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Ángel Cuizara Cordova Topografía II

P R OBL EM A S DE L O S TR E S P U N TO S

P OT H EN O T

1.- OBJETIVOS

OBJETIVO ESPECÍFICO:

El objetivo principal de esta práctica es resolver el problema de los tres puntos o problema

de Pothenot mediante el método analítico y método grafico.

OBJETIVOS SECUNDARIOS:

Obtener los datos de campo suficientes para resolver el problema de los tres puntos en

gabinete.

Determinar los angulos faltantes (X, Y, Ѳ1 y Ѳ2).

Determinar los lados AP, BP y CP.

Determinar las coordenadas de los puntos B, C y P.

Determinar mediante solución grafica el problema de Pothenot.

2.- FUNDAMENTO TEÓRICO

El problema de Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa en la

posición de puntos referidos a una red de triangulación.

La ventaja de resolver el problema de pothenot es que ya se tiene ángulos conocidos como

ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red.

Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar está muy alejado

de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos puntos

conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el terreno.

Se entiende por problema de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de determinar

el posicionamiento de cualquier punto que esté dentro del área circundante del

levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación.

Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las

coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de

Pothenot es útil en la resolución rápida y exacta del posicionamiento de cualquier punto.


M E T O D O S D E R E S O L U C I Ó N D E L P R O B L E M A D E T R E S

P U N T O S

E x i s t e n d o s m é t o d o s :

- Solución Analítica

- Solución Grafica

a) SOLUCION ANALITICA

Es el que se utilizó en la práctica y consta de los siguientes pasos:

Se ubica los lados de apoyo de la red de triangulación que van servir para resolver el

problema, determinando los tres vértices consecutivos de apoyo.

Ubicar exactamente el punto P en la posición que se desea determinar respecto a la red de

triangulación.

Haciendo estación en el punto P y trazando alineamientos en los vértices de apoyo se

forman dos direcciones desconocidas que se denominan alfa y beta cuyos valores los

debemos determinar en campo siguiendo uno de los métodos conocidos el de reiteración y

repetición y cinco lecturas como mínimo para cada ángulo.

Se realiza el procedimiento en gabinete que consta de los siguientes puntos:


El método analítico establece dos ecuaciones normales que son:

Ambas ecuaciones tienen variables conocidas y determinadas previamente como incógnitas

tienen los valores X y Y, que se obtienen de la resolución del sistema de dos ecuaciones.

Además podemos hacer una comprobación utilizando la siguiente relación:

Una vez realizado la comprobación se procede a resolver el cálculo de la distancias (AP, BP

y CP) aplicando el teorema de los senos del se tiene las siguientes relaciones.

b) SOLUCION GRAFICA

METODO GRAFICO:

Este método se lo utiliza para resolver el problema de Pothenot, mediante una grafica; este

método es mucho más directo pero menos preciso y se toma en cuenta los siguientes

aspectos para su resolución:

X + y = m

X - Y = 2 arc tag · ( )

2

Ѳ 1 + Ѳ 2 = μ

2

=

=

=

=

=

=


- PARA ALFA Y BETA MENORES DE 90º (α<90º; β<90º)

-

Si α < 90º 90º – α; el punto 0 está

por debajo de la línea AB.

Si β < 90º 90º – β; el punto 0 está

por debajo de la línea BC.

Primeramente se observa si los Angulos α y β son menores a 90º, en ese caso se resta 90º - α

y 90º - β, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el

otro extremo B y C, con una inclinación del Angulo obtenido de la resta de 90º - α y 90º - β

y de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la

circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan

las dos circunferencias se lo llama punto P.

Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalimetro la

distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los angulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2.

- PARA ALFA Y BETA MAYORES DE 90º (α>90º; β>90º)

Si α > 90º α – 90º; el punto 0 está por

encima de la línea AB.

Si β > 90º β – 90º; el punto 0 está por

encima de la línea BC.

Primeramente se observa si los Angulos α y β son mayores a 90º, en ese caso se resta α–90º

y β–90º, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el

otro extremo B y C, con una inclinación del Angulo obtenido de la resta de α–90º y β–90º y

de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la

circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan

las dos circunferencias se lo llama punto P.


Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalimetro la

distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los angulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2.

CASOS ESPECIALES:


3.- MEMORIA DE LA PRÁCTICA

3.1 MATERIALES

Estación total Leica.

Dos prismas.

Una Brújula.

Estacas.

Tachuelas.

3.2 PROCEDIMIENTO DE LA PRÁCTICA

Ubicamos los puntos A, B, C y P.

Instalamos la estación total Leica en el punto B, para leer el Angulo μ, lecturando

cinco veces como mínimo.

Luego se procede a lectura de las distancias AB y BC, utilizando la estación total.

Cambiar la estación total al punto P para leer los angulos α y β, este procedimiento

se realiza cinco veces para cada Angulo leído.

Después se llevo a cabo el trabajo de gabinete.

3.3 TRABAJO DE GABINETE

a) Solución analítica

Datos

AB = 71,258m

BC = 45,791m

α = 49º29º19,6º

β = 28º35º29,6º

μ = 95º47º49,8º

Az AB = 183º

Incógnitas

X, Y, Ѳ1, Ѳ2

AP, BP, CP

Coordenadas

B, C y P


Nº μ α β Distancia

AB (m)

Distancia

BC (m)

1 95º47º42º 49º29º47 28º32º22º 71,259 45,796

2 95º43º30º 49º28º47º 28º35º52º 71,258 45,791

3 95º50º16º 49º29º01º 28º35º57º 71,258 45,791

4 95º48º12º 49º29º22º 28º36º62º 71,26 45,788

5 95º49º29º 49º29º41º 28º37º15º 71,256 45,791

∑ 95º47º49,8º 49º29º19,6º 28º35º29,6º 71,258 45,791

m=360º - ( + + )

m = 360º - (49º29º19,6º + 28º35º29,6º + 95º47º49,8º)

m = 186º7º21º

n =

n =

n =

n = 95º43º13,57º

( ) = ( ) = = - 0º11º35,98º

X + Y = 186º7º21º

X – Y = 2 arc tag · (- 0º11º35,98º)

X + Y = 186º7º21º

X – Y = -21º53º1,14º

2X = 164º14º19,8º

X = 82º7º9,93º

X – Y = -21º53º1,14º

Y = X + 21º53º1,14º

Y = 104º0º11,07º


180º = Ѳ1 + X + α

Ѳ1 = 180º - 82º7º9,93º - 49º29º19,6º

Ѳ1 = 48º23º30,47º

180º = Ѳ2 + Y + β

Ѳ2 = 180º - 104º0º11,07º - 28º35º29,6º

Ѳ2 = 47º24º19,33º

COMPROBACION

Ѳ1 + Ѳ2 = μ

48º23º30,47º + 47º24º19,33º = 95º47º49,8º

95º47º49,8º = 95º47º49,8º

b) CALCULO DE LADOS

=

= => AP = 71,258 * => AP = 70,079m

=

= => BP = 71,258 * => BP = 92,841m

=

= => CP = 45,791 * => CP = 70,439m


c) CALCULO DE COORDENADAS

N = 1800

A

E = 1900

ΔN = 71,258 * cos 3º0º0º = 71,160

ΔE = 71,258 * sen 3º0º0º = 3,729

N = 1800 - 71,160 = 1728,840

B

E = 1900 - 3,729 = 1896,271

ΔN = 45,791 * sen 2º47º49,8º = 2,235

ΔE = 45,791 * cos 2º47º49,8º = 45,736

N = 1728,840 - 2,235 = 1726,605

C

E = 1896,271 - 45,736 = 1850,534

ΔN = 70,079 * sen 4º52º50º07º = 5,962

ΔE = 70,079 * cos 4º52º50º07º = 69,825

N = 1800 - 5,962 = 1794,038

P

E = 1900 - 69,825 = 1830,175


5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Podemos decir como conclusión que llegamos a resolver el problema de los tres vértices o

problema de Pothenot con gran éxito, empleando los métodos dados en clase.

Esta práctica fue de fácil aplicación y podemos decir que es una buena forma de resolver el

problema que se nos puede presentar en una red de triangulación de un proyecto, aplicando

los conceptos básicos y métodos ya vistos en anteriores prácticas tanto así como la presente

practica.

Para realizar un mejor trabajo se recomienda realizar la práctica en un terreno plano y

ubicar los puntos en lugares visibles, tratando de realizar las lecturas con la mayor precisión

posible. Teniendo en cuenta que se debe de nivelar nuestra estación correctamente y al

momento de lecturar los angulos y distancias tratar de sujetar el prisma nivelando con el ojo

de pollo.

6.- BIBLIOGRAFIA

Apuntes en clase.

http://es.wikipedia.org

www.monografias.com

http://es.wikipedia.org/

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