Модели со стохастическими регрессорами

Ранее мы предполагали, что COV(xi,ui)=0

На практике это не всегда справедливо

Причины:

1. В моделях временных рядов, регрессоры являются функциями времени, что приводит к их корреляции со случайными возмущениями

2. Регрессоры измеряются с ошибками т.е являются случайными величинами

3. Использование лаговых переменных

Возможны три ситуации:

1. В уравнениях модели отсутствует корреляция между регрессорами и случайным возмущением (COV(xi,ui)=0 (оценки несмещенные и эффективные)

2. Регрессоры не коррелируют со случайными возмущениями в текущих наблюдениях, но коррелируют со случайными возмущениями в предыдущих наблюдениях: COV(xi,ui)=0, CОV(xi,ui-1)≠0 (Оценки смещенные на небольших выборках и состоятельные на выборках большого объема)

3. Регрессоры коррелируют со случайными возмущениями в текущих уравнениях наблюдений: СOV(xi,ui)≠0 (Оценки смещенные и неэффективные)

uyaxaay tttt 1210

uyaxaay....................................uyaxaayuyaxaayuyaxaay

nnnn 1210

3223103

2122102

1021101

u,...,u,ufy......................

u,ufyufy

nnn 22111

2122

111

Рассмотрим модель вида:

Система уравнений наблюдений для модели (1.1)

(1.1)

(1.2)

Лаговая переменная yt-1 коррелирует со случайным возмущением в предыдущих наблюдениях

Модель (1.1) частный случай авторегрессионных моделей

В эконометрике существуют две полезные двойственные концепции, использование которых приводит к моделям с лаговыми переменными:

1. Модель адаптивных ожиданий

2. Модель частичной корректировки

2

u

2tt

ett

et

e1t

te

1t10t

uM;0uM

)xx(xx

ua xay

Спецификация простейшей модели адаптивных ожиданий:

(2.1)

Переменные:

хt –реально наблюдаемая переменная

xet – ожидаемое значение переменной xt

x1xx ett

e1t

В системе уравнений (2.1)

1. Текущее значение переменной yt объясняется будущим ожидаемым значением xe

t+1 переменной xt

2. Второе уравнение системы (2.1) моделирует процесс адаптации ожидаемого значения xe

t+1 к реальному

Константа λ характеризует скорость адаптации xet+1 к

реальному значению xt

Запишем второе уравнение системы (2.1) в виде:(2.2)

λ=1 - адаптация ожиданий происходит мгновенно

λ=0 - адаптация не происходит вообще

Xet+1 интерпретируется как средневзвешенное значение

переменных xt и xet

...1

11

xxxxx

e

3t

3

e

2t

2e

1tt

e

1t

,...3,2,1,1 ii

i

11

ii

Внимание. На первый взгляд модель (2.1) не имеет практического применения имеет в спецификации не наблюдаемую переменную.

Однако, если рекуррентно применить к (2.2) это же соотношение, то получим:

(2.3)

Коэффициенты (2.4) – члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом

(2.4)

(2.5)

10uM0uMu...)1

11(aay2

u

2tt

e

3t

3

e

2t

2e

1tt10t

xxxx

Функцию (2.4) целочисленного аргумента i называют распределением лагов Койка

Подставив равенство (2.3) в первое уравнение модели (2.1), получим модель адаптивных ожиданий в форме модели распределенных лагов

(2.5)

Здесь a0, a1, λ, σu – неизвестные параметры модели

a1 – предельное значение эндогенной переменной модели (2.1) в долгосрочном периоде

a1λ – предельное значение переменной yt в краткосрочном периоде

2. Задаются значением максимального лага

3. Задают набор значений параметра λ, например, (0.1, 0.001, 0.0001)

4. Для каждого λ рассчитывается значение переменной

Модель (2.5) строится методом последовательных приближений:

Значение максимального лага «L» подбирается из условия стабильности значений параметров в ответ на изменение «L»

1. Переменная xet-1 аппроксимируется конечной суммой:

x1...x1x,Lx Lt

L

1tte

1t

u1aay t

e

tt10t xx

uxaay 1t

e

t101t

uayxa 1t01t

e

t11111

Запишем с учетом (2.2) первое уравнение системы (2.1)

То же уравнение в предшествующий момент времени имеет вид:

Умножив (2.7) на (1-λ), его можно привести к виду:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

uuyxaay 1tt1tt10t11

Раскрывая скобки в уравнении (2.6) и подставляя в него правую часть уравнения (2.8), получим эквивалентную форму модели (2.1)

(2.9)

Уравнение (2.9) называется преобразованием Койка модели адаптивных ожиданий

Здесь лаговая переменная yt-1 замещает всю бесконечную последовательность распределения Койка

Однако COV(yt-1,ut)=-(1-λ)σ2u≠0

Приемлемый метод оценки модели (2.9) – ММП!

aa1

0

TYTY

CAPC

Кейнсианская модель потребления прогнозирует, что с ростом располагаемого дохода, средняя склонность к потреблению снижается

(2.10)

Данный прогноз получил название «вечной стагнации»

Однако, практика опровергло этот прогноз

Следовательно Кейнсианская модель потребления слишком проста для моделирования этого процесса

uCC;vYY tPttt

ett

Фридмен предположил, что доход Yt и потребление Ct имеют следующую структуру

(11)

где: Yet – постоянная или ожидаемая часть дохода;

vt – нерегулируемая или случайная часть дохода;

CPt – постоянная часть потребительских расходов

ut – случайная часть потребительских расходов

При этом: M(ut)=M(vt)=0

YaC et1

Pt

10YYYYe

1tt

e

1t

e

t

Фридмен предположил, что постоянная часть текущих потребительских расходов CP

t полностью определяется ожидаемой частью текущего дохода Ye

t

(2.12)

А ожидаемый уровень дохода подвержен процессу адаптации к реальному значению Yt

(2.13)

2

ut

2

t

e1tt

e1t

et

tet1t

u0uM

10YYYYuYaC

u1uC1YaC 1tt1tt1t

Комбинируя (2.11), (2.12) и (2.13), получим модель Фридмена потребительских расходов:

(2.14)

В результате Фридменская модель потребления в преобразовании Койка имеет вид:

(2.15)

Задача. Оценить модель потребления Фридмена для экономики России

ГОДПотреб-ление

(С)ВВП (Y) Ct-1

1995 719,8 1428,51996 691,2 1368,9 719,81997 736,0 1595,9 691,21998 735,3 1293,7 736,01999 736,8 1406,8 735,32000 698,0 1547,5 736,82001 758,8 1634,8 698,02002 850,7 1555,1 758,82003 902,7 1818,7 850,72004 975,5 2011,7 902,7

0,66401 0,1798 00,20373 0,0973 #Н/Д0,99804 39,767 #Н/Д

1784,83 7 #Н/Д5645063 11070 #Н/Д

u1uC1YaC 1tt1tt1t

)8.39()20.0()097.0(С66.0Y18.0C 1ttt

53.0336.0

18.0a

336.0664.01

1

Исходные данные

Результаты оценки модели

Вид модели

Склонность к потреблению в краткосрочном долгосрочном периодах

В экономической практике часто приходится моделировать не фактические значения эндогенной переменной, а ее ожидаемое или целевое значение

Такие модели получили название модели частичной корректировки

Общий вид такой модели следующий:

uM0uM

10yyyyuxaay

2tt

1t

*

t1tt

tt10

*

t

(3.1)

В спецификации модели (3.1): y*t –желаемое значение эндогенной переменной в

текущий момент времени

yt-1 – значение эндогенной переменной в предыдущий период времени

xt – текущее значение экзогенной переменной

При этом значения переменной y*t наблюдению не поддаются

Равенство во втором уравнении модели(3.1) моделирует процесс настройки реального уровня эндогенной переменной на ее ожидаемый уровеньКонстанта λ характеризует скорость настройкиВторое равенство модели можно записать так:

y1yy 1t

*

tt

При λ=1 настройка происходит мгновенноПри λ=0 Настройка не осуществимаОтметим, что спецификация (3.1) содержит четыре неизвестных параметра: а0, а1, λ, σu

(3.2)

yt – средневзвешенное желаемого уровня эндогенной переменной и фактическим ее значением в предыдущем периоде

Подставив первое уравнение модели (3.1) в (3.2) получим выражение:

uy1xaay t1tt10t (3.3)

Поэтому оценку модели (3.3) необходимо проводить по выборке большого объема

Оценив параметры модели (3.3), получим оценки всех необходимых параметров: λ, а0 и а1

Модель (3.3) имеет стохастический регрессор yt-1, однако он не коррелирует со случайным возмущением ut , но коррелирует со случайным возмущением ut-1

ГодДоход

Yt

Сбережения

St

ГодДоход

Yt

Сбережения

St

1946 8,8 0,36 1955 15,5 0,59

1947 9,4 0,21 1956 16,7 0,90

1948 10,0 0,08 1957 18,6 0,82

1949 10,6 0,20 1958 19,7 1,04

1950 11,0 0,10 1959 21,1 1,53

1951 11,9 0,12 1960 22,8 1,94

1952 12,7 0,41 1961 23,9 1,75

1953 13,5 0,50 1962 25,2 1,99

1954 14,3 0,43 1963 26,0 2,03

      1964 26,8 2,40

Модель корректировки уровня сбережений Лизера

uYaaS tt10*t

SSSS t*ttt 11 λ

ε110 λ1λλtttt SYaaS

Спецификация модели

где: S*t –ожидаемый уровень сбережений в текущем году

Используется предположение:

(4.5)

(4.6)

Подставляя (4.5) в (4.6) после преобразования получим

(4.7)

1aa 10

t1ttt SYS

15402002302460

21 9420326008908650 ε

....

tttt .RS.Y..S

28316740

8650

λ

α1320

6740

0890

λ

β674032601μ1λ 01 .

.

.a.

.

.a..

Вводя новые значения параметров:(4.8)

спецификация (4.7) принимает вид:

(4.9)

Оценка спецификации (4.9) по имеющимся данным

Возвращаемся к исходным параметрам согласно (4.8)

Выводы:1. В моделях со стохастическими регрессорами

возникают проблемы с выполнением четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова

2. К этому виду моделей относятся модели с лаговыми эндогенными переменными в качестве регрессоров

3. Уменьшение влияния не «полного» невыполнения четвертой предпосылки на оценки моделей достигается за счет увеличения объема выборки

4. На практике наибольшее распространение получили модели «частичной корректировки» и «адаптивного ожидания»