Three-Phase Circuit

전력계통은 대부분 교류 방식 사용.

주된 이유는 장거리에 전송할 때 손실을 줄이기 위해서 매우 높은 전압을 사용해야하는데

전압을 올리고 내리는데 교류가 훨씬 쉽기 때문이다.

교류방식으로 일관된 운 을 할 수 있다.

전등, 전동력 등을 비롯해서 현재 부하의 대부분은 교류방식으로 되어 있기 때문에 발전

에서 배전까지 전 과정을 교류방식으로 통일해서 보다 합리적이고 경제적으로 운 할 수

있다.

• 다상 방식(Polyphase system)

인접해 있는 전원의 크기와 주파수가 같고 위상이 다른 경우.

대칭 n 상식 (Symmetric n phase system) : 위상이 2 πn[rad]씩 다른 경우

비대칭 n 상식 (Asymmetric n phase system)

• 각 상의 임피던스 (phase impedance)

평형 부하 (balanced load)

불평형 부하 (unbalanced load)

∙평형 n상 회로 (balanced n phase circuit)

대칭 n상 전원에 평형 n상 부하를 접속한 것.

∙불평형 n상 회로 (unbalanced n phase circuit)

[Notation]

∙ 전압

Vab : 마디 b에 대한 마디 a의 전압

마디 a: + , 마디 b: -

Vad = Vab+ Vbc+ Vcd

= Vab+ Vbd

= Vad

[Ex]

Vab = Van+ Vnb

= Van- Vbn

=100-120∠-120o=100 3 [V]

∙전류

I ab : 마디 a에서 마디 b로 직 경로(direct path)를 따라 흐르는 전류

그 이외에는 이중 첨자를 사용하지 않는다.

[Ex]

I ab : 전류의 경로가 명백하므로 이중첨자를

사용할 수 있다.

I bc : 전류의 경로가 명백하지 않으므로

이중첨자를 사용할 수 없다,

• 단상 3선 방식(Single-Phase Three-wire System)

∙3개의 단자 a, b 및 n (neutral node)이 있으며,

단자 전압 Van= Vnb= V1인 회로

Van과 Vnb

가 크기와 위상이 같기 때문에 단상

(single phase)라 한다.

∙ 가정에 공급되는 방식은 보통 단상 3선식으로

110 [VRMS]와 220 [VRMS]의 가전기기를 동시에

쓸 수 있게 되어있다.

[Ex] 2개의 동일한 부하를 연결한 단상 3선회로

Let Van= Vnb= V1

I aA=Van

Z1=

V1

Z1

I bB=-Vnb

Z1=-

V1

Z1

I aA=- IbB

I nN=-( IaA+ IbB )=0

∴ 중성선을 중심으로 대칭인 회로에서는 중성선에 흐르는 전류는 0이다.

• 중성선 nN을 중심으로 impedance가 대칭을 이루면 중성선에는 전류가 흐르지 않는다.

그러나 중성선을 중심으로 비대칭인 경우에는 중성선에 전류가 흐른다.

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

115

0

115

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

54 -50 -3

-50 170+j10 -100

-3 -100 104

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 1

I 2

I 3

I 1 =11.24∠-19.83o

I 1 =9.39∠-24.47o [ARMS]

I 1 = 10.37∠ -21.80o

I aA = I1=11.24∠-19.83o

IbB =- I3=-10.37∠-21.80o

InN = I3- I1=10.37∠-21.80o-11.24∠-19.83

o

=( 9.63-j13.85 )-( 10.58-j 3.81 )

=-0.95-j 0.04=0.95∠-180o+2.41=0.95∠-177.6

o

[Ex]

회로가 대칭이 아니므로 중성선에 전류가 흐른다.

• 평형 3상 Y-Y 방식

• 3개의 전원이 진폭과 주파수가 같고 위상만 120o씩 상차를 갖는다.

• 평형 3상이 성립될 조건

| Van |= | Vbn |= | Vcn |

Van+ Vbn+ Vcn=0

정상순 (positive sequence) 역상순 (negative sequence)

Van =Vp∠0o

Vbn =Vp∠-120o

Vcn =Vp∠-240o=Vp∠120

o

Van =Vp∠0o

Vbn =Vp∠120o

Vcn =Vp∠240o=Vp∠-120

o

Van이 Vbn

보다 120o 앞선다. Van이 Vbn

보다 120o 뒤진다.

Vbn이 Vcn

보다 120o 앞선다. Vbn이 Vcn

보다 120o 뒤진다.

(note) 정상순을 사용하여 3상 회로를 해석한다.

(Note) 2 π3

[rad]의 벡터 오퍼레이터

a=ej

2 π3 = cos

2 π3

+j sin2 π3

=-12+j

32

∙ a2=ej

4 π3 = cos

4 π3

+j sin4 π3

=-12-j

32

∙ a2=a2

1=

a2

a3 =a-1

∙ 1+a+a2=0

∙ a3=1

∙ 1-a2 =

32+j

32

= 3 ( 32

+j12 )

= 3 ( cos π6+j sin

π6 )= 3 ∠

π6

∙ 1-a =

32-j

32

= 3 ( 32

-j12 )

= 3 ( cos π6-j sin

π6 )= 3 ∠-

π6

어느 벡터에 a를 곱한다는 것은 벡터의 크기는 변화가 없이 위상만 2 π3

[rad] 앞서게

하는 것이다.

Vbn =Vp∠-120 o=Vp∠-

2 π3

=a -1 Van=a 2 Van=a 2Vp

Vcn =Vp∠120 o=Vp∠2 π3

=a Van=aVp

∙ 상전류 (phase current)와 선전류 (line current)

Let 상전류 : I a , I b , I c

선전류 : I aA , I bB , I cC

I a = I aA

I b = IbB

I c = IcC

(Note) 평형 3상 Y 회로에서 상전류와 선전류는 동일하다.

Van =Vp∠0o

Vbn =Vp∠-120o=a

2Van=a

2Vp

Vcn =Vp∠-240o=Vp∠120

o=a Van=a Vp

상전압 (phase voltage)

선간전압 (line-to-line voltage) 또는 선전압 (line voltage)

Vab = Van+ Vnb== Van- Vbn

= Van-a2

Van=( 1-a2) Van

= 3 Van ∠ 30o= 3 Vp∠ 30

o

Vbc = Vbn+ Vnc== Vbn- Vcn

= Vbn-a2

Vbn=( 1-a2) Vbn

= 3 Vbn ∠ 30o= 3 Vp∠-120

o+ 30

o

= 3 Vp∠-90o

Vca = Vcn+ Vna== Vcn- Van

= Vcn-a2

Vcn=( 1-a2) Vcn

= 3 Vcn ∠ 30o= 3 Vp∠-240

o+ 30

o

= 3 Vp∠-210o

Let 선간전압의 크기 VL= 3 Vp

Vab = 3 Vp∠ 30o=VL∠ 30o

Vbc = 3 Vp∠ -90o=VL∠ -90o

Vca = 3 Vp∠ -210o=VL∠ -210o

(Note) 선간전압은 상전압 보다 크기가 3 배가 되며, 위상이 30o 앞선다.

• 평형 3상 4선식 Y-Y 방식(Balanced three-phase four-wire Y-Y connected system)

전원과 부하 모두 Y-결선으로 되어 있으며, 전원 전압이 평형전압이고 부하도 평형인 시스템.

∙ 선전류

By KVL

I aA =Van

Zp=

Vp

Zp∠0

o=

Vp

Zp

I bB =Vbn

Zp=

Vp

Zp∠-120 o=a 2 I aA

I cC =Vcn

Zp=

Vp

Zp∠-240 o=a I aA

INn= IaA+ IbB+ IcC= ( 1+a2+a ) IaA=0

(Note) 전원과 부하가 평형인 3상 4선 Y-Y 결선에서 중성선에 전류가 흐르지 않는다.

중성선을 제거하여도 시스템에 아무런 향을 미치지 않는다.

(Note) 해석의 편의상 중성선이 존재한다고 가정하고 해석하는 것이 편리하다.

이 경우 3상 회로는 3개의 단상회로로 나누어 해석 할 수 있다.

하나의 등가 단상회로로부터 전압과 전류가 구해지면 다른 상에 대한 것은 120o의

상차만을 고려하면 된다.

[Ex]

Van =100∠0o [VRMS]

Vbn =100∠-120o [VRMS ]

Vcn =100∠-240o [VRMS ]

선저항 : RL=1 [Ω ]

상 부하 : ZP=3+j3 [Ω ]

∙ 한 상만 따로 분리시켜 해석 할 수 있다.

I aA =

Van

RL+ZP=

100∠0o

4+j3

=100∠0o

5∠36.9o =20∠-36.9o

I bB , IcC는 위상만 120o 씩 차이가 나므로

I bB =20∠-36.9

o-120

o=20∠-156.9

o [ARMS]

I cC =20∠-36.9o-240

o=20∠-276.9

o [ARMS ]

Vab

Vbc

Vca

a

bc

A

B

C

Ia

Ib

Ic

IaA

IbB

IcC

VAB

VBC

VCA

평형 3상 Delta 회로

∙상전압(phase voltage) : Vab , Vbc , Vca

∙선간전압 (line voltage) : VAB , VBC , VCA

∙상전류(phase current) : I a , I b , I c

∙선전류(line current) : I aA , I bB , I cC

Delta 결선의 경우 상전압과 선간전압이 같다.

Vab = VAB

Vbc = VBC

Vca = VCA

상전류와 선전류와의 관계

Let

I a =Ip∠0o

I b =Ip∠-120o=a

2I a=a

2I p

I c =Ip∠-240o=Ip∠120

o=a I a=a I p

선전류

I aA = Ia- Ic

I bB = Ib- Ia

I cC = Ic- Ib

따라서

I aA = Ia- Ic

=Ip∠0o-Ip∠-240

o

=Ip-aI p=( 1-a ) I p

=( 3∠-π6 ) I p= 3 I p∠-30

o

(note)

1-a =

32-j

32

= 3 ( 32

-j12 )

= 3 ( cos π6-j sin

π6 )= 3 ∠-

π6

I bB = Ib- Ia

=Ip∠-120 o-Ip∠0o

=a 2 I p-Ip=( a 2-1 ) I p=-( 1-a 2 ) I p

=-( 3∠π6 ) I p= 3 I p∠-180 o+30o

= 3 I p∠-150o

(note) -1=1 ∠ 180o

I cCB = Ic- Ib

=Ip∠-240 o-Ip∠-120 o

=a 2 I p-a I p=a ( a-1 ) I p

=(1 ∠2 π3 )( 3∠-

π6 ) I p= 3 I p∠120 o-30o

= 3 I p∠90o

선전류는 상전류보다 위상이 30o 뒤지고, 크기는 상전류보다 3배가 된다.

Let 선전류의 크기: IL

IL= 3 Ip

따라서

I aA =IL∠-30o

I bB =IL∠-150o

I cC =IL∠-270o=IL∠90

o

[Ex] - 평형 3상회로에서 선전류가 30[A]이며 각 상의 부하 ZΔ=3+j4이다.

∙ 상전류:

from IL= 3 Ip I p=13

IL=303

=10 3=17.3 [A]

∙ 부하의 상전압: Vp= |ZΔ| I p= 32+42×17.3= 86.5 [V]

∙ 부하의 선간전압: Vp=VL=86.5 [V]

평형 3상 전원 및 부하의 등가변환

Y

-회로와 Y-회로가 등가 관계가 성립되기 위해서는 각 선간접압, 즉 단자전압이 동일해야하며

선전류 역시 동일해야 한다.

-회로 선간전압 Y-회로 선간전압

VAB = Vab-Z I a

VBC = Vbc-Z I b

VCA = Vca-Z I c

VAB =( Van-ZY I aY )-( Vbn-ZY IbY )

VBC = ( Vbn-ZY IbY )-( Vcn-ZY I cY )

VCA = ( Vcn-ZY I cY )-( Van-ZY I aY )

위 -회로와 Y-회로가 등가관계를 이루기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.

Vab = Van- Vbn

Vbc = Vbn- Vcn

Vca = Vcn- Van

Z I a =ZY( I aY- IbY )

Z I b =ZY( I bY- IcY )

Z I c =ZY( I cY- IaY )

ꋮ 평형 3상 전원의 등가변환

Y-회로 상전압 Van , Vbn , Vcn과 -회로 상전압 Vab , Vbc , Vca

는 각각

평형 3상이다.

-회로 상전압 Vab , Vbc , Vca는 Y-회로 상전압 Van , Vbn , Vcn

보다

위상이 30o 앞서고 크기는 3배된다.

(note) Y-회로 -회로

Vab = Van- Vbn=(1-a2) Van=( 3∠

π6 ) Van= 3VP∠30

o

Vbc = Vbn- Vcn=(1-a2) Vbn=( 3∠

π6 ) Vbn= 3VP∠-120

o+30

o= 3VP∠-90

o

Vca = Vcn- Van=(1-a2) Vcn=( 3∠

π6 ) Vcn= 3VP∠120

o+30

o= 3VP∠150

o

(note) -회로 Y-회로

Van =13

Vab∠-30o=

13VL∠-30

o

Vbn =13

Vbc∠-30o=

13VL∠-150

o

Vcn =13

Vca∠-30o=

13VL∠-270

o=

13VL∠90

o

ꋮ 평형 3상 부하의 등가변환

(a)

(b)

(c)

Z I a =ZY( IaY- IbY )

Z I b =ZY( IbY- IcY )

Z I c =ZY( I cY- IaY )

식 (a)와 식 (c)의 차로부터

Z ( I a- Ic )=ZY(2 I aY- IbY- IcY )

평형 3상 Y-회로에서

I aY+ IbY+ IcY=0

가 되므로 다음과 같은 관계가 성립된다.

Z ( I a- Ic )=3 ZY IaY

평형 3상 -회로에서

I a- Ic= IaA

가 되며 평형 3상 Y-회로에서는 상전류와 선전류가 동일 즉,

I aY= IaA

이므로 다음과 같다.

Z I aA=3 ZY IaA

따라서

Z=3 ZY 또는 ZY=

13

Z

3상 회로의 전력

∙3상 회로의 전력은 그 결선방식이나 평형 또는 불평형에 관계없이 각 상의 전력을 단상에서와

같이 구한 후에 이들의 합을 구하면 된다.

Let

상전압의 크기 : Va , Vb , Vc [Vrms]

상전류의 크기 : I a , I b , I c [Arms]

상전압과 상전류의 위상 차 : θ a , θb , θ c

(각 상의 부하 임피던스의 임피던스 각과 같다.)

• 유효전력(평균전력)

P3∅=VaIacosθa+VbIbcosθb+VcIccosθc [W]

• 무효전력

Q3∅=VaI asinθa+VbIbsinθb+VcIcsinθc [VAR]

ꋮ 평형 3상 회로의 경우

상전압의 크기 : Va=Vb=Vc=VP [Vrms]

상전류의 크기 : I a=Ib=Ic=IP [Arms]

상전압과 상전류의 위상 차 : θa=θb=θc=θP

P3∅=3 Vp Ip cosθP=3 P1∅ [W]

Q3∅=3 Vp Ip sinθP=3 Q1∅ [VAR]

(note) 평형 3상 회로에서의 전력은 각 상에서의 유효전력 또는 무효전력의 3배가된다.

ꋮ 평형 3상 회로의 전력을 선간전압과 선전류로 표시

∙ Y-결선

Vp =

13

VL [Vrms ]

Ip = IL [Arms ]

P3∅ =3 VpIp cos θP=3

13

VL IL cos θP= 3VL IL cos θP [W]

Q3∅ =3 VpIp sin θP=313

VL IL sin θP= 3VL IL sin θP [VAR]

∙ -결선

Vp =VL [Vrms ]

I p =13

IL [Arms ]

P3∅ =3 VpIp cos θP=3 VL

13

IL cos θP= 3VL IL cos θP [W]

Q3∅ =3 VpIp sin θP=3 VL13

IL sin θP= 3 VL IL sin θP [VAR]

따라서 결선에 상관없이

P3∅ =3 VpIp cos θP= 3VL IL cos θP [W]

Q3∅ =3 VpIp sin θP= 3VL IL sin θP [VAR]

이다. 단 위상차 θP는 상전압과 상전류의 위상 차이다.

ꋮ 평형 3상 회로의 순시전력

Let

∙ 상전압

va ( t ) = 2Vp cos ω t

vb ( t ) = 2Vp cos ( ω t-120o) [V]

vc ( t ) = 2Vp cos ( ω t+120o)

∙ 상전류

i a ( t ) = 2 Ip cos ( ω t-θp )

i b ( t ) = 2 Ip cos ( ω t-120o-θp ) [A]

i c ( t ) = 2 Ip cos ( ω t+120o-θp )

전체 순시전력

p3∅ ( t ) =pa ( t )+pb( t )+pc ( t )

=va ( t ) i a ( t )+vb( t ) i b( t )+vc ( t ) i c ( t )

=2 VpIp [ cos ω t cos (ω t-θp )+ cos ( ω t-120o) cos (ω t-120

o-θp )

+ cos ( ω t+120o) cos (ω t+120

o-θp ) ]

=VpIp [3 cos θp+ cos (2 ωt-θp)+ cos (2 ωt+120o-θp )+ cos (2 ωt-120

o-θp )]

평형을 이루고 있으므로 그 합은 0이 된다.

=3 Vp Ip cos θp

(note) 삼각함수 정리

cos A cos B=12

[ cos (A-B)+ cos (A+B) ]

따라서 평형 3상 회로의 전체 순시전력은 시간에 관계없이 일정하며, 이 값은 평형 3상 회로의

유효전력과 같다.

p3∅ ( t )= 3 Vp Ip cos θP=P3∅

순시전력의 총합이 일정하게 되면 3상 전동기의 경우 일정한 회전력(torque)를 받기 때문에 진동

이 매우 작고 기동이 용이하다. 이와 같은 현상은 다상 회로에도 그대로 적용된다.

ꋮ 복소전력

S3∅ =P3∅+jQ3∅

=3 Vp I p cos θP+j 3 Vp I p sinθP

=3 (Vp I p cos θP+j Vp I p sinθP )

= 3 S1∅

전체 복소전력은 각 상의 복소전력의 3배가 된다.

ꋮ 피상전력

AP3∅ = P23∅+Q2

3∅

= ( 3 Vp I p cos θP )2+( 3 Vp I p sinθP )

2

=3 VpI p= 3 VL IL

=3 AP1∅

따라서 피상전력은 각상의 피상전력에 3배를 한 것과 같다.

ꋮ 역률/무효율

P.F =

유효전력피상전력 =P3∅

AP3∅= cos θP

R.F =무효전력피상전력 =

Q3∅

AP3∅= sin θP

따라서 평형 3상 회로에서 역률과 무효율은 각 상의 역률과 무효율과 같다.

[Remark]

ꋮ 전원의 경우

전원의 경우 -결선을 사용하지 않는다.

∙ 전압이 완벽하게 평형을 이루지 않을 경우 세 상의 전압 합이 0이 되지 않기 때문에

-결선을 환류하는 전류가 생겨 발전기를 가열하게 된다.

∙ Y-결선 발전기가 상전압이 더 낮기 때문에 절연이 더 용이해진다.

ꋮ 부하의 경우

Y-결선보다 -결선을 주로 사용한다.

∙-결선의 경우, 부하들이 선로에 직접 연결되어 있으므로 각 상의 부하를 추가하거나

제거하기가 용이하다.

(Y-결선의 경우는 중성점에는 연결할 수 없기 때문에 그렇게 안된다.)

∙상전류가 인 경우가 Y인 경우보다 작다.

∙상전압은 인 경우가 Y인 경우보다 크다.

-결선은 중성선이 없으므로 3선 방식이 된다.

[Ex] Y- 결선

Let

Van =Vp∠0o

Vbn =Vp∠-120o

Vcn =Vp∠120o

Z=| Z |∠θZ

∙ 부하의 상전압 ( 전원 측의 선간전압과 같다.)

VAB = Vab= 3 Vp∠30o

VBC = Vbc= 3 Vp∠-90o

VCA = Vca= 3 Vp∠150o

결선의 상전압이 Y-결선의 상전압 보다 크다.

∙ 부하의 상전류

IAB =VAB

Z=

3 Vp

| Z |∠30

o-θZ=Ip∠30

o-θZ

IBC =VBC

Z=

3 Vp

| Z |∠-90o-θZ=Ip∠-90o-θZ

ICA =VCA

Z=

3 Vp

| Z |∠150o-θZ=Ip∠150 o-θZ

여기서 I p=3 Vp

| Z |=

VL

| Z |

∙ 선전류

I aA = IAB- ICA= 3 Ip∠ -θZ=IL∠ -θZ

I bB = IBC- IAB= 3 Ip∠ -120o-θZ=IL∠ -120

o-θZ

I cC = ICA- IBC= 3 Ip∠ 120o-θZ=IL∠ 120

o-θZ

여기서 IL= 3 Ip

∙ 부하에서 소모하는 전력

P1∅=VL Ip cos θZ

여기서

I p=IL3

따라서

P1∅=VL IL

3cos θZ

부하 전체가 소모하는 전력

P3∅=3 P1∅=3VL IL

3cos θZ= 3 VL IL cos θZ

[Ex]

Let

선전압 : VL=300 [Vrms ]

-결선 부하 : P.F. = 0.8 lagging

-결선 부하가 소모하는 전력 : 1200[W]

∙부하의 상전류 I p

단상에서 300 [Vrms] 선전압에서 지상 p.f 0.8로 400[W] 전력 공급

From P1∅=VL Ip cos θZ

400= 300×I p×0.8

따라서

I p=1.667 [Arms ]

∙ 부하 임피던스 Z

From I p=VL

| Z |

| Z |=VL

Ip=

3001.667

=180

θZ= cos -1 ( p.f )= cos -1 0.8=36.9o

따라서

Z=| Z |∠ θZ=180 ∠ 36.9o [Ω]

∙ Y-결선으로 등가 변환된 부하 ZY

ZY=13Z=

180 ∠ 36.9o

3=60 ∠ 36.9o [Ω]

∙ 선전류 IL

I L= 3 I p= 3×1.667= 2.89 [Arms ]

[Ex] - 회로

Let Vab=180∠0o [Vrms ]

ZL=11 [Ω]

Z=21+j 72 [Ω]

- 회로 Y-Y 회로로 변환하여 구하면 쉽다.

ZY =

13Z=

13

( 21+j72 )=7+j24 [Ω]

Van =13

Vab∠-30o=

1803

∠-30o=60 3∠-30

o [Vrms ]

다음 회로와 같은 단상 회로로 취급하여 해석 할 수 있다.

여기서

ZT=ZL+13Z=ZL+ZY=11+(7+j24 )=18+j24 [Ω]

∙ 선전류 I aA

I aA =

Van

ZT=

60 3∠-30o

18+j24

=60 3∠-30o

30∠53.1o =2 3∠-83.1o [Arms ]

나머지 선전류 I bB , I cC는 I aA와 120o의 위상차를 가지므로 다음과 같다.

I bB = IaA∠-120o=2 3∠-83.1o-120o=2 3∠-203.1o [Arms ]

I cC = IaA ∠120o=2 3∠-83.1o+120o=2 3∠36.9o [Arms ]

∙ 부하에서 소비되는 전력

P1∅=R| I aA | 2= 18×( 2 3 )2= 216 [W]

P3∅=3P1∅=3×216= 648 [W]

[Ex] Y-Y 회로

Let

선전압 : VL=200 [Vrms ]

부하 : ZY=24+j7 [Ω]

∙ 상전압의 크기

Vp=13

VL=2003

∙ 선전류의 크기 (=상전류의 크기)

IL= Ip=Vp

|ZY|=

2003

242+7

2=

83

=4.6 [Arms ]

∙ 유효전력

P3∅=3 P1∅= 3 ( R I2p )= 3 ×24×( 83 )

2

=1536 [W]

∙ 무효전력

Q3∅=3 Q1∅= 3 ( X I2p )= 3 ×7×( 83 )

2

=448 [VAR]

∙ 피상전력

AP3∅= 3AP1∅= 3 ( Vp I p )= 3×83×2003

1600 [VA]

∙ 역률

P.F.=P3∅

AP3∅=

P1∅

AP1∅= cos θZ=

R|ZY|

=24

242+72=

2425

∙ 무효률

R.F.=Q3∅

AP3∅=

Q1∅

AP1∅= sin θZ=

X|ZY|

=7

242+7

2=

725

[Remark] Impedance 등가변환 (↔Y)

• -회로와 Y-회로를 등가 변환하기 위해서는 마디 a, b, c에서 본 임피던스가 같아야 한다.

마디 a-b : Za+Zb=Zab// ( Zbc+Zca )=Zab ( Zbc+Zca )

Zab+Zbc+Zca

(1)

마디 b-c : Zb+Zc=Zbc// ( Zab+Zca )=Zbc ( Zab+Zca )

Zab+Zbc+Zca

(2)

마디 c-a : Zc+Za=Zca// ( Zab+Zbc )=Zca ( Zab+Zbc )

Zab+Zbc+Zca

(3)

식 [(1)+(2)+(3)]/2를 구하면

Za+Zb+Zc=Zab Zbc+Zbc Zca+Zca Zab

Z ab+Zbc+Zca

(4)

→Y 변환

식 (4) - 식 (2) : Za=Zca Z ab

Z ab+Zbc+Zca

(5a)

식 (4) - 식 (3) : Zb=Zab Zbc

Z ab+Zbc+Zca

(5b)

식 (4) - 식 (1) : Zc=Zbc Zca

Z ab+Zbc+Zca

(5c)

(note) -결선을 Y-결선으로 변환하려면 -결선 임피던스의 접속점에 접속되어 있는

양 임피던스를 곱하여 임피던스의 총합으로 나누면 된다.

Y→ 변환

식 (5a)을 Zab에 대해정리 : Zab=Za (

Zab

Zca+

Zbc

Zca+1 ) (6a)

식 (5b)을 Zbc에 대해정리 : Zbc=Za (1+

Zbc

Zab+

Zca

Zab ) (6b)

식 (5c)을 Zca에 대해정리 : Zca=Zc (

Zab

Zbc+1+

Zca

Zbc ) (6c)

∙ 식 (5)에서 Za, Zb, Zc의 관계를 구하면

Za

Zb=

Zca

Zbc,

Zb

Zc=

Zab

Zca,

Zc

Za=

Zbc

Zab

(7)

식 (7)을 식 (6)에 대입하여 정리하면

Zab=Za Zb+Zb Zc+Zc Za

Zc

(8a)

Zbc=Za Zb+Zb Zc+Zc Za

Za

(8b)

Zca=Za Zb+Zb Zc+Zc Za

Zb

(8c)

(note) Y-결선을 -결선으로 변환하려면 2개씩 조합한 임피던스 곱의 합을

접속되어 있지 않은 임피던스로 나누어 얻는다.

3상 불평형 회로

∙3상 교류에서는 대칭 3상 평형회로가 되도록 설계되어 유지되고 있으나 실제는 전원이 대칭이

라도 부하가 불평형인 경우도 있고 또한 사고시에는 전원이나 부하 다같이 불평형인 경우가 발생

한다.

∙불평형 회로의 일반적 해법으로 대칭 좌표법을 사용.

∙간단한 불평형 회로에서는 키르히호프의 법칙을 사용하여 해석할 수 있다.

불평형 Y-Y 회로

중성점 접지식 Y-Y 회로 (3상 4선식 회로)

∙전원 Van , Vbn , Vcn은 대칭 또는 비대칭일 수 있으며 부하 Za, Zb, Zc

는 불평형

부하이다. 중성점 nN 사이에 임피던스 Zn이 있다.

∙ 중성점 n을 기준인 전위라 했을 때 중성점 N에서의 전위차를 VNn이라 하자.

I aA=( Van-VNn )

Za= ( Van-VNn ) Ya

I bB=( Vbn-VNn )

Zb= ( Vbn-VNn ) Yb

I cC=( Vcn-VNn )

Zc= ( Vcn-VNn ) Yc

I nN=-VNn

Zn=-Yn VNn

I aA+ IbB+ IcC+ InN=0

( Van- VNn )Ya+( Vbn- VNn )Yb+( Vcn- VNn )Yc-Yn VNn=0

따라서 중성점 전위 VNn은 다음과 같다.

VNn=Ya Van+Yb Vbn+Yc Vcn

Ya+Yb+Yc+Yn

(note) 위의 결과는 Millman의 정리를 사용하여 구할 수 있다.

VNn의 값이 구해지면 I aA , IbB , I cC , I nN의 값을 구할 수 있다.

중성점 비접지식 Y-Y 회로 (3상 3선식 회로)

∙3상 3선식 Y-Y회로는 3상 4선식 Y-Y회로에서 Zn=∞ (Yn=0 ), InN=0인 경우와

같으므로 이 조건을 3상 4선식 Y-Y 회로에 대입하여 구할 수 있다.

I aA=( Van-VNn )

Za= ( Van-VNn ) Ya

I bB=( Vbn-VNn )

Zb= ( Vbn-VNn ) Yb

I cC=( Vcn-VNn )

Zc= ( Vcn-VNn ) Yc

I aA+ IbB+ IcC=0

( Van- VNn )Ya+( Vbn- VNn )Yb+( Vcn- VNn )Yc=0

따라서 중성점 전위 VNn은 다음과 같다.

VNn=Ya Van+Yb Vbn+Yc Vcn

Ya+Yb+Yc

(note) 전원이 대칭인 경우: Van=Vp∠0o라고 하면 Vbn=a2Vp, Vcn=aVp의

관계를 사용하여 계산하면 된다.

[Ex] 대칭 3상 전원 Van , Vbn , Vcn에 불평형 3상 부하 Ca, Cb, Cc

의 정전용량을

접속하고 중성점 N을 접지했을 때 전원측 중성점 n에서의 대지전위 Vn을 구하라.

각주파수는 ω이다.

∙선전류의 합은

I aA+ IbB+ IcC=0

으로 되며,

I aA= jω Ca ( Van+ Vn )

I bB= jω Cb ( Vbn+ Vn )

I cC= jω Cc ( Vcn+ Vn ) 따라서

jω Ca ( Van+ Vn )+jω Cb ( Vbn+ Vn )+j ω Cc ( Vcn+ Vn )=0

Vn=Ca Van+Cb Vbn+Cc Vcn

C a+Cb+Cc

(a)

∙전원이 3상 대칭이므로

Van=Vp∠0o

라 하면

Vbn=a2Vp Vcn=aVp

가 된다. 위 식을 식 (a)에 대입하여 정리하면 중성점에서의 전위는 다음과 같다.

Vn=Ca ( Ca-Cb )+Cb ( Cb-Cc )+Cc ( Cc-Ca )

Ca+Cb+CcVp

불평형 -Y 회로

∙전원 임피던스가 극히 적을 때는 3상 단자 전압은 부하에 관계없이 거의 일정하게 된다. 이와

같이 부하에 관계없이 일정한 선간전압( 전압)을 갖는 전원에 불평형 Y-부하가 접속된 경우.

∙ 선간전압( 전압) 상호간에는

Vab+ Vbc=- Vca

의 관계가 있으므로

Vab+ Vbc+ Vca=0

가 된다.

∙ 그림에 키르히호프의 법칙을 적용하면

Vab =Za I aA-Zb I bB

Vbc =Zb I bB-Zb I cC

0 = IaA+ IbB+ IcC

ꀎ

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Za Zb 0

0 Zb -Zc

1 1 1

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I aA

IbB

I cC

=

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vab

Vbc

0

∙ 선전류

I aA =Zb( Vab+ Vbc )+Zc Vab

ZaZb+ZbZc+ZcZa=

Zc Vab-Zb Vca

I bB =Za Vbc-Zc Vab

I cC =-Zb ( Vbc+ Vab )-Za Vbc

ZaZb+ZbZc+ZcZa=

Zb Vca-Za Vbc

여기서

=ZaZb+ZbZc+ZcZa

∙ 부하의 상전압

VAN =Za I aA

VBN =Zb I bB

VCN =Zc I cC

불평형 부하

∙부하의 상전류

IAB =Vab

ZAB

IBC =Vbc

ZBC

ICA =Vca

ZCA

∙ 선전류와 상전류와의 관계

I aA = IAB- ICA

I bB = IBC- IAB

I cC = ICA- IBC

0 = IaA+ IbB+ IcC

I aA =Vab

ZAB-

Vbc

ZBC

IbB =Vbc

ZBC-

Vab

ZAB

I cC =Vca

ZCA-

Vbc

ZBC

역상분정상분상분

대칭좌표법

(System of Symmetrical coordinate)

•비대칭 n상 회로의 전압 또는 전류에 대해 n조의 대칭 전압 또는 대칭 전류로 분해하고,

이 분해된 전압 또는 전류에 대해서 계산하여 이것을 중첩하여 결과를 얻는 방법.

불평등 3상 회로에 응용

•대칭 좌표법에서는 불평형 전압 또는 전류를 평형인 3 성분으로 분해하여 취급한다.

∙ 상분(zero sequence component) : 각 상이 모두 동상이며 크기도 동일하다.

∙정상분(positive sequence component) : 상순이 a-b-c 인 대칭 3상

∙역상분(negative sequence component) : 상순이 a-c-b 인 대칭 3상

상분, 정상분, 역상분인 이 3 성분을 각 상마다 정상분을 기준으로 벡타적으로

합성하면 비대칭 전압 또는 전류가 되며, 이 3 성분을 총칭하여 대칭분이라고 한다.

Let

∙ 상분 : Va0 , Vb0 , Vc0

∙정상분 : Va1 , Vb1 , Vc1

∙역상분 : Va2 , Vb2 , Vc2

• 불평등 3상 전압을 Va , Vb , Vc를 대칭분으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Va = Va0+ Va1+ Va2

Vb = Vb0+ Vb1+ Vb2

Vc = Vc0+ Vc1+ Vc2

여기서

정상분 : Va1 , Vb1=a2 Va1 , Vc1=a Va1

역상분 : Va2 , Vb2=a Va2 , Vc1=a2 Va2

따라서

(1)

(2)

(3)

Va = Va0+ Va1+ Va2

Vb = Va0+a2Va1+a Va2

Vc = Va0+a Va1+a2Va2

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a2

a

1 a a2

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va0

Va1

Va2

= [ A ]-1

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va0

Va1

Va2

(Note) since 1+a+a2=0

∙ Va0 = ? : 식(1) + 식(2) + 식(3)

Va0=13 ( Va+ Vb+ Vc )

∙ Va1 = ? : 식(1) + a(식(2)) + a2(식(3))

Va = Va0+ Va1+ Va2

a Vb =a Va0+a3Va1+a

2Va2=a Va0+ Va1+a

2Va2

a2Vc =a

2Va0+a

3Va1+a

4Va2=a

2Va0+ Va1+a Va2

Va1=13 ( Va+a Vb+a2 Vc )

∙ Va2 = ? : 식(1) + a2(식(2)) + a(식(3))

Va = Va0+ Va1+ Va2

a2 Vb =a 2 Va0+a 4 Va1+a 3 Va2=a 2 Va0+a Va1+ Va2

a Vc =a Va0+a 2 Va1+a 3 Va2=a Va0+a 2 Va1+ Va2

Va2=13 ( Va+a

2Vb+a Vc )

따라서 다음과 같은 관계가 성립한다.

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va0

Va1

Va2

=13

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

=[ A ]

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

여기서

[ A ]=13

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

[ A ]-1

=

ꀎ

ꀚ

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ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a2

a

1 a a2

[ A ] [ A ]-1=1

ꋯ 일반적으로 a상을 기준으로 다루는 경우가 대부분이므로

Va0 , Va1 , Va2를 V0 , V1 , V2

로 표시하는 경우가 대부분이다.

(Note) 불평형율(unblanced factor)

불평형 3상 전압이나 전류에는 상분과 역상분이 포함되는 경우가 일반적이므로 불평형의 정도

를 나타내는 척도로 불평형율을 사용하며, 이 값은 역상분과 정상분의 크기 비 정의한다.

불평형율=역상분의 크기정상분의 크기 ×100 [ % ]

[Ex] 평형3상 전압

평형 3상의 경우

Vb=a2 Va , Vc=a Va

가 되므로

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=13

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1 1 1

1 a a 2

1 a 2 a

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Va

Vb

Vc

=13

ꀎ

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1 1 1

1 a a 2

1 a 2 a

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Va

a 2 Va

a Va

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va+a 2 Va+a Va

Va+a 3 Va+a 3 Va

Va+a 4 Va+a 2 Va

여기서 a 3=1

Va+a

4Va+a

2Va = Va+a

2( 1+a

2) Va | 1+ a

2=-a

= Va-a3Va=0

가 되므로

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=13

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

0

3 Va

0

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

0

Va

0

평형 3상 전압의 상분 V0 및 역상분 V2

는 0이 되므로 정상분만 남게되며,

a상의 정상분은 Va이다.

대칭 3상회로는 대칭 좌표법에서는 정상분만의 특별한 경우라 할 수 있다.

[Remark] 불평형 3상 Y-Y 회로의 경우, 비접지식 회로에서 상분은 0이 되며, 중성점

접지식 회로(3상 4선식)에서는 상분이 나타난다.

(Proof) 3상 교류 I a , I b , I c가 흐르고 있을 때, a상의 대칭분을 I 0 , I 1 , I 2라 하면

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a

I b

I c

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a+ Ib+ Ic

I a+a I+a2I c

I a+a2I b+a Ic

(1) 비접지식

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

=13

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

0

I a+a I+a2I c

I a+a2I b+a Ic

I 0=0가 되어 상분은 나타나지 않고 정상분과 역상분만이 나타난다.

(2) 중성점 접지 회로

일반적으로 I a+ Ib+ Ic≠0가 되므로

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

=13

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a+ Ib+ Ic

I a+a Ib+a2I c

I a+a2Ib+a Ic

상분, 정상분, 역상분 모두 다 존재한다.

∙접지식일 경우 중성점 접지선에는 정상분과 역상분의 전류는 흐르지 않고 상분의 합인

3 I0 만 흐르게 된다. 이러한 경우는 3상 4선식의 중성선에도 해당된다.

I a = I 0+ I 1+ I 2

I b = I 0+a2I 1+a I 2

I c = I 0+a I 1+a2I 2

위 식을 합하게 되면

I a+ Ib+ Ic=3 I0

가 되어 중성선에는 3배의 상분 전류가 흐르게 된다.

불평형 전원의 Y-대칭분-대칭분 변환

Let

Y-회로 전원 : VYa , VY

b , VYc

Y-회로 대칭분 : VY0 , VY

1 , VY2

-회로 전원 : Va , V

b , Vc

-회로 대칭분 : V0 , V

1 , V2

∙ Y-회로의 대칭분

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

VY0

VY1

VY2

=13

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1 1 1

1 a a2

1 a2 a

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

VYa

VYb

VYc

∙ -회로의 전원

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ꀖ

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︳︳︳︳

︳︳︳︳

Va =VY

a -VYb

Vb =VY

b -VYc

Vc =VY

c -VYa

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

=

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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1 -1 0

0 1 -1

-1 0 1

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

VYa

VYb

VYc

(note)

︳

︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

︳

︳

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 -1 0

0 1 -1

-1 0 1

=0

따라서 위 행렬에 대한 역행렬은 존재하지 않는다.

∙ -회로의 대칭분

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=13

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

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Va

Vb

Vc

=13

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1 1 1

1 a a2

1 a2 a

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1 -1 0

0 1 -1

-1 0 1

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

VYa

VYb

VYc

=13

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1 1 1

1 a a2

1 a2 a

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 -1 0

0 1 -1

-1 0 1

ꀎ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a2 a

1 a a2

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

VY0

VY1

VY2

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

0 0 0

0 1-a2 0

0 0 1-a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

VY0

VY1

VY2

따라서

ꀊ

ꀖ

ꀈ

︳︳︳︳︳︳︳

︳︳︳︳︳︳︳

V0 =0

V1 =( 1-a

2)V

Y1 = ( 3 e

jπ6 )VY

1

V2 =( 1-a )VY

2 =( 3 e- j

π6 )VY

2

불평형 Y-회로 전원의 대칭분을 -회로 전원의 대칭분으로 변환할 때,

∙ 상분 : V0 =0

∙ 정상분 : V1는 VY

1보다 3배 크며, 위상이

π6 앞선다.

∙ 역상분 : V2는 V

Y2보다 3배 크며, 위상이

π6 뒤진다.

중성점 접지식 불평형 Y-부하

∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각

Va , Vb , Vc라하고 선전류를 I a , I b , I c라 하자. 부하 Za , Zb , Z c

에도 각각

대지전압 Va , Vb , Vc이 걸린다.

Va=Za I a , Vb=Zb I b , Vc=Zc I c

즉,

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za 0 0

0 Zb 0

0 0 Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a

I b

I c

∙ Let

Va , Vb , Vc의 대칭분 : V0 , V1 , V2

I a , I b , I c의 대칭분 : I 0 , I 1 , I 2

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

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ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za 0 0

0 Zb 0

0 0 Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a

Ib

I c

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za 0 0

0 Zb 0

0 0 Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a2

a

1 a a2

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za+Zb+Zc Za+a2Zb+a Zc Za+a Zb+a

2Zc

Za+a Zb+a2Zc Z a+ Zb+Zc Za+a

2Zb+a Zc

Za+a2Zb+a Zc Za+a Zb+a

2Zc Za+Zb+Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

원소들이 Za+Zb+Zc, Za+a2Zb+a Zc

, Za+aZb+a2 Zc의 형태이므로

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Z0

Z1

Z2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za

Zb

Zc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za+Zb+Zc

Za+aZb+a2Zc

Za+a2Zb+aZc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Z0 Z2 Z1

Z1 Z0 Z2

Z2 Z1 Z0

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

불평형 임피던스 Za , Zb , Z c도 전압, 전류와 같이 대칭분인 Z0 , Z1 , Z 2

로

분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지

물리적 의미는 존재하지 않는다. )

대칭분 V0 , V1 , V2이 구해지면, Va , Vb , Vc

를 구할 수 있다.

[Remark] 평형3상 부하인 경우

평형3상 부하인 경우 : Za=Zb=Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Z0

Z1

Z2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

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︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za

Zb

Zc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za+Zb+Zc

Za+aZb+a2Zc

Za+a2Zb+aZc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

3 Za

Za ( 1+a+a2 )

Za ( 1+a2+a )

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

3 Za

0

0

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za

0

0

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za 0 0

0 Za 0

0 0 Za

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za I 0

Za I 1

Za I 2

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Z0 I 0

Z0 I 1

Z0 I 2

V0=Z0 I 0 , V 1=Z0 I 1 , V 2=Z0 I 2

[Remark] Admittance 표현

∙중성점 N이 접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각

Va , Vb , Vc라하고 선전류를 I a , I b , I c라 하자.

Ya=1Za

, Yb=1Zb

, Yc=1Zc

I a=Ya Va , I b=Yb Vb

, I c=Yc Vc

즉,

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a

Ib

I c

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Ya 0 0

0 Yb 0

0 0 Yc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

∙ Let

Va , Vb , Vc의 대칭분 : V0 , V1 , V2

I a , I b , I c의 대칭분 : I 0 , I 1 , I 2

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a

Ib

I c

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Ya 0 0

0 Yb 0

0 0 Yc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Ya 0 0

0 Yb 0

0 0 Yc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a2

a

1 a a2

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Ya+Yb+Yc Ya+a2Yb+aYc Ya+aYb+a

2Yc

Ya+a Yb+a2Yc Ya+ Yb+Yc Ya+a

2Yb+a Yc

Ya+a2Yb+aYc Ya+aYb+a

2Yc Ya+Yb+Yc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

원소들이 Ya+Yb+Yc, Ya+a2Yb+a Yc

, Ya+aYb+a2 Yc의 형태이므로

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Y0

Y1

Y2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Ya

Yb

Yc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Ya+Yb+Yc

Ya+aYb+a2Yc

Ya+a2Yb+aYc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Y0 Y2 Y1

Y1 Y0 Y2

Y2 Y1 Y0

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

불평형 임피던스 Ya , Yb , Yc도 전압, 전류와 같이 대칭분인 Y0 , Y1 , Y2

로

분해됨을 알 수 있다. (여기서 이 대칭분은 식을 간단히 표시한다는 것이지

물리적 의미는 존재하지 않는다. )

대칭분 I 0 , I 1 , I 2이 구해지면, I a , I b , I c를 구할 수 있다.

중성점 비접지식 불평형 Y-부하

∙중성점 N이 비접지된 불평형 Y-부하에 있어서 각 단자 a, b, c의 대지전압을 각각

Va , Vb , Vc라하고 선전류를 I a , I b , I c라 하자.

부하 Za , Zb , Z c의 중성점은 비접지로 불평형 부하이므로 중성점 N은 임의의

전압 VN을 갖게된다 이때 부하 Za , Zb , Z c

에 걸리는 전압 Vpa , Vp

b , Vpc는

다음과 같다.

Vpa =Va-VN=Za I a

Vpb =Vb-VN=ZbI b

Vpc =Vc-VN=ZcI c

∙ 중성점 비접지식에서는 I a+Ib+Ic=0이다.

따라서 상분 I 0=0이다.

∙상전압 대칭분

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vp0

Vp1

Vp2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vpa

Vpb

Vpc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va-VN

Vb-VN

Vc-VN

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va+Vb+Vc-3 VN

Va+a Vb+a2Vc-( 1+a+a2 )VN

Va+a2Vb+aVc-( 1+a2+a )VN

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va+Vb+Vc-3 VN

Va+a Vb+a2Vc

Va+a2Vb+aVc

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0-VN

V1

V2

(1)

(note) 대지전압의 대칭분

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

V0

V1

V2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va

Vb

Vc

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Va+Vb+Vc

Va+a Vb+a2Vc

Va+a2Vb+aVc

∙ 부하 임피던스 전압의 대칭분을 선전류 대칭분으로 나타내면 다음과 같다.

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vp0

Vp1

Vp2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vpa

Vpb

Vpc

여기서

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vpa

Vpb

Vpc

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za 0 0

0 Zb 0

0 0 Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a

I b

I c

가 되므로

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vp0

Vp1

Vp2

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2

a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za 0 0

0 Zb 0

0 0 Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I a

I b

I c

=13

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a a2

1 a2 a

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Za 0 0

0 Zb 0

0 0 Zc

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

1 1 1

1 a2 a

1 a a2

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

I 0

I 1

I 2

위 식을 정리하여 Z0=Za+Zb+Zc, Z1=Za+a2Zb+a Zc

, Z2=Za+aZb+a2 Zc를

대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

Vp0

Vp1

Vp2

=

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

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Z0 Z2 Z1

Z1 Z0 Z2

Z2 Z1 Z0

ꀎ

ꀚ

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ꀏ

ꀛ

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I 0

I 1

I 2

여기서 상분 I 0=0이므로

ꀎ

ꀚ

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ꀏ

ꀛ

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Vp0

Vp1

Vp2

=

ꀎ

ꀚ

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ꀏ

ꀛ

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Z2 Z1

Z0 Z2

Z1 Z0

ꀎ

ꀚ

︳︳︳︳

ꀏ

ꀛ

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I 1

I 2

(2)

식 (1)과 식 (2)는 등가관계이므로

ꀎ

ꀚ

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ꀏ

ꀛ

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Z2 Z1

Z0 Z2

Z1 Z0

ꀎ

ꀚ

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ꀏ

ꀛ

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I 1

I 2 =

ꀎ

ꀚ

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ꀏ

ꀛ

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V0-VN

V1

V2

Z2I 1+Z1I 2 =V0-VN

Z0I 1+Z2I 2 =V1

Z1I 1+Z0I 2 =V2

위 식을 풀면

I 1 =Z0V1-Z2 V2

Z20-Z1 Z2

I 2 =Z0V2-Z1 V1

Z20-Z1Z2

VN =( Z

20-Z1 Z2 )V0+( Z

21-Z2 Z0 )V1+( Z

22-Z0 Z1 )V2

Z20-Z1 Z2

(3)

I 1 , I 2의 값이 구해지면 I 0=0이므로 식 (3)에 의해서 I a , I b , I c를 구할 수 있다.