제 6 장 디지털 필터 구조 (C)

6.3 FIR 필터 구조 (1)

유한 구간(finite-duration) 임펄스 응답 필터는 다음과 같은 형태의 시스템 함수를 가지고 있다.

그러므로 임펄스 응답 h(n) 은

이고, 차분 방정식의 표현은 다음과 같다.

이것은 유한 구간의 선형 콘벌루션이다. 필터의 차수는 M-1이다. 반면에 필터의 길이(이것은 계수의 개수와 같다)는 M이다. FIR 필터 구조는 언제나 안정적이고, IIR 구조에 비해 비교적 간단하다. 게다가 FIR 필터는 몇몇 응용 분야에서 바람직한 선형 위상 응답을 갖도록 설계할 수 있다. 이 절에서는 다음의 4가지 구조에 대해 알아본다.

· 직접형(Direct form) : 이 형태에서는 차분 방정식 (6.8)을 주어진 대로 직접 구현한다.

· 종속형(Cascade form) : 이 형태에서는 식 (6.6)의 시스템 함수 를 2차의 인수들로 인수분해 한다. 그리고 나서 이것들의 종속 접속을 통해 구현한다. · 선형 위상형(Linear-phase form) : FIR 필터가 선형 위상 응답을 가질 때, 그것의 임펄스 응답은 어떤 대칭성을 나타낸다. 이 형태에서는 곱셈을 거의 반으로 줄일 수 있는 이러한 대칭 관계식들에 대해 알아본다.

· 주파수 샘플링형(Frequency sampling form) : 이 형태는 임펄스 응답 h(n)의 DFT

를 기반으로 하고, 병렬형 구조를 만들어낸다. 또한 이것은 주파수 응답 를 기반으로 하는 설계 기술에 적합하다.

직접형(Direct form)

차분 방정식 (6.8)은 귀환 경로가 없으므로, 탭지연선으로 구현한다. M=5, 즉 4차 FIR 필터일 때,

이 된다. 그림 6.13 에 직접형 구조를 나타내었다. 분모가 1 이므로 오직 하나의 직접형 구조만 있음을 주목하여라. 그림 6.13 에서 보듯이 배열의 각 탭에서의 신호는 계수에 의해 가중되고 결과값은 합해져서 출력이 된다.

그림 6.13 직접형 FIR 구조

종속형(Cascade form)

이 형태는 IIR 필터의 종속형과 유사하다. 면저 시스템 함수 를 실수 계수를 갖는 2차 부분들의 곱으로 전환한다. 이 부분들을 다시 직접형으로 구현하고, 전체 필터를 2차 부분들의 종속으로 구현한다. 식 (6.5)로부터 다음의 식을 얻을 수 있다.

여기서 K는 과 같고, 는 2차 부분들의 계수를 나타내는 실수들이다. M=7인 경우의 종속형 구조를 그림 6.14에 나타내었다.

그림 6.14 종속형 FIR 구조

선형 위상형(Linear-phase form)

선형 위상 시스템의 많은 잇점이 주파수 응답을 가지는 시스템에도 적용이 되므로, 선형 위상의 정의와 개념을 어느정도 일반화 할 필요가 있다. 시스템의 주파수 응답을 다음 형태로 표현할 수 있을 때 이를 선형 위상 (linear-phase) 시스템이라고 한다.

윗식에서 와 는 상수이고 는 의 실함수이다. 주파수 응답이 윗식과 같은 형태인 시스템의 위상은 선형함수 와 상수의 합으

로 구성되기 때문에 선형 위상 시스템이라고 부른다. 그러나 의 일부 또는 전체대역에서 상수항으로 인하여 생성되는 불연속성을 무시한다면, 시스템의 군지연은 상수이다. 즉,

과 같은 종류의 시스템은 더욱 일반화된 형태인

의 선형 위상을 갖는다. 여기서 =0 or 이고, 는 상수이다. 의 구간에서 임펄스 응답을 갖는 인과적 FIR 필터에 대해, 선형 위상 조건 (6.10)는 임펄스 응답 h(n) 에 다음과 같은 대칭 조건을 부과한다.

식 (6.11)을 만족하면 다음식이 성립한다.

위식에서 는 의 주기적 실 우함수이다. 이 때 임펄스(impulse) 응답을 대칭(symmetric) 임펄스 응답이라고 한다. 반면, 식 (6.12) 을 만족하면 다음식이 만족한다.

위식에서 는 의 주기적 실 기함수이다. 이때 임펄스 응답을 반대칭(antisymmetric) 임펄스 응답이라고 한다. 이제 이 대칭 조건들을 선형 위상형이라고 하는 구조에 이용할 수 있다. 식 (6.11) 과 같은 대칭 임펄스 응답을 갖는, 식 (6.8)에 주어진 차분 방정식을 생각해 보자. 그러면,

을 얻게 된다. 짝수와 홀수의 M에 대한 차분 방정식의 블록선도 구현을 그림 6.15에 나타내었다.

그림 6.15 선형 위상형 FIR 구조(대칭 임펄스 응답)

이 구조는 직접형보다 50% 적은 곱셈을 필요로 한다. 선형 위상 시스템은 대칭 조

건에 의해 영점이 영상 쌍으로 나타난다. 즉 가 의 영점이라면 또한

의 영점이 된다. 또 h(n)이 실수라면 의 영점은 켤레 복소수쌍으로 나타난다. 결국 단위원 상에 있지 않은 실수 영점은 역수쌍으로 나타난다. 단위원상에 있지 않은 복소수 영점은 켤레복소수와 역수의 4개가 그룹으로 나타난다. 영점이 단위원 위에 있으면 그 역수는 또 그의 켤레가 된다. 따라서 단위원위의 복소수 영점은 쌍으로 그룹을 지울 수 있다. ? 예제 6.4 어떤 FIR 필터의 시스템 함수가 다음과 같이 주어졌다.

직접형, 선형 위상형, 종속형 구조를 구하고, 그림을 그려라. 다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다. 예제 6.4의 해 CEMTool>> b=[1, 0, 0, 0, 16+1/16, 0, 0, 0, 1]; CEMTool>> [b0,B,A] = drt2cas(b,1) b0 = 1 B = 1.0000 2.8284 4.0000 1.0000 0.7071 0.2500 1.0000 -0.7071 0.2500 1.0000 -2.8284 4.0000 A = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a. 직접형 : 차분 방정식은 다음과 같이 주어진다.

직접형 구조는 그림 6.16(a)에 나타내었다.

b. 선형 위상형 : 차분 방정식은 다음과 같이 주어진다.

선형 위상형 구조는 그림 6.16(b)에 나타내었다. c. 종속형 :

종속형 구조는 그림 6.16(c)에 나타내었다.

그림 6.16 FIR 필터의 구조 (a)직접형 (b)선형 위상형 (c)종속형

? 예제 6.5 위 예제의 필터에서 실수 계수를 가진 선형 위상형 요소를 포함하는 종속형을 원한다면, 구조가 어떻게 되는가? 다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다. 예제 6.5의 해 CEMTool>> b=[1, 0, 0, 0, 16+1/16, 0, 0, 0, 1]; CEMTool>> broots = roots(b) broots = -1.4142 - 1.4142i -1.4142 + 1.4142i 1.4142 - 1.4142i 1.4142 + 1.4142i -0.3536 - 0.3536i -0.3536 + 0.3536i 0.3536 - 0.3536i 0.3536 + 0.3536i CEMTool>> B1 = real(poly([broots(1),broots(2),broots(5),broots(6)])) B1 = 1.0000 3.5355 6.2500 3.5355 1.0000 CEMTool>> B2 = real(poly([broots(3),broots(4),broots(7),broots(8)])) B2 = 1.0000 -3.5355 6.2500 -3.5355 1.0000 관심있는 곳은 대칭성과 실수 계수를 가진 종속형 부분이다. 7장에 나오는 선형 위상 FIR 필터의 성질들로부터, 만약 그런 필터가 임의의 에서 0의 값을 갖

는다면, 실수 계수를 갖기 위해 에

서 서로 다른 3개의 영점들을 가져야 함을 알 수 있다. 이 성질을 다음과 같이 사용할 수 있다. 먼저 주어진 8차 방정식에서 영점의 위치를 결정한다. 그리고, 하나의 4차 선형 위상 부분을 얻기 위해 위의 성질을 만족하는 4개의 영점들을 묶는다. 그러한 부분이 2개 있는데, 이것들을 종속형으로 연결한다. 이 구조를 그림 6.17에 나타내었다.

그림 6.17 FIR 선형 위상 요소의 종속형 구조 다음은 MatLab 으로 계산된 결과 입니다. 예제 6.5의 해

>> b=[1, 0, 0, 0, 16+1/16, 0, 0, 0, 1]; >> broots = roots(b) broots = -1.4142 + 1.4142i -1.4142 - 1.4142i 1.4142 + 1.4142i 1.4142 - 1.4142i -0.3536 + 0.3536i -0.3536 - 0.3536i 0.3536 + 0.3536i 0.3536 - 0.3536i

>> B1 = real(poly([broots(1),broots(2),broots(5),broots(6)])) B1 = 1.0000 3.5355 6.2500 3.5355 1.0000

>> B2 = real(poly([broots(3),broots(4),broots(7),broots(8)])) B2 = 1.0000 -3.5355 6.2500 -3.5355 1.0000