тема2 :Теоретични основи на статистиката

1

1.Честота и вероятност на събитиеА) честотаНека с А означим случайното събитие;n- брой проведени опитиm- брой на сбъднатите опитиОтносителна честота на събитието А, ще наричаме

числото

пр1 В една партида от 80 детайла са открити 4 дефектни. Намерете относителната честота на появата на дефектни детайли.

Решение: А-събитието да се появи дефектен детайл; m=4 ; n =80

n

mAW

05,020

1

80

4AW т.е. 5 %

2

Б) статистическа вероятност- р

Това е числото р, около което се колебае относителната честота на събитието А, при увеличаване на броя на опитите

Винаги р< 1пр2 Хвърляме един зар. Направени са 50, 250 и 1000 опита,

получените резултати са дадени в таблицата:

Изчислете относителната честота и статистическата вероятност.

Бр. опит

и

Бр. точк

и1 2 3 4 5 6

50 m 14 8 8 6 8 6

250 m 41 45 42 37 39 46

1000 m 165 162 170 171 165 167

3

решение

Относителните честоти при трите опита са отразени в таблицата:

От таблицата се вижда, че относителните честоти на точките 1,2,3,4,5 и 6 с нарастване броят на опитите се стремят към едно и също число 0,167 което е класическата вероятност р= 1/ 6 за появата на определен брой точки при хвърляне на един зар. Ако зарът е идеален при голям брой хвърляния точките се появяват еднакво често.

n W(A) 1 2 3 4 5 6

50 W(50) 0,28 0,16 0,16 0,12 0,16 0,12

250 W(250) 0,164 0,18 0,168 0,148 0,156 0,184

1000 W(1000) 0,165 0,162 0,170 0,171 0,165 0,167

4

2т. Закон на разпределение на случайна величина

а) начин на задаване на случайна величина (Х) сл.величина Х е позната ,ако са дадени всичките й възможни стойности и

вероятностите за получаване на всяка една от тях; Всичките възможни стойности на Х ще означаваме с х1 , х2, х3,….

Вероятностите за тяхното получаване ще означаваме с : р1, р2, р3 …

б) закон на разпределение на Х Таблицата :

Където р1 + р2 +р3 +….+рп =1

се нарича закон за разпределение на случайната величина Х

Х х1 х2 х3 …….. хп

р р1 р2 р3 …….. рп

5

3т. Числови характеристики на Х

а) математическо очакване Е(Х) = х1р1 +х2р2 +…+хпрп

б)Отклонение на Х –разликата между Х и Е(Х) в) математическо очакване на отклонението Е(Х-Е(Х)) = р1(х1-Е(Х)) +р2(х2-Е(Х))+…+рп(хп-Е(Х))

г) абсолютна стойност на отклонението х-Е(Х) д) средно отклонение на Х (х) =р1х1-Е(Х)+р2 х2-Е(Х) +…+рп хп –Е(Х) е) квадратично отклонение на Х (х-Е(Х) )2

ж) дисперсия на Х D(X) =p1(x1-E(x))2+p2 (x2-E(x))2+….+pn(xn-E(x))2

з) средно квадратично отклонение на Х

Ще използваме при задачите означението

XDx xXE

6

4т. Примери

Стр.50 1зад. Дадено :Х: х1=5; х2 =8 ; х3 =9 и х4 =12

р1= 0,2 ; р2 =0,25 и р3 =0,3

Намерете : р4 и Е(х)

Решение : От закона за разпределение на Х имаме р1 +р2 +р3 +р4 =1

0,2+0,25+0,3+р4=1

р4 =1-0,75 =0,25

Заместваме във формулата за Е(Х) Е(Х) = х1р1 +х2р2 +x3p3+x4p4

И получаваме : Е(Х) = 5.0,2+8.0,25+9.0,3+12.0,25 Е(Х) = 1+2+2,7+3 =8,7

7

Дадено: х1=3; х2 =5р1= 0,5 ; р2 =0,3Е(Х) =5

Да се намери :х3 и р3

р1 +р2 +р3 =1

Решение:

0,5+0,3+р3 =1р3 =0,2

От Е(Х) = х1р1 +х2р2 +x3p3

5= 3.0,5 +5.0,3 +х3 .0,2

0,2.х3 =5-1,5 -1,50,2х3 =2

Х3 = 10

8