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5

Los conceptos de energía y conservación de la energía se ori-ginaron mayormente en el estudio de la mecánica clásica. Unatransformación sencilla de la segunda ley de Newton resultaen una ecuación que da lugar a las definiciones de trabajo,energía cinética (energía debida al movimiento de un objeto) y energía potencial (energía debida a la posición de un obje-to). Esta relación puede simplificar en forma considerable lasolución de problemas en los que intervienen fuerzas que dependen de la posición de un cuerpo, como las fuerzas gravitatorias o las fuerzas ejercidas por resortes.

vy

Nivel de referencia

� Un columpio proporciona diversión al transformar la energía potencial dela altura en la energía cinética del movimiento. En este capítulo se empleanlos métodos energéticos para analizar el movimiento de los objetos.

166 Capítulo 15 Métodos energéticos

15.1 Trabajo y energía cinética

ANTECEDENTESPrincipio del trabajo y la energíaSe ha usado la segunda ley de Newton para relacionar la aceleración del centro demasa de un cuerpo con su masa y las fuerzas externas que actúan sobre él. Ahorase mostrará la manera en que la segunda ley de Newton, que es una ecuación vec-torial, puede transformarse en una forma escalar muy útil en ciertas circunstancias.Se comienza con la segunda ley de Newton en la forma

(15.1)

y se toma el producto punto de ambos lados con la velocidad:

(15.2)

Se expresa el lado izquierdo de esta ecuación como

y se escribe el lado derecho como

de donde se obtiene

(15.3)

donde v2= v � v es el cuadrado de la magnitud de la velocidad. El término en el lado

izquierdo de la ecuación (15.3) es el trabajo expresado en términos de la fuerzaexterna total sobre el objeto y del desplazamiento infinitesimal dr de su centro demasa. Integrando la ecuación (15.3) se obtiene

(15.4)

donde v1 y v2 son las magnitudes de la velocidad del centro de masa del objeto cuan-do éste se encuentra en las posiciones r1 y r2, respectivamente. El término 1–

2mv2 se

denomina la energía cinética asociada con el movimiento del centro de masa. Si eltrabajo realizado cuando el centro de masa se mueve de r1 a r2 se denota con

(15.5)

Se obtiene el principio del trabajo y la energía:

El trabajo realizado sobre un objeto cuando éste se mueve entre dosposiciones es igual al cambio en su energía cinética.

(15.6)U12 =12 mv2

2-

12 mv1

2.

U12 = Lr2

r1

©F # dr,

Lr2

r1

©F # dr =12 mv2

2-

12 mv1

2,

©F # dr =12 m d1v22,

m

dvdt

# v =12 m

d

dt1v # v2,

©F # v = ©F # drdt

©F # v = m

dvdt

# v.

©F = m

dvdt

,

15.1 Trabajo y energía cinética 167

Las dimensiones del trabajo y consecuentemente las de la energía cinética, son(fuerza) * (longitud). En unidades SI, el trabajo se expresa en N-m o joules (J). Enunidades de uso común en Estados Unidos, el trabajo se expresa en pies-lb.

Si el trabajo realizado sobre un objeto cuando éste se mueve entre dos posi-ciones puede ser evaluado, el principio del trabajo y la energía permite determinarel cambio en la magnitud de la velocidad del objeto. También se puede aplicar esteprincipio a un sistema de objetos, igualando el trabajo total realizado por fuerzasexternas con el cambio en la energía cinética total del sistema. Pero el principiodebe aplicarse con cuidado porque, como se demuestra en el ejemplo 15.3, las fuer-zas internas pueden realizar trabajo neto sobre un sistema.

Aunque el principio del trabajo y la energía relaciona el cambio en la posiciónde un objeto con el cambio en su velocidad, no es conveniente para obtener otrainformación acerca del movimiento del objeto, como el tiempo requerido paramoverse de una posición a otra. Además, como el trabajo es una integral respectoa la posición, por lo general sólo puede evaluarse cuando las fuerzas que lo reali-zan se conocen como funciones de la posición. A pesar de estas limitaciones, elprincipio es muy útil para ciertos problemas porque el trabajo puede determinarsecon facilidad.

Evaluación del trabajoConsidere un objeto en movimiento curvilíneo respecto a un marco de referenciainercial (figura 15.1a) y especifique su posición por la coordenada s medida a lolargo de su trayectoria desde un punto de referencia O. En términos del vectorunitario tangencial et, la velocidad del objeto es

Como v = dr>dt, se puede multiplicar la velocidad por dt a fin de obtener unaexpresión para el vector dr que describe un desplazamiento infinitesimal a lo largode la trayectoria (figura 15.1b):

El trabajo realizado por las fuerzas externas que actúan sobre el objeto como resul-tado del desplazamiento dr es

©F # dr = 1©F # et2 ds = ©Ft ds,

dr = v dt = ds et.

v =ds

dt et.

s

et

O

(a)

sO

ds

dr

(b)

�Ft

s1

s2

(c)

Figura 15.1(a) Coordenada s y vector unitario tangente.(b) Desplazamiento infinitesimal dr.(c) El trabajo realizado de s1 a s2 está determinado por la componente

tangencial de las fuerzas externas.


�Ft

s1 s2s

(a)

�Ft

s1 s2 s

(b)

�Ft

s1

(c)

s2s

Figura 15.2(a) El trabajo es igual al área definida por la gráfica de la fuerza

tangencial en función de la distancia a lo largo de la trayectoria.(b) Si la fuerza tangencial es opuesta a la dirección del movimiento, se

realiza un trabajo negativo.(c) El trabajo realizado por una fuerza tangencial constante es igual al

producto de la fuerza por la distancia.

donde ©Ft es la componente tangencial de la fuerza total. Por lo tanto, al moverseel objeto de una posición s1 a una posición s2 (figura 15.1c), el trabajo es

(15.7)

El trabajo es igual a la integral de la componente tangencial de la fuerza totalrespecto a la distancia a lo largo de la trayectoria. Así, el trabajo efectuado esigual al área definida por la gráfica de la fuerza tangencial de s1 a s2 (figura15.2a). Las componentes de fuerza perpendiculares a la trayectoria no traba-jan. Observe que si ©Ft es opuesta a la dirección del movimiento sobre algunaparte de la trayectoria, lo que significa que el objeto se está desacelerando, eltrabajo es negativo (figura 15.2b). Si ©Ft es constante entre s1 y s2, el trabajoes simplemente el producto de la fuerza total tangencial por el desplazamiento(figura 15.2c):

U12 = ©Ft1s2 - s12. Fuerza tangencial constante (15.8)

PotenciaLa potencia es la razón con que se efectúa trabajo. El trabajo realizado por lasfuerzas externas que actúan sobre un cuerpo durante un desplazamiento infini-tesimal dr es

©F � dr.

Se obtiene la potencia P dividiendo esta expresión entre el intervalo de tiempo dtdurante el cual tiene lugar el desplazamiento:

P = ©F � v. (15.9)

U12 = Ls2

s1

©Ft ds.


v

m

La energía cinética asociada con el movimientodel centro de masa de un objeto con masa m se

la magnitud de la velocidad del centro de masa.

mv2, donde v2 es el cuadrado dedefine como 12

El trabajo realizado por la fuerza externa total que ac-túa sobre un objeto cuando su centro de masa se muevede una posición r1 a una posición r2 está definido por

U12 � �F � dr. (15.5)Lr1

r2r2

r1

�F

Ésta es la potencia transmitida hacia o desde el objeto, dependiendo de si P espositiva o negativa. En unidades SI, la potencia se expresa en newton-metro porsegundo, que es un joule por segundo 1J/s2 o watt (W). En unidades de uso comúnen Estados Unidos, la potencia se expresa en libras-pie por segundo o el anacronis-mo caballos de fuerza (hp), que es igual a 746 W o aproximadamente 550 pies-lb/s.

Observe en la ecuación (15.3) que la potencia es igual a la razón de cambiode la energía cinética del objeto:

La transmisión de potencia hacia o desde un objeto hace que su energía cinéticaaumente y disminuya, respectivamente. Si se emplea esta relación, es posibleescribir el promedio de la potencia respecto al tiempo durante un intervalo de tiem-po de t1 a t2 como

Efectuando la integración, se encuentra que la potencia promedio transmitidahacia o desde un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en suenergía cinética, o al trabajo realizado, dividido entre el intervalo de tiempo:

(15.10)

RESULTADOSPrincipio del trabajo y la energía

Pav =

12 mv2

2-

12 mv1

2

t2 - t1

=U12

t2 - t1

.

Pav =1

t2 - t1Lt2

t1

P dt =1

t2 - t1Lv 2

2

v 12

12 m d1v22.

P =d

dt A 1

2 mv2 B .

Pprom

Pprom


Trabajo realizado cuando un objeto semueve de un punto s1 a un punto s2,donde �Ft es la componente tangencialde la fuerza externa total sobre el objeto.Las componentes de fuerza normales ala trayectoria no trabajan.

(15.7)

Si �Ft es constante entre s1 y s2, el trabajoes el producto de la fuerza tangencial porla distancia a lo largo de la trayectoria.

U12 � �Ft (s2 � s1). (15.8)

�Ft

s1

s2

U12 � �Ft ds,Ls1

s2

Evaluación del trabajo

Potencia, o razón a la cual se realiza eltrabajo sobre un objeto por la fuerza ex-terna total que actúa sobre éste, donde ves la velocidad del centro de masa.

P � �F � v, (15.9)

Potencia

La potencia promedio transmitida a unobjeto durante un intervalo de tiempo det1 a t2 es igual al cambio en su energía ci-nética, o al trabajo realizado sobre el obje-to dividido entre el intervalo de tiempo.

Pprom � � . (15.10)t2 � t1

mv22 � mv2

1 U12

t2 � t1

12

12

El principio del trabajo y la energía estableceque el trabajo realizado sobre un objeto cuan-do éste se mueve entre dos posiciones esigual al cambio en su energía cinética.

U12 � mv � mv . (15.6)12

12

22

21


Ejemplo activo 15.1 Trabajo y energía en el movimiento rectilíneo (� Relacionado con el problema 15.1)

El recipiente A de 180 kg que se muestra en la figura parte desde el reposo en la po-sición s = 0. La fuerza horizontal (en newtons), que es ejercida sobre el recipientepor el pistón hidráulico, está dada como una función de la posición s en metros porF = 700 - 150s. El coeficiente de fricción cinética entre el recipiente y el piso esmk = 0.26. ¿Cuál es la velocidad del recipiente cuando éste ha alcanzado la posicións = 1 m?

EstrategiaLa fuerza que actúa sobre el recipiente está dada como una función de su posición,por lo que se puede usar la ecuación (15.7) para determinar el trabajo realizadosobre éste. Aplicando el principio del trabajo y la energía, es posible determinar elcambio en su velocidad.

Solución

Problema de práctica Suponga que la masa del recipiente A es de 120 kg. ¿Cuál essu velocidad cuando llega a la posición s = 1 m?

Respuesta: 2.31 m/s.

s

A

Dibuje el diagrama de cuerpo libre del recipien-te e identifique las fuerzas que realizan trabajo.La fuerza ejercida por el cilindro hidráulico y lafuerza de fricción son tangentes a la trayectoria.Para calcular la fuerza de fricción, se necesita lafuerza normal N. El recipiente no tiene acelera-ción en la dirección vertical, por lo queN � (180 kg)(9.81 m/s2) � 1770 N.

s

N

F

mkN

(180 kg)(9.81 m/s2)

A

Evalúe el trabajo realizado mientras el recipiente semueve desde su posición inicial hasta s � 1 m.

U12 � �Ft dss1L

s2

� (F � mkN)ds0L

1

�

� 166 N-m.

[(700 � 150s) � (0.26)(1770)]ds0L

1

Aplique el principio del trabajo y la energíapara determinar la velocidad del recipientecuando éste llega a s � 1 m. Resolviendose obtiene v2 � 1.36 m/s.

A

v

s

166 N-m � (180 kg)v22 � 0.

U12 � mv22 � mv2

1 :

12

12

12


Ejemplo 15.2 Aplicación del trabajo y la energía a un sistema (� Relacionado con el problema 15.23)

Las dos cajas mostradas se liberan desde el reposo. Sus masas son mA = 40 kg ymB = 30 kg, y el coeficiente de fricción cinética entre la caja A y la superficie in-clinada es mk = 0.15. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de las cajas cuandose han desplazado 400 mm?

EstrategiaLa velocidad se determinará de dos maneras.

Primer método Dibujando los diagramas de cuerpo libre de las cajas aisladas yaplicando el principio del trabajo y la energía de manera individual, se puedenobtener dos ecuaciones en términos de la magnitud de la velocidad y la tensión enel cable.

Segundo método Se puede dibujar un solo diagrama de cuerpo libre de las doscajas, el cable y la polea, y aplicar el principio del trabajo y la energía al sistemacompleto.

SoluciónPrimer método En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la caja A.Las fuerzas que realizan trabajo cuando la caja se mueve hacia abajo sobre el planoson las fuerzas tangenciales a su trayectoria: la tensión T; la componente tangencialdel peso, mAg sen 20°; y la fuerza de fricción mkN. Como la aceleración de la cajanormal a la superficie es cero, N = mAg cos 20°. La magnitud v de la velocidad ala cual se mueve A en forma paralela a la superficie es igual a la magnitud de lavelocidad a la cual cae B (figura b). Usando la ecuación (15.7) para determinar eltrabajo, se iguala el trabajo realizado sobre A, cuando ésta se mueve de s1 = 0 as2 = 0.4 m, con el cambio en su energía cinética.

(1)

Las fuerzas que realizan trabajo sobre la caja B son su peso mBg y la tensión T (figu-ra c). La magnitud de la velocidad de B es igual que la de la caja A. El trabajo hechosobre B es igual al cambio en su energía cinética.

(2)L0.4

0

1mB g - T2 ds =12 mB v2

2- 0.

Ls2

s1

©Ft ds =12 mv2

2-

12 mv1

2:

A

B

20�

v

v

A

B20�

(b) La magnitud de la velocidad de cada cajaes la misma.

20�

T

N

mAgA

0.4 m

mkN

(a) Diagrama de cuerpo libre de A.

L0.4

0

3T + mAg sen 20° - mk1mAg cos 20°24 ds =12 mAv2

2- 0.

Ls2

s1

©Ft ds =12 mv2

2-

12 mv1

2:


B

T

mBg

0.4 m

(c) Diagrama de cuerpo libre de B.

(d) Diagrama de cuerpo libre del sistema.

20�

N

mAgA

0.4 m

mkN

B mBg

0.4 m

Razonamiento críticoA menudo se encontrará que es más sencillo aplicar el principio del trabajo y laenergía a un sistema completo que a sus partes por separado. Sin embargo, comose verá en el siguiente ejemplo, las fuerzas internas en un sistema pueden realizarun trabajo neto.

Sumando las ecuaciones (1) y (2) se elimina T y se obtiene

Despejando la velocidad, se obtiene v2 = 2.07 m/s.

Segundo método Se dibuja el diagrama de cuerpo libre del sistema que con-siste en las cajas, el cable y la polea de la figura d. Observe que la tensión delcable no aparece en este diagrama. Las reacciones en el soporte de pasador de lapolea no realizan trabajo porque el soporte no se mueve. El trabajo total realizadopor las fuerzas externas sobre el sistema cuando las cajas se mueven 400 mm esigual al cambio en la energía cinética total del sistema.

Esta ecuación es idéntica a la obtenida aplicando el principio del trabajo y la energíade manera individual a las cajas.

340 sen 20° - 10.1521402 cos 20° + 30419.81210.42 =12140 + 302v2

2.

=12 mAv2

2+

12 mBv2

2- 0:

L0.4

0

3mAg sen 20° - mk1mAg cos 20°24 ds + L0.4

0

mBg ds

340 sen 20° - 10.1521402 cos 20° + 30419.81210.42 =12140 + 302v2

2.

L0.4

0

1mAg sen 20° - mkmAg cos 20° + mBg2 ds =121mA + mB2v2

2:


F

20�

Problema 15.4

12 m/s

1 m

Problemas 15.5/15.6

Problemas 15.7/15.8

Problema 15.2

F

Problema 15.3

Problemas

� 15.1 En el ejemplo activo 15.1, ¿cuál es la velocidad del recipiente cuando éste ha llegado a la posición s = 2 m?

15.2 La masa del helicóptero Sikorsky UH-60A es de 9300 kg.Despega verticalmente con su rotor ejerciendo un empuje constan-te hacia arriba de 112 kN. Use el principio del trabajo y la energíapara determinar la altura a la que se eleva el helicóptero cuando suvelocidad es de 6 m/s.

Estrategia: Asegúrese de dibujar el diagrama de cuerpo libredel helicóptero.

15.3 La caja de 20 lb se encuentra en reposo sobre la superfi-cie horizontal cuando se aplica la fuerza constante F = 5 lb. Elcoeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es mk

= 0.2. Determine la velocidad a la que se está moviendo la cajacuando se ha desplazado 2 pies desde su posición inicial a) apli-cando la segunda ley de Newton; b) aplicando el principio deltrabajo y la energía.

15.5 La pelota de fútbol de 0.45 kg que se muestra en la figuraestá a 1 m sobre el suelo cuando es pateada directamente haciaarriba a 10 m/s. Usando el principio del trabajo y la energía, de-termine: a) la altura a la que llega la pelota, b) la magnitud de lavelocidad de la pelota cuando cae de nuevo a una altura de 1 msobre el suelo, c) la magnitud de la velocidad de la pelota inme-diatamente antes de golpear el suelo.

15.6 Suponga que la pelota de fútbol mostrada está en reposo hastaque es pateada hacia arriba a 12 m/s. La duración de la patadaes 0.02 s. ¿Cuál es la potencia promedio transferida a la pelotadurante la patada?

15.7 El vehículo de carreras de 2000 lb que se muestra en lafigura parte desde el reposo y recorre una pista de un cuarto demilla. Completa el recorrido en 4.524 segundos y cruza la líneade meta a 325.77 mi/h. a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el vehículo mientras éste recorre la pista? b) Suponga que la fuerzahorizontal ejercida sobre el vehículo es constante y utilice elprincipio del trabajo y la energía para determinarlo.

15.8 El vehículo de carreras de 2000 lb que se muestra en lafigura parte desde el reposo y recorre una pista de un cuarto demilla. Completa el recorrido en 4.524 segundos y cruza la líneade meta a 325.77 mi/h. Suponga que la fuerza horizontal ejercidasobre el vehículo es constante. Determine a) la potencia máximay b) la potencia promedio transmitida al vehículo mientras ésterecorre la pista de un cuarto de milla.

15.4 En el instante mostrado, la caja de 30 lb se mueve haciaarriba sobre la superficie inclinada lisa a 2 pies/s. La fuerzaconstante F = 15 lb. ¿A qué velocidad se estará moviendo lacaja cuando ésta se haya desplazado 1 pie hacia arriba sobre la superficie a partir de su posición actual?

20 kg

4 kg

Problemas 15.24/15.25

Problemas 179

� 15.23 En el ejemplo 15.2, suponga que el ángulo entre lasuperficie inclinada y la horizontal se aumenta de 20° a 30°.¿Cuál es la magnitud de la velocidad de las cajas cuando éstasse han movido 400 mm?

15.24 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. La masade 4 kg se desliza sobre la superficie horizontal lisa. Usando elprincipio del trabajo y la energía, determine la magnitud de lavelocidad de las masas cuando la de 20 kg ha caído 1 m.

15.25 Resuelva el problema 15.24 si el coeficiente de friccióncinética entre la masa de 4 kg y la superficie horizontal es mk = 0.4.

45�

30�


15.26 Cada una de las cajas mostradas pesa 50 lb y las superficiesinclinadas son lisas. El sistema se suelta desde el reposo. Determinela magnitud de las velocidades de las cajas cuando éstas se hanmovido 1 pie.

15.27 Resuelva el problema 15.26 si el coeficiente de friccióncinética entre las cajas y las superficies inclinadas es mk = 0.05.

A

BC

45�

Problemas 15.28 –15.30

15.28 Las masas de los tres bloques mostrados son mA = 40 kg,mB =16 kg y mC = 12 kg. Ignore la masa de la barra que mantienea C en su sitio. La fricción es insignificante. Aplicando el principiodel trabajo y la energía a A y B de manera individual, determine lamagnitud de sus velocidades cuando se hayan movido 500 mm.

15.29 Resuelva el problema 15.28 aplicando el principio deltrabajo y la energía al sistema formado por A, B, el cable quelos conecta y la polea.

�15.30 Las masas de los tres bloques mostrados son mA = 40kg, mB =16 kg y mC = 12 kg. El coeficiente de fricción cinéticaentre todas las superficies es mk = 0.1. Determine la magnitud dela velocidad de los bloques A y B cuando se han movido 500 mm.(Vea el ejemplo 15.3).


(a)

2z

�mgj

(x1, y1, z1)1

x

y

(x2, y2, z2)z

(b)

2

x

y

1

Figura 15.3(a) Objeto que se mueve entre dos posiciones.(b) El trabajo realizado por el peso es igual para cualquier trayectoria.

15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares

ANTECEDENTESSe ha visto que si la componente tangencial de la fuerza externa total sobre unobjeto se conoce en función de la distancia a lo largo de su trayectoria, el princi-pio del trabajo y la energía puede usarse para relacionar un cambio de posición conel cambio de velocidad del objeto. Sin embargo, para ciertos tipos de fuerzas sepuede determinar no sólo el trabajo sin conocer la componente tangencial de lafuerza en función de la distancia a lo largo de la trayectoria, sino que incluso no esnecesario conocer la trayectoria. Dos ejemplos importantes son el peso y la fuerzaejercida por un resorte.

PesoPara evaluar el trabajo hecho por el peso de un objeto, se orienta un sistema coor-denado cartesiano con el eje y hacia arriba y se supone que el objeto se mueve dela posición 1 con coordenadas 1x1, y1, z12 a la posición 2 con coordenadas 1x2, y2,z22 (figura 15.3a). La fuerza ejercida por el peso del objeto es F = -mgj. (Hay otrasfuerzas que pueden actuar sobre el objeto, pero aquí sólo interesa el trabajo reali-zado por su peso). Como v = dr>dt, se puede multiplicar la velocidad, expresadaen coordenadas cartesianas, por dt a fin de obtener una expresión para el vector dr:

Tomando el producto punto de F y dr se obtiene

El trabajo realizado al moverse el cuerpo de la posición 1 a la posición 2 se reducea una integral con respecto a y:

U12 = Lr2

r1

F # dr = Ly2

y1

- mg dy.

F # dr = 1-mgj2 # 1dx i + dy j + dz k2 = -mg dy.

dr = adx

dt i +

dy

dt j +

dz

dt kb dt = dx i + dy j + dz k.

15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 181

Evaluando la integral se obtiene el trabajo realizado por el peso de un objeto cuandoéste se mueve entre dos posiciones:

U12 = -mg1y2 - y12. (15.11)

El trabajo es simplemente el producto del peso por el cambio en la altura del obje-to. El trabajo realizado es negativo si la altura aumenta y positivo si disminuye.Observe que el trabajo realizado es el mismo independientemente de la trayecto-ria que siga el cuerpo entre la posición 1 y 2 (figura 15.3b). Así, no es necesarioconocer la trayectoria para determinar el trabajo realizado por el peso de un objeto;sólo se requiere conocer las alturas relativas de las posiciones inicial y final.

¿Qué trabajo realiza el peso de un objeto si se toma en cuenta su variación conla distancia desde el centro de la Tierra? En términos de coordenadas polares, sepuede escribir el peso de un objeto a una distancia r desde el centro de la Tierracomo (figura 15.4)

Usando la expresión para la velocidad en coordenadas polares, se obtiene, para elvector dr = v dt,

(15.12)

El producto punto de F y dr es

por lo que el trabajo se reduce a una integral con respecto a r:

Evaluando la integral, se obtiene el trabajo realizado por el peso de un objeto, con-siderando la variación del peso con la altura:

(15.13)U12 = mgRE2a

1

r2

-1

r1

b .

U12 = Lr2

r1

F # dr = Lr2

r1

-mgRE

2

r2 dr.

F # dr = a - mgRE2

r2 erb # 1dr er + r du eu2 = - mgRE

2

r2 dr,

dr = adr

dt er + r

du

dt eub dt = dr er + r du eu.

F = - mgRE2

r2 er.

ereu

uRE

Fr

Figura 15.4Expresión del peso de un objetoen coordenadas polares.


De nuevo, el trabajo es independiente de la trayectoria entre las posiciones 1 y 2.Para evaluarlo, sólo se necesita conocer la distancia radial del cuerpo desde elcentro de la Tierra en las dos posiciones.

ResortesSuponga que un resorte lineal conecta un cuerpo a un soporte fijo. En términos decoordenadas polares (figura 15.5), la fuerza ejercida sobre el objeto es

donde k es la constante del resorte y r0 es la longitud del resorte sin estirar. Usandola ecuación (15.12), se obtiene el producto punto de F y dr:

Resulta conveniente expresar el trabajo realizado por un resorte en términos desu alargamiento, definido por S = r - r0. (Aunque por lo general la palabra alar-gamiento significa un incremento de longitud, aquí el término se usa de maneramás general para denotar el cambio de longitud del resorte. Un alargamientonegativo reduce la longitud). En términos de esta variable, F � dr = -kS dS, y eltrabajo es

El trabajo realizado por un resorte unido a un soporte fijo es

(15.14)

donde S1 y S2 son el alargamiento en las posiciones inicial y final. No es nece-sario conocer la trayectoria del objeto para determinar el trabajo realizado por elresorte. Sin embargo, recuerde que la ecuación (15.14) se aplica sólo a un resor-te lineal. En la figura 15.6 se determina el trabajo efectuado al estirar un resortelineal calculando el área definida por la gráfica de la fuerza como una funciónde S.

U12 = -12 k1S2

2- S1

22,

U12 = Lr2

r1

F # dr = LS2

S1

-kS dS.

F # dr = 3-k1r - r02er4 # 1dr er + r du eu2 = -k1r - r02 dr.

F = -k1r - r02er,

k

r

uk(r � r0)

r

Figura 15.5Expresión de la fuerza ejercida por un resorte lineal encoordenadas polares.


S

kS

S2

S1

kS2

kS1

U � 1

2

1

2S2(kS2) �1

2 k( � )S1(kS1) � S2

2 S1

2

Figura 15.6Trabajo realizado al estirar un resorte lineal deS1 a S2. (Si S2 7 S1, el trabajo realizado sobre elresorte es positivo, por lo que el trabajo realizadopor el resorte es negativo).

Para algunos tipos defuerzas, el trabajo rea-lizado durante un mo-vimiento de unaposición 1 a una posi-ción 2 puede determi-narse con facilidad.Observe que el trabajoes independiente de latrayectoria de 1 a 2.

PesoCuando el peso puede considerarseconstante, el trabajo es

donde el eje positivo y apunta haciaarriba. El trabajo es el productodel peso y el cambio en laaltura. Es negativo si la alturaaumenta y positivo si laaltura disminuye.

U12 � �mg(y2 � y1), (15.11)

�mgj

y

x

z2

(x1, y1, z1)1

(x2, y2, z2)

Peso variableCuando se debe considerar lavariación de la gravedad conla altura, el trabajo es

donde RE es el radio de la Tierra.

U12 � mgR2E , (15.13)� �1

r2

1

r1�

2

1

r2

RE

r1

ResortesEl trabajo realizado sobre un objetopor un resorte lineal es

donde S1 y S2 son los valores delestiramiento del resorte en lasposiciones inicial y final.

2

1

U12 � � k(S22 � S2

1), (15.14)12

RESULTADOS


Ejemplo activo 15.4 Trabajo realizado por pesos y resortes (� Relacionado con el problema 15.49)

El martillo de 40 kg mostrado en la figura se levanta a la posición 1 y se liberadesde el reposo. Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2.La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuandoel martillo se encuentra en la posición 2. Ignore la fricción. ¿Cuál es la velocidaddel martillo justo antes de que golpee la pieza de trabajo?

EstrategiaEl peso del martillo y las fuerzas ejercidas sobre éste por los dos resortes realizantrabajo sobre él. Se puede aplicar el principio del trabajo y la energía al movimien-to del martillo de la posición 1 a la posición 2 para determinar su velocidad en laposición 2.

Solución

400mm

300 mm

2

1

k k

Pieza de trabajo

Martillo

Calcule el trabajo realizado por el peso: Elmartillo cae hacia abajo, por lo que el trabajoes positivo, y su magnitud es el producto delpeso por el cambio en la altura.

Upeso� (peso)(cambio en altura)

� [(40 kg)(9.81 m/s2)](0.4 m)

� 157 N-m.


Problema de práctica Al martillo de 40 kg se le da una velocidad hacia abajo de 2 m/sen la posición 1. Cae y golpea a una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. Laconstante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillose encuentra en la posición 1. Ignore la fricción. ¿Cuál es la velocidad del martillo justoantes de golpear la pieza de trabajo?

Respuesta: v2 = 2.97 m/s.

400mm

300 mm

2

1k k

Pieza de trabajo

Martillo

Calcule el trabajo realizado por cadauno de los resortes. Los resortes estánsin estirar en la posición 2.

S1 �

S2 � 0,

Uresorte � �

(0.3 m)2 � (0.4 m)2 � 0.3 m

� 0.2 m,

� 30 N-m.

k(S22 � S1

2)

� � (1500 N/m)[(0)2 � (0.2 m)2]12

12

Aplique el trabajo y la energía para obtenerla velocidad del martillo en la posición 2.

Upeso � 2(Uresorte) �

157 N-m � 2(30 N-m) �

Resolviendo, se obtiene

v2 � 3.29 m/s.

mv22 �

(40 kg)v22 � 0.

mv21 :

12

12

12


1

2

3

Ejemplo 15.5 Trabajo realizado por el peso (� Relacionado con el problema 15.31)

El esquiador de la figura, viaja a 15 m/s en la posición 1 acercándose a su salto.Cuando llega al extremo horizontal de la rampa en la posición 2, 20 m abajo de laposición 1, salta hacia arriba, alcanzando una componente vertical de velocidad de3 m/s. (No tome en cuenta el pequeño cambio en la posición vertical de su centrode masa debido al movimiento de su salto). Ignore la resistencia aerodinámica y lafricción en sus esquís.

a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del esquiador cuando deja la rampa en laposición 2?

b) En el punto más alto de su salto, posición 3, ¿cuáles son las magnitudes de su ve-locidad y la altura de su centro de masa sobre la posición 2?

Estrategia

a) Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas y de fricción, la única fuerza que realizatrabajo entre las posiciones 1 y 2 es el peso del esquiador. La fuerza normal ejerci-da por la rampa sobre los esquís no trabaja porque es perpendicular a la trayectoria.Sólo es necesario conocer el cambio en la altura del esquiador desde la posición 1hasta la posición 2 para calcular el trabajo realizado por su peso, por lo que se puedeaplicar el principio del trabajo y la energía para determinar su velocidad en la posi-ción 2 justo antes de saltar.

b) Entre el tiempo que deja la rampa en la posición 2 y cuando alcanza la posición3, la única fuerza que actúa sobre el esquiador es su peso, por lo que la componen-te horizontal de su velocidad es constante. Esto significa que se conoce la magni-tud de su velocidad en la posición 3, porque se está moviendo horizontalmente enese punto. Por lo tanto, se puede aplicar el principio del trabajo y la energía al mo-vimiento del esquiador de la posición 2 a la posición 3 para determinar su altura sobrela posición 2.


y

x2

(a) La altura del centro de masa del esquiadorse mide respecto a la posición 2.

Solucióna) Se usará la ecuación (15.11) para evaluar el trabajo realizado por el peso del es-quiador, midiendo la altura de su centro de masa respecto a la posición 2 (figura a).El principio del trabajo y la energía entre la posición 1 y la posición 2 es

Despejando v2, se encuentra que la velocidad del esquiador en la posición 2 antesde saltar es de 24.8 m/s. Después de saltar, la magnitud de su velocidad en la posi-

ción 2 es

b) La magnitud de la velocidad del esquiador en la posición 3 es igual a la compo-nente horizontal de su velocidad en la posición 2: v3 = v2 = 24.8 m/s. Aplicando eltrabajo y la energía a su movimiento entre la posición 2 y la 3, se obtiene

de donde se deduce que y3 = 0.459 m.

Razonamiento crítico¿Por qué no fue necesario incluir el efecto de la fuerza normal ejercida por larampa sobre el esquiador? La razón es que es perpendicular a su trayectoria y porlo tanto no trabaja. Para obtener una predicción exacta del movimiento del esquia-dor, podría ser necesario tomar en cuenta la fuerza de fricción ejercida por larampa y las fuerzas aerodinámicas. No obstante, el análisis aproximado de esteejemplo proporciona un acercamiento útil, mostrando cómo el trabajo realizadopor la gravedad mientras el esquiador desciende, hace que su energía cinética seincremente. Observe que el trabajo efectuado por la gravedad está determinado porsu cambio en la altura, no por la longitud de su trayectoria.

-m19.8121y3 - 02 =12 m124.822

-12 m125.022,

U23 = -mg1y3 - y22 =12 mv3

2-

12 m1v2

œ22:

v2œ

= 2124.822+ 1322

= 25.0 m/s.

-m19.81210 - 202 =12 mv2

2-

12 m11522.

U12 = -mg1y2 - y12 =12 mv2

2-

12 mv1

2:


v1

r1RE

Ejemplo 15.6 Trabajo realizado por la gravedad de la Tierra (� Relacionado con el problema 15.74)

Una nave espacial localizada a una distancia r1 = 2RE del centro de la Tierra tieneuna velocidad de magnitud respecto a un marco de referencia nogiratorio con su origen en el centro de la Tierra. Determine la magnitud de la velo-cidad de la nave espacial cuando ésta se encuentra a una distancia r2 = 4RE desdeel centro de la Tierra.

EstrategiaAplicando la ecuación (15.13) para determinar el trabajo realizado por la fuerzagravitacional sobre la nave espacial, se puede usar el principio del trabajo y la ener-gía para determinar la magnitud de la velocidad de la nave espacial.

SoluciónA partir de la ecuación (15.13), el trabajo realizado por la gravedad mientras la naveespacial se mueve de una distancia r1 desde el centro de la Tierra a una distancia r2 es

Sea v2 la magnitud de la velocidad de la nave espacial cuando se encuentra a unadistancia r2 del centro de la Tierra. Aplicando el principio del trabajo y la energíaresulta

Se despeja v2, para obtener

La velocidad v2 = v1>2.

Razonamiento críticoObserve que no fue necesario especificar la dirección de la velocidad inicial de lanave espacial para determinar la magnitud de su velocidad a una distancia diferentedel centro de la Tierra. Esto ilustra el poder del principio del trabajo y la energía, asícomo una de sus limitaciones. Aun si se conoce la dirección de la velocidad inicial,el principio del trabajo y la energía indica sólo la magnitud de la velocidad a unadistancia diferente.

= AgRE

6.

= Ca2gRE

3b + 2gRE

2 a1

4RE-

1

2REb

v2 = Cv12

+ 2gRE2 a

1r2

-1r1

b

U12 = mgRE2 a

1r2

-1r1

b =12 mv2

2-

12 mv1

2.

U12 = mgRE2 a

1r2

-1r1

b .

v1 = 22gRE>3

Problemas 189

(a) (b)

2 pies

2

1 1

2

Problema 15.35

30�

30�

200 pies

(a)

(b)

(c)

Problema 15.32

(a)

1

2

60�

1

2

(b)

40�

2 m


Problemas

� 15.31 En el ejemplo 15.5, suponga que el esquiador se muevea 20 m/s cuando está en la posición 1. Determine la componentehorizontal de su velocidad cuando alcanza la posición 2, 20 mdebajo de la posición 1.

15.32 Suponga que alguien está de pie en el borde de un precipi-cio de 200 pies y lanza rocas a 30 pies/s en las tres direccionesmostradas. Ignorando la resistencia aerodinámica, use el principiodel trabajo y la energía en cada caso para determinar la magnitudde la velocidad de la roca justo antes de golpear el suelo.

15.33 La caja de 30 kg que se muestra en la figura se deslizahacia abajo sobre la superficie lisa a 1 m/s cuando está en la posi-ción 1. En cada caso, determine la magnitud de la velocidad de lacaja en la posición 2.

15.34 Resuelva el problema 15.33 si el coeficiente de friccióncinética entre la caja y la superficie inclinada es mk = 0.2.

15.35 En el caso a), una bola de 5 lb se suelta desde el reposo enla posición 1 y cae hasta la posición 2. En el caso b), la bola sesuelta desde el reposo en la posición 1 y oscila hasta la posición 2.Para cada caso use el principio del trabajo y la energía para deter-minar la magnitud de la velocidad de la bola en la posición 2. [Enel caso b), observe que la fuerza ejercida por la cuerda sobre labola es perpendicular a su trayectoria].

L

2

1

40�

15.36 La bola de 2 kg mostrada en la figura se suelta desde elreposo en la posición 1 con la cuerda horizontal. La longitud dela cuerda es L = 1 m. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de labola cuando está en la posición 2?

15.37 La bola de 2 kg mostrada en la figura se suelta desde elreposo en la posición 1 con la cuerda horizontal. La longitud dela cuerda es L = 1 m. ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando labola está en la posición 2?

Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la bolacuando está en la posición 2 y escriba la segunda ley de Newtonen términos de las componentes normal y tangencial.



15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas

ANTECEDENTESEnergía potencialEl trabajo realizado sobre un objeto por algunas fuerzas se puede expresar como elcambio de una función de la posición del objeto, llamada energía potencial. Cuandotodas las fuerzas que efectúan trabajo sobre un sistema tienen esta propiedad, elprincipio del trabajo y la energía puede establecerse como una ley de conservación:La suma de las energías cinética y potencial es constante.

Cuando se dedujo el principio del trabajo y la energía en la sección 15.1 integran-do la segunda ley de Newton, fue posible evaluar la integral a un lado de la ecuacióny se obtuvo el cambio en la energía cinética:

(15.15)

Suponga que se podría determinar una función escalar de la posición V tal que

(15.16)

Entonces también se podría evaluar la integral que define el trabajo:

(15.17)

donde V1 y V2 son los valores de V en las posiciones r1 y r2, respectivamente.Sustituyendo esta expresión en la ecuación (15.15), se obtiene el principio del tra-bajo y la energía de la forma

(15.18)

Si la energía cinética aumenta mientras el objeto se mueve de la posición 1 a la posi-ción 2, la función V debe disminuir, y viceversa, como si V representara un depósitode energía cinética “potencial”. Por esta razón, V se llama energía potencial.

La ecuación (15.18) establece que la suma de las energías cinética y potencial deun objeto tiene el mismo valor en cualesquiera dos puntos. La energía se conserva.Sin embargo, existe una restricción importante en el uso de este resultado. Se llegóa la ecuación (15.18) suponiendo que existe una función V, la energía potencial,que satisface la ecuación (15.16). Esto es cierto para un tipo limitado de fuerzas, quese denominan conservativas. Las fuerzas conservativas se analizan en la siguientesección. Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un objeto son conservativas,es posible aplicar la ecuación (15.18), donde V es la suma de las energías potencialesde las fuerzas que realizan trabajo sobre el objeto. En caso contrario, la ecuación(15.18) no puede utilizarse. Se dice que un sistema es conservativo si todas lasfuerzas que efectúan trabajo sobre el sistema son conservativas. En un sistemaconservativo, la suma de las energías cinética y potencial se conserva.

Un objeto puede estar sometido tanto a fuerzas conservativas como no conser-vativas. Cuando se da este caso, a menudo resulta conveniente introducir las ener-gías potenciales de las fuerzas que son conservativas en el enunciado del principio deltrabajo y la energía. Para permitir esta opción, se escribe la ecuación (15.15) como

(15.19)12 mv1

2+ V1 + U12 =

12 mv2

2+ V2.

12 mv1

2+ V1 =

12 mv2

2+ V2.

U12 = Lr2

r1

©F # dr = LV2

V1

- dV = -1V2 - V12,

dV = - ©F # dr.

U12 = Lr2

r1

©F # dr =12 mv2

2 -12 mv1

2.

�mgj

y

x

z

Figura 15.8Peso de un objeto expresado en un sistemacoordenado con el eje y dirigido hacia arriba.

Cuando el principio del trabajo y la energía se escribe de esta manera, el términoU12 incluye el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúansobre el objeto. Si una fuerza conservativa efectúa trabajo sobre el objeto, existeuna alternativa. El trabajo se puede calcular y ser incluido en U12, o bien la ener-gía potencial de la fuerza puede incluirse en V. Este procedimiento también puedeaplicarse a un sistema que está sometido tanto a fuerzas conservativas como noconservativas. La suma de las energías cinética y potencial de un sistema en laposición 1 más el trabajo efectuado mientras el sistema se desplaza de la posición1 a la posición 2 es igual a la suma total de las energías cinética y potencial en laposición 2.

Fuerzas conservativasLa conservación de la energía se puede aplicar sólo si las fuerzas que realizan traba-jo sobre un objeto o sistema son conservativas y sus energías potenciales se conocen(o pueden determinarse). En esta sección se determinan las energías potenciales dealgunas fuerzas conservativas y se presentan aplicaciones de la conservación de laenergía. Pero antes de analizar fuerzas conservativas, se demuestra con un sencilloejemplo que las fuerzas de fricción no son conservativas.

El trabajo hecho por una fuerza conservativa, cuando un objeto se mueve deuna posición 1 a una posición 2, es independiente de la trayectoria del objeto. Estose deduce de la ecuación (15.17), que establece que el trabajo depende sólo de laenergía potencial en las posiciones 1 y 2. La ecuación (15.17) también implica quesi el objeto se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada, que lo hace regresar ala posición 1, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a cero.Suponga que un libro de masa m descansa sobre una mesa y es empujado horizon-talmente deslizándose a lo largo de una trayectoria de longitud L. La magnitud dela fuerza de fricción es mkmg, y su dirección es opuesta a la del movimiento dellibro (figura 15.7). El trabajo realizado es

El trabajo es proporcional a la longitud de la trayectoria del objeto y por lo tantono es independiente de la trayectoria, Como lo demuestra este ejemplo sencillo, lasfuerzas de fricción no son conservativas.

El peso de un objeto y la fuerza ejercida por un resorte unido a un soporte fijoson fuerzas conservativas. Usándolas como ejemplos, se demostrará cómo determi-nar las energías potenciales de otras fuerzas conservativas. También se emplean lasenergías potenciales de estas fuerzas como ejemplos del uso de la conservación dela energía para analizar los movimientos de sistemas conservativos.

Peso Para determinar la energía potencial asociada con el peso de un objeto, seusa un sistema cartesiano con su eje y dirigido hacia arriba (figura 15.8). El pesoes F = - mgj y su producto punto con el vector dr es

De la ecuación (15.16), la energía potencial V debe satisfacer la relación

(15.20)

que se puede escribir como

dV

dy= mg.

dV = -F # dr = mg dy,

F # dr = 1-mgj2 # 1dx i + dy j + dz k2 = -mg dy.

U12 = LL

0

-mk mg ds = -mk mgL.

15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 197

2

1

mkmg

Figura 15.7Trayectoria del libro de la posición 1 a la posi-ción 2. La fuerza de fricción apunta en direcciónopuesta a la del movimiento del libro.


Integrando esta ecuación se obtiene

V = mgy + C,

donde C es una constante de integración arbitraria. Esta expresión satisface laecuación (15.20) para cualquier valor de C. Otra manera de entender por qué C esarbitraria es observar en la ecuación (15.18) que la diferencia en la energía poten-cial entre dos posiciones es la que determina el cambio en la energía cinética. Sehace C = 0 y se escribe la energía potencial del peso de un objeto como

V = mgy. (15.21)

La energía potencial es el producto del peso del objeto por la altura. La altura se puedemedir desde cualquier nivel de referencia conveniente, o datum. Como la diferenciade energía potencial determina el cambio en la energía cinética, es la diferencia dealtura lo que importa, no el nivel desde el cual se mide ésta.

La montaña rusa (figura 15.9a) es un ejemplo clásico de la conservación de laenergía. Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas y de fricción, el peso del vagón esla única fuerza que realiza trabajo y el sistema es conservativo. La energía poten-cial del vagón de la montaña rusa es proporcional a la altura de la vía respecto a

(b)

(a)

Nivel dereferencia

Energía potencial

Energía cinética

Energía total � 0

Figura 15.9(a) Montaña rusa y nivel de referencia, o datum.(b) La suma de las energías potencial y cinética es constante.

k

r

k(r � r0)

r

u

Figura 15.11Expresión de la fuerza ejercida por un resortelineal en coordenadas polares.

un nivel de referencia. En la figura 15.9b, se supone que el vagón parte desde elreposo en el nivel de referencia. La suma de las energías cinética y potencial esconstante, por lo que la energía cinética “refleja” la energía potencial. En puntosde la vía que tienen igual altura, las magnitudes de las velocidades son iguales.

Para tomar en cuenta la variación del peso con la distancia desde el centro dela Tierra, se puede expresar el peso en coordenadas polares como

donde r es la distancia desde el centro de la Tierra (figura 15.10). De la ecuación(15.12), el vector dr en términos de coordenadas polares es

(15.22)

La energía potencial debe satisfacer

o

Se integra esta ecuación y se iguala a cero la constante de integración, obteniendola energía potencial

(15.23)

Compare esta expresión con la energía potencial gravitatoria dada por la ecuación(15.21), donde la variación de la fuerza gravitatoria con la altura es insignificante.(Vea el problema 15.109).

Resortes En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercida sobre un objetopor un resorte lineal es

F = - k1r - r02er,

donde r0 es la longitud sin estirar del resorte (figura 15.11). Usando la ecuación(15.22), se observa que la energía potencial debe satisfacer

dV = - F � dr = k1r - r02 dr.

V = - mgRE2

r.

dV

dr=

mgRE2

r2.

dV = -F # dr =mgRE

2

r2 dr,

dr = dr er + r du eu.

F = - mgRE2

r2 er,


ereu

uRE

Fr

Figura 15.10Expresión del peso en términos decoordenadas polares.


RESULTADOS

Fuerzas conservativas y energía potencial

Para una fuerza dada F, si existe una función de posición V tal que

dV � �F�dr,

entonces se dice que F es conservativa, y V se denomina la energíapotencial asociada con F.

Si todas las fuerzas que realizan tra-bajo sobre un objeto son conservati-vas, la suma de la energía cinética yla energía potencial total es la mismaen cualesquiera dos puntos.

mv21 � V1 �

12

12 mv2

2 � V2. (15.18)

Cuando tanto fuerzas conservativas comono conservativas realizan trabajo sobre unobjeto, el principio del trabajo y la energíapuede expresarse en términos de la energíapotencial V de las fuerzas conservativas yel trabajo U12 efectuado por las fuerzas noconservativas.

mv21 � V1 � U12 �

12 mv2

2 � V2. (15.19)12

Conservación de la energía

Expresada en términos del alargamiento del resorte S = r - r0 esta ecuación esdV = kS dS, o

Integrando, se obtiene la energía potencial de un resorte lineal:

(15.24)V =12 kS2.

dV

dS= kS.


Por lo general, la aplicación de la conser-vación de la energía implica tres pasos.

Determinar si las fuerzas son conservativas. Dibuje undiagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas querealizan trabajo y confirme que éstas son conservativas.Determinar la energía potencial. Evalúe las energíaspotenciales de las fuerzas que realizan trabajo.Aplicar la conservación de la energía. Iguale la suma de lasenergías cinética y potencial del sistema en dos posiciones.De ahí se obtiene una expresión que relaciona un cambio enla posición con el cambio en la energía cinética.

1.

2.

3.

�mgj

y

x

z

V � mgy, (15.21)

donde el eje y positivo apunta hacia arri-ba. La energía potencial es el productodel peso por la altura sobre un nivel dereferencia, o datum, arbitrario.

PesoCuando el peso se puede considerarconstante, la energía potencial es

Peso variableCuando debe considerarse la variaciónde la gravedad con la altura, la energíapotencial es

donde RE es el radio de la Tierra.

V � � , (15.23)mgRE

2

r

uRE

r

ResortesLa energía potencial de un resorte lineal es

donde S es el estiramiento del resorte.

kS2, (15.24)V � 12

k

Energías potenciales asociadas con fuerzas particulares


Ejemplo activo 15.7 Energía potencial de peso y resortes (� Relacionado con el problema 15.89)

El martillo de 40 kg mostrado se levanta a la posición 1 y se libera desde el reposo.Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del re-sorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillo se encuentraen la posición 2. La fricción es insignificante. Use la conservación de la energía paradeterminar la velocidad del martillo cuando llega a la posición 2.

EstrategiaSe debe confirmar que las fuerzas que realizan trabajo sobre el martillo son con-servativas. Si lo son, es posible determinar la velocidad del martillo en la posi-ción 2 igualando las sumas de las energías cinética y potencial en las posiciones1 y 2.

Solución

400mm

300 mm

2

1

k k

Pieza de trabajo

Martillo

En el diagrama de cuerpo libre del martillose observa que el trabajo es realizado sólopor su peso y las fuerzas ejercidas por losresortes. El sistema es conservativo. F F

mg

400mm

2

1

k k

Pieza de trabajo

Martillo

300 mm

y

Nivel de referencia

Elija un nivel de referencia para la energíapotencial asociada con el peso del martillo.Considere que el nivel de referencia (y � 0)es la posición 2.

Vpeso � mgy.

Energía potencial de uno de los resortesen términos del estiramiento S del resorte. Vresorte � kS2.1

2


Calcule el estiramiento deuno de los resortes en lasposiciones 1 y 2.

S1 �

S2 � 0.

(0.3 m)2 � (0.4 m)2 � 0.3 m

� 0.2 m,

Aplique la conservación dela energía a las posiciones1 y 2 para determinar lavelocidad en la posición 2.

Resolviendo, se obtiene

v2 � 3.29 m/s.

(Vpeso)1 � 2(Vresorte)1 � mv21 � (Vpeso)2 � 2(Vresorte)2 �

12

12

12

12

12

12 mv2

2,

12

12 mv2

2:

� �mgy1 � 2 � mv21 � mgy2 � 2 �kS1

2 � �kS22

� 0 � 0 � (40 kg)v2 2.

(1500 N/m)(0.2 m)2(40 kg)�9.81 m/s2�(0.4 m) � 2� � � 0

Problema de práctica Al martillo de 40 kg que se muestra en la figura se le da unavelocidad hacia abajo de 2 m/s en la posición 1. Cae y golpea una pieza de trabajo cuandoestá en la posición 2. La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sinestirar cuando el martillo se encuentra en la posición 1. La fricción es insignificante. Use laconservación de la energía para determinar la velocidad del martillo justo antes de golpearla pieza de trabajo.

400mm

300 mm

2

1k k

Pieza de trabajo

Martillo

Respuesta: v2 = 2.97 m/s.

Problemas 207

12 m/s

1 m

12 m/s

1 m

Nivelde

referencia

Nivelde

referencia(a) (b)

Problema 15.79

30�

1

2 5 pies

2 pies Nivelde

referencia

Problema 15.78

Problemas

15.78 La caja de 10 lb que se muestra en la figura se suelta desdeel reposo en la posición 1 y se desliza hacia abajo sobre la superficieinclinada lisa hasta la posición 2.

a) Si el nivel de referencia se coloca al nivel del piso como semuestra en la figura, ¿qué valor tiene la suma de las energías ciné-tica y potencial de la caja cuando ésta se encuentra en la posición 1?

b) ¿Qué valor tiene la suma de las energías cinética y potencial dela caja cuando ésta se encuentra en la posición 2?

c) Use la conservación de la energía para determinar la magnitud dela velocidad de la caja cuando ésta se encuentra en la posición 2.

15.79 Suponga que una pelota de fútbol de 0.45 kg está a 1 msobre el suelo cuando es pateada directamente hacia arriba a 12 m/s.Use la conservación de la energía para determinar la velocidad dela pelota cuando ésta se encuentra a 4 m sobre el suelo. Obtenga larespuesta colocando el nivel de referencia a) al nivel de la posicióninicial de la pelota; b) al nivel del suelo.

15.81 El collarín de 0.4 kg mostrado parte desde el reposo en laposición 1 y se desliza hacia abajo por el alambre rígido liso. Eleje y apunta hacia arriba. Use la conservación de la energía paradeterminar la magnitud de la velocidad del collarín cuando éstealcanza el punto 2.

h

Problema 15.80

(3, 0, 2) m

x

y

z

(5, 5, 2) m1

2

0.4 kg

Problema 15.81

15.80 El módulo lunar usado en los alunizajes del Apolo podíadescender a la superficie lunar de manera segura si su velocidadvertical durante el impacto no era mayor a 5 m/s. Use la conserva-ción de la energía para determinar la altura máxima h a la que elpiloto podía apagar el motor si la velocidad vertical del módulode aterrizaje era de a) 2 m/s hacia abajo y b) 2 m/s hacia arriba.La aceleración debida a la gravedad en la superficie lunar es de 1.62 m/s2.

15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía potencial 213

15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía potencial

ANTECEDENTESAquí se considerarán dos cuestiones: 1) Dada una energía potencial, ¿cómo se puededeterminar la fuerza correspondiente? 2) Dada una fuerza, ¿cómo se puede determi-nar si ésta es conservativa? Es decir, ¿cómo se puede determinar si existe una energíapotencial asociada?

La energía potencial V de una fuerza F es una función de la posición que satis-face la relación

dV = - F � dr. (15.25)

Si expresamos V en términos de un sistema de coordenadas cartesiano:

V = V1x, y, z2.

La diferencia de V es

(15.26)

Expresando F y dr en términos de componentes cartesianas y tomando su produc-to punto se obtiene

Sustituyendo esta expresión y la ecuación (15.26) en la ecuación (15.25), se obtiene

lo cual implica que

(15.27)

Dada una energía potencial V expresada en coordenadas cartesianas, las ecuaciones(15.27) se pueden usar para determinar la fuerza correspondiente. La fuerza

(15.28)

donde §V es el gradiente de V. Usando expresiones para el gradiente en otros sis-temas coordenados, se puede determinar la fuerza F cuando se conoce la energíapotencial en términos de esos sistemas coordenados. Por ejemplo, en términos decoordenadas cilíndricas,

(15.29)F = - a0V

0r er +

1

r 0V

0u eu +

0V

0z ezb .

F = - a0V

0x i +

0V

0y j +

0V

0z kb = - §V,

0V

0x dx +

0V

0y dy +

0V

0z dz = -1Fx dx + Fy dy + Fz dz2,

= Fx dx + Fy dy + Fz dz.

F # dr = 1Fx i + Fy j + Fz k2 # 1dxi + dyj + dzk2

dV =0V

0x dx +

0V

0y dy +

0V

0z dz.

Fx = -0V

0x, Fy = -

0V

0y, y Fz = -

0V

0z.


Definición de la energía potencial V asociada conuna fuerza conservativa F.

dV � �F�dr. (15.25)

Una fuerza conservativa Fpuede determinarse a partirde su energía potencial V.

Coordenadas cartesianas

F � � .�i�V

�xj

�V

�y� k

�V

�z� �

Coordenadas cilíndricas

F � � .

(15.28)

(15.29)�er�V

�reu

�V

�u� ez

�V

�z� �1

r

Una fuerza F es conservativasí y sólo si su rotacional� F es cero.

Coordenadas cartesianas

� F � .�

�x

i

Fx

�

�y

j

Fy

�

�z

k

Fz

Coordenadas cilíndricas

� F � .

(15.30)

(15.31)�

�r

er

Fr

�

�u

reu

rFu

�

�z

ez

Fz

1

r

Si una fuerza F es conservativa, su rotacional § * F es cero. La expresiónpara el rotacional de F en coordenadas cartesianas es

(15.30)

Sustituyendo las ecuaciones (15.27) en esta expresión, se confirma que § * F = 0cuando F es conservativa. La afirmación inversa también es cierta. Una fuerza Fes conservativa si su rotacional es cero. Esta condición se puede usar para deter-minar si una fuerza dada es conservativa. En términos de coordenadas cilíndricas,el rotacional de F es

(15.31)

RESULTADOS

§ * F =1

r4 er reu ez

0

0r

0

0u

0

0z

Fr rFu Fz

4 .

§ * F = 4 i j k0

0x

0

0y

0

0z

Fx Fy Fz

4 .

Problemas 215

Ejemplo activo 15.10 Determinación de la fuerza a partir de una energía potencial(� Relacionado con los problemas 15.112, 15.113)

La energía potencial asociada con el peso de un objeto de masa m a una distancia rdel centro de la Tierra es (en coordenadas cilíndricas)

donde RE es el radio de la Tierra. Use esta expresión para determinar la fuerza ejer-cida sobre el cuerpo por su peso.

EstrategiaLa energía potencial está expresada en coordenadas cilíndricas, por lo que se usarála ecuación (15.29) para obtener la fuerza.

Solución

V = -mgRE

2

r,

Evalúe las derivadas parcialesde la ecuación (15.29).

�V

�r�

�V

�u� 0,

�V

�z� 0.

,mgRE

2

r2

Determine la fuerza a par-tir de la ecuación (15.29). F � � er.

mgRE2

r2

Problema de práctica Determine si la fuerza F obtenida en este ejemplo es conservativa.

Respuesta: Sí.

Problemas

y

x1 B

A

2(1, 1) m

Problemas 15.110/15.111

15.110 La energía potencial asociada a una fuerza F que actúasobre un objeto es V = x2

+ y3 N/m, donde x e y están en metros.

a) Determine F.

b) Suponga que el objeto se mueve de la posición 1 a la posición2 a lo largo de la trayectoria A y después se desplaza de 1 a 2 através de la trayectoria B. Determine el trabajo realizado por F encada trayectoria.

15.111 Un objeto está sometido a la fuerza F = yi - xj (N),donde x e y están en metros.

a) Demuestre que F no es conservativa.

b) Suponga que el objeto se mueve del punto 1 al punto 2 a lolargo de las trayectorias A y B mostradas en el problema 15.110.Determine el trabajo realizado por F a lo largo de cada trayectoria.


y

x1

2

1 pie

Problema 15.114

RT

r0

v0

Problema 15.115

� 15.112 En términos de coordenadas polares, la energía potencialasociada con la fuerza F ejercida sobre un objeto por un resorte nolineal es

donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin estirar.Determine F en términos de coordenadas polares. (Vea el ejemploactivo 15.10).

� 15.113 En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercidasobre un objeto por un resorte no lineal es

donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin estirar.Use la ecuación (15.31) para demostrar que F es conservativa. (Veael ejemplo activo 15.10).

15.114 La energía potencial asociada con una fuerza F que actúasobre un objeto es V = - r sen u + r2 cos2 u lb-pie, donde r está enpies.

a) Determine F.

b) Si el objeto se mueve del punto 1 al punto 2 a lo largo de latrayectoria circular, ¿cuánto trabajo realiza F?

F = -3k1r - r02 + q1r - r0234er,

V =1

2 k1r - r02

2+

1

4 q1r - r02

4,

15.115 En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercidasobre un objeto de masa m por la gravedad de un planeta hipotéticobidimensional es F = -1mgTRT>r2er, donde gT es la aceleracióndebida a la gravedad en la superficie, RT es el radio del planeta y res la distancia al objeto desde el centro del planeta.

a) Determine la energía potencial asociada con esta fuerza gravitatoria.

b) Si el objeto tiene una velocidad v0 a una distancia r0, ¿cuál essu velocidad v en función de r?

15.116 Sustituyendo las ecuaciones (15.27) en la ecuación(15.30), confirme que § * F = 0 si F es conservativa.

15.117 Determine cuáles de las siguientes fuerzas son conser-vativas:

a)

b)

c) F = 12xy2+ y32i + 12x2y - 3xy22j.

F = 1x - xy22i + x2yj;

F = 13x2- 2xy2i - x2j;

Problemas de repaso

15.118 El conductor de un automóvil de 3000 lb que circula a40 mi/h aplica una fuerza creciente sobre el pedal del freno. Lamagnitud de la fricción ejercida sobre el vehículo por el caminoes f = 250 + 6s lb, donde s es la posición horizontal del auto (enpies) respecto a la que tenía cuando se aplicaron los frenos. Supo-niendo que los neumáticos no se deslizan, determine la distancianecesaria para que el auto se detenga a) usando la segunda ley deNewton y b) usando el principio del trabajo y la energía.

15.119 Suponga que el automóvil del problema 15.118 viajasobre un pavimento húmedo y que los coeficientes de fricciónentre los neumáticos y el camino son ms = 0.4 y mk = 0.35. Determine la distancia necesaria para que el auto se detenga.

30�

F

Problemas 15.121/15.122

Problemas 15.123/15.124

Problemas 15.118/15.119

15.121 Los coeficientes de fricción entre la caja de 20 kg y lasuperficie son ms = 0.24 y mk = 0.22. Si la caja parte desde elreposo y la fuerza horizontal es F = 200 N, ¿cuál es la magnitudde la velocidad de la caja cuando ésta se ha desplazado 2 m?

15.122 Los coeficientes de fricción entre la caja de 20 kg y lasuperficie son ms = 0.24 y mk = 0.22. Si la caja parte desde elreposo y la fuerza horizontal es F = 40 N, ¿cuál es la magnitudde la velocidad de la caja cuando ésta se ha desplazado 2 m?

15.123 La locomotora Big Boy de la Union Pacific pesa 1.19millones de libras y el esfuerzo de tracción (fuerza tangencial)de sus ruedas motrices es de 135,000 lb. Si se ignoran las otrasfuerzas tangenciales, ¿qué distancia requiere para acelerar decero a 60 mi/h?

15.124 En el problema 15.123, suponga que la fuerza tangen-cial total sobre la locomotora al acelerar de cero a 60 mi/h es1F0>m211 - v>882, donde F0 = 135,000 lb, m es su masa y ves su velocidad en pies por segundo.

a) ¿Cuánto trabajo se realiza al acelerar el tren hasta 60 mi/h?

b) Determine la velocidad de la locomotora en función del tiempo.

Problemas de repaso 217

15.120 Un astronauta en una pequeña nave espacial (masa com-binada = 450 kg) en vuelo estacionario a 100 m sobre la superficiede la Luna, descubre que el combustible casi se ha agotado ypuede ejercer el empuje necesario sólo durante 5 segundos más.Rápidamente considera dos estrategias para llegar a la superficie:a) Descender 20 m, ejercer el empuje durante 5 s y caer el resto deltrayecto; b) descender 40 m, ejercer el empuje durante 5 s y caerel resto del trayecto. ¿Cuál estrategia le da mayor probabilidad desobrevivir? ¿Cuánto trabajo es realizado por el empuje del motoren cada caso? (gLuna = 1.62 m/s2).

15.125 Un automóvil que se desplaza a 65 mi/h choca contra labarrera descrita en el problema 15.14. Determine la desaceleraciónmáxima a la que están sometidos los pasajeros si el auto pesa a) 2500 lb y b) 5000 lb.

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