

Ts)(

)(

∫∫∫ −=⇒122

1 00

)()()( Tp

Tp

T

T

p

TdTTc

TdTTc

TdTTc

ooo sTsTs ∆=−= )()( 12

Se construye una tabla de s0 frente a T

1

2

1

22

1

lnln)(

ppRs

ppR

TdTTc

s op −∆=−=∆⇒ ∫

Proceso isoentrópico:1

2ln0ppRss o =∆⇒=∆

1

201

02

01

02

01

2

)/exp()/exp()exp(

r

r

s pp

RsRs

Rss

pp

≡=−

=

=∆

Sin unidades, sólo depende de T 1

2

01

2

r

r

s pp

pp

=

⇒

=∆

21

12

1

2

pTpT

vv

=rr pTv /≡ Sólo depende de T

1

2

01

2

r

r

s vv

vv

=

⇒

=∆

0=∆sCon las tablas de s0 se construyen tablas de pr y vr

)/exp( 0 Rspr ≡

Variación de S con p

Variación de S con T

11

22

21

12

//

r

r

r

r

pTpT

pTpT

==

1

2

1

22

1

lnln)(

ppRs

ppR

TdTTc

s op −∆=−=∆⇒ ∫1

2

01

2

r

r

s pp

pp

=

=∆

1

2

01

2

r

r

s vv

vv

=

=∆

1

2

1

2 lnlnvvR

TTcs V +=∆

1

2

1

2 lnlnppR

TTcs p −=∆Si C es constante

... y el proceso es isoentrópico

1

2

1

2 lnln0vvR

TTcV +=

1

2

1

2 lnlnvv

cR

TT

V

−=VV cR

cR

vv

vv

=

=

−

2

1

1

2 lnln

Definición:V

p

cc

k ≡

1

2

1

2 lnln0ppR

TTcp −=

pcR

pp

TT

==

2

1

1

2 ln.........................ln

1

2

2

1

pp

vv

k

=

O de forma equivalente constTvk =−1

constTp kk

=−1

constpvk =

... y el proceso es isotérmico constpv =

1

2

1

2

1

1

2

−

=

=

kcR

vv

vv

TT V

kk

pp

TT

1

1

2

1

2

−

=

Si C es constante proceso isoentrópicoV

p

cc

k ≡constpvk =

proceso isotérmico constpv =

proceso politrópico knconstpvn <<= 1

p

v

6.7 ENTROPÍA DE LÍQUIDOS Y SÓLIDOS

Tablas adecuadas

Entropía de líquidoss≈s(de saturación a la misma T) Como u, h y v

Cambio de entropía de líquidos y sólidos:

Se consideran incompresibles: VCC =⇒

∫=∆⇒ dTTCU )(TCU ∆=∆⇒

1

2lnTTCS =∆⇒∫∫ ==∆⇒

TdTTC

TdQS )( Si C es

constante

T constante 00 =∆=∆⇒ US

Ejemplo 24

T=500K kg 50

T=285K

T=285K kg 50

T=285K

∫∫ =

=∆

TdTTC

ThierrodQhierroS

REV

)()()(

KkJTTmc

TTC /65.12lnln

1

2

1

2 −===

C(hierro)=0.45kJ/kg

?=∆ TotalS

kJTmchierroQaguaQ 5.4837)()( =∆−=−=

TaguaQdQ

TTaguadQaguaS )(1)()( ===∆ ∫∫

KkJaguaS /97.16)( =∆

Proceso Irreversible

Proceso reversible entre los mismos estados inicial y final: uso de infinitos baños desde T=500K a 285K

Proceso reversible entre los mismos estados inicial y final: uso de un baño a T=285K

0/32.4)( >+=∆ KkJTotalS

Agua

Agua

Ejemplo 25

Compresor N2

2

1p1=100 kPa T1=290 K

T2=330 K p2=600 kPa

T

s

p1

p2

Cálculo exacto usando tablas de s0:

1

2lnppRss o −∆=∆

?=∆S

kmolKkJ /)695'190459'194( −

kmolKkJ /314'8

datos dados

kgKkJkmolKkJ /3974.0/133'11 −=−=

Cálculo aproximado tomando un valor medio de C entre las dos temperaturas y usando las tablas de C del nitrógeno:

1

2

1

2 lnlnppR

TTcs p −≈∆

kgKkJkPakPakgKkJ

KKkgKkJ /3978.0

100600ln/297.0

290330ln/0394.1 −=−=

N2 gas ideal en las condiciones dadas

Ejemplo 26

Cálculo exacto usando tablas de vr:

Cálculo aproximado tomando los calores específicos constantes:

AireT1=295 K p1=95kPa

T

s

v1

v2Proceso lento Proceso cuasiestático y adiabático

0=

=∆⇒ ∫

REVTdQS

⇒ Proceso REVERSIBLE

?8/ 212 == TVV

Aire como gas ideal

)()(

11

22

01

2

TvTv

vv

r

r

s

=

=∆

99.80819.657)()(

01

21122 ==

=

=∆srr v

vTvTv KT 7.6622 =→

1

2

1

1

2

−

=

k

vv

TT ( ) KK

vvTT

k

2.6658295 1391.11

2

112 ==

= −

−

vp cck /≡

?=k KT 450≈ kcc vp →→ ,

KT 1.480≈constTvk =−1

constTp kk

=−1

constpvk =

6.8 DISPOSITIVOS DE FLUJO PERMANENTE

Una entrada y una salida: compresor, turbina, difusor y tobera

210 Θ−Θ+−==∆ WQU

210 θθ −+−= wq

θddwdq −−=0

vdpdhdq −=

pc dededhd ++=θ

pc dedevdpdw −−−=

pc eevdpw ∆−∆−−= ∫

Si no hay trabajo: ecuación de Bernoulli

pc eevdp ∆−∆−−= ∫0

constv _0)(

2)( 12

21

22

12 =−+−

+− zzgppv υυ

Si son despreciablespc dede , ∫−= vdpw ¡¡¡ OJO !!!

W es trabajo relacionado con el VC,

mientras que v y p son variables del flujo

1

2

w

p

v

¡¡¡ OJO !!!

pc dede ,Si son despreciables y proceso adiabático dhvdpdw −=−=

)( 12 ppvvdpw −−≈−= ∫

>

<⇒

0_

0_

wtrabajoganamos

wtrabajohacemos )(|| 12 ppvw −−≈−

)(|| 12 ppvw −−≈+

)(|| 12 ppvw −≈

−

|||| 12 ppvw −≈

+

LIQUIDOVAPOR

CALDERA

CONDENSADOR

TURBINA

BOMBA

W

QL

QH

vaporlíquido ←

vaporlíquido →

Conveniencia de usar el volumen específico adecuado

!!!_ grandevconviene

!!!_ pequeñovconviene

Ejemplo 27

Liq. saturado vapor saturado

S

T 2

2

1 1

P=100kPa

p=1MPa

∆S=0

Bomba:

)(/001043.0 31 tablaskgmv = kgkJppvvdpwrev /94.0)( 121

2

1

−=−−≅−= ∫Compresor:

=−= ∫2

1

vdpwrev

00 ≅∆≅∆ pc ee

vdpTdsdh +=

21

2

1

hhdh −=− ∫ p1=100 kPaVapor Satur.

h1=2675.5 kJ/kg

s1=7.3594 J/kgKtablas

p2=1 MPa s2=s1

h2=3195.45 kJ/kgtablas

kgkJ /95.519−=

500 veces mas !!!

Agua

2a Ley en dispositivos de flujo permanente

pc dededhdwdq ++=−

pcrealreal dededhdwdq ++=−Dos procesos (uno reversible y el otro real) que operan entre los mismos flujos

dwdqdwdq realreal −=−

realreal dqdqdwdw −=−

Tdq

Tdq

Tdw

Tdw realreal −=−

Tdqds

Tdw

Tdw realreal −=−

Tdqds real>

0>−T

dwTdw realrealdwdw >⇒

>

<⇒

0,_

0,_

real

real

wwtrabajoganamos

wwtrabajohacemos

realww >

|||| realww −>− !!!|||| realww <

!!!|||| realww >

LAS IRREVERSIBLIDADES VAN EN CONTRA NUESTRA SIEMPRE

Compresor (∆ec≈0, ∆ep≈0)

Caso Gas ideal (reversible)

∫−= vdpw

proceso isoentrópico

V

p

cc

k ≡constpvk =

proceso isotérmico constpv =proceso politrópico knconstpvn <<= 1

)1(11

)(/)1(

1

2121

nn

pp

nnRT

nTTnR

−

−

−=

−−

= kn ≤<1

2

1lnppRT=

p

v

p

v

p

v

p

v

p

v

Diseño isotermo deseable

p

v

P2

Px

p1

Trabajo

ahorrado

Técnica de inter-enfriamiento:

)1(1

)1(1

/)1(

21

/)1(

1

1

nn

x

nn

x

pp

nnRT

pp

nnRTw

−−

−

−+

−

−=

Mínimo trabajo: 0=xdp

dw21 pppx =⇒

x

x

pp

pp 2

1

=⇒

)1(1

2/)1(

1

1

nn

x

pp

nnRTw

−

−

−=⇒

Ejemplo 28

Compresor Aire

p1=100 kPa T1=300 K

p2=900 kPa

p

v

P2

Px

p1

k=1.4

n=1.3

Isoterma

Ideal 2 etapas, n=1.3Aire como gas ideal ya que:

Tcr=-147ºC, pcr=3.39MPa

)1(1

/)1(

1

214.1,

kk

kisoS pp

kkRTw

−

=

−

−=

kgKkJaireR /287.0)( =

kgkJ /2.263... −==

)1(1

/)1(

1

213.1,

nn

npoli pp

nnRTw

−

=

−

−= kgkJ /4.246... −==

1

2lnppRTdp

pRTvdpwisoT −=−=−= ∫ ∫ kgkJ /2.189... −==

kPapppx 30021 ==

),1(2)2,(),1()2,1( 3.1,3.1,3.1,3.1,,2 xwxwxww npolinpolinpolinpolietapas ==== =+=

)1(1

2/)1(

1

1

nn

x

pp

nnRT

−

−

−= kgkJ /3.215... −==

Eficiencia adiabática del compresor(∆ec≈0, ∆ep≈0)

Condición usual

h

h2real

h2

h1s

w realw p1

p2

dhdw −=

)( 12 hhhw −−=∆−= )( 12 hhw realreal −−≈

12

12

hhhh

ww

realrealcompresor −

−≈=η

Eficiencia adiabática del turbina

Condición usual

h

h1

h2real

h2 s

wrealw p2

p1

21

21

hhhh

ww realreal

turbina −−

≈=η

Eficiencia isoterma del compresorreal

compresor ww

=η

p

v

P2

p1

Eficiencias: Definidas con el mismo estado inicial y misma presión de salida

pc dededhdwdq ++=−

Eficiencia adiabática de una bomba (∆ec≈0, ∆ep≈0)

Condición usual

dhdw −= )( 12

2

1

ppvvdpw −−=−= ∫ )( 12 hhw realreal −−≈

12

12 )(hhppv

ww

realrealbomba −

−≈=η

Eficiencia adiabática de una tobera (∆ep≈0)

Condición usual

h

h1

h2real

h2 s

wrealw p2

p1

0== dqdw cdedh +=0 2)(

21 2

221

2212

ννν ≈−=− hh

2

22

12real

real hh ν≈− 21

21

hhhh real

tobera −−

≈η

22

22

,

,

)()(

vv

isoSErealE real

salidac

salidactobera ==η

Ejemplo 29

Turbina Agua

p1=3 MPa T1=400ºC

p2=50 kPa T2=100ºC

MWW real 2=•

p1=3 MPaT1=400ºC

h1=3230.9 kJ/kg

s1=6.9212 kJ/kgK

p2a=50 kPaT2a=100ºC h2a=2682.5 kJ/kg

tablasEstado inicial

Estado 2a

p2s=50 kPas2s=s1

Estado 2ssf=1.0910 kJ/kgK

sg=7.5939 kJ/kgK

897.02 =−

−=

fg

fs

ssss

x

kgkJhhxhh fgfs /4.2407...)(2 ==−+=

s

arealturbina hh

hhw

w

21

21

−−

≈=η 667.0... ==

Θ−Θ+−=∆ ∑∑

salidasj

entradasiWQE

)(00 21 ahhmW −+−=••

?=turbinaη

skgm /65.3... ==•

?=•

m

tablas

tablas

P=50kPa

S

T

2a real

1p=3MPa

2s rev

s2s=s1

400ºC

100ºC

P=50kPa

2a real

1p=3MPa

2s rev

s2s=s1

400ºC

100ºC

s

arealturbina hh

hhw

w

21

21

−−

≈=η

h

h1

h2real

h2s s

wrealw p2

p1

h

h1

h2real

h2s s

wrealwp2

p1

P=50kPa

S

T

2a real

1p=3MPa

2s rev

s2s=s1

400ºC

100ºC

h

h1

h2real

h2s s

wrealwp2

p1

Ejemplo 30

Tobera Aire

p1=200 kPa T1=950 K vel1<<vel2

p2=80 kPa

92.0=adiaη h

h1

h2real

h2s s

wrealw p2

p1?_ 2 =velmáxima

?_2 =realvel

?)(2 =realT

Aire como gas ideal ya que: Tcr=-147ºC, pcr=3.39MPaConsidere los calores específicos constantes

)_(_Pr_ 2 adiabáticoreversibleocesovelmáxima ⇒ coisoentrópioceso _Pr⇒

Θ−Θ+−=∆ ∑∑

salidasj

entradasiWQE

)22

(022

2

21

1svelhvelhmWQ +−++−=

)( 12 TTch sp −=∆

kk

s

pp

TT

1

1

2

1

2

−

= KT s 7482 =

)(2 212 sps TTcvel −=

sm /666=

Cp media en el rango 748-950K:

1.099kJ/kgK

svelvelmáxima 22_ =

Ejemplo 30

Tobera Aire

p1=200 kPa T1=950 K vel1<<vel2

p2=80 kPa

92.0=adiaη h

h1

h2real

h2s s

wrealw p2

p1?_ 2 =velmáxima

?_2 =realvel

?)(2 =realT

Aire como gas ideal ya que: Tcr=-147ºC, pcr=3.39MPaConsidere los calores específicos constantes

s

realtobera hh

hh21

21

−−

=η)()(

21

21

sp

realp

TTcTTc−−

= KT real 7642 =

22

22

s

realtobera v

v=η smrealvel /639)(2 =