機率

第 16組 廖信行 張家銘 陳炫羽

一 . 數學單元主題內容教材分析 : 機率： 1. 樣本空間與事件 1.1 樣本空間 1.2 事件 2. 機率的定義與性質 2.1 機率的定義 2.2 機率的性質 3. 期望值

1.樣本空間與事件

1-1樣本空間

1-2事件

1-1樣本空間何謂樣本空間 ?

簡單的舉例來說 : 投擲一粒骰子，觀察它出現的點數，會有六種可能的出現

的結果，這些結果所形成的集合為∪＝｛ 1,2,3,4,5,6 ｝，這叫做擲一粒骰子試驗的樣本空間。

所以樣本空間就是 : 做一試驗所有可能的結果所成的集合稱為樣本空間，我

們通常以∪表示樣本空間。

樣本空間的練習基礎題 :

1.丟一個硬幣一次，觀察每次出現的結果是正面或反面，寫出其樣本空間為何 ?

Ans:∪＝｛正面 , 反面｝

2.承上題，丟一個硬幣兩次，其樣本空間為何 ?Ans: ∪=｛ ( 正面 , 正面 ) ,(正面 , 反面 ),(反面 , 正

面 ),(反面 , 反面 ) ｝

樣本空間的練習進階題 : 袋中有 4 個球，編號 1~4，分別依下列方法從袋

中取球觀察號碼，求各試驗中的樣本空間 : (1)取球兩次，每次一球，球取出後不放回 (2)同時取出兩球Ans:(1) 設 (x,y)表示第一次抽出 x 號，第二次抽出 y 號，則其樣

本空間為∪＝｛ (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝(2)設 x,y表示同時取出的兩球號碼，則其樣本空間為∪＝｛ (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝

1-2事件何謂事件的定義 ?就是樣本空間的子集合稱為事件。

舉一個很簡單的例子說明 :投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛ 1,2,3,4,5,6｝。問 :(1)子集 A 表示點數為偶數的事件集合為何 ? (2)子集 B 表示點數為奇數的事件集合為何 ?Ans:(1)A=｛ 2,4,6｝ (2)B=｛ 1,3,5｝

何謂互斥事件 ?如果兩個事件中沒有共同的元素，稱此兩個事件互相排斥，簡稱為互斥事件。數學上的寫法是 :兩事件 A,B的交集為空集合，即 A∩B=∮

舉上一頁的例子 :投擲一粒骰子的試驗中，樣本空間為∪＝｛ 1,2,3,4,5,6｝，事件 A 為是偶數點的集合，事件 B 是奇數點的集合，問事件 A

和 B是否互斥 ?Ans:是。因為 A=｛ 2,4,6｝， B=｛ 1,3,5｝，我們可以知道 A∩B=∮

事件的練習題

甲和乙兩人各擲一粒骰子一次，觀察所出現的點數，若 A 表示出現的點數和為 5 的事件， B 表示出現點數差為 4 的事件，則 A ， B

兩事件是否為互斥事件 ?

Ans:是。因為 A=｛ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)｝， B=(1,5),(2,6),

(5,1),(6,2)｝所以我們知道 A∩B=∮

1.機率的定義與性質機率的定義與性質

2-1機率的定義 2-2機率的性質

2-1 機率的定義 : 拉卜拉斯的古典機率 什麼是拉卜拉斯的古典機率 ? 設某一隨機試驗的樣本空間 S 由 n

個樣本點組成，假設每一個樣本點出現的機會均等，事件 A 由 m 個樣本點組成，其中 n 、 m 為自然數，且 m ≤ n ，則事件 A 發生的機率為 :

P(A) = = m

n

( )

( )

n A

n S

拉卜拉斯的古典機率 例 1: S 有 n 個元素，則每一個元素出現的機會

是 ? 任一元素 =n(A)=1 全部元素個數

=n(S)=n

所以 =1/n ans:1/n

( )

( )

n A

n S

拉卜拉斯的古典機率 例 2: 一個袋子有 6 顆球， 3 顆白球跟 3 顆黑球，

請問從中取一顆球是白球的機率是 ? 白球 =n(A) 全部球數 =n(S)

n(A)=3 n(S)=6 P(A) = =3/6=1/2 ans:1/2

( )

( )

n A

n S

2-2 機率的性質

1. 基本性質

2. 性質推廣

3. 例題

2-2 機率的性質 基本性質

由古典機率的定義，可以得到下列的機率性質，若 S為樣本空間， A 、 B 為事件，則 :

1. 標準化 : 必然發生的事件其機率為 1 ， ( 即 P(U)=1) ，而必然不會發生的事件機率為 0 ，即 P(Φ)=0 ，其中S 為樣本空間。

2. 機率的範圍 : 每一個事件發生的機率必在 0 與 1 之間，即 A 為任一事件，則 0 ≤P(A) ≤ 1 .

3. 加法性 : 若 A ， B 為互斥事件，則事件 A ， B 至少有一件發生的機率，等於各個事件發生的機率和，即

P(AUB) = P(A) + P(B) .

基本性質的推廣 設 S 為樣本空間，則 :1. A.B 滿足 A ⊂ B ，則 P(A≤ P(B).2. 餘事件的機率 : 若 A⊂ S 為一事件，則 P(A’) = 1 - P(A).3.和事件的機率 :A ， B ， C 為 S 的三個事件， (1).P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B). (2).P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A∩B) -P(B ∩ C)-P(C∩ A)+P(A∩B∩C) .

例題 例題 : 袋中有編號 1 到 10 的整數號碼球共

10 個，阿草從袋中取一球，觀察其號碼，請問 :

下列各事件發生的機率分別是多少 ?U={1.2.3.4.5.6.7.8.9.10}(1). 球號是 3 的倍數 .(2). 球號是 5 的倍數 .(3). 球號是 3 的倍數也是 5 的倍數 .(4). 球號是 3 的倍數或是 5 的倍數 .(5). 球號是 3 的倍數或是 5 的倍數或是 7 的倍數 .

例題 -(1)

1. 取到球號是 3 的倍數之事件，可以表成 A={3.6.9} ，所以 P(A)=3/10

例題 -(2)

2. 取到球號是 5 的倍數之事件，可以表成 B={5.10} ，所以

P(B)=2/10=1/5

例題 -(3)

3. 取到球號是 3 的倍數也是 5 的倍數之事件為

A B ，因為 A ∩ B= Φ ，所以其機率為

P(A ∩ B)= P(Φ) = 0 .

例題 -(4)

4. 取到球號是 3 的倍數或是 5 的倍數的事件為

AUB ，因為 A ， B 互斥，所以由加法性得知

P(AUB)=P(A)+P(B)=3/10+2/10=5/10=1/2.

例題 -(5)

5. 取到球號是 7 的倍數之事件可以表成 C={7} ， 所以 P(C)=1/10 ， 而取到球號是 3 的倍數， 5 的倍數或是 7

的倍數可以表成 AUBUC ，因為事件 A ， B ，C 兩兩互斥，所以

P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C) = 3/10+2/10+1/10 = 6/10 = 3/5.

3.期望值

3-1 數學期望值

3-1數學期望值何謂數學期望值 ?

如果做一實驗有 K 種可能結果，各種結果的報酬分別為 m1 ， m2 ，…， mk，而得到這些報酬的機率分別為 P1 ， P2 ，…， Pk( 其中 P1+P2+…+Pk=1) ，則此實驗的數學期望值為 m= m1 P1+ m2 P2+…+ mk Pk

期望值的運用 1. 做為決策分析的參考 2. 計算衡量某些數值，如人數、時間等數

量

例題 1

張三與人打賭，擲一個骰子若出現 1 點則張三可得 5 元，擲出點數為 2

或 3 ，則張三可得 2 元，若擲出點數為4.5.6 ，則張三輸 3 元。

問此遊戲張三的期望值為多少 ? 對張三是否公平 ?

ANS: 期望值為 1/6*5+1/3*2+1/2*(-3)=0 期望值為 0 ，所以是公平的遊

戲。

例題 2

依據經驗，在 101 大樓前排班的計程車，載客人數 1 人的機率是 60% ， 2 人的機率是 30% ， 3 人跟 4 人的機率是 5% ，請問在 101 大樓前排班的計程車，載客人數的期望值為多少

ANS:1*0.6+2*0.3+3*0.05+4*0.05=1.55( 人 )

補充 St. Petersburg paradox

期望值是否是唯一一種衡量決策的依據 ? 有一個著名的賭局，規則如下，丟一個公

正的銅板，直到出現第一次正面，遊戲即宣告結束；在第 1 次投擲就出現第一次正面，則可獲得 2 元，在第 2 次投擲才出現第一次正面，則可獲得 4 元，在第 3 次投擲才出現第一次正面，則可獲得 8 元，在第 N 次投擲才出現第一次正面，則可獲得 2n元。

此遊戲的期望值為

就期望值的觀點，即使這個遊戲需要先付一筆龐大的賭金也是划算的 ( 因為期望值減有限的賭金仍然是無限大 )

但實際上並不會有人願意出高額賭金來進行這個賭局，這個矛盾就稱為

St. Petersburg paradox

二 . 教學網頁設計理念 1. 希望此網頁能成為日後教學上的輔助工作，補充課本內容缺少者，如機率發展史、機率在生活上的運用。

2. 提供試題練習，結合生活與機率。 3. 希望學生能藉網頁中生動活潑的方式來

學習機率，克服對機率的恐懼。 4. 希望藉由網頁內容裡的測驗卷 ( 學習回饋表 ) 來統計了解觀看此網頁學生的學習成果。

5. 設留言板達成此單元之學習交流。

三 . 教學網頁教學目標 1. 能夠讓學生了解機率在日常生活中的應用，從不同的觀點去認識機率。

2.用線上考試方式 ,測驗學生了解程度。 3. 能運用簡單機率與統計於生活中。 4. 能加深在學校所學的機率知識。

四 . 網頁設計規劃流程 1.首頁 ( 簡介此網頁‚ 引用生活小問題‚ 可結合 flash動畫來呈

現吸引觀看者 )

2. 機率課程 (課程教學：對課程內容之基本定義說明實際例子講

解 ) 3. 機率史 (介紹歷史及相關人物小故事，並給予一些歷史上機率

的小故事，如 St. Petersburg paradox) 4. 生活機率統計 (藉由生活中的機率問題來感受體會 .提供統計新聞以

方便學生體會統計的目的意義 )

五 . 參考資料 普通高級中學數學 第四冊 南一書局 普通高級中學數學 第四冊 龍騰文化

六 . 其他