概率论与数理统计
DESCRIPTION
考研辅导. 概率论与数理统计. 一、随机事件与概率. 考试内容. 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验. （一）随机实验和随机事件. 1. 试验 ： 为了研究随机现象 , 就要对客观事物进行 观察 . 观察的过程称为试验. 特点 : 在相同的条件下试验可以重复进行 ; 每次试验的结果具有多种可能性 , 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果 ; 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
概率论与数理统计
考研辅导
一、随机事件与概率
考试内容
随机事件与样本空间 事件的关系与运算完备事件组 概率的概念 概率的基本性质古典型概率 几何型概率 条件概率概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验
1. 试验：为了研究随机现象 , 就要对客观事物进行观察 . 观察的过程称为试验 .
特点 :•在相同的条件下试验可以重复进行 ;•每次试验的结果具有多种可能性 , 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果 ;•在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果 .
（一）随机实验和随机事件
给定一个试验 , 所有可能的结果的全体构成一个集合 , 这个集合称作样本空间 , 用大写的希
腊字母表示 , 这个样本空间中的每一个元素也称
作此样本空间的一个样本点 , 可以用小写的希腊字母表示 .
2. 样本空间
试验和样本空间的例子
1) 掷一次硬币为一个试验 , 则有两个可能的试验结果 , 正面和反面 , 则
={ 正面 , 反面 }2) 掷一次骰子为一个试验 , 则有六个可能的试验结果 , 1 点 , 2 点 , 3 点 , 4 点 , 5 点和 6 点 , 因此样本空间为
={1 点 , 2 点 , 3 点 , 4 点 , 5 点 , 6 点 }
3) 掷两次硬币作为一次试验 , 将两次试验结果排序 , 则共有四种可能的结果 :
( 反 , 反 ), ( 反 , 正 ), ( 正 , 反 ), ( 正 , 正 )
因此样本空间 ={( 反 , 反 ), ( 反 , 正 ), ( 正 , 反 ), ( 正 , 正 )}
4) 掷两次骰子作为一次试验 , 将两次试验结果排序 , 则共有 36 种可能的结果 :
={(x,y)|x,y =1,2,3,4,5,6}
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
•例如 , 掷两次硬币这个试验 , 事件 A=“ 至少一次正面朝上”包括三个样本点 (正 ,反 ),( 反正 ),( 正正 ). 也可以表示为
A={( 正 ,反 ),( 反 ,正 ),( 正正 )}
3. 随机事件
事件就是样本空间的子集 , 或者说事件就是试验结果的集合 , 通常用大写英文字母 A, B, C, … 等表示 .
• 掷两次骰子的试验 , 事件 B=“ 两次点数相同” ,
则 B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
几个特殊的事件
• 基本事件 : 只包括一个样本点 , 或者说一个试验结果的事件称为基本事件 .•必然事件 : 包括整个样本空间的所有元素的事件 , 或者就用表示 , 则每次试验必然发生 , 因此称为必然事件 .•不可能事件 : 不包括任何元素的空集 , 即每次试验一定不会发生 , 称为不可能事件 , 用表示 , 则 ={ }.
(1) 事件的包含： BA 或 AB
B A
(2) 事件的相等： A=B
4. 事件间的关系及其运算
易知 A + = A + = A
(3) 事件的并 ( 和 ) ： A+B 或 AB
(4) 事件的交 ( 积 ) ： AB 或 AB
即 A 、 B 中至少有一个发生 .
易知 A = A A = 即 A 、 B 同时发生 .
A
, ,AA A A A A
(5) 对立事件
(6) 事件的差 AB
,A B AB A A
A B
A B
对立事件一定互不相容 , 但互不相容 ,事件未必对立 .
(7) 互不相容事件 AB=
若事件 A1,A2,…,An为两两互不相容事件 , 并且A1+A2+…+An=, 称构成一个完备事件组或构成一个划分 .
A1
A2
A3
A4
最常用的完备事件组是某事件 A 与它的对立事件A
(8) 完备事件组
AA
事件的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
德 . 摩根律：
; ;A B B A A B B A
( ) ( ) ;
( ) ( ) ;
A B C A B C
A B C A B C
( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( );
A B C A B A C
A B C A B A C
; .A B A B A B A B
（二）事件的概率及其性质1. 概率的统计定义：频率的稳定值
在不变的条件下 , 重复进行 n 次试验 , 事件 A 发生的频率稳定地某一常数 p 附近摆动 , 且一般说来 , n 越大 , 摆动幅度越小 , 则称常数 p 为事件 A 的概率 , 记作 P(A).
P(A) 满足下列条件：(1) ( ) 0P A
(2) ( ) 0;P S
(3) 可列可加性
2. 事件的性质：(1)0 ( ) 1, ( ) 0;P A P
(2) 如果 BA, 则 P(B － A)=P(B) － P(A)
(3)P(A∪B)=P(A)+P(B) － P(AB) 广义加法法则
•若 A 与 B 互斥，则 P(A ＋ B)=P(A)+P(B)
推广为有限可加性
•P(A)=1 － P(A)
3. 概率公式
)(
)()|(
AP
ABPABP
乘法法则 • P(AB)=P(A)P(B|A) ( 若 P(A)>0)
• P(AB)=P(B)P(A|B) ( 若 P(B)>0)
(P(A)>0)(1) 条件概率公式
P(A1A2…An)=P(A)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An-1)
推广 :
事件的独立性若 P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件 A 和 B 是独立的 .
P(B|A)=P(B) 或 P(A|B)=P(A)A 、 B 相互独立 , 则即一个事件的发生，不影响另一个事件的发生
若 相互独立，则nAAA ,,,
21
1 21
( ) ( )n
n ii
P A A A P A
1 21
( ) 1 ( )n
n ii
P A A A P A
(2) 全概率公式
全概率定理 如果事件 A1,A2,… 构成一个完备事件组 , 并且都具有正概率 , 则对任意一事件 B 有
i
ii ABPAPBP |)()(
事件 B 的面积为 B 与各个事件 Ai相交的面积之和 .
全概率定理的图形理解
A1
A2
A3
A4
B
从试验的角度考虑问题 , 一定是将试验分为两步做 , 将第一步试验的各个结果分为完备事件组A1, A2,…, An, 然后在这每一事件下计算或给出某个事件 B发生的条件概率 , 最后用全概率公式 .
试验1
试验2
…
A1
A2
An
B
全概率定理解题的思路
（ 3 ）逆概公式（贝叶斯公式）
贝叶斯定理 若 A1,A2,…, 构成一个完备事件组 ,
并且它们都具有正概率 , 则对于任何一个概率不为零的事件 B, 有
,...)2,1()|()(
)|()()|(
mABPAP
ABPAPBAP
iii
mmm
贝叶斯公式是信息论中的一个重要公式
贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样 , 不过所求的是一个条件概率 , 即在二次试验后 , 观察者只能看到最后的结果事件 B, 却要根据结果来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率 .
A1
试验1
试验2
…
A2
An
B观察者
贝叶斯定理解题的思路
（三）几种常见的概型1. 等可能概型（古典概型）
2. 几何概型 ( 概率的几何意义 )
P(A)= A 中基本事件数 中基本事件总数
样本空间 只包含有限个样本点（基本事件）且每个样本点出现的可能性相同 .
样本空间 为几何空间中的一个有界区域 ( 可为多维 ), 且每个样本点出现的可能性相同 .
P(A)=A 的度量 ( 长度 , 面积或体积） 的度量 ( 长度 , 面积或体积）
3. 伯努利概型（ 1 ）定义 只考虑两个对立的结果 A( 成功 ) 和 (失败 ) 的试验称为伯努利概型或伯努利试验 . 将其独立重复 n 次就称为一个 n 重伯努利试验（概型） ,简称伯努利概型 .
A
（ 2 ）伯努利概型（二项概率）的计算公式 设 P(A)=p, 则 n 次试验中 A 发生 k 次的概率为
nkppCkP knkk
nn,,2,1,)1()(
例 若每次击中概率为 p=0.8, 则 5 次射击中有 3 次击中的概率为
3 3 5 3 3 25 5(3) (1 ) 20 0.8 0.2 0.4048P C p p
考点与例题分析考点一 事件的表示和运算
事件是样本空间的子集 ,要正确理解样本空间和事件间的关系 .
注意事件间的运算与集合运算相对应 ,切忌与数的运算相混淆 .
例 1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回 ), 事件 Ai表示第 i次取到合格品 (i=1,2,3). 试用事件的运算符号表示下列事件 :
•三次都取到了合格品 ; •三次中至少有一次取到合格品 ; •三次中恰有两次取到合格品 ; •三次中最多有一次取到合格品 .
•三次全取到合格品 : A1A2A3
•三次中至少有一次取到合格品 : A1+A2+A3
•三次中恰有两次取到合格品 :
•三次中至多有一次取到合格品 :323121 AAAAAA
321321321 AAAAAAAAA
解
表示该射手第 i 次射击时击中目标 (i=1,2,3).
1 2 2 1 2 3
1 2 3 3 2 3 2 1 2
1 2 2 3 2 3
1 2 1 3 2 3
; ; ;
; ; ; ;
; ; ;
A A A A A A
A A A A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A
例 2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai
试用文字叙述下列事件 :
三次射击至少两次中中后两次至少有一次未击
前两次均未中
第三次中但第二次未中
三次都中三次中至少一次中
第二次未中
前两次至少有一次中
:
:
:
:
:
:
:
:
323121
3232
2121
2323
321
321
2
21
AAAAAA
AAAA
AAAA
AAAA
AAA
AAA
A
AA
解
A={x|x20} ；B={x|x>3} ；C={x|x<9};
D={x|x<-5} ；E={x|x9}.
5
D C A
0 3 9 20
B
E
x
例 3 如果 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置 , 试说明下列各事件的关系 .
解 由图可见• ACD, BE• D 与 B, D 与 E 互不相容• C 与 E 为对立事件,• B 与 C, B 与 A, E 与 A 相容 , 显然 A 与 C, A 与 D,• C 与 D, B 与 E 也是相容的 .
1( ) ( ) ( ) , ( ) 0, ( ) ( )
41
,6
P A P B P C P AB P AC P BC
已知
( ) ( ) 1 ( )P ABC P A B C P A B C 解
例 4 (1992年研究生入学考试题 )
( ) 0, ( ) 0P AB P ABC 其中因 因此
1 1 1 1 1 71 [ 0 0]
4 4 4 6 6 12
1 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )]
P A P B P C P AB P AC
P BC P ABC
求事件 A,B,C 全不发生的概率 .
考点二：概率的性质、事件间的关系和运算
___)(.6.03.0,4.0
,
BAPBA
BABA
的概率则积事件和是
的概率分别及和事件设随机事件
0.6 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB 解 由已知得 :
例 5 (1990年研究生入学考试题 )
( ) ( ) ( ) ( )
0.4 0.1 0.3
P AB P A B P A P AB
故
( ) 0.1P AB 得0.4 0.3 ( )P AB
（熟记）
)()(
,8.0)(,9.0)(,,
BCAP
CBPAPCABA
则若
, ( ) ( ) 0.8B C BC P BC P B C
A B A C A BC
即
因 且 因此必有
(A)0.4; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8; (E)0.9
例 6 (1998年MBA 试题 )
解
C
( ) ( ) ( )P A BC P A P BC
( ) [1 ( )] 0.9 (1 0.8) 0.7P A P BC
根据德 .摩根定理
例 7(1993年考研题,3 分) 一批产品有 10 个正品和2 个次品 , 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽出后不放回 , 则第二次抽出的是次品的概率为 _ 2/12._
解 因共有 50 个乒乓球 , 20 个黄球 , 因此答案是 2/5.
例 8 (1997年考研题 ,3 分 ) 袋中有 50 个乒乓球 , 其中20 个是黄球 , 30 个是白球 . 今有两人依次随机地从袋中各取一球 , 取后不放回 , 则第 2 个人取得黄球的概率是 ____.
解
考点三：古典概型与几何概型
10 2 2 1 2
12 11 12 11 12
例 9 在线段 AD 上任取两点 B 、 C ，在 B 、 C处折断而得三条直线段，求 D:“ 这三条线段能构成三角形”的概率
分析 所求概率与三条线段的长度有关，但由于总长度是确定的，从而等可能自由取值的线段只有两条，于是问题归结为平面上的几何概型 .
解 设 AD 长为 l ，折断后的第一条线段长 x, 第二段长为 y, 则第三段长为 l-x-y, 于是样本空间为
},0,0),{( lyxyxyx
{( , ) 0 ,0 , }2 2 2
l l lD x y x y x y
因三角形两边之和大于第三边，故
由图， 的面积 2
21
lSSOMN
D 的面积1 1 1
221 1 1
2 2 8D A B CS S l l
故 .41
)( S
SDP D
O
1A
1B
1C
2l
2l
l
l
N
Mx
y
D
解 应选 (A),
例 10 (00403) 设 A,B,C 三个事件两两独立 , 则 A,B,C
相互独立的充分必要条件是 (A) A 与 BC 独立 ; (B) AB 与 AC 独立 (C) AB 与 AC 独立 ; (D) AB 与 AC 独立
因为 P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)
其余三个条件推不出上式 .
考点四：条件概率与积事件概率的计算以及 事件的独立性
注意多个事件 :相互独立 两两独立
1,
29
,16
例 11(99103) 设两两相互独立的三事件 A 、 B 和 C
且已知 P(ABC)= 则 P(A)=_______.
满足条件： ABC=, P(A)=P(B)=P(C)<
解 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) － P(AB)
－ P(AC) － P(BC)+
P(ABC)
=3P(A)-3P2(A)=9/16.
解得 P(A)=3/4 或 P(A)=1/4,
但 P(A)<1/2, 故应填 1/4.
1/4
5
3)()(
5
1)()(
4
1)()(
5
1)()(
3
1)|()(
21
521
21213
AAPE
APDAAPC
AAPBAAAPA
例 12 (1998MBA 试题 )
5人以摸彩方式决定谁得 1张电影票 .
今设 Ai 表示第 i人摸到 (i=1,2,3,4,5), 则下列结果中有一个不正确 , 它是 ( )
解 摸彩即是做 5张彩票 , 其中 1张写“有” , 其余 4张写“无”，则 P(A3|A1A2) 是指在前两个人没有抽到条件下第 3 个人抽到的事件 , 则第 3 个人抽时只有三张彩票 , 则抽中的条件概率当然是 1/3. 因此选项 (A) 正确 .
5
3
4
3
5
4)|()()(
5
1
4
1
5
4)|()()(
12121
12121
AAPAPAAP
AAPAPAAP
因此选项 (C) 不正确 , 答案为 (C)
此外 , 每个人抽中的无条件概率显然是 1/5, 因此选项 (D) 正确 . 选项 (B) 和 (E) 可由乘法法则求得为
例 13已知 0<P(B)<1, P[(A1+A2) B]=P(A1 B)+ P(A2 B),
则下列选项成立的是 ( )
1 2 1 2( ) [( ) ] ( ) ( );A P A A B P A B P A B
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( );B P A B A B P A B P A B
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( );C P A A P A B P A B
1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).D P B P A P B A P A P B A
1 2 1 2[( ) ] ( ) ( );P A A B P A B P A B 解
1 2 1 2[( ) ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P A A B P A B P A B
P B P B P B
(0<P(B)<1)
B
例 14(1999年MBA 试题 )甲盒内有红球 4 只 ,
黑球 2 只 , 白球 2 只 ; 乙盒内有红球 5 只 , 黑球3 只 ; 丙盒内有黑球 2 只 , 白球 2 只 , 从这 3 只盒的任意一只中取出 1 只球 , 它是红球的概率是( )
(A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45
(D) 0.375 (E) 0.225解 假设 A1 ， A2 ， A3 为取到甲 ,乙 ,丙盒的事件 ,
这是第一步试验的各事件 , 构成完备事件组 .
假设 B 为最后取出的是红球的事件 .
考点五：全概公式和贝叶斯公式
1 2 3
1( ) ( ) ( )
3P A P A P A 则
(D)因此,
3
1
( ) ( ) ( | )
1 4 1 5 1 0 30.375
3 8 3 8 3 4 8
i ii
P B P A P B A
1 2 3
4 5 0( | ) , ( | ) , ( | )
8 8 4P B A P B A P B A
由全概公式 ，得
例 15 假定某工厂甲乙丙 3 个车间生产同一种螺钉 , 产量依次占全厂的 45%,35%,20%. 如果各车间的 次品率依次为 4%, 2%, 5%. 现在从待出厂产品中检查出 1 个次品 , 试判断它是由甲车间
生产的概率 .
解 设事件 B 表示 "产品为次品 ", A1,A2,A3分别表示 "产品为甲 ,乙 ,丙车间生产的 ", 显然 , A1,A2,A3构成一完备事件组 . 依题意 , 有
P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20%
P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%
514.0%5%20%2%35%4%45
%4%45
)|()(
)|()()|( 3
1
111
i
ii ABPAP
ABPAPBAP
则由贝叶斯公式得
例 16 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为 p(0<p<1), 则此人 4 次射击命中二次，且
是连中的概率为 ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
3 1 4 1
5 1 6 1
( ) ( ) ; ( ) ( ) ;
( ) ( ) ; ( ) ( ) .
A p p B p p
C p p D p p
A
考点六：伯努利试验
例 17 假设一工厂生产的每台仪器以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3需进一步测试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不可以出厂，现该厂新生产了 n台仪器（假设生产过程相互独立），求恰好有 k台能出厂的概率 .
分析 n台仪器可看作做了 n 次独立重复试验，而每次试验的结果为：仪器能出厂（“成功”）与不能出厂（“失败”），关键在求“成功”发生的概率，然后代二项概率计算公式 .
解 设 A={需调试 } ， B={ 能出厂 } ，则.ABAB
)()()()()()( ABPAPAPABPAPBP
94.08.03.07.0
于是knkk
nCkXP )06.0()94.0()(
1. (01403)
对于任意二事件 A 和 B, 与 AB=B 不等价的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
A B B A
AB AB
答案 : 应选 (D)
考研题与练习题
A
B
2. ( 考研 000303) 在电炉上安装了 4 个温控器 ,其显示温度的误差是随机的 . 在使用过程中 , 只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0, 电炉就断电 . 以 E 表示事件“电炉断电” , 而 T(1)T(2)T(3)T(4) 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值 , 则事件 E 等于 ( ).(A){T(1)t0} (B) {T(2)t0} (C) {T(3)t0}(D) {T(4)t0}
答案 : 应选 (C), 这是因为当 T(3)t0 时就至少有 T(3),T(4) 两个温控器显示的温度不低于临界温度值 t0 了 .
解 设Ai为甲在第 i回合发 (回 )球成功的事件 ,
Bi为乙在第 i回合回球成功的事件 (i=1,2),
A为两个回合中乙输掉一分的事件 , 则
1 1 1 2 1 1
2 1 1 2
( ) 1, ( | ) 0.3, ( | ) 0.4
( | ) 0.5
P A P B A P A A B
P B A B A
3. (1998MBA 试题 ) 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛 ,甲发球成功后 , 乙回球失误的概率为 0.3, 若乙回球成功 , 甲回球失误的概率为 0.4, 若甲回球成功 , 乙再回球时失误的概率为 0.5, 试计算这几个回合中 , 乙输掉一分的概率 .
1 1 1 1 2 2A A B A B A B 而
1 1 1 1 2 2 ,A B A B A B 与 互斥
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )
P A P A B A B A B
P A B P A B A B
1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 1 1 2
( ) ( | ) ( ) ( | )
( | ) ( | )
P A P B A P A P B A
P A A B P B A B A
1 0.3 1 0.7 0.6 0.5 0.51
1 1 1 1 2 2A A B A B A B 而
4. （ 0701,04 ）某人向同一目标独立重复射击，
每次击中目标的概率为 p(0<p<1), 则此人第 4 次射击
恰好第 2 次命中目标的概率为 ( )2 2
2 2 2 2
3 1 6 1
3 1 6 1
( ) ( ) ; ( ) ( ) ;
( ) ( ) ; ( ) ( ) .
A p p B p p
C p p D p p
答：前三次击中一次，故有 3p(1-p)2, 第四次击中，故选 C.
C
5. (061)设 A,B 为随机事件 , 且 P(B)>0,P(A︱ B)=1,则必有
)()()( ).()()(
).()()( ).()()(
BPBAPDAPBAPC
BPBAPBAPBAPA
解 选（ C ） .
考查：条件概率，概率的加法公式 .
),()(1)(,)()(
)( BPABPBAPBP
ABPBAP
)()()()()( APABPBPAPBAP
6.(0713) 在区间 (0,1) 中随机地取两个数 , 这两个数之差的绝对值小于 1/2 的概率为 _________.4/3
考查：几何型概率解 用 X,Y 表示随机抽取的两个数 , 则 0<X<1,0<Y<1,X,Y取值的所有可能结果对应的集合为以 1 为边长的正方形 其面积为 1.“ 两个数之差的绝对值”对应图中阴影部分 A 的面积 , 即
,
.41
14/1
)21
( YXP
.43
21
21
212
故所求概率为21
21 1
1
o x
y
)1,1(
A
7. (03304) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1={ 掷第一次出现正面 }, A2={ 掷第二次出现正面 } ， A3={ 正、反面各出现一次 } ，A4＝ { 正面出现两次 } ，则事件 (C ).
(A) A1,A2,A3 相互独立 ; (B) A2,A3,A4 相互独立 ; (C) A1,A2,A3 两两独立 ; (D) A2,A3,A4 两两独立
解：应选 (C) ，只要是概率不为 0 事件，如果其积运算是不可能事件，就一定不相互独立。上述任意三个事件的积事件都是不可能事件，因此 (A),(B) 不成立。而 A3A4=, 相互也不独立，因此 (D)不成立，因此只能选 (C).