5o_calculo_diferencial

Cálculo-Bloque0-Oax_151 12/08/11 17:03 Página 1

MATERIALES DE ESTUDIO 2011B

Coordinación General:C.P. FERNANDO DE JESÚS MARTÍNEZ ACEVEDO

Director General

C.P. CÉSAR SAYNES CRUZ

Director de Administración y Finanzas

Coordinación Académica:LIC. YADIRA ORTIZ PATIÑO

Jefa del Departamento de Desarrollo Académico

Equipo Técnico del IEBO:ALMA DELIA NAVARRETE CASAS

Introducción a las Ciencias SocialesHistoria de México II

Historia Universal Contemporánea

ÁNGEL OMAR MÉNDEZ REYES

Informática IMódulos I y III (área de informática)

ANTONIO CARREÑO NÚÑEZ

Química IBiología I

Temas Selectos de Ciencias de la Salud I

ELIUD HERNÁNDEZ MANRIQUE

Orientación Profesiográfica

ELIZABET CASTELLANOS LÓPEZ

Ética y Valores IMódulos I y III

GILDARDO CRUZ CABALLERO

Inglés I y IIIAdministración I

IKER IÑIGO BRAVO CAMPOS

Física IGeografía

JAIME ROBLES HERNÁNDEZ

Orientación Vocacional

MARIO ULISES LUNA ZEPEDA

Taller de Lectura y Redacción ILiteratura I

Ciencias de la Comunicación I

THANIA LIZBETH HERNÁNDEZ CRUZ

Orientación Escolar

YESENIA ESMERALDA BASALDÚ GUTIÉRREZ

Matemáticas I y IIICálculo Diferencial


Diario de aprendizajeCálculo diferencialMatemáticas: un enfoquebasado en competencias

Vivaldo Cuesta SánchezEmilio Miguel Soto García

Mario Alberto Lezama Rojas


Soto, Emilio M.Diario de aprendizaje. Cálculo diferencial : Matemáticas. Un enfoque

basado en competencias / Emilio Miguel Soto García, Mario Alberto Lezama Rojas, Vivaldo Cuesta Sánchez. -- México : Limusa : IEBO, 2011238 p.: il.; 27.5 x 21cm. ISBN: 978-607-05-0350-4Rústica

1. Cálculo diferencialI.Lezama, Mario A., coaut. II. Cuesta, Vivaldo, coaut.

Dewey: 15.33 | 22 / S7181d LC: QA305

© COEDICIÓN INSTITUTO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO DEL

ESTADO DE OAXACA / EDITORIAL LIMUSA, S. A. DE C. V., 2011

LA ESTRUCTURA DIDÁCTICA EN CONJUNTO DE LA PRESENTE

EDICIÓN DE DIARIO DE APRENDIZAJE. CÁLCULO DIFE-RENCIAL. MATEMÁTICAS: UN ENFOQUE BASADO EN COMPETEN-CIAS PERTENECE AL INSTITUO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO DEL

ESTADO DE OAXACA.

LA PRESENTACIÓN Y DISPOSICIÓN SON PROPIEDAD DEL EDITOR.NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O

TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓ-NICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIÓN

O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE

INFORMACIÓN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS:

© 2011, EDITORIAL LIMUSA, S. A. DE C. V.GRUPO NORIEGA EDITORESBALDERAS 95, MÉXICO, D.F.C. P. 06040 

(55) 51 30 07 0001 (800) 706 91 00(55) 55 12 29 [email protected]

CANIEM Núm. 121

PRIMERA EDICIÓN

HECHO EN MÉXICO

ISBN: 978-607-05-0350-4

ESTA OBRA SE REALIZÓ EN IMPRESIÓN BAJO DEMANDA.

LA EDICIÓN, COMPOSICIÓN, DISEÑO E IMPRESIÓN DE ESTA OBRA, FUERON REALIZADOS

BAJO LA SUPERVISIÓN DE GRUPO NORIEGA EDITORES62920580029JULIO2011910DP92121


Presentación

Me dirijo y saludo con mucho afecto a los jóvenes oaxaqueños que actualmente

se forman en los planteles del Instituto de Estudios de Bachillerato del Estado de

Oaxaca (IEBO).

Tengo la enorme satisfacción de informarles que el Gobierno del Estado de

Oaxaca está comprometido a impulsar una política educativa que contribuya a for-

mar una generación de jóvenes bien preparados, con los conocimientos, capacida-

des y valores que les permitan incorporarse exitosamente a la nueva sociedad del

conocimiento.

Estoy consciente del gran esfuerzo que tú y tus familiares están realizando para

que puedas cursar tus estudios, y mediante tu adecuada preparación, puedas lograr

mejores condiciones de bienestar y un exitoso desarrollo profesional.

Nuestro reto consiste en brindar a los estudiantes del IEBO, los apoyos que faci-

liten y estimulen su proceso de aprendizaje. Éste es el propósito de los “Diarios de

Aprendizaje 2011”, que con mucho cariño y aprecio, ponemos en sus manos.

Se trata de un magnífico compendio temático correspondiente a cada una de

las asignaturas que integran los programas de estudio diseñados por el Instituto de

Estudios de Bachillerato del Estado de Oaxaca.

Su elaboración es el resultado del esfuerzo y dedicación de un profesional

equipo de trabajo integrado por profesoras y profesores del IEBO, apoyado por con-

sultores expertos en materia educativa, cuya finalidad es que los jóvenes estudiantes

del IEBO cuenten con el material académico que contribuya a fortalecer sus procesos

de aprendizaje.

Los “Diarios de Aprendizaje 2011” son una muestra del compromiso que mi

Gobierno tiene con los jóvenes oaxaqueños.

Ustedes representan la esencia del espíritu de superación que distingue a la ju-

ventud oaxaqueña, cuya dedicación y esfuerzo académico constituye el cimiento del

futuro y la grandeza de Oaxaca.

Reciban por ello nuestro reconocimiento y felicitación.

LICENCIADO GABINO CUÉ MONTEAGUDO

Gobernador Constitucional del Estado de Oaxaca


Contenido

Bloque didáctico I

Cuatro en uno

Videos educativos 16

Atando cabos antes de partir 17

Historia del cálculo 20

Desigualdades lineales y cuadráticas 21

Razones de cambio 49

Incremento 49

Razón de cambio promedio 50

Recta secante 50

Rapidez 50

Tierra a la vista 53

Bitácora de nuestro viaje 55

Bloque didáctico II

Esquivando los obstáculos, se llega a la meta



Límites 60

Noción intuitiva de límite 60

Noción intuitiva de límites laterales 66

Definición formal de límites 78

Propiedades de los límites 83

Límite de funciones 89

Límites infinitos y límites en el infinito 106

Continuidad 115

Continuidad y discontinuidad de manera intuitiva 115

Continuidad en un intervalo 121

Teoremas de continuidad 122



Bloque didáctico III

Varios problemas, una misma idea



Definición de la derivada 135

Cálculo de la derivada a partir de la definición 143

Derivadas laterales 146

Funciones derivables continuas 148

Reglas de diferenciación 148

Derivadas de una constante 148

Derivada de las potencias 148

Reglas del producto y del cociente 153

Regla del cociente 154

Derivada de funciones trigonométricas

y trigonométricas inversas 158

Derivadas de funciones exponenciales

y logarítmicas 162

Regla de la cadena 169

7


Cálculo diferencial

Derivación implícita 174

Derivadas de orden superior 177



Bloque didáctico IV

Más rápido que una calculadora, más exacto que una graficadora



Interpretación geométrica de la derivada 190

Puntos críticos y valores extremos 196

Funciones crecientes y decrecientes 199

Teorema de rolle 202

Teorema del valor medio 205

Concavidad 206

Criterio de la segunda derivada 206

Puntos de inflexión 209

Problemas de optimización 210



8


9

Este libro está diseñado íntegramente con un enfoque por competencias, yhemos puesto especial interés en que las identifiques fácilmente a lo largodel texto. Para reconocerlas, encontrarás las siguientes siglas:

Cada sigla va acompañada de un número que indica qué competencia estarásdesarrollando en ese momento.

Para las (competencias genéricas), tenemos:

Cg Para las competencias genéricas

Cdb Para las competencias disciplinares básicas

Cg

Un vistazo y manos a la obra

Cg 1 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo encuenta los objetivos que persigue.

Cg 2 Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus ex-presiones en distintos géneros.

Cg 3 Elige y practica estilos de vida saludables.

Cg 4 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextosmediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Cg 5 Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mé-todos establecidos.

Cg 6 Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Cg 7 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Cg 8 Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Cg 9 Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad,región, México y el mundo.

Cg 10 Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidadde creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

Cg 11 Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones res-ponsables.



10

Las (competencias disciplinares extendidas) comprenden las

4 áreas del conocimiento: matemáticas, ciencias experimentales, humanidadesy ciencias sociales, y comunicación.

En este libro referimos las de matemáticas:

Las competencias disciplinares extendidas para este campo del conocimientocorresponden a las competencias disciplinares básicas previstas en el artículo7 del Acuerdo 444, y son las siguientes:

Cde

Cde

Cde 1Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación deprocedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, parala comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Cde 2 Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfo-ques.

Cde 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Cde 4Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemá-tico y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Cde 5 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social onatural para determinar o estimar su comportamiento.

Cde 6Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente lasmagnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo ro-dean.

Cde 7Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un procesoo fenómeno y argumenta su pertinencia.

Cde 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos ma-temáticos y científicos.


Un vistazo y manos a la obra

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Durante el desarrollo de la obra, se han incluido tres íconos: PORTAFOLIO DE

EVIDENCIAS, el cual te permitirá identificar las actividades integradoras a lolargo del curso, con la finalidad de poder evaluar el nivel de dominio de lascompetencias adquiridas; LECTURA EN VOZ ALTA, que tiene como objetivo me-jorar tu expresión oral (dicción, volumen, entonación, etcétera). Para esto, tudocente elegirá la estrategia de lectura: grupal o tomará un determinado nú-mero de estudiantes al azar, y REVISIÓN DE TEXTO, con el fin de mejorar tu re-dacción y ortografía, elementos básicos a la hora de escribir sobre cualquiertema.

Portafolio de evidencias

Lectura en voz alta

Revisión de texto

Deseamos recibir tus comentarios en [email protected] y no olvides vi-sitar nuestra página www.noriegadigital.mx. Aquí encontrarás materiales de apoyoe información que te serán de gran utilidad en este momento de tu vida comobachiller y en el que lograrás obtener sólidos conocimientos para tu futuro.

Te damos la bienvenida a esta nueva etapa.

11


13

Propósito de la asignatura

Utiliza definiciones y aplicaciones de cálculo diferencial en el desarrollo y resolución deproblemas; construye ecuaciones y modelos matemáticos mediante el planteamiento dehipótesis previas en situaciones donde se optimicen los recursos en un ambiente de res-peto y cuidado de la comunidad y su medio.

Esquema general de la asignatura

CÁLCULO DIFERENCIAL

Bloque didáctico I

Cuatro en uno

Bloque didáctico II

Esquivando los obstáculos, se llega a la meta

Bloque didáctico III

Varios problemas,una misma idea

Bloque didáctico IV

Más rapido que unacalculadora, másexacto que una

graficadora

Preliminares Límites y continuidadDerivada y reglas

de derivación

Aplicaciones

de la derivada

• Desigualdades y valor absoluto.

• Potenciación.• Funciones.• Traslación de gráficas.• Identidades

trigonométricas

• Límites.• Propiedades de límites.• Límites laterales.• Continuidad.• Recta tangente.

• Derivada.• Reglas de diferenciación.• Derivadas

trigonométricas.• Regla de la cadena.• Derivación implícita.• Derivada de funciones

trascendentes.

• Gráfica de funciones poli-nomiales y racionales.

• Razones de cambio.• Optimización• Linealización y

diferenciales.



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Competencias genéricas-atributos y disciplinares extendidas a desarrollar en esteDiario de aprendizaje :

Todas las actividades están diseñadas con el propósito de desarrollar competencias genéricas-atributos y disciplinares básicas, con la finalidad de que contribuyan a tu desarrollo a lo largo de la vida. Al finalizar el estudio de este Diario de aprendizaje, habrásdesarrollado las siguientes competencias y atributos:

Competencias genéricas Atributos Competencias

disciplinares extendidas

Cg 1. Se conoce y valoraa sí mismo y abordaproblemas y retosteniendo en cuenta losobjetivos que persigue.

• Analiza críticamente losfactores que influyen en sutoma de decisiones.

Cde 1. Construye e interpreta mo-delos matemáticos mediante laaplicación de procedimientos arit-méticos, algebraicos, geométricos yvariacionales, para la comprensióny análisis de situaciones reales, hi-potéticas o formales.

Cde 2. Formula y resuelve proble-mas matemáticos aplicando dife-rentes enfoques.

Cde 3. Explica e interpreta los resul-tados obtenidos mediante procedi-mientos matemáticos y los contrastacon modelos establecidos o situacio-nes reales.

Cde 4. Argumenta la solución obte-nida de un problema, con métodosnuméricos, gráficos, analíticos o va-riacionales, mediante el lenguajeverbal, matemático y el uso de lastecnologías de la información y co-municación.

Cde 5. Analiza las relaciones entredos o más variables de un procesosocial o natural para determinar oestimar su comportamiento.

Cde 8. Interpreta tablas, gráficas,mapas, diagramas y textos con sím-bolos matemáticos y científicos.

Cg 5. Desarrollainnovaciones y proponesoluciones a problemas apartir de métodosestablecidos.

• Sigue instrucciones yprocedimientos de manerareflexiva, comprendiendocómo cada uno de sus pa-sos contribuye al alcancede un objetivo.• Identifica los sistemas yreglas o principios medu-lares que subyacen a unaserie de fenómenos.• Sintetiza evidencias ob-tenidas mediante la expe-rimentación para producirconclusiones y formularnuevas preguntas.

Cg 8. Participa y colaborade manera afectiva enequipos diversos.

• Propone maneras desolucionar un problema odesarrollar un proyecto enequipo, definiendo uncurso de acción con pasosespecíficos.• Asume una actitudconstructiva, congruentecon los conocimientos yhabilidades con los quecuenta dentro de distintosequipos de trabajo.


Bloque didáctico ICuatro en uno

Proposito del bloque

Conoce y analiza los precedentes historicos y analıticos del calculo dife-rencial de diversos problemas dinamicos, ya sean de aplicacion o teoricos,participando de manera activa y responsable en equipos diversos en un am-biente de respeto y tolerancia.

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CálculoBloque1-Oax_151 12/08/11 17:04 Página 15

VIDEOS EDUCATIVOS

La finalidad de los videos educativos seleccionados es complementar tu aprendizaje a traves delrecurso audiovisual para comprender los contenidos de la asignatura de Calculo diferencial. Lopodran proyectar de manera grupal con el apoyo del docente o consultarlos de manera individual.

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Atando cabos antes de partirPara iniciar este primer bloque, es muy importante conocer el nivel de conocimientosy habilidades con la que cuentas, ası como tu disposicion para emprender este nuevoproceso de aprendizaje. Es importante que comentes con tus companeros y asesor(a)la solucion del siguiente problema, ya que te permitira saber las diferentes formas enque se resuelve la situacion y la experiencia resultara muy gratificante. Ası que teinvitamos a resolver el siguiente reto.

Resuelve con todo detalle el siguiente problema. Aunque no termines de resolverlo es importanteque escribas tus ideas.

Ruperto fue a limpiar un terreno que es propiedad de la familia, cuando llego, observo que en unaparte de este, el terreno se dividıa en dos partes por el surco hecho en la cosecha pasada, en otra,el terreno se dividıa en 4 partes por dos surcos del terreno y en otra mas el terreno se dividıa en 7partes por 3 surcos existentes. Aprecia las figuras siguientes:

(a) ¿Cuantas regiones como maximo se pueden formar si trazan 4 surcos?

(b) ¿Cuantas regiones como maximo se pueden formar si trazan 5 surcos?

(c) ¿Cuantas regiones como maximo se pueden formar si trazan 25 surcos?

En una hoja realiza un dibujo que represente el terreno y las regiones formadas al trazar 6 surcos.Intenta colorear el terreno con el mınimo de colores, de tal manera que se distingan perfectamentetodas las regiones.

Nota historica: El problema de colorear mapas es muy antiguo, en la epoca renacentista loscartografos sabıan que bastaba a lo mucho 4 colores para colorear sus mapas de tal manera que dospaıses que compartıan fronteras quedaran iluminados de distinto color.

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Bloque didáctico I: Cuatro en uno


En 1976 se hizo una demostracion de tal hecho usando una computadora, pero no fue hasta 1996que los matematicos Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robin Thomas, del InstitutoTecnologico de Georgia, en Estados Unidos, publicaron una demostracion, aparentemente correcta,del teorema de los cuatro colores.

¿Por que consideras importante realizar actividades matematicas como la solucion del problemainicial?

¿En que situaciones de la vida cotidiana has aplicado las matematicas y explica por que?

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Todos a bordoUna de las ramas en la matematica mas apasionante es el calculo diferencial, ya quees util en la resolucion de diversos problemas de aplicacion o teoricos. El reto es, quete apropies de los saberes de manera efectiva de tal suerte que te permita resolver losretos que te presentaremos, para ello, conoceras algunas herramientas matematicasque te ayudaran a comprender el calculo diferencial, ası como un breve resumen desu historia.

Al termino de este realizaras un reporte escrito en el que expresaras tu punto de vistaacerca de como contribuye el calculo diferencial a los grandes avances de la ciencia,deberas incluir tambien en el reporte una explicacion de las diferentes manifestacionesde la matematica en tu comunidad.

La brujula del viajeUno de los problemas al que se enfrenta la humanidad actualmente, es la de minimizar recursos detodo tipo o bien ocupar al maximo el recurso con el que contamos de tal manera que el desperdiciosea mınimo. Para iniciar te invitamos a que resuelvas la situacion siguiente.

Construye una caja sin tapa de volumen maximo con una hoja de papel de 20cm× 26cm. Para ello,recorta cuadros en las esquinas como se aprecia en la figura 2 y dobla sobre las lıneas punteadaspara formarla.

Figura 1.1: Hoja recortada.

Responde las preguntas siguientes y comenta tus respuestas ante el grupo para establecer junto contu asesor(a) respuestas comunes.

1. ¿Es posible recortar cuadrados de 5cm× 5cm en cada esquina para formar la caja?

2. Si se recortan cuadrados en las esquinas de 3cm× 3cm , ¿cual es el volumen de la caja?

3. ¿Cual son las dimensiones de los cuadros que se deben recortar en las esquinas para obtenerel volumen maximo?

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1.1. Historia del Calculo

Sin lugar a duda, muchos acontecimientos a lo largo de la historia han marcado a la humanidady a su evolucion. Gracias a estos logros, podemos superar obstaculos que antes eran imposibles desortear.

Uno de estos acontecimientos fue el descubrimiento del calculo diferencial. A continuacion te pre-sentamos de manera sucinta algunos hechos importantes que contribuyeron a tal descubrimiento.

Leucippo, Democrito y Antifon hicieron contribuciones al metodo de exhausion al que Eudoxo diouna base cientıfica alrededor del ano 370 a. C. Este metodo se llama ası ya que considera areasfaciles de medir, que al expandir cubren mas y mas, algun area amorfa o difıcil de calcular.

En el ano 225 a.C. Arquımedes calculo el area de un segmento de parabola, ademas uso el metodoexhaustivo para encontrar la aproximacion al area de un cırculo. Obtuvo tambien el volumen y lasuperficie de una esfera, el volumen y area de un cono y el area de una elipse.

No hubo mas progresos hasta el siglo XVI, cuando la mecanica llevo a los matematicos a examinarproblemas como el calculo del centro de gravedad.

En 1606, Luca Valerio (1552-1618) publico en Roma De quadratura parabolae donde usa los metodosgriegos para calcular areas.

Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenıa que encontrar el area de sectores de unaelipse, para lo cual propuso un metodo que consistıa en pensar en las areas como sumas de lıneas.

Tres matematicos: Fermat, Roberval y Cavalieri que nacieron en un periodo de tres anos, fueron lossiguientes en hacer contribuciones importantes. Este ultimo concibio el ’metodo de los indivisibles’inspirado en los trabajos de Kepler. Roberval considero problemas del mismo tipo pero fue muchomas riguroso que Cavalieri mientras que Fermat trabajo sobre maximos y mınimos.

En 1637, Descartes produjo en su obra La Geometrie un importante metodo para determinar nor-males. De Beaune extendio su metodo y lo aplico a las tangentes.

Hudde propuso un metodo mas sencillo, llamado la Regla de Hudde, donde ya se usa de manerarudimentaria el concepto de derivada. Los metodos de Descartes y de Hudde influyeron de maneraimportante al trabajo de Newton.

El siguiente paso lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo propuso un metodo para obtener tangentesa una curva en el que la tangente la define como el lımite de una cuerda cuando los puntos se acercanuno a otro. Torricelli y Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. Barrownunca afirmo explıcitamente el teorema fundamental del calculo, pero estaba trabajando hacia elresultado.

Newton continuarıa en esta direccion y su obra contiene el primer enunciado del Teorema Funda-mental del calculo, sin embargo tuvo dificultades para publicar su obra matematica.

Por su parte, Leibniz aprendio mucho en un viaje por Europa donde 1672 conocio en Paris aHuygens. Al volver a Parıs, Leibniz realizo un trabajo extraordinario sobre el calculo, pensando demanera muy distinta a Newton. Por las contribuciones que dieron al calculo diferencial e integralse le considera a Newton y a Leibniz los personajes mas importantes que conformaron el calculo.A partir de estas aportaciones la ciencia y la tecnologıa se vieron favorecidos en su desarrollo; lanavegacion, la construccion de naves, los misiles, la fabricacion de diferentes objetos al servicio de

20



la sociedad, la electricidad y electronica, la ingenierıa civil, entre tantos otros campos. Y ası lahumanidad empezo un desarrollo del cual estamos viendo sus resultados, solo resta al ser humanohacer un uso razonable y justo de la tecnologıa y de sus consecuencias.

1.2. Desigualdades lineales y cuadraticas

Regularmente hacemos uso de expresiones que muestran la comparacion de dos valores, por ejem-plo: ¿Quien es mas grande?, entre hermanos sucede una comparacion comun: yo tengo mejorescalificaciones que tu. En el supermercado se escucha: Compare nuestros precios, son mejores quela competencia, en terminos futbolısticos, este equipo tiene mejor diferencia de goles; o tal equipotiene mas juegos ganados de local que de visitante, etcetera. Es decir, establecemos relaciones deorden entre edades, precios, porcentaje, altura, distancia, tiempo, goles, etcetera. Matematicamentepodemos representar estas relaciones por medio de las desigualdades.

Siguiendo las coordenadas Cg 4,6

Consulta uno de los diarios de tu localidad y escribe una lista de diez noticias donde seencuentre explicita la comparacion entre dos cantidades. Analiza y reflexiona estas notas con tu

companeros e intercambia opiniones e ideas.

Definicion 1.1. Dos numeros o dos expresiones algebraicas, relacionadas entre sı por elsigno < (menor), o por el signo > (mayor), o por el signo �= (diferente), forman unadesigualdad.

Por ejemplo en las siguientes desigualdades: 3 < 4 (tres es menor que cuatro) o 6 > 4 (seis esmayor que cuatro) se esta realizando una comparacion entre dos entes semejantes o con las mismasunidades. Tambien podemos expresar desigualdades incluyendo la igualdad, por ejemplo a ≤ b, estoes que a puede ser menor o igual a b. Tambien podemos tener que m ≥ n, lo que significa que m esmayor o igual a n.

En resumen, podemos establecer la relacion entre dos cantidades semejantes mediante la siguientesimbologıa:

Sımbolo Significado Ejemplo

= Igual a = 3�= Diferente 5 �= 7< Menor que 9 < 10> Menor que 20 > 15≥ Mayor o igual que a ≥ b≤ Menor o igual que x ≤ y

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En ocasiones una desigualdad se puede escribir de dos formas, por ejemplo 7 > 4 , tambien se puedeescribir como 4 < 7 ya que representa la misma relacion de orden.

En la vida diaria nos encontramos con expresiones en la que una variable toma diferentes valores,esto implica que podemos elegir el valor en un intervalo de posibilidades, por ejemplo: Nos vemosentre las tres y las tres media para hacer la tarea, otra expresion puede ser: Mi transporteal Bachillerato hace entre quince y treinta minutos, en terminos de futbol: La seleccionMexicana de la categorıa sub-17, (aquellos que tengan menos de 16 anos 11 meses),resulto campeon en el Campeonato Mundial de la categorıa realizado en Mexico, en elsalon de clase puede existir una regla: La tolerancia para entrar es de 15 minutos, evidente-mente si la clase empieza a las 10:00 horas, entonces la entrada puede ser cualquier momento quesea despues de las 10:00 pero antes de las 10:15 horas.

Siguiendo las coordenadas Cg 4, 5

En las siguientes lıneas escribe cinco ejemplos de la vida cotidiana, en los cuales hagas uso dedesigualdades que se puedan escribir en forma matematica:

1.

2.

3.

4.

5.

Sabemos de los cursos de algebra elemental, que los numeros reales se pueden ordenar. El ordende los numeros reales y sus propiedades se establecen a traves de los axiomas de orden que acontinuacion recordaremos.

22

Axiomas de orden:

1. Tricotomıa: Si a, b ∈ R solo una de las siguientes situaciones se cumple:

a) a = b

b) a b

2. Transitividad: Sean a, b, c ∈ R se tiene que sı a 0, entonces ac < bc, si a > 0 y c < 0 entonces ac > bc

4. Consistencia de la suma respecto a la relacion de orden: Sean a, b, c ∈ R setiene que sı a < b, entonces a+ c < b+ c

Por ejemplo, segun el axioma 1 (Tricotomıa), si escogemos los numeros 8 y 11, solo se puedeestablecer la siguiente relacion de orden: 8 < 11

De lo expuesto en el axioma 2 (Transitividad), se tiene que si 10 > 7 y 7 > 3, entonces sucede que10 > 3. La interpretacion del axioma 3, es la siguiente:

Sabemos que 12 > 9, entonces al multiplicar por un numero positivo, por decir 3, en ambos ladosde la desigualdad, el orden no cambia.

Veamos:

12 > 9

(12) (3) > (9) (3)

36 > 27

Observemos que al multiplicar o dividir por un numero negativo, la desigualdad cambia: En efecto,al multiplicar por −3 en ambos lados de la desigualdad, se tiene que:

12 > 9

(12) (−3) < (9) (−3)

−36 < −27

Recuerda que −27 es mayor que −36 ya que −27 esta a la derecha de −36 si ambos los ubicamosen la recta real. Ve la figura 1.2.

Ahora dividimos por −3 en ambos miembros de la desigualdad 12 > 9:

12 > 9(12

−3

)<

(9

−3

)

23

Figura 1.2: −36 < −27

Figura 1.3: −4 < −3

−4 < −3

Aprecia en la figura 1.3 que en efecto −4 < −3:Podemos establecer de manera general lo siguiente:

Definicion 1.2. Un numero real a es mayor que otro b, si el primero esta la derecha delsegundo en la recta real. Ve la figura 1.4.

Figura 1.4: a > b

El axioma 4 establece por ejemplo, que si 20 > 13, al sumarle cualquier numero real en ambos ladosde la desigualdad, el orden se preserva. Veamos:

20 > 13

20 + 21 > 13 + 21

41 > 34

Otro mas:

20 > 13

20 + (−30) > 13 + (−30)

−10 > −17

Siguiendo las coordenadas Cg 4, 5

Analiza con ejemplos las siguientes propiedades de las desigualdades y comenta tus observa-ciones ante el grupo. Es importante que no olvides interpretar cada una de ellas ya que son pieza

clave al resolver inecuaciones.

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Propiedades de las desigualdades:

1. Si a > b, entonces b < a. (Propiedad simetrica.)

2. Si a < b, entonces a− c < b− c (Consistencia de la sustraccion o resta.)

3. Si a bc (Consistencia de la multiplicacion.)

4. Si a < b, y c > 0, entoncesa

c

b

c(Consistencia de la division)

6. Si a 

1

b, esto significa que el inverso multiplicativo en ambos

miembros de la desigualdad cambia el sentido de la misma.

7. Si a −b, esto significa que el inverso aditivo en ambosmiembros de la desigualdad cambia el sentido de la misma.

8. Dos desigualdades de la forma (a) a b y b > c pueden serunidas en una doble desigualdad: (a) a b > c.

1.2.1. Intervalos

Definicion 1.3. Un intervalo I de numeros reales es cualquier subconjunto de los numerosreales R, es decir I ⊂ R. Los intervalos se pueden clasificar en cerrados, abiertos, semia-biertos e infinitos.

Intervalo cerrado

Consideremos al conjunto siguiente:

Figura 1.5: Intervalo cerrado

En forma comprensiva se escribe I = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}Notacion: Este intervalo, simplemente lo denotamos x ∈ [a, b]

Por ejemplo se escribe [1, 3] en lugar de 1 ≤ x ≤ 3 esto indica el conjunto de numeros en la rectareal que llenan totalmente el segmento o intervalo con extremos en los puntos x = 1 y x = 3.

En la figura 1.5, observemos que los puntos a y b estan llenos, esto significa que es cerrado, es decir,los extremos a y b pertenecen al conjunto I.

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Intervalo abierto


Figura 1.6: Intervalo abierto.

En forma comprensiva se escribe I = {x ∈ R|a < x < b}Notacion: Este intervalo, simplemente lo denotamos x ∈ (a, b).

En la figura 3.1.1, observemos que los puntos a y b estan vacıos, esto significa que es abierto, esdecir, los extremos a y b no pertenecen al conjunto I.

Intervalos semiabiertos o semicerrados

. Consideremos al conjunto siguiente:

Figura 1.7: Intervalo semiabierto o semicerrado.

En forma comprensiva se escribe I = {x ∈ R|a ≤ x < b}.Notacion: Este intervalo, lo denotamos con x ∈ [a, b)

En este caso, observemos que el punto a esta relleno y b vacıo, esto significa que es semiabierto osemicerrado, es decir, el extremo a pertenece al conjunto I y b no.

Otro caso de intervalo semiabierto se muestra en la figura 1.8.

Figura 1.8: Intervalo semiabierto o semicerrado.

En forma comprensiva se escribe I = {x ∈ R|a < x ≤ b}Notacion: Este intervalo, simplemente lo denotamos x ∈ (a, b]

26

Figura 1.9: Intervalo infinito.

Intervalos infinitos


En forma comprensiva se escribe I = {x ∈ R|a ≤ x}Notacion: Este intervalo, simplemente lo denotamos x ∈ [a,∞).

Otro intervalo infinito es que se muestra en la figura 1.10.


En forma comprensiva se escribe I = {x ∈ R|a < x}Notacion: Este intervalo, simplemente lo denotamos x ∈ (a,∞)

En la figura 1.11 se puede apreciar otro tipo de intervalo infinito:


En forma comprensiva se escribe I = {x ∈ R|x ≤ a}Notacion: Este intervalo, simplemente lo denotamos con x ∈ (−∞, a]

Finalmente, en la figura 3.15 diagrama muestra a otro tipo de intervalo abierto.


27

De manera comprensiva el intervalo se escribe I = {x ∈ R|x < a}.Notacion: Este intervalo, lo denotamos con x ∈ (−∞, a)

Si recordamos la regla para la hora de entrada al salon de clase, podemos escribirla de la manerasiguiente. Los extremos seran a = 10 : 00 y b = 10 : 15 y t la hora en que esta permitido entrar aclase, ası se tiene que a ≤ t ≤ b o [a, b].

¿Que sucede cuando el valor de la variable puede estar en dos intervalos? En la figura 3.16 setiene el caso en que la desigualdad se cumple para x < 4 o para x > 10, entonces se necesita unaexpresion para considerar uno de estos dos intervalos, para este caso utilizamos la union de ellos:(−∞, 4) ∪ (10,+∞).

En la figura 1.13(b) se muestra el caso cuando los intervalos se empalman, esto es, cuando existeinterseccion de los dos conjuntos dada por la expresion (−∞, 10) ∩ (4,+∞).

(a) Union de intervalos. (b) Interseccion de intervalos.

Figura 1.13: Union e interseccion de intervalos.

1.2.2. Desigualdades o Inecuaciones

Una aplicacion directa de los axiomas de orden y de los intervalos es la resolucion de las inecuaciones,a continuacion explicaremos esta herramienta. Para ellos establecemos las siguientes definiciones.

Definicion 1.4. Una ecuacion es una igualdad que se establece entre dos cantidadesde tal manera que se cumple para algun(os) valor(es).

Ejemplo 1. Por simple inspeccion sabemos que la ecuacion 3x+12 = 24 , es verdadera para x = 4.

Definicion 1.5. Una inecuacion es una desigualdad que se establece entre dos can-tidades numericas que en nuestro caso seran numeros reales en la que se involucrauna variable.

Ejemplo 2. 3x+ 2 > 8 , es una inecuacion.

28

Definicion 1.6. Una solucion es todo numero real que satisface la desigualdad.

Ejemplo 3. Para x = 2 la inecuacion 3x + 2 > 8 es falsa, ya que 3 (2) + 2 = 8 y 8 no es mayorque 8, sin embargo, x = 9 si es una solucion, si sustituimos se tiene que: 3 (9) + 2 = 27 + 2 = 29.Y evidentemente, 29 si es mayor que 8.

Definicion 1.7. Al conjunto de todas las soluciones es llamado conjunto solucion.

Ejemplo 4. Si buscamos todos los numeros reales que hacen verdadera la inecuacion 3x + 2 > 8,son infinitos, es decir no podemos enlistar todas las soluciones, de aquı la necesidad de escribir alconjunto solucion mediante algun tipo de intervalo.

Para resolver una desigualdad la escribimos como una sucesion de desigualdades equivalentes cadavez mas simples, aplicando las leyes o propiedades recien dadas. El objetivo es despejar x, es decir,resolver para x, o cualquiera que sea la variable.

1.2.3. Desigualdades lineales, de primer grado o de la forma ax + b ≤ cx + d yax+ b < cx+ d

Ejemplo 5. Resolvamos la inecuacion 3x− 6 > 6x− 18 si x ∈ R

Solucion: Agrupamos los terminos que contengan a x y los terminos constantes en el otro lado de ladesigualdad. Usaremos el sımbolo ⇔ para representar a la palabra ’equivale a . . . ’ o es ’equivalentea . . . ’:

3x− 6 > 6x− 18

⇔ 3x− 6x > −18 + 6⇔ −3x > −12

⇔ −3x

−3<

−12

−3(Recuerda que al dividir una desigualdad entre

un numero negativo, se invierte el orden)⇔ x < 4

Graficamente la solucion se puede apreciar en la figura 1.14:

Figura 1.14: Conjunto solucion de la inecuacion 3x− 6 > 6x− 18.

En terminos de intervalos, la solucion es:x ∈ (−∞, 4)

Ejemplo 6. Resolvamos la inecuacion 5x+ 2 ≤ x− 14 si x ∈ R

29

Solucion: Agrupamos los terminos que contengan a x y los terminos constantes en el otro lado dela desigualdad: 5x+ 2 ≤ x− 14

⇔ 5x− x ≤ −14− 2⇔ 4x ≤ −16

⇔ 4x

4≤ −16

4(Aquı la desigualdad no cambia ya que

dividimos entre un numero positivo)⇔ x ≤ −4

Graficamente la solucion se puede apreciar en la figura 1.15:

Figura 1.15: Conjunto solucion de la inecuacion 5x+ 2 ≤ x− 14.

En terminos de intervalos, la solucion es: x ∈ (−∞,−4]

1.2.4. Desigualdades de multiplicacion o de la forma (ax+ b) (cx+ d) < 0, (ax+ b) (cx+ d)0, (ax+ b) (cx+ d) > 0 o (ax+ b) (cx+ d) ≥ 0

Ejemplo 7. Resolvamos la inecuacion: (3x− 6) (2x+ 6) ≤ 0 si x ∈ R

Solucion: Como un producto es negativo para los casos siguientes:

Caso I: +×− = − o bien: Caso II:−×+ = −Resolvemos la inecuacion por casos:Caso I: +×− = −; es decir:

3x− 6 ≥ 0 y 2x+ 6 ≤ 0⇔ 3x ≥ 6 y 2x ≤ −6

⇔ 3x

3≥ 6

3y

2x

2≤ −6

2⇔ x ≥ 2 y x ≤ −3

Al trazar los intervalos como se aprecia en la figura 1.16 es claro que la solucion es x ∈ ∅

Figura 1.16: La interseccion de los intervalos es el conjunto vacıo.

Caso II: −×+ = −; es decir:

30

3x− 6 ≤ 0 y 2x+ 6 ≥ 0⇔ 3x ≤ 6 y 2x ≥ −6

⇔ 3x

3≤ 6

3y

2x

2≥ −6

2⇔ x ≤ 2 y x ≥ −3

Trazamos el conjunto solucion de cada inecuacion. Ve la figura 1.17.

Figura 1.17: Los intervalos mostrados es el conjunto solucion de cada inecuacion.

De la figura 1.17, se aprecia que la interseccion o region comun de ambos intervalos es: x ∈ [−3, 2]Como la solucion del caso I es el vacıo, la solucion final es: x ∈ [−3, 2]

1.2.5. Desigualdades cuadraticas

Desigualdades cuadraticas de la forma ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c > 0,ax2 + bx + c ≤ 0 oax2 + bx+ c < 0

Ejemplo 8. Resolvamos la inecuacion x2 + x− 12 ≥ 0 si x ∈ R

Solucion: Factorizamos la expresion: x2 + x− 12:

x2 + x− 12 ≥ 0 ⇔ (x+ 4) (x− 3) ≥ 0

Como un producto es positivo para los casos siguientes:Caso I: +×+ = + o bien Caso II: −×− = +

Resolvemos la inecuacion por casos:

Caso I: +×+ = +; es decir: x+ 4 ≥ 0 y x− 3 ≥ 0, ⇔ x ≥ −4 y x ≥ 3

Trazamos los intervalos que son conjuntos solucion de cada inecuacion. Observa la figura 1.18.


31

Se puede apreciar en la figura 1.18 que la interseccion de los dos intervalos es: x ∈ [3,∞)

Caso II: −×− = +; es decir: x+ 4 ≤ 0 y x− 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ −4 y x ≤ 3

Trazamos el conjunto solucion de cada inecuacion. Ve la figura 1.19.


De la figura 1.19, se observa que la interseccion o region comun de ambos intervalos es: x ∈ (−∞,−4]

Como la solucion del Caso I es el intervalo x ∈ [3,∞), la solucion final es: x ∈ (−∞,−4] ∪ [3,∞)

Ejemplo 9. Resolvamos la inecuacion cuadratica 5x(x+ 2) + 6 ≥ 3 si x ∈ R

Solucion: 5x(x+ 2) + 6 ≥ 3 ⇔ 5x2 + 10x+ 3 ≥ 0

Como la expresion 5x2+10x+3 no es factorizable con las tecnicas usuales. Resolvemos la ecuacioncuadratica 5x2 + 10x+ 3 = 0 por formula general.

Al resolver la ecuacion, se obtiene que:

x1 = −1−√10

5≈ −1.638 y x2 = −1 +

√10

5≈ −0.378

Con las raıces de la ecuacion, podemos factorizar la inecuacion inicial de la forma: 5x(x+2)+6 ≥ 3

⇔ 5x2 + 10x+ 3 ≥ 0

⇔ (x+ 1.638)(x+ 0.378) ≥ 0

Luego resolvemos por casos (se deja al lector). Ası obtenemos el conjunto solucion:

(−∞,−1.638] ∪ [− 0.368,+∞)

Desigualdes con valor absoluto

Definicion 1.8. Dado x ∈ R, el valor absoluto de x, el cual se denota como |x|, se definede la manera siguiente:

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

En la figura 1.20 se muestra la grafica de la funcion valor absouto de x.

32

Figura 1.20: Funcion valor absoluto |x|.

Ejemplo 10. Obten el valor de |−7|

Solucion: Como −7 < 0, se tiene que: |−7| = − (−7) = 7

Una forma de interpretar el resultado es suponer que el sımbolo |−7| representa la distancia quehay desde el origen hasta x = −7.

Ası que de manera rapida se puede establecer que, por ejemplo:

1. |−3.4| = 3.4

2. |8| = 8

3. |x| = 8 si x = 8 o bien x = −8

Luego para resolver la inecuacion |x| < 6 donde x ∈ R, podemos interpretarla con la siguientepregunta: ¿Que numeros reales x se encuentran a una distancia menor que 6 con respecto al origen?

Un poco de reflexion nos permite establecer la siguiente solucion: x ∈ (−6, 6), observa la figura 1.21.

Figura 1.21: Conjunto solucion de la inecuacion |x| < 6.

Tambien podemos resolver de manera grafica la inecuacion |x| ≥ 2. En realidad estamos interesadosen encontrar los numeros x que estan a partir del origen a una distancia mayor o igual a 2. Es claroque los numeros que cumplen con esta condicion se muestran en la figura 1.22.

Figura 1.22: El intervalo mostrado, satisface la inecuacion |x| ≥ 2.

Ası que podemos establecer dos importantes propiedades que involucra al valor absoluto. A decires la siguiente:

33

(1) Si x, a ∈ R entonces, la solucion de la inecuacion |x| ≤ a es el siguiente intervalo:

−a ≤ x ≤ a o bien [−a, a]

Ve la figura 1.23.

Figura 1.23: [−a, a] es la solucion de la inecuacion |x| ≤ a.

(2) Si x, a ∈ R entonces, la solucion de la inecuacion |x| ≥ a es el siguiente intervalo:

x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)

Aprecia la figura 1.24.

Figura 1.24: x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞) es la solucion de la inecuacion |x| ≥ a.

Ejemplo 11. Resolver la desigualdad: |x− 4| < 2 si x ∈ R. Ver figura 1.25.

Figura 1.25: Desigualdad |x− 4| < 2.

Si analizamos la figura 1.25, vemos dos funciones; la del valor absoluto f(x) = |x− 4| y laconstante g(x) = 2, con la desigualdad |x− 4| < 2 estamos buscando el intervalo donde una deellas (el valor absoluto) esta por debajo de la otra.

Solucion: |x− 4| < 2, haciendo uso de la definicion de valor absoluto podemos establecer que:−2 < x− 4 < 2

34

Sumamos cuatro unidades a los miembros de la desigualdad y se obtiene lo siguiente: −2 + 4 <x− 4+4 < 2+4, por lo que ⇔ 2 < x < 6. En la misma grafica podemos observar la parte rayadamuestra en intervalo calculado.

En la figura 1.26, se puede apreciar el conjunto solucion de dicha inecuacion.

Figura 1.26: x ∈ (2, 6) es el conjunto solucion de la inecuacion |x− 4| < 2.

Ejemplo 12. Resolvamos la inecuacion |x+ 3| > 7 si x ∈ R

Solucion: Para resolver esta desigualdad aplicamos la definicion de valor absoluto resolvemos endos casos:

(i) Si x+ 3 > 0 se tiene las siguientes equivalen-cias :

|x+ 3| > 7

x+ 3 > 7

x > 4

x ∈ (4,∞)

x = 0

x > −3

(ii) Si x+3 < 0 se tiene las siguientes equivalen-cias:

|x+ 3| > 7

− (x+ 3) > 7

−x− 3 > 7

−x > 7 + 3

−x > 10

x < −10

x ∈ (−∞,−10)

Luego la solucion de la inecuacion |x+ 3| > 7 es: x ∈ (−∞,−10) ∪ (4,∞)

Siguiendo las coordenadas Cg 4, 5 Cdb 2, 4, 8

Resuelve las siguientes inecuaciones y comenta con tus companeros de grupo tus soluciones.

a) 3 (x− 5)− 4 (3− 4x) ≤ 2− 3 (2− x)− 3x

b) (4x+ 10) (3x+ 9) ≤ 0

c) 3 (4− 3x)− 2 (3− 2x) > x− 2 (2− 3x)

d) (7x− 3) (5x+ 15) > 0

e) (2x+ 1) (3x− 9) > 0

f) x2 + 6x− 11 < 0

g) |2x− 3| > 8

h) |3x− 12| ≤ 18

i) 6x2 − 5x− 6 ≤ 0

35

1.2.6. Identidades trigonometricas

Seguramente en tus cursos pasados habras examinado expresiones algebraicas como las siguientes:

1. (A+B)2 = A2 + 2AB +B2

2. A3 −B3 = (A−B)(A2 +AB +B2

)3. 2x+ 8 = 22

Podemos apreciar que en los tres casos se tratan de igualdades, sin embargo, analicemos con cuidadoslas tres situaciones.

Si suponemos que en las expresiones mostradas en los incisos (1.)y (2.), las literales A y B sonnumeros reales podemos averiguar su validez al sustituir algunos valores. Por ejemplo, para A = 3y B = 4 se tiene que:

(1.)

(3 + 4)2 = 32 + 2 (3) (4) + 42

72 = 9 + 24 + 16

49 = 49

(2.)

33 − 43 = (3− 4)(32 + (3) (4) + 42

)27− 64 = (−1) (9 + 12 + 16)

−37 = (−1) (37)

−37 = −37

Si consideramos ahora A = 5 y B = 1 se es-tablece lo siguiente:(1.)

(5 + 1)2 = 52 + 2 (5) (1) + 12

62 = 25 + 10 + 136 = 36

(2.) 53 − 13 = (5− 1)(52 + (5) (1) + 12

)125− 1 = (4) (25 + 5 + 1)124 = (4) (31)124 = 124

Podemos inferir que las igualdades (1.) y (2.) son validas para cualquier valor real de A y B, paraverificarlo es necesario realizar la multiplicacion:

(1.) (A+B)2 = (A+B) (A+B) = AA+AB +BA+BB = A2 + 2AB +B2

(2.) Se deja al lector.

Ahora analicemos la igualdad (3.): Si x es un numero real, por ejemplo x = 2, se tiene que:2 (2) + 8 = 4 + 8 = 12 �= 22

Para x = 5 se obtiene lo siguiente: 2 (5) + 8 = 10 + 8 = 18 �= 22

Para x = 7 se establece que: 2 (7) + 8 = 14 + 8 = 22 = 22

Es decir, la igualdad 2x + 8 = 22 es valida para x = 7. Del algebra elemental se sabe que unaecuacion de primer grado puede tener una unica solucion, ninguna o una infinidad. Una vez queencontramos que x = 7 es la solucion, sabemos que es la unica.

Una vez que analizamos las tres situaciones, recordemos algunas definiciones basicas que nos per-mitira establecer la definicion de identidad trigonometrica.

Definicion 1.9. Varias expresiones numericas o algebraicas relacionadas con el signo =le llamaremos igualdad.

36



Ejemplo 13. Las siguientes expresiones son igualdades.

(i) 32 − 1 = 8

(ii) x2 + 1 = 0

(iii) a2 − ab = a (a− b)

Definicion 1.10. Una igualdad que se verifica o que es valida para algun(os) valores sele llama ecuacion. Es posible que una ecuacion sea valida para todo valor o bien no seavalida para algun valor.

Ejemplo 14. 1. Si x ∈ R, ¿cual es la solucion de la ecuacion x+ 3 = 8?

Solucion: Un simple vistazo nos permite establecer que la solucion es x = 5

2. Si x ∈ N, ¿cual es la solucion de la ecuacion x+ 13 = 8?

Solucion: Como x ∈ N, no existe solucion ya que en el conjunto de los numeros naturales nohay numeros negativos.

3. Si x ∈ R, ¿cual es la solucion de la ecuacion x+ 13 = 8?

Solucion: Como x ∈ R, la solucion si existe y es x = −5.

4. Si x ∈ R, ¿cual es la solucion de la ecuacion x2 + 1 = 0?

Solucion: Dado que el cuadrado de todo numero real es positivo, no existe solucion de laecuacion en los numeros reales.

Definicion 1.11. Una igualdad que se verifica o que es valida para todo valor permisible,se le denomina identidad.

Ejemplo 15. 1. a2 − b2 = (a+ b) (a− b) es una igualdad valida para todo a, b ∈ R.

2. (a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 es una igualdad verdadera para todo a, b ∈ R.

3.a5 − b5

a− b= a4 + a3b+ a2b2 + ab3 + b4 es una igualdad valida para todo a, b ∈ R tal que a �= b.

En caso de que a = b se tiene una division indeterminada, es por eso la restriccion a �= b.


Identifica en la siguiente lista, las expresiones que son ecuaciones o identidades. Comenta tussoluciones ante el grupo para establecer conclusiones.

37



1. a+ b = b+ a

2. 3x+ 3 = 24

3. x2 + 3x+ 2 = (x+ 2) (x+ 1)

4. 5x+ 6 = 5x+ 7

5. 23 − 1 = 6 + 1

6. (a+ b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 +5ab4 + b5

7. x+ 3 (x+ 4) = x− 8

8. 2x+ 2y + 2z = 2 (x+ y + z)

9. 8y + 1 = y + 2

10. 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n (n+ 1)

2

Una vez que hemos establecido la nocion de identidad, recordemos algunas definiciones de trigonometrıapara ası constituir las identidades trigonometricas.

Sin perdida de generalidad, consideremos un punto cualquiera P (x, y) en el primer cuadrante delsistema de coordenadas. Observa la figura 1.27.

Figura 1.27: OMP es un triangulo rectangulo.

Recordemos, que a partir del triangulo formado en la figura, podemos definir las siguientes funcionestrigonometricas del angulo α de la manera siguiente:

senα =y

r

cosα =x

r

tanα =y

x

cotα =x

y

secα =r

xcscα =

r

y

Tambien se cumple por el teorema de Pitagoras que: x2 + y2 = r2

Definicion 1.12. Una identidad trigonometrica es una igualdad entre funcionestrigonometricas, que es valida para todo valor permisible del argumento de cada funcion ylas operaciones aritmeticas involucradas entre ellas.

Procedemos a demostrar la validez de las siguientes identidades trigonometricas

38



Identidades de division

Para cualquier angulo α permitido se cumplen las siguientes identidades:

Definicion 1.13. Identidades:

1. tanα =senα

cosα, siempre que cosα �= 0

2. cotα =cosα

senαsiempre que senα �= 0

En efecto, al sustituir senα =y

ry cosα =

x

rse obtiene:

1)senα

cosα=

yrx

r

=yr

xr=

y

x= tanα

2)cosα

senα=

xry

r

=rx

ry=

x

y= cotα

Identidades de recıprocos

Definicion 1.14. Para cualquier angulo α permitido se cumplen las siguientes identi-dades:

3) secα =1

cosαsiempre que cosα �= 0

4) cscα =1


5) cotα =1

tanαsiempre que tanα �= 0

Para demostrar que son validas las identidades, sustituimos senα =y

r, cosα =

x

ry tanα =

y

xde

la siguiente manera:

3)1

cosα=

1xr

=r

x= secα

4)1

senα=

1yr

=r

y= cscα

5)1

tanα=

1yx

=x

y= cotα

39



Identidades cuadraticas

Para cualquier angulo α permitido se cumplen las siguientes identidades:

Definicion 1.15. Para cualquier angulo α permitido se cumplen las siguientes identi-dades:

6) sen2 α+ cos2 α = 1

7) 1 + tan2 α = sec2 α

8) 1 + cot2 α = csc2 α

En efecto, para probar que la identidad (6) es valida, utilizamos:

senα =y

r, cosα =

x

ry x2 + y2 = r2

sen2 α+ cos2 α =(yr

)2+(xr

)2⇔ sen2 α+ cos2 α =

y2

r2+

x2

r2

⇔ sen2 α+ cos2 α =y2 + x2

r2

⇔ sen2 α+ cos2 α =r2

r2

⇔ sen2 α+ cos2 α = 1Para mostrar que la identidad (7) es valida, dividimos la expresion (6) entre cos2 α:

sen2 α+ cos2 α = 1

⇔ sen2 α+ cos2 α

cos2 α=

1

cos2α

⇔ sen2 α

cos2α+

cos2α

cos2α=

1

cos2α

⇔(senαcosα

)2+ 1 =

(1

cosα

)2

Al sustituir las identidades: tanα =senα

cosαy secα =

1

cosαse obtiene lo siguiente:(senα

cosα

)2+ 1 =

(1

cosα

)2

⇔ tan2α+ 1 = sec2α

Para mostrar que la identidad (8) se cumple, dividimos la expresion (6) entre sen2 α:

sen2 α+ cos2 α = 1

40



⇔ sen2 α+ cos2α

sen2 α=

1

sen2 α

⇔ sen2 α

sen2 α+

cos2 α

sen2 α=

1

sen2 α

⇔ 1 +( cosαsenα

)2=

(1

senα

)2

Al sustituir las identidades: cotα =cosα

senαy cscα =

1

senαse obtiene lo siguiente:

1 +( cosαsenα

)2=

(1

senα

)2

⇔ 1 + cot2α = csc2 α

Estas ocho identidades llamadas fundamentales nos permiten demostrar o validar a otras mas com-plicadas. A continuacion algunos ejemplos.

Ejemplo 16. Demuestra la identidad siguiente: tan2 α− sen2 α = tan2 α sen2 α

Solucion: Partimos del segundo miembro de la igualdad para llegar al primero:

tan2 α sen2 α =sen2 α

cos2 αsen2α =

1− cos2 α

cos2 αsen2 α =

(1

cos2 α− 1

)sen2 α =

sen2 α

cos2α− sen2 α =

=(senαcosα

)2 − sen2 α = tan2 α− sen2 α

Por lo tanto:

tan2 α− sen2 α = tan2 α sen2 α

En algunos casos es conveniente transformar ambos miembros a una tercera expresion.

Ejemplo 17. Demostrar la identidad:

tanα+1

cos3 α− 1

secα− tanα=

sen2 α

cos3 α

Solucion: Pasamos1

secα− tanαal miembro derecho de la igualdad y

sen2 α

cos3 αal izquierdo:

tanα+1

cos3 α− sen2 α

cos3 α=

1

secα− tanα

Simplificamos el primer miembro:

41



tanα+1

cos3 α− sen2 α

cos3 α=

senα

cosα+

1

cos3 α− sen2

cos3 α

=senα cos2 α+ 1− sen2 α

cos3 α

=senα cos2 α+ cos2 α

cos3 α

=cos2 α(senα+ 1)

cos3 α

=senα+ 1

cosα

Transformamos el segundo miembro:

1

secα− tanα=

11

cosα − senαcosα

=1

1−senαcosα

= =cosα

1− senα

= =cosα(1 + senα)

(1− senα)(1 + senα)

= =cosα(1 + senα)

1− sen2 α

= =cosα(1 + senα)

cos2α

= =1 + senα

cosα

En ambas simplificaciones se obtiene la siguiente expresion:1 + senα

cosαDe esta manera queda demostrada la identidad:

tanα+1

cos3 α− 1

secα− tanα=

sen2 α

cos3 α

Funciones pares e impares

Otras identidades que son importantes en el estudio del calculo, son aquellas que involucra el con-cepto de funcion par e impar. Para ello, recordemos la siguiente definicion.

Definicion 1.16. Se dice que una funcion es par si f (x) = f (−x), para todo valor delargumento x. En el caso de que f (x) = −f (x) diremos que la funcion es impar.

Veamos ahora la forma de obtener una funcion trigonometrica para angulos negativos y ası establecernuevas identidades trigonometricas. Si observas la figura 1.28 y aplicas congruencia de triangulos,podras deducir las siguientes igualdades:

42



Figura 1.28: Funciones trigonometricas de −θ .

sen (−θ) =y′

r′=

−y

r= − sen (θ)

cos (−θ) =x′

r′=

x

r= cos (θ)

tan (−θ) =y′

x′=

−y

x= − tan (θ)

cot (−θ) =x′

y′=

x

−y= − cot (θ)

sec (−θ) =r′

x′=

r

x= sec (θ)

csc (−θ) =r′

y′=

r

−y= − csc (θ)

Es decir:

1. sen (−θ) = − sen (θ)

2. cos (−θ) = cos (θ)

3. tan (−θ) = − tan (θ)

4. cot (−θ) = − cot (θ)

5. sec (−θ) = sec (θ)

6. csc (−θ) = − csc (θ)

Al observar las igualdades (1), (3), (4) y (6), podemos afirmar que las funciones seno, tangente,cotangente y cosecante son impares y el resto pares. Estas identidades nos sirven para demostrarotras nuevas o bien para facilitar el calculo de expresiones trigonometricas.

Ejemplo 18. Usa las identidades anteriores y el hecho de que cos 30◦ =

√3

2y sen 60◦ =

√3

2para

obtener el valor exacto de la expresion siguiente: cos (−30◦)− sen (−60◦)

Solucion: Al usar las identidades (1) y (2), ası como los valores propuestos, se obtiene lo siguiente:

cos (−30◦)− sen (−60◦) = cos 30◦ − (− sen 60◦)= cos 30◦ + sen 60◦

=

√3

2+

√3

2

=√3

Ejemplo 19. Muestra que si cosβ �= 0 entonces, es valida la siguiente identidad:

sen (−β)

cos (−β)= − tanβ

43



Solucion:

En efecto, al aplicar las identidades anteriores y las fundamentales se tiene que:

sen (−β)

cos (−β)=

− senβ

cosβ= −senβ

cosβ= − tanβ

Identidades de la suma o diferencia de dos angulos

Otras identidades que importantes, son las que involucran a la suma o diferencia de dos angulos.Veamos como obtenerlas. Consideremos a un cırculo unitario como el que se aprecia en la figura1.29:

Figura 1.29: Cırculo unitario

En el triangulo OFE , se puede observar lo siguiente:

(1) senβ =EF

OE=

EF

1= EF

(2) cosβ =OF

OE=

OF

1= OF

En el triangulo OFH, se puede observar que:

(3) senα =FH

OF

Al despejar FH, se obtiene la siguiente expresion:

(4) FH = (OF ) senα

En el triangulo EFG, se puede apreciar que:

(5) cosα =GF

EF

Despejamos GF :

(6) GF = (EF ) cosα

Al observar el triangulo OEA se establece que.

44



(7) sen (α+ β) =EA

OE=

EA

1= EA

Por construccion, se tiene que EA = GH = GF + FH. Ası que se establece lo siguiente:

sen (α+ β) =EA

OE=

EA

1= EA = GF + FH ⇔ sen (α+ β) = GF + FH

Al sustituir (4) y (6) se obtiene: sen (α+ β) = (EF ) cosα+ (OF ) senα

Finalmente sustituimos (1) y (2): sen (α+ β) = senβ cosα+ cosβ senα

De esta manera se puede establecer la identidad trigonometrica para el seno dela suma de dos angulos:

sen (α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

Podemos usar las identidades de argumento negativo para demostrar la siguienteidentidad para el seno de la diferencia de dos angulos:

sen (α− β) = senα cosβ − cosα senβ

En efecto:

sen (α− β) = sen [α+ (−β)] = senα cos (−β) + cosα sen (−β)

⇔ sen (α− β) = senα cosβ − cosα senβ

Siguiendo las coordenadas Cg 4,5 Cdb 2,4,8

1. Usa la figura 1.29 y demuestra la siguiente identidad para el coseno de la suma de dos angulos.cos (α+ β) = cosα cosβ − senαsenβ

2. Usa las identidades para un angulo negativo y deduce la siguiente igualdad para la diferencia

de dos angulos. cos (α− β) = cosα cosβ + senα senβ

Identidades de argumento doble y mitad

Ya demostramos las siguientes identidades de argumento suma:

a) sen (α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

b) cos (α+ β) = cosα cosβ − senα senβ

45



Si en la identidad (a) sustituimos β = α se obtiene:

sen (α+ β) = sen (α+ α) = sen 2α = senα cosα+ cosα senα = 2 senα cosα

Ası obtenemos la siguiente identidad de argumento doble:

sen 2α = 2 senα cosα

Si sustituimos β = α en la identidad (b), se obtiene que:

cos (α+ β) = cos (α+ α) = cos 2α = cosα cosα− senα senα = cos2 α− sen2 α

Ası obtenemos la siguiente identidad de argumento doble:

cos 2α = cos2 α− sen2 α

Esta ultima identidad tiene otras dos equivalentes que se obtiene como se muestra:

cos 2α =(1− sen2 α

)− sen2 α = 1− 2 sen2 α

cos 2α = cos2 α− (1− cos2 α)= cos2 α− 1 + cos2 α = 2 cos2 α− 1

Es decir se tienen tres identidades para la misma expresion:

cos 2α = cos2α− sen2 α

= 1− 2 sen2 α

= 2 cos2 α− 1

Se pueden establecer a partir de la identidad cos 2α = 1−2 sen2 α, otra nueva identidad: Sustituimos

α =β

2en esta identidad: cos 2α = 1− 2 sen2 α

⇔ cos 2

(β

2

)= 1− 2 sen2

(β

2

)

⇔ cosβ = 1− 2sen2(β2

)⇔ 2 sen2

(β

2

)= 1− cosβ

⇔ sen2(β

2

)=

1− cosβ

2

⇔ sen2(β

2

)=

1− cosβ

2

Se pueden establecer a partir de la identidad cos 2α = 2cos2α− 1, otra nueva identidad:

46



Sustituimos α =β

2en esta identidad: cos 2

(β

2

)= 2cos2

(β

2

)− 1

⇔ cosβ = 2 cos2(β

2

)− 1

⇔ cosβ + 1 = 2 cos2(β

2

)

⇔ cosβ + 1

2= cos2

(β

2

)

⇔ cos2(β

2

)=

cosβ + 1

2

De esta manera se deducen las identidades llamadas de argumento mitad:

sen2(β

2

)=

1− cosβ

2

cos2(β

2

)=

cosβ + 1

2

A manera de resumen, enlistamos las identidades trigonometricas que vimos es este apartado.

Identidades fundamentales

1) tanα =senα

cosα, siempre que cosα �= 0

2) cotα =cosα


3) secα =1

cosαsiempre que cosα �= 0

4) cscα =1


5) cotα =1

tanαsiempre que tanα �= 0

6) sen2 α+ cos2 α = 1

7) 1 + tan2 α = sec2 α

8) 1 + cot2 α = csc2 α

Identidades de argumento negativo

9) sen (−θ) = − sen (θ)

10) cos (−θ) = cos (θ)

11) tan (−θ) = − tan (θ)

12) cot (−θ) = − cot (θ)

13) sec (−θ) = sec (θ)

14) csc (−θ) = − csc (θ)

Identidades de argumento suma o difer-encia de dos angulos

15) sen (α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

16) sen (α− β) = senα cosβ − cosα senβ

17) cos (α+ β) = cosα cosβ − senα senβ

18) cos (α− β) = cosα cosβ + senα senβ

Identidades de argumento doble

19) sen 2α = 2 senα cosα

20) cos 2α = cos2 α − sen2 α = 1 − 2 sen2 α =2 cos2 α− 1

Identidades de argumento mitad

21) sen2(β

2

)=

1− cosβ

2

22) cos2(β

2

)=

cosβ + 1

2

47



Siguiendo las coordenadas Cg 4, 5, 8 Cdb 2, 4, 8

Resuelve en equipo los siguientes problemas, escribiendo con todo detalle cada paso de lasolucion. Comenta cada respuesta ante el grupo.

1. Comprueba que las siguientes igualdades sonvalidas utilizando los valores exactos de las fun-ciones trigonometricas indicadas:

a) sen2 45o + cos2 45o = 1

b) 1 + tan2 30o = sec2 30o

c) 1 + cot2 60o = csc2 60o

d) 2 sen 60o · cos 60o = sen 120o

e) cos2 45o − sen2 45o = cos 90o

f) cos2 45o(1 + tan2 45o

)= 1

g) cos 60o =

√1 + cos 120o

2

h)1 + sen2

25o−cos2 225o cos2 25o

(1 + sen 2250

)=

tan2 25o

i)sen 10o

cot 10o + csc 10o− sen 10o

cot 10o − csc 10o= 2

j)sec 31o + csc 31o cot 31o

sec231o = cot 310 csc 310

k)sen6

300− cos63002 sen2300−1+sen2 300cos2300

l) sen (30◦ + 45◦) =

m) cos (15◦) = cos

(30◦

2

)=

n) sen (15◦) = sen

(30◦

2

)=

2. Demuestra las siguientes identidadestrigonometricas:

a) sen2 α(1 + cot2 α

)= 1

b) cos2 β(1 + tan2 β

)= 1

c) sec2A(1− sen2A

)= 1

d) sen2A− sen2A cos2A = sen4A

e)cos θ tan θ + sen θ

tan θ= 2 cos θ

f)2 cosω

(1− cos2 ω

)2 senω cosω

= senω

g)cscβ + cotβ

senβ + tanβ= cscβcotβ

h)1− (cos θ − sen θ)2

cos θ= 2 sen θ

i)1− (sen θ − cos θ)2

sen θ= 2 cos θ

j) senα− senβ = 2 sen

(α− β

2

)cos

(α+ β

2

)

k) cosα−cosβ = −2 sen

(α− β

2

)sen

(α+ β

2

)

l)cscω

cotω + tanω= cosω

m)(senβ − cosβ)2

cosβ= secβ − 2 senβ

48



1.3. Razones de cambio

La medida de una razon o de una proporcion es de gran utilidad, ya que genera informacion dealgun fenomeno y esta se utiliza en varias areas del conocimiento. Por ello, recordemos algunasdefiniciones que seran de gran utilidad.

Definicion 1.17. La razon de una cantidad con otra es el cociente de la primera divididapor la segunda, siempre que sean cantidades de la misma unidad de medicion.

Por ejemplo, la razon entre la velocidad de un automovil que viaja a 60kmh y otro que viaja a 20km

h

es:60

kmh

20kmh

= 6020 = 3 Lo que significa que el primer automovil viaja a una velocidad tres mayor que el

otro. Podemos establecer una definicion para la razon entre dos cantidades de distinta naturaleza.

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 20. Supon que un tinaco tiene un volumen de 2m3de agua a las 12 hrs del dıa y a travesde una grieta se escapa el lıquido de tal manera que a las 12:10 hrs se tiene registrado en el tinaco1.8m3, ¿a que razon se escapa el agua del tinaco?

Solucion: Para determinar la razon, calculamos el cociente entre la diferencia de volumen y ladiferencia de tiempo, es decir.

Razon =1.8m2 − 2m3

12 : 0h− 12h=

−0.2m3

−10min=

−0.2m3

−0.16h≈ 1.25m3

h

Esto significa que el tinaco se vacıa a razon de 1.25m3 por hora. Este dato lo podemos interpretarde la manera siguiente: «En promedio», el tinaco se vacıa a una razon de 1.25m3 por hora.

1.3.1. Incremento

En el ejemplo anterior, se puede observar dos cantidades:

a) Vfinal − Vinicial = 1.8m2 − 2m3 = −.2m3

b) tfinal − tinicial = 12 : 10h− 12h = −10min = −0.16h

A estas diferencias las llamaremos incremento y se denotan de la siguiente manera:

a) ΔV = Vfinal − Vinicial = 1.8m2 − 2m3 = −0.2m3

b) Δt = tfinal − tinicial = 12 : 10h− 12h = −10min = −0.16h

49



1.3.2. Razon de cambio promedio

Al cociente entre ΔV y Δt se le denomina razon de cambio promedio del volumen y el tiempo, esdecir:

ΔV

Δt=

Vfinal − Vinicial

tfinal − tinicial=

1.8m2 − 2m3

12 : 10h− 12h=

−.2m3

−10min=

−.2m3

−0.16h≈ 1.25m3

h

Ası en general, la expresionΔy

Δxrepresenta la razon de cambio promedio entre y y x.

Con este concepto, podemos reconocer por ejemplo, que, en economıa se utiliza la razon de cambiopromedio para establecer el cambio entre el interes de un capital con respecto del tiempo; en fısica,en ciencias sociales podemos obtener las razon de cambio promedio entre el crecimiento poblacionalrespecto al tiempo, etcetera.

1.3.3. Recta secante

Si observamos la expresionΔy

Δxpodemos reconocer lo siguiente:

Δy

Δx=

y2 − y1x2 − x1

.

Recordemos que la expresionΔy

Δx=

y2 − y1x2 − x1

representa a la pendiente de una recta. Para el ejemplo

del tinacoΔV

Δt=

Vfinal − Vinicial

tfinal − tiniciales la pendiente de la recta secante a la curva V (t) entre los

tiempos tfinal y tinicial. Observa la figura 1.30:

Figura 1.30: ΔVΔt =

Vfinal−Vinicial

tfinal−tinicialrepresenta a la pendiente a la recta secante.

Ası que la interpretacion de la razon de cambio promedioΔy

Δxes la pendiente de la recta secante a

la curva y = f (x) entre Δx = x2 − x1. Aprecia la figura 31.

1.3.4. Rapidez

Seguramente, cuando has viajado en algun medio de transporte habras visto durante el trayectoalgun letrero que dice: Velocidad permitida es de 60km

h . Esto significa que cualquier movil que

50



Figura 1.31: La razon de cambio promedio ΔyΔx es la pendiente de la recta secante.

recorra por este camino, a lo mas debera recorrer en promedio 60 kilometros en una hora. Es decir,la velocidad es la razon entre la distancia recorrida y el tiempo que transcurre en recorrerla. A estarazon se le llama rapidez media, mas adelante se definira por medio de lımites la rapidez instantanea.

Por ejemplo, si un automovil viaja a una rapidez promedio de 80kmh , significa que recorre 80 ki-

lometros en un tiempo promedio de una hora. Queda claro que al referirnos a rapidez promedio,despreciamos el hecho de que el automovil freno, se estaciono para revisar las llantas, etcetera.

Siguiendo las coordenadas Cg 4, 5 Cdb 2, 8

Observa a tu alrededor objetos que se encuentre en movimiento y estima su rapidez promedio.Para ello usa un reloj y algun instrumento que te permita estimar la distancia recorrida por losobjetos. Comenta con tus companeros los resultados obtenidos y propon alguna manera de medir la

rapidez de un objeto que se mueva en una trayectoria que no sea recta.

51



Leyendo el mapa¿Saben matematicas las abejas?

Este hecho ya fue constatado por Papus de Alejandrıa, matematico griego quevivio del ano 284 al 305. Su afirmacion se basaba en la forma hexagonal queimprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuandoguardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la mielen celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos nisalientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al maximo.Solo podrıan hacerlo con triangulos, cuadrados y hexagonos. ¿Por que eligieronentonces los hexagonos, si son mas difıciles de construir?

La respuesta es un problema isoperimetrico (del griego «igual perımetro»). Pa-pus habıa demostrado que, entre todos los polıgonos regulares con el mismoperımetro, encierran mas area aquellos que tengan mayor numero de lados. Poreso, la figura que encierra mayor area para un perımetro determinado es el cır-culo, que posee un numero infinito de lados. Por eso las abejas construyen susceldillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en lasceldillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel.

La pregunta es: ¿y quien le enseno esto a las abejas?.

http://www.elalmanaque.com/acertijos/mates.htm


Usa un estambre u un hilo de longitud 12 centımetros, construye con el un triangulo equilatero,un cuadrado y un hexagono regular. Calcula el area de las tres figuras y valida el hecho descubiertopor Papus de Alejandrıa.

Si formaras parte de un comite que tuviera que determinar el area de una reserva ecologica detu comunidad cuyo perımetro es de 120 kilometros, ¿que forma escogerıas para dicha reserva: un

triangulo equilatero, un cuadrado o un hexagono?

52



Tierra a la vista

Ahora que has concluido este primer bloque didactico, seguro reconoces la importancia delcalculo diferencial en la vida cotidiana, desde la particion de una huerta hasta la minuciosaelaboracion de los paneles de las abejas o el exacto de numeros de las escamas del arbolpino pinonero, o incluso en la creacion de numerosas obras de arte.

Recuerdas que en la seccion «Tierra a la vista» te anunciamos que al termino del bloqueserias capas de elaborar un reporte escrito sobre tu punto de vista acerca de como con-tribuye el calculo diferencial a los grandes avances de la ciencia y tu explicacion de lasdiferentes manifestaciones del calculo diferencial en tu comunidad, pues es momento deponer manos a la obra.

Tu reporte debera incluir:

1. Tıtulo del reporte.

2. Tema o asunto que trata tu escrito.

3. Principales ideas u opinion personal.

4. Conclusiones.

5. Nombre de quien lo presenta.

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Instrucciones:

Intercambia el producto solicitado en la seccion «tierra a la vista» para que otro companero delgrupo lo revise; este tendra que hacer una evaluacion cuidadosa apoyandose de la lista de cotejoque a continuacion te presentamos, mostrando en todo momento una actitud de respeto hacia eltrabajo a evaluar.

Lista de Cotejo «entre nosotros»

¡Acepto la opinion de mi companero de clase para mejorar mi trabajo!

Reviso: Fecha:

Aspectos a evaluar Si No Parcialmente

1. El contenido del reporte corresponde a los temas solicitados.

2. El reporte contiene las principales ideas y opinion personal.

3. Enuncia de manera escrita el tema(s) que trata su escrito.

4. El reporte incluye conclusion.

5. El reporte contiene menos de tres faltas de ortografıa.

6. La redaccion del reporte es clara y contieneun formato presentable.

7. Las manifestaciones descritas en el reporte tienen relacioncon el calculo diferencial.

Comentarios. ¡Sugerencias para mejorar!

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Bitacora de nuestro viaje

Responde las siguientes preguntas que te ayudaran a reconocer los aprendizajes que hasadquirido durante este bloque.

Si No Parcialmente

¿Sabes que estudia el calculo diferencial?

¿Identificas las inecuaciones lineales?

¿Sabes resolver una inecuacion lineal?

¿Sabes resolver una inecuacion cuadratica?

¿Reconoces y resuelves una inecuacioncon valor absoluto?

¿Conoces las identidades trigonometricas?

¿Conoces la clasificacion de los intervalos?

¿Sabes que sucede cuando el valor de la variablepuede estar en dos intervalos?

¿Sabes como se representa una razon de cambio?

¿Conoces el concepto de razon de cambio promedio?

¿Identificas que es una recta secante?

¿Asumı disposicion al trabajo colaborativoen equipo y en grupo?

¿Aporte y escuche opiniones con aperturay tolerancia hacia los demas?

¿Participe activamente en las actividadesindicadas por el asesor(a)?

¿Ejecute con disposicion y puntualidad laentrega de actividades solicitadas?

¿Manifeste respeto hacia mis companerosy los materiales del aula?

Si = 1 Punto No = 0 Punto Poco =0.5 Mi puntaje fue de:

55



56



5o_calculo_diferencial

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